Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.1. Постройте линеаризованную модель для звена, которое описывается нелинейным дифференциальным уравнением
. (1)
В номинальном режиме установившееся значение .
Решение
Запишем уравнение установившегося состояния для звена [1]:
. (2)
Предположим, что в исследуемом динамическом процессе переменная y изменяется так, что ее отклонение от установившегося значения y0 остается все время достаточно малым.
Обозначим указанное отклонение через . Тогда в динамическом процессе
.
Разложим функцию, стоящую в левой части уравнения (1), в ряд по степеням указанных выше малых отклонений. Уравнение (1) примет вид
. (3)
Вычтя из уравнения (3) уравнение установившегося состояния (2), получим искомое линеаризованное уравнение динамики:
,
,
. (4)
1.2. Определите установившееся значение .
Решение
Определим из уравнения (2):
1.3. Постройте передаточную функцию линеаризованного звена. Как называется такое звено?
Решение
Перепишем уравнение (4), используя оператор p:
.
Передаточная функция звена:
.
Данное звено является апериодическим с k=0.34 и T=1.87.
1.4. Найдите импульсную характеристику (весовую функцию) этого звена.
Решение
Поскольку весовую функцию можно найти с помощью теоремы разложения:
. (5)
Полученная характеристика изображена на рисунке 1.
1.5. Решив полученное линейное дифференциальное уравнение, найдите переходный процесс на выходе линеаризованного звена при ступенчатом входном сигнале .
Решение
Переходная функция звена удовлетворяет выражению
.
Определим константу С из начальных условий (t=0):
,
,
Тогда (рисунок 1).
Рисунок 1 - Весовая и переходная функции звена
. (6)
..
Итак, в составе звена с передаточной функцией (6) можно выделить два простейших звена: форсирующее звено первого порядка и колебательное звено.
Коэффициент усиления в установившемся режиме можно определить из передаточной функции (6) при :
..
Характеристическое уравнение звена
.
Определим корни характеристического уравнения:
,
.
Так как вещественная часть корней характеристического уравнения меньше нуля, то звено является устойчивым.
Определим корни числителя передаточной функции:
.
Звено является минимально-фазовым, если вещественные части корней числителя и знаменателя меньше нуля. Звено с передаточной функцией (6) не является минимально-фазовым.
Составим комплексную передаточную функцию системы с передаточной функцией (6):
Выражение для ЛАЧХ имеет вид:
Вычислим сопрягающие частоты и пронумеруем их в порядке возрастания:
для форсирующего звена;
для колебательного звена.
Итак, .
При
;
при
;
при
Асимптотическая ЛАЧХ вместе с точной ЛАЧХ представлена на рисунке 3.
Рисунок 3 – Асимптотическая ЛАЧХ рассматриваемого звена
ЛФЧФ имеет вид:
.
ЛФЧХ представлена на рисунке 4.
Рисунок 4 – ЛФЧХ рассматриваемого звена
На нулевой частоте ЛАЧХ имеет наклон 0 дБ/дек. На высоких частотах наклон ЛАЧХ -20 дБ/дек. Наклон ЛАЧХ на нулевой частоте определяется только интегрирующими и дифференцирующими звеньями. Если система имеет n дифференцирующих и m интегрирующих звеньев, то наклон ЛАЧХ на нулевой частоте равен . В рассматриваемом звене нельзя выделить ни дифференцирующих, ни интегрирующих звеньев, поэтому наклон ЛАЧХ на нулевой частоте отсутствует. На высоких частотах наклон равен , где m1 – разность степеней знаменателя и числителя передаточной функции. В рассматриваемом звене степень числителя равна 1, знаменателя – 2, следовательно, наклон ЛАЧХ равен -20 дБ/дек.
2.7. Запишите модель этого звена в виде дифференциального уравнения.
Решение
.
Модель в пространстве состояний – это система дифференциальных уравнений первого порядка, к которой добавлены связи вектора состояния с входом и выходом системы. Для линейной системы она имеет вид
.
Здесь x – вектор состояния, u – вектор входных воздействий, y – вектор выхода, A, B, C, D – числовые матрицы.
Передаточная функции имеет вид
.
Представим отношение как
,
где
Передаточная функция соответствует дифференциальному уравнению
, (7)
а соответствует уравнению
. (8)
Введём переменные состояния , . Учитывая связь между ними из уравнений (7) и (8) получим систему:
,
которая записывается в форме модели в пространстве состояний с матрицами
, , , , .
Как уже было отмечено, переходная функция – это реакция звена на единичное входное воздействие, т.е.
.
Тогда
Переходная характеристика
Переходная функция представлена на рисунке 5.
Рисунок 5 – Переходная функция рассматриваемого звена
Типовая блок-схема представлена на рисунке 6.
Рисунок 6 – Типовая блок-схема системы автоматического регулирования
от входа к выходу ;
от входа к выходу ;
от входа к выходу ;
от входа к выходу .
Передаточная функция по задающему воздействию
.
Передаточная функция по управляющему воздействию
.
Передаточная функция для ошибки
.
Передаточная функция для возмущения
.
Передаточная функция звена
Передаточная функция замкнутой системы (при )
Характеристическое уравнение имеет вид
или
,
.
т.е..
По критерию Гурвица система с характеристическим уравнением второй степени является устойчивой, если
или,
или,
.
Т.е. имеем геометрическое место точек. На рисунке 7 представлено это геометрическое место точек (заштриховано).
Рисунок 7 – Геометрическое место точек, соответствующее значениям k и h, при которых замкнутая система устойчива
На рисунке 8 представлены точные ЛАЧХ и ЛФЧХ для разомкнутой системы при , . Эти характеристики совпадают с характеристиками, представленными на рисунках 3 и 4.
Рисунок 8 – ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы
Коэффициент не обеспечивает необходимого запаса устойчивости по амплитуде в 6 дБ. Коэффициент устойчивости по фазе обеспечивается. Для обеспечения необходимой устойчивости по амплитуде необходимо сместить ЛАЧХ вниз на 1,9 дБ. Передаточная функция разомкнутой системы
Выражение для ЛАЧХ разомкнутой системы имеет вид
Для того чтобы обеспечить необходимый запас устойчивости по амплитуде, необходимо, чтобы
,
откуда
, , .
Примем . Тогда при и обеспечиваются необходимые запасы устойчивости, при этом запас устойчивости по фазе будет увеличен.
Передаточная функция замкнутой системы при и из (9) имеет вид
Переходный процесс описывается следующим уравнением:
График переходного процесса представлен на рисунке 9.
Рисунок 9 – График переходного процесса
Из рисунка 9 видно, что время переходного процесса , . Перерегулирование примерно равно 141%.
Система называется астатической, если в установившемся режиме отсутствует ошибка регулирования. Для того, чтобы система была астатической, необходимо, чтобы передаточная функция по ошибке имела множитель p. Передаточная функция по ошибке
Замкнутая система не содержит множителя p в числителе, т.е. система не является астатической.
Передаточная функция замкнутой системы будет иметь вид (при ):
.
Критерий Гурвица для системы с характеристическим уравнением третьей степени записывается как
.
В данном случае получаем следующую систему неравенств:
.
Далее получим
или.
Решая последнее неравенство в системе методом интервалов, определили, что условие выполняется при . Итак, определим интервал, в котором выполняются все условия системы неравенств. Это интервал .
Выберем для дальнейших расчётов.
Передаточная функция при имеет вид:
Переходный процесс описывается следующим уравнением:
Переходный процесс смоделирован в Simulink. График переходного процесса представлен на рисунке 10.
Рисунок 10 – Переходный процесс на выходе системы
Выражение для АЧФ имеет вид:
АЧХ замкнутой системы представлена на рисунке 11.
Рисунок 11 – ЛАЧХ замкнутой системы
Из рисунка 11 видно, что показатель колебательности .