Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Б.1.
1. Достатні умови зростання і спадання функції
ТЕОРЕМА. Якщо неперервна на замкненому проміжку [a, b] функція f(x) має всередині цього проміжку додатну похідну, то функція зростає, а якщо відємну, то функція спадає.
Проміжки зростання і спадання функцій називаються проміжками монотонності функцій.
Для їх визначення знаходять похідну функції, прирівнюють її до нуля і знаходять корені похідної. Цими коренями розбивають область визначення функції на проміжки. В кожному з проміжків беруть всередині точку і встановлюють знак похідної в них. В тих проміжках, де похідні додатні, функція зростає, а де відємні спадає.
2. Диференціальні рівняння, основні поняття.
Означення 1. Диференціальним рівнянням називається рівняння, яке звязує незалежну змінну х, шукану функцію y = f(x) і її похідні або диференціали різних порядків, тобто рівняння
(1)
Означення 2. Порядком диференціального рівняння називається найвищий порядок похідної від невідомої функції, яка входить у диференціальне рівняння.
Означення 3. Розвязком диференціального рівняння (1) називається така функція у = φ(х), яка при підстановці у рівняння (1) перетворює його в тотожність.
Наприклад, для диференціального рівняння
(2)
розвязком є функція . Знайдемо похідну і підставимо у рівняння, одержимо: .
Слід зауважити, що не єдиний розв'язок рівняння. Це рівняння має нескінченну множину розвязків, які можна записати так: .
Б. 2.
ТЕОРЕМА. Якщо диференційована функція на проміжку (a, b) зростає, то її похідна невідємна, а якщо спадає, то її похідна недодатна.
Означення . Рівняння вигляду називається диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними.
В цьому рівнянні змінні ще не відокремлені, але, поділивши обидві частини рівняння на добуток , одержимо рівняння з відокремлюваними змінними:
.
Інтегруючи це рівняння, запишемо
.
Одержали загальний інтеграл даного рівняння.
Б. 3.
1. Зростання і спадання функції на проміжку
Означення. Функція f(x) називається зростаючою на проміжку (a, b), якщо більшому значенню аргументу х відповідає більше значення функції. Тобто, якщо х1 < х2, то f(x1) < f(x2).
Якщо нерівність виконується нестрога, f(x1) ≤ f(x2), то функція називається неспадною.
Означення. Функція f(x) називається спадною на проміжку (a, b), якщо більшому значенню аргументу х відповідає менше значення функції. Тобто, якщо х1 < х2, то f(x1) > f(x2).
Якщо нерівність виконується нестрого, f(x1) ≥ f(x2), то функція називається не зростаючою.
2. Лінійні диференціальні рівняння першого порядку
Означення. Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння, яке містить шукану функцію і її похідну у першому степені без їх добутку:
(1)
Тут , - відомі функції незалежної змінної х. Наприклад, .
Якщо , то рівняння (1) називається лінійним однорідним і є рівнянням з відокремлюваними змінними.
Якщо , то рівняння (1) називається лінійним неоднорідним, яке можна розвязати декількома способами.
Розглянемо метод Бернуллі за допомогою якого рівняння (1) можна звести до інтегрування двох диференціальних рівнянь першого порядку з відокремлюваними змінними.
Розв'язок диференціального рівняння (1) шукаємо у вигляді
або (2),
де невідомі функції. Одну з цих функцій можна взяти довільну, а інша визначається із рівняння (1).
Із рівності знайдемо похідну :
.
Підставимо та в рівняння (1):
або .
Виберемо функцію такою, щоб
(3)
Тоді для відшукання функції одержимо рівняння
(4)
Спочатку знайдемо із рівняння (3).
Відокремлюючи змінні, маємо , звідки
або .
Під невизначеним інтегралом тут будемо розуміти якусь одну первісну від функції , тобто буде визначеною функцією від х.
Знаючи , знаходимо із рівняння (4):
; , звідки .
Тут ми вже беремо для всі первісні.
Знайдені функції та підставляємо в (2) і одержуємо загальний розв'язок лінійного диференціального рівняння:
(5)
При розвязуванні конкретних прикладів простіше виконувати ці викладки, ніж застосовувати громіздку формулу (5).
Б. 4.
1. Формули наближених обчислень визначених інтегралів
Визначений інтеграл не завжди можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца, тому що для підінтегральної функції f(x) первісна функція не завжди виражається в скінченому вигляді через відомі функції.
Існує багато наближених формул для обчислення визначених інтегралів.
Формула прямокутників. В даному випадку розібємо відрізок [a, b] на n рівних частин і графік функції f(x) заміняється ступінчастою ламаною.
Звідси визначений інтеграл можна обчислювати за формулою
,
яку називають формулою прямокутників. Чим більше буде n, тим меншим буде крок і права частина записаного наближення буде давати більш точне значення інтеграла.
Формула трапецій. Нехай треба обчислити ,
де f(x) неперервна функція, яку для зручності вважатимемо додатною.
Розібємо відрізок [a, b] на n рівних частин точками
а = х0 < x1 < x2 <…<xi-1 < xi <…< xn-1 < xn = b;
Мал.12
тоді довжина кожного відрізка розбиття
.
З точок поділу відрізка [a, b] проведемо відповідні ординати графіка функції (мал.12):
y0 = f(x0), y1 = f(x1), y2 = f(x2), … , yi = f(xi), … , yn = f(xn).
Точки поділу графіка функції послідовно зєднаємо відрізками прямих. Тоді одержимо фігуру, обмежену ламаною (складеною із проведених відрізків), прямими х = а і х = b і віссю Ох, площа якої Sn наближено дорівнює площі криволінійної трапеції з основою [a, b], обмеженої кривою y = f(x). Площа Sn є сумою площ трапецій, тому
або
.
Тоді дістаємо формулу
,
яка називається формулою трапецій.
Мал.13
Формула Сімпсона. Мала формула Сімпсона. Нехай треба обчислити , де f(x) неперервна на [a, b] і набуває додатних значень. Побудуємо криволінійну трапецію, відповідну даному інтегралу (мал.13).
Розділимо відрізок [a, b] точкою с на два рівні відрізки [a, с] і [с, b] і знайдемо значення підінтегральної функції y = f(x) в точках а, с, b:
уа = f(a), yc = f(c), yb = f(b).
Через точку С(с, ус) графіка даної функції проведемо довільну пряму, яка не перетинає відрізка [a, b], а із точок α і β, які ділять цей відрізок на три рівні частини, проведемо прямі αМ і βN, перпендикулярні до Ох. Площа фігури aАМNBb, утвореної із трьох трапецій, наближено дорівнюватиме площі криволінійної трапеції aABb.
Знайдемо (позначивши αМ = уα, βN = уβ)
пл. aАМNBb .
Враховуючи, що середня лінія трапеції αМNβ , або ,
знаходимо пл. aАМNBb.
Тоді .
Ця формула називається малою формулою Сімпсона. Якщо підінтегральна функція f(x) є многочлен не вище третього степеня, то мала формула Сімпсона дає точний результат.
Застосувавши малу формулу Сімпсона до обчислення обємів тіл, дістанемо наближену формулу . Позначимо висоту тіла b a = H, площу нижньої основи Qa = Q(a), площу верхньої основи Qb = Q(b), площу перпендикулярного плоского перерізу, проведеного через середину висоти, ; тоді (мал.14) Мал.14
Мала формула Сімпсона в багатьох випадках дає точні значення обємів (для піраміди, зрізаної піраміди, конуса, зрізаного конуса, кулі).
Приклад 1. Знайти обєм конуса з площею основи Q та висотою Н.
Розвязування. В даному випадку Qa = Q, Qc = Q, Qb = 0; тоді
, або, врахувавши, що Q = πR2, матимемо .
Велика формула Сімпсона (параболічна формула). Нехай треба наближено обчислити
.
Розділимо відрізок інтегрування [a, b] на 2m рівних частин точками
х0, x1, x2 ,… xi,… x2m-1, x2m
і в кожній з точок знайдемо значення підінтегральної функції
y0 = f(x0), y1 = f(x1), … , y2m-1 = f(x2m-1), y2m = f(x2m).
Застосувавши малу формулу Сімпсона послідовно до кожних трьох точок поділу і додавши одержані рівності, дістанемо
.
Ця формула називається великою формулою Сімпсона. Чим більше точок поділу, тим точність формули Сімпсона більша.
2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння 2-го порядку.
Лінійне диференціальне рівняння 2-го порядку має вигляд:
(1)
Якщо , то рівняння (1) називається однорідним. Інакше неоднорідним.
Лема 1. Якщо є розвязком однорідного рівняння
, (2)
то функція є також розвязком рівняння (2), де С довільна константа.
Лема 2. Якщо і є розв'язками рівняння (2), то і їх сума буде розвязком цього рівняння.
Означення 1. Дві функції і називаються лінійно незалежними, якщо функція
(3)
не є тотожно рівною нулю, для довільних , при умові, що хоча б одна з них відмінна від нуля.
ТЕОРЕМА. Загальний розв'язок рівняння (2) задається функцією (3), де , - довільні константи, а і - лінійно незалежні розв'язки рівняння (2).
Зміст теореми полягає в тому, що знаходження загального розв'язку диференціального рівняння (2) зводиться до знаходження двох його частинних лінійно-незалежних розвязків. Це легко зробити у тому випадку, коли рівняння (2) є рівнянням з постійними коефіцієнтами.
Розглянемо таке диференціальне рівняння:
(4)
Розв'язок будемо шукати у вигляді . Підставимо його у рівняння і отримаємо . Скоротивши його на , отримаємо характеристичне рівняння:
(5)
Рівняння (5) має два корені і . При цьому можливі такі три випадки:
1. Корені рівняння (5) дійсні різні. Тоді частинні лінійно-незалежні розв'язки мають вигляд: і (6)
2. Корені рівняння (5) дійсні рівні: . Тоді загальний розв'язок рівняння (4) записується у формі (7)
3. Корені рівняння (5) комплексно-спряжені - . У цьому випадку загальний розв'язок рівняння (4) має вигляд: (8)
Б. 5.
1. Застосування визначеного інтеграла
Одним з найбільшим застосуванням визначеного інтеграла є обчислення площ областей. Розглянемо кілька прикладів.
Приклад 1. Обчислити площу фігури, зображеної на мал.6
Розвязування. Оскільки функція f(x) відємна, то . Це легко бачити з графіка. Тоді (кв.од.)
Обчислимо площу фігури, частина якої лежить над віссю у = 0, а частина під нею.
Мал.6 Мал.7
Приклад 2. Обчислити площу фігури, зображеної на мал.7
Розвязування. Оскільки на відрізку [0; 5] значення функції від'ємне, а на відрізку [5; 15] додатне, то
S(A) = S(A1) + S(A2),
де (кв.од.),
(кв.од.),
S(A) = S(A1) + S(A2) = 12,5 + 50 = 62,5 (кв.од.)
Ще одним застосуванням визначеного інтегралу є визначення обєму тіл обертання. Розглянемо у площині (х, у) криву y = f(x), обмежену абсцисами х = а і х = b (мал.10а).
Мал.10а Мал.10б
Розібємо тіло обертання на n полос шириною Δхі = хі+1 хі . Тоді смужка від обертання частини тіла шириною Δхі дасть обєм Vі
Обєм тіла обертання можна наблизити сумою
Остання сума є інтегральною, і тому:
(3.14)
Приклад 3. Обчислити обєм тіла обертання, утвореного прямими у = х, х = 3 навколо осі Ох (мал.11).
Розвязування.
Мал.11
2. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння 2-го порядку.
Лінійне диференціальне рівняння 2-го порядку має вигляд:
(4.14)
Якщо , то рівняння (4.14) називається однорідним. Інакше неоднорідним.
Б. 6.
1. Диференціал функції (означення, основні властивості, застосування)
Означення диференціала.
Якщо функція y = f(x) має в точці х похідну , то і приріст функції Δу можна подати у вигляді
(1)
де α - нескінченно мала величина, яка прямує до нуля разом з Δх.
В формулі (1) другий доданок αΔх є нескінченно мала вищого порядку, ніж Δх і тому головну частину суми складає перший доданок f '(х)Δх , який має назву диференціала функції.
Означення. Головна лінійна частина приросту функції, яка дорівнює добутку похідної на приріст незалежної змінної називається диференціалом функції f(x).
Позначається диференціал символом dy або df(x). Отже,
dy = f'(x)Δx (2)
Приріст Δх незалежної змінної також позначають так: Δх = dx.
Це пояснюють тим, що для функції у = х диференціал dy = х' Δх = Δх . Тому рівність (2) записують dy = f'(x)dx .
Основні властивості диференціала
1) Диференціал сталої дорівнює нулю: dc = 0.
2) Диференціал алгебраїчної суми функцій дорівнює алгебраїчній сумі диференціалів цих функцій: d(u ± v ) = du ± dv
3) Диференціал добутку двох функцій дорівнює сумі добутків кожної з функцій на диференціал другої функції: d(u∙v ) = udv + vdu.
4) Диференціал частки знаходиться за формулою
Застосування диференціалів при наближених обчисленнях
Диференціали використовують при наближених обчисленнях значень функцій, застосовуючи приблизну рівність . В розгорнутому вигляді маємо
f(xo+Δx) - f(xo) f'(xo) Δx.
Звідки значення функції f(xo + Δx) f(xo)+f'(xo ) Δx .
2. Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами.
Б. 7.
1. Основні правила диференціювання
ТЕОРЕМА 1. Похідна постійної величини с дорівнює 0.
ТЕОРЕМА 2. Якщо кожна з скінченого числа функцій u1(x), u2(x),…, un(x) диференційована в деякій точці х, то диференційованою в цій точці є їх алгебраїчна сума, причому похідна алгебраїчної суми цих функцій дорівнює алгебраїчній сумі їх похідних.
[u1(x)± u2(x)±… ± un(x)]′= u1′(x)± u2(x)′±… ± un′(x).
ТЕОРЕМА 3. Якщо функції u = u(x) і v = v(x) диференційовані в точці х, то їх добуток диференційований в цій точці і має місце формула (u∙v) = u′v + v′u.
ТЕОРЕМА 4. Якщо функції u = u(x) і v = v(x) диференційовані в точці х, причому v(x) ≠ 0, то їх частка також має похідну в цій точці, яка обчислюється за формулою:
.
2. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння другого порядку з сталими коефіцієнтами
Розглянемо лінійні неоднорідні рівняння 2-го порядку з сталими коефіцієнтами (1)
Загальним розвязком лінійного неоднорідного рівняння 2-го порядку є сума загального розв'язку відповідного однорідного рівняння і будь-якого частинного розв'язку неоднорідного рівняння. Це твердження записано формулою: .
Загальний розв'язок однорідного рівняння розглянуто вище. Перейдемо до знаходження частинного розв'язку неоднорідних рівнянь із спеціальною правою частиною, розв'язок яких можна знайти не вдаючись до інтегрування.
1) Нехай права частина рівняння (1) має вигляд , де - многочлен n-го степеня. Тут можливі два випадки:
а) - не є коренем характеристичного рівняння, тоді , де - многочлен n-го степеня із неозначеними коефіцієнтами.
б) - є коренем характеристичного рівняння кратності ( або ), тоді .
Зауваження. Якщо , то вважаємо, що і перевіряємо, чи 0 є коренем характеристичного рівняння.
Б. 8.
1. Мода і медіана.
Розглянемо деякі способи оцінки даних за розподілом частот. Їх метою є виявлення міри центральної тенденції (центрального положення).
Найпростіше знайти міру центральної тенденції за допомогою моди.
Мода це значення ознаки, яке зустрічається найчастіше в даному ряді розподілу.
Для дискретних варіаційних рядів мода визначається як значення ознаки з найбільшою частотою. Наприклад, якщо в магазині продано 200 костюмів 38 штук 22-го розміру, 42 штуки 24-го розміру, 56 штук 26-го розміру, 18 штук 28-го розміру, 33 штуки 30-го розміру і 13 штук 32-го розміру, то модальним номером є 26-й, бо він має більшу чисельність.
Проте не кожна сукупність значень має єдину моду в строгому розумінні цього означення. У сукупності значень (3, 5, 5, 7, 8, 8, 8, 9) модою є число 8, бо воно зустрічається частіше за будь-яке інше значення.
У випадку, коли всі значення в групі зустрічаються однаково часто, вважають, що група оцінок не має моди. Наприклад, у групі (1,2; 1,2; 1,7; 1,7; 4,8; 4,8) моди немає.
Медіана середнє значення змінюваної ознаки, яке міститься всередині ряду, складеного за зростанням або спаданням значень ознаки. Отже, медіана це значення змінюваної ознаки, яке ділить множину даних навпіл так, що одна половина значень більша від медіани, а друга менша.
Якщо дані містять непарне число різних значень, наприклад 9, 11, 15, 18, 20, то медіана є середнім значенням для випадку, коли вони впорядковані, тобто медіана дорівнює 15. якщо дані містять парне число різних випадків, наприклад 7, 11, 13, 15, то медіана дорівнює середньому між двома центральними значеннями, якщо вони впорядковані, тобто (11+13):2=12.
2. Прямокутна система координат на площині та її застосування.
Положення точки на прямій визначається одним числом її координатою, а положення точки на площині визначається упорядкованою парою чисел (тобто вказано яке із чисел є першим, а яке другим).
Візьмемо на площині дві взаємно перпендикулярні осі і назвемо їх осями координат (мал.1) . Точка перетину осей координат О називається початком координат. Осі координат (Ох вісь абсцис, горизонтальна, Оу вісь ординат, вертикальна). Осі координат Ох і Оу ділять площину на чотири частини, які називаються квадрантами (або координатними кутами). Частина площини, що міститься між додатними осями Ох і Оу називається першим квадрантом. Нумерація квадрантів іде проти годинникової стрілки.
Нехай точка М - довільна точка площини. Опустимо з цієї точки перпендикуляри на вісь Ох і Оу, основи цих перпендикулярів позначимо відповідно через М1 і N1, тобто М1 і N1 є проекціями точки М на координатні осі. Позначимо координату точки М1 на осі Ох через х, а координату точки N1 на осі Оу через у. Числа (х, у) назвемо координатами точки М на площині (х абсциса, у ордината). Це позначимо М (х, у).
Таким чином, система координат на площині встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною всіх точок площини і множиною всіх упорядкованих пар дійсних чисел.
Найпростіші задачі на застосування методу координат
а) Віддаль між двома точками на площині.
Нехай задані дві точки з своїми координатами: А(х1 ; у1), В(х2; у2). Треба знайти віддаль між цими точками. Зробимо малюнок (мал.2).
Точки А і В спроектуємо на координатні осі. Їх проекції на вісь Ох позначимо відповідно через А1 і В1, а вісь Оу відповідно через А2 і В2.
Тоді ОА1 = х1, ОВ1 = х2, ОА2 = у1, ОВ2 = у2.
Через точку А проведемо пряму, паралельну осі абсцис до перетину з прямою ВВ1 в точці С. з одержаного прямокутного трикутника АВС за теоремою Піфагора знаходимо
.
Дану рівність перепишемо так:
або (1)
Знак перед коренем у формулі (2.1) береться (+) тому, що віддаль величина додатна.
Зауваження. Різниця координат у формулі (1) підноситься до квадрату і тому немає значення, яку точку вважати першою, а яку другою.
б) Поділ відрізка в заданому відношенні.
Нехай на площині задано дві довільні точки А(х1; у1) і В(х2; у2). Вважаємо А (х1, у1) першою точкою, а В (х2, у2) другою точкою. Проведемо через ці точки пряму (мал.3).
Нехай точка С (х, у) лежить на відрізку АВ і ділить його на два відрізки АС і СВ, причому відношення їх дорівнює λ, тобто (число λ відоме). Випадок, коли точка С співпадає з точкою В виключаємо, бо знаменник перетворюється в нуль. Наша задача полягає в тому, щоб знайти координати точки С(х, у) через координати точок А(х1; у1) і В(х2;у2) та число λ.
Спроектуємо точки А, С та В на координатну вісь Ох (мал.3) і позначимо їх проекції через А1, С1 та В1. Використовуючи теорему про проекційні відрізки, що містяться між паралельними прямими, одержимо . Відомо, що А1С1 = х - х1, С1В1 = х2 х, тоді . Розвязуючи цю рівність відносно х, знаходимо .
Аналогічно, спроектувавши точки А, С та В на координатну вісь Оу (мал.3) і зробивши необхідні викладки, як вище, знаходимо ординату точки С: .
Отже, координати точки С(х, у), яка ділить відрізок АВ у відношенні λ (рахуючи від А до В), обчислюється за формулами
(2)
Якщо точка С є серединою відрізка АВ, то λ = 1 і тоді
(3)
Зауваження. При одержанні формул (2.2) ми допускали, що відрізок не паралельний ні одній з осей координат. Однак одержані формули (2.2) справедливі і тоді, коли відрізок паралельний вісі Ох (у = у1 = у2), або осі Оу (х = х1 = х2).
Крім цього, все викладене вище справедливе і тоді, коли точка С (х, у) знаходиться зовні , тобто на його продовженні.
Б. 9.
1. Множини. Операції над множинами.
Поняття множини належить до первісних понять математики, якому не дається означення. Множину можна уявити собі як сукупність деяких предметів, об'єднаних за довільною характеристичною ознакою. Наприклад, множина учнів класу, множина цифр десяткової нумерації (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9), множина натуральних чисел, множина зернин у даному колосі, множина букв українського алфавіту, множина точок на прямій.
Предмети, з яких складається множина, називаються її елементами і позначаються малими буквами латинського алфавіту. Наприклад, а = 5 - елемент множини цифр десяткової нумерації. Для позначення множин використовують великі букви латинського алфавіту або фігурні дужки, всередині яких записуються елементи множини. При цьому порядок запису елементів не має значення. Наприклад, множину цифр десяткової нумерації можна позначити буквою М (чи будь-якою великою буквою латинського алфавіту) або записати так: {1, 3, 5, 2, 4, 6, 8, 7, 9,0}.
Належність предмета даній множині позначається символом , а неналежність - символом (інколи ). Наприклад, число 7 А, де А - множина чисел першого десятка, а число 12A.
Множини бувають скінченні і нескінченні. У скінченній множині міститься певна кількість елементів, тобто кількість елементів скінченної множини виражається натуральним числом. Наприклад, множина М цифр десяткової нумерації скінченна і містить десять елементів. У нескінченній множині - нескінченна кількість елементів. Наприклад, множина натуральних чисел, множина точок прямої - нескінченні множини.
Множина, в якій немає жодного елемента, називається порожньою і позначається символом . Наприклад, множина точок перетину двох паралельних прямих - порожня множина.
Якщо множина В складається з деяких елементів даної множини А (і тільки з них), то множина В називається підмножиною множини А. У такому разі співвідношення між множинами А і В позначається так: В А (читається: "В міститься в А" або "В -підмножина А"). Якщо В може й дорівнювати А, то вживається символ ВА. Знак називається знаком нестрогого включення, а знак - знаком строгого включення.
Порожня множина є підмножиною будь-якої множини, тобто А.
Саму множину А можна розглядати як підмножину А, тобто АА.
Множину задають двома основними способами:
Дві множини називаються рівними, якщо вони складаються з тих самих елементів. Наприклад, множини коренів рівняння х2 = 25 і |х| = 5 рівні між собою. Справді, X = {-5; 5} і Y = {-5; 5}, де Y - множина розв'язків рівняння |х| = 5. Отже, X = Y.
Над множинами виконуються певні операції (дії). Зазначимо три з них.
Переріз множин.
Перерізом множин А і В називається множина С, яка складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать кожній з даних множин А і В.
Мал. 1
Схематично переріз множин А і В можна зобразити за допомогою фігур (мал.1). Символічно позначається так: С = А ∩В і читається: "С є перерізом А і В".
Об'єднання множин.
Об'єднанням (або сумою) двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В, і тільки з них.
Мал. 2
Позначається це так: С = АВ і читається: "С є об'єднанням А і В".
Схематично об'єднання множин А і В зображено на мал.2. Якщо множини А і В мають спільні елементи, тобто АВ ≠ 0, то кожний з цих спільних елементів береться в множину С тільки один раз.
Віднімання множин. Доповнення множини.
Різницею двох множин А і В називається така множина С, яка складається з усіх елементів множини А, що не належать множині В.
Позначається це так: С = А \ В і читається: "С є різницею А і В".
Схематично різницю двох множин А і В зображено на мал.3.
Мал.3
2. Декартова прямокутна система координат в просторі
Положення точки в просторі будемо визначати відносно прямокутної системи координат в просторі. Дана система Оxyz складається із трьох взаємно перпендикулярних осей Ох, Оу, Оz, які перетинаються в одній точці О, яка називається початком координат. Вісь Ох називається віссю абсцис, вісь Оу віссю ординат і вісь Оz віссю аплікат.
Нехай точка М є довільною точкою простору (мал.5).
Знайдемо проекції точки М на координатні осі. Для цього через точку М проведемо три площини, які будуть перпендикулярні до координатних осей Ох, Оу та Оz. Нехай ці площини перетинають вісі Ох, Оу і Оz відповідно в точках А, В і С. Тоді координата х точки А на осі Ох називається абсцисою точки М, координата у точки В на числовій вісі Оу називається ординатою точки М, а координата z точки С на числовій вісі Оz називається аплікатою точки М. Значить, величини направлених відрізків ОА, ОВ та ОС, тобто числа х, у, z є координатами точки М.
Таким чином, в даній системі координат кожній точці М простору відповідає єдина упорядкована трійка чисел (х; у; z). В цьому записі х означає перше число, у друге, z третє. І навпаки, кожній упорядкованій трійці чисел (х; у; z) відповідає тільки одна точка простору М. Отже, прямокутна система координат в просторі встановлює взаємно однозначну відповідність між множиною всіх точок простору і множиною упорядкованих трійок чисел.
Площини Оху, Оуz і Охz називаються координатними площинами і поділяють весь простір на вісім частин.
Б. 10.
1. Випадкові величини. Функції розподілу випадкових величин.
Величина називається випадковою, якщо вона приймає свої значення в залежності від результатів деякого випробування (експерименту), причому для кожного елементарного результату вона має єдине значення. Випадкова величина називається дискретною, якщо множина всіх можливих значень скінченна.
Геометрична множина всіх можливих значень дискретної випадкової величини представляє кінцеву систему точок числової осі.
Нехай Х - дискретна випадкова величина, можливими і єдино можливими значеннями якої є числа
Позначимо через ймовірності цих значень (тобто є ймовірність події, яка полягає в тому, що Х приймає значення ).
Події очевидно, утворюють повну групу подій, тому
.
Означення. Відповідність між всіма можливими значеннями дискретної випадкової величини і їх ймовірностями називається законом розподілу даної випадкової величини.
В простіших випадках закон розподілу дискретної випадкової величини Х зручно задавати таблицею:
Х |
х1 |
х2 |
… |
хn |
р |
р1 |
р2 |
… |
рn |
Тут перший рядок таблиці містить всі можливі значення випадкової величини, а другий їх ймовірності.
2. Скалярні і векторні величини
У фізиці, математиці, економіці і інших науках зустрічаються величини двох видів: одні з них характеризуються тільки числом, а інші числом і напрямом в просторі.
Величини називаються скалярами або скалярними, якщо кожна із них визначається своїм числовим значенням у вибраній системі одиниць, наприклад, довжина, площа, обєм, час, температура.
Величини називаються векторними або векторами, якщо кожна із них визначається числовим значенням і напрямом. Наприклад, сила, швидкість, прискорення.
Означення. Напрямлений відрізок прямої називається вектором.
Вектор будемо позначати символом . Перша буква означає початок вектора, а друга його кінець. Вектор також будемо позначати однією малою буквою з стрілкою на верху, наприклад (мал.7).
Якщо початок і кінець вектора співпадають, то вектор називається нульовим і позначається або просто 0. Віддаль між початком і кінцем вектора називається його довжиною, або модулем і позначається або .
Означення. Вектори, які знаходяться на паралельних прямих, або на одній і тій же прямій, називаються колінеарними.
Означення. Вектори, які знаходяться на паралельних площинах або на одній і тій же площині, називаються компланарними.
Відповідно, компланарні вектори, які приведені до одного і того ж початку, будуть знаходитися на одній площині.
Означення. Два вектори рівні, якщо вони однаково напрямлені і модулі їх рівні.
Означення. Два вектори, в яких модулі рівні, а напрямки протилежні, називаються протилежними і .
Одиничний вектор (орт) вектора дорівнює і позначається так: .
Б. 11.
1. Частинні похідні вищих порядків функції багатьох змінних.
Оскільки частинні похідні першого порядку функції знову є функціями від , то від них можна ще раз знайти похідні. Таким чином, приходимо до поняття частинних похідних другого порядку, які визначаються за формулами:
.
Похідні називаються мішаними частинними похідними другого порядку. Для них справедлива рівність (при умові, що вони неперервні по ) .
Для позначення частинних похідних другого порядку вживають також символи:
.
Звідси випливає спосіб знаходження частинних похідних другого порядку: щоб знайти похідні другого порядку, треба знайти частинні похідні першого порядку даної функції, а потім від цих похідних знайти відповідні частинні похідні першого порядку.
Для функції багатьох змінних частинні похідні другого порядку вводимо за формулою
, де .
2. Дії над векторами
а) Добуток вектора на число.
Означення 1. Добутком вектора на число λ називається вектор , який має довжину і напрям його співпадає з напрямом вектора , якщо λ > 0 і протилежний йому, якщо λ < 0 (мал.8).
Умова (2.4)
є умовою колінеарності двох векторів.
б) Додавання векторів.
Означення 2. Сумою двох векторів і називається вектор , початок якого співпадає з початком вектора , а кінець співпадає з кінцем вектора , при умові що початок вектора співпадає з кінцем вектора (правило трикутника) (мал.9).
Зрозуміло, що вектор в цьому випадку є діагоналлю паралелограма, побудованого на векторах і (правило паралелограма) (мал.9).
Для векторної суми справедливий переставний закон .
Легко переконатися, що для векторної суми має місце сполучний закон. .
Виходячи з означення 2, легко знаходимо суму, наприклад, чотирьох векторів (мал.10).
Вектор сполучає початок першого вектора з кінцем вектора (правило многокутника).
в) Віднімання векторів.
Дію віднімання векторів можна розглядати як обернену дію щодо додавання векторів.
Означення. Різницею називається вектор , який в сумі з вектором дає вектор (мал.11), тобто .
Як видно з мал.11, що одна діагональ є сумою , а друга діагональ є різницею векторів і .
Дамо ще одне означення різниці векторів.
Означення. Різницею двох векторів і , які мають спільний початок, називається вектор , який сполучає кінці цих векторів і напрямлений в сторону зменшуваного.
Б. 12.
1. Частинні похідні першого порядку функції багатьох змінних
Частинна похідна першого порядку функції по х :
.
Частинна похідна першого порядку функції по у: