Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Самостоятельная работа № 1
Нахождение погрешности приближенного вычисления.
Цель занятия: научиться находить погрешности приближенного вычисления
Теоретическая часть:
Приближенным числом или приближением называется число, незначительно отличающееся от точного значения величины и заменяющее его в вычислениях. Под погрешностью же принято понимать разность между абсолютным значением и его приближением.
Для правильного понимания подходов и критериев, используемых при решении прикладной задачи с применением ЭВМ, важно понимать, что получить точное значение решения практически невозможно. Получаемое на ЭВМ решение почти всегда (за исключением некоторых весьма специальных случаев) содержит погрешность, т.е. является приближенным. Невозможность получения точного решения следует уже из ограниченной разрядности вычислительной машины.
Наличие погрешности обусловлено рядом весьма глубоких причин:
1. Математическая модель является лишь приближенным описанием реального процесса. Характеристики процесса, вычисленные в рамках принятой модели, заведомо отличаются от истинных характеристик, причем их погрешность зависит от степени адекватности модели реальному процессу.
2. Исходные данные, как правило, содержат погрешности, поскольку они либо получаются в результате экспериментов (измерений), либо являются результатом решения некоторых вспомогательных задач.
3. Применяемые для решения задачи методы в большинстве случаев являются приближенными. Найти решение возникающей на практике задачи в виде конечной формулы возможно только в отдельных, очень упрощенных ситуациях.
4. При вводе исходных данных в ЭВМ, выполнении арифметических операций и выводе результатов на печать производятся округления.
Точное значение величины — это значение, не содержащее погрешности. Повышение точности воспринимается как уменьшение погрешности. Часто используемая фраза "требуется найти решение с заданной точностью " означает, что ставится задача о нахождении приближенного решения, принятая мера погрешности которого не превышает заданной величины . Вообще говоря, следовало бы говорить об абсолютной точности и относительной точности, но часто этого не делают, считая, что из контекста ясно, как измеряется величина погрешности.
Если вместо точного числа мы берем приближенное число, то это последнее называется приближением с недостатком, если оно меньше точного числа, и с избытком, если оно больше его. Разность между точным числом и его приближением называется погрешностью этого приближения.
Пример № 1:
Точное число есть 3,826 и мы вместо этого числа взяли 3,82, то это будет приближение с недостатком, причем погрешность равна 0,006; если же вместо 3,826 возьмем, положим, 3,83, то будем иметь приближение с избытком, причем погрешность окажется 0,004.
Обыкновенно точная величина погрешности остается неизвестной, а известно только, что она меньше некоторой дроби.
Пример № 2:
Меньше 1/100 . Тогда говорят, что приближение точно до 1/100 .
Известно, что 2,85 есть приближение числа А с точностью до 1/100. Это значит, что 2,85 разнится от А меньше, чем на 1/100 , так что если 2,85 есть приближение с недостатком, то точное число А заключается между 2,85 и 2,86, а если 2,85 есть приближение с избытком, то А заключается между 2,85 и 2,84. Если же остается неизвестным, будет ли приближение 2,85 с недостатком или с избытком, а известно только, что оно точно до 1/100, то о числе А мы можем только утверждать, что оно заключается между 2,84 и 2,86.
Погрешность, о которой мы сейчас говорили, называется абсолютною погрешностью в отличие от относительной погрешности, под которою разумеют отношение абсолютной погрешности к точному числу.
Пример № 3:
Если вместо точного числа 3,826 мы берем приближенное 3,82, то относительная погрешность будет 0,006: 3,820 = 6:3826 = 0,001568..., т. е. менее 0,002. Это значит, что, взяв приближение 3,82, мы ошиблись менее, чем на 0,002 точного числа.
Иногда относительную погрешность выражают в процентах точного числа, т. е. указывают, что погрешность менее стольких-то процентов точного числа.
Пример № 4:
Так, если относительная погрешность менее 0,002 точного числа, то это значит, что она менее 0,2% этого числа, так как
Пусть имеется некоторая числовая величина, и числовое значение, которое ей присвоено, считается точным (), тогда под погрешностью приближенного значения числовой величины (ошибкой) понимают разность между точным и приближенным () значением числовой величины:
Погрешность может принимать как положительное так и отрицательное значение. Величина называется () известным приближением к точному значению числовой величины - любое число, которое используется вместо точного значения. Простейшей количественной мерой ошибки является абсолютная погрешность.
Абсолютной погрешностью приближенного значения () называют величину , про которую известно, что: .
Качество приближения существенным образом зависит от принятых единиц измерения и масштабов величин, поэтому целесообразно соотнести погрешность величины и ее значение, для чего вводится понятие относительной погрешности.
Относительной погрешностью приближенного значения называют величину , про которую известно, что: . Относительную погрешность часто выражают в процентах. Использование относительных погрешностей удобно, в частности, тем, что они не зависят от масштабов величин и единиц измерения. Так как точное значение обычно неизвестно, то непосредственное вычисление величин абсолютной и относительной погрешностей по предложенным формулам невозможно. Более реальная и часто поддающаяся решению задача состоит в получении оценок погрешности вида:
; .
где и — известные величины, которые называют верхними границами (или просто границами) абсолютной и относительной погрешностей.
Для округления десятичной дроби до какого-нибудь заданного разряда нужно знать, какая цифра следует за этим разрядом:
если за разрядом следует любая из цифр 0,1,2,3 или 4, — то все цифры, следующие за разрядом, отбрасывают.
Пример № 5:
Округляя до сотых число 5,7432, получим 5,74.
если за разрядом следует любая из цифр: 5, 6, 7, 8 или 9, — то цифра разряда увеличивается на единицу, а все следующие за ней цифры отбрасываются
Пример № 6:
Округляя до сотых число 5,7463, получим 5,75.
Контрольные вопросы:
Практическая часть:
1. Найдите относительную погрешность:
,
2. Найдите относительную погрешность:
,
3. Определите какое равенство точнее:
или
4. Определите какое равенство точнее:
или
5. Число различных конфигураций кубика Рубика записывается 20-значным числом 43252003274489856000. Строя новую конфигурацию за одну секунду, за сколько веков можно перебрать все конфигурации?
6. Туманность Андромеды отстоит от Земли на 2300000 световых лет. Найдите приближенное расстояние от Земли до туманности Андромеды в километрах.
7.Изобразите на числовой оси следующие числа: 3,5; -2,2; ; ; .
8. Округлите с точностью до второго знака: x =1,1683; x = 0,2309; x =; x = ; x =
Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
Самостоятельная работа № 2.
Преобразование алгебраических выражений
Цель занятия: закрепить навыки преобразования алгебраических выражений
Теоретическая часть:
Алгебраическим выражением называется совокупность конечного количества чисел, обозначенных буквами или цифрами, соединенных между собой знаками алгебраических действий и знаками последовательности этих действий (скобками).
Алгебраическое выражение, в котором указаны только действия сложения, вычитания, умножения и возведения в степень с натуральным показателем, называют целым рациональным выражением. Если кроме указанных действий входит действие деления, то выражение называют дробно-рациональным.
Целые рациональные и дробно-рациональные выражения вместе называются рациональными. Если входит еще и действие извлечения корня, то такое выражение называют иррациональным.
Числовым значением алгебраического выражения при заданных числовых значениях букв называют тот результат, который получится после замены букв их числовыми значениями и выполнения указанных в выражении действий.
Областью допустимых значений (ОДЗ) алгебраического выражения называют множество всех допустимых совокупностей значений букв, входящих в это выражение.
Одночленом называется алгебраическое выражение, в котором числа и буквы связаны только двумя действиями - умножением и возведением в натуральную степень.
Многочленом называется алгебраическая сумма нескольких одночленов. Одночлены, из которых состоит многочлен, называются его членами. Одночлен есть частный случай многочлена.
Формулы сокращенного умножения:
квадрат суммы (разности)
разность квадратов
куб суммы (разности)
сумма (разность) кубов
Пример № 1:
Упростите выражение:
Разложением многочлена на множители называется представление многочлена в виде произведения двух или нескольких многочленов.
Способы разложения многочлена на множители:
1. Вынесение общего множителя за скобку
Пример № 2:
Упростите выражение:
4ab-12bc=4b(a-3c)
2. Способ группировки:
Пример № 3:
Упростите выражение:
a4-5a3-2a+10=(a4-5a3)-2(a-5)=a3(a-5) -2(a-5)=(a-5)(a3-2)
3. Применение формул сокращенного умножения:
Пример № 4:
Упростите выражение:
8x3-y6=(2x-y2)(4x2+2xy2+y4)
Контрольные вопросы:
Практическая часть:
1. Разложите на множители:
a) a2+b2+2a-2b-2ab;
б) x3+(y-1)x+y;
в) a6-8;
г) x4-x2(y2+1)+y2.
2. Сократите дробь:
а) ;
б)
в)
г)
3. Упростите выражение:
а): ;
б): -;
в) ;
г)
Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 2009 г.
Самостоятельная работа № 3.
Преобразование рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений
Цель занятия: закрепить навыки преобразования рациональных, иррациональных степенных, показательных и логарифмических выражений
Теоретическая часть:
Корнем n-й степени из числа a называется число b, такое что bn = a
-четное -нечетное
1) существует 2 корня всегда существует один корень
2)
3) корней нет
Свойства корня n-й степени:
, (если то )
Степень с рациональным показателем:
Равенства:
Логарифмом числа c по основанию a называется такое число b, что ab = c, т.е. показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить c: b = logac.
Основное логарифмическое тождество:
Основные свойства логарифмов:
Контрольные вопросы:
Практическая часть:
1. Вычислите:
|
|
|||||||||
2. Вычислите:
3. Исключите иррациональность в знаменателе:
4. Упростите выражение:
Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
2. Алгебра и начала анализа: учебник для 10-11 кл. сред. шк. / А.Н. Колмогоров и др. – М.: Просвещение, 2009 г.
Самостоятельная работа № 4.
Использование теоремы о трех перпендикулярах при решении задач
Цель занятия: продолжить освоение использования теоремы о трех перпендикулярах при решении задач
Теоретическая часть:
Прямая, пересекающая плоскость, называется перпендикулярной этой плоскости, если она перпендикулярна каждой прямой, которая лежит в данной плоскости и проходит через точку пересечения.
Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым в этой плоскости, проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
Пусть даны плоскость и не лежащая на ней точка:
- перпендикуляром, опущенным из данной точки на данную плоскость, называется отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости и лежащий на прямой, перпендикулярной плоскости;
- конец этого отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием перпендикуляра;
- расстоянием от точки до плоскости называется длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на плоскость;
- наклонной, проведенной из данной точки к данной плоскости, называется любой отрезок, соединяющий данную точку с точкой плоскости, не являющийся перпендикуляром к плоскости;
- конец отрезка, лежащий в плоскости, называется основанием наклонной;
- отрезок, соединяющий основания перпендикуляра и наклонной, проведенных из одной и той же точки, называется проекцией наклонной.
На рисунке из точки А проведены к плоскости перпендикуляр АВ и наклонная АС. Точка В - основание перпендикуляра, точка С - основание наклонной, ВС - проекция наклонной АС на плоскость.
Теорема о трех перпендикулярах:
Если прямая, проведенная на плоскости через основание наклонной, перпендикулярна ее проекции, то она перпендикулярна наклонной. И обратно: Если прямая на плоскости перпендикулярна наклонной, то она перпендикулярна и проекции наклонной.
Две пересекающиеся плоскости, называются перпендикулярными, если третья плоскость, перпендикулярная прямой пересечения этих плоскостей, пересекает их по перпендикулярным прямым.
Пример № 1
Через центр вписанной в треугольник окружности проведена прямая, перпендикулярная плоскости треугольника. Докажите, что каждая точка этой прямой равноудалена от сторон треугольника.
Решение:
Пусть А, В, С – точки касания сторон треугольника с окружностью, О – центр окружности и S – точка на перпендикуляре. Так как радиус ОА перпендикулярен стороне треугольника, то по теореме о трех перпендикулярах отрезок SА есть перпендикуляр к этой стороне, а его длина – расстояние от точки S до стороны треугольника. По теореме Пифагора SА=, где r – радиус вписанной окружности. Аналогично находим: , т.е. все расстояния от точки S до сторон треугольника равны.
Контрольные вопросы:
Практическая часть:
1. Даны прямая а и плоскость . Проведите через прямую а плоскость, перпендикулярную плоскости .
2. Докажите, что если прямая параллельна плоскости, то все ее точки находятся на одинаковом расстоянии от плоскости.
3. Из точки к плоскости проведены две наклонные, одна из которых на 20 см больше другой. Проекции наклонных равны 10 см и 30 см. Найдите наклонные.
4. Сторона квадрата равна 4 см. Точка, равноудаленная от всех вершин квадрата, находиться на расстоянии 6 см от точки пересечения его диагоналей. Найдите расстояние от этой точки до вершин квадрата.
5. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 10 см и 17 см. Разность проекций этих наклонных равна 9 см. Найдите проекции наклонных.
6. Из точки к плоскости проведены две наклонные, равные 23 см и 33 см. Найдите расстояние от этой точки до плоскости, если проекции наклонных относятся как 2:3.
7. Прямая а перпендикулярна плоскости АВС, угол АСВ равен 90о, АС = 4, МD=3. Найти МС.
8. Прямая а перпендикулярна плоскости АВС. MD = 13. АС = 15, ВС = 20. АС ВС, МD АВ. Найти MC.
9. Катеты прямоугольного треугольника ABC (С =90°) равны 4 см и 3 см. Точка М находится на расстоянии √6 см от плоскости треугольника ABC и на одинаковом расстоянии от всех его вершин. Найти расстояние от точки М до вершин треугольника.
Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.
Самостоятельная работа № 5.
Решение задач на подсчет числа размещений, перестановок.
Цель занятия: освоить методы решения задач на расчет количества выборок
Теоретическая часть:
Комбинаторика — часть математики, которая посвящена реше нию задач выбора и расположения элементов некоторого конечного множества в соответствии с заданными правилами, т.е. комбинато рика решает задачи выбора элементов из конечного множества и размещения этих элементов в каком-либо порядке.
Размещениями из n – элементов по m – элементов () называются комбинации, составленные из данных n – элементов по m – элементов, которые отличаются друг от друга либо самими элементами либо порядком элементов.
=n(n-1)(n-2)…(n-m+1)
Пример № 1. Сколько трехзначных чисел можно составить из цифр от 1…9?
Решение:
==504
Перестановками из n – элементов называется число размещений из этих n – элементов по n – элементов.
n(n-1)(n-2)…1=n!
Пример № 2. Сколькими способами можно расставить 5 книг на полке?
Решение:
=5!=120
Сочетаниями из n – элементов по m – элементов называются комбинации составленные из данных n – элементов по m – элементов, которые отличаются друг от друга хотя бы одним элементом.
Пример № 3. В группе 30 студентов. Для сдачи зачета их необходимо разбить на три группы. Сколькими способами это можно сделать?
n= 30
m=10
Контрольные вопросы:
1. Обозначьте цели комбинаторики.
2. Что называется числом сочетаний из n элементов по m?
3. Что называется числом размещений из n элементов по m?
4. Что называется перестановкой из n элементов?
Практическая часть:
1. Сколькими способами можно в группе из 25 человек направить 4 студента на научно – практическую конференцию?
2. Десять студентов обменялись рукопожатиями. Сколько было рукопожатий?
3. Сколькими способами можно составить трехцветный полосатый флаг из семи различных по цвету отрезов материи?
4. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было выполнять переводы с любого из пяти языков на любой из них?
5. Вычислите:
6. Вычислите:
7. Вычислите: 5! + 6!
8. Найдите число размещений из 10 элементов по 4.
9. Вычислите:
10. Тридцать студентов обменялись фотокарточками. Сколько всего было фотокарточек?
11. Сколькими способами можно из восьми кандидатов можно выбрать три лица на три должности?
12. Решите уравнение:
13. Вычислите значение выражения:
14. Вычислите значение выражения:
15. Сколькими способами можно составить список из десяти человек?
Литература:
1. Математика: учебник для учреждений нач. и сред. проф. образования / М.И. Башмаков. –М.: Издательский центр «Академия», 2010 г.