Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1.5 Пространственная система сил
Пространственная система сходящихся сил (ПрССС). Проекция силы на три
взаимно перпендикулярные оси. Условия и уравнения равновесия ПрССС
Система сил, линии действия которых расположены как угодно в пространстве, называется пространственной СС.
Пространственная система сил называется сходящейся, если линии действия всех сил системы пересекаются в одной точке (рисунок 1).
Рисунок 1
Если к приложенным в точке А силам и добавить силу , не лежащую в плоскости действия двух первых сил, то получим простейшую в количественном отношении пространственную систему сходящихся сил (см. рисунок 1, а).
Определим равнодействующую этих сил. Сначала построим параллелограмм АВЕС на силах и , его диагональ:. Затем (см. рисунок 1, б) сложим векторс силой и построим параллелограмм АDKЕ, его диагональ: - это векторное равенство выражает правило параллелепипеда: равнодействующая пространственной системы трех сил, сходящихся в одной точке, приложена в той же точке и равна по модулю и направлению диагонали параллелепипеда, ребра которого равны и параллельны заданным силам (см. рисунок 1, в).
Повторив операцию сложения сил раз, можно получить равнодействующую системы, в которую входит n сил; равнодействующая будет равна векторной сумме этих сил, а линия ее действия будет проходить через точку пересечения линий действий составляющих данную систему сил: , т.е. равнодействующая любого числа сходящихся сил, расположенных в пространстве, равна замыкающей стороне многоугольника, стороны которого равны и параллельны заданным силам (правило силового многоугольника).
Силовой многоугольник ПрССС не лежит в одной плоскости, поэтому графический и графоаналитический методы нахождения равнодействующей неприемлемы, а применяется аналитический метод (метод проекций).
В отличие от ПлССС для ПрССС, силы проектируются на три взаимно перпендикулярные оси координат. Сложив алгебраически проекции сил на каждую из осей, получим проекции искомой равнодействующей: ; ; , которые изображают ребра прямоугольного параллелепипеда с диагональю (см. рисунок 2).
Модуль равнодействующей: .
Направление равнодействующей: ; ; ,
где- углы между направлением равнодействующей и положительным направлением осей x, y и z соответственно; ; ; - проекции равнодействующей на оси x, y и z соответственно; ; ; - проекции сил, входящих в систему, на оси x, y и z соответственно.
Рисунок 2 Рисунок 3
Если равнодействующая ПрССС равна нулю , то система сил уравновешена и силовой многоугольник замкнут (геометрическое условие равновесия). При этом должна быть равна нулю каждая из трех проекций равнодействующей, следовательно, аналитические условия равновесия ПрССС выражается тремя уравнениями:
;
;
, т.е. для равновесия ПрССС необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил системы на каждую из трех осей координат были равны нулю.
Момент силы относительно оси
Если к телу, имеющему ось вращения, приложить силу , то она будет стремиться вращать тело вокруг этой оси (рисунок 3). В этом случае действие силы на тело измеряется величиной момента силы относительно оси z .
Момент силы относительно оси равен взятому со знаком «+» или «-» произведению модуля проекции силы на плоскость, перпендикулярную оси вращения () на кратчайшее расстояние от этой проекции до точки пересечения оси с плоскостью (а – плечо): .
Следует помнить, что проекция силы на плоскость – вектор, а проекция силы на ось скалярная величина.
Модуль проекции силы на плоскость , где - угол наклона линии действия силы к плоскости.
Знак момента определяется: если смотреть на плоскость со стороны положительного направления оси, а сила стремится вращать плоскость проекций по часовой стрелке, то момент считают положительным, если против часовой стрелки – отрицательным.
Момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости (рисунок 4), и при этом:
1) сила пересекает ось (см. рисунок 4, а), в этом случае: а=0;
2) сила параллельна оси (см. рисунок 4, б), в этом случае: ;
3) сила действует вдоль оси (см. рисунок 4, в), в этом случае: а=0; .
Рисунок 4
Условия и уравнений равновесия пространственной системы произвольно
расположенных сил (6 уравнений)
Пространственная система сил в общем случае нагружения приводится к одной силе (главный вектор) и одной паре сил с главным моментом . Здесь точка О – центр приведения, расположенный в начале системы координат.
Необходимое и достаточное условие равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил состоит в том, чтобы главный вектор и главный момент системы сил были равны нулю, т.е. ; .
Модуль главного вектора ; модуль главного момента пространственной системы сил относительно т. О - выбранного центра приведения (приводится без доказательства):
,
где ; ; - алгебраические суммы моментов всех сил системы относительно трех любых взаимно перпендикулярных осей с началом координат в центре приведения.
Тогда условия равновесия пространственной системы можно записать в следующем виде:
; , т.е. для равновесия пространственной системы произвольно расположенных сил необходимо и достаточно, чтобы алгебраические суммы проекций всех сил системы на каждую из трех произвольно выбранных, но не лежащих в одной плоскости координатных осей, и алгебраические суммы моментов всех сил системы относительно каждой из трех таких осей были равны нулю:
;
; ;
; .
Таким образом, шести степеням свободы тела соответствуют шесть уравнений равновесия.
Условия и уравнений равновесия пространственной системы параллельных
сил (3 уравнения)
Если на свободное тело действует пространственная система параллельных сил (например, параллельных оси z, см. рисунок 5), то условия равновесия принимают вид:
; .
Остальные три условия равновесия будут представлять тождества, так как проекции всех сил такой системы на оси x и y равны нулю и моменты всех сил относительно оси z равны нулю.
Рисунок 5 Рисунок 6 Рисунок 7
Статически неопределимые задачи
Задачи, в которых число неизвестных величин не превышает числа независимых уравнений равновесия, предлагаемых статикой твердого тела для данного случая расположения сил, называются статически определимыми, в противном случае статически неопределимыми.
К числу статически неопределимых балок относятся не только балки, лежащие на трех и более опорах, но и, например, балка, лежащая на двух шарнирно-неподвижных опорах и нагруженная силами, не перпендикулярными к оси балки (рисунок 6). Число неизвестных реакций - четыре, а уравнений статики для сил, произвольно расположенных на плоскости, - три.
Другой пример, груз подвешен на трех нитях, расположенных в одной плоскости (рисунок 7). Неизвестных по модулю сил – три, а независимых уравнений для плоской системы сходящихся сил – два.
Контрольные вопросы по теме:
1) Что называется пространственной системой сил?
2) Сформулируйте правило параллелепипеда.
3) Чем выражается аналитическое условие равновесия ПрССС?
4) Чему равен момент силы относительно оси?
5) Назовите необходимое и достаточное условие равновесия ППРСС.
PAGE 1