ПО ТЕМЕ ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2015-07-05
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
ИНДИВИДУАЛЬНЫЕ ЗАДАНИЯ ПО ТЕМЕ «ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА. МЕТОД КООРДИНАТ НА ПЛОСКОСТИ»
Задача №1.
- В треугольнике АВС точки А1, В1, С1 середины сторон ВС, АС, АВ соответственно. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- Точка М середина стороны ВС параллелограмма АВСД. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В трапеции АВСД (АД || ВС) АД=2ВС. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В треугольнике АВС точки М и Р середины сторон АВ и ВС соответственно. Точка О- середина отрезка МР. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- Точки М и Е середины сторон ВС и АВ соответственно параллелограмма АВСД. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В треугольнике АВС точки М и Д середины сторон АВ и АС соответственно. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В трапеции АВСД (АД || ВС, АД=2ВС) точка М середина стороны СД. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В треугольнике АВС точки М, Р и К середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. Точка О середина отрезка МР. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- Точки М и Е середины сторон ВС и АВ соответственно параллелограмма АВСД. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В трапеции АВСД (АД || ВС, АД=2ВС) точка М середина стороны СД. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В треугольнике АВС точки К, М, Р середины сторон АС, АВ и СВ соответственно. О и О1 точки пересечения КВ с МР и АР соответственно. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- Дан треугольник АВС, О- точка пересечения его медиан, М, Р и К- середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- Дан параллелограмм АВСД. Точка М делит сторону АВ в отношении 1:2, считая от вершины А. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В треугольнике АВС точки А1, В1, С1 середины сторон ВС, АС, АВ соответственно. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- Точка М середина стороны ВС параллелограмма АВСД. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В трапеции АВСД (АД || ВС) АД=2ВС. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В треугольнике АВС точки М и Р середины сторон АВ и ВС соответственно. Точка О- середина отрезка МР. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- Точки М и Е середины сторон ВС и АВ соответственно параллелограмма АВСД. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В треугольнике АВС точки М и Д середины сторон АВ и АС соответственно. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В трапеции АВСД (АД || ВС, АД=2ВС) точка М середина стороны СД. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В треугольнике АВС точки М, Р и К середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. Точка О середина отрезка МР. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- Точки М и Е середины сторон ВС и АВ соответственно параллелограмма АВСД. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В трапеции АВСД (АД || ВС, АД=2ВС) точка М середина стороны СД. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- В треугольнике АВС точки К, М, Р середины сторон АС, АВ и СВ соответственно. О и О1 точки пересечения КВ с МР и АР соответственно. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- Дан треугольник АВС, О- точка пересечения его медиан, М, Р и К- середины сторон АВ, ВС и АС соответственно. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
- Дан параллелограмм АВСД. Точка М делит сторону АВ в отношении 1:2, считая от вершины А. Полагая , , выразить вектор через векторы и .
Задача №2
Образуют ли векторы и базис пространства векторов плоскости? Если да, то найти координаты вектора в этом базисе. Сделать проверку.
- (1,2), (-1, 1), (4,3);
- (4,1), (3, -2), (1,1);
- (-1,2), (-2, 5), (-4,2);
- (3,-1), (-3, 4), (2,2);
- (2,2), (-5, 1), (-1,3);
- (4,2), (-3, 1), (-3,0);
- (1,-2), (1, -3), (5,2);
- (-5,3), (2, 1), (4,4);
- (-2,1), (-4, 3), (3,-1);
- (-3,-2), (1, 5), (3,3);
- (5,-2), (1, 1), (2,3);
- (3,2), (-1, -5), (4,1);
- (1,-3), (2, -1), (-2,-3);
- (1,2), (-1, 1), (4,3);
- (4,1), (3, -2), (1,1);
- (-1,2), (-2, 5), (-4,2);
- (3,-1), (-3, 4), (2,2);
- (2,2), (-5, 1), (-1,3);
- (4,2), (-3, 1), (-3,0);
- (1,-2), (1, -3), (5,2);
- (-5,3), (2, 1), (4,4);
- (-2,1), (-4, 3), (3,-1);
- (-3,-2), (1, 5), (3,3);
- (5,-2), (1, 1), (2,3);
- (3,2), (-1, -5), (4,1);
- (1,-3), (2, -1), (-2,-3).
Задача №3
Найти длину вектора
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9. =+3, если =2, =4, ∠(,)=.
10. =4-5, если =3, =2, ∠(,)=.
11. =2-3, если =1, =3, ∠(,)=.
12. =3+4, если =2, =4, ∠(,)=.
13. =4-3, если =3, =2, ∠(,)=.
14.
15.
16.
17.
18.
19.
20.
21.
22. =+3, если =2, =4, ∠(,)=.
23. =4-5, если =3, =2, ∠(,)=.
24. =2-3, если =1, =3, ∠(,)=.
25. =3+4, если =2, =4, ∠(,)=.
26. =4-3, если =3, =2, ∠(,)=.
Задача №4
Выяснить, являются ли точки А, В, С, заданные своими координатами в прямоугольной системе координат, вершинами треугольника? Если да, то определить вид треугольника; вычислить длины медианы, биссектрисы и высоты, проведенных из вершины А. Результаты вычислений проверить построением фигуры в заданной системе координат.
- А (0,0), В (2,0), С (1,);
- А (8,0), В (1,-1), С (3,);
- А (2,3), В (4,-1), С (8,);
- А (-1,-1), В (1,1), С (2,2);
- А (1,-1), В (2,1), С (-1,3);
- А (0,5), В (12,0), С (18,8);
- А (8,0), В (-4,2), С (-8,2);
- А (1,5), В (13,0), С (19,8);
- А (1,6), В (-6,-4), С (-10,-1);
- А (-1,5), В (11,0), С (17,8);
- А (6,5), В (-6,0), С (-10,3);
- А (1,-1), В (2,2), С (3,1);
- А (1,1), В (2,2), С (1,3);
- А (0,0), В (2,0), С (1,);
- А (8,0), В (1,-1), С (3,);
- А (2,3), В (4,-1), С (8,);
- А (-1,-1), В (1,1), С (2,2);
- А (1,-1), В (2,1), С (-1,3);
- А (0,5), В (12,0), С (18,8);
- А (8,0), В (-4,2), С (-8,2);
- А (1,5), В (13,0), С (19,8);
- А (1,6), В (-6,-4), С (-10,-1);
- А (-1,5), В (11,0), С (17,8);
- А (6,5), В (-6,0), С (-10,3);
- А (1,-1), В (2,2), С (3,1);
- А (1,1), В (2,2), С (1,3);
Задача № 5.
(Решить векторным методом и методом координат).
- Найти угол между медианами катетов равнобедренного прямоугольного треугольника, обращенный к гипотенузе.
- Доказать, что во всяком прямоугольном треугольнике сумма квадратов длин медиан составляет от квадрата длины его гипотенузы.
- Найдите длину биссектрисы прямого угла треугольника со сторонами 3, 4 и 5.
- На гипотенузе АВ прямоугольного треугольника АВС взята точка D, удовлетворяющая условно BD : DA= m : n. Выразите длину отрезка CD через длины катетов СВ=а, СА= b.
- Дан треугольник АВС, в котором С = 900, CD- высота. Доказать, что медианы АМ и СР в треугольниках ADC и DBC перпендикулярны.
- Дан равнобедренный прямоугольный треугольник АВС (С= 900). Построены медиана АМ и отрезок CD (DАВ), перпендикулярный медиане АМ. Найти отношение BD : DA.
- Катеты прямоугольного треугольника равны 3 и 4. Определите расстояние от точки М, лежащей на гипотенузе, до катетов, если сумма этих расстояний равна m.
- Внутри прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С взята точка М так, что треугольник АМВ, ВМС и АМС равновелики. Докажите, что 5 МС2= МВ2+ МА2.
- В прямоугольном треугольнике АВС длина катета АВ равна 21, а длина катета ВС равна 28. Окружность, центр О которой лежит на гипотенузе АС, касается обоих катетов. Найти радиус окружности.
- Через середину гипотенузы прямоугольного треугольника проведен перпендикуляр. Отрезок этого перпендикуляра, заключенный внутри треугольника, равен 3см., а вне треугольника (до пересечения с продолжением другого катета) 9см. Найти длину гипотенузы.
- Из середины катета прямоугольного треугольника опущен перпендикуляр на гипотенузу. Доказать, что разность квадратов отрезков гипотенузы равна квадрату второго катета.
- В прямоугольном треугольнике АВС с катетами АС = 12 см и ВС=6 см медиана АА1 и биссектриса CD пересекаются в точке Н. Найти расстояние СН.
- Основание равнобедренного треугольника равно 4см., медиана к боковой стороне равна 5см. Найти боковую сторону.
- Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4см., медиана, проведенная к боковой стороне, равна 3 см. Найти основание треугольника.
- Основание равнобедренного треугольника 8см., а боковая сторона 12см. Вычислить длину отрезка, соединяющего точки пересечения биссектрис углов при основании с боковыми сторонами треугольника.
- На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка М. Доказать, что скалярное произведение векторов и равно ВС2- СМ2.
- Основание АВ и высота CD равнобедренного треугольника АВС соответственно равны 3 и 4. Через вершины А и В и середину М высоты CD треугольника проведены прямые, пересекающие боковые стороны в точках К и Р. вычислить площадь треугольника СКР.
- В равнобедренном треугольнике АВС (АС= ВС) проведена высота CD. Середина М отрезка DЕ соединена с вершиной С. доказать, что отрезок СМ перпендикулярен АЕ.
- В равнобедренном треугольнике АВС(АВ= ВС) на стороне ВС взята точка D так, что BD : DC= 1 : 4. В каком отношении прямая AD делит высоту ВЕ треугольника АВС, считая от вершины В.
- Основание равнобедренного треугольника равно 12 см., а боковая сторона 18см. к боковым сторонам проведены высоты. Вычислить длину отрезка, концами которого служат основания высот.
- На основании АВ равнобедренного треугольника АВС взята точка К так, что АК= а, ВК=b. Найти СК, если АС= р.
- Точка М лежит внутри равностороннего треугольника АВС. Вычислить площадь этого треугольника, если известно, что АМ=ВМ=2см., СМ=1см.
- В правильном треугольнике АВС с длиной стороны, равной 20см, на средней линииMN(MAB, NCB) взята точка К. Прямая АК пересекает ВС в точке D. Найти AD, МК : КN = 1 : 2.
- Три отрезка длиной соответственно 3, 4 и 5 см. соединяют внутреннюю точку Р равностороннего треугольника с его вершинами. Чему равна длина стороны этого треугольника?
- Внутри равностороннего треугольника АВС взята точка О так, что ОА= , ОВ=, ОС= . Вычислить скалярное произведение векторов и .
- В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС=8) точка Е делит боковую сторону АВ в отношении 3 : 1(считая от вершины В). Найти угол между векторами и , если СА=12.