Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Одним из методов решения дифференциальных уравнений в частных производных является метод сеток.
Уравнение теплопроводности.
Рассмотрим задачу нахождения непрерывной на замкнутом прямоугольнике D={0xl, 0yY} функции u(x, y), удовлетворяющей уравнению теплопроводности
, (*)
если заданы начальные условия:
,
где f(x, y), (x), p(y), s(y) –заданные, функции (n раз дифференц.) такие что
.
Поставленная задача называется смешанной, поскольку содержит как начальное, так и краевые условия.
Идея метода заключается в следующем.
Разобьём отрезки [0, l] оси х и [0; T] оси у соответственно на n и n1 равных частей и введём обозначения: . Через точки деления проведём прямые , параллельные соответствующим осям. В результате область D разобьётся на прямоугольники с вершинами (хi, yi), где xi=(i-1)h, i=1,n+1, уi=(j-1), i=1,n1+1.
Множество вершин прямоугольников называется сеткой, а отдельные вершины – узлами сетки. Узлы, имеющие одинаковый индекс j, образуют j слой. Числа h и называют шагами сетки соответственно по переменным х и у.
y
По определению частная производная равна
Если рассматривать функцию только в узлах сетки, то частную производную можно записать в форме
где узел соответствует точке .
Полученное выражение называется правой конечной разностью. Название связано с тем, что для вычисления производной в точке используются значение функции в этой точке и точке, лежащей правее. Очевидно, что сходное выражение можно было бы получить, используя точку, лежащую слева.
Такое выражение называется левой конечной разностью. Можно получить центральную конечную разность, найдя среднее этих выражений.
Теперь получим выражения для вторых производных.
В данном случае для нахождения производной мы использовали симметричные точки. Однако, очевидно, можно было бы использовать точки с несимметричным расположением.
Заменяя производные, входящие в уравнение (*) разностными отношениями, получим конечно-разностные уравнения
(**)
либо
. (***)
Эти уравнения аппроксимируют исходное дифференциальное уравнение в узле сетки (хi, уi) с погрешностью порядка О(h2+).
Для получения первого уравнения была использована конфигурация узлов (1), а для второго (2).
Тогда во внутренних точках сетки решение можно искать в явном виде по схеме (из уравнения (**)
|
x y |
x1 |
x2 |
… |
xn |
|
y1 |
U1,1 |
U1,2 |
… |
U1,n |
|
y2 |
U2,1 |
U2,2 |
… |
U2,n |
|
y3 |
U3,1 |
U3,2 |
… |
U3,n |
Неявная схема решения
Перепишем уравнение (***) в виде
.
Т. о. решение на j-ом слое представляется через решение на j-1 слое. Её решение на j-ом слое осуществляется так же как решение ОДУ 2 порядка, т.е. сводятся к решению системы линейных уравнений с 3-х диагональной матрицей.
Поэтому р.с. называют неявной.
Явная расчётная схема является устойчивой при условии , а неявная р.с. при любом соотношении шагов h и . Поэтому неявная р.с называется условно устойчивой, а неявная абсолютно устойчивой.
Для решения уравнений Пуассона и Лапласа (частный случай, когда ) – уравнений эллиптического типа – предназначена функция relax(a, b, c, d, e, f, u, rjac), реализующая метод релаксации. Фактически, эту функцию можно использовать для решения эллиптического уравнения общего вида
которое может быть сведено к уравнению в конечных разностях
В частности, для уравнения Пуассона коэффициенты .
Идея метода релаксации заключается в следующем. Если нет источников (уравнение Лапласа), то значение функции в данном узле на текущем шаге определяется как среднее значение функции в ближайших узлах на предыдущем шаге k
При наличии источников разностная схема имеет вид
Метод релаксации сходится достаточно медленно, так как фактически он использует разностную схему с максимально возможным для двумерного случая шагом .
В методе релаксации необходимо задать начальное приближение, то есть значения функции во всех узлах области, а так же граничные условия.
Функция relax возвращает квадратную матрицу, в которой:
Эта функция использует метод релаксации для приближения к решению.
Вы должны использовать функцию relax, если Вы знаете значения искомой функции u(x, y) на всех четырех сторонах квадратной области.
Аргументы:
a, b, c, d, e – квадратные матрицы одного и того же размера, содержащие коэффициенты дифференциального уравнения.
f – квадратная матрица, содержащая значения правой части уравнения в каждой точке внутри квадрата
u – квадратная матрица, содержащая граничные значения функции на краях области, а также начальное приближение решения во внутренних точках области.
rjac – Параметр, управляющий сходимостью процесса релаксации. Он может быть в диапазоне от 0 до 1, но оптимальное значение зависит от деталей задачи.
Задаем правую часть уравнения Пуассона – два точечных источника
Задаем значения параметров функции relax
Задаем граничные условия и начальное приближение – нули во всех внутренних точках области
Находим решение
и представляем его графически в виде поверхности и линий уровней.
Если граничные условия равны нулю на всех четырех сторонах квадрата, можно использовать функцию multigrid.
Алгоритм метода достаточно громоздкий, поэтому рассматривать его мы не будем.
x
yyi
xi
(xi, yi)
y
yh
l
T
(i,j)
(i-1,j)
(i+1,j)
(i,j+1)
(i,j)
(i-1,j)
(i+1,j)
(i,j-1)