Линейные операции с векторами Векторы связанные равенством называются коллинеарными

Работа добавлена на сайт samzan.net:

2.1. Линейные операции с векторами

Векторы, связанные равенством , называются коллинеарными. При n = 2 координаты коллинеарных векторов связаны соотношениями и . Если , то векторы и называются линейно независимыми, и образуют базис. Любой вектор может быть единственным образом (пункт 1.7) разложен по векторам базиса, т.е. представлен линейной комбинацией векторов и : .
Например, векторы образуют базис ( ) и вектор можно записать следующим образом

При n = 3 векторы , и линейно независимы (образуют базис), если выполняется неравенство . Любой вектор может быть единственным образом представлен линейной комбинацией векторов базиса:
.

Например, векторы образуют базис ( ) и вектор можно представить в виде
.

Пример. При каких значениях k векторы (–1, 4) и (2, k) коллинеарны?
. Векторы и коллинеарны, если k = –8.
Пример. Доказать, что векторы образуют базис и разложить по этому базису вектор .
– векторы образуют базис.

.

2.2. Векторы в декартовой системе координат

Прямоугольная декартова система координат в пространстве образуется тремя взаимно перпендикулярными осями координат Ox, Oy и Oz. Оси пересекаются в точке O, которая называется началом координат. На каждой оси выбрано положительное направление (указанное стрелками), и единица измерения отрезков на осях. Положение точки Р в пространстве определяется тремя координатами (рис. 2.1): абсциссой xР, ординатой yР и аппликатой zр.

Рис. 2.1

Рис. 2.2

координат точек, задающих вектор (рис. 2.2), называются проекциями вектора на соответствующие оси. Свободный вектор может быть задан матрицей-столбцом (матрицей-строкой) проекций

.
Замечание. Вектор на плоскости 0xy задается двумя проекциями. Два направленных отрезка и (рис 2.3), имеющие одинаковые длины и направления (рис 2.3), считаются одинаковыми векторами.

Рис. 2.3

Геометрическим вектором называется направленный отрезок, исходящий из точки P(хP, уP, zP) и заканчивающийся в точке F(хF, уF, zF) (рис. 2.2).

Радиус-вектор точки А (рис 2.4) имеет начало в точке О: .

Рис. 2.4

Модуль вектора (длина отрезка ОА): .

Направляющие косинусы вектора определяют направление отрезка ОА:
, , ; cos2a + cos2b + cos2g = 1.

Вектор (0; 0; 0), модуль которого равен 0, называется нулевым вектором. Направление такого вектора не определено.

Замечание. Вектор на плоскости 0xy (рис. 2.5) задается двумя координатами: .

Рис. 2.5

При умножении вектора на число λ новый вектор сохраняет направление при λ > 0 и меняет его на противоположное при λ < 0. Модуль вектора увеличивается в λ раз при |λ| > 1 и уменьшается при |λ| < 1. Орт – вектор, длина которого равна единице. Например, – орт (нормированный вектор), направленный одинаково с исходным вектором, т.к. .
Сложение свободных векторов производится по правилу треугольника (рис. 2.6а), которое можно обобщить на любое количество слагаемых (рис. 2.6б).

Рис. 2.6а

Рис. 2.6б

Два свободных вектора коллинеарны, если они лежат на параллельных (или совпадающих) прямых. Сумма двух неколлинеарных векторов, приведенных к общему началу (рис. 2.7а), есть направленный отрезок, исходящий из общего начала и совпадающий с диагональю параллелограмма, построенного на этих векторах (правило параллелограмма). На другой диагонали параллелограмма (рис. 2.7б) можно построить разность векторов , т.к. .

Рис. 2.7а

Рис. 2.7б

Векторы называются компланарными, если они расположены в параллельных или совпадающих плоскостях. Сумма трех некомланарных векторов, приведенных к общему началу (рис. 2.8), есть направленный отрезок, совпадающий с диагональю параллелипипеда, построенного на этих векторах.

Рис. 2.8

Рис. 2.11

Замечание. Вектор на плоскости 0xy (рис. 2.12) может быть представлен в виде (рис. 2.9), где .

Рис. 2.12

Рис. 2.9

Замечание. На плоскости вектор можно представить линейной комбинацией неколлинарных векторов , расположенных в той же плоскости (рис. 2.10).

Рис. 2.10

Вектор можно записать в виде ,
где – орты, направленные по осям 0x, 0y, 0z соответственно.

Вектор, заданный координатами точек (рис. 2.13) его начала А(хА; уА; zА) и конца В(хВ; уВ; zB), можно связать с радиус-векторами этих точек: .

Рис. 2.13

Углом между векторами называется угол α (0 ≤ α ≤ π), образованный лучами, определяющими направление векторов. Если угол между векторами равен π/2, то векторы называются ортогональными.

Если , то векторы и коллинеарны, т.е. параллельны некоторой прямой. При λ < 0 векторы и противоположно направлены, следовательно, угол между ними равен π.

Пример. Найти координаты xM; yM точки М – середины отрезка АВ , если А(1; 2) и В(4; –2).
, ,
.
Замечание. Координаты середины отрезка можно вычислить по формулам .
Пример. Найти длину отрезка АВ , если А(1; 2) и В(4; –2).
, = .
Пример. Найти значение параметра k, если расстояние между точками А(1; 2) и В(k; –2) равно 5.
,
= = = .
= 5 Þ k2 – 2k + 17 = 25 Þ k2 – 2k – 8 = 0 =>
k1 = 4, k2 = –2.
Пример. Найти направляющие косинусы вектора .
– модуль вектора,
, – направляющие косинусы вектора.
Пример. Найти вектор , коллинеарный вектору направленный противоположно такой, что , если А(–1; 4; 7), В (1; 3; 5).
,
,
,
.

1.3. Обратная матрица

Квадратная матрица Е называется единичной, если ее элементы

при i = j
при i ≠ j.

Например, или .
Если матрицы Е и А можно перемножить, то Е×А = А, А×Е = А.

Если определитель квадратной матрицы А равен нулю (detА = 0), то матрица называется вырожденной (особой). Если определитель квадратной матрицы отличен от нуля (detА≠ 0), то существует такая матрица А-1, что А-1А = АА-1 = Е.

Матрица А-1называется обратной матрице А и вычисляется по формуле:

А-1 = ,
где Аij – алгебраические дополнения элементов аij матрицы А (пункт 1.2).

Пример. Найти матрицу А-1, обратную матрице А = . Сделать проверку.
detА =  = 4×(–1) – (–2)×1 = –2 ≠ 0 .

А11 = (–1)1+1(–1) = –1;   А21 = (–1)2+1(–2) = 2;
А12 = (–1)1+2(1) = –1;     А22 = (–1)2+2(4) = 4.
А-1 =  = =.
Проверка:
А-1А = ==
= == Е.

Пример. Используя матричные операции, выразить z1, z2 через x1, x2 , если и .

Введем матрицы:

Y = , Z = , X = , A = , B = . Тогда
Y = A×Z, Y = B×X   =>   A-1×Y = A-1×A×Z, Y = B×X   =>
A-1×Y = Е×Z, Y = B×X   =>   Z =A-1×Y, Y = B×X   =>   Z =A-1×B×X.
=   =   =
.

1.4. Ранг матрицы

Пусть в матрице А выбраны r-строк и r-столбцов. Минором порядка r называется определитель, составленный из чисел, стоящих на пересечении выбранных строк и столбцов. Минор порядка r называется базисным, если он отличен от нуля, а все миноры порядка r + 1 равны нулю (или отсутствуют в матрице в случае, если r + 1 > m или r + 1 > n).
Замечание. В матрице может быть несколько различных базисных миноров, имеющих одинаковый порядок.

Рангом матрицы (r(А), rangА) называется порядок базисного минора.

Не меняют ранга матрицы элементарные преобразования матрицы:

транспонирование, т.е. перемена местами строк и столбцов;

умножение элементов какой-либо строки (или столбца) матрицы на произвольное число λ≠0;

прибавление к элементам какой-либо строки (или столбца) матрицы соответствующих элементов другой строки (или столбца);

перемена местами двух строк (или столбцов);

удаление нулевых строк или столбцов.

Пример. Установить ранг матрицы А =.
Минор порядка 1 (выбраны 1-ая строка и 1-ый столбец): 5 ≠ 0.

Минор порядка 2 (выбраны 1-ая, 2-ая строки и 1-ый, 2-ая столбцы):
= 5×0 – (–1)×2 = 2 ≠ 0.

Минор порядка 3: = 0.

Существует минор второго порядка, отличной от нуля, при этом единственный минор третьего порядка равен нулю, следовательно, rangА = 2.
Пример. Найти ранг матрицы А = .
Минор порядка 1: 2 ≠ 0.

Минор порядка 2: = 2×6 ≠ 0.

Минор порядка 3: = 2×6×9 ≠ 0.

Все миноры порядка 4 имеют нулевую строку и равны нулю (пункт 1.2), следовательно, rangА = 3.
Замечание. Матрица А называется ступенчатой. Ранг ступенчатой матрицы равен числу строк, не все элементы которых равны нулю.

Пример. Найти ранг матрицы А = .

Если поменять местами две последних строки, то матрица принимает ступенчатую форму с двумя ненулевыми строками, следовательно, rangА = 2.

1.5. Метод Гаусса

Метод Гаусса решения систем линейных уравнений состоит в последовательном исключении неизвестных.

Системы m линейных уравнений с n неизвестными имеют вид: <=> АХ = В, где А = – матрица системы;
Х = – матрица-столбец неизвестных;
В = – матрица-столбец свободных членов системы.

Расширенной матрицей системы называется матрица
Aр =

Последовательное исключение неизвестных эквивалентно приведению расширенной матрицыАр системы к ступенчатой с помощью элементарных преобразований над строками (пункт 1.4). Система называется определенной, если она имеет только одно решение и неопределенной, если имеет бесконечно много решений.

Возможны три случая, приведенных в таблице 1.1:

1) система имеет единственное решение;

2) система имеет бесконечно много различных решений;

3) система не имеет решений (несовместна).

Таблица 1.1

Эквивалентная ступенчатая расширенная матрица системы	Пример
1.
2. ,r < n.
3. , .

Пример. Решить систему уравнений .

Aр=~~

~ ~ ~

~	Система совместна и имеет единственное решение.

Пример. Решить систему уравнений .

Aр = ~ ~ ~
~ ~

Система несовместна.

1.6. Теорема Кронекера–Капелли

Для того чтобы система линейных уравнений была совместна (имела решение), необходимо и достаточно, чтобы ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы системы,
rangA = rangAр.

Если ранг r матрицы совместной системы линейных уравнений равен числу неизвестных n, то система имеет единственное решение. Если ранг матрицы совместной системы линейных уравнений меньше числа неизвестных, то система имеет бесконечное множество решений. При этом n – r неизвестным (свободным) можно присвоить любые значения. Остальные неизвестные (базисные), соответствующие столбцам базисного минора, вычисляются через свободные.

Пример. Решить систему уравнений .

Матрица системы: A =, расширенная матрица: Aр =. Миноры второго порядка этих матриц , , равны нулю. Ранг матрицы системы был равен рангу расширенной матрицы
r = rangA = rangAр = 1.

Система совместна. Из двух неизвестных х1, х2, одна, например х2, является свободной. Если х2 = a (a – любое число), то х1 = 5 – 2a.

Пример. При каких А и В система имеет бесконечно много решений?

Система имеет бесконечно много решений, если миноры и равны нулю. Следовательно, .

Пример. Сколько свободных неизвестных в системе уравнений

?

Три первых строки и столбца образуют базисный минор .

Ранги матрицы и расширенной системы системы совпадают (r = 3). Количество неизвестныхn = 5, следовательно, две неизвестных (n – r = 2) являются свободными, а три, например, , базисными.

1.7. Крамеровские системы линейных уравнений

Системы,
<=> АХ = В, (пункт 1.5).
у которых число уравнений равно числу неизвестных и определитель матрицы системы detАотличен от нуля (крамеровские системы), имеют единственное решение. Корни системы могут быть найдены не только по методу Гаусса (пункт 1.5), но и с помощью обратной матрицы или по формулам Крамера.

После умножения системы АХ = В на обратную матрицу А-1 (пункт 1.3), получаем решение, записанное в матричной форме: А-1АХ = А-1В <=> Е×Х = А-1В <=> Х = А-1В.

Решение системы может быть также найдено по формулам Крамера:

хj = , j = ,
где Δ = ¹ 0,
Δj – частные определители системы, получающиеся из определителя Δ заменой j-го столбца столбцом свободных членов.

Пример. Решить систему уравнений , используя обратную матрицу.
Для А =  обратная матрица имеет вид: А-1 =  (пункт 1.3). Следовательно,
= Х = А-1×В =   =>
х1 = 1, х2 = 2.
Пример. Решить систему уравнений  по формулам Крамера и сделать проверку.
Δ =  = 22 ¹ 0,   Δ1 =  = 2,   Δ2 =  = 16.

х1 = , х2 = .

Проверка: ; .

Пример. Решить систему уравнений
Δ =   = – 14 ¹ 0,       Δ1 =  = –10,
Δ2 =  = 26,               Δ3 =  = 6.
х1 = ,   х2 = ,   х3 =

1.8. Однородные системы линейных уравнений

Однородная система всегда совместна, т. к. существует нулевое (тривиальное) решение х1 = x2 = x3 = … = xn = 0. Решения, отличные от тривиального, существуют, если rangА < n (или detА = 0 при m = n).

Пример. Имеет ли система нетривиальные решения?
detА . Система имеет нетривиальные решения.

1.9. Собственные числа матриц

Если существует ненулевой столбец Х такой, что выполняется равенство АХ = λХ, то число λ называется собственным числом, а Х – собственным столбцом (вектором) квадратной матрицы А.

Матричное равенство равносильно однородной системе

Условие существования решений системы, отличных от тривиального (пункт 1.8), определяетсяхарактеристическим уравнением

Пример. Найти собственные числа матрицы А = .

Характеристическое уравнение матрицы А = 0
=>          λ3 – 18λ2 + 99λ − 162 = 0
=>          (λ – 3)(λ2 – 15λ + 54) = 0
=>          (λ – 3)(λ – 6)(λ – 9)= 0.

Собственные числа матрицы А: λ1 = 3, λ2 = 6, λ3 = 9.

Пример. Найти собственные столбцы (векторы) матрицы А = .
= 0 => 5 – λ – 5λ + λ2 + 3 = 0 => λ2 – 6λ + 8 = 0.

Собственные числа матрицы А: λ1 = 2, λ2 = 4.

При λ1 = 2 равносильная однородная система принимает вид

Ненулевое решение системы, например, и .

Тогда собственный вектор матрицы А: Х

При λ2 = 4 равносильная однородная система принимает вид

Ненулевое решение системы, например, и .

Тогда собственный вектор матрицы А: Х

1.10. Комплексные числа и действия над ними

i – мнимая единица (i2 = –1).
z = x + iy – алгебраическая форма записи комплексного числа.

Каждому комплексному числу z = x + iy соответствует точка (x, y) комплексной плоскости (рис. 1.3).

Рис. 1.3

– модуль комплексного числа.
j = – аргумент комплексного числа.
Rez = x = r×cosj – вещественная часть комплексного числа.
Imz = y = r×sinj – мнимая часть комплексного числа.
r×(cosj + isinj) – тригонометрическая форма записи комплексного числа.

cosj + isinj – формула Эйлера.
– показательная форма записи комплексного числа.
– комплексное число, сопряжённое числу z = x + iy.

λz = λx + iλy;
z1 + z2 = (x1 + x2) + i(y1 + y2);
z1z2 = (x1x2 – y1y2) + i(x1y2 + x2y1),
z1×z2 =r1×r2×(cos(j1 + j2) + isin(j1 + j2))= r1×r2×;
= x2 + y2;
= =
== ;
zn =rn×(cosnφ+isinnφ) = rn×einj;
; k=0, 1,..., n–1.

Пример. Решить уравнение .
.

Уравнение имеет комплексные корни .

Пример. Найти модуль комплексного числа z, если Imz =10 и .
. .
Пример. Найти модуль и аргумент комплексного числа z = –3 + 3i (рис. 4.2), записать его тригонометрическую и показательную формы.

,
.
,
Рис. 1.4

z = .

Пример. Вычислите , , , , если .
=>  .
;
;
;
.
Пример. Записать в алгебраической форме z1×z2 и ,
если z1 = 1 – i, z2 = 2 + i.
z1×z2 = (1 – i)(2 +i) = 2 – 2i + i – i2 = 2 – 2i + i + 1 = 3 – i;
.
Пример. Найти вещественную и мнимую части комплексного числа z = (1 + i)2.
(1 + i)2 = 1 + 2i + i2 = 1 + 2i –1 = 2i   =>   Rez = 0, Imz = 2.
Пример. Найти значение  в точке .
.

Пример. Найти  и , если z = –3 + 3i(рис. 4.2).
z =  = ;
=  =  =  =
= 18(0 + i (–1)) = –18i;
=  = , (k = 0; 1; 2).
При k = 0: z1 =  = » 1,145 + i×1,145.
При k = 1:
z2 =  = » –1,564 + i×0,419.
При k = 2:
z3 =  = » 0,419 – i×1,564.

2.1. Линейные операции с векторами

Вектором называется упорядоченный набор n чисел (n > 1). Эти числа (скаляры) называются компонентами или координатами вектора, а величина n – размерностью вектора. Вектор можно задавать как матрицей-столбцом, так и матрицей-строкой. Например, или .

Два вектора равны, если у них одинакова размерность и все их координаты совпадают. Например, при n = 2

Линейные операции с векторами аналогичны таким же операциям с матрицами:

λ – число.

Например, векторы образуют базис ( ) и вектор можно представить в виде
.

Пример. При каких значениях k векторы (–1, 4) и (2, k) коллинеарны?
. Векторы  и  коллинеарны, если k = –8.
Пример. Доказать, что векторы  образуют базис и разложить по этому базису вектор .
  – векторы  образуют базис.

.

2.2. Векторы в декартовой системе координат

Рис. 2.1

Геометрическим вектором называется направленный отрезок, исходящий из точкиP(хP, уP, zP) и заканчивающийся в точке F(хF, уF, zF) (рис. 2.2).

Рис. 2.2

Два направленных отрезка (два свободных вектора) считаются равными, если они имеют одинаковую длину, лежат на параллельных (или совпадающих) прямых и одинаково направлены. Если начала одинаковых свободных векторов совместить, то их концы также совместятся. Разности координат точек, задающих вектор (рис. 2.2), называются проекциями вектора на соответствующие оси. Свободный вектор может быть задан матрицей-столбцом (матрицей-строкой) проекций
.
Замечание. Вектор на плоскости 0xy задается двумя проекциями. Два направленных отрезка и (рис 2.3), имеющие одинаковые длины и направления (рис 2.3), считаются одинаковыми векторами.
.

Рис. 2.3

Радиус-вектор точки А (рис 2.4) имеет начало в точке О: .

Рис. 2.4

Модуль вектора (длина отрезка ОА): .

Направляющие косинусы вектора определяют направление отрезка ОА:
, , ; cos2a + cos2b + cos2g = 1.

Вектор (0; 0; 0), модуль которого равен 0, называется нулевым вектором. Направление такого вектора не определено.

Замечание. Вектор на плоскости 0xy (рис. 2.5) задается двумя координатами: .

Рис. 2.5

Рис. 2.6а

Рис. 2.6б

Рис. 2.7а

Рис. 2.7б

Любой вектор может быть единственным образом (пункт 2.1) представлен линейной комбинацией некомпланарных векторов (рис. 2.9).

Рис. 2.9

Рис. 2.10

Вектор можно записать в виде ,
где – орты, направленные по осям 0x, 0y, 0zсоответственно.

Рис. 2.11

Замечание. Вектор на плоскости 0xy (рис. 2.12) может быть представлен в виде (рис. 2.9), где .

Рис. 2.12

Рис. 2.13

Пример. Найти координаты xM; yM точки М – середины отрезка АВ , если А(1; 2) и В(4; –2).
, ,
.
Замечание. Координаты середины отрезка можно вычислить по формулам .
Пример. Найти длину отрезка АВ , если А(1; 2) и В(4; –2).
,  = .
Пример. Найти значение параметра k, если расстояние между точками А(1; 2) и В(k; –2) равно 5.
,
=  =  = .
= 5   Þ   k2 – 2k + 17 = 25   Þ   k2 – 2k – 8 = 0 =>
k1 = 4, k2 = –2.
Пример. Найти направляющие косинусы вектора .
  – модуль  вектора,
,  – направляющие косинусы вектора.
Пример. Найти вектор , коллинеарный вектору  направленный противоположно  такой, что , если А(–1; 4; 7), В (1; 3; 5).
,
,
,
.

2.3. Скалярное произведение векторов

= ахbх + ауbу + аzbz,
= .

Угол между векторами: .

Перпендикулярность (ортогональность) векторов: ^ Û .

Проекцией вектора на называется величина (АВ на рис. 2.14).
= .

Рис. 2.14

Пример. Вычислить скалярное произведение
= (2×(–5) + 3×0 + 4×1) = –6.
Пример. Найти значение параметра k, при котором векторы
= (4; 2k; –1) и  = (–1; 1; 4) ортогональны.
Û  Þ 4(–1) + 2k(–1) + (–1) × 4 = 0 Þ 2k = –8 Þ
k = –4.
Пример. Найти угол между векторами , , если  = 0,5,  = 8, .
, .
Пример. Найти косинус угла между векторами  = (2; 1; –2),
= (–4; 3; 0) и проекцию вектора  на направление вектора .
;   ;
= 2(–4) + 1 × 3 + (–2) × 0 = –5;
; пр.

Пример. Найти скалярное произведение векторов и , если , = 1, = 2, .
, , ,
, , .

= –10×1 + 2×2 – 15×4 + 3×4 – 20×4 + 4×16 = –70.

2.4. Векторное произведение векторов

= = = – +

Рис. 2.15

Вектор перпендикулярен векторам и (рис. 2.15). Векторы образуютправую тройку векторов, т. е. вектор направлен в ту сторону, откуда совмещение первого сомножителя () со вторым () по кратчайшему расстоянию осуществляется против часовой стрелки. Модуль векторного произведения численно равен площади параллелограмма, построенного на векторах , , т. е. .

Коллинеарность векторов: .

Пример. Найти площадь треугольника, заданного координатами вершин.
= (2 – 0) + (0 – 1) + (0 – 0) = 2 – 1 + 0;
= (0 – 0) + (0 – 1) + (3 – 0) = 0 – 1 + 3;
= = =
= (–3 – 0) – (6 – 0) + (–2 – 0) = –3 – 6 – 2.

Площадь параллелограмма:

Площадь треугольника (рис. 2.16): SD = S = .

Рис. 2.16

Пример. Найти n и m, если векторное произведение и равно нулю.
<=> векторы коллинеарны <=> <=> <=>

2.5. Смешанное произведение векторов

Модуль смешанного произведения векторов численно равен объёму параллелепипеда (рис. 2.17), построенного на векторах , и . Векторы , , образуют правую тройку (пункт 2.4) при .

Компланарность векторов , , : .

Рис. 2.17

Пример. Установить, являются ли компланарными векторы
= (2; 7; –1),  = (4; 0; 5),  = (2; –7; 6).
= 70 + 28 – 168 + 70 = 0 => , ,  компланарны.
Пример. Найти   объём  V тетраэдра,   заданного   координатами   вершин
А(0; 1; –1), В(2; –1; 4), С(1; 2; 5), D(–2; 3; 0).
= (2; –2; 5),  = (1; 1; 6),  = (–2; 2; 1).

Объем параллелепипеда: = 24.

Объем тетраэдра (пирамиды), построенного на трех векторах, в шесть раз меньше объёма параллелепипеда, построенного на этих же векторах.

Замечание. Определено также двойное векторное произведение:.

Рис. 2.18

Векторы и компланарны (рис. 2.18).

Пример. Вычислить , если .
.

1. Основное значение он имеет как препарат для терапии инфекций вызванных полирезистентными Г кокками
2. О некоторых общих вопросах разработки истории психологии
3. на тему- Анализ конкурентоспособности продукции товаров и услуг Выполнил- Студент 2ого кур
4. Реферат- Внешняя политика Святослава Игоревича
5. Задание 15 Предметная область ПО- Сбыт готовой продукции некоторые функции выполняемые сотр
6. б~л- Н~ негізгі ~орларды~ тозуын а~шалай ~теу оларды~ ~~ныны~ бір б~лігін ~нім ~ндіруге кететін шы~ындар~.
7. КНИГА ПЕРВАЯ ЧАСТЬ ПЕРВАЯ
8. Каталог всей земли и журнала CoEvolution Qurterly основатель Long Now Foundtion автор фразы Информация хочет быть свободн
9. Закони нормативні акти України про охорону довкілля Основні напрями державної політики в сфері охорони д
10. Классификация доходов предприятия
11. Будильник1 Задайте с клавиатуры время относительно текущего времени например 2 минуты
12. Курсовая работа- Разработка экологического паспорта сельскохозяйственного предприятия
13. Расчёт усилителя постоянного тока и источника питания
14. Тема 21 Инвестиционная деятельность и инвестиционная политика в России
15. директора по учебной работе Косачев Данил Зам
16. на тему- История формирования корпоративной отчетности как элемента системы корпоративного управления
17. Философия 1 Философия как наука
18. Правосубъектность и правовой статус личности
19. Праздник Крещение проведенный на городском пруду 19 января собрал многочисленное количество гр
20. Об образовании в Республике Беларусь в редакции Закона от 19 марта 2002 г

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе