Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Лабораторная работа № M-2
ИЗУЧЕНИЕ ЗАКОНОВ ВРАЩАТЕЛЬНОГО ДВИЖЕНИЯ
НА КРЕСТООБРАЗНОМ МАЯТНИКЕ ОБЕРБЕКА
1 Цель работы
Целью работы является изучение законов вращательного движения, определение момента инерции J маятника Обербека.
2 Оборудование и принадлежности
Маятник Обербека, секундомер, набор грузов.
3 Теоретическая часть
3.1 Основные определения и законы динамики вращательного движения
Моментом инерции J материальной точки массой m относительно оси вращения называется величина, равная произведению массы точки на квадрат расстояния её до рассматриваемой оси: .
Моментом инерции системы точек (тела) относительно оси вращения называется физическая величина, равная сумме произведений масс n материальных точек системы на квадрат их расстояний до рассматриваемой оси:
. (1)
В случае непрерывного распределения масс эта сумма сводится к интегралу , где интегрирование производится по всему объему тела. Величина r в этом случае есть функция положения точки с координатами x, y, z.
Если известен момент инерции Jс тела относительно оси, проходящей через его центр масс, то момент инерции J относительно любой другой параллельной оси определяется теоремой Штейнера.
Теорема Штейнера: момент инерции тела J относительно любой оси вращения равен моменту его инерции Jс относительно параллельной оси, проходящей через центр масс C тела, сложенному с произведением массы тела на квадрат расстояния а между осями: .
Моментом силы относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением радиус-вектора , проведенного из точки О в точку А приложения силы, на силу . В векторном виде .
Рисунок 1 – Момент силы
- псевдовектор, его направление определяется по правилу правого винта (рисунок 1).
Модуль момента силы
. (2)
Здесь α – угол между и , rsinα=l – кратчайшее расстояние между линией действия силы и осью вращения и называется плечом силы.
Основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси: сумма моментов сил, действующих на тело относительно оси, равно произведению момента инерции этого тела относительно той же оси на угловое ускорение, приобретаемое телом
, (3)
в векторной форме
.
Моментом импульса материальной точки А относительно неподвижной точки О называется физическая величина, определяемая векторным произведением:
,
где - радиус-вектор, проведенный из точки О в точку А;
- импульс материальной точки.
- псевдовектор, его направление определяется по правилу правого винта.
Рассмотрим абсолютно твердое тело, вращающееся около неподвижной оси. Мысленно разобьем это тело на маленькие объемы с элементарными массами mi, находящиеся на расстоянии ri от оси вращения. При вращении эти объемы будут иметь различные линейные
скорости .
Момент импульса твердого тела относительно оси есть сумма моментов импульса отдельных частиц:
. (4)
Скорость поступательного движения связана с угловой скоростью ω следующим соотношением:. При этом для абсолютно твердого тела угловая скорость вращения составляющих его частиц одинакова.
С учетом этого, используя (1), запишем (4) в виде .
Т.о. момент импульса твердого тела относительно оси равен произведению момента инерции тела относительно той же оси на угловую скорость тела
. (5)
Продифференцируем уравнение (5) по времени:
. (6)
Т.е. основное уравнение динамики вращательного движения твердого тела относительно неподвижной оси (3) запишется в виде:
,
- производная момента импульса твердого тела относительно оси вращения равна моменту сил относительно той же оси.
В векторной форме .
В замкнутой системе момент внешних сил и , откуда
или , (7)
- это выражение представляет собой закон сохранения момента импульса.
Закон сохранения момента импульса: момент импульса замкнутой системы сохраняется, т.е. не изменяется с течением времени.
Рисунок 2 – Опыт со скамьей Жуковского
Продемонстрировать сохранение момента импульса можно с помощью скамьи Жуковского (рисунок 2). Человек, стоящий на скамье, которая без трения вращается вокруг вертикальной оси, держит в руках гири и вращается с угловой скоростью ω1 . Если человек опустит руки, то его момент инерции уменьшится, в результате чего возрастет угловая скорость ω2 его вращения. Закон сохранения момента импульса для этого опыта: J1ω1=J2ω2 .
3.2 Описание экспериментальной установки
Маятник Обербека (рисунок 3) состоит из четырех спиц 1 укрепленных на втулке 2 под прямым углом друг к другу. На ту же втулку насажаны два шкива 3 и 4 различных радиусов (r1 и r2). Вся эта система может свободно вращаться вокруг горизонтальной оси. Момент инерции маятника Обербека можно менять, передвигая грузы 5 вдоль спиц. Момент сил, создается грузом 6 массой m, подвешенным к нити 7, которая навита на один из шкивов и перекинута через блок 8. Под действием момента сил система будет вращаться равноускоренно с постоянным угловым ускорением . В нерабочем состоянии маятник удерживается от вращения фиксирующим элементом 9. Перемещение груза можно определять по вертикальной шкале 10.
Рисунок 3 – Маятник Обербека
Момента инерции J маятника Обербека можно определить теоретически как сумму моментов инерции составляющих его частей относительно оси вращения согласно (1) или экспериментально, применяя понятия и законы динамики вращательного движения.
Вращение маятника Обербека под действием момента результирующей силы М подчиняется основному уравнению динамики вращательного движения (3).
Груз m движется равноускоренно. Измеряя время t, в течение которого груз m из состояния покоя опустится на расстояние h, можно найти ускорение груза:
. (8)
Угловое ускорение . Если считать, что нить не проскальзывает по ободу шкива, то ускорение груза будет равно ускорению точек на ободе шкива, а = r = r, отсюда:
, (9)
где r – радиус шкива.
Если через Fн обозначить силу натяжения нити, то момент силы натяжения нити согласно (2) равен:
М н= Fн · r (10)
Силу Fн можно найти из уравнения движения груза:
mg - Fн = ma (11)
Fн = m (g – a) (12)
Момент силы трения Мтр обычно оказывается довольно велик и способен существенно исказить результаты опыта. Поэтому в (3) представим момент силы, действующей на маятник Обербека, как результирующую моментов сил натяжения нити и трения:
Мн – Мтр = = (13)
Если вращение равноускоренное и подчиняется уравнению (13), то графически зависимость углового ускорения от момента сил, действующих на систему, будет представлять собой прямую линию, проходящую через точку с координатами [Мтр; 0] (рисунок 4). Коэффициент пропорциональности и есть искомый момент инерции маятника Обербека:
(14)
Таким образом, если по экспериментальным значениям удается построить график функции в виде прямой наклонной линии, то можно говорить о соблюдении основного уравнения динамики вращательного движения (3).
Рисунок 4 – Зависимость углового ускорения от момента сил, действующих на систему
Обратите внимание, что экспериментальные точки вследствие влияния погрешностей измерений могут и не лежать на одной прямой. Поэтому следует провести такую усредненную прямую линию, для которой отклонения точек в обе стороны будут приблизительно одинаковыми. Прямая не пересекает начало координат, так как на систему действует момент силы трения. Если масса m груза, подвешенного на нити, мала, то система может оставаться в равновесии. Другими словами, вращение маятника начнется только тогда, когда момент силы натяжения Мн будет больше момента сил трения Мтр.
4 Порядок выполнения работы
5 Обработка результатов
Таблица 1 - Параметры системы
|
Наименование |
Значение |
|
Радиус шкива |
r1 = 0,9 см; r2 = 1,75 см |
|
Перемещение груза |
h =1 м |
|
Абсолютные погрешности прямых измерений |
Δm=0,1г; Δt=0,01c; Δh=0,005м |
Таблица 2 – Результаты измерений
|
N опыта |
m, кг |
t, с |
a, м/с2 |
, 1/с2 |
Fн, Н |
Мн, Нм |
J, кгм2 |
|||
|
t1 |
t2 |
t3 |
tср |
|||||||
|
1 |
||||||||||
|
2 |
||||||||||
|
3 |
||||||||||
|
4 |
6 Контрольные вопросы
Задание 1
|
Три маленьких шарика расположены в вершинах правильного треугольника. Момент инерции этой систем относительно оси О1, перпендикулярной плоскости треугольника и проходящей через его центр – J1. Момент инерции этой же системы относительно оси О2, проходящей через один из шариков – J2. Справедливо утверждение…
|
Задание 2
|
Из жести вырезали три одинаковые фигуры в виде эллипса. Две детали разрезали вдоль разных осей симметрии. Затем все части отодвинули друг от друга на одинаковое расстояние и расставили симметрично относительно оси OO′. Для моментов инерции относительно оси OO′ справедливо соотношение…
|
Задание 3
|
К точке, лежащей на внешней поверхности диска, приложены 4 силы. Если ось вращения проходит через центр диска О перпендикулярно плоскости рисунка, то плечо силы F3 равно…
|
Задание 4
Если момент инерции тела увеличить в 2 раза и скорость его вращения увеличить в 2 раза, то момент импульса тела…
Задание 5
Человек сидит в центре вращающейся по инерции вокруг вертикальной оси карусели и держит в руках горизонтально длинный шест за его середину. Если человек повернет шест вертикально, то частота вращения карусели в конечном состоянии…
Задание 6
Момент импульса тела относительно неподвижной оси изменяется по закону . Укажите график, правильно отражающий зависимость от времени величины момента сил, действующих на тело.
|
|
|
||
|
|
|
Задание 7
|
Диск вращается равномерно с некоторой угловой скоростью . Начиная с момента времени t=0, на него действует момент сил, график временной зависимости которого представлен на рисунке. Укажите график, правильно отражающий зависимость момента импульса диска от времени. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
PAGE \* MERGEFORMAT 1
EMBED Equation.3
6
, 1/с2
ω2
ω1
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3
J1>J2
ω1<ω2
7
8
4
3
5
EMBED Equation.3
2
1
М, Нм
0 Мтр
tg=J
9
10