Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Билет №9
Вопрос 1
Подобие гидромеханических процессов. Критерии подобия.
Во многих практических задачах пока не удается найти надежные и точные методы теоретического расчета течений. Уравнения движения жидкости (Навье-Стокса и Рейнольдса) в общем случае сложны даже для численного решения. Поэтому при проектировании гидромашин и летательных аппаратов широко используется эксперимент.
Для осуществления эксперимента строится модель машины. Часто по экономическим соображениям модель изготавливают в меньшем масштабе, чем натуру. Например, при конструировании самолета. Возникает вопрос. Как следует пересчитать результаты эксперимента с модели на натуру?
Кроме того, проводятся научные эксперименты с целью построения новых теоретических зависимостей. Эксперименты ставят в областях определенного масштаба. Как обобщить результаты эксперимента на другие масштабы?
На эти вопросы отвечает теория подобия.
Различают геометрическое, кинематическое и динамическое подобие.
Параметры натуры обозначим индексами 1, модели - 2.
Чтобы получить модель, геометрически подобную натуре, нужно все линейные параметры натуры разделить на одно и то же число:
Рис.2
Натура
А
А
Модель
L1
L2
B1
B2
. (12)
Линейные размеры, связанные (12) называют сходственными. Например, .
Для выполнения кинематического подобия необходимо, чтобы отношения соответствующих проекций скоростей во всех сходственных точках потока были одинаковы:
где (13)
Если движение неустановившееся, то условие (13) должно выполняться в сходственные моменты времени:
(14)
Для выполнения динамического подобия необходимо, чтобы отношения соответствующих проекций равнодействующих во всех сходственных точках потока были одинаковы:
где (15)
Из определения кинематическое и динамическое подобие могут существовать только при наличии геометрического подобия.
Если для двух гидродинамических процессов выполняются условия кинематического и динамического подобия, то эти процессы называют механически подобными.
Подобными могут быть различные процессы, например, электрические и тепловые.
Рассмотрим движение вязкой несжимаемой жидкости. Определим условия, которые являются необходимыми и достаточными для существования механического подобия. Уравнения движения (Навье-Стокса) для этого случая имеют вид:
(16)
Приведем эти уравнения к безразмерному виду. Выберем для данного движения жидкости характерные параметры – L, U, T, P, F0. Размерные величины уравнений Навье-Стокса отнесем к соответствующим характерным параметрам:
(17)
Получим безразмерные величины. Выразим размерные величины уравнений Навье-Стокса через безразмерные для первого уравнения:
(18)
Умножим уравнение на L/U2:
(19)
Введем обозначения:
(20)
где Sh – число Струхала; Fr – число Фруда; Eu – число Эйлера; Re – число Рейнольдса. Можно убедиться, что все введенные числа являются безразмерными.
Запишем (19) с учетом обозначений. Аналогично приведем к безразмерному виду оставшиеся два уравнения. Получим:
(21)
Зададим для двух геометрически подобных потоков характерные параметры L, U, T, P, F0 в сходственных точках в сходственные моменты времени.. Можно доказать, что в случае механического подобия этих течений безразмерные решения уравнений Навье-Стокса (21) одинаковы. Поэтому, для механического подобия течений необходимо, чтобы:
1) безразмерные граничные и начальные условия этих течений были одинаковы;
2) числа Sh, Fr, Eu, Re этих течений были равны.
Поэтому числа Sh, Fr, Eu, Re называют критериями подобия.
Эти же условия являются достаточными для механического подобия течений, если теорема существования и единственности для рассматриваемого класса течений доказана.
Физический смысл чисел подобия.
- характеризует отношение локальной силы инерции к конвективной;
; если массовой силой является только сила тяжести, то и - характеризует отношение силы инерции к силе тяжести;
- характеризует отношение силы давления к силе инерции;
- характеризует отношение силы инерции к силе вязкости.
Вопрос 2
Кинематика жидкости. Методы исследования движения жидкости: метод Лагранжа и Эйлера.
Кинематика – раздел МЖГ в котором изучается движение жидкостей без учета действующих в них сил.
Методы исследования движения жидкости.
Введем понятие жидкой частицы.
Жидкая частица – это малый объем жидкости, который при движении деформируется, но не смешивается с окружающей жидкостью. Течение жидкости можно представить как перемещение множества жидких частиц. Задача математического описания такого движения очень сложна.
О
Рис.1
Для материальной точки достаточно задать вектор скорости
Для твердого тела достаточно задать скорость полюса и угловой скорости.
В жидкости невозможно выбрать такой полюс, так как нет жесткой связи между частицами. Расстояния между частицами при движении жидкости меняются.
Известны два метода исследования движения жидкости.
Метод Лагранжа.
Зафиксируем координаты каждой жидкой частицы в некоторый начальный момент времени to – a, в, с- и будем следить за перемещение частиц в пространстве, за их траекториями. В этом состоит метод Лагранжа.
Независимыми переменными будут - a, b, с и t. Они называются переменными Лагранжа.
О
А,to
А,t
y
x
z
a
b
с
траектория
Рис.2
Координаты положения ЖЧ:
или (1)
Мгновенная скорость ЖЧ:
или (2)
Ускорение ЖЧ:
или (3)
Его используют в теоретических исследованиях, а также при разработке численных схем анализа задач МЖГ. Но в инженерной практике метод не находит широкого применения. Причина в том, что уравнения движения жидкости на основе метода Лагранжа громоздки и трудноразрешимы. Мы будем в дальнейшем пользоваться другим методом.
Метод Эйлера.
Этот метод основан на понятии местной скорости или скорости в точке.
О
А
y
z
x
y
z
x
Рис.3
Скорость ЖЧ:
или (4)
Мы рассматриваем движение ЖЧ через фиксированные точки пространства.
- скорость ЖЧ в момент времени t, проходящей через точку x,y,z.
x,y,z,t - переменные Эйлера.
Для ЖЧ – t – независимая переменная, а координаты ЖЧ - x(t),y(t),z(t) – зависимые переменные. Поэтому для вычисления ускорения ЖЧ мы должны взять полную производную скорости от времени. По-другому ее называют субстанциональной или индивидуальной производной.
Ускорение ЖЧ:
(5)
По правилу дифференцирования сложной функции:
(6)
Учитывая, что получим:
(7)
Введем оператор Гамильтона (набла) – вектор вида:
(8)
Тогда (7) в векторной форме можно записать:
(9)
где - - число, скалярное произведение векторов и .
Первое слагаемое называется местным или локальным ускорением. Эта величина выражает изменение скорости в данной точке с течением времени.
Второе слагаемое называется конвективным ускорением. Величина показывает изменение скорости в пространстве в данный момент времени.
Если в любой момент времени во всех точках пространства занятого течением, то есть , то такое течение называют установившимся или стационарным.
Если , то течение – неустановившееся или нестационарное.
В природе встречаются два вида течений.
А
Рис.4
а) ламинарное
А
А
А
А
А
б) турбулентное
Ламинарное (от. лат.lamina – пластинка, слой) или слоистое течение. Это упорядоченное течение жидкости, при котором отсутствует турбулентное перемешивание между соседними слоями.
Турбулентное (от. лат.turbulentus – беспорядочный, хаотичный) течение. Это неупорядоченное течение жидкости, при котором ЖЧ участвуют как бы одновременно в двух видах движения: основном движении - ЖЧ движутся по некоторому преимущественному основному направлению – направлению течения, а также в хаотическом (колебательном) движении.
При этом ЖЧ хаотично переходят из слоя в слой. Этот процесс называют турбулентным перемешиванием. Траектории движения ЖЧ имеют при этом сложную извилистую форму.