Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE 2
1.5 Обратное z-преобразование
Задача обратного z-преобразования заключается в определении оригинала некоторой заданной z-функции , т.е.:
|
Z, |
(20) |
где Z – обозначение обратного z-преобразования.
Из основной формулы z-преобразования (2) следует, что бесконечное представление функции содержит значения коэффициентов :
|
= |
(21) |
Рассмотрим основные методы определения обратного z-преобразования.
1.5.1 Метод деления числителя на знаменатель
Если исходное z-преобразование представлено в виде функции , то для определения обратного z-преобразования достаточно осуществить операцию последовательного деления на , при этом коэффициенты образующегося частного будут соответствовать искомым значениям .
Пример 1.4.
Определим обратное z-преобразование Z.
1.5.2 Рекуррентный метод
При высоких порядках числителя и знаменателя исходной функции целесообразным является использование следующей рекуррентной зависимости:
|
, |
(22) |
где – соответственно коэффициенты числителя и знаменателя исходного z-преобразования, представленного в виде:
|
, |
(23) |
причем при ; при .
Действительно, функция (22) может быть представлена в виде бесконечной суммы:
|
. |
(24) |
Отсюда следует равенство
|
, |
(24) |
где .
Таким образом,
|
. |
(25) |
Очевидно, что коэффициенты соответствуют искомым значениям функции .
1.5.3 Метод разложения исходной функции на элементарные дроби
Если исходную функцию представить конечной суммой элементарных дробей вида:
|
, |
(26) |
То искомое z-преобразование можно определить по следующей зависимости:
|
, |
(27) |
где количество элементов суммы равно степени знаменателя функции .
Действительно из примера 1.3 и свойств линейности z-преобразования следует, что
|
Z. |
Тогда, обозначив , получим:
|
Z. |
Отсюда следует, что , поскольку
Пример 1.5.
Определим обратное z-преобразование Z.
Так как корнями знаменателя являются , то можем записать:
|
. |
Умножив последовательно это уравнение на и подставляя, соответственно, значения , получаем , т.е.:
|
. |
В соответствии с зависимостями (26) и (27):
Очевидно, что этот метод позволяет получить компактное представление зависимости, определяющей значения для любого дискретного момента времени .
1.5.4 Метод вычетов
Если исходное z-преобразование представлено в виде функции , то для определения обратного z-преобразования в компактном представлении можно использовать метод вычетов, основанный на определении следующей конечной суммы:
|
, |
(28) |
где - полюс (корень знаменателя) функции ; - число таких полюсов.
Пример 1.6.
Определим обратное z-преобразование Z.