Устойчивость стержневых систем Расчет на устойчивость стержневых систем сводится к определению крити

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Глава IV. Устойчивость стержневых систем

Расчет на устойчивость стержневых систем сводится к определению критических сил, превышение которых вызывает переход системы из одного равновесного состояния в другое. Такой переход весьма часто приводит к разрушению конструкции или другим формам аварий, поэтому крайне нежелателен и для практики важно знание определенного спектра критических сил и соответствующих им форм потери устойчивости.

Анализ устойчивости стержневой системы может быть проведен на основе качественного подхода, разработанного проф. Р.Р. Матевосяном [45]. В соответствии с этим подходом составляется определитель устойчивости метода перемещений. При произвольном значении сжимающей нагрузки на стержни определитель устойчивости сводят к верхнетреугольному виду, диагональные элементы которого образуют ряд устойчивости. По ряду устойчивости и судят о степени неустойчивости и количестве «пройденных» критических сил. Предварительно вычисляются эйлеровые критические силы отдельных стержней основной системы метода перемещений, которые всегда больше или равны первой критической силе заданной системы.

Такой подход характеризуется минимумом арифметических операций и сложностью логики, включающей операции умножения, транспонирования и обращения матриц. Кроме того, определитель устойчивости метода перемещений имеет, как и в динамике, точки разрыва 2-го рода, что затрудняет поиск спектра критических сил.

Большое распространение для решения задач устойчивости стержневых систем получил МКЭ [44]. В МКЭ рассматривается вековое уравнение, из которого определяются критические силы.

Число критических сил по МКЭ равно степени кинематической неопределимости стержневой системы, а при формировании векового уравнения используются операции сложения, умножения и транспонирование матриц.

Таким образом, решение задач устойчивости стержневых систем имеет тот же алгоритм и те же недостатки существующих методов, что и в задачах динамики. МГЭ позволяет освободить решение задач устойчивости от указанных недостатков. Построение соотношений устойчивости МГЭ проведем при «мертвых» нагрузках. Введем допущения:

Стержни системы считаются нерастяжимыми и несжимаемыми.
Расстояния между узлами системы после потери устойчивости не изменяются.
Деформация сдвига не учитывается.

4.1. Фундаментальные решения для продольно-

поперечного изгиба стержня

Основным слагаемым математических моделей задач устойчивости стержневых систем является решение задачи Коши продольно-поперечного изгиба стержня. Связано это с тем, что потеря устойчивости наступает при появлении изгибных состояний у элементов стержневых систем. Задача Коши продольно-поперечного изгиба прямолинейного стержня в линейной постановке формулируется следующим образом [88]

(4.1)

где коэффициент п определяется по формуле

F – продольная сжимающая сила. Решение задачи Коши (4.1) по алгоритму §1.3 можно представить в матричной форме

EIV(x)	=	1	x	-A13	-A14	EIV(o)	qy()d , (4.2)
EI(x)			1	-A23	-A13	EI(o)
M (x)				A33	A23	M (o)
				A43	A33

где фундаментальные ортонормированные функции имеют вид

(4.3)

Здесь - поперечная сила, перпендикулярная к искривленной оси стержня. Когда ось оу стержня направлена «вверх», то в уравнении (4.2) знаки минус опускаются. Если решать задачу Коши (4.1) со сдвиговой силой Q(x), перпендикулярной первоначальной прямолинейной оси стержня, то в уравнении (4.2) изменятся отдельные фундаментальные функции [45, 88]

EIV(x)	=	1	A12	-A13	-A14	EIV(o)	, (4.4)
EI(x)			A22	-A12	-A13	EI(o)
M (x)			-A32	A22	A12	M (o)
Q (x)					1	Q (o)

где

(4.5)

Q(x) – поперечная сила, перпендикулярная первоначальной прямолинейной оси стержня. Уравнение (4.4) позволяет упрощать статические краевые условия по сравнению с уравнением (4.2).

Решение задачи Коши продольно-поперечного изгиба (4.4) широко используется в методе перемещений и методе начальных параметров для составления трансцендентных уравнений устойчивости [45, 88, 96]. Однако, оно может быть применено для решения задач устойчивости плоских и пространственных стержневых систем в рамках принципиально другого алгоритма – МГЭ. Для упругой системы можно составить уравнение устойчивости МГЭ типа (1.32). Стержни, не загруженные сжимающей силой F, должны иметь в уравнении (1.32) блок фундаментальных функций статического изгиба (2.11), а сжатые стержни – блок фундаментальных функций продольно-поперечного изгиба (4.4) с добавлением нормальных сил (для плоских задач устойчивости).

4.2. Определение спектра критических сил и форм

потери устойчивости статическим методом

Для расчета упругой системы на устойчивость необходимо сформировать граничное интегральное уравнение и преобразовать его по схеме (1.38). Потеря устойчивости системы характеризуется возникновением продольно-поперечного и поперечного изгибов стержней. В этом случае значения начальных и конечных параметров матрицы Х* отличны от нуля. Тогда, для выполнения условия Х* из уравнения (3.1) следует, что

│А*(F)│= 0. (4.6)

Данное трансцендентное уравнение является уравнением устойчивости упругой системы по МГЭ. Корни уравнения устойчивости определяют спектр критических сил, число которых (теоретически) бесконечно. Чтобы не пропустить первой критической силы, нужно начинать анализ поведения определителя (4.6) с достаточно малых значений сжимающих сил F. Рекомендуется начальное значение F выбирать из интервала (1/100 – 1/1000)Fmin, где Fmin – минимальная критическая сила стержней основной системы метода перемещений. Шаг изменения сжимающей силы рекомендуется выбирать равным (1/100 – 1/1000) интервала, на котором выполняется поиск критических сил. Изменение знака определителя (4.6) или равенство его нулю свидетельствует о «прохождении» критической силы. Таким образом, методика определения критических сил не отличается от методики определения частот собственных колебаний упругих систем. Здесь можно использовать программы на языках Fortran и Pascal примеров №13, №14 с соответствующим изменением обозначений переменных. В рамках принятых допущений МГЭ позволяет определять точный спектр собственных значений (частот или критических сил). Однако, линеаризация дифференциальных уравнений и краевых условий, неучет деформаций растяжения-сжатия и сдвига, приближенный учет других факторов не позволяют приблизить найденный «точный» спектр собственных значений к действительному спектру. В задачах динамики действительные частоты меньше найденных частот, т.к. реальная упругая система обладает большей податливостью, чем упрощенная расчетная схема. Погрешность меньше у систем с неподвижными узлами и больше у систем с линейно-подвижными узлами. Противоположная картина имеет место в задачах устойчивости. Погрешность меньше у систем с линейно-подвижными узлами и больше у систем с неподвижными узлами.

Для каждой критической силы можно определить и формы потери устойчивости стержневой системы из уравнения (3.1), если принять . Ниже представлены примеры решения задач устойчивости различных упругих систем по алгоритму МГЭ. Поскольку используются уравнения (2.11), (4.4), относящиеся к статическому деформированию, то вся процедура решения задач устойчивости относится к статическому методу.

4.3 Устойчивость свободных стержней и

стержней на жестких и упругих опорах

Пример 18 [88, с. 248]. Определить первую критическую силу стержня с кусочно-постоянной жесткостью (рис. 4.1).

Рис. 4.1

Анализ устойчивости многопролетных стержней упрощается по сравнению с плоскими стержневыми системами. Уравнение устойчивости многопролетных стержней не содержит нормальных сил, а линейные перемещения граничных точек стержней равны либо нулю (для жестких опор), либо отношению Ri/Сi (для упругих опор), где Сi – жесткость упругой опоры; Ri – реакция опоры. Случай свободных стержней (без промежуточных опор) также может быть учтен в МГЭ. Решение примера по рис. 4.1 представлен алгоритмом.

Разбиваем стержень на 2 стержня, нумеруем узлы и обозначаем начало и конец каждого элемента.
Формируем матрицу устойчивости А*. Уравнения равновесия и совместности перемещений узла 1 приведены в матрице Y. Согласно матрице Х* нужно обнулить 3 и 4 столбцы матрицы А*. После переноса конечных параметров из матрицы Y в матрицу Х* топологическая матрица С примет следующий вид. Сложив матрицы Ао и С, получим матрицу устойчивости данного стержня.

1	1
2	2
3	3
Х* = 4	; Y = 4	;
5	5
6	6
7	7
8	8

	1	2	3	4	5	6	7	8
1					-2/3
2						-2/3
3							-1
С = 4								-1	;
5
6
7			-1
8				-1

	1	2	3	4	5	6	7	8
1	1	A12			-2/3				1
2		A22				-2/3			2
3		-A32					-1		7
A* = 4								-1	8 .
5					1	A12	-A13	-A14	5
6						A22	-A12	-A13	6
7			-1			-A32	A22	A12	3
8				-1				1	4

Фундаментальные функции определяются выражениями (4.5), где коэффициенты для стержней 0-1 и 1-2 будут равны

Переставляя строки матрицы А* в новом порядке, как показано цифрами справа, методом Гаусса по программе примера 14 вычисляем ее определитель (при ). Фиксируя изменение его знака, находим, что . Это значение совпадает с критической силой, полученной методом начальных параметров [88].

Пример 19 [77, c. 226]. Определить 2 критические силы многопролетного стержня на жестких опорах (рис. 4.2).

Рис. 4.2

Разбиваем многопролетный стержень на 3 стержня, нумеруем узлы и стрелками обозначаем начало и конец каждого элемента.
Формируем матрицу устойчивости А*. Уравнения равновесия и совместности перемещений узлов 1 и 2 содержатся в матрице Y. Из матрицы Х* следует, что в матрице А нужно обнулить 1, 2, 5 и 9 столбцы. Коэффициенты фундаментальных функций будут равны

1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
Х* = 7	; Y = 7	;
8	8
9	9
10	10
11	11
12	12

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1
2						-2
3							-1
4	-1
5
С = 6										-6			.
7											-1
8		-1
9
10					-1
11
12									-1

Матрица А* стержня примет вид

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1			-A13	-A14									3
2			-A12	-A13		-2							6
3			A22	A12			-1						4
4	-1			1									1
5						A12	-A13	-A14					7
А* = 6						A22	-A12	-A13		-6			10 .
7						-A32	A22	A12			-1		8
8		-1						1					2
9										A12	-A13	-A14	12
10					-1					A22	-A12	-A13	5
11										-A32	A22	A12	11
12									-1			1	9

Поменяв местами строки, как показано цифрами справа, методом Гаусса определяем 2 критические силы: . Данные критические силы практически равны действительным критическим силам, поскольку не учитывалась только деформация сдвига, а наложенные связи не препятствует появлению изгибных форм. Расхождение с , полученной методом С.А. Рогицкого, составляет 30%.

Пример 20 [77, c. 271]. Найти 3 критических силы неразрезного стержня на упругих опорах (рис. 4.3). Этот пример отличается от предыдущего наличием упругих опор 1 и 2, где жесткости равны .

Уравнения совместности перемещений узлов 1 и 2 запишутся следующим образом:

Узел 1

Узел 2

где R1, R2 – неизвестные реакции опор 1 и 2. Очевидно, что

Тогда

Обнуленная в отдельных столбцах матрица Ао будет совпадать с аналогичной матрицей примера 19. Матрицы Х*, Y и С примут вид

1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
Х*=7	; Y = 7	;
8	8
9	9
10	10
11	11
12	12

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	-3ℓ ³/2							3ℓ ³/2
2						-2
3							-1
4	-1
5	3ℓ ³/4	-3ℓ ³/2						-3ℓ ³/4				3ℓ ³/2
С = 6										-6			.
7											-1
8		-1
9		ℓ ³/4										-ℓ ³/4
10					-1
11
12									-1

Складывая эту матрицу с обнуленной матрицей Ао, получаем матрицу устойчивости неразрезного стержня на упругих опорах (ℓ=ЕІ=1)

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1	-3/2		-A13	-A14				3/2					3
2			-A12	-A13		-2							6
3			A22	A12			-1						4
4	-1			1									1
5	3/4	-3/2				A12	-A13	-¾-A14				3/2	7
А* = 6						A22	-A12	-A13		-6			10 .
7						-A32	A22	A12			-1		8
8		-1						1					2
9		1/4								A12	-A13	-¼-A14	12
10					-1					A22	-A12	-A13	5
11										-A32	A22	A12	11
12									-1			1	9

Переставив строки матрицы А* и применив метод Гаусса, находим . Первая критическая сила по методу С.А. Рогицкого отличается на 34,6%.

4.4. Устойчивость стержневых систем с подвижными

и неподвижными узлами

У свободных стержневых систем нет связей, препятствующих появлению изгибных форм при потере устойчивости. Поэтому особых трудностей при решении задач устойчивости статическим методом у таких систем не наблюдается. Рассмотрим соответствующий пример.

Пример 2.1 [11, c. 516]. Определить 3 первые критические силы свободной рамы (рис.4.4).

Разбиваем раму на 4 стержня, нумеруем узлы и обозначаем начало и конец каждого стержня.

Формируем матрицу устойчивости А*. Матрицы фундаментальных функций для стержней 0-1, 1-2, 2-4 заимствуем из уравнения изгиба (2.11), а для стержня 3-1 – из уравнения (4.4) с добавлением нормальных сил.

Уравнения равновесия узлов 1 и 2 составляем для недеформированного состояния рамы, а уравнения совместности перемещений в соответствии с деформированным состоянием по рис. 4.4.

1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9
Х* = 10	; Y = 10	;
11	11
12	12
13	13
14	14
15	15
16	16
17	17
18	18
19	19
20	20

	4	2	8	17	16	7	12	9	15	10	14	13	1	3	5	11	18	6	19	20 .
20																				1
19																-А14	-А13	А12	1
18																-А13	-А12	А22
17				-1																-1
16					1														-1
15									-1						1
14										1	-1/6	-1/2	1	1
13								-1			-1/2	-1	1
12							-1				1	1
11											1					1
10					-1					1
9				-1		-1/6	-1/2	1	1
8			-1			-1/2	-1	1
7		-1				1	1										-1
6			1															-1
5															-1
4	-1/6	-1/2	1	1
3														-1
2	1	1
1													-1
	1	2	3	4	5	6	7	8	9	А* = 10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20

Из анализа матрицы Х* следует, что в матрице А нужно обнулить 1, 3, 5, 6, 16 и 17 столбцы. В матрице Х* число нулевых параметров равно 6. Столько же независимых параметров в матрице Y, так что можно выполнить цепочку преобразований по схеме (1.38). Суммируя топологическую матрицу С с обнуленной матрицей Ао, получим матрицу устойчивости рассматриваемой рамы.

В матрице А* нужно переставить строки для исключения нулевых ведущих элементов. Один из возможных вариантов перестановки строк показан на матрице А* цифрами справа. Задавая значения F с определенным шагом, с помощью персонального компьютера получаем график зависимости определителя │А* (F)│ (рис. 4.5). Как и в задачах динамики, уравнение устойчивости не имеет точек разрыва 2-го рода. Фиксируя изменение знака определителя, получим критические силы и т.д. Эти значения практически равны действительным критическим силам, что подтверждается результатами других методов. Метод перемещений дает значение [11]. Критические силы по МКЭ с точной матрицей жесткости равны, , когда используется кубический полином - [44].

Рис. 4.5

У несвободных стержневых систем опорные связи препятствуют появлению изгибных форм и для точного определения критических сил необходимо учитывать деформацию растяжения-сжатия в условиях продольно-поперечного и статического изгибов. Данная проблема сводится к аналитическому решению соответствующих нелинейных дифференциальных уравнений, что, в свою очередь, имеет трудности математического порядка. Поэтому обычно при определении критических сил несвободных систем продольными перемещениями (деформациями растяжения-сжатия) пренебрегают. Полученные при этом критические силы точными методами (методы сил, перемещений, начальных параметров, МГЭ) будут заниженными по отношению к действительному спектру. В этом состоят трудности расчета статическим методом несвободных систем на устойчивость. Однако подобные расчеты выполняются, т.к. критические силы будут иметь определенный запас устойчивости. Рассмотрим примеры определения критических сил несвободных рам.

Пример 22 [88, c. 289]. Определить первые критические силы симметричной рамы при симметричной и кососимметричной формах потери устойчивости (рис.4.6).

Рис. 4.6

В данном случае можно использовать свойство симметрии рамы и рассмотреть только ее левую половину. В расчетной схеме вместо 5 останутся 3 стержня. В плоскости симметрии рамы при симметричной форме потери устойчивости будут равны нулю кососимметричные статические и кинематические параметры

При кососимметричной форме потери устойчивости будут равны нулю симметричные параметры

В соответствии с алгоритмом МГЭ

Разбиваем левую половину рамы на 3 стержня, нумеруем узлы и обозначаем стрелками начало и конец каждого элемента.
Формируем матрицу устойчивости А*. Матрицы фундаментальных функций для стержней 0-1, 1-3 заимствуем из уравнения статического изгиба (2.11) с добавлением нормальных сил, а для стержня 2-1 – из уравнения продольно-поперечного изгиба (4.4). Для стержня 0-1 добавляем еще уравнение продольных перемещений, что позволит выполнить схему преобразований (1.38). Матрицы Х*, Y, в которых представлены заданные краевые условия опирания рамы и уравнения связи между граничными параметрами в узле 1, представлены ниже. Из матрицы Х* следует, что в матрице А нужно обнулить 1, 2, 5, 7, 12 и 13 столбцы. Сложив обнуленную матрицу Ао с топологической матрицей С, получим матрицу устойчивости А*.
Переставив строки матрицы А*, как показано цифрами справа, методом Гаусса находим, что . Этот результат совпадает с , полученной методом перемещений [88].

1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
Х* = 8	; Y = 8		;
9	9
10	10
11	11
12	12
13	13
14	14	?
15	15
16	16

???

?????

???

?????

???

????

?????

??????

?А* = 8

-1/2

-1/8

8 .

-1

1/2

-1

-A13

-A14

-1

-A12

-A13

-1

A22

A12

-1

При кососимметричной форме потери устойчивости изменятся краевые условия стерж-

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
1			-1/2	-1/6												3
2			-1	-1/2			-1									4
3			1	1		1		-1								6
4				1					-1			-1				12
5					1					-1	1					5
6							1/2	-1/8	-1/48							9
7	-1						1	-1/2	-1/8							1
А* = 8								1	1/2							8 .
9		-1							1							2
10										1						10
11													-A13	-A14		13
12							-1						-A12	-A13		7
13						-1							A22	A12		14
14											-1			1		11
15												-1			1	15

ня 1-3, а число нулевых граничных параметров увеличится на единицу. Тогда можно не добавлять уравнение для продольных перемещений стержня 0-1. Матрица А* кососимметричной формы потери устойчивости изменится.

Переставив строки, как показано цифрами справа, методом Гаусса определяем первую критическую силу , что совпадает с , найденной методом перемещений [88].

4.5. Динамический метод решения

задач устойчивости

Все нагрузки на упругие системы условно можно разделить на консервативные и неконсервативные. К консервативным нагрузкам относятся так называемые «мертвые» силы, когда их линия действия перемещается вместе с конструкцией только параллельно первоначальному направлению. Примеры расчета на устойчивость систем при «мертвых» силах по алгоритму МГЭ представлены выше и проблемы их учета во многом решены. Этого нельзя сказать о неконсервативных силах. Системы с неконсервативными силами широко используются в жизни современного общества. К таким системам можно отнести системы с внутренними источниками энергии, т.е. ракеты, самолеты, космические орбитальные станции, буровые вышки и платформы, автомобили, корабли, подводные лодки, турбины, двигатели внутреннего сгорания, металлорежущие станки, различные краны, приборы и т.д.

Если консервативные задачи устойчивости могут быть решены статическим методом, то неконсервативные задачи решаются только динамическим методом [69]. Основным элементом динамического метода является решение задачи Коши для поперечных колебаний стержня с учетом продольной силы. В отличие от статического метода, критическая сила в динамическом методе определяется в точке, где становятся равными (сливаются) две соседние частоты собственных колебаний. С этой целью в программу расчета вводится начальное значение сжимающей силы и фиксируются частоты (минимум две) собственных колебаний. Далее значение сжимающей силы увеличивается и отслеживается изменение частот. Процесс продолжается до тех пор, пока с определенной точностью две соседние частоты станут равными. Значение сжимающей силы при этом будет критическим.

Необходимость применения динамического метода существенно усложняет решение неконсервативных задач устойчивости. Здесь требуется весьма эффективный метод определения частот собственных колебаний. Среди других методов в этом отношении выделяется МГЭ. Он позволяет получать точный спектр частот (устраняет недостаток МКЭ), а в трансцендентном частотном уравнении отсутствуют точки разрыва 2-го рода (устраняет недостаток метода перемещений). Дополнительными положительными факторами являются простая логика формирования динамической матрицы устойчивости, отсутствие операций умножения, обращения и сложения матриц, хорошая устойчивость численных операций при вычислении определителя и т.п.

В этой связи покажем, что алгоритм МГЭ идеально подходит для решения подобного типа задач с любой структурой упругой системы. Моделью объекта может быть произвольный набор стержней, каждый из которых может иметь бесконечное число степеней свободы, могут быть учтены сдвиг, инерция вращения, внутреннее и внешнее трение, произвольные законы изменения массы, жесткости, продольных сил и другие факторы. Неконсервативность действующих нагрузок в МГЭ учитывается соответствующей формулировкой граничных условий упругой системы (формированием топологической матрицы С). Далее анализу подвергаются изменения частот собственных колебаний. Рассмотрим особенности учета следящих сил.

4.5.1. Методика учета следящих сил

Граничные условия для различных вариантов поведения сжимающих сил являются нелинейными и линеаризуются с учетом малости соответствующих перемещений, т.е. справедливости равенств , где - угол между F и нормалью к оси стержня (рис. 4.7). Выделим практически важные случаи поведения нагрузки.

Сила F следит за углом поворота сечения (задача М. Бекка) [69] (рис. 4.7, а).

Такая сила создается реактивным потоком жидкости или газа и относится к неконсервативным силам. Граничные условия весьма просты

. (4.7)

Сила F имеет фиксированную линию действия (задача проф. В.И. Реута) [78] (рис. 4.7, в). Такая сила возникает при действии домкрата, в поршневых двигателях, в различных механизмах с направляющими устройствами. Это другой пример неконсервативной силы. В граничном сечении стержня возникают изгибающий момент и поперечная сила

(4.8)

Сила F имеет линию действия, проходящую через фиксированную точку (рис. 4.7, с). Такое поведение нагрузки может быть вызвано применением тросов и оттяжек. Сила относится к консервативным. Она налагает на упругую систему в деформированном состоянии связь в виде собственной горизонтальной проекции (вертикальная проекция учитывается как параметр F дифференциального уравнения). Система при этом может стать несвободной. Здесь

(4.9)

«Мертвая» сила (рис. 4.7, d). Являясь консервативной, она ограничивает подвижность упругой системы. Краевые условия предстанут в виде

(4.10)

При анализе устойчивости упругих систем необходимо использовать вышеуказанные граничные условия в уравнениях равновесия и совместности перемещений граничных точек (узлов) конструкции. Особо отметим тот факт, что каждый вариант поведения сжимающих сил будет иметь свой набор ненулевых компенсирующих элементов в матрице С (свой вариант топологической матрицы). В этом состоит отличие аналитической идентификации сжимающих сил в МГЭ от МКЭ и других методов.

Отметим также, что для сил по рис. 4.7, с, d основными формами потери устойчивости являются изгибные формы. Для следящей силы по рис. 4.7, а стержень теряет устойчивость в форме флаттера, когда амплитуды колебаний неограниченно растут. Если не предпринять мер по ликвидации флаттера, то конструкция достаточно быстро разрушается. Потеря устойчивости в форме дивергенции (монотонный уход системы от положения равновесия) характерна для схемы по рис. 4.7, в.

Поскольку основой математической модели динамического метода являются фундаментальные функции, то рассмотрим построение решений для ряда важных случаев поперечных колебаний стержней.

4.5.2. Фундаментальные решения для поперечных

колебаний с учетом продольной силы

При составлении соответствующего дифференциального уравнения учитываются силы инерции распределенной массы и добавка изгибающего момента от продольной силы. Применив метод Фурье разделения переменных, дифференциальное уравнение поперечных колебаний призматического стержня с учетом продольной сжимающей силы в амплитудном состоянии примет вид

(4.11)

Здесь не учитывается продольная сила в статических параметрах, что для жестких стержней мало сказывается на точности решений задач устойчивости.

По алгоритму §1.3 уравнение типа (1.32) данного случая запишется следующим образом

EIV(x)	=	A11	A12	-A13	-A14	EIV(o)	qy()d , (4.12)
EI(x)		A21	A11	-A23	-A13	EI(o)
M (x)		-A31	-A21	A33	A23	M (o)
Q (x)		-A41	-A31	A43	A33	Q (o)

где фундаментальные ортонормированные функции имеют вид

(4.13)

Выражения (4.13) при F = 0 переходят в функции А.Н. Крылова (3.11).

Динамические модели упругих систем формируются исходя из заданных расчетных схем. Пространственные модели должны включать блоки уравнений изгиба, кручения, растяжения и сдвига, т.е. необходимо формировать уравнение типа (2.22). Плоские модели устойчивости упрощаются из-за отсутствия кручения. В расчетной практике часто пренебрегают сдвигом, инерцией вращения и продольными перемещениями, что идет в запас устойчивости [88]. В этой связи ниже формируются и анализируются наиболее простые динамические модели устойчивости упругих систем на основе уравнений изгиба (3.10) и (4.12) с добавлением нормальных сил. Учет следящих сил выполняется топологической матрицей С.

4.5.3. Стержень на упругом основании

В инженерной практике встречаются случаи, когда упругая стержневая система контактирует с упругим основанием. Расчет такой системы должен быть дополнен схемой стержня на упругом основании. Наиболее простой и широко применяемой расчетной схемой является модель Е. Винклера – схема с одним коэффициентом постели. Простота этой модели нивелируется недостаточной точностью получаемых результатов. Поэтому позже были разработаны более совершенные и точные модели. Здесь отметим модели на основе упругого полупространства [28, 83] (решения получаются весьма громоздкими, а сама методика сводится к набору таблиц, что создает неудобства при ее применении) и модели с двумя коэффициентами постели (проф. П.Л. Пастернак, проф. В.З. Власов, проф. М.М. Филоненко-Бородич [76]). Модель с двумя коэффициентами постели позволяет построить аналитическое решение задачи Коши, учесть деформацию сдвига основания, его неоднородность и много других факторов. В этой связи получим уравнение типа (1.32) для модели с двумя коэффициентами постели. Используя принцип независимости действия сил, и дополняя уравнение динамики стержня в амплитудном состоянии на упругом основании слагаемым от продольной силы , будем иметь

. (4.14)

Это уравнение имеет кинематические и статические параметры [23]

(4.15)

где Q*(x) – обобщенная поперечная сила. Наличие или равенство нулю начальных и конечных параметров определяется из краевых условий:

а) шарнирное опирание

(4.16)

в) жесткое защемление

(4.17)

с) свободное опирание граничных точек (должны быть учтены условия совместной работы стержня и основания, т.е. )

(4.18)

если не учитывать совместную работу стержня и основания в граничных точках, то

(4.19)

В уравнении (4.14) и условиях (4.15) – (4.19) постоянные величины определяются формулами

(4.20)

где - модуль упругости и коэффициент Пуассона основания; h, в – высота и ширина сечения стержня; H – глубина (мощность) основания;  - коэффициент, характеризующий скорость затухания осадок основания (рекомендуется  = 1,5 – 1,0 [23]); m1, m0 – распределение массы стержня и основания; v, v0 – удельные веса стержня и основания; g = 9,8 м/сек2; (y) – безразмерная функция поперечного распределения осадки основания, которая может быть принята линейной или экспоненциальной

. (4.21)

Если обозначить

то задача Коши модели с двумя коэффициентами постели предстанет в виде

(4.22)

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (4.22) является биквадратным

корни которого

. (4.23)

Решение задачи Коши (4.22) можно записать в матричной форме по алгоритму §1.3

EIV(x)	=	A11	A12	-A13	-A14	EIV(o)	qy()d . (4.24)
EI(x)		A21	A22	-A23	-A13	EI(o)
M (x)		-A31	-A32	A33	A23	M (o)
Q* (x)		-A41	-A42	A43	A44	Q* (o)

Представим основные случаи фундаментальных функций и грузовых элементов, определяемые видом корней (4.23).

1 случай. S4 > 0; │S│>│r│; r2 ≠ 0. Корни (4.23) станут комплексными

(4.25)

2 случай. S4 < 0; r2 ≠ 0. Корни (4.23) действительные и мнимые

(4.26)

3 случай. S4 > 0; │S│<│r│; r2 < 0. Корни (4.23) действительные и разные

(4.27)

4случай. S4 > 0; │S│<│r│; r2 > 0. Корни (4.23) мнимые

(4.28)

Второстепенные случаи фундаментальных функций (S = 0, r = 0, │S│=│r│ и т.п.) имеют место только для отдельных точек интервалов изменения Fx, ω и могут быть построены аналогично. Уравнение (4.24) позволяет решать весьма большой круг задач статики, динамики и устойчивости стержневых систем, связанных с упругим основанием. Высокую точность результатов и эффективность алгоритма МГЭ проиллюстрируем на тестовом примере.

Пример 23 [83, c. 437]. Построить эпюры M, Q, N длинной железобетонной рамы с замкнутым контуром (рис. 4.8), лежащей на упругом основании при следующих данных: коэффициент Пауссона упругого основания коэффициент Пауссона материала рамы  = 0,167; модули упругости основания и материала рамы кПа; кПа; ширина и высота стержней рамы в = 1 м; h = 0,3 м; значения коэффициента  примем равными 1,5; 1,0; 0,5 м-1; жесткость при изгибе стержней рамы мощность основания примем для случая упругой полуплоскости ; коэффициенты при . При заданных значениях исходных данных получаем

Рис. 4.8

Решается задача статики, поэтому Fx = ω = 0. Получился случай , т.е. 1 случай фундаментальных функций (4.25). Раму можно разбить на 4 стержня, но вследствие симметрии нагрузки и конструкции, рассмотрим только левую половину из 3 стержней. Стрелками обозначаем начало и конец каждого элемента. Уравнения равновесия, совместности перемещений узлов 2, 3 и краевые условия представлены в матрицах Х*, Y. Элементы вектора В вычисляем по формулам (4.25) при F/2; a1 = 2,25 – 0 м; .

1	1		1
2	2		2
3	3		3
4	4		4
5	5		5
6	6		6	?
Х* = 7	; Y = 7		; B = 7
8	8		8
9	9		9
10	10		10
11	11		11
12	12		12
13	13	?	13
14	14		14	?
15	15		15

Матричное уравнение МГЭ для рамы примет вид

	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15		=
1	1		-2,5													EIV1-2(o)			1
2			-2,2				-1									N2-3(ℓ)			3
3			1					-1								M1-2(o)			8
4										1						EIV3-4(ℓ)			10
5					1				-1							N1-2(o)			5
6							4	-8	-10,6							M3-4(ℓ)			7
7							1	-4	-8			-1				EIφ2-3(o)			12
8								1	4				-1			M2-3(o)			9
9									1						1	Q2-3(o)			15
10		-1								1						N2-3(o)			2
11				-1								А12	-А13	-А14		N3-4(ℓ)			4
12												А22	-А23	-А13		EIφ3-4(o)			13
13						-1						-А32	А33	А23		M3-4(o)			6
14												-А42	А43	А44		Q*3-4(o)		-0,5	14
15											-1				1	N3-4(o)			11

Переставляя строки матриц А*, В в новом порядке для исключения нулевых ведущих элементов, решаем эту систему методом Гаусса (по программе примера 6). В таблице 13 представлены результаты расчетов для различных коэффициентов  и при отсутствии основания.

Таблица 13

Граничные параметры	Рама без упругого основания	Рама на упругом основании	Результаты метода перемещений [83]
		 = 1,5	 = 1,0	 = 0,5
	0,172	0,074	0,089	0,104	-
	0,0	0,0	0,0	0,0	-
	0,068	0,029	0,035	0,041	0,038
	0,972	0,461	0,536	0,????	??
?	???????	???????	???????	???????	??
?	??????	??????	??????	??????	????
?	???????	???????	???????	???????	??
?	??????	??????	??????	??????	??????
?	???????	???????	???????	???????	??
?	????	????	????	????	??
?	??????	??????	??????	??????	??
?	??????	??????	??????	??????	??????
?	???????	???????	???????	???????	???????
	0,5	0,182	0,251	0,357	0,209
	0,108	0,047	0,056	0,066	-

Данные таблицы 13 свидетельствуют о хорошем соответствии результатов МГЭ (при  = 1,0) и метода перемещений [83]. Эпюры M, Q,, N представлены на рис. 4.9. Выполним тестирование уравнения (4.24) на задачах динамики и устойчивости отдельных стержней. Трансцендентные уравнения строились по алгоритму МГЭ. Например, для стержня с жестко защемленными граничными сечениями, схема (1.38) приводит к следующему уравнению для собственных значений

	1	2	3	4
1			-А13	-А14	−	= 0 ;
2			-А23	-А13
3	-1		А33	А23
4		-1	А43	А44

Уравнение собственных значений для стержня, имеющего свободный конец, формировалось с учетом граничных условий

Таблица 14

Схема опирания стержня на упругом основании	Уравнение для определения собственных значений	Частоты собственных колебаний , Fx = 0	Критические силы потери устойчивости , ω = 0
		При отсутствии упругого основания	При наличии упруг. основания	При отсутствии упруг. основания	При наличии упруг. основания
		22,37 61,76 120,91 . . .	15,855 43,645 85,525 . . .	39,478	39,675
		15,42 49,97 104,24 . . .	10,955 35,375 73,756 . .	20,142	20,395
		3,52 22,03 61,70 . . .	2,6465 15,6575 43,685 . . .	2,467	2,785
		9,87 39,48 88,83 . . .	7,0585 27,965 62,855 . . .	9,87	10,095

Частоты собственных колебаний и критические силы отдельных стержней представлены в таблице 14. Данные таблицы 14 подтверждают представления о существенном влиянии упругого основания на частоты собственных колебаний и критические силы. При единичных исходных данных (в = h = H = EI = E0 = = m = m0 = 1;  = 0,3; 0 = 0,3) спектр частот собственных колебаний смещен влево, а критические силы -– вправо относительно спектров стержня без упругого основания.

4.5.4. Модель С.П. Тимошенко

Уравнения (3.10), (4.12) не учитывают деформации сдвига и инерции вращения при колебаниях. Поэтому они достаточно хорошо описывают поперечные колебания стержня с большим отношением длины к высоте сечения и при малых частотах. Однако, для рамных систем фундаментов тяжелого оборудования и подобных конструкций, когда где п – номер тона колебаний; h – характерный размер поперечного сечения; - длина полуволны упругой линии стержня, уже необходимо учитывать сдвиг и инерцию вращения [39,43]. Проблема построения более точных решений поперечных колебаний стержня весьма актуальна и в теории устойчивости в связи с применением динамического метода. Дифференциальное уравнение поперечных колебаний прямолинейного стержня с учетом деформаций сдвига и инерции вращения вывел выдающийся русский ученый проф. С.П. Тимошенко [91]. Его модель ныне утвердилась как наиболее точная и широко применяется в различных задачах механики конструкций. Для применения модели С.П. Тимошенко в задачах устойчивости необходимо дополнить ее продольной силой Fx. С этой целью рассмотрим стержень, сжатый следящей силой F1 и силой F2, имеющей фиксированную линию действия (рис. 4.10).

Рис. 4.10

Из геометрических соотношений деформированного состояния стержня следует выражение для изгибающего момента

, (4.29)

где - угол наклона сечения стержня без учета сдвига; - продольная сила в текущем сечении; , - соответственно прогиб текущей и граничной точек. Здесь не учитывается первая производная прогиба в кривизне стержня и считается, что вследствие малых перемещений ; . Для силы F2 выражение (4.29) является точным, для F1 – приближенным. Полный угол поворота сечения равен сумме [91]

, (4.30)

где - угол поперечного сдвига. Поперечная сила в рассмотренном случае предстанет выражением

, (4.31)

где AG – жесткость сечения при сдвиге; к – коэффициент, учитывающий влияние формы сечения на деформацию сдвига. Принципиально не изменятся уравнения (4.29), (4.31) в случае, если стержень будет сжиматься «мертвой» силой по рис. 4.7, d. Далее модель деформированного состояния (4.29) - (4.31) приводится к задаче Коши. Исходными при этом являются уравнения равновесия элементарной части стержня при собственных колебаниях:

сумма моментов

; (4.32)

сумма проекций на вертикальную ось

, (4.33)

где - плотность материала стержня; А – площадь сечения; I – осевой момент инерции сечения; m – равномерно распределенная масса; - поперечная динамическая нагрузка. Если исключить функцию из уравнений (4.32), (4.33), то уравнение С.П. Тимошенко с учетом действия продольной силы Fx примет вид

(4.34)

Ограничимся случаем гармонических колебаний, для которых можно разделить линейную и временную координаты в соответствии с методом Фурье, т.е.

, (4.35)

где - амплитуды прогиба, нагрузки и угла наклона; ω – частота собственных колебаний; - начальная фаза. Подставляя (4.35) в (4.29) – (4.31), (4.34), получим дифференциальное уравнение и соответствующие кинематические и статические параметры в амплитудном состоянии

(4.36)

где - амплитудные полный угол поворота, изгибающий момент и поперечная сила, коэффициенты и правая часть принимают вид

(4.37)

1. сюжет уходящего века
2. Тема- Типы рыночных структур Вопросы- 1 Монополия
3. . Понятие и классификация следственных действий Следственные действия это выполняемые следователем в соо
4. МИРОВАЯ ЭКОНОМИКА И МЕЖДУНАРОДНЫЕ ЭКОНОМИЧЕСКИЕ ОТНОШЕНИЯ Список сокращений АПК ~ агропромышленный
5. социальная значимость этой патологии объясняется тем скорбным фактом что во всём мире травмы одна из главн
6. Университеты Германии.html
7. тематичних напрямів роботи конференції- Сучасні дослідження когнітивної психології Дослідження пс
8. центральная макроэкономическая проблема любого государства
9. Экономика и управление на предприятии
10. Тема реферату та презентації Прізвище учня 1
11. Тема- Творчість Олеся Донченка для дітей
12. Матрицы действия с ними
13. Акции 22 Облигации 2
14. Психология личности предпринимателя
15. запечатление сохранение последующее узнавание и воспроизведение следов прошлого опыта
16. Показатели качества тестов.html
17. Тема- Простейшие ~ возбудители заболеваний человека Вариант 1
18. Нуклеиновые кислоты природные высокомолекулярные органические соединения обеспечивающие хранение и пе
19. О ПОДОХОДНОМ НАЛОГЕ С ФИЗИЧЕСКИХ ЛИЦ Макс СОКОЛ специалист Госналогслужбы РФ по налогообложению По с
20. Покупать продукцию компании в любом центре обслуживания Корпорации

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе