Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
15). Вывод параметрических и канонического уравнений прямой на плоскости, если задана точка , принадлежащая этой прямой, и направляющий вектор =, параллельный этой прямой.
Если на плоскости заданы точка и вектор , перпендикулярный прямой , то уравнение этой прямой можно записать в виде:
: = 0, (1)
уравнение (1) можно записать в виде: , или – общее уравнение прямой линии.
Если уравнение умножить на число: , причём выбирают знак , если , и знак , если , то получают запись: , которую называют уравнением прямой линии в нормальном виде. Нормализованное уравнение удобно применять при вычислении отклонения точки от прямой линии , определяемое выражением: =, и расстояния: .
Если заданы точки: , , принадлежащие , то уравнение прямой в этом случае удобно записать в виде: , где . В этом случае имеем: .
Если выбрать точки специально: , , то уравнение прямой линии можно записать в виде: – уравнение в отрезках.
Если прямая линия задана точкой и направляющим вектором , то уравнение записывают в виде: – каноническое уравнение.
Учитывая, что векторы = и = взаимно перпендикулярны, имея направляющий вектор прямой , мы можем записывать сразу:
, или , где =.
16). Вывод уравнения прямой на плоскости «в отрезках».
Если заданы точки: , , принадлежащие , то уравнение прямой в этом случае удобно записать в виде: , где . В этом случае имеем: .
19). Вычисление расстояния от точки до прямой линии :.
Общие формулы: имея уравнение прямой, записываем: = – вектор нормали и = – направляющий вектор, они взаимно перпендикулярны; векторы и будут использованы для построения прямой, проходящей через точку параллельно или перпендикулярно заданной прямой ; получение нормального уравнения и вычисление расстояние от точки до прямой выполняется также, как и в предыдущих примерах.
1). Для случая а) вычисляем = → нормальное уравнение: ·()=0 → отклонение =·=3 → = .
2). Первый способ. Прямая, перпендикулярная , должна иметь общее уравнение :=0, где коэффициент вычисляется из условия . Имеем =0 → =–3. Окончательно :=0. Второй способ. Из уравнения прямой следует направляющий вектор прямой , именно: ==(–2,1). После этого можем записать каноническое уравнение : .
3). Первый способ. Прямая, параллельная , должна иметь общее уравнение :=0, где коэффициент вычисляется из условия . Имеем =0 → =–4. Окончательно :=0. Второй способ. Из уравнения прямой следует направляющий вектор прямой , именно: ==(1,2). После этого можем записать каноническое уравнение : .
Ответ: в случае: а) расстояние от точки : =, уравнения :=0, :=0, или в каноническом виде : , : .
20). Вычисление угла между двумя прямыми : и :.
Треугольник задан координатами своих вершин. Записать уравнения прямых линий: , содержащей сторону треугольника , , содержащей высоту , биссектрис внутреннего и внешнего угла при вершине . Вычислить длину высоты = и угол между высотой и медианой . Рассмотреть случаи: а) (1,2), (2,–2), (6,1).
Решение:
Общие формулы: уравнение , содержащей точки , , записывают в виде: , где .
Замечание: представлена только основная формула, другие уже использовались в решённых примерах, и будут раскрываться по мере необходимости!
1). Найдём уравнение прямой . Вычислим =–4, и запишем уравнение : , или в виде .
2). Используя условие , можем записать : . Вычислим из условия: , то есть: , откуда =–2. Окончательно : .
3). Вычислим = как расстояние от точки до прямой линии . Нормируем уравнение и вычисляем: =·=·19 → = .
4). Вычислим угол . Если обозначить угловой коэффициент вектора как , то, используя величину =, можем записать: =. Вычислим координаты точки , учитывая, что – медиана: ==(7,3), тогда ==(3,7). Теперь можем записать: = и вычислить =. Используя формулу тригонометрии: , вычислим =.
5). Нахождение уравнений и можно было бы решать традиционно: имея угловые коэффициенты векторов и , найти угловые коэффициенты названных прямых и получить нужные уравнения.
Мы не станем применять этот способ: он более трудоёмкий. К тому же ответ, используемый задачником, будет получить весьма трудно!
Воспользуемся тем, что биссектриса угла есть геометрическое место точек, равноудалённых от сторон угла!
Найдём уравнение прямой =. Вычислим =–, и запишем : . Легко нормируя уравнения для прямых линий и , можем записать:
:=–, учтено, что угол , (5)
:=, учтено, что угол .