Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
LL=
П.1. Элементы комбинаторики
Сочетаниями из n элементов по называются различные группы элементов содержащих ровно m штук взятых из данных n отличающихся между собой по крайне мере одним элементом.
Формула для выч-я числа сочетаний
П2. Основные понятия ТВ
Опред: Т.В это раздел математики изучающий закономерности массовых случайных явлений
2 Основными понятиями ТВ яв-ся: Испытания (опыт), случайное событие, случайная величина
3 Совокупность условий в ходе которых получен или может быть получен тот или иной результат, назы-ся испытанием.
4 Результат испытания наз-ся событием
П3 Классификация событий
1. Достоверные т.е те события, которые в ходе испытаний обязательно произойдут
Пример: Мама старше своих детей
2. Невозможные те события, которые в ходе испытания никогда не произойдут
пример: Пингвины летают
3. События назыв-я равновозможными если ни одно из них не имеет никакого предпочтения перед появлением другого
Пример: выпадения орла или решки, при одном подбрасывании монетки
4. Совместными наз-ся события когда появление одного из них не исключает возможности появления другого
Пример: два стрелка стреляют по мишени, два спортсмена одновременно бегут.
5. Несовместные если появление одного из них, полностью исключает возможность появления другого
Пример: выпадение орла и выпадение решки при бросании монеты
Несовместные события образуют полную группу если в ходе испытания обязательно произойдет одно из них. Если полная группа состоит из 2х событий, то они называются противоположными.
П4. Вероятность событий
Определение: Вероятностью события А назыв-я численная мера возможности появления этого события в ходе данных испытаний и обозначается Р(А) – вер. Соб А
Для любого события величина всегда заключенное между 0 и 1
П5. Статистическое определение вероятности.
Опред.: Статистической вер-ью события А наз-ся отношение числа появления событий А к общему числу всех произведенных испытаний.
где m - число появления события А
n – общее число всех проведенных исп.
П6. Классическое определение вероятности
Опред: Вероятностью события А наз. Отношение благоприятствующих появлению этого события исходов к общему числу всех равновозможных исхоов.
П7. Геометрическое поределение вер-ти
Пусть q
Точка попавшая в область L может попасть и в область q, независимо от ее формы и положения.
А только пропорц-но тогда вероя-ть того, что точка попавшая в область L попавшая в область L попадет и в область q вы. По формуле
Аналогично выч. Вер-ть попадения точки трехмерного простр-ва или эти области лежат на пл. Вероятность вычисляемая по формуле
называется Геометрической веро-ью или геометр. способом опред. вер-ти.
П8 Алгебра событий
Опред.: Суммой событий А и В наз-ся событие С состоящее в появлении или события А или события С= А+В
Произведение событий А и В наз-ся событие С состоящее в одновременном
П9. Теоремы сложения вероятностей
Теорема 1. Вероятность суммы двух несовместных событие равна сумме вероятности этих событий
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Дока-во:
Пусть событие А и В могут произойти в n случаях из которых cлучаев благопри-ют появлению события А. случаев благоп. появл. соб. В
..
т.к. соб А и В несовместимые, то сумме соб А+В будут благоприя-ть ( случаев
По определ. Вер-ти: =P(A)+P(B)
Теорема 2. Вер-ть суммы 2х совместных чисел равна сумме вер-ти каждого из них минус вер-ти их совместного появления
P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A-B)
П10. Условная вер-ть
1. Опред.: Соб. В наз-ся зависимым от соб А если вер-ть соб В зависит от того, произошло соб А или нет
2. Условной вер-тью соб В, наз-т вер-ть этого события вычислить, преполож., что предыдущее соб. А состоялось
обозн: или
П11. Теоремы умножения вер-ей
Т.1 Для зависимых событий вероят-ть совместного появления двух зависимых событий равна произведению одного из них на условную веро-ть другого относительно первого. Р(А*В)=Р(А)*(В)=Р(В)*(А)
Т2. Если событие А и В независимые, то вероят-ть произведения равна произ-ю вероятностей этих событий Р(А*В)=Р(А)*Р(В)
П12. Вер-ть появления хотябы одного события
Вероятность того, что произойдет хотябы одно из
этих событий выч. по формуле
(1)
Если события могут произ-ти с одной и той же вероятностью
тогда . Поэтому, фор-а (1) записывается в виде:
П13. Формула полной вероятности
Теорема: Пусть событие А может наступить, если произойдет одно из n несовместимых событий образу-х полную группу. Тогда вер-ть события А равна сумме парных произведений вер-ей каждого из событий на условную вер-ть события А вычеслено в предположении, что состоялось
/// (1)
Формула (1) наз-ся фор-й полной вероятности.
Доказ-во:
Восп. Теоремами сложения вер-ти несовместимых событий и теоремой произведения вер-й зависимых событий
ч.т.д.
П 14. Формула Байеса.
С Помощью этой формулы можно переоценить вер-ть любой гипотезы если событие А уже состоялось.
Теорема: Если соб А может произойти, если произойдет хотя бы одно из n попарно несовместимых событий образую-х полную группу и известны условия вероятности
, то вероятность любой гипотезы может переоценить по формуле Б:
где P(A) – формула полной вер-и
П 15. Формула Бернулли
Пусть произ-ся n независимых испытаний в каждом из которых Соб А можт произойти с одной и той же вероятностью q=1-p Тогда вер-ть того, что в n испытаниях соб произойдет ровно m раз.
Выч по формуле Бернулли:
П 16. Наивероятнейшее число наступления события
Опред: Число – появление события А в серии из n опытов, вер-ть которого наибольшая, наз-ся наивероятнейшим числом наступления соб-я
Найдем это число исп-уя ф-лу Бернулли так, чтобы выпол-сь нерав-ва:
(1)
(2)
Оба этих нерв-ва зап-ся одним двойным нерваенством:
(3)
П 17. Локальная теорема Муавра Лапласа
На практике ф-ой Бернулли польз-ся если число испытаний не очень высоко. Если же n порядка несколько десятков, то применяют локальную теорему Муавра Лапласа
Теорема: Если вер-ть Р появ-ия соб-я А в серии из n – испытаний постоянно и отлично от 0 и 1, то вер-ть того, что в n испыт. Собы-е произойдет ровно k раз вычис-ся по формуле:
(1)
где (2) (3)
формулой (1) пользуются так:
1. По фор-е (2) находим Х
2. Для найденного Х по табл.значений находим собств.значение ф-ии
3. Табл. Знчаений составлено только для к
для отриц. Значений х польз-ся той же табл.
4. фор-лу (1) применяют, когда npq>9.
П18. Интегральная те-ма Муавра Лапласа
Теорема Вероятность наступления P(A) постоянно и отлично от 0 и 1. То вер-ть в n испытаниях от раз
(1)
где (2) (3)
Фи(х)=dt
Формулой (1) пользуются так:
1. По формулам (2) и (3) находим значения
2. По табл. Значений находим соответствующие значения ф-ии Фи(х)
3. Табл.значений ф-ии Фи(х) Составлена для х, если х<0, то польз-ся той же табл., помня, что Фи(х) нечетная ф-ия.
П19. Теорема Пуассона
Если при n независимых испытаниях соб А происходит с вероятностью Р близко к 0, то при достаточно большом n вер-ть осущ. Соб А как раз приблизительно равна
. Где =np
П1. Случайные величины
1 Опред.: СВ наз-ся величина, которая принимает одно и только одно возможное значение заранее не известно какое.
2. ДСВ наз-ся величина, которая принимает отдельные изолированные друг от друга значения.
3. СВ на-ся непрерывной если она может принимать любое значение из некоторого конечного или бесконечного промежутка
П2. Свпособы задания ДСВ
ДСВ считается заданной, если указаны все её возможные значения и соответствующие им вероятности
Опред: Закон Распределения ДСВ наз-ся соответствие между возможными значениям СВ и его вероятностью
Закон распределения ДСВ может быть задан:
1. Рядом распределения – это таблица в первой стороне которой будут перечислены все возможные СВ, а во второй строке под ними соответствующие вер-ти/ при этом =1
|
… |
|||||
|
… |
2. Графический полигон распределения
Соединение точек вершин многоугольника делается только в целях наглядности, т.к возможными значениями СВ яв-ся только
П3. Функция распределения ДСВ и её св-ва
Опр: Функцией распределения СВ наз-ся в-ть того, чир случайная величина х примет значение меньше х F(x)=P(X<x)
Свойства функции:
1. Ф-ия F(x) не отрицательна и не превосходит 1
2. Ф-ия F(x) неубывабщая, т.е если x<, то F(x) ≤ F()
3. В-ть того, что СВ х примет значение из интервала вычисляется по формуле:
P(a<x<b)=F(b)-F(a)
4. Если все значения ф случайной величины х принадлежат отрезку (а, в), то при
x<a F(x)=0 => F(-∞)=0
x>b F(x)=1 => F(∞)=1
П4. Числовые характеристики ДСВ
а) Мат ожидание
б) Дисперсия
Опред.: Дисперсией СВХ наз. Мат ожидание квадрата отклонения СВ от её среднего возможного значения(от мат.ожид)
Дисперсия харак-ет рассеивание значений СВ вокруг своего мат.ожид. В теории стрельб дисперсия показывает кучность.
в) Среднее квадр-е отклонение харак-ет отклонение СВ от её мат.ожид. В эк-их расчетах дисперсия Д и её сред-е кв.отклонение показ-ет все возм-ти риска
П5. Св-ва мат.ожидания
1. М(С)=С мат.ожидание постоянной равно самой постоянной
2. М(СХ)=СЬ(х) Постоянный множитель можно выносить за знак в мат ожидании
3. М(х+у)=М(х)+М(у) Мат ожидание суммы равно сумме мат ожид-й
4. М(х*у)=М(х)*М(у) Мат ожид. Произведения независимых СВ равно произведению мат ожиданий сомножителей
П6. Св-ва Дисперсии
1. Д(С)=0 C=const
2. Д(СХ)= Д(х)
3. Д(х+у)=Д(х)=Д(у), где х и у независимые СВ
Следствие: Д(х-у)=Д(х)+д(у) т.к
Д(х-у)=Д(х)+Д(у)= Д(х)+Д(у)=Д(х)+Д(у)
Следствие II ф-ла для вычисления дисперсии по определению дисперсии Д(х)=М
Д(х)=М()-(х) дисперсия равна разности мат ожидания квадрата СВ минус мат ожидание возведенного в квадрат.
П7. Закон распределения ДСВ
.
Пусть проводится n испытаний, вер-ть постоянна и равна р. Закон распределения в этом случае выглядит так:
|
0 |
1 |
2 |
.. |
m |
.. |
n |
|
М(х)=np D(x)=npq σ(x)=
Этими формулами пользуются тогда, когда вер-ть испытания одна и та же
б) Распределение Пуассона
Закон распределения также назся закон редких явлений.
|
0 |
1 |
2 |
3 |
.. |
n |
|
Можно показать, что в этом случае M(x)= λ,
D(x)= λ. Т.к если из полученной стат-ки мат.ожидания и дисперсии совпадают, то делают вывод о том, что СВ распределена по з. Пуассона.
в) Геометрическое распределение предст-т собой рапр. СВХ числа независимых экспери-в до появления первого успеха.
Числовые харак-ки для СВ имеющих геометр.распределение выч-ся по формулам
, , ?
П8. Направленная СВ (НСВ) ф-я рапср.
Опред.:СВ наз-ся непрерывной если она может принимать любое из непрерывного промежутка конечного или бесконечного
НСВ может быть задано фу-ей расппр-я, которую иногда также наз-ют интегральной ф-ей распр-я.
Св-ва ф-ии F(x)
1. Ф-ия F(x) неотрицательна (F(x)=p≥0)
2. F(x)Ограниченная (F(x)≤1)
3. F(x) – неубывающая(если ,
то F(
4. Вер-ть попадания в отрезок
Р(
5. Если x>b, то F(x)=0
6. Вер-ть попадания НСВ в точку равна нулю. Поэтому св-во 4 можно записать так:
P(
П9. Дифф-ая ф-ия распределения.
Опред.:Дифф-ой ф-ей распределения( или плотностью распределения вер-ей наз-ся 1-ая производная от интегральной фу-ии f(x)=F’(x)
Функция f(x) харак-ет плотность распределения значений НСВ её график наз-ся графиком плотности или кривой распределения.
Формула Ньютона-Лейбница
F(b)-F(a)
П10. Числовые харак-ки
Если непрерывная случайная величина имеет ф-ию f(x), то её мат.ожид. дисперсия с р.квад.откл выч-ся по формулам:
(2)
(x)= (3)
Опред.: Начальным моментом К – го порядка считается СВ ч наз-ся мат ожидание СВ
и обозначается: . Начальный момент выч-ся по формуле: для НСВ Х имеющей плотность вер-ти f(x)
б) Для ДСВ х законом распределения P(x)=
Начальный момент первого порядка есть М(ч)
Опред.: Центральным моментов К-го порядка СВ х наз-ся мат ожид-е случай-й величины (x-M
и обозн
a)центр.момент Кго порядка выч.по формуле
Для НСВ:
б) Для ДСВ
=
Опред.: Модой ДСВ Х наз-ся такое её значение, что вер-ть соответств. Ему наибольшая
Опред: Модой НСВХ наз-ся такое значение х, при котором плотность вер-ти f(x) достигает максимума
Опред.: Медианой СВХ наз-ся такое её значение , что
П11. Виды распределения НСВ
а) Равномерное рапср-е
Вер-ть попадания при равно.распред. СВ Х в промежутко (α,β) Вычисляется по формуле
б) показательное распределение
Опред.: НСВ х наз-ся распред. По показательному закону, если её плотность вер-ти имеет вид:
где – const. Параметр показательного распр.
Если в ходе стат.исследования получим, что М(х) практически совпадает со сред.кв.отклонением, то делают вывод о том, что СВ распределена по экспоненциальному закону
Р(a<x<b)=
П12. Нормальное распределение НСВ
Опред.: НСВ Х распр-на по норм-у закону, если плотность вероятности равна
, где а- мат ожидан
σ- ср.кв.отклонение
График ф-ии f(x) для нормального распределения наз-ся кривой Гаусса
П13. Вер-ть попадания норм-но распр-й В в заданный интервал
П14 Вер-ть заданного отклонения. Правило трех сигм
Правило трех сигм заключается в том, что с уверенностью 99,73% можно утверждать , что СВ рапср. По нормальному закону попадает в промежуток (а-3σ, а+3σ) из 10000 значений СВ только 27 раз
Если значение СВ изуч. По статистическим данным и оказалось что Св отклоняется от своего мат ожидания не более чем на 3σ, то с уверенностью близкой к 1 можно сказать, что СВ рапср. По нормальному закону
П1. Понятие о системе СВ
Опред.: Системой СВ наз-ся совокупность 2х и более СВ, рассматриваемых как единое целое в данном испытании
В зависимости отчисла СВ входящих в систему различают 2хмерные 3хмерные и тд.
Двухмерные СВ обозначаются точкой на числ плоскости или радиусом этой точки
Трехмерные Св обоз точкой в простр или радиусом
Система СВ может состоять из дискретных СВ, из непрер-ых СВ и быть Смешанной.
П2. Законы рапср-я системы двухСВ
Системы 2х ДСВ могут быть заданы след. Способами:
1) Рядом рапсределения – табл с 2-ым входом в которой указаны все возможные значения каждой из величин вх-х в системуи соответ-е вер-ти
2) Графически
3) Аналитически. С помощью ф-ии распр F(x,e)
Опред.: Ф-ей распр-я системы 2х СВ наз-ся вер-ть того, что СВХ примет значение меньше х, а СВУ меньше У
Система НСВ может задаваться двумя способами:
1) Ф-ей распределения
2) Плотностью вер-ей(дифф-ая ф-ия рапсре-я)
Опред.: Плотностью распр-я вер-ей для системы двух непрерывных В наз-ся вторая частная смешанная производная f(x,y)=(x,y)
П3. Условные законы рапсределения
П4. Числовые харак-ки
1. Мат ожидание
а) для системы 2х ДСВ
=
б) Для системы 2х НСВ
2. Дисперсия
а) Для системы 2х ДСВ
Д(у)
б) Для системы 2х НСВ
Д(Х)=
Д(У)=
П5. Корреляционный момент, коэфф-т
Корреляционный моент связи харак-ет зависимость вязи между СВ(Х, У) входящих в систему
Опред.: Корреляционным моентом системы двух СВ наз-ся мат ожидание произведения отклонений СВ от своего мат ожидания
)
Кор-й момент выч-ся по формулам
а) Для ДСВ
б) Для НСВ
Коэфф-от корр-ии наз-ся отношение корр.момента к произведению сред-х кв.отклонений этих СВ
Свойства коэфф-та корр.
1Если -1≤ ≤1, причем если ±1, то связь между х,у близко к линейной
2. Y=kx+b, где k,b-const
Если > 0, то СВ(х,у) связаны между собой положительной зависимостью