Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла. Различные задачи математики и ее многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике приводят к необходимости решения следующей задачи: по данной функции f(x) найти такую функцию F(x), производная которой была бы равна функции f(x), то есть .
Указанная задача является одной из основных задач интегрального исчисления.
Определение 1. Пусть y=f(x) – кусочно-непрерывная функция на отрезке [a,b]. Всякая непрерывная функция F(x), определенная на отрезке [a,b] и, в каждой точке непрерывности функции f(x) обладающая производной, равной функции f(x), называется первообразной для функции f(x) на [a,b].
Пример 1. Для функции , первообразной будет, например, функция , а также функция .
Действительно, функция непрерывна на всей числовой оси, следовательно, и кусочно-непрерывна на ней (см. определение 5 §7 гл. 2). Функция непрерывная на всей числовой оси и ее производная в каждой точке числовой оси равна
Пример 2. Для функции первообразной будет, например, а также где произвольная константа. Действительно, функция кусочно-непрерывная на всей числовой оси, а функция непрерывная всюду и
Пример 3. Для функции , первообразной на всей числовой оси будет функция и, например, функция
Заметим, что функция например, первообразной на всей числовой оси не будет, т.к. не является на ней непрерывной.
Из примеров видно, что первообразная определяется не единственным образом.
Теорема. Любые две первообразные функции f(x) на отрезке [a,b] отличаются на произвольную постоянную.
Доказательство. Пусть F(x) и G(x) первообразные функции f(x) на отрезке [a,b]. Тогда и во всех точках непрерывности функции f(x). Поэтому . Покажем, что , C=const. Действительно, если принадлежат отрезку непрерывности функции f(x), то по теореме Лагранжа
, поэтому для всех и , то есть функция постоянна на каждом отрезке , а т.к. она непрерывная, то она постоянная на всем отрезке [a,b] . Теорема доказана.
В силу теоремы множество всех первообразных функции можно представить в виде где некоторая первообразная, а произвольная константа.
Определение 2. Множество всех первообразных функции f(x), определенных на некотором отрезке [a,b], называется неопределенным интегралом от функции f(x) на этом отрезке и обозначается
, (1)
где – знак неопределенного интеграла, f(x) – подынтегральная функция, dx указывает по какой переменной берется неопределенный интеграл.
2. Основные свойства неопределенного интеграла.
1. Пусть функция F(x) непрерывна на отрезке и дифференцируема во всех его внутренних точках, тогда
. (3)
Формулу (3) можно записать так
. (4)
Соотношения (3), (4) вытекают из определения неопределенного интеграла.
2. Пусть функция f(x) имеет первообразную на отрезке , тогда в любой внутренней точке отрезка , в которой непрерывна, имеет место равенство
. (5)
Формула (5) следует из определения неопределенного интеграла.
Из (5) следует, что подынтегральное выражение является дифференциалом первообразной, т.е. Этим и объясняется обозначение неопределенного интеграла.
3. Если функции и имеют первообразные на отрезке , то и функция имеет первообразную на отрезке , причем
. (6)
(Без вывода).
4. Если функция f(x) имеет первообразную на отрезке и k – число, то функция kf(x) также имеет первообразную на отрезке , причем при справедливо равенство
. (7)
(Без вывода).
3. Таблица неопределенных интегралов.
Операция вычисления неопределенного интеграла от данной функции называется интегрированием. Сравнивая формулу первого дифференциала с формулами (3), (4), (5) обратим внимание на то, что операции дифференцирования и неопределенного интегрирования для непрерывной функции взаимно обратны, поэтому таблица неопределенных интегралов следует из таблицы дифференциалов или таблицы производных элементарных функций. Пусть u = u(x) любая дифференцируемая функция, тогда имеет место следующая таблица.
1. 1.
2. 2.
В частности , а
5. 5.
6. 6.
7. 7.
8. 8.
9. 9.
10. 10.
11. 11.
12. 12.
13.
13.
14. 14.
1. Замена переменной в неопределенном интеграле.
Теорема 1 (о замене переменной в неопределенном интеграле). Пусть функция определена и дифференцируема на некотором промежутке T и промежуток X – множество ее значений. Пусть функция f(u) определена на промежутке X и имеет на нем первообразную F(u). Тогда на промежутке T сложная функция является первообразной для функции и справедливо равенство
. (1)
Доказательство. Рассмотрим на промежутке T сложную функцию . Она непрерывна как композиция непрерывных функций. По правилу дифференцирования сложной функции имеем
во всех точках u непрерывности функции f(u). Т.е. функция имеет первообразную на промежутке T, равную . Следовательно,
.
Но, , поэтому формула (1) справедлива. Теорема доказана.
Формула (1) называется формулой замены переменной в неопределенном интеграле.
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение. Положим , тогда . Отсюда . По формуле (1)
Или, возвращаясь к переменной ,
.
2. Формула интегрирования по частям.
В некоторых случаях для отыскания первообразной удобно пользоваться формулой интегрирования по частям.
Теорема 2. Пусть функции u(x) и v(x) определены и дифференцируемы на промежутке X и пусть функция имеет на этом промежутке первообразную. Тогда на промежутке X функция также имеет первообразную и справедлива формула
. (2)
Доказательство. Из равенства
следует, что
.
Первообразной функции на промежутке X является функция . По условию теоремы функция имеет первообразную на этом промежутке. Значит
или
.
Теорема доказана.
Формулу (2) удобнее записывать в виде
. (3)
Формула интегрирования по частям позволяет свести вычисление интеграла к вычислению интеграла , который может оказаться более простым.
Пример 2. Вычислить интеграл .
Решение. Положим , , тогда , . По формуле (3) находим
=
= .
Пример 3. Вычислить интеграл .
Решение. Возьмем , , тогда . По формуле (2) получим
.
Укажем некоторые типы неопределенных интегралов, которые целесообразно вычислять по формуле интегрирования по частям.
, ,
, ,
где – многочлен n-ой степени, m – натуральное число, а,b – вещественные числа.
§ 3. Интегрирование тригонометрических функций
Интегралы , где a,b – вещественные числа, вычисляются непосредственно, если их подынтегральную функцию преобразовать по формулам
,
,
.
Пример 4. Вычислить .
Решение. =
= .
Понятие определенного интеграла настолько широко применяется в естествознании, что невозможно перечислить все задачи, решение которых основано на применении интеграла Римана. Вот только некоторые из них:
а) вычислить путь пройденный телом, движущимся со скоростью , от момента времени до момента времени ;
б) вычислить площадь плоской фигуры, ограниченной некоторыми линиями;
в) вычислить объем тела, ограниченного некоторыми поверхностями;
г) вычислить координаты центра тяжести произвольной фигуры.
Определение определенного интеграла. Условие существования.
Пусть y=f(x) некоторая функция, определенная на отрезке .
Разобьем этот отрезок на произвольных частей точками
.
В каждом из полученных частичных отрезков выберем произвольно точку , через обозначим разность , то есть . Обозначим это разбиение .
Образуем сумму
=
= . (1)
Сумма (1) называется интегральной суммой для функции f(x) на , соответствующей разбиению отрезка . Если функция на , то геометрический смысл суммы очевиден: это сумма площадей прямоугольников с основаниями и высотами .
Обозначим через для разбиения .
Определение. Функция f(x) называется интегрируемой по Риману на отрезке , если существует такое число J, что для любой последовательности разбиений отрезка такой, что , и при любом выборе точек , существует предел интегральных сумм равный числу J.
. (2)
Число J называется интегралом Римана от функции f(x) на отрезке и обозначается .
В обозначении определенного интеграла число a называют нижним пределом интегрирования, число b – верхним пределом интегрирования. Знак интеграла – это стилизованная буква S , означающая сумму.
Из определения интеграла Римана следует, что его величина зависит только от функции f(x) и чисел a и b. То есть, если заданы f(x) и пределы интегрирования, то интеграл Римана определяется однозначно.
Отсюда, в частности, следует, что определенный интеграл не зависит от выбора обозначения для аргумента подынтегральной функции .
Кроме того положим ,
Отметим, что существуют и другие определенные интегралы, например, интеграл Лебега, Стилтьеса, Радона. Касаться их мы не будем, поэтому в дальнейшем под определенным интегралом будем понимать интеграл Римана.
При вычислении интегралов важно знать, какие функции интегрируемы. Вот необходимое условие интегрируемости.
Теорема 1. Если функция интегрируема на отрезке , то она ограничена на этом отрезке.
Доказательство. Допустим, что интегрируемая функция не ограничена на . Тогда она не ограничена хотя бы на одном частичном отрезке разбиения. Пусть это будет отрезок . На остальных отрезках точки выберем произвольно и обозначим
.
Зададим произвольное число M>0 и возьмем на так, чтобы . Это можно сделать в силу неограниченности функции f(x) на . Тогда . Отсюда, в силу известного неравенства ,
.
То есть интегральная сумма по абсолютной величине больше любого наперед заданного числа. Поэтому интегральная сумма не имеет конечного предела при . Это означает, что определенный интеграл от неограниченной функции не существует и доказывает теорему.
Заметим, что обратная теорема неверна. Ограниченность функции на отрезке f(x) еще не означает ее интегрируемости. Рассмотрим функцию, называемую функцией Дирихле, на отрезке
d(x) ограниченная функция. Однако она не интегрируема на отрезке , так как , если все - рациональны. Если все - иррациональны, то .
Поэтому при интегральная сумма может принимать как значение равное 1, так и значение равное 0. Значит последовательность интегральных сумм предела не имеет.
Из сказанного следует, что для существования определенного интеграла функция f(x) кроме ограниченности должна обладать дополнительными свойствами, обеспечивающими ее интегрируемость.
Теорема 2 (достаточное условие интегрируемости).
Всякая ограниченная на отрезке функция и непрерывная на нем всюду, за исключением конечного числа точек, интегрируема на отрезке (без доказательства).
Определение интеграла как предела последовательности интегральных сумм, можно использовать для вычисления определенных интегралов.
Пример. Вычислить интеграл по определению.
Решение. Так как подынтегральная функция непрерывна, то интеграл существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек . Разобьем отрезок на n частей точками
,
здесь . На каждом отрезке выберем точку . Составим интегральную сумму
.
Перейдем к пределу при ,
.
Получим, что .
§ 5. Некоторые свойства определенного интеграла
Чтобы применять определенный интеграл для решения задач, нужно владеть его свойствами. Рассмотрим некоторые из них.
Свойства интеграла, выражаемые равенствами
1. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла, то есть
.
2. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их интегралов, если последние существуют, то есть
.
Свойства 1,2 следуют из аналогичных свойств для предела интегральных сумм.
3. Каковы бы ни были числа a,b и c имеет место равенство
,
если функция f(x) интегрируема на большем из отрезков.
Свойства интеграла, выражаемые неравенствами
1. Если всюду на отрезке функция , то
.
Свойство следует из того, что все слагаемые в интегральной сумме неотрицательны.
2. Если всюду на отрезке , то
,
т.е. неравенства можно интегрировать.
Доказательство следует из свойств 4 и 2, т.к.
3. Для функции f(x), определенной на отрезке , имеет место неравенство
.
Следует из того, что абсолютная величина интегральной суммы не превосходит суммы абсолютных величин слагаемых.
4. Если , то
или
. (1)
(Формула среднего значения).
Вытекает из неравенства для всех , свойств 1, 5 и свойства
5. (Теорема о среднем). Если функция непрерывна на отрезке , то на этом отрезке существует точка такая, что
. (2)
Доказательство. Запишем формулу (1) в виде . Так как число заключено между наименьшим и наибольшим значениями непрерывной функции на отрезке , то найдется такое число , что . Отсюда и следует требуемая формула. Теорема доказана.
Запишем формулу (2) в виде
. (3)
(3) называется формулой среднего значения, величина – среднее значение функции f(x) на отрезке .
6. Если функции f(x) и g(x) интегрируемые на отрезке то имеет место неравенство
(4)
Неравенство (4) представляет собой неравенство Коши-Буняковского, доказанное нами в §17 гл. 1.
Свойство 6) и неравенство Коши-Буняковского часто используются для оценки интеграла.
Пример. Оценить интеграл .
Решение. Так как , то по свойству г) имеем .
Если функция f(x) интегрируема на отрезке то это означает, что интеграл
(1)
существует для всех
Интеграл (1) называется определенным интегралом с переменным верхним пределом.
Теорема 1. Если f(x) кусочно-непрерывная функция на отрезке то функция
является первообразной для функции f(x) на отрезке
Доказательство: Согласно теореме 2 §6 кусочно-непрерывная функция интегрируема, поэтому функция Ф(x) существует. Докажем, что она непрерывная на отрезке и в каждой точке непрерывности функции f(x) имеет производную, совпадающую с f(x) (см. опр. 1 в §1).
Дадим приращение аргументу такое, чтобы и вычислим приращение функции Ф(x)
Согласно теореме 1 §6 функция ограничена на отрезке т.е. Тогда по формуле (1) §7 имеем
(2)
где Из (2) видно, что при и а это означает непрерывность функции в любой точке отрезка Первая часть теоремы доказана.
Пусть теперь любая точка непрерывности функции на Так как функция кусочно-непрерывная, то существует некоторая окрестность точки в которой она непрерывна. Воспользуемся теоремой о среднем. Получим
(3)
где
Из (3) найдем Поскольку существует в силу непрерывности функции f(x), то существует и предел
Теорема доказана.
Замечание. Во многих случаях приходится рассматривать более общий случай интеграла с переменными пределами
, где и дифференцируемые в точке x функции, а f(t) непрерывна на отрезке (предполагается, что ). Тогда
. (4)
Пусть F(x) и две первообразные функции на отрезке Согласно теореме §1 они отличаются на константу, т.е
(5)
При из (5) получим а при формулу (5) можно переписать в виде:
(6)
Формула (6) называется формулой Ньютона-Лейбница. Это важнейшая формула дифференциального и интегрального исчислений. Она дает простой способ вычисления определенного интеграла, основанный на вычислении первообразной подынтегральной функции.
Пример 1. Вычислить интеграл .
Решение. , значит,
=
= .
2. Формула замены переменной в определенном интеграле
Теорема 2. Пусть функция f(x) задана на отрезке , функция – на отрезке , причем и множеством значений функции является отрезок . Если функция f(x) непрерывна на отрезке , а функция непрерывна вместе со своей производной на промежутке , то
. (6)
Доказательство. Пусть F(x) какая-либо первообразная для функции f(x) на промежутке , тогда сложная функция является первообразной для функции на промежутке . Действительно
.
Поэтому по формуле Ньютона-Лейбница (5) имеем
Теорема доказана.
Покажем на примере, что формальное применение формулы (6) может приводить к ошибкам.
Например, вычислим интеграл , сделав в нем замену . Можно вычислить формально .
Получили неверный результат. Ошибка в том , что изменению x на отрезке соответствует изменение не на отрезке , а на объединении . Поэтому примененная замена переменной не удовлетворяет условиям теоремы.
3. Формула интегрирования по частям.
Определение. Функция называется кусочно-гладкой на отрезке если она непрерывна на нем и всюду, кроме конечного числа точек, имеет производную, которая является кусочно-непрерывной на отрезке
Из теоремы 1 следует, что кусочно-гладкой функцией является первообразная F(x) кусочно-непрерывной функции
Теорема 3. Если функции U(x) и V(x) кусочно гладкие на отрезке , то справедлива формула
, (7)
которая называется формулой интегрирования по частям для определенного интеграла.
Доказательство. Имеем
.
В предыдущем равенстве все интегралы существуют, поскольку подынтегральные функции кусочно непрерывны. Для интеграла в левой части по формуле Ньютона-Лейбница имеем .
Подставив последнее выражение в предыдущее равенство, получим формулу (7). Теорема доказана.
Замечание. Часто формулу (7) записывают кратко так
. (8)
Пример 2. Вычислить .
Решение. Положим в формуле (8) U=x , sin(2x)dx=dV. Тогда. dU=dx и .
Имеем – =
= = .
Площадь плоской фигуры в ДПСК (декартова прямоугольная система координат).
Геометрический смысл определенного интеграла, как известно, - площадь криволинейной трапеции.
Пусть функция непрерывна на отрезке , и . Тогда на отрезке . Поэтому
, (1)
где площадь криволинейной трапеции, ограниченной отрезком на оси , отрезками и прямых параллельных оси и куском графика функции .
Определенный интеграл был введен как предел последовательности интегральных сумм. При этом мы предполагали, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция ограничена на этом отрезке.
Обобщая понятие определенного интеграла на случай бесконечного промежутка интегрирования, приходят к новому понятию – несобственному интегралу 1-го рода.
Определение. Пусть функция определена на промежутке и интегрируема на любом отрезке . Тогда, называют несобственным интегралом первого рода и обозначают
. (1)
Таким образом, по определению
=. (2)
Если предел (2) конечен, то говорят, что несобственный интеграл (1) сходится. В противном случае интеграл (1) расходится.
Аналогично вводится понятие несобственного интеграла по промежутку :
=. (3)
В том случае, когда подынтегральная функция , несобственные интегралы (2), (3) можно истолковать как площадь неограниченной криволинейной трапеции.
Если существуют оба интеграла (2) и (3), то можно определить интеграл
=+, (4)
где – любое число.
Пример 1.
=
= .
Пример 2. =
= .
Так как предел функции при не существует, то этот интеграл расходится.
Пример 3. При каких значениях сходится интеграл .
Решение. Если , то = = . Если же , то
=
Следовательно, сходится при и расходится при .
Главное значение интеграла (4) определяется так
=. (5)
Заметим, что интеграл, рассмотренный в примере 2, существует в смысле главного значения. Действительно, по формуле (5) =.
Для вычисления несобственного интеграла нужно знать первообразную подынтегральной функции. Поскольку для подавляющего большинства функций их первообразные не выражаются через элементарные функции, то огромное значение имеют методы, позволяющие устанавливать сходимость или расходимость несобственных интегралов без вычисления первообразных. Приведем два таких критерия.
1. Если функции и неотрицательны и для справедливо неравенство , то из сходимости следует сходимость , а из расходимости следует расходимость .
2. Если функции и неотрицательны и существует предел , то при оба интеграла либо сходится, либо расходятся, при из сходимости следует сходимость , при из сходимости следует сходимость .
Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл . Если интеграл сходится абсолютно, то он и просто сходится, поскольку
.
Если интеграл сходится, но не является абсолютно сходящимся, то он называется условно сходящимся.
Пример 4. Доказать, что интеграл сходится условно.
Решение. Так как , то, доопределив подынтегральную функцию при единицей, получим функцию, интегрируемую на любом отрезке . Покажем, что интеграл не является абсолютно сходящимся. Имеем
.
Первый интеграл справа существует. Покажем, что второй расходится. Так как , то
. (6)
Интеграл расходится и равен . Интеграл же сходится, поскольку, интегрируя по частям, имеем
=
=.
В силу этой формулы, сходимость интеграла следует из сходимости интеграла . Сходимость последнего вытекает из неравенства . Переходя к пределу в неравенстве (6) при , получаем, что . Это доказывает расходимость интеграла . Сам же интеграл сходится.
Упражнение. Воспользовавшись предыдущим рассуждением, докажите сходимость интеграла . Указание: проинтегрируйте по частям.
Пусть функция неограничена на конечном промежутке и пусть в любом промежутке , где функция ограничена и интегрируема. В этом случае точка называется особой точкой функции .
Определение 1. Предел интеграла при называется несобственным интегралом второго рода от функции по промежутку
. (1)
В том случае, когда предел (1) конечен, говорят, что интеграл сходится, если же предел (1) бесконечен или не существует, то говорят, что интеграл расходится.
Аналогично, если единственная особая точка функции на отрезке и функция интегрируема на любом отрезке , , то
. (2)
Наконец, пусть единственная особая точка функции на отрезке лежит внутри интервала , тогда
. (3)
В этом случае интеграл называется сходящимся, если сходятся оба интеграла в правой части равенства (3).
Главное значение интеграла . Пусть единственная особая точка функции на отрезке лежит внутри этого отрезка и интегрируема на отрезках и , тогда, по определению главное значение этого интеграла есть
. (4)
Пример 1. Выяснить, при каких интеграл сходится, а при каких расходится.
Решение. Пусть , тогда
=
=. расходится.
Если , тогда
=
=
Следовательно, интеграл сходится при и расходится при .
Пример 2. Показать, что интеграл , сходится в смысле главного значения.
Решение. По формуле (4) имеем
=
=.
Как и в случае с несобственными интегралами первого рода, важное значение имеют критерии сходимости интегралов второго рода.
1. Пусть функции и неотрицательны на и тогда: 1) если интеграл сходится, то сходится и интеграл ;
2) если интеграл расходится, то расходится и интеграл .
2. Пусть функции и неотрицательны на полуинтервале ,при и существует предел , тогда:
1) если и интеграл сходится, то сходится и интеграл ;
2) если и интеграл расходится, то расходится и интеграл ;
3) при оба интеграла вместе сходятся или расходятся.
Подынтегральная функция может быть и отрицательной на . В этом случае применяется понятие абсолютной сходимости.
Определение 2. Несобственный интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл .
Если интеграл сходится абсолютно, то он и просто сходится. Заметим, что интеграл может сходиться, но не сходиться абсолютно. Тогда он называется условно сходящимся.
PAGE 153