Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Н. И. Фрейлах
МАТЕМАТИКА
для педагогических училищ
Допущено Министерством образования Российской Федерации
в качестве учебного пособия для студентов учреждений среднего
профессионального образования
Москва
ИД «ФОРУМ» - ИНФРА-М 2011
УДК 51(072.32) ББК 22.1я723 Ф86
Рецензенты:
кандидат педагогических наук, заведующая кафедрой математики и методики ее преподавания в начальной школе МГПУ, профессор Л.П. Стойдова; кандидат экономических наук, преподаватель математики ПК №16 г. Москвы, доцент кафедры высшей математики МИРЭА А.С.Ходос
Фрейдах Н.И.
Ф86 Математика для педагогических училищ. — М.: ИД «ФОРУМ»; ИНФРА-М, 2011. — 144 с. — (Профессиональное образование).
ISBN 978-5-8199-0341-4 (ИД «ФОРУМ») ISBN 978-5-16-003I92-7 (ИНФРА-М)
Учебно-методическое пособие написано в соответствии с государственным образовательным стандартом и предназначено для студентов педагогических колледжей, обучающихся по специальностям 050704 (дошкольное образование), 050705 (специальное дошкольное образование), 0507018 (специальная педагогика в специальных (коррекционных) образовательных учреждениях).
Пособие включает материал для лекиионно-практических занятий, материал для контроля за самостоятельной работой студентов.
Книга предназначена для студентов, имеющих математическую подготовку средней школы и изучающих математику как предмет цикла «Математические и общие естественнонаучные дисциплины» (ЕН.01.). Здесь представлен краткий теоретический курс но математике для будущих воспитателей детей дошкольного и школьного возраста, и том числе с проблемами я развитии. В пособии изложены некоторые вопросы логики, теории множеств, теории величин, теории чисел, геометрический материал, понятие текстовой задачи и ее решения. Курс снабжен опорными конспектами, вопросами для самоконтроля, заданиями для самостоятельной работы, вариантом рабочей программы с вопросами для итогого контроля.
Пособие может быть полезно воспитателям детских садов, групп продленного дня и родителям, желаюшим грамотно осуществлять математическое развитие детей и помощь в изучении математики.
УДК 51(072.32)
ББК 22.1я723
ISBN978-5-8199-0341-4 (ИД«ФОРУМ») ©Н.И. Фрейлах, 2008
ISBN978-5-I6-003192-7 (ИНФРА-М) ©ИД «ФОРУМ*, 2008
ПРЕДИСЛОВИЕ 6
ВВЕДЕНИЕ 6
ЭЛЕМЕНТЫ ЛОГИКИ 9
1.1.Объем и содержание понятия 9
1.2. Отношение рода и вида между понятиями 10
1.3. Определение понятий 11
1.4. Математические предложения 15
1.5. Высказывания и высказывательные формы 20
1.6. Высказывания с кванторами 21
1.7. Отношения следования и равносильности 23
1.8. Умозаключения и их виды 24
1.9. Математическое доказательство 28
ТЕМА 2 35
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ МНОЖЕСТВ 35
2.1. Понятие множества и элемента множества 35
2.2. Способы задания множеств 36
2.3. Отношения между множествами 38
2.4. Операции над множествами 41
2.5. Разбиение множества на классы 47
2.6. Соответствия между двумя множествами 48
2.7. Равномощные множества 50
2.8. Отношения между элементами одного множества 51
2.9. Свойства отношений на множестве 53
ТЕМА 3 ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФИГУРЫ 59
3.1. Из истории развития геометрии 59
3.2. Понятие геометрической фигуры 61
3.3. Геометрические фигуры на плоскости 62
3.4. Многоугольники 66
3.5. Геометрические фигуры в пространстве 69
3.6. Многогранники 69
3.7. Тела вращения 72
ТЕМА 4 76
ВЕЛИЧИНЫ И ИХ ИЗМЕРЕНИЕ 76
4.1. Понятие величины 76
4.2. Свойства однородных величин 76
4.3. Измерение величин 77
4.4. Длина отрезка 80
4.5. Площадь фигуры 82
4.6. Масса тела 85
4.7. Промежутки времени 86
4.8.Зависимостимежду величинами 87
4.9. Из истории развития систем единых измерений 87
ТЕМА 5 93
НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА И НУЛЬ 93
5.1. Этапы развития понятия натурального числа 93
5.2. Натуральный ряд и его свойства 95
5.3. Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля 96
5.4. Натуральное число как результат измерения величины 99
5.5.Способы записи чисел 100
5.6. Особенности десятичной системы счисления 101
ТЕМА 6 106
ТЕКСТОВЫЕ ЗАДАЧИ 106
6.1. Понятие текстовой задачи и ее структура 106
6.2. Методы решения задач 108
6.3. Основные этапы решения задач 110
6.4. Моделирование в процессе решения задач 114
ПРИЛОЖЕНИЕ №1 118
Умение пользоваться математическими методами познания, к владение математическим языком, сформированное математических представлений, знание основных математических понятий и их взаимосвязей необходимо воспитателю для осуществления не только образовательных, но и общеразвивающих и коррекционных задач в процессе воспитания детей.
Данное пособие поможет не только студентам в изучении предмета, но и преподавателям в организации учебного процесса. В силу небольшого количества часов, предусмотренного учебным планом для изучения данного курса (40 часов), теоретический материал излагается в сжатой форме. При проведении лекций необходимо осуществлять деятельностный подход в обучении, студенты должны активно участвовать в обсуждении материала, применять свои знания в практической работе, использовать имеющиеся знания школьной программы по математике. Лекционный материал снабжен заданиями, в процессе которых студенты используют знания предыдущих лекций и охватывают вопросы, которые будут изучаться в будущем. Таким образом осуществляется взаимосвязь теоретического и практического материала. В приложении приведено содержание государственного образовательного стандарта по предмету и вариант рабочей программы курса.
Для обеспечения мотивации в обучении на семинарских занятиях предлагаются для обсуждения вопросы («Вопросы для самостоятельной работы»), связанные с профессиональной деятельностью, раскрывающие необходимость научных знаний предмета, задания для повышения общей эрудированности. Опорные конспекты помогут систематизировать и обобщить полученные знания, упростят процесс запоминания изученного. Вопросы для самоконтроля (в конце каждой темы) и итогового контроля (в приложении) могут использоваться для текущих зачетов и экзамена. Студенты имеют возможность самостоятельно подготовиться и проконтролировать себя, что активизирует их познавательную деятельность и стимулирует к самообразованию. Изучение данного курса может быть базой для дальнейшего математического образования. Желающие расширить свои знания могут воспользоваться литературой, указанной в конце пособия.
При разработке пособия автор опирался на современные программы школьных и дошкольных образовательных учреждений (в том числе специальных), учебники математики, методики математического развития, методики преподавания математики в начальных классах. Автор благодарен Л.П. Стойловой за помощь, замечания и полезные советы, которые сыграли большую роль при написании данного пособия.
Математика и ее роль в жизни общества
«Тот, кто не знает математики, не мо-
жет узнать никакой другой науки и даже
обнаружить своего невежества'.
Роджер Бэкон
(английский философ
и естествоиспытатель, ок. 1214 — 92)
Воспитателю школьных и дошкольных учреждений нужно знать многие педагогические науки; педагогику, психологию, дефектологию и др.; необходимо владеть различными методиками, в частности - математического развития детей, а для этого нужно разбираться в математических понятиях, владеть математическим языком, иметь запас математических знаний, умений и навыков.
Изучение научных основ курса математики: элементов логики, теории множеств, теории чисел, теории величин, элементов геометрии поможет осуществить принцип научности в работе с детьми, логично строить рассуждения, грамотно раскрывать математические понятия, правильно формировать математические умения. Знакомство с историей возникновения и развития математики расширит кругозор педагогов, даст возможность проявить свою эрудицию в общении с ребенком.
Математика - наука о количественных отношениях и пространственных формах действительного мира.
Математические объекты: множества, числа, величины, геометрические фигуры и др.
Методы математического познания:
абстрагирование - мысленное отвлечение от ряда сторон, свойств или связей предметов и явлений для выделения их существенных признаков;
идеализация — мысленное представление идеальных объектов, не существующих в действительности (точка, прямая, плоскость, число и др.);
моделирование — построение моделей и исследование объектов на их моделях.
Математика как наука изучает окружающий нас мир, природные и общественные явления. Но в отличие от других наук, математика изучает их особые свойства, отвлекаясь от других. Так, геометрия изучает форму и размеры предметов, не принимая во внимание, например, их цвет. Вообще математические объекты (геометрическая фигура, число, величина) созданы человеческим умом и существуют лишь в мышлении человека, в знаках и символах, которые образуют математический язык. Абстрактность математики позволяет применять е её в самых разных областях, она представляет собой могущественный инструмент для познания природы.
Появление первых математических понятий связано с появлением абстрактной мысли вообще. Археологические раскопки свидетельствуют о наличии примитивного абстрактного мышления у первобытного человека. На протяжении тысячелетий в процессе своей практической деятельности человек вырабатывал такие понятия, как: «один — много», «больше — меньше», понятия, отражающие форму, величину, пространственное расположение предметов и др. Эти представления получили свое дальнейшее развитие вследствие расширения потребностей человека, развития земледелия, строительства и пр. Существует мнение, что математика, так же как поэзия, живопись, музыка, была вызвана к жизни не только практическими, но и духовными потребностями человека, его стремлением к познанию, красоте и гармонии, а главное - доказательству.
Что же дала математика человечеству? Многие крупнейшие ученые видят ее главную задачу в содействии объяснению законов природы. Союз математики и наук о природе (физики, химии, биологии и др.) сделал возможным многие величайшие открытия (законы движения планет, теория относительности, таблица Менделеева, формулы ДНК и мн. др.). Математика служит базой для инженерных наук, без нее невозможно строительство зданий, мостов, электростанций, поездов, самолетов, ракет. Потребность решать эти грандиозные задачи привела к созданию компьютеров. Мы являемся современниками новой технической и информационной революции. Трудно назвать профессию, где человек обходился бы без знания математики.
Для чего изучают математику? Достижения науки математики являются частью общечеловеческой культуры. Каждый день, решая личные и бытовые проблемы (расчет времени на дорогу, покупка товаров, приготовление пищи, ремонт дома и мн. др.), мы используем имеющиеся у нас математические знания. Маленький ребенок, познавая окружающую действительность, приобретает и применяет первичные математические представления о количестве, величине, форме и др. не только благодаря обучению, но и познавательному интересу, природной потребности. Изучение математики оказывает огромное влияние на интеллектуальные и творческие способности человека.
Задания для самостоятельной работы
1. Приведите примеры применения математики в различных сферах жизни человеческого общества: экономике (сельском хозяйстве и промышленности), политике, искусстве, других науках, домашнем хозяйстве и др.
2. Выберите одну из наук и раскройте на ее примере значение фразы известного советского математика Соболева С.Л. (1908 — 89 гг.) «Математика — это царица и служанка всех наук...».
3. Приведите примеры использования математических понятий в устном народном творчестве: пословицах, поговорках, скороговорках, считалках, прибаутках, песнях, сказках, загадках и др.ТЕМА 1
— Чем фигуры отличаются? (Цветом.)
— Что есть у треугольника? (3 стороны, 3 угла.)
Таким образом, дети выясняют существенные и несущественные свойства понятия «треугольник». Существенные свойства: «иметь три стороны», «иметь три угла»; несущественное свойство — цвет.
Содержание понятия - совокупность всех существенных свойств объекта.
Когда говорят о математическом объекте, имеют в виду всю совокупность объектов, обозначаемых одним термином.
Объем понятия — совокупность всех объектов, обозначаемая одним термином.
Например, содержание понятия «квадрат» — это совокупность всех существенных свойств, которыми обладают квадраты, а в объем этого понятия входят все квадраты, которые только можно представить.
Итак, любое понятие характеризуется:
— термином (название);
— объемом;
— содержанием.
Математические понятия могут находиться в разных отношениях.
Понятия находятся в отношении рода и вида, если объем одного понятия включает объем другого понятия, но не совпадает с ним.
Примеры:
1)Квадрат и прямоугольник находятся в отношении рода и вида, где прямоугольник - родовое понятие, а квадрат - видовое понятие, так как все квадраты являются прямоугольниками, но не все прямоугольники являются квадратами.
2) Отрезок и прямая не находятся в отношении рода и вида, так как отрезок - это часть прямой, а не ее разновидность. Они находятся в отношении части и целого.
Уже в дошкольном возрасте дети рано начинают понимать родовидовые отношения, не называя их явно. Например, выполняя задание: «Назови одним словом» (рис. 4), они подразумевают, что понятия «квадрат», «прямоугольник», «трапеция», «ромб»,
«параллелограмм» являются видовыми по отношению к понятию «четырехугольника.
Если объемы понятий совпадают, то эти понятия тождественны.
Например, понятия «равносторонний треугольник» и «равноугольный треугольник» тождественны. В школе на уроках русского языка дети изучают понятие «синонимы» — слова, различные по звучанию, но тождественные по смыслу.
Некоторые особенности родовидовых отношений между понятиями
1) Понятия рода и вида относительны. Одно и то же понятие может быть родовым по отношению к одному понятию и видовым по отношению к другому. Например: понятие «прямоугольник» - родовое к понятию «квадрат», но видовое к понятию «четырехугольник».
2) Для данного понятия часто можно указать несколько родовых понятий. Например, для понятия «квадрате родовыми являются понятия «прямоугольник», «ромб», «четырехугольник», «многоугольник», «геометрическая фигура».
3) Видовое понятие обладает всеми свойствами родового понятия. Например: квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника.
4) Если два понятия находятся в отношении рода и вида, то между их объемами и содержаниями существует взаимосвязь: если объем больше, то содержание меньше, и наоборот. Например, объем понятия «прямоугольник» больше, чем объем понятия «квадрат», так как все объекты второго понятия являются и объектами первого понятия. Содержание понятия «прямоугольник» меньше, чем содержание понятия «квадрат», так как квадрат обладает всеми свойствами прямоугольника и еще другими свойствами, присущими только ему.
Задание 2
Назовите, какие из перечисленных понятий находятся в отношении рода и вида: круг, ломаная, треугольник, отрезок, многоугольник, радиус, окружность.
Для распознавания объекта необязательно проверять у него существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим полются, когда понятию дают определение.
Определение понятия - это логическая операция, которая укрывает содержание понятия либо устанавливает значение терм
Определение понятия позволяет отличать определяемые проекты от других объектов. Так, например, определение понятий «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от др: треугольников.
Существуют различные виды определений. Различают явные и неявные определения (рис. 5).
Явные определения имеют форму равенства двух понятий. С из них называют определяемым, другое — определяющим.
Например: «Прямоугольный треугольник — это треугольна которого есть прямой угол». Здесь определяемое понятие — «примоугольный треугольник», а определяющее - «треугольник, у кого есть прямой угол».
Самый распространенный вид явных определений — это о деление через род и видовое отличие. Приведенное выше определение прямоугольного треугольника относится к таким определяем. Понятие «треугольник», содержащееся в определяющем птиц, является ближайшим родовым понятием по отношению понятию «прямоугольный треугольник», а свойство «иметь пругол» позволяет из всех треугольников выделить один из вид прямоугольный треугольник.
Видовое отличие — существенное свойство, которое отличае видовое понятие от всего рода.
Структура определения через род и видовое отличие изобра; схематично на рисунке 6. По данной схеме можно строить ощления понятий не только в математике, но и в других науках.
Основные правила определения через род и видовое отличие
1) Определение должно быть соразмерным.
Это означает, что объемы определяемого и определяющего понятий должны совпадать. Например, в определении «Квадрат — это четырехугольник с равными сторонами» допущена ошибка. Здесь объем определяемого понятия меньше объема определяющего понятия (в объеме определяющего понятия содержатся ромбы, которые необязательно являются квадратами).
2) В определении (или их системе) не должно быть порочного круга.
Круг возникает, когда определяемое понятие определяется через само себя. Круг в системе определений означает, что определяемое понятие определяется через определяющее, а определяющее через определяемое. Например: «Перпендикулярные прямые — это прямые, которые при пересечении образуют прямые углы. Прямые углы - это углы, которые образуются при пересечении перпендикулярных прямых».
3) Определение должно быть ясным.
Смысл всех терминов, входящих в определяющую часть, должен быть ясен и четко определен. Например, если дети не знакомы с прямым углом, им нельзя давать такое определение: «Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые».
4) Определяемый объект должен существовать.
Иногда, давая определения по аналогии, допускают ошибки. Например: «Прямоугольный треугольник - это треугольник, у которого все углы прямые». Для испрачения оплошности можно предложить им нарисовать этот объект.
5) Принято называть ближайшее родовое понятие.
Для распознавания объекта необязательно проверять у него все существенные свойства, достаточно лишь некоторых. Этим пользуются, когда понятию дают определение.
Определение понятия — это логическая операция, которая раскрывает содержание понятия либо устанавливает значение термина.
Определение понятия позволяет отличать определяемые объекты от других объектов. Так, например, определение понятия «прямоугольный треугольник» позволяет отличить его от других треугольников.
Существуют различные виды определений. Различают явные и неявные определения (рис. 5). Явные определения имеют форму равенства двух понятий. Одно из них называют определяемым, другое — определяющим.
Например: «Прямоугольный треугольник — это треугольник, у которого есть прямой угол». Здесь определяемое понятие — «прямоугольный треугольник», а определяющее — «треугольник, у которого есть прямой угол».
Самый распространенный вид явных определений - это определение через род и видовое отличие. Приведенное выше определение прямоугольного треугольника относится к таким определениям. Понятие «треугольник», содержащееся в определяющем понятии, является ближайшим родовым понятием по отношению к понятию «прямоугольный треугольник», а свойство «иметь прямой угол» позволяет из всех треугольников выделить один из видов — прямоугольный треугольник.
Видовое отличие - существенное свойство, которое отличает видовое понятие от всего рода.
Структура определения через род и видовое отличие изображена схематично на рисунке 6. По данной схеме можно строить определения понятий не только в математике, но и в других науках.
Для понятия часто существует несколько родовых понятий, так, например, для понятия «квадрат» можно сформулировать разные определения:
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны;
- это ромб, у которого все углы прямые;
- это четырехугольник, у которого все стороны равны и все углы прямые;
- это многоугольник, у которого 4 равные стороны и 4 прямых угла.
Удобным считается первое определение, так как «прямоугольник» — ближайшее родовое понятие по отношению к понятию «квадрат».
6) Желательно, чтобы определяющее не содержало избыточных свойств.
Удобно перечислить многие существенные свойства, но определение становится громоздким. При работе с детьми иногда это правило нарушают. Например, ребенок спешит сообщить все существенные свойства квадрата и дает такое определение: «Квадрат — это четырехугольник, у которого 4 прямых угла и 4 равные стороны».
Задание 4
Имеются пи логические ошибки в следующих определениях:
• параллельные прямые — прямые, не имеющие общих точек или совпадающие;
• смежные углы — это углы, которые в сумме составляют 180 градусов;
• прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые, а противоположные стороны равны;
• тупоугольный треугольник — это треугольник, у которого все углы тупые;
• перпендикулярные прямые — это прямые, которые перпендикулярны.
При формировании у детей начальных математических представлений чаще всего применяют неявные определения, которые не имеют формы равенства двух понятий, например остенсивные и контекстуальные определения.
Остенсивное определение — это неявное определение, при котором называют и показывают объект, термин для которого вводят.
Например:
- это круг (рис. 7).
Определения посредством показа отличаются незавершенностью, неокончательностью, но именно они связывают слова с вещами.
При ознакомлении дошкольников и младших школьников с математическими понятиями, особенно Рис 7 в начале обучения, в основном используются остенсивные определения. Однако в дальнейшем это требует изучения существенных свойств объектов, то есть формирования у детей представлений об объеме и содержании понятий, первоначально определенных остенсивно.
Контекстуальное определение — неявное определение, в котором содержание нового понятия раскрывается в контексте — отрывке текста.
Например, при формировании у дошкольников счетной деятельности детей учат правильно использовать количественные и порядковые числительные: «Чтобы ответить на вопрос «сколько?», надо считать так: один, два, три, — это количественный счет, а чтобы ответить на вопрос «который?», надо считать так: первый, второй, третий, — это порядковый счет».
Контекстуальные определения остаются в значительной мере неполными, нечеткими, поэтому необходимо выявление существенных свойств таким образом определенного понятия.
Взаимосвязи между объектами и свойствами выражаются с помощью предложений. Предложения могут быть сформулированы при помощи слов и записаны при помощи математических символов:
Составные предложения образуются из элементарных с помощью союзов «и», «или», частицы «не» и др. Эти слова называются логическими связками.
Примеры составных предложений различных по структуре приведены на рисунке 8:
Задание 5
Определите структуру предложений и выявите в них элементарные предложения:
- «Параллельные прямые не пересекаются»;
- «Противоположные стороны прямоугольника параллельны и равны»;
- «Число оканчивается нулем или пятерной».
1.5. Высказывания и высказывательные формы
При формулировке или чтении любого предложения нас интересует, истинно оно или ложно, то есть его значение истинности.
Задание 6
Выберите предложения, к которым можно задать вопрос, истинно
Очевидно, что не ко всем предложениям можно задать вопрос о его истинности. Среди предложений выделяют высказывания и высказывательные формы.
Задание ребенку: «Возьми черный треугольник». Выбрав фигуру, ребенок формулирует вслух или подразумевает предложение: «Вот черный треугольник», что другими словами значит: «Данная фигура черного цвета и является треугольником». Выявим логическую структуру этого высказывания и содержание элементарных математических предложений, входящих в состав этого высказывания.
Структура: «А и В»; элементарные предложения: А - «Данная фигура черного цвета», В - «Данная фигура - треугольнике.
Выбор ребенка оценивается воспитателем, исходя из правил логики, что отображено на рисунке II.
2) Наглядный материал изображен на рисунке J2.
Задание ребенку: «Возьми фигуру, похожую на яблоко по цвету или по форме». Свой выбор ребенок сопровождает словами (или их подразумевает): «Вот фигура, похожая на яблоко по цвету или по форме». Выявим логическую структуру этого высказывания и содержание элементарных математических предложений, входящих в состав этого высказывания.
Структура: «А или В»; элементарные предложения: А — «Фигура имеет цвет как у яблока», В - «Фигура имеет форму как у яблока».
А — «фигура является многоугольником», составное предложение: «Не А» — «фигура не является многоугольником».
Взаимосвязь оценки воспитателя и выбора ребенка можно увидеть на рисунке 15.
Если предложение А — элементарное высказывание, то для построения отрицания следует либо предварить его словами «неверно, что...», либо поставить частицу «не» перед сказуемым (если А содержит частицу «не», то отбросить ее).
Высказывательные формы можно обратить в высказывание, не только подставив значения переменных. Иногда используют другие способы.
Задание 9
Запишите натуральные числе от 1 до 9. Определите значение истинности предложений:
«Числа однозначные»; «Числа отрицательные»;
«Числа четные».
Нельзя ответить на вопрос, истинны или ложны эти предложения, так как они являются высказывательными формами. Для обращения их в высказывания необходимо уточнение, о каких числах идет речь. Для этого можно, например, в начале данных предложений поставить слова «все» или «некоторые».
Слова, которые превращают высказывательную форму в высказывание, называются кванторами. Кванторы бывают двух видов: кванторы общности («все», «любой», «всякий», «каждый?) и кванторы существования («некоторые», «существуют», «имеются», «найдется», «есть», «хотя бы один»).
При изменении вида квантора значение истинности высказывания может поменяться, а может сохраниться. Например, для чисел из задания 9 предложения: «Все числа однозначные», «Имеются однозначные числа», «Некоторые из данных чисел четные» — истинные высказывания; а предложения: «Некоторые числа отрицательные», «Все числа отрицательные», «Все числа четные» — ложные высказывания.
Обычно мы определяем значение истинности интуитивно верно. При затруднении, чтобы установить значение истинности высказываний с кванторами, надо знать некоторые правила.
Истинность высказываний с квантором общности устанавливается путем доказательства. Чтобы убедиться в ложности, достаточно привести контрпример.
Истинность высказывании с квантором существования устанавливается при помощи конкретного примера. Чтобы убедиться в его ложности, необходимо провести доказательство.
Например, рассмотрим предложения для чисел из задания 9:
«Все числа однозначные» - истинное высказывание, так как, проверив каждое число (способ доказательства - полная индукция), мы убеждаемся в справедливости высказывания.
«Все числа четные» — ложное высказывание, так как, например, число 5 не является отрицательным (контрпример).
«Некоторые из данных чисел четные» — истинное высказывание, так как, например, число 4 — четное (пример).
«Некоторые числа отрицательные» — ложное высказывание, так как, проверив каждое число (способ доказательства — полная индукция), можно в этом убедиться.
В предложенных примерах использовался такой способ доказательства, как полная индукция (рассматривался каждый частный случай), возможны и другие способы доказательств (см. п. 1.9).
Часто в математических предложениях кванторы общности опускаются, но подразумеваются. Например, в предложении «Сумма углов треугольника равна 180°» квантор общности явно не звучит, но подразумевается: «Сумма углов любого треугольника равна 180°».
Задание 10
Установите значение истинности денных предложений. Свои ответы обоснуйте:
• «Любой прямоугольник является квадратом».
• «У всех выпуклых четырехугольников сумма углов рана 360°».
• «Существуют треугольники, у которых все углы тупые».
• «Существуют равносторонние треугольники».
Уже в дошкольном возрасте детей учат правильно рассуждать. Например.
Имея математическое предложение: «Хотя бы один из
предметов - мяч», рассуждаем в соответствии с правилами логики (рис. 18).
Любые рассуждения не обходятся без слов «следовательно», «отсюда вытекает», «если..., то...» и т.п. Например: «Если число делится на 4. то оно делится на 2».
Рассмотрим логическую структуру этого предложения: «Если Л, то В» (или «Из А следует В&), где А — «число делится на 4», В — «число делится на 2».
Говорят, что из предложения А следует предложение В, если всякий раз, когда истинно предложение А, будет истинно и предложение В, и записывают: А=>В. Предложения А и В находятся в отношении логического следования.
Рассмотрим предложение: «Если треугольник равнобедренный, то углы при его основании равны». Это, как известно, истинное высказывание. Можно утверждать и обратное; «Если углы треугольника при основании равны, то он равнобедренный». Что тоже истина.
Если из предложения А следует предложение В, а из предложения В следует предложение А, то говорят, что предложения А и В равносильны, и пишут А<^>В.
Рассуждая, дошкольники не формулируют эти термины явно, но понимают эти отношения и используют в своих умозаключениях. Например:
1) Придумывая имена квадрату, дети предлагают: «Квадрат можно назвать четырехугольником». Это предложение можно переформулировать: «Если фигура является квадратом, то она является четырехугольником», то есть из предложения «Фигура является квадратом» следует предложение «Фигура яш1яется четырехугольником».
2) Сравнивая полоски по длине способом приложения, дети рассуждают: «Если концы полосок при приложении совпадают, то полоски одинаковые по длине». «Если полоски одинаковые по длине, то их концы при приложении совпадут». Предложения «Полоски одинаковы по длине» и «Концы полосок при наложении совпадут» равносильны.
Задание 11
Определите, в каком отношении находятся предложения А и В:
• А — «Данные углы вертикальны»; В — «Данные углы равны».
• А — «Фигура F — прямоугольник»; В — «Фигура F — квадрат».
• А — «Запись числа х оканчивается цифрой 5 или 0»; 8 — я Число х делится на 5».
Знания об окружающем нас мире мы получаем не только путем наблюдений, но и посредством рассуждений. Не только в математике, но и в жизни важно научиться рассуждать правильно, то есть логично, а значит, по правилам логики. В логике вместо слова «рассуждение» используют термин «умозаключение».
Умозаключение — это способ получения нового знания на основе некоторых имеющихся. Умозаключение состоит из посылок и заключения.
Посылки — это высказывания, содержащие исходные знания.
Заключение - это высказывание, содержащее новое знание, полученное из исходных.
Задание 12
Ответьте на вопросы и проведите рассуждения, выявив посыпки и заключение,-
• какой день недели будет завтра?
• какие из чисел: 576, 80, 401, 3200 не делятся на 10?
• любой ли квадрат можно назвать ромбом?
Умозаключения бывают разные, одни приводят к истине, другие могут быть ошибочными. В логике выделяют дедуктивные умозаключения (всегда истинные при истинных посылках) и недедуктивные (которые не всегда приводят к истинным выводам и требуют доказательства или опровержения).
Дедуктивное умозаключение — умозаключение, в котором посылки и заключение находятся в отношении логического следования.
Если А1 A2 ..., An — посылки, В - заключение, то схема дедуктивного умозаключения:
Приведем пример использования неполной индукции в работе с дошкольниками: используя игру «Чудесный мешочек» с объемными геометрическими фигурами, лаем задание ребенку: «Достань фигуру и назови». После нескольких попыток ребенок делает предположение:
- Шар. Шар. Шар. Здесь, наверное, все шары.
Задание 14
Предложите дальнейшие рассуждения для того, чтобы убедиться в истинности (или ложности) полученного утверждения.
Невозможно переоценить значение доказательств в нашей жизни и особенно в науке. К доказательствам прибегают все, но не всегда задумываются, что значит «доказать*. Практические навыки доказательства и интуитивные представления о нем достаточны для многих бытовых целей, но не для научных.
Доказать какое-либо утверждение — это показать, что это логическое утверждение логически следует из системы истинных и связанных с ним утверждений.
Доказательство является логической операцией обоснования истинности какого-либо утверждения с помощью других истинных и связанных с ним утверждений.
В доказательстве выделяют три структурных элемента:
1) доказываемое утверждение;
2) систему истинных утверждений, с помощью которых обосновывается истинность доказываемого;
3) логическую связь между пп. 1 и 2.
Основным способом математического доказательства является дедуктивный вывод.
По своей форме доказательство — это дедуктивное умозаключение или цепочка дедуктивных умозаключений, ведущих от истинных посылок к доказываемому утверждению.
В математическом доказательстве важен порядок расположения умозаключений. По способу ведения различают прямые и косвенные доказательства. К прямым доказательствам относится полная индукция, речь о которой шла в п.1.6.
Полная индукция - способ доказательства, при котором истинность утверждения следует из его истинности во всех частных случаях.
Полная индукция часто применяется в играх с дошкольниками типа: «Назови одним словом».
Пример прямого доказательства высказывания «Сумма углов в любом четырехугольнике равна 360°»:
«Рассмотрим произвольный четырехугольник. Проведя в нем диагональ, получим 2 треугольника. Сумма углов четырехугольника будет равна сумме углов двух образовавшихся треугольников. Так как сумма углов в любом треугольнике 180°, то, сложив 180° и 180°, получим сумму углов в двух треугольниках, она составит 360°. Следовательно, сумма углов в любом четырехугольнике равна 360", что и требовалось доказать».
В приведенном доказательстве можно выделить следующие умозаключения:
1. Если фигура четырехугольник, то в ней можно начертить диагональ, которая разобьет четырехугольник на 2 треугольника. Данная фигура четырехугольник. Следовательно, его можно разбить на 2 треугольника, построив диагональ.
2. В любом треугольнике сумма углов равна ISO". Данные фигуры треугольники. Следовательно, сумма углов каждого из них равна 180°.
3. Если четырехугольник составлен из двух треугольников, то сумма его углов равна сумме углов этих треугольников. Данный четырехугольник составлен из двух треугольников с суммой углов по 180°. 180о+180о=360°. Следовательно, сумма углов в данном четырехугольнике равна 360°.
Все приведенные умозаключения выполнены по правилу заключения, следовательно, являются дедуктивными.
Примером косвенного доказательства является доказательство методом от противного. В этом случае допускают, что заключение ложно, следовательно, его отрицание истинно. Присоединив это предложение к совокупности истинных посылок, проводят рассуждения, пока не получат противоречие.
Приведем пример доказательства от противного теоремы: «Если две прямые а и Ь параллельны третьей прямой с, то они параллельны между собой»:
«Допустим, что прямые а и b не параллельны, тогда они пересекутся в некоторой точке А, не принадлежащей прямой с. Тогда получим, что через точку А можно провести две прямые а и Ь, параллельные с. Это противоречит аксиоме параллельности: «Через точ-
8. Сформулируйте правила явного определения через род и видовое отличие.
9. Какое определение называется:
• контекстуальным;
• остенсивным?
10. Что такое высказывание, а что такое высказывательная форма?
11. Когда предложения видов «А и В», «А или В», «Не А» истинны, а когда ложны?
12. Перечислите кванторы общности и кванторы существования. Как установить значение истинности предложений с различными кванторами?
13. Когда между предложениями имеется отношение следования, а когда отношение равносильности? Как они обозначаются?
14. Что такое умозаключение? Какое умозаключение называется дедуктивным?
15. Запишите при помощи символов правила заключения, правило отрицания, правило силлогизма.
16. Какие умозаключения называются неполной индукцией, а какие умозаключениями по аналогии?
17. Что значит доказать какое-либо утверждение?
18. Что такое математическое доказательство?
19. Дайте определение полной индукции.
20. Что такое софизмы?
Задания для самостоятельной работы к теме №1
1. Начертите три объекта, принадлежащие объему понятия:
• геометрическая фигура,
• прямоугольник,
• квадрат.
2. Назовите три существенных свойства понятия:
• треугольник,
• ромб,
• трапеция.
3. Назовите два понятия, которые находятся в отношении рода и вида. Сравните объемы и содержание этих понятий.
4. Приведите примеры явных и неявных определений. Выявите структуру явного определения через род и видовое отличие.
5. Приведите примеры истинных и ложных высказываний с логическими связками «и», «или», «не». Установите их значение истинности.
6.Приведите примеры истинных и ложных высказываний с кванторами общности и существования. Установите их значение истинности. Ответ обоснуйте.
7. Приведите примеры дедуктивных рассуждений по правилам заключения, отрицания, силлогизма.
8. Предложите высказывание (или найдите в школьных учебниках теорему) и докажите его истинность. Проведите логический анализ своего доказательства.
9. Найдите или придумайте софизмы и выявите ошибки в этих рассуждениях.
В конце XIX века возникла новая область математики — теория множеств, одним из создателей которой был немецкий математик Георг Кантор (1845 — 1918). Эта теория, несмотря на небольшой возраст, стала фундаментом всей математики.
Множество — одно из основных математических понятий, поэтому не имеет явного определения, а поясняется на примерах. Оно возникло как обобщение таких понятий, как класс, группа, совокупность, набор, стая, стадо и др.
Можно говорить о множестве домов на улице, о множестве пальцев на руке у человека, множестве углов у квадрата, множестве натуральных чисел.
Элементы множества — объекты, из которых образовано множество.
Различают множества конечные и бесконечные. Например, множество страниц в книге - это конечное множество, а множество точек на прямой — бесконечное множество.
В русском языке слово «множество» обозначает большое число предметов. В математике рассматривают не только множества с большим числом элементов, но и одноэлементные множества, а также пустое множество, которое не содержит ни одного элемента.
На рисунке 26 можно увидеть примеры различных множеств.
Множества обозначают заглавными буквами латинского алфавита: А, В, С. Для некоторых числовых множеств приняты стандартные обозначения:
N - множество натуральных чисел;
Z — множество целых чисел;
Q — множество рациональных чисел;
/ - множество иррациональных чисел;
R - множество действительных чисел.
Ø — символ, обозначающий пустое множество.
Так как понятие множества не имеет явного определения, необходимо научиться узнавать, является ли данная совокупность множеством или нет. Считают, что множество определяется своими элементами.
Множество задано, если о любом объекте можно сказать, принадлежит он этому множеству либо не принадлежит.
Способы задания множеств:
• перечислить все его элементы (применяется для задания множеств с небольшим количеством элементов, иногда для бесконечных, если понятно, какие элементы не указываются):
Названные способы задания множеств взаимосвязаны — если конечное множество задано с помощью характеристического свойства, то можно его элементы перечислить, и наоборот.
Задание 19.
Два множества могут пересекаться и не пересекаться.
Задание 20
Назовите множества, которые можно выделить на рисунке 30. Покажите их элементы. Сколько элементов в каждом множестве?
Берлине). Множества, независимо от количества элементов в них, изображают при помощи кругов (рис. 31).
Итак, можно выделить разные отношения между множествами:
1) множества не пересекаются;
2) множества пересекаются:
— множества имеют общие элементы, но ни одно не является подмножеством другого;
— одно множество является подмножеством другого, но множества неравны;
— множества равны.
Задание 22
1. Изобразите при помощи кругов Эйлера отношения между множествами, выделенными вами на рисунке 30.
2. Установите, какой из чертежей на рисунке 32 отражает отношений между следующими множествами:
а) множество натуральных чисел, множество целых чисел, множество рациональных чисел;
б) объем понятия я четырех угольник», объем понятия «прямоугольник», объем понятия «ромб»;
в) множество пальцев на правой руке, множество пальцев на левой ноге, множество пальцев у человека;
г) объем понятия «женское имя», объем понятия «мужское имя», объем понятия «кличка животного».
Из элементов двух множеств можно образовывать новые множества, которые являются результатом определенных операций над множествами.
Задание 23
Начертите два треугольника так, чтобы их пересечением были:
— точка;
— отрезок;
— треугольник;
— четырехугольник;
— пятиугольник;
— шестиугольник.
Задан
Задание 24
Задание 26
1. Перечислите элементы дополнения множества летних месяцев до множестве месяцев года.
2. Назовите характеристическое свойство дополнения множества А до N — множества натуральных чисел, если:
А — множество четных натуральных чисел; А - множество чисел, кратных 5; А - множество чисел, больших 10.
Большое значение для развития мышления ребенка и его практической деятельности имеет умение правильно выполнять классификацию, например, группировать предметы по заданному признаку.
Разбиение множества на классы — это действие распределения объектов по классам на основании сходств объектов внутри класса и их отличия от объектов других классов.
Пример:
Задание ребенку: «Разложи кубики в коробки соответствующего цвета. (Красные кубики - в красную коробку, синие - в синюю, а зеленые — в зеленую)». Ребенок разбивает множество кубиков на три класса (подмножества) по признаку цвета (характеристическому свойству). Чтобы это действие было классификацией, необходимы некоторые условия и правильная формулировка задания.
Условия правильной классификации
1. Подмножества (классы) попарно не пересекаются.
2. Объединение всех подмножеств (классов) совпадает с исходным множеством.
Другими словами, классификация будет правильной, если все элементы заданного множества будут распределены по классам и каждый элемент будет находиться только в одном классе.
Классификация применяется во всех науках и в быту. Например, в зоологии классифицируют животных, в ботанике — растения, в школе дети распределяются по классам. Далеко не каждая группировка является классификацией. В педагогике выделение двух видов наглядного материала: демонстрационного и раздаточного не является классификацией, так как один и тот же материал может менять свою функцию. Часто некорректно сформулированное задание ставит человека в затруднительное положение. Например, родители просят дочь: «Положи все книги на две полки: свои - на верхнюю полку, а книги брата — на нижнюю*. Если у детей есть общие или чужие книги, это задание не выполнимо.
Задание 27
1. Определите необходимые условия для правильной классификации в приведенном выше примере с кубиками.
2. Определите, является ли классификацией распределение треугольников на виды:
а) I - равносторонние, 6) I — остроугольные,
II — равнобедренные, II — тупоугольные,
III — разносторонние; III — прямоугольные.
Изучая окружающий мир, математика рассматривает не только его объекты, но и связи между ними. При выполнении многих математических и бытовых задач устанавливают связи между двумя множествами, которые называют соответствиями. Например:
• Решите уравнения уравнения →числа, которые являются корнями уравнения).
• Измерьте длину отрезков отрезки → числа, характеризующие их длины).
• Сядьте на свои места (люди → стулья).
Одной из начальных задач математической подготовки детей является формирование умения устанавливать соответствия между двумя множествами.
Например, ребенку предлагается задание: «Угости кукол чаем. Дай каждой кукле по чашке. Всем ли куклам хватило чашек?» Выполняя это задание, ребенок устанавливает соответствие между множеством кукол и множеством чашек, образовывая пары из элементов данных множеств.
Или такой пример: на пронумерованных стульях разложены куклы: одна, две, ни одной. На рисунке 37 игрушки обозначены буквами А, В, С, D.
Задание: «Назови, на каком по порядку стуле (считая слева направо) какие куклы сидят». Ответы: «На первом стуле сидят А и
При подготовке детей к счетной деятельности особую роль играет умение устанавливать соответствие между двумя множествами «один к одному». Например, детям предлагаются задания:
• Подбери к каждой картинке соответствующую геометрическую фигуру. (Наглядный материал: карточки с изображением солнышка, конверта, носового платка и геометрические фигуры из картона: круг, квадрат, прямоугольник.)
• Дай белочкам по одной шишечке. (Наглядный материал: картинки или игрушки, количество которых одинаково.)
Ребенок каждому элементу одного множества ставит в соответствие только один элемент другого множества, охватывая все элементы. Такие соответствия называют взаимно однозначными.
Взаимно однозначное соответствие — это соответствие, при котором каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества и каждый элемент второго множества соответствует только одному элементу первого множества.
В процессе формирования счетной деятельности дети учатся устанавливать взаимно однозначное соответствие между отрезком натурального ряда и множеством предметов, которые считают. Отсюда следуют те правила, без которых счет невозможен:
- Каждому предмету соотносить только одно число.
-Каждое число соотносить только одному предмету. Дети, не понимающие этого, совершают ошибки:
• пропускают при счете предметы,
• один и тот же предмет считают дважды,
• пропускают числа,
• одно число повторяют дважды.
Предварительная практическая работа по составлению пар предметов из разных множеств (установление взаимно однозначных соответствий) дает впоследствии возможность осознанно выполнять счет, быстро и правильно сформировать навыки счетной деятельности.
Задание 29
Постройте графы четырех различных соответствий между множествами X = {а, Ь, с, d} и У = {1, 2, 3, 4} тан, чтобы одно из них было взаимно однозначным.
Еще не умея считать, дети могут определять: поровну ли предметов в группах, каких предметов больше, каких меньше. Например, в процессе установления соответствий между множеством блюдец и множеством чашек дети рассуждают так: «Если на каждом блюдце есть чашка, значит, чашек и блюдец поровну. Если на одном блюдце нет чашки, значит, блюдец больше, чем чашек, а чашек меньше, чем блюдец».
Пусть даны два множества: А = {а, Ъ, с, d } и В = {к, I, т, п. } Не пересчитывая число их элементов, а лишь установив взаимно однозначное соответствие, можно сказать, что множество А содержит элементов столько же, сколько и множество В. Говорят, что эти множества имеют одинаковую мощность, или они равномощны. Пишут А -В.
Множества называются равномощными, если между их элементами можно установить взаимно однозначное соответствие.
Задание 30
Постройте графы взаимно однозначных соответствий, если это возможно, между множествами:
— дней недели и цветов спектра;
— времен года и цветов спектра.
Нетрудно убедиться в том, что если равномощные множества конечны, то они содержат поровну элементов.
Конечные равномощные множества называются равночисленными.
Бесконечные множества могут быть равномощными, например, множество действительных чисел и множество точек прямой, и не равномощными, например, множество натуральных чисел и множество точек прямой.
При сравнении двух групп предметов по количеству приемами наложения или приложения дети по существу устанавливают взаимно однозначное соответствие между данными множествами (или между одним множеством и подмножеством другого). При этом используются термины: «столько же, сколько», «меньше», «больше». Здесь, еще на дочисловом этапе, дети определяют, равномощны множества или нет.
Задание 31
Приведите примеры множеств, равномощных множеству:
— времен года;
— углов у пятиугольника;
— ног у человека.
Связи между элементами одного множества в математике называют отношениями.
Отношения очень многообразны, например:
• на множестве людей: «старше», «родиться в одном месяце», «выше», «жить в одном доме», «быть сестрой»;
• на множестве предметов: «быть одной формы», «быть одного цвета», «тяжелее»;
• на множестве понятий: «быть видом», «быть частью»;
• на множестве предложений: «следовать», «быть равносильными»;
• на множестве чисел: «больше», «меньше на I», «быть равными», «следовать за»;
• на множестве прямых: «быть параллельными», «пересекаться»;
• на множестве отрезков: «длиннее», «короче».
Отношения могут быть заданы и на символическом языке, например, как в задании 32.
2. Перечисляют все пары элементов, взятых из множества и связанных этим отношением.
Например, элементы множества X = {1, 2, 3, 4, 5} связаны отношением «быть больше на 1». В этом случае отношение задано с помощью предложения «число х больше числа у на h. Это же отношение можно задать, перечислив все пары чисел, связанных данным отношением: (2,1), (3,2), (4,3), (5,4).
Полезно предлагать детям упражнения, выполняя которые они переходят от одного способа задания отношений на множестве к другому. Например.
1.Вставьте пропущенное число: (1;6), (8;13), (5;10), (7; 12), (3; .,.)-Здесь необходимо сначала выяснить характеристическое свойство всех пар чисел, а затем найти пропущенный элемент.
2, «Оля, Катя, Сережа, Валера — дети одних родителей. Назовите, кто кому является братом».
Выполняя данное упражнение, дети должны перейти от задания отношения с помощью характеристического свойства к перечислению пар элементов.
Данное отношение «быть братом» можно изобразить при помощи графа. Все элементы множества изображаются точками, а отношения — стрелками (рис. 40).
Задание 33
Придумайте различные отношения на множестве одной семьи (мама, папа, их дети — Оля, Катя, Сережа, Валера) и изобразите эти отношения с помощью графов.
В процессе игры или обучения детям постоянно приходится рассматривать элементы одного множества и устанавливать отношения между ними:
• сравнивать по величине;
• подбирать одинаковые по цвету или форме;
• упорядочивать;
• делить на группы.
Очень важным считается умение ребенка определять взаимно обратные отношения. Например: «больше — меньше», «длиннее — короче», «старше — младше» и др.
В математике изучают разнообразные отношения. Чтобы облегчить решение этой задачи, отношения классифицируют по свойствам.
Пусть R - некоторое бинарное отношение на множестве X, а х, у, z любые его элементы. Если элемент х находится в отношении R с элементом у, то пишут xRy.
1. Отношение R на множестве X называется рефлексивным, если каждый элемент множества находится в этом отношении с самим собой.
R —рефлексивно на X <=> xRx для любого x€ X
Если отношение R рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. Например, отношения равенства и параллельности для отрезков являются рефлексивными, а отношение перпендикулярности и «длиннее» не являются рефлексивными. Это отражают графы на рисунке 42.
2. Отношение R на множестве X называется симметричным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у находится в этом же отношении с элементом х.
R — симметрично на (хЯу =>у Rx)
Граф симметричного отношения содержит парные стрелки, идущие в противоположных направлениях. Отношения параллельности, перпендикулярности и равенства для отрезков обладают симметричностью, а отношение «длиннее» - не является симметричным (рис. 42).
3. Отношение R на множестве X называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества X из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у, следует, что элемент у в этом отношении с элементом х не находится.
R — антисимметрично на Х« (xRy и xy ≠ yRx)
Замечание: черта сверху обозначает отрицание высказывания.
На графе антисимметричного отношения две точки может соединять только одна стрелка. Примером такого отношения является отношение «длиннее» для отрезков (рис. 42). Отношения параллельности, перпендикулярности и равенства не являются антисимметричными. Существуют отношения, не являющиеся ни симметричными, ни антисимметричными, например отношение «быть братом» (рис. 40).
4. Отношение R на множестве X называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в данном отношении с элементом у и элемент у находится в этом лее отношении с элементом z, следует, что элемент х находится в данном отношении с элементом Z
R - транзитивно на A≠ (xRy и yRz=> xRz)
На графах отношений «длиннее», параллельности и равенства на рисунке 42 можно заметить, что если стрелка идет от первого элемента ко второму и от второго к третьему, то обязательно есть стрелка, идущая от первого элемента к третьему. Эти отношения являются транзитивными. Перпендикулярность отрезков не обладает свойством транзитивности.
Существуют и другие свойства отношений между элементами одного множества, которые мы не рассматриваем.
Одно и то же отношение может обладать несколькими свойствами. Так, например, на множестве отрезков отношение «равно» — рефлексивно, симметрично, транзитивно; отношение «больше» — антисимметрично и транзитивно.
Если отношение на множестве X рефлексивно, симметрично и транзитивно, то оно является отношением эквивалентности на этом множестве. Такие отношения разбивают множество X на классы.
Данные отношения проявляются, например, при выполнении заданий: «Подбери полоски равные по длине и разложи по группам», «Разложи мячи так, чтобы в каждой коробке были мячи одного цвета». Отношения эквивалентности («быть равным по длине», «быть одного цвета») определяют в данном случае разбиение множеств полосок и мячей на классы.
Если отношение на множестве 1 транзитивно и антисимметрично, то оно называется отношением порядка на этом множестве.
Множество с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.
Например, выполняя задания: «Сравни полоски по ширине и разложи их от самой узкой до самой широкой», «Сравни числа и разложи числовые карточки по порядку», дети упорядочивают элементы множеств полосок и числовых карточек при помощи отношений порядка; «быть шире», «следовать за».
Вообще отношения эквивалентности и порядка играют большую роль в формировании у детей правильных представлений о классификации и упорядочении множеств. Кроме того, встречается много других отношений, которые не являются ни отношениями эквивалентности, ни отношениями порядка.
6. Что такое характеристическое свойство множества?
7. В каких отношениях могут находиться множества? Дайте пояснения каждому случаю и изобразите их при помощи кругов Эйлера.
8. Дайте определение подмножества. Приведите пример множеств, одно из которых является подмножеством другого. Запишите их отношение при помощи символов.
9. Дайте определение равных множеств. Приведите примеры двух равных множеств. Запишите их отношение при помощи символов.
10. Дайте определение пересечения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.
11. Дайте определение объединения двух множеств и изобразите его при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.
12. Дайте определение разности двух множеств и изобразите ее при помощи кругов Эйлера для каждого частного случая.
13. Дайте определение дополнения и изобразите его при помощи кругов Эйлера.
14. Что называется разбиением множества на классы? Назовите условия правильной классификации.
15. Что называется соответствием между двумя множествами? Назовите способы задания соответствий.
16. Какое соответствие называется взаимно однозначным?
17. Какие множества называют равномощными?
18. Какие множества называют равночисленными?
19. Назовите способы задания отношений на множестве.
20. Какое отношение на множестве называют рефлексивным?
21. Какое отношение на множестве называют симметричным?
22. Какое отношение на множестве называют антисимметричным?
23. Какое отношение на множестве называют транзитивным?
24. Дайте определение отношения эквивалентности.
25. Дайте определение отношения порядка.
26. Какое множество называют упорядоченным?
Задания для самостоятельной работы к теме №2
1.Придумайте примеры конечных и бесконечных множеств. Задайте их, указав характеристическое свойство и перечислив элементы, если это возможно. Приведите пример пустого множества.
2. Придумайте два множества, отношения между которыми изображены при помощи кругов Эйлера:
3. Изобразите с помощью кругов Эйлера отношения между числовыми множествами (N, Z, Q, R.) и запишите их при помощи символов.
4. Придумайте три множества и изобразите их отношения при помощи кругов Эйлера.
5. Придумайте задания для дошкольников и для учащихся начальной школы, выполняя которые они, по сути дела, выполняют операции над множествами (объединение, пересечение, дополнение).
6. Придумайте задания для дошкольников и для учащихся начальной школы на установление соответствий между двумя множествами (взаимно однозначных и не являющихся таковыми).
7. Придумайте множество и задайте на нем отношения. Установите, какими свойствами они обладают (рефлексивностью, симметричностью, антисимметричностью, транзитивностью).
8. Придумайте задания для дошкольников и для учащихся начальной школы:
— на разбиение множества на классы,
— на упорядочение множества.
Выявите вид отношения, рассматриваемого на множестве, и сформулируйте его свойства.
Слово «геометрия» греческое и в переводе на русский язык означает «землемерие». Исторические памятники и археологические находки свидетельствуют о том, что задолго до нашей эры в древнем Вавилоне и Египте люди владели некоторыми геометрическими знаниями. Для решения задач, связанных с земледелием и строительством, требовались умения измерять величины (длину, площадь, объем и другие), знания законов геометрических построений и расчетов. Одно из чудес света — египетские пирамиды свидетельствуют о достижениях египтян в области геометрии.
Греки заимствовали накопленные сведения о геометрических фигурах и применяли их, например, при измерении земельных участков. Они же и придумали название науке, которое используют до сих пор во всех странах мира: «геос» — земля, «метрио» — измеряю. Геометрия, возникшая из практических потребностей человека, постепенно становилась теоретической наукой. Появились ученые, объектами изучения которых стали не только бытовые задачи, а непосредственно геометрические фигуры и их свойства: Фалес (624-547 до н.э.), Пифагор (580-496 до н.э.), Платон (429-348 до н.э.), Евклид (III в. до н.э.) и другие.
Основной заслугой Евклида является создание «Начал» - самого распространенного научного сочинения в мире. В 13 книгах им были систематизированы все предыдущие знания геометрии и арифметики. Это произведение стало образцом дедуктивного построения теории. По «Началам» Евклида многие поколения людей на протяжении двух с лишним тысячелетий изучали геометрию, которая получила название евклидовой геометрии.
Значительным событием в истории геометрии стала книга «Геометрия» (1637) французского ученого Рене Декарта (1596-1650) -создателя координатной системы и аналитической геометрии. Это стало возможным с развитием алгебры и математического анализа.
Переворот в геометрии произошел в начале XIX в. Некоторые ученые пришли к мысли о создании геометрии, отличной от евклидовой. Великому русскому математику Н.И. Лобачевскому (1792—1827) было 34 года, когда он решил «многовековую» проблему V постулата Евклида (о параллельных), построив свою, неевклидову геометрию. В геометрии, которую Лобачевский назвал «воображаемой», принята аксиома: «Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести более одной прямой, параллельной данной», здесь сумма углов треугольника меньше 180°, нет квадратов и прямоугольников и др. Геометрия Лобачевского не была признана учеными до 1860 г., затем же нашла свое применение и сыграла огромную роль в развитии математики и физики. Позже были созданы и другие неевклидовы геометрии.
Примечание
Лекция может сопровождаться сообщениями на тему «История возникновения и развития геометрии», предварительно подготовленными студентами.
Геометрия, которую изучают в школе, строится на аксиоматической основе.
Правила построения геометрии
1. Некоторые понятия вводятся без определения, их называют основными. Например: точка, прямая, плоскость.
2. Часть свойств основных понятий раскрывается через аксиомы. Например, через две точки можно провести единственную прямую.
3. Другие понятия определяются, как правило, через род и видовое отличие, через основные понятия или уже определенные понятия. Например, окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки.
4. Другие свойства понятий формулируются в виде теорем и доказываются с использованием аксиом и ранее доказанных теорем.
Задание 36
Постройте цепочку определений через род и видовое отличие: отрезок —> ломаная —>многоугольник —> четырехугольник —> прямоугольник —>квадрат.
Геометрия — наука, изучающая геометрические фигуры и их свойства.
Планиметрия - часть геометрии, изучающая фигуры на плоскости.
Стереометрия — часть геометрии, изучающая фигуры в пространстве.
Дети уже в дошкольном возрасте знакомятся с фигурами на плоскости (плоскими фигурами) и в пространстве (геометрическими телами). При обучении дошкольников не дают явные определения фигурам, а знакомят с их моделями, названием, свойствами, отношением равенства и другими связями между фигурами.
Одним из свойств окружающих предметов является форма. Форма предметов получила обобщенное отражение в таком математическом понятии, как геометрическая фигура. Геометрические фигуры являются эталонами, пользуясь которыми человек определяет форму предметов.
Дети, познавая окружающий мир, сталкиваются с разнообразием форм предметов, учатся называть и различать их, а затем знакомятся и со свойствами геометрических фигур.
Пример (рис. 43):
— Этот платок имеет форму квадрата.
— У квадрата есть 4 стороны и 4 угла.
— Орнамент выполнен из круга и треугольников.
— Что вы про них знаете? Геометрическая фигура — это любое множество точек, поэтому отношения геометрических фигур и операции над ними определяются как отношения множеств и операции с множествами.
Точка, прямая, отрезок, круг, квадрат, треугольник, шар, куб являются геометрическими фигурами.
Примеры:
Учащиеся начальной школы определяют равенство фигур способом наложения:
Фигуры равны, если они при наложении совпадают.
Для развития глазомера дошкольникам предлагают найти одинаковые фигуры по форме и размеру и проверить правильность выбора, наложив одну фигуру на другую.
Геометрическая фигура называется плоской, если все тонки фигуры принадлежат одной плоскости.
Примером плоских геометрических фигур являются: прямая, отрезок, круг, различные многоугольники и др. Не являются плоскими такие фигуры, как шар, куб, цилиндр, пирамида и др.
На плоскости различают выпуклые и невыпуклые фигуры.
Геометрическая фигура называется выпуклой, если она целиком содержит отрезок, концами которого служат любые две точки, принадлежащие фигуре (рис. 54).
Примерами выпуклых фигур являются: круг, различные треугольники, квадрат. Точку, прямую, луч, отрезок, плоскость также считают выпуклыми фигурами.
Основными геометрическими фигурами на плоскости являются точка и прямая. Эти термины часто применяются даже в работе с дошкольниками. Необходимо своевременно научить детей узнавать эти фигуры, изображать их, понимать и правильно выполнять задания.
Основные свойства точек и прямых раскрываются в аксиомах:
1. Существуют точки, принадлежащие и не принадлежащие прямой.
2. Через две различные точки можно провести единственную прямую.
3. Две различные прямые либо не пересекаются, либо пересекаются в одной точке.
Дети, например, в процессе игр или рисования знакомятся с точкой, отрезком, различными линиями, выделяя из них прямую, кривую, ломаную, учатся распознавать некоторые их свойства.
Примеры:
1. «Какая дорога от леса до дома короче?» (рис. 55).
2. «Поросята живут в домиках, расположенных на берегах реки. Они не умеют плавать. Кто из поросят может пойти в гости друг к другу?» (рис. 56).
Замкнутая линия делит плоскость на внешнюю и внутреннюю области. Дети рано усваивают, что значит «внутри» и «вне». Например, это происходит при выполнении задания на закрашивание фигуры, то есть ее внутренней области.
Геометрические фигуры, с которыми рано знакомятся дети (круг, квадрат, треугольник и др.), представляют собой замкнутые линии (границы фигур) с их внутренней областью. Границей круга
является окружность. Границей многоугольников является ломаная линия, которая состоит из отрезков. В геометрии все эти понятия имеют определения.
Отрезок — часть прямой, которая состоит из всех точек этой прямой, лежащих между двумя данными точками, называемых концами отрезка.
Луч (полупрямая) — это часть прямой, состоящая из всех ее точек, лежащих по одну сторону от заданной на ней точки (начала луча).
Угол - это меньшая часть плоскости, ограниченная двумя лучами, выходящими из одной точки. Эти лучи называются сторонами угла, а их общая точка - вершиной угла (рис. 59).
Круг можно определить как фигуру, состоящую из окружности и ее внутренней области.
Окружность — это множество точек плоскости, равноудаленных от заданной точки. Данная точка О называется центром окружности, а заданное расстояние R — ее радиусом (рис. 64).
В детском саду дети также знакомятся с овалом («фигурой, похожей на круг тем, что у нее нет углов и сторон, но отличающейся от круга своей вытянутостью»). В геометрии такой термин не рассматривается, но изучается эллипс. Его нецелесообразно предлагать детям из-за сложности построения. Так как в быту часто используют слова «овал», «предмет овальной формы», знания об овале необходимы детям как элемент сенсорного воспитания и речевого развития.
Многоугольник — часть плоскости, ограниченная простой замкнутой ломаной. Звенья ломаной называются сторонами многоугольника, а вершины — вершинами многоугольника. Границу многоугольника (простую замкнутую ломаную) также называют многоугольником.
В работе с дошкольниками обычно рассматриваются модели фигур из картона, пластмассы или дерева, предлагаются задания по рисованию многоугольников при помощи трафаретов и обводок, закрашиванию фигур. В процессе этой деятельности дети знакомятся с названиями фигур, их структурой и некоторыми свойствами, используют такие термины, как: граница фигуры, внутренняя область фигуры и др.
Выпуклый многоугольник лежит в одной полуплоскости относительно любой прямой, содержащей его сторону (рис. 65).
Выпуклый многоугольник невыпуклый многоугольник
Многоугольники классифицируются по числу сторон или углов: треугольники (рис. 67), четырехугольники (рис. 68), пятиугольники
(рис. 69) и т.д.
Задание 40
1. Какой геометрической фигурой является:
— вершине многоугольнике,
— сторона многоугольника,
— вершина угла,
— сторона угле.
2. Назовите известные вам виды многоугольников, изображенных на рисунках 65, 66, 67.
Дошкольники, знакомясь с треугольником, квадратом и другими многоугольниками, учатся показывать и считать их углы и стороны.
Например, при знакомстве с треугольником может происходить такая беседа:
- Как называется эта фигура? — Треугольник.
- Почему она так называется? — У нее 3 угла.
- Что еще есть у треугольника? — Стороны.
Сколько сторон? - 3 стороны.
Вывод: «Треугольник — это фигура, у которой 3 стороны и 3 угла».
Это, конечно, не математическое определение треугольника, а описание его свойств.
Треугольник - это многоугольник, у которого 3 угла.
Равносторонний треугольник - треугольник, у которого все стороны равны.
Равнобедренный треугольник - треугольник, у которого две стороны равны.
Задание 41
Дайте определения остроугольного, тупоугольного и прямоугольного треугольников.
С остроугольным, тупоугольным, прямоугольным треугольниками можно знакомить детей только после изучения видов углов. С градусной мерой углов дошкольников и учащихся начальной школы не знакомят, но можно смоделировать прямой угол при полоши перегибания листа бумаги, а тупой и острый дать в сравнении с прямым.
Приобретенные знания позволяют детям давать характеристику геометрическим фигурам;
«Квадрат - это фигура, у которой 4 стороны и 4 угла, все стороны равны, все углы прямые».
«Прямоугольник - это фигура, у которой 4 стороны и 4 прямых угла».
«Четырехугольник имеет 4 стороны и 4 угла».
В геометрии эти понятия могут быть последовательно определены через род и видовое отличие, например, так:
Четырехугольник — это многоугольник, у которого 4 угла.
Прямоугольник — это четырехугольник, у которого все углы прямые.
Квадрат — это прямоугольник, у которого все стороны равны.
Задание 42
1. Дайте определение параллелограмма, трапеции, ромба.
2. Назовите другие виды многоугольников и сформулируйте их определения.
С пространственными геометрическими фигурами (куб, шар, параллелепипед и др.) дети знакомятся в практической деятельности (при конструировании, во время игры) гораздо раньше, чем с плоскими фигурами. Особенности мышления младших дошкольников определяют выбор наглядного материала. В этом возрасте важно, чтобы изучаемый объект был крупный, яркий, чтобы им можно было выполнять действия (поиграть). Обследование идет на сенсорной основе, поэтому с моделями объемных фигур детям знакомиться легче. Кубики, шарики, бруски и др. входят в игру детей одновременно с первыми игрушками. Обычно математические названия им не даются, но идет знакомство с различными объемными формами, а в речь вводятся только некоторые термины.
Основными фигурами в пространстве считаются: точка, прямая, плоскость. На каждой плоскости выполняются все утверждения планиметрии. В стереометрии, так же как в планиметрии, вводится ряд аксиом, которые изучаются в школьном курсе геометрии.
Объемные геометрические фигуры называют геометрическими телами. В пространстве выделяют многогранники (призма, пирамида и др.) и тела вращения (шар, конус, цилиндр и др.).
Многогранник - это ограниченное тело, поверхность которого состоит из конечного числа многоугольников. Эти многоугольники называются гранями, их стороны — ребрами, а вершины - вершинами многогранника.
Многогранник называется выпуклым, если он расположен по одну сторону от плоскости любой его грани (рис. 70).
выпуклый многогранник невыпуклый многогранник
Задание 43
Покажите вершины, ребра и грани многогранников, изображенных на рисунке 70. Какими геометрическими фигурами они являются!
Правильный выпуклый многогранник имеет грани - правильные равные многоугольники, и в каждой его вершине сходится одинаковое число ребер.
Задание 44
1. Вспомните, какие фигуры называют равными.
2. Назовите известные вам правильные выпуклые многогранники.
Всего существует 5 правильных многогранников, в отличие от правильных многоугольников, которых бесконечно много. Это обусловлено двумя причинами:
Прямоугольный параллелепипед - это параллелепипед, все грани которого прямоугольники (рис. 75).
Куб — это прямоугольный параллелепипед с равными ребрами (или все грани которого являются квадратами) (рис. 76).
Дошкольники, изучая куб, могут отметить, что его поверхность состоит из шести квадратов, что у него 8 вершин. Свойства куба осваиваются ими, например, при выполнении такого задания: «Обклей кубик цветной бумагой. Что для этого нужно?» (вырезать 6 одинаковых квадратов).
Прямоугольный параллелепипед в детском саду часто называют «кирпичиком» или «бруском», что допустимо в предматематической подготовке. Эти слова являются предэталонными названиями геометрических фигур, так же как «кубик», «крыша» (треугольная призма), «столбик» (цилиндр) и др.
Младшим школьникам можно предложить задание: «Вырежи выкройку для коробки. Какую форму имеет каждая часть?» Таким образом, дети выясняют, что гранями прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольники, не формулируя этого явно.
Пирамида — многогранник, состоящий из плоского многоугольника (основания), точки, не лежащей в плоскости основания (вершины), и всех отрезков, соединяющих вершину пирамиды с точками основания (рис. 77). Отрезки, соединяющие вершину пирамиды с вершинами основания, называются боковыми ребрами. Поверхность пирамиды состоит из основания и боковых граней. Все боковые граны — треугольники.
В зависимости от числа углов многоугольника, являющегося основанием, пирамиды бывают: треугольные (рис. 77а), четырехугольные (рис. 776), пятиугольные и другие пирамиды.
Любая грань треугольной пирамиды может служить ее основанием. Это же название носит и правильный многогранник, тетраэдр, гранями которого являются равные равносторонние треугольники.
Форму тетраэдра имеет пакет молока (старой упаковки), а египетские пирамиды имеют форму четырехугольной правильной пирамиды. Дошкольники называют «пирамидкой» совсем другую модель — игрушку из колец разной величины, которая имеет форму конуса. Эта ситуация может вызвать затруднения в запоминании и правильном применении геометрических терминов у детей. Данная проблема преодолевается при своевременном грамотном объяснении и разделении названий игрушек от названий их формы, эталонами для определения которой служат геометрические фигуры.
Задание 47
1. Нарисуйте пятиугольную пирамиду. Покажите ее основание, боковую поверхность, боковые грани и ребра. Какими геометрическими фигурами они являются?
2. Дайте определения высоты пирамиды и правильной пирамиды.
Изучая форму окружающих предметов, дошкольники сталкиваются с телами вращения (рис. 78).
Эти фигуры называются телами вращения, так как они могут быть получены путем вращения некоторых плоских геометрических фигур.
Цилиндр - это тело вращения, которое может быть получено путем вращения прямоугольника вокруг одной из его сторон, как оси (рис. 79).
Конус — это тело вращения, которое может быть получено путем вращения прямоугольного треугольника вокруг одного из его катетов, как оси (рис. 80),
Шар — это тело вращения, которое может быть получено путем вращения половины круга вокруг его диаметра, как оси (рис. 81).
Определения этих фигур из курса геометрии средней школы:
Цилиндр - тело, которое состоит из двух кругов (оснований), совмещаемых параллельным
переносом, и всех отрезков, соединяющих
соответствующие точки этих кругов.
Конус - тело, которое состоит из круга (основания), точки (вершины), не лежащей в плоскости этого круга, и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания.
Шар — тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии не более заданного (радиуса) от данной точки (центра).
Задание 48
Дайте определения:
— сферы;
— высоты цилиндре и прямого цилиндра;
— образующей конуса, высоты конуса и прямого конуса.
Дошкольники не знакомятся с этими формулировками, но могут различать и узнавать объемные тела, а если провести специальную работу, и правильно называть их. Дети усваивают свойства этих фигур в сравнении с другими. Например, во время игры «Катится — не катится» они выясняют, что: «Цилиндр, стоящий на основании, устойчив, как куб, но если его положить - катится, как шар».
Обследование поверхности дает знание того, что основанием цилиндра и конуса является круг. Рисование объемных предметов разной формы на плоскости учит детей сравнивать, проводить аналогию, моделировать, трансформировать пространство на плоскости. Например, в процессе обсуждения таких вопросов: «Какой формы мяч? Какую фигуру надо нарисовать, чтобы изобразить мяч?»
Знакомство с объемными фигурами расширяет знания детей об окружающем мире, закладывает основы для изучения геометрии в школе, обогащает их речь, формирует навыки обследования, развивает мышление.
Вопросы для самоконтроля к теме № 3
1. Что изучает геометрия?
2. Что изучает планиметрия?
3. Что изучает стереометрия?
4. Что называется геометрической фигурой?
5. Назовите правила построения геометрии.
6. Назовите основные фигуры на плоскости и в пространстве.
7. Какие фигуры называются плоскими?
8. Какие фигуры называются выпуклыми?
9. Дайте определение отрезка.
10. Дайте определение луча.
11. Дайте определение угла.
12. Какая линия называется ломаной?
13. Какая ломаная называется простой?
14. Дайте определение многоугольника.
15. Какой многоугольник называется выпуклым?
16. Какой многоугольник называется правильным?
17. Дайте определение треугольника.
18. Какой треугольник называется равносторонним, какой — равнобедренным, какой - разносторонним?
Величина - одно из основных математических понятий, возникшее в древности и в процессе длительного развития подвергшееся ряду обобщений. Длина, площадь, объем, масса, скорость - это величины.
Задание 49
Приведите примеры различных величии, изучаемых в школе на уроках математики, физики, химии. Вспомните способы их измерения и единицы этих величин.
Величины представляют собой особые свойства реальных предметов или явлений, которые проявляются при сравнении их по этому свойству, причем каждая величина связана с определенным способом сравнения. Например, длину отрезков можно сравнить способом наложения, а массу предметов - взвешиванием. Величины можно оценивать количественно на основе сравнения.
Величину рассматривают как обобщение свойств некоторых объектов и как индивидуальную характеристику свойства конкретного объекта. Например, свойство предметов «иметь протяженность» называется «длиной».
Однородные величины - величины, которые выражают одно и то же свойство объектов некоторого класса. Например, длина, ширина, периметр — однородные величины.
Разнородные величины выражают различные свойства объектов (один предмет может иметь массу, объем и др.).
1. Однородные величины можно сравнивать. Для любых величин А и В справедливо только одно из отношений: А<В, А>В, А=В.
Например, масса книги больше массы карандаша, а длина карандаша меньше длины стола.
2. Однородные величины можно складывать и вычитать. В результате получается величина того же рода.
Величины, которые можно складывать, называются аддитивными. Например, можно складывать длины предметов. В результате получается длина. Существуют величины, которые не являются аддитивными, например температура. При соединении воды разной температуры из двух сосудов получается смесь, температуру которой нельзя определить сложением величин.
Мы будем рассматривать только аддитивные величины.
Пусть: А — длина ткани,
В — длина куска, который отрезали, тогда;
(А—В) - длина оставшегося куска.
Примеры.
1) «Налей в банку 6 стаканов воды». Если объем воды в стакане — V, то объем воды в банке .
2) «Раздели ленту на 4 равные части». Если длина ленты — L, то длина каждой ее части — L.4.
4.Однородные величины можно делить. В результате получается положительное действительное число, его называют отношением величин. А:В=х о А—В-х.
Пример,
«Сколько ленточек длиной В можно получить из ленты длиной А?», (х = А:В, где х - отношение величин А и В).
5. Величину можно оценить количественно, то есть измерить.
Дети уже в дошкольном возрасте учатся выделять разные параметры размера предмета (длину, ширину, высоту), сравнивать предметы по этим параметрам (наложением и приложением), измерять протяженность условными мерками. Довольно рано происходит знакомство с площадью фигур, объемом жидких и сыпучих веществ, массой физических тел, промежутками времени. В быту дети накапливают необходимый опыт для последующего обучения, систематизации и расширения знаний. Измерительная деятельность формируется только под воздействием целенаправленного обучения. В начальной школе происходит знакомство с общепринятыми единицами величин (метром, литром, килограммом и др.).
Сравнивая величины непосредственно, можно установить их равенство или неравенство.
Для получения более точного результата сравнения величины измеряют. Например, измеряя массу арбуза на чашечных весах, сравнивают ее с массой гири. Измеряя длину комнаты шагами, сравнивают ее с длиной шага.
Процесс сравнения зависит от рода величины: длину измеряют с помощью линейки, массу — используя весы. Каким бы ни был этот процесс, в результате измерения получается определенное число, зависящее от выбранной единицы величины.
Измерение заключается в сравнении данной величины с некоторой величиной того же рода, принятой за единицу.
Цель измерения — получить численную характеристику данной величины при выбранной единице величины.
Измерить величину А — это значит найти такое положительное действительное число х, что А=х Е, где Е — величина того же рода, принятая за единицу. Число х называют численным значением величины А при единице величины Е.
Численное значение величины показывает, во сколько раз заданная величина больше или меньше величины, принятой за единицу.
Примеры.
1) Если масса дыни 3 кг, то 3 — численное значение массы дыни при единице массы килограмм.
2) Если длина отрезка 10 см, то 10 - численное значение длины отрезка при единице длины сантиметр.
Величины, определяемые одним численным значением, называются скалярными (длина, объем, масса и др.). Существуют еще векторные величины, которые определяются численным значением и направлением (скорость, сила и др.). Мы будем рассматривать только скалярные величины (длину, площадь, объем, массу, время).
Значение измерения очень велико. Не всегда можно сравнить или сложить (вычесть) величины непосредственно (например, длину дорог). Измерение позволяет свести сравнение величин к сравнению чисел, а действия с величинами — к действиям над числами, что значительно проще.
Взаимосвязь величин и их численных значений
— объем аквариума 3 м3, выразите его в литрах (л);
— площадь земельного участка 80 000 м2, выразите ее в гектарах (га).
Дошкольники знакомятся с измерением величин сначала с помощью условных мерок. В процессе практической деятельности они осознают взаимосвязь величины и ее численного значения, а также численного значения величины от выбранной единицы измерения.
Примеры.
1. Измерь шагами длину дорожки от дома до дерева, а теперь от дерева до забора. Какова длина всей дорожки? (Дети складывают величины, пользуясь их численными значениями.)
2. Какова длина дорожки, измеренная шагами Маши? (5 шагов.)
— Какова длина этой же дорожки, измеренная шагами Коли? (4 шага.)
— Почему мы измеряли длину одной и той же дорожки, а получили разные результаты? (Длина дорожки измерена разными шагами. Шаги Коли длиннее, поэтому их получилось меньше.)
Вывод: численные значения длины дороги отличаются из-за применения разных единиц измерения.
Потребность в измерении величин возникла в практической деятельности человека в процессе его развития. Результат измерения выражается числом и дает возможность глубже осознать суть понятия числа. Сам процесс измерения учит детей логически мыслить, формирует практические навыки, обогащает познавательную деятельность. В процессе измерения дети могут получить не только натуральные числа, но и действительные. Это создает мотивацию для изучения дробей.
При решении задач с использованием величин очень важно научить детей вычленять такие понятия:
— объект (предмет, явление, процесс),
— величину,
— численное значение величины,
— единицу величины.
Задание 51
Выявите объекты, величины, их численные значения и единицы, в которых они измерены, в приведенных предложениях:
— «Мама купила 5 кг яблок, 3 л молока и 6 лл ткани»;
— «На приготовление уроков Оля истратила 2 ч»;
— «Лекарство полностью растворяется в воде за 30 с».
Первые представления о длине как свойстве предметов возникают у детей довольно рано. Познавая трехмерность пространства, дошкольники учатся выделять в предмете длину, ширину, высоту, обозначать словами их отношения и даже измерять величины условными мерками. Все эти термины отражают одно и то же свойство предметов «иметь протяженность».
Длина - это положительная величина, определенная на множестве отрезков так, что:
— равные отрезки имеют равные длины,
— если отрезок состоит из конечного числа отрезков, то его длина равна сумме длин этих отрезков.
Процесс измерения длины Л отрезка а (рис. 82)
1. Выбирают единичный отрезок е с длиной Е.
2. На отрезке а откладывают от одного из его концов отрезки, равные единичному, пока это возможно.
3. Подсчитывают количество отложенных отрезков:
— если отрезок отложили л раз и конец последнего совпал с концом отрезка а, то численное значение длины отрезка а есть натуральное число n, а его длина А-nЕ,
— если отрезок е отложили n раз и получился остаток, меньший е, то на нем откладывают отрезки, равные е,=0,1е, е3=0,01е и тд. Таким образом, численное значение длины отрезка а будет выражено десятичной дробью, то есть положительным действительным числом х, и длина отрезка А—хЕ.
Некоторые свойства длин отрезков
1. При выбранной единице длины длина любого отрезка выражается положительным действительным числом и для каждого положительного действительного числа есть отрезок, длина которого выражается этим числом.
2. Если два отрезка равны, то равны численные значения их длин, и обратно: если равны численные значения длин отрезков, то равны и сами отрезки (при одной и той же единице длины).
3. При замене единицы длины численное значение длины увеличивается (уменьшается) во столько раз, во сколько раз новая единица меньше (больше) старой.
Примеры заданий для младших школьников, в которых раскрываются эти свойства:
1) — Измерь длину данного отрезка в сантиметрах.
— Какова его длина? (5 см)
— Начерти отрезок на 1 см длиннее.
— Какова длина второго отрезка? (6 см)
2)— Найди две одинаковые по длине полоски. Проверь наложением.
— Измерь длину синей полоски в дециметрах. (3 дм)
— Чему равна длина красной полоски? (3 дм)
— Надо ли ее измерять? Почему?
3)— Измерь отрезок в дециметрах. (2 дм)
— Какова длина этого отрезка в сантиметрах? (20 см)
— Почему? (1 дм-10 см)
Кроме специальных упражнений учащимся начальной школы предлагаются задачи, в которых используются понятия длины, ее измерения, требуется перевод единиц. Школьников учат построению вспомогательных моделей при решении задач, используя отрезки разной длины и пр.
Задание 52
Решите задачи, используя вспомогательные модели:
1. Вдоль прямой дороги растут 5 деревьев. Расстояние между соседними деревьями 2 метра. Каково расстояние между крайними деревьями?
2. У Пеги было 2 карандаша, у Коли 4 карандаша, а у Миши столько, сколько у Пети и Ноли вместе. Сколько всего было карандашей у мальчиков?
Понятие о площади фигуры имеет любой человек, при этом известны и свойства этой величины: площадь квартиры слагается из площадей всех ее повещений, одинаковые земельные участки имеют одинаковую площадь.
Площадь — положительная величина, определенная на множестве плоских фигур так, что:
-равные фигуры имеют равные площади;
-если фигура составлена из конечного числа фигур, то ее площадь равна сумме их площадей.
Процесс измерения площади (рис. 83):
1) Выбирают единицу площади Е (обычно квадрат со стороной, равной единичному отрезку ё).
2) Сравнивают площадь фигуры с площадью единичного квадрата Е.
3) Результат сравнения обозначают числом и называют численным значением площади.
SF = х-Е, где х — численное значение площади.
Дошкольники могут встретиться с понятием площади и ее измерения, например, в такой игре, как «Пентамино» (рис. 84): «Представь, что это плоты. На одной клеточке помешается один человек. Какой плот может перевезти больше людей? Почему?
Для нахождения численного значения площади фигур часто пользуются не измерением, а вычислением, что удобно, но для этого нужно знать формулы.
Задание 55
Сформулируйте определение объеме тепа, процессе его измерения и свойства (по аналогии с площадью).
В начальной школе в процессе изучения геометрического материала у детей появляется представление о площади как о свойстве плоских геометрических фигур. Опыт сравнения площадей фигур «на глаз» и наложением, полученный в детском саду, получает свое применение при ознакомлении со свойствами площадей. С объемом жидких и сыпучих веществ знакомят уже дошкольников. В процессе переливания, пересыпания дети знакомятся с объемом, измеряя его условными мерками (ложками, стаканами и др.).
Задание 56
Придумайте задание для дошкольника, в процессе которого он будет измерять объем коробки.
Понятие о массе тела или вещества возникло из необходимости человека обменивать и продавать товары, продукты. Для измерения массы были придуманы рычажные весы и гири.
Масса — одна из основных физических величин, которая связана с весом (силой, с которой тело давит на опору или оттягивает подвес в результате притяжения Земли). На различных широтах (например, на полюсе и на экваторе) вес одного и того же тела отличается. Масса же остается неизменной и является характеристикой только данного тела.
С математической точки зрения:
Масса - это положительная величина, определенная на множестве физических тел так, что:
— масса одинакова у тел, уравновешивающих друг друга на весах;
— массы складываются, когда тела соединяются вместе.
Замечание.
Весы получили свое название вследствие того, что на них измеряют вес предмета. Вес как сила измеряется в ньютонах и связан с массой формулой F=mg, в статичном положении отличается от нее только коэффициентом 9,8 (ускорение свободного падения), что позволяет шкалу на весах сразу обозначить в килограммах, а не в ньютонах.
Масса характеризуется теми же свойствами, что длина и площадь, только на множестве физических тел. Сравнение масс, действия над ними сводятся к сравнению и действиям над численными значениями масс.
Процесс измерения массы
1. Выбирают тело, масса которого принимается за единицу (предполагается, что можно взять и ее доли 0,1; 0,01 и т.д.).
2. На одну чашу весов кладут измеряемое тело, а на другую - тела, выбранные в качестве единицы массы (гири) так, чтобы весы были уравновешены.
3.Считают численное значение массы гирь. Это и будет численным значением искомой массы.
При развитии барического чувства («чувства тяжести»), при знакомстве со способами определения массы на весах, дети уже дошкольного возраста сталкиваются со свойствами массы, сравнением предметов по массе, действиями с численными значениями масс. Происходит это, например, при рассматривании рисунков или реальных предметов.
Рисунок 1: на левой чаше весов — 1 яблоко, на правой чаше весов — 8 желудей, весы уравновешены.
Рисунок 2: на левой чаше весов — 1 груша, на правой чаше весов - 6 желудей, весы уравновешены.
Вопрос: «Что тяжелее — яблоко или груша?»
Младших школьников знакомят с общепринятыми единицами массы: килограммом, граммом. Понятие массы используется в задачах.
Более подробно понятие массы изучается школьниками на уроках физики. В процессе математического развития дошкольников и на уроках математики в начальной школе происходит первоначальное знакомство детей с массой в целях сенсорного воспитания и использования при решении арифметических задач.
Задание 57
Решите задачу: «Имеются рычажные весы и 3 гири 8 кг, 5 кг, 3 кг. Как одним взвешиванием отмерить 6 кг крупы?»
Окружающий нас мир существует во времени. Временные характеристики явлений (продолжительность, последовательность, частота, ритм, темп и др.) необходимы для описания любых процессов в природе. Понятие времени более сложное, чем понятие длины, площади, массы. Оно не имеет наглядности и познается опосредованно. Вся жизнь человека связана со временем, с умением измерять, распределять, ценить время. Время течет непрерывно, его нельзя ни остановить, ни возвратить, ни увидеть, что создает особые трудности в изучении.
В математике и физике время рассматривают как скалярную величину, ее свойства похожи на рассмотренные ранее.
Некоторые свойства промежутков времени
1. Промежутки времени можно сравнивать, («Красная Шапочка затратила больше времени на дорогу до бабушки, чем Серый Волк».)
2. Промежутки времени можно складывать и вычитать. («Маша один час вырезала фигуры и один час их наклеивала. Сколько всего времени она затратила на работу?»)
3. Промежутки времени можно умножать на число. («7 суток — это неделя. Сколько суток в трех неделях?»)
4. Промежутки времени можно измерять.
Процесс измерения времени особенный, его нельзя измерить откладыванием одной и той же мерки, как, например, длину. Поэтому в качестве единицы времени выбирается регулярно повторяющийся процесс. Такие единицы времени, как год, сутки, были выбраны на основе природных явлений: смены дня и ночи, смены времен года, а час, минута, секунда придуманы человеком.
Дошкольники знакомятся с понятиями: части суток, дни недели, месяцы и др. Для развития «чувства времени» можно научить их работать с песочными часами, секундомером, определять время по механическим часам.
Младшие школьники знакомятся с общепринятыми единицами времени (секундой, минутой, часом), используют свои знания при решении задач.
Задание 58
Решите задачи.
1. Знаменитый греческий математик Архимед умер в 212 году да
н.э. Сколько веков и сколько лет прошло с тех пор!
Задание 59
Вспомните другие формулы, раскрывающие связи между различными величинами. Назовите единицы этих величин.
Зависимости между величинами разнообразны и изучаются в различных науках: математике, физике, астрономии, химии, экономике, биологии, социологии и др.
Дети рано встречаются с зависимостями между величинами. Например, в рассуждениях:
— чем длиннее путь, тем больше времени необходимо затратить (при постоянной скорости);
— чем больше цена, тем больше стоимость товара (при постоянном количестве);
— у квадрата с большей площадью сторона длиннее.
Эти связи используются дошкольниками в рассуждениях и помогают им правильно делать выводы. В начальной школе на уроках математики при решении задач также раскрываются зависимости между величинами сначала при помощи рассуждений, а после знакомства с буквенными выражениями и при помощи формул.
Примечание.
Лекция начинается с сообщений на темы: «История создания и развития систем единых измерений разных народов», «Метрическая система мер», «Международная система единиц 57», предварительно подготовленные студентами.
В истории развития систем единых измерений можно выделить несколько периодов. Переход от одного этапа к другому, как правило, обусловливается противоречиями и неудобствами прежних единиц.
Этапы развития единиц величин
I этап.
Единицы длины отождествляются с частями тела человека:
ладонь — ширина четырех пальцев; локоть — длина руки от кисти до локтя; фут - длина ступни;
дюйм - длина сустава большого пальца и др. В качестве единиц площади использовались такие единицы: колодец - площадь, которую можно полить из одного колодца; соха или плуг — средняя площадь, обработанная за день сохой или плугом.
Недостаток таких единиц — нестабильность, необъективность.
II этап.
В XIV-XVI вв. с развитием торговли появляются более объективные единицы. Например:
дюйм - длина трех приставленных друг к другу ячменных зерен;
фут — ширина 64 ячменных зерен, положенных бок о бок;
карат - масса семени одного из видов бобов.
Недостаток — отсутствие взаимосвязи между единицами измерений.
III этап.
Введение единиц, взаимосвязанных друг с другом. Например, в России единицы длины были связаны таким образом:
3 аршина — сажень;
500 саженей - верста;
7 верст - миля.
Недостаток - различие единиц в разных странах, что тормозило взаимоотношения между ними, например торговлю.
IV этап.
Создание новой системы единиц во Франции в конце XVIII в. Основная единица длины - метр — одна сорокамиллионная часть
длины земного меридиана, проходящего через Париж. Метр — в переволе с греческого (metron) — мера. Все остальные величины были связаны с метром, поэтому новая система величин получила название метрической системы мер. В ней использовались такие единицы:
ар — площадь квадрата со стороной 10 м;
литр - объем куба с длиной ребра 0,1 м;
грамм — масса чистой воды, занимающей объем куба с длиной ребра 0,01 м.
Были введены десятичные кратные и дольные единицы с помощью приставок (рис. 87):
Эталоны метра и килограмма, изготовленные из платино-ири-диевого сплава, до сих пор хранятся в Международном бюро мер и весов в Севре, около Парижа. Подобные образцы были переданы другим странам.
Недостаток — с развитием науки потребовались новые единицы и более точное измерение.
V этап.
В I960 г. XI Генеральная конференция мер и весов приняла решение
0 введении Международной системы единиц SI (русск. СИ).
SI — система интернациональная.
В этой системе 7 основных единиц (метр, килограмм, секунда, ампер, кельвин, моль, кандела) и 2 дополнительные (радиан, стерадиан). Эти единицы, определенные в курсе физики, не изменяются в любых условиях.
Задание 60
Назовите единицы основных величин системы SI.
Величины, которые определяются через основные, называются производными величинами. Например, производными величинами
1 - 7975
являются площадь, объем, скорость. Их единицы отражают связь с единицами других величин, например длины:
площадь — квадратный метр — м1,
объем - кубический метр - м3,
скорость — метр в секунду — м/с
и др.
Во многих странах по сей день находят свое применение и используются внесистемные единицы, например, в России:
масса — центнер,
площадь — гектар,
температура — градус Цельсия
и др.
В Англии и США используется Британская система мер, измерение проводят фунтами, дюймами, футами и др. Исторически сложилось так, что одни и те же единицы величины часто отличаются в разных странах и даже в разных направлениях использования, например: английский фунт больше русского, морская миля больше сухопутной и др.
Задание 61
Назовите известные вам внесистемные единицы величин, которыми до сих пор пользуются в России и других странах.
Вопросы для самоконтроля к теме №4
1. Какие величины называются однородными?
2. Какие величины называются разнородными?
3. Какие свойства однородных величин вы знаете?
4. Какие величины называются аддитивными?
5. Что значит измерить величину?
6. Что называют численным значением величины?
7. Какова цель измерения?
8. Какие величины называются скалярными, а какие векторными?
9. Каково значение измерения?
10. Как связаны величины и их численные значения?
11. Опишите процесс измерения отрезка, если результат измерения выражен натуральным числом.
12. Дайте определение длины отрезка.
13. Опишите свойства длин отрезков.
14. Дайте определение площади фигуры.
15.Опишите свойства площадей.
16. Опишите процесс измерения площади фигуры.
17. Дайте определение массы тепа.
18. Опишите процесс измерения массы.
19. Опишите свойства промежутков времени.
20. Назовите этапы развития единиц величин.
Задания для самостоятельной работы к теме №4
1. Придумайте задания для детей (возраст определите сами), отражающие свойства длины отрезка, площади фигуры, объема тела, массы тела, промежутков времени.
2. Придумайте план обучения дошкольников измерению длины (полосками), объема (стаканами).
3.Придумайте сюжеты для работы с младшими школьниками, в процессе которых вы познакомите детей с общепринятыми мерами величин: метром, сантиметром, дециметром, килограммом, литром, секундой, минутой и др.
4.Подберите задачи из учебников для начальной школы, в которых дети используют знания о зависимостях между величинами.
5.Выпишите старинные единицы величин, встречающиеся в детской литературе. Найдите в справочниках их численные значения в единицах системы SI. В каких странах они зародились? Например, почему Дюймовочку так назвали? Чему равен 1дюйм в миллиметрах?
6. Подготовьте сообщения на темы:
«История создания и развития систем единиц величин разных народов в;
«Метрическая система мер»; «Международная система единиц SI».
«Мы должны склониться перед гением
Человека, создавшего (не открывшего, а
именно создавшего) понятие единицы.
Возникло Число, а вместе с ним возникла
Математика. Идея Числа — вот с чего начиналась
история величайшей из наук». Н.Н. Лузин (1883-1950) - крупнейший
российский математик
Числа, которые используют при счете: 1, 2, 3, ..., называют натуральными. Понятие натурального числа является одним из основных математических понятий. К возникновению понятия числа человека привели два вида деятельности: счет и измерение. Понятие числа возникло из практической потребности человека и прошло длительный путь в своем развитии.
Чтобы прийти к современному представлению о числе, человек прошел несколько этапов.
I этап.
Множества сравниваются непосредственно путем установления взаимно однозначного соответствия между их элементами. («Яблок столько, сколько человек за столом»,) Аналогично дошкольники сравнивают множества способом наложения и приложения.
Неудобство заключается в том. что оба множества должны быть одновременно обозримы.
II этап.
Вводятся множества-посредники (камешки, зарубки, узелки, пальцы и др.). Человек не отвлекается от конкретных предметов, но уже выделяет общие свойства рассматриваемых множеств (например, «иметь поровну элементов»). Для ответа на вопрос «сколько?» малыши часто используют пальцы на руках как множества-посредники.
III этап.
Происходит отвлечение от природы множеств-посредников, возникает понятие натурального числа. При счете человек уже не говорит: «Один камешек, два камешка, ...», а называет числа: «Один, два, три, ...» Это важнейший этап в развитии понятия числа. Человек научился абстрагироваться от других свойств множества, выделяя только количество элементов в нем.
IV этап.
Числа стали не только называть, но записывать и выполнять с ними действия. Появились различные системы счислений. Создание десятичной системы, понятия нуля в Древней Индии (V-VI вв. н.э.) решило многие проблемы в этой области и получило всемирное распространение.
V этап.
Числа становятся предметом изучения, и зарождается наука арифметика (от греческого arithmos — число). Арифметика возникла в странах Древнего Востока: Вавилоне, Китае, Индии, Египте, развивалась учеными Древней Греции, стран арабского мира, европейскими учеными. Термин «натуральное число» впервые употребил римский ученый А. Боэций (около 480 — 524).
В настоящее время свойства натуральных чисел, действия над ними изучаются в разделе математики, который называется теорией чисел.
Задание 62
Проведите аналогию между этапами развития понятия натурального числа и деятельностью детей при формировании количественных представлений.
Процесс формирования представлений о числе у дошкольников в общих чертах повторяет основные этапы исторического развития этого понятия. Сначала дети сравнивают множества приемами наложения и приложения, затем соотносят с числом пальцев на руке, «потом используют натуральные числа при счете, учатся их записывать и выполнять арифметические действия.
Примечание.
Заслушиваются сообщения, предварительно подготовленные студентами на тему: «Как люди научились считать».
В процессе счета происходит также упорядочивание элементов множества А (первый элемент, второй, третий, ...), то есть натуральное число можно рассматривать и как характеристику порядка элементов в множестве А или, короче, как порядковое число. В этой роли натуральное число выступает, когда хотят узнать, каким по счету является тот или иной элемент множества.
Количественные и порядковые числа тесно связаны, и возможен переход от одного к другому, в зависимости от цели счета. Сам счет служит для упорядочивания элементов множества и для определения их количества.
Задание 63
1. Запишите все элементы множества №7. Приведите пример множества, для счета элементов которого можно использовать данный отрезок натурального ряда.
2. Являются пи данные множества отрезками натурального ряда: {О, 1, 2, 3, 4, 5}, {2, 4, 6, 8}, {1, 2, 3}, {3, 4, 5}Г
3. Предложите правила счета для дошкольника, которые помогут сформировать счетную деятельность у ребенка и избежать ошибок.
4.Приведите примеры заданий для детей, в процессе выполнения которых они будут использовать количественные и порядковые числа.
Натуральное число как результат счета не зависит от того, в каком порядке пересчитывались элементы множества, важно, чтобы соблюдались правила счета.
Многие родители заблуждаются, говоря, что их ребенок умеет считать до ста, когда тот может только называть числа от 1 до 100, то есть запомнил последовательность чисел. При обучении дошкольника счету необходимо научить его устанавливать взаимно однозначное соответствие между предметами и числами, выделять итоговое число. Специальные правила (счет вслух, прикасание к каждому предмету рукой слева направо, обобщающий жест) помогут избежать ошибок (пропуск предметов, сосчитывание одного предмета несколько раз, непонимание, сколько же всего предметов, и др.).
Специальные упражнения лают возможность понять ребенку закон сохранения количества (независимость количества элементов множества от их расположения и от направления счета) и зависимость порядкового номера элемента множества от направления счета.
При построении теории натуральных чисел одним из основных понятий принято отношение «непосредственно следовать за», также используются теоретико-множественные понятия и правила логики.
При изучении числового ряда детей учат называть следующее число, предшествующее число, соседние числа.
Если натуральное число Ь непосредственно следует за натуральным числом а, то число а называется непосредственно предшествующим числу Ь.
Числа а и Ъ называются соседними числами.
Если к числу прибавить 1, то получится следующее число.
Старшие дошкольники знакомятся с отношениями между числами «больше» и «меньше», операциями над натуральными числами сложением и вычитанием, а младшие школьники — с названиями компонентов этих действий.
Все конечные множества можно распределить по классам в зависимости от числа элементов в них, то есть в каждом классе будут находиться равномощные множества. Они различны по своей природе, но содержат поровну элементов.
С теоретико-множественной позиции количественное натуральное число есть общее свойство класса конечных равномощных множеств.
Каждому классу соответствует только одно натуральное число, каждому натуральному числу — только один класс равномощных множеств.
Рассмотрим, например, множества:
—множество пальцев на руке,
— множество букв в слове «число»,
Множеств сторон в пятиугольнике. В этих множествах одинаковое число элементов, в чем можно
убедиться, установив взаимно однозначные соответствия между ними. Это общее, что характеризует каждое из множеств одного класса, называется натуральным числом. Данные множества характеризуются числом пять. Следовательно, «пять» - это общее свой-множественный смысл натурального числа и нуля 107 ство множеств, равномощных, например, множеству пальцев на руке у человека.
Каждому конечному множеству соответствует только одно натуральное число, но каждому натуральному числу соответствуют различные равномошные множества из одного класса.
Примеры: 1) «Сколько пальцев на руке?»
2) «Возьми пять любых предметов».
В первом случае ответ однозначный (пять), во втором — возможны различные варианты выполнения задания.
Задание 64
Приведите примеры множеств, общее свойство которых есть число 4.
Число «нуль» не является натуральным. С точки зрения теории множеств число «нуль» рассматривается как число элементов пустого множества. Например, множество углов у круга является пустым.
Знакомя детей с различными числами и их записью с помощью цифр, показывают различные равномощные множества и соотносят им изучаемое число. Например:
— На рисунке изображены три фигуры.
— На столе лежат три яблока.
— Маша, Коля, Вася - это три имени.
— Число «три» записывают цифрой 3.
Так как натуральное число оказывается связанным с конечным множеством, то и действия над натуральными числами можно рассматривать в связи с действиями над множествами. Так, сложение чисел связывают с объединением непересекающихся множеств, а вычитание - с дополнением подмножества.
Пусть а — число элементов в множестве А, Ь — число элементов в множестве В, и множества А и В не пересекаются. Тогда суммой натуральных чисел а и Ь называют число элементов в объединении множеств А и В.
Рассмотрим пример. Пусть 2 — число элементов в множестве А (А может быть множеством из двух красных яблок), 3 - число элементов в множестве В (В может быть множеством из трех зеленых яблок). Множества А и В не имеют общих элементов. Тогда сумма 2+3 представляет собой число элементов в объединении множеств А и В. Если найти значение выражения 2+3, то можно записать равенство 2+3-5.
Задание 66
Натуральные числа получаются не только в результате счета элементов множества, но и при измерении величин.
Рассмотрим смысл натурального числа как результата измерения на примере одной из величин — длины отрезка (рис. 89).
Пусть а — данный отрезок, е — единичный отрезок.
Если отрезок а состоит из n отрезков, равных е, то а= n е, где и -численное значение длины отрезка А при единице Е, А= n Е.
Натуральное число n как численное значение длины отрезка А показывает, из скольких выбранных единичных отрезков е состоит отрезок а. При выбранной единице длины Е это число единственное.
Отношения между числами как результатами измерения величины отражают отношения между величинами.
Пусть: n — численное значение длины отрезка А, m — численное значение длины отрезка В при одной и той же единице длины Е, тогда:
В процессе измерительной деятельности и решения задач старшие дошкольники работают с численными значениями величин. Например:
1) «Длина синей ленты 5 мерок, а длина красной ленты 3 такие же мерки. Какая лента длиннее? Почему?»
2) «У Маши длина парты 5 мерок. У Саши парта такой же длины. Сколько мерок должно уложиться при измерении Сашиной; парты? Почему?»
Зная связи между числами, дети выясняют отношения между величинами, и наоборот, зная отношения величин, выясняют отношения между их численными значениями.
Смысл операций с числами можно рассматривать, исходя из трактовки числа как результата измерения величины.
Сумму натуральных чисел тип можно рассматривать как численное значение длины отрезка а, состоящего из отрезков Ь и с, длины которых выражаются натуральными числами тип (рис. 90).
Пример: «Длина ткани 5 м, отрезали 3 м. Какова длина оставшегося куска?» В данной задаче из длины 5 м вычитается длина 3 м. Надо узнать численное значение длины оставшегося куска ткани. Для этого надо найти разность 5-3.
Аналогично можно истолковать смысл натуральных чисел и действий с ними в связи с измерением других величин (площади, массы, стоимости, времени и др.).
Задание 67
1. Определите смысл натурального числа и действий с числами, используя:
— измерение площади;
— измерение массы.
2. Приведите примеры задач, в которых используются операции с величинами. Обоснуйте выбранное действие при решении каждой задачи.
Человеку необходимо уметь правильно называть и записывать числа, уметь правильно выполнять действия над ними. Для решения этой проблемы люди разных стран изобретали различные системы счисления.
Система счисления - это язык для наименования, записи чисел и выполнения действий над ними.
Самой старой системой счисления считается двоичная. Человек вел счет не при помощи пальцев, а при помощи рук. Переход к пальцевому счету привел к созданию пятеричной системы, десятеричной и др. В Древнем Вавилоне считали группами по 60, система счисления была шестидесятеричная.
В настоящее время наиболее широкое применение получила десятичная система счисления, хотя используются и другие:
шестидесятеричная — при измерении времени,
двенадцатеричная - при счете дюжинами,
двоичная — например, в компьютере и др.
Различают позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах счисления значение цифры (знака, используемого для записи чисел) не зависит от ее места (позиции) в записи числа.
Примером непозиционной системы может быть римская нумерация. В ней 7 знаков:
I - один,
V — пять,
X - десять,
L - пятьдесят,
С- сто,
D — пятьсот,
М— тысяча.
Все другие числа получаются из этих семи при помощи двух арифметических действий: сложения и вычитания.
Например, IV - четыре (5-1=4), VI — шесть (5+1=6). Записи IV и VI показывают, что римская система счисления непозиционная -где бы ни стоял знак V или I - он всегда имеет одно и то же значение.
В позиционных системах счисления значение цифры зависит от ее позиции в записи числа.
Примером позиционной системы счисления является используемая повсеместно десятичная система. В ней для записи чисел используется 10 цифр, и значение каждой цифры зависит от места (позиции), которое она занимает в записи числа. Например, в записи 253 цифра 2 обозначает сотни, в записи 325 - цифра 2 обозначает десятки, а в записи 532 — цифра 2 обозначает единицы.
Задание 68
Запишете число 2678 в римском нумерации.
Примечание.
Заслушиваются доклады и сообщения, предварительно подготовленные студентами, на темы: «Возникновение и развитие нумерации», «Системы счисления разных народов», «Запись чисел в Древней Руси», «Происхождение десятичной системы счисления».
Трудности в развитии науки были преодолены с созданием в Древней Индии десятичной системы записи чисел и введением понятия нуля. Первыми заимствовали у индийцев цифры и десятичную систему арабы, поэтому ее часто называют арабской.
В десятичной системе счисления для записи чисел используются 10 знаков (цифр): 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9.
Для краткости записи цифры пишут друг за другом, а значение цифры зависит от ее места, считая справа налево.
Например: 5437 - краткая запись числа «пять тысяч четыреста
Данная система записи чисел называется десятичной, так как 10 является основанием системы, то есть 10 единиц одного разряда составляют 1 единицу следующего разряда.
В целях подготовки к усвоению десятичной системы счисления старшие дошкольники знакомятся с цифрами, учатся считать группами (в том числе десятками). Младшие школьники, знакомясь с: десятичной системой счисления, выполняют задание: «Представь, число в виде суммы разрядных слагаемых», учатся называть разряды, и классы.
Три первых разряда образуют класс единиц, следующие три разряда — класс тысяч, затем идет класс миллионов и др. (рис. 91).
Для записи любого числа достаточно 10 цифр. Для называния чисел в пределах миллиарда достаточно 16 различных слов: один, два, три, четыре, пять, шесть, семь, восемь, девять, десять, сорок,
При формировании математических представлений у дошкольников и при обучении математике в школе используются текстовые задачи. Решение и составление задач способствуют развитию логического мышления, формированию некоторых математических умений (вычислительной деятельности, умения моделировать и др.), применению математических знаний в жизненных ситуациях.
Текстовая задача — это описание некоторой ситуации на естественном языке с требованием дать количественную характеристику какого-либо компонента этой ситуации, установить наличие или отсутствие некоторого отношения между компонентами или определить вид этого отношения.
Любая текстовая задача состоит их двух частей: условия и требования.
В условии сообщаются сведения об объектах и их величинах, об отношениях между ними, задаются количественные характеристики величин (их численные значения).
Требование — это указание, что нужно найти. Оно может быть выражено предложением в повелительной или вопросительной форме.
Например, в задаче: «Маша нашла 3 гриба, а Петя — 2 гриба. Сколько всего грибов нашли дети?» условие включает текст: «Маша нашла 3 гриба, а Петя — 2 гриба*. Требование представлено в виде вопроса: «Сколько всего грибов нашли дети?»
Возможны и другие формулировки этой задачи:
1) «Сколько грибов принесли домой дети, если Маша нашла 3 гриба, а Петя — 2 гриба?» (Условие и требование дается в одном предложении.)
2) «Маша нашла 3 гриба, а Петя - 2 гриба. Они положили их в одну корзину. Найдите число грибов в корзине». (Требование сформулировано в повелительной форме.)
При решении и составлении задач важно научиться выделять условие и требование задачи. В начале обучения детям обычно предлагаются простые задачи (решаемые в одно действие), в которых сначала сформулировано условие, потом требование. Затем полезно рассматривать задачи, сформулированные иначе. Примером таких задач являются задачи в стихотворной форме.
Задание 71
В предложенных задачах выделите условие и требование. Упростите формулировку задач. Замените форму требования (побудительную — на вопросительную, а вопросительную — на побудительную).
1. Три яблока из сада ежик притащил, Самое румяное белке подарил.
С радостью подарок получила белка. Сосчитайте яблоки у ежа в тарелке.
2. В шкафу стояло восемь чашек. Одну из них взяла Наташа. Сколько чашек теперь там! Подскажи скорее нам.
Условие и требование задачи взаимосвязаны. Для понимания этого полезно рассматривать с детьми задачи с лишними или недостающими данными.
Например.
1) «Маша нашла 3 подберезовика и 2 белых гриба, а Петя - 4 подосиновика. Сколько всего грибов нашла Маша?» (Условие задачи содержит лишнее данное.)
2) «Маша нашла 3 гриба. Сколько грибов нашел Петя?» (В задаче недостаточно данных для ответа на вопрос.)
При обсуждении таких задач дети учатся не только логично рассуждать, но и самостоятельно составлять задачи, называть объекты задачи, величины, их численные значения, связи между величинами.
Задание 72
1. Придумайте задачи с лишними или недостающими данными для старших дошкольников или первоклассников.
2. Выявите объекты, величины, их отношения и численные значения в предложенной задаче:
«Юре десять лет, а брат Сережа
На восемь пет его моложе.
Узнайте, сколько лет Сереже,
Хочу я знать об этом тоже».
Решить задачу — это значит через логически верную последовательность действий и операций с объектами, числами, величинами, отношениями выполнить требование задачи (ответить на ее вопрос).
Существуют различные методы решения текстовых задач: практический, арифметический, алгебраический, геометрический, логический и др.
При решении задач дошкольники часто пользуются практическим методом, где действуют с конкретными предметами или их заместителями.
Например.
1) «В вазе было 3 цветка, добавили еще 2. Сколько стало цветов в вазе?» Дошкольники решают эту задачу, выполняя задания воспитателя:
- Маша, поставь 3 цветка в вазу.
- Коля, поставь 2 цветка в вазу.
- Петя, посчитай, сколько всего цветков.
2) «Коля наклеил на 3 листа по 2 открытки. Сколько всего открыток наклеил Коля?» Эту задачу можно решить, выложив три раза по 2 квадратика и пересчитав их.
Практический метод решения задач — это метод, при котором ответ находится в процессе действий с предметами или их заместителями (например, путем пересчета).
Если у детей сформированы вычислительные навыки, они применяют арифметический метод решения задачи — метод, при котором ответ находится в результате выполнения арифметических действий над числами.
Пример: «В комнате сидят 4 девочки и 3 мальчика. Сколько всего детей? (4+3=7).
Одну и ту же задачу можно решить арифметическим методом разными способами.
Задание 73
Решите двумя арифметическими способами предложенную задачу: «Мама купила 3 карандаша по 5 р. и 3 ручки по 10 р. Сколько денег мама истратила на покупку!»
Алгебраический метод решения задач — это метод, при котором ответ находится путем составления и решения уравнения.
Задание 74
Решите алгебраическим методом предложенную задачу: «Сколько тетрадей лежало на столе, если, после того как взяли 2 тетради, осталось 7 тетрадей?»
Геометрический метод решения задач - это метод, при котором ответ находится в результате геометрических построений (чертежей, графиков), использования свойств геометрических фигур.
Например, при решении задачи: «Расстояние между двумя городами 12 км. Встретились ли два велосипедиста, выехавшие из этих городов навстречу друг другу, если первый проехал 8 км, а второй -7 км?» Построив чертеж или схему (рис. 92), можно ответить на поставленный вопрос.
Опираясь только на графики движения, можно ответить на вопросы «догнал ли?», «встретились ли?», «через какое время обогнал?» и др. Отрезки и их измерение, чертежи и графики используют не только в задачах на движение. Например, схему, изображенную на рисунке 92, можно использовать для решения такой задачи: «У братьев 12 книг. 8 книг у Пети, 7 книг у Саши. Сколько у братьев общих книг?» Здесь каждая книга изображена одним отрезком. Пересечение отрезка, обозначающего Петины книги, и отрезка, обозначающего Сашины книги, и будет ответом на вопрос задачи.
Задание 75
Решите задачу, предложенную в задании 74, геометрическим методом.
В работе с детьми полезно использовать логические задачи, которые решаются путем умозаключений, обычно не используя вычислений.
Логический метод решения задач — это метод, при котором ответ находится в результате логических рассуждений, и вычисления, как правило, не используются.
Примером логической задачи является известное стихотворение К.Чуковского:
Шел Кондрат в Ленинград,
А навстречу — двенадцать ребят.
У каждого по три лукошка,
В каждом лукошке - кошка,
У каждой кошки — двенадцать котят,
У каждого котенка в зубах по 4 мышонка.
И задумался старый Кондрат:
«Сколько мышат и котят ребята несут в Ленинград?»
Дошкольникам предлагаются такие задачи, решаемые логическим методом, как, например: «Петя выше Коли, Коля выше Сережи. Кто выше, Петя или Сережа?» Для получения ответа на вопрос задачи здесь не надо выполнять действия с числами, а надо рассуждать.
Задание 76
Решите задачу логическим методом:
«Из девяти монет одна фальшивая (более легкая). Как двумя взвешиваниями на чашечных весах определить фальшивую монету?»
Одну и ту же задачу часто можно решить разными методами. В рамках одного метода возможны разные способы решения и применение различных моделей. Иногда в ходе решения задач применяется несколько методов, в таком случае считают, что задача решена комбинированным методом.
Решение задачи - это сложная деятельность, которая зависит от формулировки задачи, ее степени сложности, умений ребенка и его индивидуальных особенностей. Один ребенок сразу дает ответ, но не может его обосновать. Другой ребенок правильно рассуждает, но не может сформулировать ответ. Третий ребенок просто не понимает, что от него требуется. Как же помочь детям научиться решать задачи? Важно провести ребенка по всем этапам решения задачи сначала на простейших задачах, а затем научить использовать данные знания в более сложных ситуациях.
Процесс решения задачи можно разделить на несколько этапов.
Этапы решения текстовой задачи
I. Восприятие и анализ задачи.
II. Поиск и составление плана решения.
III. Выполнение плана решения.
IV. Проверка решения задачи.
В реальном процессе решения задачи эти этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются в полной мере. Решая простые задачи поданным этапам, мы помогаем ребятам научиться правильно строить свои рассуждения и справляться с решением трудной для них задачи, готовим к работе с более сложными задачами. В результате выполненного решения необходимо научить детей формулировать (устно или письменно) ответ на вопрос задачи полным предложением.
I этап.
Основная цель первого этапа — понять ситуацию в целом, выявить объекты, величины и отношения, выделить условие и требование.
Возможны различные приемы осуществления этого этапа.
1. Постановка специальных вопросов по содержанию задачи, («О чем задача? Что требуется найти? Что мы знаем?»)
2. Переформулировка текста. Замена более ясной формулировкой с разбиением на смысловые части.
Пример: «У Коли и Марины -
Четыре мандарина.
Из них у брата - три.
А сколько у сестры?»
Используемые задачи-стихи часто приходится переформулировать: «У брата и сестры было 4 мандарина. Коля взял себе 3 мандарина. Сколько мандаринов досталось Марине?»
6.3. Основные этапы решения задач
Решение задачи — это сложная деятельность, которая зависит от формулировки задачи, ее степени сложности, умений ребенка и его индивидуальных особенностей. Один ребенок сразу дает ответ, но не может его обосновать. Другой ребенок правильно рассуждает, но не может сформулировать ответ. Третий ребенок просто не понимает, что от него требуется. Как же помочь детям научиться решать задачи? Важно провести ребенка по всем этапам решения задачи сначала на простейших задачах, а затем научить использовать данные знания в более сложных ситуациях.
Процесс решения задачи можно разделить на несколько этапов.
Этапы решения текстовой задачи
I. Восприятие и анализ задачи.
II. Поиск и составление плана решения.
III. Выполнение плана решения.
IV. Проверка решения задачи.
В реальном процессе решения задачи эти этапы не имеют четких границ и не всегда выполняются в полной мере. Решая простые задачи поданным этапам, мы помогаем ребятам научиться правильно строить свои рассуждения и справляться с решением трудной для них задачи, готовим к работе с более сложными задачами. В результате выполненного решения необходимо научить детей формулировать (устно или письменно) ответ на вопрос задачи полным предложением.
I этап.
Основная цель первого этапа - понять ситуацию в целом, выявить объекты, величины и отношения, выделить условие и требование.
Возможны различные приемы осуществления этого этапа.
1. Постановка специальных вопросов по содержанию задачи. («О чем задача? Что требуется найти? Что мы знаем?»)
2. Переформулировка текста. Замена более ясной формулировкой с разбиением на смысловые части.
Пример: «У Коли и Марины -
Четыре мандарина.
Из них у брата - три.
А сколько у сестры?»
Используемые задачи-стихи часто приходится переформулировать: «У брата и сестры было 4 мандарина, Коля взял себе 3 мандарина. Сколько мандаринов досталось Марине?»
3. Моделирование ситуации. Применение наглядности непосредственно (мандарины) или предметов-заместителей (кружки) помогает детям понять задачу. Пример: «Представим, что кружок — это мандарин» (рис. 93). Для лучшего усвоения содержания задачи, анализа ее условия и требования часто используют краткие записи (рис. 94), таблицы, чертежи, схемы, которые являются вспомогательными моделями задачи.
II этап.
Цель поиска плана решения — связать известные данные и неизвестные. Это можно сделать различными приемами:
— путем рассматривания модели;
— с помощью рассуждений.
Рассуждения можно вести; от вопроса к данным («Что нужно найти? Что для этого нужно сделать?»), от данных к вопросу («Что известно? Что из этого можно узнать?»). Рассматривая модель задачи или рассуждая, дети понимают, каким действием решается простая задача, или устанавливают порядок действий для решения составной задачи.
III этап.
Цель третьего этапа — выполнить требование, найти ответ на вопрос задачи. В зависимости от метода решения задачи это достигается различными приемами, например:
1) пересчет (практический метод);
2) устные вычисления или запись числового выражения и нахождение его значения (арифметический метод);
3) составление и решение уравнения (алгебраический метод);
4) построение и анализ чертежей, графиков (геометрический метод);
5) выстраивание цепочки рассуждений (логический метод).
Выкладывание примера при помощи цифровых карточек поможет дошкольникам в будущем правильно оформлять решение задачи и формулировать ответ:
4—3=1. Ответ: у Марины 1 мандарин.
IV этап.
Цель четвертого этапа — установить правильность выполненного решения и устранить ошибки, если они есть.
Известно несколько приемов (способов), помогающих понять, верно ли решена задача:
Пример: «Если было 7 птичек, а часть улетела, то получится число меньше, чем 7». Если ответ был — 8, то ясно, что он неправильный. Если ответ был — 6, то прикидка не доказывает его правильность.
2. Соотнесение полученного результата и условия задачи. Найденный результат вводится в условие задачи и на основе
рассуждений устанавливается, не возникает ли при этом противоречие.
Пример: «Если у Коли 3 мандарина, а у Марины - 2, то всего 5 мандаринов. По условию задачи их должно быть 4, значит, задача решена неверно.
3. Решение задачи другим методом или способом.
Дошкольники могут решить одну и ту же задачу разными методами (арифметическим и практическим) и сравнить полученные ответы. В начальной школе дети осваивают решение задачи разными способами, если она в два и более действий.
Задание 77
Ответьте на поставленный вопрос, решив задачу арифметическим методом, выделите этапы решения задачи и приемы их выполнения: «Сколько лап у трех кошен!»
6.4. Моделирование в процессе решения задач
Моделирование - один из математических методов познания окружающей действительности, при котором строятся и исследуются модели. Моделирование упрощает процесс познания, так как выделяет и отображает только нужную грань реальности, абстрагируясь от незначимых факторов.
Текстовая задача — это словесная модель некоторой реальной ситуации. Чтобы решить задачу, надо построить ее математическую модель.
Математическая модель — это описание реального процесса на математическом языке.
Математической моделью текстовой задачи является числовое выражение (или несколько числовых выражений, если задача решается по действиям) и уравнение (либо система уравнений).
Этапы моделирования в процессе решения текстовой задачи.
I этап — перевод задачи на математический язык,
II этап - внутримодельное решение.
III этап - перевод полученного решения на естественный язык. На первом этапе происходит переход от одной модели к другой: от словесной модели (текстовой задачи) к вспомогательным моделям (рисункам, кратким записям, таблицам и др.), а от них к математической модели задачи (числовым выражениям и уравнениям). На втором этапе находятся значения числовых выражений, решаются уравнения. На третьем этапе происходит интерпретация результатов, используя полученное решение, формулируется ответ на вопрос, поставленный в задаче.
Задание 78
Решите задачу. Выделите этапы моделирования в процессе ее решения.
«Сколько надо купить линолеума, чтобы застелить полы в комнате шириной 3 м и длиной 6 м?»
В процессе развития мышление ребенка переходит от наглядно-действенного к наглядно-образному, а впоследствии — к словесно-логическому. Применение наглядности на любом уровне мышления помогает детям в восприятии и осмыслении задачи, в поиске решения и формулировке ответа. Наглядность может быть непосредственно демонстрирующая задачу — применение конкретных предметов, о которых говорится в задаче. Реальные предметы можно заменить моделями, рисунками, схемами, знаками. Моделирование в процессе решения задачи развивает образное мышление и учит логически рассуждать.
В зависимости от используемых средств модели можно разделить на схематизированные и знаковые.
К схематизированным моделям относятся:
— вещественные (обеспечивающие физическое действие с предметами, описанными в задаче, или их заместителями, например счетными палочками),
— графические (рисунки, условные рисунки, чертежи, схемы). К знаковым моделям относятся:
Решение задач является одним из средств развития у детей логического мышления, смекалки, сообразительности. В работе с задачами совершенствуется умение проводить анализ и синтез, обобщать и конкретизировать, выделять главное, отбрасывать несущественное.
Задание 79
1. Для решения предложенной задачи постройте все виды схематизированных моделей:
«В коробке 12 карандашей. Скольким детям можно поровну разделить все карандаши?»
2. Продемонстрируйте использование различных моделей для решения данной задачи:
«У Пети с Машей всего 15 фломастеров, причем у Маши на 3 фломастера больше, чем у Пети. Сколько фломастеров у каждого ребенка?»
Вопросы для самоконтроля к теме № 6
1. Какая задача называется текстовой?
2. Какова структура текстовой задачи? З.Что значит решить задачу?
4. Что значит задача решена практическим методом?
5. Что значит задача решена арифметическим методом?
6. Что значит задача решена алгебраическим методом?
7. Что значит задача решена геометрическим методом?
8. Что значит задача решена логическим методом?
9. Назовите основные этапы решения текстовой задачи, раскройте цели и приемы их выполнения.
10. Что такое математическая модель?
11. Назовите этапы моделирования в процессе решения текстовых задач.
12. Какие виды моделей используют в процессе решения текстовых задач?
Задания для самостоятельной работы к теме №6
1. Придумайте простую задачу и решите ее различными возможными методами.
2. Придумайте составную задачу и решите ее арифметическим методом двумя способами.
3.Напишите диалог с ребенком (возраст определите сами), отражающий процесс решений конкретной задачи по этапам.
4.Придумайте педагогическую ситуацию, в которой ребенок неправильно решил задачу, и продемонстрируйте различные способы проверки правильности ответа.
5.Придумайте задачу, постройте для ее решения различные модели: вспомогательные (реальные предметы, предметы-заместители, рисунок, схему, чертеж, краткую запись, таблицу) и решающие (числовое выражение, уравнение).
6.Подберите логические задачи для дошкольников и младших школьников и проведите рассуждения в процессе их решения. 7. Предложите бытовую ситуацию (ремонт квартиры, приготовление пищи или др.), в которой вы вынуждены прибегнуть к решению задачи. Выявите этапы моделирования в процессе решения этой задачи. 9-7975
ПРИЛОЖЕНИЕ №1 Государственный образовательный стандарт по предмету Математика (цикл «Математические и общие естественнонаучные дисциплины») для специальностей: 050704 («Дошкольное образование»), 050705 («Специальное дошкольное образование»),050718 («Специальная педагогика в специальных (коррекционных)
образовательных учреждениях») ЕН.01.
Роль математики в жизни общества; математические понятия, предложения, доказательства; элементы теории множеств; понятие величины и ее измерения; история создания систем единиц величин; этапы развития понятий натурального числа и нуля; системы счисления; понятие текстовой задачи и процесса ее решения; из истории развития геометрии; основные свойства геометрических фигур на плоскости и в пространстве.
ПРИЛОЖЕНИЕ №2
ВАРИАНТ РАБОЧЕЙ ПРОГРАММЫ ПО МАТЕМАТИКЕ
для специальностей 050704, 050705, 050718
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Курс математики представляет собой дисциплину цикла «Математические и общие естественнонаучные дисциплины» (ЕН.01.), изучающуюся на базе знаний средней школы в педагогических колледжах на отделениях «Дошкольное образование» (050704), «Специальное дошкольное образование» (050705), «Специальная педагогика в специальных (коррекционных) образовательных учреждениях» (050718).
Основная его цель — повысить общеобразовательный и культурный уровень будущих воспитателей, дать возможность осуществлять принцип научности в работе по математическому развитию детей.
Задачи курса:
1. Выявить место математики среди других наук и ее использование в различных сферах жизни.
2.Расширить знания научных основ предмета (элементы логики, теории множеств, чисел, величин, элементы геометрии).
3.Создать необходимую базу для изучения курсов «Методика математического развития» (специальности 05070Л, 050705), «Методика организации самоподготовки школьников по математике» (специальность 050718) и профессиональной деятельности (развития, воспитания и образования детей).
Для целенаправленной и плодотворной работы воспитателю общеобразовательных и специальных учреждений необходимо знать суть математических представлений, которые формируются у детей в дошкольном и школьном возрасте.
В данном курсе уделяется внимание вопросам логики и элементам теории множеств, которые не изучаются в явном виде в средней школе, но являются не только фундаментом всей математики, но основой математического развития ребенка и формирования всех видов деятельности. Лекции о геометрических фигурах, величинах, натуральных числах расширяют и систематизируют школьные знания, что обеспечит возможность грамотно осуществлять помощь детям в изучении математики. Формирование умения решать задачи - одно из условий успешного обучения в школе. Этой проблеме посвящена последняя тема, которая раскрывает понятие текстовой задачи и ее решения.
Умение пользоваться математическими методами познания, владение математическим языком, сформированное математических представлений, знание основных математических понятий и их взаимосвязей необходимо воспитателю для осуществления не только образовательных, но и обще-развивающих и коррекционных задач в процессе воспитания детей.
Для усвоения данного содержания возможны различные формы работы со студентами: лекции, семинары, практические занятия и самостоятельная работа. Семинары и практические занятия проводится с целью уточнить и систематизировать знания студентов, полученные на лекциях и в процессе самостоятельной работы, сформировать некоторые профессиональные умения. Самостоятельная работа студентов предусматривает изучение литературы, составление рефератов, подготовку докладов и сообщений.
В течение семестра проводятся письменные и устные тематические зачеты, на основании результатов которых выставляется семестровая отметка. В конце изучения предмета возможно проведение экзамена.
Данная дисциплина преподается на 2-м курсе, на нее отводится примерно 40 учебных часов, из них 27 - лекционных и 13 - практических. Возможна корректировка в соответствии с учебным планом.
В результате изучения курса «Математики» студенты должны
иметь представление:
о роли математики в жизни общества;
о методах математического познания действительности;
об истории развития геометрии;
об истории развития систем единиц величин;
об этапах развития понятия числа;
знать:
объем и содержание изучаемых математических понятий;
виды явных и неявных определений;
структуру определения понятия через род и видовое отличие;
виды математических предложений;
схемы дедуктивных умозаключений;
Способы доказательства высказываний;
способы задания множеств, соответствии между двумя множествами и отношений между элементами одного множества;
виды отношений между множествами, определения подмножества, равных множеств, дополнения подмножества, равномощных и равночисленных множеств;
определения пересечения, объединения, разности множеств;
правила правильной классификации множества;
определение взаимно однозначного соответствия между двумя множествами;
свойства отношений между элементами одного множества;
определения и свойства геометрических фигур на плоскости и в пространстве;
свойства однородных величин;
значение измерения величин;
свойства натурального ряда;
определение счета элементов множества;
теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля;
смысл натурального числа как результата измерения величины;
особенности десятичной системы счисления;
структуру текстовой задачи и методы ее решения;
виды моделей, используемых в процессе решения текстовых задач;
уметь:
правильно формулировать определения математических понятий курса;
определять родовидовые отношения между понятиями;
определять значение истинности высказываний;
задавать отношения на множестве с целью его упорядочения или разбиения на классы,
изображать изучаемые геометрические фигуры;
измерять величины (длину отрезка, площадь фигуры, объем вещества, массу тела);
записывать число в десятичной системе счисления;
моделировать в процессе решения текстовых задач.
ПРИМЕРНЫЙ ТЕМАТИЧЕСКИЙ ПЛАН
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Цель и задачи курса. Математика и ее роль в жизни общества. Математические объекты. Математические методы познания действительности: абстрагирование, идеализация, моделирование. Значение математики для других наук.
Практическое занятие
Заслушивание сообщений и проведение дискуссии на темы: «Математика вокруг нас»,
«Математика — царица и служанка всея наук», «Математика в устном народном творчестве)! и др.
Тема 1. Элементы логики
Объем и содержание понятия. Существенные и несущественные свойства. Отношение рода и вида между понятиями. Тождественные понятия. Особенности родовидовых отношений между понятиями.
Определение понятий. Явные и неявные определения. Структура и основные правила определения через род и видовое отличие. Контекстуальное и остенсивное определения.
Математические предложения. Элементарные и составные предложения. Логические связки: «ив, «или», «не». Составные предложения структуры: «А и В», «А или Й», «Не А». Высказывания и высказывательные формы. Определение значения истинности высказываний структуры: «А и В», «А или В», «Не А». Высказывания с кванторами. Кванторы общности и существования. Определение значения истинности высказываний с кванторами общности и существования.
Умозаключения и их виды. Отношения следования и равносильности. Дедуктивное умозаключение. Правила дедуктивных умозаключений: заключения, отрицания, силлогизма. Умозаключения по аналогии. Неполная индукция. Математическое доказательство. Прямые и косвенные доказательства. Полная индукция. Софизмы.
Практическое занятие
Выявление объема и содержания разных понятий. Формулировка определений разных видов. Определение истинности высказываний структуры: «А и В», «А или В», «Не А», высказываний с кванторами общности и существования. Построение умозаключений различных видов. Доказательство предложенных высказываний. Разбор софизмов.
Обсуждение заданий для дошкольников и младших школьников на выявление существенных и несущественных свойств объектов, построения рассуждений для установления значения истинности предложений.
Работа с опорным конспектом.
Тема 2. Элементы теории множеств
Понятие множества и элемента множества. Конечные и бесконечные множества. Пустое множество. Способы задания множеств. Отношения между множествами. Подмножество. Равные множества. Круги Эйлера.
Операции над множествами. Пересечение, объединение, разность множеств. Свойства пересечения и объединения множеств. Дополнение подмножества. Разбиение множества на классы. Условия правильной классификации.
Соответствия между двумя множествами. Способы задания соответствий между двумя множествами. Взаимно однозначное соответствие. Равномощные множества. Равночисленные множества.
Отношения между элементами одного множества. Бинарные отношения. Способы задания отношений на множестве. Графы. Взаимно обратные отношения. Свойства отношений на множестве: рефлексивность, симметричность, антисимметричность, транзитивность. Отношения эквивалентности и порядка. Упорядоченное множество.
Приложения
Практическое занятие
Рассмотрение примеров задания множеств разными способами. Изображение отношений между множествами при помощи кругов Эйлера.
Обсуждение заданий для дошкольников и младших школьников на выполнение операций с множествами, на установление соответствий между элементами двух множеств.
Рассмотрение примеров отношений на множестве и установление их свойств. Формулировка заданий на классификацию и упорядочение элементов множества.
Работа с опорным конспектом.
Тема 3. Геометрические фигуры
Из истории развития геометрии. Евклидова геометрий. Правила построения геометрии.
Понятие геометрической фигуры. Геометрическая фигура как множество точек. Равные фигуры. Основные геометрические фигуры.
Геометрические фигуры на плоскости. Плоские фигуры. Выпуклые фигуры. Линии. Отрезок. Луч. Угол. Ломаная. Круг, окружность, овал. Многоугольники, их определения и свойства. Плоский многоугольник. Выпуклый многоугольник. Правильный многоугольник. Треугольник и его виды. Четырехугольник, параллелограмм, трапеция, прямоугольник, куб, ромб.
Геометрические фигуры в пространстве. Многогранники, их определения и свойства. Выпуклый многогранник. Правильные выпуклые многогранники. Призма, прямоугольный параллелепипед, куб. Пирамида. Тела вращения, их определение и свойства. Цилиндр, конус, шар, сфера.
Практическое занятие
Заслушивание докладов и сообщений об истории возникновения и развития геометрии.
Формулирование определений и свойств геометрических фигур на плоскости и в пространстве. Изображение пространственных геометрических фигур на плоскости.
Составление диалогов для дошкольников и младших школьников на выявление существенных свойств понятий: треугольник, квадрат, прямоугольник, четырехугольник, многоугольник.
Проигрывание ситуаций на распознавание дошкольниками и младшими школьниками моделей и предметов, имеющих форму куба, параллелепипеда, пирамиды, конуса, цилиндра, шара, и обсуждение их свойств.
Работа с опорным конспектом.
Тема 4. Величины и их измерение
Понятие величины. Свойства однородных величин. Измерение величин, его цель и значение. Взаимосвязь величин и их численных значений.
Длина отрезка. Процесс измерения длины отрезка. Некоторые свойства длин отрезков.
Площадь фигуры. Процесс измерения площадей фигур. Некоторые свойства площадей.
Приложения
Масса тел. Процесс измерения массы.
Промежутки времени. Время и его особенности. Некоторые свойства промежутков времени. Измерение промежутков времени.
Зависимости между величинами.
Из истории развития систем единиц измерений величин. Этапы развития единиц измерений. Метрическая система мер. Международная система единиц SI (СИ).
Практическое занятие
Практическое измерение величин (длины, площади, массы, промежутков времени) и формулирование правил измерения.
Заслушивание докладов и сообщений на темы:
«История создания и развития систем единиц измерений»,
«Единицы измерений разных народов»,
«Международная система единиц» и др.
Перевод старинных единиц измерений, встречающихся в детской литературе, в единицы системы SI.
Составление диалогов для дошкольников и младших школьников с целью ознакомления их с некоторыми свойствами и процессом измерения длины, площади, массы, времени.
Работа с опорным конспектом.
Тема 5. Натуральные числа и нуль
Этапы развития понятия натурального числа
Натуральные числа. Некоторые функции натурального числа. Натуральный ряд и его свойства. Отрезок натурального ряда. Счет элементов множества. Следующее, предшествующее, соседние числа.
Теорети комножественный смысл натурального числа и нуля. Натуральное число как общее свойство класса конечных равномощных множеств. Нуль как число элементов в пустом множестве. Теоретико-множественный смысл суммы, разности, отношения «меньше».
Натуральное число как результат измерения величины. Смысл натурального числа, полученного в результате измерения длины отрезка. Смысл суммы и разности чисел, полученных в результате измерения длины отрезков.
Способы записи чисел. Позиционные и непозиционные системы счисления, история их возникновения. Особенности десятичной системы счисления. Десятичная запись числа.
Практическое занятие
Заслушивание докладов и сообщений на темы:
«Как люди научились считать»,
«Возникновение арифметики»,
«Возникновение и развитие способов записи чисел»,
«Системы счисления разных народов»,
« Запись чисел в Древней Руси» и др.
Практическое выполнение перевода записи числа из одной системы в другую.
Обсуждение примеров становления счетной деятельности детей разного возраста по аналогии с этапами развития числа; правил счета на начальном этапе обучения; диалогов, показывающих происхождение названий чисел второго десятка и круглых чисел.
Работа с опорным конспектом.
Тема 6. Текстовые задачи
Понятие текстовой задачи и ее структура. Условие и требование задачи. Решение задачи.
Методы решения текстовых задач. Практический, арифметический, алгебраический, геометрический, логический методы решения задач. Основные этапы решения задачи, цели и приемы их выполнения.
Моделирование в процессе решения текстовых задач. Этапы моделирования в процессе решения текстовой задачи. Схематизированные (вещественные и графические) и знаковые (словесные и математические) модели.
Практическое занятие
Составление и решение текстовых задач разными методами и способами. Построение различных моделей для решения задач.
Обсуждение примеров обучения старших дошкольников и младших школьников решению задач по этапам с использованием различных моделей. Разбор педагогических ситуаций, в которых ребенок неправильно решил задачу, с демонстрацией различных способов проверки правильности ответа.
Работа с опорным конспектом.
ВОПРОСЫ ДЛЯ ИТОГОВОГО КОНТРОЛЯ (экзамена)
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ
1.Математика и ее роль в жизни общества. Математические объекты. Методы математического познания.
2. Существенные и несущественные свойства объекта. Объем и содержание понятия. Отношение рода и вида между понятиями.
3. Определение понятия. Явные и неявные определения, их виды. Схема и основные правила явного определения.
4. Высказывание и высказывательная форма. Элементарные и составные предложения, их структура. Логические связки. Таблица истинности высказываний. Правила установления истинности высказываний структуры: «А и В», «А или В», «Не An.
5. Кванторы и их виды. Правила установления истинности высказываний с кванторами общности и существования.
6. Отношения следования и равносильности между предложениями. Умозаключение. Неполная индукция, аналогия.
7. Дедуктивное умозаключение. Правила дедуктивных умозаключений. Математическое доказательство и его виды.
8. Понятие множества и элемента множества, их обозначение. Конечные и бесконечные множества. Числовые множества, их обозначение. Способы задания множеств. Характеристическое свойство множества.
9. Отношения между множествами и их изображение с помощью кругов Эйлера. Определения подмножества и равных множеств.
10.Объединение, пересечение, разность множеств. Дополнение подмножества. Понятие разбиения множества на классы.
11. Соответствия между двумя множествами и способы их задания. Взаимно однозначное соответствие. Понятие равномощности множеств,
12. Бинарные отношения между элементами одного множества и способы их задания. Свойства отношений на множестве. Отношения эквивалентности и порядка.
13. Что изучает геометрия? Геометрическая фигура. Основные геометрические фигуры. Плоские и выпуклые фигуры.
14. Виды линий на плоскости. Луч. Угол. Отрезок. Ломаная. Круг. Окружность.
15. Определения многоугольника, выпуклого многоугольника, правильного многоугольника.
16. Определения треугольника и его видов. Определения четырехугольника и его видов: прямоугольника, квадрата, ромба, трапеции, параллелограмма,
17.Многогранник. Выпуклый многогранник. Призма. Прямоугольный параллелепипед. Куб. Пирамида. (Определения и изображения.)
18. Тела вращения: цилиндр, конус, шар (их определения и изображения).
19. Понятие величины. Однородные величины и их свойства.
20. Измерение величины. Взаимосвязь величин и их численных значений.
21. Понятие длины отрезка. Процесс измерения длины отрезка. Свойства длин отрезков.
22. Понятие площади фигуры. Процесс измерения площади. Свойства площади.
23. Понятие массы тела. Процесс измерения массы.
24. Этапы развития систем единиц измерений величин.
25.Этапы развития понятия натурального числа. Функции натурального числа. Натуральный ряд и его свойства. Отрезок натурального ряда. Счет.
26.Теоретико-множественный смысл натурального числа и нуля, сложения, вычитания, сравнения чисел.
27. Натуральное число как результат измерения величины. Сумма и разность натуральных чисел, полученных в результате измерения длины отрезка.
28.Система счисления. Позиционные и непозиционные системы счисления. Особенности десятичной системы счисления. Десятичная запись числа.
29.Текстовая задача и ее структура. Методы и способы решения задач. Основные этапы решения задачи, их цепи и приемы выполнения.
30. Моделирование в процессе решения задач. Этапы моделирования. Виды моделей.
ПРАКТИЧЕСКИЕ ЗАДАНИЯ
1.Нарисуйте 3 объекта, принадлежащие объему понятия: а) геометрическая фигура; 6) прямоугольник; в) квадрат.
2. Нарисуйте ромб, трапецию, параллелограмм; назовите их существенные свойства.
3.Назовите два понятия, которые находятся в отношении рода и вида; сравните их объемы и содержание.
4.Приведите примеры явных и неявных определений; выявите структуру явного определения через род и видовое отличие.
5. Приведите примеры истинных и ложных высказываний с логическими связками «и», я или», «не»; установите значение истинности.
6.Приведите примеры истинных и ложных высказываний с кванторами общности и существования; установите их значение истинности.
7.Приведите примеры дедуктивных умозаключений, построенных по правилам заключения, отрицания, силлогизма.
8. Предложите высказывание (или найдите в школьных учебниках теорему) и докажите его истинность. Проведите логический анализ своего доказательства.
9. Приведите примеры конечного, бесконечного, пустого множества; задайте их разными способами.
10. Придумайте три множества и изобразите отношения между ними при помощи кругов Эйлера.
11.Придумайте задания для детей (возраст определите сами), в процессе выполнения которых они будут находить объединение, пересечение, дополнение множеств.
12.Придумайте задания для детей (возраст определите сами), в процессе выполнения которых они будут устанавливать взаимно однозначные соответствия между множествами.
13. Придумайте множество, задайте на нем отношение и установите, какими свойствами оно обладает.
14.Придумайте задания для детей (возраст определите сами), в процессе выполнения которых они будут выполнять: а) разбиение множества на классы; б) упорядочение множества.
15.Придумайте диалог с детьми (возраст определите сами), раскрывающий существенные свойства плоских геометрических фигур: круга, квадрата, треугольника, прямоугольника.
16. Придумайте игровые упражнения и диалоги к ним для детей (возраст определите сами) на распознавание геометрических тел (шара, куба, цилиндра, конуса, призмы) и раскрытие их свойств.
17.Придумайте задания для детей (возраст определите сами), в процессе выполнения которых они будут выявлять свойства длины отрезка.
18.Придумайте задания для детей (возраст определите сами), в процессе выполнения которых они будут выявлять свойства площади фигуры.
19.Придумайте задания для детей (возраст определите сами), в процессе выполнения которых они будут выявлять свойства объема тела.
20.Придумайте задания для детей (возраст определите сами), в процессе выполнения которых они будут выявлять свойства массы тепа.
21.Придумайте план обучения старших дошкольников измерению длины предмета (полосками).
Приложения
22. Придумайте план обучения старших дошкольников измерению объема жидких или сыпучих веществ (стаканами).
23. Придумайте беседу с младшими школьниками об общепринятых единицах измерений величии: метре, килограмме, литре.
24.Приведите примеры старинных единиц измерений величин, встречающихся в быту и литературе; расскажите об их происхождении и назовите их численное значение в единицах системы СИ.
25.Приведите примерь деятельности дошкольников в соответствии с историческими этапами развития понятия числа.
26. Назовите правила счета для ребенка в начальный период обучения и их изменения в последующем. Какие ошибки в счете какими правилами вы предупреждаете?
27.Придумайте диалог с дошкольником для уточнения количественного и порядкового смысла числа.
28.Придумайте беседу с младшими школьниками о происхождении названии чисел второго десятка и круглых чисел в пределах ста.
29. Придумайте простую текстовую задачу для дошкольников и раскройте работу над ней по всем этапам.
30.Придумайте составную текстовую задачу для младших школьников, решите ее разными методами и способами, предложите все возможные модели для ее решения.
ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА
1.Гусев В.А., Мордкович А.Г. Математика: Справочные материалы: учеб. пособие для учащихся. М.: Просвещение, 1986.
2. Демидова Т.Е., Тонких А. П, Теория и практика решения текстовых задач: учеб. пособие для студентов высших педагогических учебных заведений. М.: Издательский центр «Академия», 2002.
3. Погорелое А.Я. Геометрия: учеб. для 7-11 кл. сред. шк. М.: Просвещение, 1991.
4.Стойповз Л,П. Математика: учебник для студентов отделений и факультетов начальных классов средних и высших педагогических учебных заведений. М.: Издательский центр «Академия», 1997.
5. Стойлова Л.П., Пышкало A.M. Основы начального курса математики: учеб. пособие для учащихся педагогических училищ. М,: Просвещение, 1988.
6.Стойлова Л.П., Фрейлах ИМ. Теоретические основы формирования элементарных математических представлений: Курс лекций для студентов дошкольных отделений педагогических колледжей и вузов. М.: Московское городское педагогическое общество, 1998.
7. Формирование элементарных математических представлений у дошкольников: учеб. пособие для студентов педагогических институтов / под ред. А.А. Столяра. М.: Просвещение, 1988.
8.Энциклопедия для детей. Т. II, Математика / глав. ред. М. Аксенова. М.: Аванта, 2004.