Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§ 67. Энергия и собственная частота гармонических колебаний
Рис. 213. Про стейшая коле бательная система.
По внешнему виду и по устройству колебательные системы (т. е. такие совокупности связанных между собой тел, которые спо собны к колебательному движению) крайне разнообразны. Рассмотрим простейшую колебательную систему: гирька с массой m подвешена на спиральной, довольно жёсткой пружине (рис. 213); когда гирька выведена из положения равновесия, пружина действует на неё с си лой F, пропорциональной смещению х и направленной в сторону, противоположную х:
F=-cx
(для упрощения мы пренебрегаем тем небольшим растяжением пружины, которое вызывается весом гирьки). Множитель пропорциональности с, опреде ляющий величину силы, вызывающей смещение, рав ное единице, носит название коэффициента возвращающей силы.
Будучи выведена из положения равновесия, масса m начнёт совершать около этого положения простое гармоническое колебание; если внутреннее трение и сопротивление воздуха отсутствуют, то эти колебания будут продолжаться неопределённо долго. Энергия, сообщённая системе при начальном толчке, будет периодически пре образовываться: потенциальная энергия упруго деформированной пру жины будет переходить в кинетическую энергию движущейся гирьки и обратно. По закону сохранения энергии сумма кинетической и потен циальной энергии будет оставаться постоянной:
е=mv2/2-cx2/2=const.
В момент, когда гирька проходит через положение равновесия (x = 0), вся энергия системы есть энергия кинетическая, и скорость имеет максимальное значение vмакс; напротив, в любом из крайних положений (х=±а) энергия системы переходит полностью в потен циальную. Поэтому
=mv2макс/2=ca2/2 (7)
Но максимальное значение скорости согласно уравнению (4) равно произведению угловой частоты колебания на амплитуду а:
vмакс=а.
Подставляя это в предыдущее уравнение, получим в согласии с уравнением (6'):
m2=с.
Отсюда определяем угловую частоту:
(8)
т. е. угловая частота гармонических колебаний равна корню квадратному из коэффициента возвращающей силы, разделённого на массу тела,
Легко видеть, что весьма важная формула (8) получается также, если
в дифференциальное уравнение колебательного движения md2x/dt2=-сх
подставить х=asint и вторую производную от х по t, т. е. — 2аsint, а затем сократить обе части уравнения на asint, что даёт: m2=с.
Выражение (8) позволяет найти частоту и период
(9)
Для энергии колебания из выражений (7), (8) и (9) получаются нижеследующие формулы:
(10)
т. е. энергия гармонического колебания пропорцио нальна квадрату амплитуды, квадрату частоты и массе колеблющегося тела.
Рис. 214. К рас чёту периода колебаний ма тематического маятника.
Рассмотрим в качестве примера простой маятник — небольшое тело массы m, подвешенное на нерастяжимой нити длиной l (рис. 214), причём будем предполагать, что смещения маятника настолько невелики, что их можно отсчитывать по перпендикуляру, опущенному из центра тяжести маятника на прямую, совпадающую с отвесным положением нити.
Возвращающей силой будет та слагающая силы тяжести mg
(g — ускорение силы тяжести), которая перпендикулярна к нити и направлена к начальному отвесному положению; слагающая, направленная вдоль нити, уравновешивается реакцией нити. Из рис. 214 видно, что интересующая нас слагающая веса маятника равна mgsin,
но так как sin=x/l, то для возвращающей силы получается выражение F=-(mg/l)x,
и, следовательно, коэффициент возвращающей силы равен mg/l. Воспользовавшись общей формулой (9), находим период колебаний маятника:
(11)
Формула (11) показывает, что период колебания маятника не зависит от его массы. Это обстоятельство может на первый взгляд показаться неожиданным. Однако, если вспомнить, что возвращающая сила, обусловленная весом маятника, пропорциональна его массе, то станет понятным, каким образом величина m исчезает из окончатель ного результата.
Выше мы рассматривали такие колебания, при которых колеблю щееся тело движется по прямой линии. Но уже на примере маятника мы должны были бы, строго говоря, считаться с тем, что в данном случае центр тяжести массы m движется не по прямой, но по дуге круга радиуса l. Только ограничившись малыми колебаниями, мы могли заменить отрезок дуги отрезком прямой и отсчитывать сме щения не вдоль дуги, а вдоль перпендикуляра, опущенного на отвес ную прямую, проходящую через точку подвеса. При малых размахах маятника связанная с этим ошибка не превышает долей процента.
В целом ряде случаев, хотя бы, например, в случае маятника обычных карманных часов, колеблющееся тело совершает не посту пательное, но вращательное движение. К числу таких колебаний относятся так называемые крутильные колебания. Простейшая си стема, способная совершать крутильные колебания,— это насаженный на ось диск, скреплённый с пружиной таким образом, что повороту диска препятствует возвращающая сила, обусловленная закручива нием пружины. Пусть I — момент инерции диска относительно оси, а М — момент возвращающей силы, который будем считать пропор циональным углу поворота диска: М=D. Для периода колебаний такой колебательной системы справедлива формула
(12)
аналогичная формуле (9), с той разницей, что место массы занял момент инерции, а место коэффициента возвращающей силы — коэф фициент возвращающего момента. Формула (12) может быть получена путём рассуждений, не отличающихся от тех, с помощью которых была выведена формула (9).
Маятник, для которого строго верна формула (11), представляет собой точечную массу, подвешенную на невесомой нити. Однако дей ствительный маятник (который мы в отличие от рассмотренного выше «математического» маятника будем называть физическим маятником) представляет собой некоторое весомое тело, подвешенное в точке, не совпадающей с центром тяжести. Период колебаний физического маятника может быть найден с помощью формулы (12).
Обозначим попрежнему через I момент инерции маятника относи тельно оси его вращения, через D — коэффициент возвращающего момента. Пусть, далее, s означает расстоя ние центра тяжести тела от оси вращения (рис. 215). Возвращающая сила, возникающая при повороте маятника на угол а, будет mgsin, а момент её M=mgsins. Если размахи маят ника невелики, то можно положить sin=, и тогда
М =D=mgs,
D = mgs. Воспользовавшись теперь формулой (12),
(13)
где l'=l/ms. Величину l' принято называть приведённой длиной физического маятника. Смысл этого термина заключается в том, что математический маятник, имеющий длину, равную приведённой длине физического маятника, будет иметь тот же самый период.
1) По общей формуле, выведенной в § 47, потенциальная энергия упругого смещения (деформации) равна: Fx/2=cx2/2.
1) Напомним (§ 42), что если Is есть момент инерции маятника относи тельно оси, проходящей через его центр тяжести, то момент инерции отно сительно оси вращения О определяется уравнением
I=Is+ms2, где s есть расстояние центра тяжести от оси вращения.