Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
age | 20
Тема 1.1 Матрицы и определители.
Студент должен:
уметь:
- делать простейшие действия с матрицами,
- вычислять значения определителей,
- строить обратную матрицу
Определение матрицы :
Прямоугольная таблица чисел вида: =
называется прямоугольной матрицей размера mn. Если m=n, то матрица называется квадратной. Матрицы обозначаются так mn.
Матрицы бывают:
1) Прямоугольные. Например: 23 = или 32 =
2) Квадратные. Например: 33 =
3) – матрица. Например = или =
4) Единичная матрица. Например: =
При этом матрица всегда квадратная. Название «единичная» связано с тем, что для любой матрицы всегда имеет место · = · = , причем в каждом равенстве матрица такая, чтобы умножение было возможно.
Действия с матрицами.
Сложение матриц. Складываются только матрицы одинаковых размеров. При сложении матриц складываются все их соответствующие элементы.
Например:
= = + = =
Свойства: + = +
( + ) + = + ( + )
Умножение матрицы на число. При умножении матрицы на число все элементы этой матрицы умножаются на это число. Например:
=3, = · = =
Свойства: · ( + ) = · + , ( + ) · = · + · ,
( ·) · = · (·)
Произведение матрицы на матрицу. Произведением двух матриц m×n и n×k будет матрица m×k , каждый элемент которой cij стоящий в i-ой строке и j-ом столбце находится по формуле
cij = ai1· b1j + ai2 · b2j + ……….. + ain · bnj .
Например:
· = =
=
Следует особо отметить, что при произведении матриц число столбцов первой матрицы должно равняться числу строк второй матрицы, иначе произведение невозможно.
Понятие определителя
С каждой квадратной матрицей связывается некоторое число, называемое
«определителем матрицы» (или детерминантом) , которое через элементы матрицы вычисляется по следующей формуле:
= = det А = =
= а11· - а12· + ……...+(-1)n+1·a1n·
При этом определитель второго порядка равен: = а11 · а22 – а12 · а21
Пример вычисления определителя:
= (-1) · - (-5) · + 2 · =
= (-1) · ( 8 · 8 – 4 · 3 ) – (-5) · ( 0· 8 – 4 · 2 ) + 2 · ( 0 · 3 – 8 · 2 ) = - 124
Построение обратной матрицы.
.
Вычислим определитель матрицы , разлагая по первой строке:
Значит, обратная матрица существует.
Вычислим алгебраические дополнения элементов матрицы:
,
,
,
,
,
,
,
,
.
Тогда обратная матрица имеет вид
.
Задания
Найти обратную матрицу:
Тема 1.2 Системы линейных уравнений.
Студент должен:
уметь:
- решать системы линейных уравнений по правилу Крамера, методом Гаусса.
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:
Выпишем расширенную матрицу системы в виде таблицы. Будем обозначать строки матрицы C1,C2,C3 соответственно.
Прямым ходом называется преобразование расширенной матрицы, целью которого является получение нулей под главной диагональю. Для этого используются линейные преобразования: сложение или вычитание строк с умножением на необходимые коэффициенты.
|
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
|
2 |
3 |
4 |
1 |
7 |
|
3 |
4 |
1 |
2 |
-3 |
С2-2С1; С3-3С1;
|
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
|
0 |
-1 |
-2 |
-7 |
5 |
|
0 |
-2 |
-8 |
-10 |
-6 |
С2:(-1); С3:(-1);
|
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
7 |
-5 |
|
0 |
2 |
8 |
10 |
6 |
С3-2С2;
|
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
7 |
-5 |
|
0 |
0 |
4 |
-4 |
16 |
С3:4;
|
1 |
2 |
3 |
4 |
1 |
|
0 |
1 |
2 |
7 |
-5 |
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
4 |
Далее можно преобразовывать систему таким же способом, как только что было выполнено, только целью в этом случае является получение нулей над диагональными единицами. Это действие называется обратным ходом.
С1-3С3; С2-2С3;
|
1 |
2 |
0 |
7 |
-11 |
|
0 |
1 |
0 |
9 |
-13 |
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
4 |
С1-2С2;
|
1 |
0 |
0 |
-11 |
15 |
|
0 |
1 |
0 |
9 |
-13 |
|
0 |
0 |
1 |
-1 |
4 |
В этом виде системы - разрешенные переменные, их еще называют базисными переменными, а называют свободной переменной, ее можно задавать любым числом, полученное при этом решение называют частным решением. Если положить равным 0, то значения совпадают со значениями свободных членов. В линейном программировании такое решение принято называть базисным решением. В данном примере базисное решение имеет вид: .
Решить систему уравнений методом Крамера
, .
Тогда , , .
Вычисляя определители этих матриц, получаем , , , .
Значения неизвестных вычисляются по формулам Крамера:
, , .
Задания
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Гаусса:
Варианты:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера:
Варианты:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Тема 2.1 Векторы. Операции над векторами.
Студент должен :
знать:
- определение вектора, операции над векторами, свойства, коорди- наты, скалярное произведение;
уметь:
- выполнять действия с векторами в координатной форме.
Пример: Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: длину ребра AB; угол между ребрами AB и AD.
Найдем длину ребра AB
Найдем угол между ребрами AB и AD
Задания
Вычислить :
Варианты:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: длину ребра AB; угол между ребрами AB и AD; уравнение прямой AB;.
Варианты:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Тема 2.2 Прямая на плоскости. Кривые второго порядка.
Студент должен:
знать:
- различные виды уравнений прямой на плоскости;
- канонические уравнения кривых 2-го порядка;
уметь:
- находить углы между прямыми, расстояние от точки до прямой;
- решать простейшие задачи на линии второго порядка;
- строить прямые и линии 2-го порядка
Общее уравнение прямой.
Пусть на плоскости заданы точка М0( x0,y0 ) и вектор . Найти уравнение прямой, проходящей через эту точку М0 и перпендикулярной вектору нормали . Возьмем на прямой текущую точку М( x,y ) и построим текущий вектор =. Очевидно этот текущий вектор перпендикулярен вектору нормали . Из перпендикулярности векторов следует, что их скалярное произведение равно 0, то есть ()=0, или в координатной форме А · (x-x0) + В · (y-y0) = 0.
Введя обозначение С = - A · x0 – B · y0 получим искомое общее уравнение прямой
A · x + B · y + C = 0.
Уравнение прямой с направляющим вектором
Пусть на плоскости заданы точка М0( x0,y0 ) и вектор .
Найдем уравнение прямой L, проходящей через эту точку М0 и параллельной направляющему вектору . Возьмем на прямой текущую точку М(x,y) и построим текущий вектор =. Этот текущий вектор параллелен направляющему вектору . Из параллельности векторов следует пропорциональность их координат, из чего и получается каноническое уравнение прямой:
L : .
Пример построения уравнения прямой
Составить уравнение прямой, проходящей через точку М0 (1, 2) перпендикулярно вектору .
Решение
На плоскости поставим произвольную точку M ( x, y ) и запишем текущий вектор = x-1, y-2. Текущий вектор перпендикулярен вектору , а значит их скалярное произведение равно 0:
3· (x-1) + 4· (y-2) = 0.
Раскрыв все скобки получаем окончательное общее уравнение искомой прямой: 3x+4y -11 = 0.
Пример на определение уравнений прямой на плоскости
На плоскости OXY заданы вершины треугольника АВС А( -3,1 ), В( 3,1 ), и точка пересечения его высот D( 0,3 ). Найти уравнения стороны АВ треугольника АВС и высоты этого треугольника, опущенной из вершины С.
Решение.
Найдем уравнение стороны АВ:
рис. 1
Найдем уравнение высоты проведенной из вершины С.
вектор = x-0, y-3
Ответ: Сторона АВ: y-1 = 0, Высота из вершины С: x = 0.
Пример: Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: уравнение прямой AB; уравнение плоскости ABC; уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.
Составим уравнение прямой AB. Направляющим вектором прямой является вектор . Текущий вектор прямой имеет координаты и коллинеарен вектору . Тогда
.
Параметрические уравнения имеют вид:
Составим уравнение плоскости ABC, как уравнение плоскости, проходящей через 3 точки, используя условие компланарности векторов:
В координатной форме смешанное произведение записывается в виде определителя:
,
,
.
Составим уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC:
Нормальный вектор плоскости ABC имеет вид и коллинеарен текущему вектору высоты . Тогда
.
Задания
Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: длину ребра AB; угол между ребрами AB и AD; уравнение прямой AB; уравнение плоскости ABC; уравнение высоты, опущенной из вершины D на грань ABC.
Варианты:
1. 2.
3. 4.
5. 6.
7. 8.
9. 10.
Тема 3.1 Теория пределов. Непрерывность.
Студент должен :
знать :
- определение предела последовательности и предела функции, основные теоремы о пределах; первый и второй замечательные пределы; определение непрерывной функции в точке и на отрезке;
уметь:
- вычислять пределы, раскрывать неопределенности различных видов, классифицировать точки разрыва.
Вычисление пределов и раскрытие неопределенностей
Если (или ), то отношение называется неопределенностью вида (или ). Вычисление такого предела называется раскрытием неопределенности. Следует запомнить 4 следующих предела :
= 0, = , = , = 0
1) Элементарные пределы.
а) = = = =
Здесь после сокращения на x3 в знаменатели дробей подставлено x= и учтено, что .
б) = = =
= · = 0 · = 0.
в) = = = =
= = .
Здесь после сокращения на (x – 2) в оставшееся выражение подставлено значение x = 2.
При преобразовании числителя и знаменателя дробей использована формула: аx2 + bx + c = a · (x-x1) · (x-x2) , где x1 и x2 – корни квадратного уравнения ax2 + bx + c = 0.
г) = = =
= =
=
Здесь после сокращения на (x – 3) в оставшееся выражение подставлено значение x = 3
Замечательные пределы
Первый замечательный предел :
Второй замечательный предел :
Другие формы второго замечательного предела
Пример
Найти следующие пределы:
а) = =
= = .
Здесь выражения и согласно первому замечательному пределу заменены на 1 и учтено, что cos 0 = 1.
б) = = = = = .
Здесь выражения и согласно второму замечательному пределу заменены значением , после чего в показателях полученных выражений произведено сокращение x.
Пример: Вычислить предел:
Вычислить предел:
Понятие непрерывности
С понятием предела тесно связано понятие непрерывности функции.
Функция f( x ) называется непрерывной в точке если выполняется f( x ) = f( ).
Если же это равенство не выполняется, то говорят , что в точке функция имеет разрыв.
рис. 4
Так на рис. 4 в точке функция непрерывна, так как выполняется f( x ) = f( ), а в точке функция имеет разрыв, так как f( x ) f( b ).
Для непрерывных функций справедлива теорема:
Если в точке множества функции f( x ) и g( x ) непрерывны, то и функции f( x ) ± g( x ), f( x ) · g( x ), ( g( ) 0 ) непрерывны в этой же точке.
Рассмотрим теперь какие разрывы может иметь функция в точке.
Говорят , что в точке функция f( x ) имеет разрыв, если предел слева или справа не равны значению функции в этой точке, т.е. если в этой точке не выполняется хотя бы одно из равенств: f( x ) = f( x ) = f( ).
При этом
а) если оба предела конечны, но не равны друг другу, то разрыв называется
разрывом первого рода,
б) если какой-нибудь из пределов бесконечен, или не существует, то разрыв
называется разрывом второго рода,
в) если же пределы слева и справа равны друг другу, но не равны значению
функции в самой точке, то разрыв называется устранимым разрывом.
Примеры:
а) функция f1( x ) = sign x = в точке x=0 имеет разрыв первого рода (рис. 5),
б) функция f2( x ) = в точке x=0 имеет разрыв второго рода ( рис. 6),
в) функция f3( x ) = в точке x=0 имеет устранимый разрыв, так как доопределив функцию в одной этой точке значением предела в этой точке,
т.е. положив f3( x ) = , получим функцию непрерывную на всей оси ( рис. 7).
рис. 5 рис. 6 рис. 7
Задания
Вычислить предел:
Вычислить предел:
Найти пределы:
1) а) , б) , в) .
2) а) , б) , в) .
3) а) , б) , в) .
4) а) , б) , в) .
5) а) б) , в) .
6) а) , б) , в) .
7) а) , б) , в) .
8) а) , б) , в) .
53
9) а) , б) , в) .
10) а) , б) , в) .
Исследовать функцию на непрерывность
1) y = . 2) y = .
3) y = . 4) y = .
5) y = . 6) y = .
7) y = . 8) y = .
9) y = . 10) y =
Тема 3.2 Дифференциальное исчисление функции одной
действительной переменной.
Студент должен :
знать:
- определение производной, ее механический и физический смысл; таблицу производных, правила дифференцирования, производную сложной функции; методы исследования и построения графика функции с помощью производных; определение дифференциала функции;
уметь:
- находить простейшие производные различных функций, проводить полное исследование функций с помощью производных и строить графики функций;
- решать прикладные задачи на нахождение наибольших и наимень-ших значений функций;
- применять дифференциал функции в приближенных вычислениях.
Основные правила дифференцирования
Для дифференцируемых функций u(x) и v(x) справедливо
1.
2.
3. =
4. =
5. Если u = u(x), а x = x(t), то для сложной функции u(x(t)) справедливо
С помощью таблицы производных и правил дифференцирования может быть найдена производная любой сложной функции.
ТАБЛИЦА ПРОИЗВОДНЫХ
Пример : Найти производную функции:
= = 2 · ln (arctgx3) · = =
= 2 ·ln (arctg x3) · = =
= 2 · ln (arctg x3) · · · 3x2
Пример: Найти производную функции:
Пример: Найти производную функции, заданной неявно:
Пример: Пользуясь правилом Лопиталя найти предел
Задание: Составить уравнение касательной и нормали к графику функции в точке :
Решение:
Уравнение касательной имеет вид:
;
;
Уравнение нормали имеет вид:
;
Пример: Найти интервалы монотонности и экстремумы функции
Решение:
Функция убывает при , возрастает при .
Точка не является точкой экстремума, т.к. производная не меняет знак при переходе через эту точку.
Точка - точка минимума.
- минимум функции.
Пример: Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции
Решение:
Точка не является точкой перегиба, т.к. вторая производная не меняет своего знака при переходе через эту точку.
Точка - является точкой перегиба, в этой точке выпуклость графика функции меняется на вогнутость.
Значение функции в этой точке: .
Пример: Найти асимптоты графика функции
Решение:
- вертикальная асимптота, т.к.
Найдем наклонную асимптоту:
Значит, - наклонная асимптота.
Исследование графика функции
Понятие производной широко используется при построении графика функции.
Порядок исследования функции при построении ее графика следующий:
Пример Исследовать функцию и построить ее график
y =
1. ООФ: xR кроме точки x=1. ( при x=1 знаменатель функции обращается в 0)
2. Имеем функцию общего вида ( не четную, не нечетную, не периодическую).
3. Точка x=1 является точкой разрыва (знаменатель функции равен 0, а сама
функция обращается в бесконечность). В этом случае прямая x=1 – вер-
тикальная асимптота.
k = = = = = 0.
b = = = = 0.
Получили наклонную асимптоту y = 0.
5. Для исследования функции на экстремум найдем производную функции:
= = = -
Необходимое условие экстремума:
1+x = 0 x = -1
- не существует x-1 = 0 x = 1
Достаточное условие экстремума
|
x |
-, -1 |
-1 |
-1, 1 |
1 |
1, |
|
|
- |
0 |
+ |
Не существует |
- |
|
y |
убывает |
возрастает |
Не существует |
убывает |
min экстремума нет
= - = - = .
Необходимое условие точки перегиба
4+2x = 0 x = -2
не существует x-1 = 0 x = 1.
Достаточное условие точки перегиба
|
x |
- , - 2 |
- 2 |
- 2, 1 |
1 |
1, |
|
|
- |
0 |
+ |
Не существует |
+ |
|
y |
Выпукла вверх |
Выпукла вниз |
Не существует |
Выпукла вниз |
Перегиб
В осях координат XOY проводим вертикальную x=1 и наклонную y=0 асимптоты.
Согласно таблицам пп. 5 и 6 строим график функции – рис. 18.
рис. 18
Задания
Найти производную функции:
Найти производные функций
1) а) y = , б) y = , в) y = (x3+1)·ln(x+1).
2) а) y = (x2-2)·sin5x, б) y = , в) y = .
3) a) y = , б) y = (1-x3)·ctg x, в) y = .
4) a) y = ·cos x, б) y = , в) y = ln .
5) a) y = , б) y = ln , в) y = .
6) a) y = , б) y = ln, в) y = .
7) a) y = , б) y = ln(), в) y = (4x2+1)·tg x.
8) a) y = , б) y = x2 · ln(x+2), в) y = .
9) a) y = , б) y = ln, в) y = · arcctg5x.
54
10) a) y = arctg, б) y = , в) y = sin2x·cos2x.
Пользуясь правилом Лопиталя найти предел:
Найти интервалы монотонности и экстремумы функции:
Найти точки перегиба и интервалы выпуклости функции:
Найти асимптоты графика функции:
Исследовать функцию и построить ее график
1) y = . 2) y = .
3) y = . 4) y = .
5) y = . 6) y = .
7) y = . 8) y = .
9) y = . 10) y = .