Тема1 Общие сведения о функциях Область определения функции Определение 1
Работа добавлена на сайт samzan.net:
Глава 3.
Тема1.
Общие сведения о функциях
Область определения функции
Определение 1.1. Переменная величина называется функцией другой переменной
величины, называемой аргументом, если каждому значению из заданной области поставлено в соответствие единственное значение .
Определение 1.2. Областью определения функции называется
множество всех значений аргумента, для которых можно вычислить значения функции.
Если функция задается формулой (аналитический способ задания), то областью
определения функции являются все числа, для которых формула имеет смысл.
Область определения функции будем обозначать буквой .
Часто данную функцию рассматривают не на всей области задания , а лишь на некоторой её части . В этом случае функцию обозначают так
(1.1)
Пример1.1. Запись означает, что можно вычислить значение синуса при любом задании аргумента . Запись означает, что можно вычислить значение синуса только при удовлетворяющему неравенству .
Рассмотрим некоторые примеры вычисления областей задания некоторых функций.
Обращение в нуль знаменателя запрещено
Например, рациональная функция существует при любых значениях аргумента , кроме значений . При этих значениях знаменатель обращается в нуль и формула, определяющая функцию, теряет смысл. Здесь область определения функции
Извлечение корня четной степени имеет смысл только при неотрицательном значении подкоренного выражения (следует из определения корня четной степени).
Например, для функции подкоренное выражение должно
удовлетворять условию. Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем. Для других значений аргумента значение этой функции вычислить невозможно.
Вычисление значений логарифма имеет смысл только при положительном значении его аргумента.
Например, для функциивыражение, стоящее под знаком логарифма должно удовлетворять условию . Решая последнее неравенство методом интервалов, получаем. Для других значений аргумента значение этой функции вычислить невозможно.
Область значений функции
Определение 1.3. Областью значений функции называется множество всех значений, принимаемых переменной , когда аргумент пробегает все значения
из области определения функции. Множество всех значений функции будем обозначать буквой .
Пример 1.2. Найти область значений функции .
Решение. Область значений функции известна . Умножим
обе части неравенств на положительное число 2: . Затем к обеим частям
неравенств прибавим число 3: .
Вывод. Все значения функции принадлежат отрезку .
Пример 1.3. Найти область значений функции .
Решение. Все значения функции неотрицательны. Следовательно .
К обеим частям неравенства прибавим число 4: .
Вывод. Все значения функции принадлежат интервалу . .
Графики функций
Определение 1.4. Графиком функции на координатной плоскости ОХУ
назовем геометрическое место точек, имеющих координаты .
Пример 1.4. Графиком линейной функции является прямая. Она состоит из точек с координатами рис.1.
Рис.1а рис.1в
.
На рис.1а , на рис.1в .
Так как ордината любой точки графика есть значение функции, то прямая
пересекает график функции только в одной точке.
Кривую второго порядка окружность назвать графиком нельзя, так как вертикальная прямая пересекает её в двух точках ( рис2а). Кривая, заданная формулой
является графиком (рис.2в)
Рис.2а Рис.2в
Равенство функций
Определение 1.5. Функции называются равными на множестве S,
Если они определены на множестве S и для каждого аргумента справедливо равенство.
Пример 1.5. Функции на множестве не равны, так как в точке они не равны. Эти же функции, рассматриваемые на множестве равны, так как и поэтому .
Определение 1.6. Функция называется ограниченной, если её область значений есть ограниченное множество или .
График ограниченной функции лежит между горизонтальными прямыми (рис3)
График функции , изображённый на рис. 3 расположен между прямыми . Следовательно .
Функция ограниченная функция.
рис.3
Например, линейные функции неограниченные функции. Функция из примера3.2 ограниченная функция . Функция из примера3.3 ограничена
сверху , но неограниченна снизу. Функция ограничена снизу, но не ограничена сверху.
Определение 1.7. Число из области задания функцииназывается нулём функции, если значение функции .
Например, числа являются нулями функции (рис.4).
рис.4
Определение 1.8 Функцияимеет локальный максимум в точке ,если существует открытый интервал , содержащий эту точку и такой, что для всех из этого интервала.
Функцияимеет локальный минимум в точке , если существует открытый интервал , содержащий эту точку и такой, что для всех из этого интервала. Локальный максимум или локальный минимум
называют локальными экстремумом.
Рис.5
Замечание. Точка из определения 1 называется точкой локального экстремума.
Значение функции в этой точке называется значением локального экстремума.
Упражнение. Определите на рис.5 какие локальные экстремумы данной функции изображены. Определите также точки локальных экстремумов и значения локальных экстремумов.
Сложная функция или функция от функции
Определение 1.9. Пусть заданы две функции . Если окажется, что область значений функции является частью области задания функции , то мы можем определить новую функцию
(1.2)
Функция (1.2)называется сложной функцией. Переменная называется промежуточной переменной.
Операция вычисления функции от функции может производиться любое число раз.
Приведём ряд примеров сложных функций и цепочек составляющих их функций.
Пример 1.5. Пусть . Данная сложная функция есть цепочка функций. промежуточная переменная.
Пример 1.6. Пусть даны функции
Записать формулы сложных функций:.
Решение.
Упражнение 1.1. Используя калькулятор вычислить значения функции
в точках .
Основные элементарные функции
Основными элементарными функциями считаются: степенная функция , показательная функция , логарифмическая функция , тригонометрические функции, обратные тригонометрические функции .
В справочнике приведены основные свойства и графики основных элементарных функций.
Определение 1.10. Элементарной называется функция, полученная из основных элементарных функций конечным числом арифметических операций и конечным числом операций образования сложных функций.
Пример 1.7. Приведём примеры элементарных функций
При изучении различных процессов, происходящих в природе, встречаются
функции, для аналитического задания которых недостаточно одной формулы.
Пусть цилиндрическое тело сначала скатывается вниз по наклонной
плоскости, затем некоторое время движется по горизонтальному пути, а затем
снова поднимается вверх по наклонной плоскости. Будем считать, что трение
отсутствует. Во время движения цилиндра вниз его скорость увеличивается,
при качении по горизонтальной поверхности скорость остается постоянной.
Подъем цилиндра вверх по наклонной плоскости приводит к уменьшению его
скорости движения.
Функции, описывающие такое изменение скорости от координаты, записываются
несколькими формулами для разных интервалов изменения независимой переменной.
Если обозначить скорость цилиндра при скатывании с горки через , при качении по горизонтали через , при подъёме на горку через , то зависимость между скоростью и координатой можно записать функцией
(1.3)
Такие функции называются неэлементарными.
Пример1.8. Вычислить значения функции
в указанных точках: .
Решение. Вычислим . Так как значение аргумента, товычисляем по формуле . Следовательно .
Вычислим . Так как значение аргумента, товычисляем по формуле . Следовательно.
Вычислим. Так как значение аргумента, товычисляем по формуле. Следовательно.
Аналогично .
Монотонные функции
Определение 1.11. Функция называется возрастающей на интервале, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. То есть, если .
Определение 1.12. Функция называется убывающей на интервале, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции. То есть, если
.
Функции, убывающие или возрастающие на интервале, называются монотонными функциями.
Пример 1.9. Доказать, что функция является убывающей.
Решение. Данная функция задана при . Проверим для неё определение 1.11 .
Согласно определению возьмем произвольные аргументы и
рассмотрим разность значений функции в этих точках
Оба сомножителя отрицательные величины. Следовательно, их произведение величина положительная и тогда . По определению 1.11 данная функция убывающая.
С ростом значения уменьшаются.
Пример 1.10. Доказать, что функция возрастающая.
Решение. Функция задана в области . Возьмем произвольные . Сравним значения функции в этих точках
Следовательно, функция возрастающая.
Четные и нечетные функции
Определение 1.13. Функция четная, если выполняются два условия:
1) Область задания функции симметрична относительно начала координат.
Это означает, что если , то и .
2) Выполняется соотношение.
Пример 1.11. Показать, что функция четная.
Решение. Проверим определение 1.13
- Так как область задания данной функции симметрична относительно начала координат, то первое условие выполнено.
2) проверим второе условие
Следовательно, функция четная.
Определение 1.14. Функция нечетная, если выполняются два условия:
1) Область задания функции симметрична относительно начала координат.
Это означает, что если , то и .
2) Выполняется соотношение
Пример1.12. Показать, что функция нечетная.
Решение. Проверим определение 1.14
- Так как область задания данной функции симметрична относительно начала координат, то первое условие выполнено.
2) проверим второе условие
Следовательно, функция нечетная.
Периодические функции
Определение 1.15. Функция называется периодической на
множестве, если существует такое число , что выполняются условия:
1) Если , то
2)для любого .
Минимальное положительное число , обладающее свойствами 1 и 2, называется
главным периодом функции.
Упражнение. Докажите, что если число является периодом функции, то число
также период функции.
Пример1.13. Функции --- периодические функции с периодом.
Функции --- периодические функции с периодом .
Пример 1.14. Найдем периоды функций
Решение. Будем использовать тригонометрические тождества
Пусть . Область задания данной функции . Обозначим искомый период буквой . Первое условие определения 1.15 , выполняется, так как бесконечный интервал. Найдём число , чтобы выполнялось равенство для всех
Равенство должно выполняться при любых . Это возможно только тогда, когда . Следовательно, и наименьшее положительное число получаем при .
Вывод. Период функции равен .
Пусть . Область задания данной функции . Обозначим искомый период буквой . Первое условие определения 1.15, выполняется, так как бесконечный интервал. Найдём число , чтобы выполнялось равенство для всех
Равенство должно выполняться при любых . Это возможно только тогда, когда . Следовательно, и наименьшее положительное число получаем при .
Вывод. Период функции равен.
Пусть . Область задания данной функции . Обозначим искомый период буквой . Первое условие определения 1.15 , выполняется, так как бесконечный интервал. Найдём число , чтобы выполнялось равенство для всех
Равенство должно выполняться при любых . Это возможно только тогда, когда. Следовательно,
и наименьшее положительное число получаем при .
Вывод. Период функции равен .
На рисунке приведены эскизы графиков функций
Обратные функции
Пусть задана функция с областью заданияи областью значений . Пусть существует функция с областью задания и областью значений. Функции
и называются взаимно обратными функциями, если одновременно выполняются тождества
(1.4)
Пример 1.15. Функции
-взаимно обратные функции. Действительно из школы известны тождества
, которые и являются определяющимися тождествами (1.4). Следовательно, функции
взаимно являются взаимно обратными функциями.
Достаточные условия существования обратной функции
У всякой монотонной функции с областью заданияи областью значений существует обратная функция с областью задания и областью значений.
Обратная функция также будет монотонной функцией.
Пример 1.16. Пусть требуется выразить переменную через то есть требуется написать формулу обратной функции . Нужно решить уравнение. Имеем
Функция является обратной к функции .
Проверим выполнение тождеств (1.4)
Действительно функция является обратной к функции .
Контрольные вопросы.
- Сформулируйте определение функции и её графика.
- Какие функции входят в класс монотонных функций.
- Дайте определение ограниченной функции.
- Опишите поведение графиков чётной и нечётной функций.
- Что называется периодом периодической функции?
- Сформулируйте определение функции от функции.
- Дайте определение элементарной функции.
- Как определяется обратная функция к функции .
- Напишите основные тождества, связывающие прямую функцию и обратную функцию.
Далее предлагаются упражнения по данной теме для самостоятельной работы. В разделе ответы и решения приведены краткие решения упражнений.
Введение в анализ. Общие сведения о функциях.
Упражнение 1.1. Пусть задана функция. Написать формулы следующих функций
Упражнение 1.2. Пусть задана функция . Написать формулы задания следующих функций
Упражнение 1.3. Найти области определений D для функций
Упражнение 1.4. Найти области значений E для функций
Упражнение 1.5. Вычислить функции обратные к функциям
Упражнение 1.6. Указать среди предложенных функций равные функции
Упражнение 1.7. Указать чётные, нечётные функции и функции общего вида
Упражнение 1.8. Разделить данные функции на группы: а) ограниченные функции, б) ограниченные снизу функции, в) ограниченные сверху функции г) неограниченные функции.
Упражнение 1.9. Разделить данные функции на группы: а) возрастающие функции, б) убывающие функции, в) немонотонные функции
Упражнение 1.10. Проверить, что число является периодом функций
Упражнение 1.11. Методом выделения полного квадрата найти максимальное и минимальное значение функций.
2. А Шопенгауэр и Ф Ницше от классической философии к иррационализму и нигилизму
3. Ser estr tener- 1. Mi hermno
4. Тюменский государственный университет Филиал в г
5. Социально-психологическая толерантность
6. задание на неделю вперёд даже если захочешь
7. один из самых крупных наземных хищников нашей планеты
8. Отражение ~ общее свойство материи которое выражается в способности материальных тел посредством собс
9. Центральная Азия1
10. Лабораторная работа 3 Тема работы- Асимметричный алгоритм шифрования RS Цель работы - Изучить принцип раб
11. Понятие и составляющие конкурентной политики
12. Создание схемы организации
13. Сочинение Николай Рубцов
14. тема координат инерциальная то есть покоится или движется с постоянной скоростью относительно Земли то рав
15. ~он ж~не этникалы~ процесстер; E Саяси процестер
16. і Отбасы ~о~амды~ ~~рылымны~ кіші тобы ал~аш~ы ~ясы
17. Оформление заявки на изобретение
18. Тема 13 АНАЛИЗ КОНКРЕТНЫХ ОТЕЧЕСТВЕННЫХ И ЗАРУБЕЖНЫХ КОНЦЕПЦИЙ И ТЕОРИЙ ЛИЧНОСТИ В ОБУЧЕНИИ И УЧЕНИИ
19. Расчёт интервала радиорелейных линий с использованием аппаратуры Курс 8-0
20. тематики Игошина Наталья Владимировна