Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ
ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ РАДІОЕЛЕКТРОНІКИ
Лекція 13
Тема: " Лінійні функціонали. Властивості. Норма лінійного функціоналу. Загальний вид лінійних функціоналів. Теорема Хана-Банаха" .
Дисципліна: "Функціональний аналіз".
Викладач Гусарова І. Г.
Харків, 2014
Тема: Лінійні функціонали. Властивості. Норма лінійного функціоналу. Загальний вид лінійних функціоналів. Теорема Хана-Банаха
Означення: Лінійний оператор , що переводить даний лінійний простір в числову пряму називається лінійним функціоналом.
Означення: Функціонал називається аддитивним, якщо для .
Означення: Функціонал називається однорідним, якщо (α - довільне число).
Означення: Аддитивний однорідний функціонал називається лінійним функціоналом.
Функціонал – це окремий вид оператора, тобто на функціонали поширюються всі визначення, твердження і теореми, що були отримані для операторів.
Нехай - нормований простір. Справедлива наступна теорема.
Теорема 1. Для того, щоб лінійний функціонал, визначений на лінійному нормованому простор, був неперервним, необхідно і достатньо, щоб він був обмежений, тобто
: .
Означення : Найменша з постійних М, яка задовольняє нерівності називається нормою функціонала і позначається .
Таким чином .
Крім того,
.
Приклади лінійних функціоналів в нормованих просторах.
. (1)
Отже, цей функціонал обмежений, а значить і неперервний на Rn. З нерівності (1) отримуємо, що
.
Оскільки права частина цієї нерівності не залежить від , то, .
Тобто .
Але поклавши , отримаємо
,
тобто .
Тому.
2. Інтеграл
,
де – неперервна функція на, є лінійний функціонал в просторі Цей функціонал обмежений, а його норма дорівнює. Дійсно,
,
причому при досягається рівність .
3. Нехай - фіксована неперервна функція на . Покладемо для будь-якої функції
Цей функціонал лінійний. Він обмежений, оскільки (2)
Через лінійність і обмеженість він неперервний. З (2) слідує оцінка його норми:
Насправді має місце точна рівність
4. Розглянемо в просторі лінійний функціонал,
(3)
Його значення на функції визначається як значення в даній точці .
Цей функціонал зазвичай записується у вигляді
,
розуміючи під «функцію», яка дорівнює нулю усюди, окрім точки , а інтеграл від якої дорівнює одиниці
Це - функція Дирака.
Зрозуміло, що, причому при має місце рівність. Звідси витікає, що норма функціонала дорівнює 1, тобто
5. У будь-якому евклідовому просторі можна визначити лінійний функціонал так само, як в Rn, вибравши деякий фіксований елемент і поклавши для будь-якого . Як і у випадку , легко перевірити, що при цьому .
2. Інтерпретація норми лінійного функціонала.
Поняттю норми лінійного функціонала можна дати наступну наочну інтерпретацію.
Означення: Множина точок лінійного простору , що задовольняють рівнянню , де -лінійний функціонал, називається гіперплощиною в довільному лінійному просторі .
Всякому ненульовому функціоналу можна поставити у відповідність гіперплощину L, визначену рівнянням.
Знайдемо відстань від цієї гіперплощини до точки 0. За визначенням відстані , через оцінку
, маємо .
На гіперплощині матимемо , значить .
З іншого боку, через визначення норми для будь-якого >0 знайдеться такий елемент , який задовольняє умові , що , отже
,
тому
Оскільки >0 довільно, отримуємо , тобто
Висновок. Норма лінійного функціонала зворотна відстані від гіперплощини до точки 0.
3. Опуклі функціонали . Однорідно-опуклі функціонали.
Нехай - лінійний дійсний простір.
Означення: Множина (де - лінійний дійсний простір) називається опуклою, якщо вона разом з будь-якими двома точками і містить і відрізок, що поєднує їх, тобто,
, де , та
або
, .
Означення: Визначений на (де - лінійний дійсний простір), функціонал називається опуклим, якщо, ,
Означення: Функціонал називається додатно-однорідним якщо
Означення: Додатно-однорідний опуклий функціонал називається однорідно-опуклим.
Приклади однорідно-опуклих функціоналів.
1. Всякий лінійний функціонал є однорідно-опуклим. Однорідно-опуклим буде і функціонал, якщо лінійний функціонал.
2. У просторі з елементами покладемо
,
цей функціонал буде однорідно-опуклим функціоналом.
3. Нехай – це простір обмежених послідовностей , тоді функціонал
,
однорідно-опуклий функціонал.