Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
События и вероятности, случайные величины, законы распределения случайных величин, закон больших чисел, предельные теоремы.
Гпава 1.
События и вероятности
§ 1.1. Классификация событий
Опытом, или испытанием, называют всякое осуществление определенного комплекса условий или действий, при которых происходит соответствующее явление. Возможный результат опыта называют событием. Например, опытом является подбрасывание монеты, а событиями "герб", "цифра на верхней ее стороне" (когда монета упадет). Опытами являются стрельба по мишени, извлечение шара из ящика и т.п. События будем обозначать заглавными буквами латинского алфавита А, В, С,...
Событие называется достоверным в данном опыте, если оно обязательно произойдет в этом опыте. Например, если в ящике находятся только голубые шары, то событие "из ящика извлечен голубой шар" является достоверным (в ящике нет шаров другого цвета).
Событие называется невозможным в данном опыте, если оно не может произойти в этом опыте. Так, если в ящике находятся только красные шары, то событие "из ящика извечен голубой шар" является невозможным (таких шаров в ящике нет).
Событие называется случайным в данном опыте, если оно может произойти, а может и не произойти в этом опыте. Например, если в ящике находятся п голубых и т красных шаров, одинаковы по размеру и весу, то событие "из урны извлечен голубой шар" является случайным (оно может произойти, а может и не произойти, поскольку в урне имеются не только голубые, но и красные шары). Случайными событиями яшшотся "герб" и "цифра на верхней стороне монеты при ее подбрасы- мвн*. "попадание и промах при стрельбе по мишени", "выигрыш по бнягту лотереи' и т.п.
Замечание. Приведенные примеры свидетельствуют о том, что одно и ю тс событие в некотором опыте может быть достоверным, в другом - не воз- мвшным. в третьем - случайным. Говоря о достоверности, невозможности, слу-
чейностн события, имеют в виду сю достоверность, невозможность, случай ность по отношению к конкретному опыту, т.е. к наличию определенного комплекса условий или действий.
Два события называются совместными в данном опыте, если появление одного из них не исключает появление другого в этом опыте. Так, при подбрасывании двух симметричных монет, события А - "герб на верхней стороне первой монеты" и В - "цифра на верхней стороне второй монеты" являются совместными.
Два события называются несовместными, если они не могут произойти вместе при одном и том же испытании. Например, несовместными являются попадание и промах при одном выстреле.
Несколько событий называются несовместными, если они попарно- несовместны.
Два события называются противоположными, если появление одного из них равносильно непоявлению другого. Так, противоположными являются события "герб" и "цифра" при одном подбрасывании симметричной монеты. Если одно из противоположных событий обозначено буквой А, то другое обозначают А . Например, если А - "попадание", то А - "промах" при одном выстреле по мишени.
Множество событий Аи А2, А„ называют полной группой событий, если они попарно-несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием. Поясним понятие полной группы событий на следующем примере. Рассмотрим события, появляющиеся при подбрасывании игрального кубика (т.е. кубика, на гранях которого записаны цифры 1,2, 3,4, 5, 6 или изображены знаки, соответствующие этим цифрам). Когда кубик упадет, то верхней гранью окажется грань с одной из этих цифр. Событие: "верхней гранью оказалась грань с цифрой к" обозначим через А* (к= 1,2,3,4,5,6). События А\,А2, ЛьЛ+ЛьЛб образуют полную группу: они попарно-несовместны; появление одного и только одного из них является достоверным событием (когда кубик упадет, то только одна из граней окажется верхней, на ней написана только одна из цифр от 1 до 6).
События считают равновозможными, если нет оснований полагать, что оно событие является более возможным, чем другие. Например, при подбрасывании монеты событие А (появление цифры) и событие В (появление герба) равновозможны, так как предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму и наличие чеканки не влияет на то, какая сторона монеты (герб или цифра) окажется верхней. При подбрасывании игральног
л4, А6 являются равновозможными, п скольку предполагается, что кубик изготовлен из однородного матрма-
ла, имеет правильную форму и наличие цифр (или очков) на гранях не влияет на то, какая из шести граней окажется верхней.
Каждое событие, которое может наступить в итоге опыта, называется элементарным исходом {элементарным событием, или шансом). Например, события А ь А2, А3} А4у А5) А6 - элементарные исходы при подбрасывании кубика.
Элементарные исходы, при которых данное событие наступает, называются благоприятствующими этому событию, или благоприятными шансами. Так, при подбрасывании игрального кубика элементарные исходы Аг> А4, А б являются благоприятствующими событию "выпало четное число очков".
Пример 1. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывают- ся суммы выпавших очков (суммы числа очков на верхних гранях обоих кубиков). Сумма выпавших очков на двух кубиках может меняться от 2 до 12. Записать полную группу событий в этом опыте.
Решение. Полную группу событий образуют равновозможные элементарные исходы (к; т\ к, т= 1, 2, 3, 4, 5, 6, представленные в таблице 1.1. Элементарный исход (к; т) означает, что на первом кубике выпало к очков, на втором т очков (к, т = 1, 2, 3, 4, 5, 6). Например, (3; 4) - на первом кубике 3 очка, на втором - 4 очка.
Таблица 1.1.
|
0;1) |
(2;1) |
(3;1) |
(4;1) |
(5;1) |
(6;1) |
|
02) |
(2;2) |
(3;2) |
(4 Л) |
(5;2) |
(6;2) |
|
03) |
(2;3) |
(3;3) |
(4;3) |
(5;3) |
(6;3) |
|
0;4) |
(2;4) |
(3;4) |
(4;4) |
(5;4) |
(6;4) |
|
(1Л |
(2;5) |
(3;5) |
(4;5) |
(5;5) |
(6;5) |
|
0*) |
<2;6) |
(3;6) |
(4;6) |
(5,6) |
(6;6) |
Пример 2. Сколько элементарных исходов благоприятствует событию "на обоих кубиках выпало одинаковое число очков" при подбрасывании двух игральных кубиков?
Решение. Этому событию благоприятствуют 6 элементарных исходов (см. табл. 1.1): <1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6).
Пример 3. Подбрасывается два игральных кубика. Какому событию бюагоскриятствует больше элементарных исходов: "сумма выпавших оч- вдв равна 7", "сумма выпавших очков равна 8"?
Решение. Событию "сумма выпавших очков равна 7" благоприятствуют 6 исходов (см. табл. 1.1): (1;6), (2;5), (3;4), (4;3), (5;2), (6;1). Событию "сумма выпавших очков равна 8" благоприятствуют 5 исходов: (2;6), (3;5), (4;4), (5;3), (6;2). Следовательно, первому событию благоприятствует больше элементарных исходов.
Пример 4. Подбрасываются три игральных кубика, подсчитывают- ся суммы очков, выпавших на них. Сколькими способами можно получить в сумме 5 очков, 6 очков?
Решение. Получить в сумме 5 очков можно шестью способами: (1;1;3), (1;3;1), (3;1;1), (1;2;2), (2;1£), (2;2;1). Получить в сумме 6 очков можно десятью способами: (1;1;4), (1;4;1), (4;1;1), (1;2;3), (1;3;2), (2;1;3), (2;3;1), (3;1;2), (3;2;1), (2;2;2).
Замечание. Запись (3;2;1) означает, что на первом кубике выпало 3 очка, на втором - 2, на третьем - 1.
Задачи
1. Являются ли несовместными следующие события:
а) опыт - подбрасывание симметричной монеты; события: А - "появление герба", В - "появление цифры";
б) опыт - два выстрела по мишени; события: А - "хотя бы одно попадание"; В - "хотя бы один промах".
а) опыт - подбрасывание симметричной монеты; события: А - "появление герба", В - "появление цифры";
б) опыт - подбрасывание погнутой монеты; события: А - "появление герба", В - "появление цифры";
в) опыт - выстрел по мишени; события: А - "попадание", В - "промах".
а) опыт - подбрасывание симметричной монеты; события: А - "герб", В - "цифра";
б) опыт - подбрасывание двух симметричных монет; события: А - "два герба", В - "две цифры".
вуют событию - на трех йубшах вкшвяо отав: 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9,10, 11, 12? Каково наибольшее значение суммы выпавших очков?
Ответы
1. а) да; б) нет. 2. а) да; б) нет; в) в общем случае нет. 3. а) да; б) нет. 4.1, 2, 3? 4, 5. 6, 5,4, 3,2, 1.5. п = б3 = 216; 1,3,6,10,15,21,25,27,27,25; 18.
Вопросы
§ 1.2. Классическое определение вероятности
Вероятностью события называется отношение числа элементарных исходов, благоприятствующих данному событию, к числу всех равно- возможных исходов опыта, в котором может появиться это событие. Вероятность события А обозначают через Р(А) (здесь Р - первая буква французского слова probabilité - вероятность). В соответствии с определением
Р(А) = —, (1.2.1)
п
где m - число элементарных исходов, благоприятствующих событию А; л - число всех равновозможных элементарных исходов опыта, образующих полную группу событий.
Это определение вероятности называют классическим. Оно возникло на начальном этапе развития теории вероятностей.
Вероятность события имеет следующие свойства:
Р(1/) = 1. (1.2.2)
Р(У)-0. (1.2.3)
т
пол няются неравенства О < т < п, или 0 < — < 1, то
п
0<Р(А)<1. (1.2.4)
О < < 1. (12.5)
Это следует из соотношений (1.2.2) - (1.2.4).
Пример 1. В урне 10 одинаковых по размерам и весу шаров, из которых 4 красных и 6 голубых. Из урны извлекается один шар. Какова вероятность того, что извлеченный шар окажется голубым?
Решение. Событие "извлеченный шар оказался голубым" обозначим буквой А. Данное испытание имеет 10 равновозможных элементарных исходов, из которых 6 благоприятствуют событию А. В соответствии с формулой (1.2.1) получаем
Р(А) = — = 0,6. 10
Пример 2. Все натуральные числа от 1 до 30 записаны на одинаковых карточках и помещены в урну. После тщательного перемешивания карточек из урны извлекается одна карточка. Какова вероятность того, что число на взятой карточке окажется кратным 5?
Решение. Обозначим через А событие "число на взятой карточке яряпю 5". В данном испытании имеется 30 равновозможных элементарных исходов, из которых событию А благоприятствуют 6 исходов (числа 5,10,15,20, 25, 30). Следовательно,
Р(А) = — = 0,2. 30
Пример 3. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитывается сумма очков на верхних гранях. Найти вероятность события В, состоящего в том, что на верхних гранях кубиков в сумме будет 9 очков.
Решение. В этом испытании всего б2 = 36 равновозможных элементарных исходов (см. табл. 1.1). событию В благоприятствуют 4 исхода: (3;6), (4;5), (5;4), (6;3), поэтому
36 9
Пример 4. Наудачу выбрано натуральное число, не превосходящее 10. Какова вероятность того, что это число является простым?
Решение. Обозначим буквой С событие "выбранное число является простым". В данном случае я = 10, т = 4 (простые числа 2, 3, 5, 7). Следовательно, искомая вероятность
Р(С) = — = 0,4. 10
Пример 5. Подбрасываются две симметричные монеты. Чему равна вероятность того, что на верхних сторонах обеих монет оказались цифры?
Решение. Обозначим буквой П событие "на верхней стороне каждой монеты оказалась цифра". В этом испытании 4 равновозможных элементарных исходов: (Г, Г), (Г, Ц), (Ц, Г), (Ц, Ц). (Запись (Г, Ц) означает, что на первой монете герб, на второй - цифра). Событию £> благоприятствует один элементарный исход {Ц, Ц). Поскольку т = \, п = 4, то
/>(£>) = I = 0,25 . 4
Пример 6. Какова вероятность того, что в наудачу выбранном двузначном числе цифры одинаковы?
Решение. Двузначными числами являются числа от 10 до 99; всего таких чисел 90. Одинаковые цифры имеют 9 чисел (это числа 11,22, 33, 44,55,66, 77, 88,99). Так как в данном случае т- 9, п- 90, то
где А - событие "число с одинаковыми цифрами". 10
Пример У. Из букв слова дифференциал наугад выбирается одна буква. Какова вероятность того, что эта буква будет: а) гласной, б) согласной, в) буквой ч?
Решение. В слове дифференциал 12 букв, из них 5 гласных и 7 согласных. Буквы ч в этом слове нет. Обозначим события: А - "гласная буква", В - "согласная буква", С - "буква ч". Число благоприятствующих элементарных исходов: т, = 5 - для события Л, т2 = 7 - для события В,
т3 = 0 - для события С. Поскольку п —12 , то
Р(А) = — «0,417; Р(В) = — «0,583; Р(С) = 0. 12 12
Пример 8. Подбрасывается два игральных кубика, отмечается число очков на верхней грани каждого кубика. Найти вероятность того, на обоих кубиках выпало одинаковое число очков.
Решение. Обозначим это событие буквой А. Событию А благоприятствуют 6 элементарных исходов: (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Всего равновозможных элементарных исходов, образующих полную
группу событий, в данном случае я = 62 =36 (см. табл. 1.1). Значит, искомая вероятность
Р(Л) = — = — = 0,167. 36 6
Пример 9. В книге 300страниц. Чему равна вероятность того, что наугад открытая страница будет иметь порядковый номер, кратный 5?
Решение. Из условия задачи следует, что всех равновозможных элементарных исходов, образующих полную группу событий, будет п = 300. Из них т - 60 благоприятствуют наступлению указанного события. Действительно, номер, кратный 5, имеет вид 5к, где к - натуральное число, причем 0 <5к< 300 , откуда к < 300/5 = 60. Следовательно,
^> = -51 = 1 = 0,2,
300 5
где А - событие "страница имеет порядковый номер, кратный 5".
Пример 10. Подбрасываются два игральных кубика, подсчитыва- ется сумма очков на верхних гранях. Что вероятнее - получить в сумме
Решение. Обозначим события. А - "выпало 7 очков", В - "выпало