Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Приклад. За заданими статистичними розподілами вибірок, які реалізовано з генеральних сукупностей, ознаки яких Х і Y є незалежними і мають нормальний закон розподілу,
|
yi |
1,2 |
2,2 |
3,2 |
4,2 |
5,2 |
|
1 |
2 |
4 |
2 |
3 |
|
xj |
0,8 |
1,6 |
2,4 |
3,2 |
4 |
|
2 |
6 |
1 |
1 |
2 |
при рівні значущості = 0,01 перевірити правильність нульової гіпотези
, якщо альтернативна гіпотеза
.
Розв’язання. Обчислимо значення :
;
;
;
;
;
.
;
.
Обчислимо спостережуване значення критерію
.
Для альтернативної гіпотези будуємо правобічну критичну область. Знайдемо за таблицею (додаток 7) критичну точку
Критична область зображена на рис. 139.
Рис. 139
Висновок. Оскільки , нульова гіпотеза є правильною.
10. Перевірка правильності непараметричних
статистичних гіпотез
Усі перевірки параметричних статистичних гіпотез ґрунтувалися на припущенні, що ознака генеральної сукупності має нормальний закон розподілу ймовірностей і що за іншого розподілу висновки щодо статистичних гіпотез можуть бути хибними.
Тому використання в наведених методах перевірки гіпотез можливе у разі достатньої упевненості, що спостережувана ознака генеральної сукупності має нормальний закон розподілу або близький до нормального.
Основою для висунення гіпотези про закон розподілу ознаки генеральної сукупності може бути наявність теоретичних передумов про характер зміни ознаки. До них, зокрема, відносять виконання умов, що є підґрунтям теореми Ляпунова. У деяких випадках підставою для висунення гіпотези про закон розподілу ознаки генеральної сукупності можуть бути певні формальні властивості здобутого статистичного розподілу, а саме: рівність нулю і для нормального розподілу, рівність вибіркової серед ньої і вибіркового середнього квадратичного відхилення для
експоненціального розподілу.
Інколи підґрунтям для висновків про характер гіпотетичного розподілу можуть бути форми полігону, гістограми.
Приклад. За заданим статистичним розподілом вибірки ознаки Х:
|
h = 6 |
0—6 |
6—12 |
12—18 |
18—24 |
24—30 |
30—36 |
|
8 |
12 |
30 |
36 |
10 |
4 |
гіпотетично визначити закон розподілу ознаки генеральної сукупності Х.
Розв’язання. Побудуємо гістограму частот для заданого статистичного розподілу вибірки, яка має такий вигляд (рис. 140).
Рис. 140
Якщо з’єднати пунктирною лінією середини кожного прямокутника гістограми, то дістанемо криву лінію, яка певною мірою подібна до графіка щільності для нормального закону з ненульовим математичним сподіванням. Це може бути підставою для висунення гіпотези про нормальний закон розподілу ознаки Х генеральної сукупності. Але цю гіпотезу необхідно перевірити на її правильність.
Приклад. За заданим статистичним розподілом вибірки ознаки Х:
|
h = 4 |
0—4 |
4—8 |
8—12 |
12—16 |
16—20 |
20—24 |
|
40 |
24 |
16 |
12 |
8 |
4 |
гіпотетично визначити закон розподілу ознаки генеральної сукупності.
Розв’язання. Побудуємо гістограму частот, записавши статистичний розподіл у такому вигляді:
|
h = 4 |
0—4 |
4—8 |
8—12 |
12—16 |
16—20 |
20—24 |
|
10 |
6 |
4 |
3 |
2 |
1 |
Гістограма частот має такий вигляд (рис. 141).
Рис. 141
Коли з’єднаємо послідовно середини кожного прямокутника пунктирною лінією, то дістанемо криву, що в деякому наближенні подібна до графіка щільності ймовірностей для експоненціального закону розподілу. Це дає нам підстави для висунення нульової гіпотези про експоненціальний закон розподілу ознаки генеральної сукупності Х, котру, звичайно, необхідно перевірити на правильність. А для цього необхідно мати значення емпіричних і теоретичних частот.
Емпіричними називаються частоти, які спостерігаються при реалізації вибірки, а теоретичними — які обчислюються за формулами.
Дискретний закон розподілу. Теоретичні частоти для дискретної випадкової величини обчислюємо за формулою
, (460)
де n — обсяг вибірки;
Рi — імовірність спостережуваного значення X = xi, яка обчислюється за умови, що ознака Х має взятий за припущенням закон розподілу ймовірностей.
Приклад. За результатами вибірки, реалізованої з генеральної сукупності, ознака якої Х за припущенням має пуасcонівський закон розподілу ймовірностей, дістали такий статистичний розподіл:
|
xj |
0 |
2 |
4 |
6 |
8 |
|
45 |
20 |
15 |
12 |
8 |
Необхідно знайти теоретичні частоти .
Розв’язання. Для обчислення теоретичних частот застосовуємо формулу Пуассона
, (461)
де = а.
Оскільки для математичного сподівання, тобто для параметра = а, точковою незміщеною статистичною оцінкою є вибіркова середня величина , обчислимо її значення
.
Отже, = 2,36 = а.
Обчислимо ймовірності , де .
;
;
;
;
.
Тоді теоретичні частоти будуть такі:
;
;
;
;
.
У підсумку маємо:
|
Емпіричні частоти ni |
45 |
20 |
15 |
12 |
8 |
|
Теоретичні частоти |
9 |
26 |
12 |
2 |
0 |
Як бачимо, велика розбіжність між емпіричними та теоретичними частотами ставить під сумнів припущення про пуассонівський закон розподілу ознаки Х генеральної сукупності.
Неперервний закон розподілу. Якщо ознака Х генеральної сукупності має неперервний розподіл імовірностей, то теоретичні частоти обчислюються за формулою
,
де n — обсяг вибірки,
а Pi — імовірність того, що випадкова величина Х потрапить в і-й частковий інтервал. Вона обчислюється за формулами того закону розподілу, який припускаємо на основі обробки статистичного розподілу вибірки.
Так, наприклад, якщо є підстави для припущення, що ознака генеральної сукупності Х має нормальний закон розподілу, то теоретичні частоти в цьому разі можна обчислювати за формулами:
, (462)
де n — обсяг вибірки;
h — довжина часткового інтервалу;
— вибіркова середня величина;
— вибіркове середнє квадратичне відхилення;
— щільність імовірностей для загального нормального закону розподілу
або
, (463)
де — функції Лапласа.
Приклад. У ВТК (відділ технічного контролю) були виміряні 400 валиків із партії, які виготовляє завод. Результати вимірів наведено в таблиці:
|
xj, мм |
10,4—10,6 |
10,6—10,8 |
10,8—11,0 |
11,0—11,2 |
11,2—11,4 |
|
ni |
40 |
100 |
200 |
40 |
20 |
Припускаючи, що ознака Х має нормальний закон розподілу ймовірностей, обчислити теоретичні частоти за формулою (461).
Розв’язання. Для обчислення необхідно знайти .
За заданим інтервальним статистичним розподілом будуємо дискретний статистичний розподіл, варіантами якого є середини частинних інтервалів, а саме:
|
xj |
10,5 |
10,7 |
10,9 |
11,1 |
11,3 |
|
ni |
40 |
100 |
200 |
40 |
20 |
Тепер обчислюємо:
мм;
;
.
Обчислення теоретичних частот за формулою (463), показаною в таблиці:
|
xi |
ni |
|||
|
10,5 |
40 |
– 1,858 |
0,0707 |
30 |
|
10,7 |
100 |
– 0,796 |
0,2897 |
123 |
|
10,9 |
200 |
0,265 |
0,3847 |
163 |
|
11,1 |
40 |
1,327 |
0,1647 |
70 |
|
11,3 |
20 |
2,388 |
0,0258 |
11 |
Великі розбіжності між емпіричними і теоретичними частотами дають підстави зробити висновок, що припущення про нормальний закон розподілу ознаки Х генеральної сукупності не має підстав.
Приклад. За поданим інтервальним статистичним розподілом вибірки
|
h = 10 |
80—90 |
90—100 |
100—110 |
110—120 |
120—130 |
|
2 |
14 |
60 |
20 |
4 |
скориставшись формулою (462), обчислити теоретичні частоти на підставі припущення, що ознака Х генеральної сукупності Х має нормальний закон розподілу.
Розв’язання. Значення обчислюємо за дискретним статистичним розподілом
|
xj |
95 |
95 |
105 |
115 |
125 |
|
ni |
2 |
14 |
60 |
20 |
4 |
;
;
;
.
Обчислення теоретичних частот за формулою (463) показано в таблиці:
|
xi |
xi+1 |
ni |
|||||
|
80 |
90 |
2 |
– 3,68 |
– 2,28 |
– 0,499968 |
– 0,4837 |
2 |
|
90 |
100 |
14 |
– 2,28 |
– 0,87 |
– 0,4887 |
– 0,3078 |
20 |
|
100 |
110 |
60 |
– 0,87 |
0,53 |
– 0,3078 |
0,2019 |
49 |
|
110 |
120 |
20 |
0,53 |
1,94 |
0,2019 |
0,4732 |
27 |
|
120 |
130 |
4 |
1,94 |
3,35 |
0,4738 |
0,49966 |
3 |
Результати обчислень дають можливість зробити висновок, що ознака генеральної сукупності гіпотетично має нормальний закон розподілу, оскільки розбіжності між емпіричними та теоретичними частотами є, але вони порівняно незначні. Однак це твердження необхідно ще перевірити, скориставшись відповідними методами математичної статистики.
Приклад. За поданим інтервальним статистичним розподілом вибірки
|
h = 8 |
0—8 |
8—16 |
16—24 |
24—32 |
32—40 |
|
40 |
30 |
20 |
8 |
2 |
знайти теоретичні частоти, виходячи з припущення, що ознака Х генеральної сукупності має експоненціальний закон розподілу.
Розв’язання. Теоретичні частоти обчислюються так:
,
де .
126