Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Определение 1. Пусть функция у = f(x) определена на интервале (а, b) и непрерывна в точке х0 (а; b). Пусть также М(x0; y0), y0 = f(x0) - фиксированная точка графика функции у = f(x); точка М (; ), = f() - подвижная точка графика. Предельное положение секущей M0M, когда точка М по дуге графика функции стремится к точке М0, называется касательной к графику функции У = f(x) в точке М0.
Если функция у = f(x) дифференцируема в точке x0, то ее производная в этой точке равна тангенсу угла наклона касательной к оси Ох, а дифференциал равен приращению ординаты касательной Определение 2. Углом между кривыми у = f(x) и у = g(x) называется угол между касательными к графикам этих функций, проведенными в точке пересечения графиков.
В некоторых задачах возникает необходимость введения нормали к графику данной функции в данной точке. Под нормалью к кривой понимается прямая, перпендикулярная касательной и проходящая через точку касания. Если f'(x0) 0, то уравнение нормали имеет вид:
Также к свойствам функции относятся возрастание и убывание функции, экстремумы.
Функция f возрастает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х2>х1 , выполнено неравенствоf(x2)>f(x1).
Функция f убывает на множестве Р, если для любых х1 и х2 из множества Р, таких, что х2>х1 , выполнено неравенство f(x2)<f(x1).
Иными словами, функция f называется возрастающей на множестве Р, если большему значению аргумента из этого множества соответствует большее значение функции. Функция f называется убывающей на множестве Р, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.
Определение. Если каждой паре (x,y) значений двух независимых друг от друга, переменных величин x и y, из некоторой области их изменения D, соответствует определенное значение величины z, то говорят, что z функция двух независимых переменных x и y, определенная в области D.
Частные производные, образованные дифференцированием по различным аргументам, называются смешанными частными производными. Например, смешанные производные 2–го порядка функции двух переменных суть z''xy и z''yx .
Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если
Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функцииf(x) и обозначается как
Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение
где С - произвольная постоянная.
Свойства неопределенного интеграла
В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,
а, k, C - постоянные величины.
Определённым интегралом от непрерывной функции f(x) на конечном отрезке [a, b] (где ) называется приращение какой-нибудь её первообразной на этом отрезке. При этом употребляется запись
Числа a и b называются соответственно нижним и верхним пределами интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.
Таким образом, если F(x) – какая-нибудь первообразная функция для f(x), то, согласно определению,
(38)
При a = b по определению принимается
Равенство (38) называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) кратко записывают так:
Поэтому формулу Ньютона-Лейбница будем записывать и так:
(39)
Докажем, что определённый интеграл не зависит от того, какая первообразная подынтегральной функции взята при его вычислении. Пусть F(x) и Ф(х) – произвольные первообразные подынтегральной функции. Так как это первообразные одной и той же функции, то они отличаются на постоянное слагаемое: Ф(х) =F(x) + C. Поэтому
Тем самым установлено, что на отрезке [a, b] приращения всех первообразных функции f(x) совпадают.
Таким образом, для вычисления определённого интеграла необходимо найти любую первообразную подынтегральной функции, т.е. сначала следует найти неопределённый интеграл. Из всех первообразных для f(x) выбирается обычно та, которая с