Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Определение четырёхполюсника. Классификация четырёхполюсников по топологическим признакам и составу. Системы уравнений и первичные параметры четырёхполюсников.
Цели изучения
Значительное место в теории цепей занимает исследование многополюсников с двумя сторонами (2x2-полюсников), которые отечественной литературе называются проходными четырехполюсниками (рис. 16.1). В виде проходных четырехполюсников могут быть представлены различные устройства, имеющие две пары внешних зажимов, служащих для подключения источника энергии и нагрузки. Уравнения электрического равновесия четырёхполюсника формируются и решаются только относительно токов и напряжений на внешних зажимах. Это даёт возможность устранить из рассмотрения участки цепи, токи и напряжения которых не представляют интереса в рамках решаемой задачи, что позволяет существенно сократить число одновременно решаемых уравнений электрического равновесия. Теория четырёхполюсников реализует именно такой подход. Далее будем полагать, что четырёхполюсник находится под действием гармонических токов и напряжений, и токи и напряжения на его зажимах полностью характеризуются их комплексными амплитудами.
1
1’
2
2’
Рис. 16.1. Схема четырёхполюсника с выбранными положительными направлениями токов и напряжений
Четырехполюсники подразделяют на
На рис. 16.2, а) представлен симметричный четырёхполюсник, на рис. 16.2, б) – уравновешенный четырёхполюсник.
Z1
Z1
Z2
Y1
Y2
Y2
Рис. 16.2. Схемы четырёхполюсников
а) – симметричного, б) - уравновешенного
Если один из внешних зажимов четырехполюсника является общим для обеих сторон, то такой четырехполюсник является предельно неуравновешенным (рис. 16.2, а).
Основные уравнения четырехполюсников составляются в терминах токов и напряжений, внешних по отношению к четырехполюсникам ветвей, подключенных к зажимам 1 - 1`и 2 - 2`. В зависимости от решаемой задачи положительные направления токов этих ветвей можно выбирать различным образом (рис. 16.1).
В связи с тем, что число независимых основных уравнений многополюсника равно числу его независимых сторон, зависимость между токами и напряжениями на зажимах проходного четырехполюсника может быть описана с помощью системы из двух независимых основных уравнений. Вид этих уравнений зависит от того, какие величины рассматриваются в качестве независимых переменных, а какие - в качестве зависимых. Учитывая, что число сочетаний из четырех токов и напряжений по два равно шести, приходим к заключению, что основные уравнения проходного четырехполюсника могут быть записаны в шести различных формах.
Форма Y:
(16.1)
Форма Z:
(16.2)
Форма H:
(16.3)
Форма G:
(16.4)
Форма А:
(16.5)
Форма B:
(16.6)
Каждый из параметров имеет физический смысл какой-либо комплексной частотной характеристики проходного четырехполюсника, определяемой в режиме короткого замыкания или холостого хода.
Например, параметр Y11 имеет физический смысл комплексной входной проводимости четырехполюсника со стороны зажимов 1 – 1` в режиме короткого замыкания на зажимах 2 – 2`:
,
а параметр A11 - физический смысл величины, обратной комплексному коэффициенту передачи по напряжению от зажимов 1 – 1` к зажимам 2 – 2` при холостом ходе на зажимах 2 – 2`:
Системы уравнений (16.1) - (16.6) являются равносильными, поэтому коэффициенты уравнений связанны между собой с помощью элементарных алгебраических соотношений. Для определения этих соотношений соответствующие уравнения должны быть разрешены относительно одних и тех же токов и напряжений. Например, разрешая уравнения (16.1) относительно напряжений и , имеем
(16.7)
где - определитель системы уравнений в форме Y. Сравнивая коэффициенты уравнений (16.2) и (16.7), Z-параметры неавтономного проходного четырехполюсника можно выразить через Y-параметры того же четырехполюсника:
(16.8)
Соотношения типа (16.8) называются формулами перехода.
Первичные параметры проходных четырехполюсников, как и первичные параметры любых неавтономных многополюсников, могут быть определены в соответствии с их физическим смыслом по результатам опытов холостого хода и короткого замыкания.
При известной схеме четырёхполюсника матрицы первичных параметров определяются непосредственно из анализа основной системы уравнений.
Z1
Z2
Пример 16.1. Найдем А-параметры Г-образного четырехполюсника, схема которого приведена на рис. 7.3, а.
Z2
Z1
Z2
а)
б) в)
Рис. 16.3. К примеру 16.1, а) – схема четырёхполюсника,
б) – схема для определения параметров А11 и А21,
в) – схема для определения параметров А22 и А12
Как следует из основных уравнений четырехполюсника в форме А (16.5), параметры
и
определяются в режиме холостого хода (рис. 7.3, б), а параметры
и
определяются в режиме короткого замыкания на зажимах 2 – 2` (рис. 16.3, в).
Из схем, приведенных на рис. 16.3, б, в, видно, что в режиме холостого хода
,
В режиме короткого замыкания
.
или
А =
Пример 16.2. Найдем А-параметры идеального трансформатора (см рис. 16.4). Токи и напряжения первичной и вторичной обмоток идеального трансформатора связанны соотношениями
(16.9)
представляющими собой не что иное, как основные уравнения трансформатора в форме А. Сравнивая уравнения (16.9) и (16.5), получаем
.
i1 i2
M
u1 L1 L2 u2
*
*
Рис. 16.4. Схема идеального трансформатора
Составным называется такой четырехполюсник, который может быть представлен как соединение нескольких более простых (элементарных) четырехполюсников. Если при соединении элементарных четырехполюсников не происходит изменения соотношений между напряжениями и токами на их зажимах, то первичные параметры составного четырехполюсника могут быть выражены через первичные параметры исходных четырехполюсников. Соединение элементарных четырехполюсников, удовлетворяющее такому условию, называется регулярным. При этом токи, втекающие через зажимы 1 и 2 каждого элементарного четырёхполюсника, равны токам, вытекающим соответственно через зажимы 1` и 2` .
Рассмотрим основные виды соединений элементарных четырехполюсников и получим соотношения между их первичными параметрами и параметрами составных четырехполюсников.
При каскадном соединении четырехполюсников А и Б (рис. 17.1) выходные зажимы одного из них (в данном случае четырехполюсника А) соединены с входными зажимами другого четырехполюсника (Б). Ток и напряжение на зажимах 2 – 2` четырехполюсника А равны соответственно току и напряжению на зажимах 1 – 1` четырехполюсника Б:
(17.1)
Здесь и в дальнейшем индексы «А» и «Б» присвоены всем величинам, относящимся к элементарным четырехполюсникам А и Б. Ток и напряжение на входе составного четырехполюсника совпадают с током и напряжением :
. (17.2)
1
1’
1
1’
2
2’
2
2’
2
2’
1
1’
А
Б
Рис. 17.1. Каскадное соединение четырёхполюсников
Ток и напряжение на входе составного четырехполюсника совпадают с током и напряжением :
(17.3)
Предположим, что первичные параметры элементарных четырехполюсников известны, и составим их основные уравнения в форме А:
(17.4)
Используя соотношения (17.1) – (17.4), выразим ток и напряжение на входе составного четырехполюсника через ток и напряжение на его выходе:
(17.5)
Сопоставляя выражения (17.4) и (16.5), устанавливаем, что матрица А-параметров составного четырехполюсника равна произведению матриц А-параметров входящих в него элементарных четырехполюсников А и Б:
А = АА АБ. (17.6)
Выполняя аналогичные преобразования, можно показать, что при каскадном соединении N четырехполюсников матрица А-параметров составного четырехполюсника равна произведению матриц А-параметров всех входящих в него элементарных четырехполюсников:
А = А1 А2 … АN. (17.7)
В связи с тем, что произведение матриц в общем случае не подчиняется переместительному закону, порядок расположения матриц в выражении (7.16) должен соответствовать порядку следования четырехполюсников в цепочке.
При параллельном соединении четырехполюсников А и Б (рис. 17.2) напряжения на входных и выходных зажимах составного четырехполюсника равны соответственно напряжениям на входных и выходных зажимах элементарных четырехполюсников:
(17.8)
а токи его входных и выходных зажимов – сумме токов входных и выходных зажимов элементарных четырехполюсников:
(17.9)
Основные уравнения элементарных четырехполюсников в форме Y:
1
1’
1
1’
2
2’
2
2’
2
2’
1
1’
А
Б
Рис. 17.2. Параллельное соединение четырёхполюсников
Используя соотношения (17.6), (7.7), токи входных и выходных зажимов составного четырехполюсника можно выразить через напряжения этих зажимов:
(17.10)
Следовательно,
Y = YА + YБ . (17.11)
Матрица Y-параметров составного четырехполюсника равна сумме матриц Y-параметров элементарных четырехполюсников.
Используя аналогичную методику, можно показать, что при последовательном соединении элементарных четырехполюсников (рис. 17.3) матрица Z-параметров составного четырехполюсника равна сумме матриц Z-параметров элементарных четырехполюсников:
Z = ZА + ZБ (17.12)
1
1’
1
1’
2
2’
2
2’
2
2’
1
1’
А
Б
Рис. 17.3. Последовательное соединение четырёхполюсников
При параллельно-последовательном соединении четырехполюсников (рис. 7.8) суммируются матрицы G-параметров:
G = GА + GБ (17.13)
А при последовательно-параллельном соединении (рис 17.4) матрицы H-параметров:
H = HА + HБ (17.14)
1
1’
2
2’
2
2’
2
2’
1
1’
А
Б
1
1’
Рис. 17.4. Параллельно-последовательное соединение четырёхполюсников
1
1’
2
2’
2
2’
2
2’
1
1’
А
Б
1
1’
Рис. 17.5. Последовательно-параллельное соединение четырёхполюсников
Формулы (17.11) – (17.14) можно обобщить на случай регулярного соединения произвольного числа четырехполюсников.
Наиболее сложным этапом определения первичных параметров составных четырехполюсников является проверка регулярности соединения элементарных четырехполюсников. Заметим, что соединение четырехполюсников будет регулярным, если:
- каждый из параллельно включенных четырехполюсников является уравновешенным;
1
1’
2
2’
Z1
Z2
Рис. 17.6. «Разорванный» четырёхполюсник
Расчёт комплексных частотных характеристик проходных четырёхполюсников при произвольной нагрузке. Вторичные параметры четырёхполюсника: мера передачи и характеристические сопротивления.
Цели изучения:
Первичные параметры четырехполюсника представляют собой только некоторые комплексные частотные характеристики, измеренные в одном из предельных режимов - холостого хода или короткого замыкания. Зная первичные параметры четырехполюсника, образующие любую из систем первичных параметров, можно найти его любые комплексные частотные характеристики при произвольной внешней нагрузке.
Определим комплексное входное сопротивление со стороны зажимов 1 –1` Z(j) и комплексные коэффициенты передачи по напряжению К21(j) и току G21(j) от зажимов 1 –1` к зажимам 2 – 2` при произвольной нагрузке ZН2, подключенной к зажимам 2 – 2` (рис. 18.1), если известны А-параметры.
1
1’
2
2’
Z1
ZН2
Рис. 18.1. Нагруженный четырёхполюсник
Ток и напряжение на выходных зажимах четырехполюсника в рассматриваемом режиме связаны соотношением
основные уравнения четырехполюсника в форме А (16.5), с учётом этого соотношения, могут быть преобразованы к виду
(18.1)
Из уравнений (7.24) следует, что
(18.2)
(18.3)
(18.4)
В режиме холостого хода (ZH2 = ) коэффициент передачи четырехполюсника по току равен нулю, а входное сопротивление со стороны зажимов 1 – 1` и коэффициент передачи по напряжению от зажимов 1 – 1` к зажимам 2 – 2` определяется выражениями
Z11Х(j) = A11 / A21;
K21Х(j) = 1 /A11. (18.5)
В режиме короткого замыкания (ZН2 = 0) коэффициент передачи по напряжению равен нулю, а входное сопротивление и коэффициент передачи по току характеризуется соотношениями
Z11К(j) =A12 / A22;
G21К(j) =1 /A22. (18.6)
Рассмотрим случай обратного включения, когда сопротивление нагрузки
подключено к зажимам 1 – 1` (рис. 18.2):
(18.7)
1
1’
2
2’
Z2
ZН1
Рис. 18.2. Обратное включение четырёхполюсника
Разрешая основные уравнения четырехполюсника (16.5) относительно и и учитывая (18.7) получаем
(18.8)
Используя (18.7), определяем входное сопротивление четырехполюсника и коэффициент передачи четырехполюсника по напряжению и току в обратном включении:
(18.9)
(18.10)
(18.11)
По аналогичной методике выражения для любых комплексных частотных характеристик четырехполюсника как в прямом, так и в обратном включении могут быть найдены также в терминах Y-, Z-, H-, G- или B-параметров.
Пусть к входным зажимам четырехполюсника подключен линеаризованный источник с внутренним сопротивлением Z1, а к выходным зажимам – сопротивление нагрузки ZH2 (рис. 18.1). Отношение напряжения на выходе двусторонне нагруженного четырехполюсника U2 к ЭДС линеаризованного источника
Учитывая, что
и ,
получаем
(18.12)
Найденные выражения для комплексного входного сопротивления и комплексного коэффициента передачи, учитывающие наличие нагрузки и внутреннего сопротивления источника, относятся к внешним (рабочим) параметрам четырехполюсника.
К вторичным параметрам четырёхполюсника относятся характеристические сопротивления и мера передачи.
Характеристическими сопротивлениями четырехполюсника называют пару сопротивлений ZС1 и ZС2, которые выбраны таким образом, что при подключении к зажимам 2 – 2` сопротивления ZН2 = ZС2 входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 1 – 1` равно ZС1, а при подключении к зажимам 1 – 1` сопротивления ZН1 = ZС1 входное сопротивление четырехполюсника со стороны зажимов 2 – 2` равно ZС2. Сопротивление ZС1 называется характеристическим входным, а ZС2 - характеристическим выходным сопротивлением четырехполюсника. Подставляя в выражения для входных сопротивлений четырехполюсника в прямом (18.2) и обратном (18.9) включениях ZН2 = ZС2, Z11(j) = ZС1; ZН1 = ZС1, Z22(j) = ZС2 имеем:
Решив эту систему относительно ZС1 и ZС2 находим:
(18.13)
(18.14)
Используя выражения (18.5), (18.6) и (18.9), убеждаемся, что характеристическое входное сопротивление четырехполюсника может быть определено как среднее геометрическое из его входных сопротивлений в прямом включении в режимах холостого хода и короткого замыкания:
,
а характеристическое выходное сопротивление – как среднее геометрическое из его входных сопротивлений в обратном включении в режимах холостого хода и короткого замыкания:
Таким образом, характеристические сопротивления четырехполюсника могут быть найдены непосредственно по результатам опытов холостого хода и короткого замыкания.
Если А-параметры четырехполюсника удовлетворяют условию А11 = А22, то его характеристическое входное и выходное сопротивления одинаковы:
(18.15)
Четырехполюсник, к зажимам которого подключено сопротивление ZС, называется четырехполюсником с согласованной нагрузкой.
Коэффициенты передачи такого четырехполюсника по напряжению в прямом и обратном включении равны соответственно коэффициентам передачи по току в прямом и обратном включениях:
; (18.16)
. (18.17)
Из выражений (18.16), (18.17) следует, что у симметричного четырехполюсника, А-параметры которого связаны между собой соотношениями
А = А11А22 – А12А21 = 1; А11 = А22,
коэффициенты передачи по току и напряжению в прямом и обратном включениях при согласованной нагрузке имеют одинаковые значения:
(18.18)
Входное сопротивление симметричного четырехполюсника в прямом и обратном включениях при согласованной нагрузке равны характеристическому сопротивлению четырехполюсника:
(18.19)
Характеристическими постоянными передачи (мерой передачи) неавтономного проходного четырехполюсника в прямом и обратном включениях называются два комплексных числа Г1 и Г2, определяемые соотношениями
(18.20)
(18.21)
где К21(j), G21(j) – коэффициенты передачи по напряжению и току четырехполюсника с согласованной нагрузкой на выходе; К12(j), G12(j) – коэффициенты передачи по напряжению и току четырехполюсника с согласованной нагрузкой на входе.
Характеристические постоянные передачи четырехполюсника выражаются через его А-параметры:
(18.22)
(18.23)
(18.24)
(18.25)
Определитель матрицы А-параметров взаимного четырехполюсника А = 1, поэтому характеристические постоянные передачи взаимного четырехполюсника в прямом и обратном включениях одинаковы:
(18.26)
В общем случае взаимный четырехполюсник имеет три независимых характеристических параметра. Симметричный четырехполюсник имеет только два независимых характеристических параметра ZС и Г, определяемых с помощью соотношений (7.42) и (7.49).
Вторичные параметры четырёхполюсника, подобно первичным, образуют систему независимых параметров, определяющих соотношения между токами и напряжениями на его зажимах. Зная первичные параметры четырехолюсника, можно найти его характеристические параметры ZС1, ZС2, Г1 и Г2. В свою очередь, первичные параметры четырехполюсника могут быть однозначно определены через его характеристические параметры. Действительно используя (7.36), (7.37), получаем
;
Согласно (18.24), (18.25)
Откуда
(18.27)
Переходя в (18.27) от экспонент к гиперболическим функциям
chГ = (eГ + e-Г)/2; shГ = (eГ - e-Г)/2,
получаем выражения для первичных параметров взаимного четырехполюсника:
;
(18.28)
Комплексные частотные характеристики неавтономного проходного четырехполюсника могут быть представлены в терминах его характеристических параметров. Так, для неавтономного проходного четырехполюсника общего вида с согласованной нагрузкой на выходе выражения для коэффициентов передачи по напряжению и току могут быть представлены в виде
(18.29)
(18.30)
а для четырехполюсника с согласованной нагрузкой на входе
(18.31)
(18.32)
Входное сопротивление этого четырехполюсника в первом случае равно ZС1, а во втором – ZС2 .
Выражения для комплексных частотных характеристик взаимного четырехполюсника получаются из (18.29) – (18.32) при Г1 = Г2 = Г. Для симметричного четырехполюсника (ZС1 = ZС2 = ZС, Г1 = Г2 = Г) выражения (18.29) – (18.32) еще более упрощаются:
K21(j) = K12(j) = G21(j) = G12(j) = e-Г. (18.33)
Как следует из выражения (18.33), характеристическая постоянная передачи симметричного четырехполюсника с согласованной нагрузкой равна натуральному логарифму отношения комплексных действующих значений напряжений (токов) внешних по отношению к четырехполюснику ветвей, содержащих источник энергии и нагрузку. При согласованной нагрузке на выходе
(18.34)
Для определения вещественной А и мнимой В составляющих характеристической постоянной передачи представим напряжения и токи на зажимах четырехполюсника в показательной форме:
(18.35)
Из выражений (18.34), (18.35) следует, что вещественная составляющая характеристикой постоянной передачи симметричного четырехполюсника с согласованной нагрузкой на выходе равна натуральному логарифму отношения действующих значений напряжений (токов) на входе и выходе четырехполюсника:
A = ln(U1/U2) = ln(I1/I2),
а мнимая составляющая характеристикой постоянной передачи - разности начальных фаз этих напряжений (токов):
B = u1 - u2 = i1 - i2.
В литературе величины А и В называют постоянными ослабления и фазы четырехполюсника.
Постоянная ослабления характеризует изменение действующих значений напряжения или тока при передаче энергии от источника к нагрузке. Ее выражают в неперах (Нп) или белах (Б). Ослаблению в 1 Нп соответствует уменьшение действующего значения напряжения или тока в е 2,718 раз. Постоянная ослабления симметричного четырехполюсника, выраженна в белах, определяется десятичным логарифмом отношения полных мощностей на входе и выходе четырехполюсника:
На практике для измерения ослабления широко используют децибелы (дБ):
АдБ = 10 АБ = 20 lg (U1/U2) = 20 lg(I1/I2).
Для перехода от одних единиц ослабления к другим можно использовать соотношения 1 Нп 8,686 дБ; 1 дБ 0,115 Нп. Полезно запомнить, что уменьшению мощности в два раза (уменьшению напряжения или тока в раз) соответствует АдБ 3 дБ, уменьшению мощности в 10 раз - АдБ 10 дБ, уменьшению напряжения в 10 раз - АдБ = 20 дБ.
Постоянная фазы В четырехполюсника характеризует изменение начальной фазы напряжения и тока при передаче энергии от источника к нагрузке. Эту величину выражают в угловых единицах - радианах или градусах.
Понятие коммутации. Переходные процессы, установившийся и переходный режимы работы цепи. Законы коммутации. Порядок сложности цепи. Зависимые и независимые начальные условия.
Цели изучения
Как отмечено ранее, в установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи изменяются по периодическому закону или, в частном случае, сохраняют неизменные значения. Всякое изменение как топологии цепи, так и параметров входящих в нее элементов: подключение или отключение отдельных ветвей, изменение параметров пассивных элементов или параметров источников энергии, нарушает периодический характер изменения токов и напряжений ветвей, т. е. приводит к тому, что режим работы цепи становится неустановившимся. Любое скачкообразное изменение в цепи, приводящее к нарушению установившегося режима, будем называть к о м м у т а ц и е й. Если внешнее воздействие на цепь и после коммутации имеет периодический характер, то с течением времени (теоретически через бесконечно большой промежуток времени) цепь перейдет в новый установившийся режим. Неустановившиеся процессы, которые имеют место в цепи при переходе от одного установившегося режима к другому, называются п е р е х о д н ы м и.
При анализе переходных процессов в цепи, как правило, можно пренебречь длительностью процесса коммутации, т. е. считать, что коммутация осуществляется практически мгновенно. Начало отсчета времени переходного процесса обычно совмещают с моментом коммутации, причем через t = 0_ обозначают момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, а через t = 0+ , или t = 0 - момент времени, следующий непосредственно за коммутацией (начальный момент времени после коммутации).
Переходные процессы, связанные с изменением топологии цепи или различными коммутациями пассивных элементов, присущи в основном устройствам производства, передачи и преобразования электрической энергии. Для радиотехнических устройств более характерен режим, когда топология цепи и параметры пассивных элементов неизменны, а внешнее воздействие на цепь изменяется по произвольному (чаще всего непериодическому) закону. Понятие коммутации в том виде, как оно было сформулировано ранее, по сути дела, теряет смысл, так как изменение параметров источников энергии происходит практически непрерывно. При анализе неустановившихся процессов в радиотехнических цепях начало отсчета времени выбирают исходя из постановки задачи, независимо от того, находилась ли цепь до этого момента времени в установившемся режиме или нет. Для единства терминологии начало отсчета времени неустановившихся процессов, имеющих место в радиотехнических цепях, обычно также называют моментом коммутации.
Переход реальной электрической цепи от одного установившегося режима к другому не может происходить мгновенно, скачком. Это объясняется тем, что каждому установившемуся состоянию соответствует определенное значение энергии, запасенной в электрическом и магнитном полях. Скачкообразный переход от одного установившегося режима к другому потребовал бы скачкообразного изменения запасенной энергии, что возможно только, если источники энергии обладают бесконечно большой мощностью, т. е. отдаваемые ими токи или напряжения могут принимать бесконечно большие значения. В связи с тем, что любой реальный источник энергии может отдавать только конечную мощность, суммарная энергия, запасенная в цепи, может изменяться только плавно, т. е. представляет собой непрерывную функцию времени. Принимая во внимание, что запасенная в цепи энергия определяется суммарными зарядом всех конденсаторов и потокосцеплением всех индуктивных катушек, приходим к выводу, что суммарные потокосцепление и заряд цепи являются непрерывными функциями времени, в частности после коммутации (t = 0+) они равны суммарному потокосцеплению и суммарному заряду цепи в момент времени t = 0_:
(0+) = (0-); q(0+) = q(0-). (19.1)
Это принцип непрерывности во времени суммарного потокосцепления и суммарного электрического заряда цепи. В реальных цепях в момент коммутации возможны коммутационные потери энергии, например потери энергии за счет искры или электрической дуги между контактами переключателей, поэтому суммарная энергия цепи после коммутации может быть несколько меньше суммарной энергии цепи до коммутации.
Если коммутация идеализированной электрической цепи не затрагивает ветвей, содержащих реактивные элемент, т. е. в процессе коммутации не производится подключения или отключения ветвей, содержащих емкости и индуктивности, и не происходит скачкообразного изменения их параметров, то из принципа непрерывности суммарных потокосцепления и заряда цепи следует непрерывность токов индуктивностей и напряжений емкостей. Вывод о непрерывности токов индуктивностей и напряжений емкостей формулируются в виде законов (правил) коммутации.
Первый закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации ток индуктивности сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:
iL(0+) = iL(0-). (19.2)
Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и непосредственно перед коммутацией:
uC(0+) = uC(0-). (19.3)
Законы коммутации не накладывают ограничений на характер изменения токов емкостей, напряжений индуктивностей и токов или напряжений сопротивлений, которые могут изменяться произвольным образом, в том числе и скачкообразно.
Законы коммутации нарушаются и токи индуктивностей или напряжения емкостей изменяются скачкообразно, когда идеализированные источники энергии в течение бесконечно короткого промежутка времени могут отдавать бесконечно большой ток или напряжение, т. е. развивать бесконечно большую мощность.
Законы коммутации могут не выполняться и при некоторых коммутациях, затрагивающих ветви, содержащие реактивные элементы. Коммутации такого типа называются некорректными. Анализ процессов в цепях при некорректных коммутациях производят с использованием принципа непрерывности суммарных потокосцепления и электрического заряда цепи, который имеет более общий характер, чем законы коммутации.
Следует подчеркнуть, что некорректность коммутации возникает вследствие излишне упрощенного рассмотрения процесса коммутации или в результате применения чрезмерно упрощенных моделей элементов и может быть устранена при более строгом анализе.
Задача анализа переходных процессов заключается в общем случае в определении мгновенных значений токов и напряжений всех или части ветвей электрической цепи в произвольный момент времени после коммутации. Для этого необходимо найти общее решение основной системы уравнений электрического равновесия цепи или системы уравнений электрического равновесия, составленной любым другим способом, при t > 0. Исключая из системы уравнений все неизвестные величины, кроме одной, получают дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно этой величины. Таким образом, задача анализа переходных процессов может быть сведена к решению дифференциального уравнения цепи при t > 0. В частности, задача анализа переходных процессов в линейной цепи с сосредоточенными параметрами -го порядка сводится к нахождению общего решения линейного неоднородного дифференциального уравнения -го порядка.
Общее решение такого уравнения содержит произвольных постоянных, для нахождения которых необходимо задать значения искомой функции y и ее ( - 1) первых производных в начальный момент времени после коммутации, т. е. при t = 0+. Эти величины определяют с помощью законов коммутации на основании анализа процессов, имеющих место в рассматриваемой цепи перед коммутацией. В результате анализа цепи до коммутации рассчитывают значения токов всех индуктивностей и напряжения всех емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации. Далее, используя законы коммутации (в более общем случае - принцип непрерывности потокосцепления и электрического заряда цепи), находят значения токов индуктивностей и напряжений емкостей в начальный момент времени после коммутации. Очевидно, что для определения начальных условий требуется применить законы коммутации к независимо включенным реактивным элементам, т. е. к реактивным элементам, включенным таким образом, что их энергетическое состояние может быть задано независимо. Следовательно, порядок сложности цепи, равный порядку дифференциального уравнения цепи , определяется числом независимо включенных реактивных элементов. Совокупность начальных значений токов независимо включенных индуктивностей и напряжений независимо включенных емкостей представляет собой независимые начальные условия цепи. Используя независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия цепи после коммутации, находят зависимые начальные условия , т.е. значения токов и напряжений любых ветвей и их производных в момент времени t = 0+.
Если энергия, запасенная в цепи в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, равна нулю, то говорят, что цепь анализируется при нулевых начальных условиях. Если начальный запас энергии не равен нулю, то цепь анализируется при ненулевых начальных условиях (в первом случае все независимые начальные условия равны нулю, во втором случае хотя бы одно из них имеет ненулевое значение).
Следует обратить внимание на то, что независимые начальные условия, а следовательно, токи и напряжения ветвей цепи после коммутации определяются исходя из энергетического состояния цепи только в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t =0-), и не зависят от характера процессов, имеющих место в рассматриваемой цепи до коммутации (при t<0).
Общий подход к анализу переходных процессов классическим методом. Схема применения метода. Примеры анализа цепей: переходные процессы в последовательной RC-цепи при скачкообразном изменении ЭДС; подключение источника гармонического напряжения к последовательной RL-цепи; Подключение источника постоянного напряжения к последовательной RLC-цепи.
Цели изучения:
Классический метод анализа переходных процессов в линейных цепях с сосредоточенными параметрами основан на классическом методе решения обыкновенных дифференциальных уравнений. Как известно, общее решение линейного неоднородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами
(20.1)
равно сумме частного решения этого уравнения и общего решения однородного дифференциального уравнения
(20.2)
которое получается из (20.1) при f (t) = 0.
Общее решение однородного дифференциального уравнения (20.2) характеризует так называемые с в о б о д н ы е процессы в цепи, т. е. процессы в цепи после коммутации в отсутствие внешних источников энергии
Характер свободных процессов не зависит от вида внешнего воздействия на цепь, а определяется только параметрами пассивных элементов и линейно управляемых источников, а также топологией цепи после коммутации.
Свободные процессы в цепи протекают за счет разности энергий, соответствующих установившимся режимам работы цепей до и после коммутации. В связи с тем что эта разность имеет конечное значение, свободные процессы в цепях с потерями с течением времени затухают (в идеализированных цепях без потерь свободные процессы имеют незатухающий характер).
Частное решение уравнения (20.1) определяет п р и н у ж д е н н ы й режим работы цепи, т. е. режим, задаваемый действующими в цепи независимыми источниками энергии.
Если внешнее воздействие на цепь после коммутации изменяется по периодическому закону (сохраняет неизменное значение), то частное решение уравнения (20.1) характеризует установившийся режим цепи после коммутации.
Итак, при использовании классического метода анализа переходных процессов искомая реакция цепи y (ток или напряжение какой-либо ветви после коммутации) представляется в виде суммы свободной усв(t) и принужденной упр(t) составляющих:
у(t) = усв(t) + упр(t).
Свободная составляющая реакции цепи с течением времени затухает,
lim усв (t) = 0
t
поэтому принужденная составляющая реакции представляет собой установившееся значение искомого тока или напряжения после коммутации:
упр (t) = lim y (t).
t
Для определения принужденной составляющей реакции цепи можно воспользоваться рассмотренными ранее методами анализа линейных цепей в установившемся режиме.
Если после коммутации токи всех независимых источников тока и напряжения всех независимых источников напряжения не изменяются, то с течением времени в цепи после коммутации установится режим постоянного тока. Принужденная составляющая реакции цепи в этом случае будет являться постоянным током или напряжением.
Если после коммутации цепь находится под гармоническим воздействием определенной частоты, то принужденная составляющая реакции цепи также будет гармонической функцией времени и для определения упр(t) можно воспользоваться методом комплексных амплитуд.
Если цепь после коммутации находится под воздействием нескольких источников гармонических колебаний различной частоты, то, используя принцип наложения, мгновенное значение упр(t) можно найти как сумму мгновенных значений частичных токов или напряжений, вызванных в установившемся после коммутации режиме каждым из источников в отдельности.
Для определения свободной составляющей усв(t) реакции цепи необходимо найти n корней pi характеристического уравнения, соответствующего однородному уравнению (20.2).
(20.3)
Когда все корни уравнения (9.6) простые (различные), свободная составляющая реакции имеет вид
(20.4)
т. е. каждому простому корню pi соответствует слагаемое свободной составляющей вида
где Аi - постоянная интегрирования.
Если какой-либо корень pk характеристического уравнения (9.6) имеет кратность m, то этому корню соответствует слагаемое свободной составляющей вида
(20.5)
Характеристическое уравнение (20.3) может иметь вещественные или комплексные корни, причем все корни pi характеристического уравнения линейной цепи, составленной из идеализированных пассивных элементов и независимых источников энергии, расположены в левой полуплоскости комплексного переменного р (включая и мнимую ось): Re[pi] 0, так как только в этом случае свободные процессы в цепи имеют затухающий (ненарастающий) характер.
В результате этого анализа определяют токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации (t = 0-).
2 Определение независимых начальных условий.
Независимые начальные условия представляют собой токи индуктивностей и напряжения емкостей в момент времени (t = 0+). Независимые начальные условия находят с помощью законов коммутации или принципа непрерывности потокосцепления и электрического заряда цепи.
3. Составление дифференциального уравнения цепи после коммутации. Дифференциальное уравнение цепи получают из системы уравнений электрического равновесия цепи, составленной любым методом, путем исключения всех неизвестных величин, кроме одной, представляющей собой ток или напряжение какой-либо ветви.
4. Анализ установившегося после коммутации процесса (при t ).
В результате анализа находят принужденную составляющую реакции цепи (частное решение дифференциального уравнения цепи).
5. Определение свободной составляющей реакции цепи.
Составляют характеристическое уравнение цепи, находят его корни и определяют общий вид свободной составляющей реакции цепи (общее решение однородного дифференциального уравнения, соответствующего дифференциальному уравнению цепи после коммутации).
6. Нахождение общего вида реакции цепи.
Общий вид реакции цепи (общее решение дифференциального уравнения цепи) находят путем суммирования свободной и принужденных составляющих реакции цепи.
7. Определение постоянных интегрирования.
Постоянные интегрирования находят по зависимым начальным условиям (значениям искомых токов или напряжений и их (n - 1) первых производных в начальный момент времени после коммутации). Для определения зависимых начальных условий используют независимые начальные условия и уравнения электрического равновесия цепи после коммутации.
8. Определение реакции цепи.
Подставляя постоянные интегрирования в общее решение дифференциального уравнения цепи после коммутации, находят частное решение дифференциального уравнения, соответствующее заданным начальным условиям, т. е. искомый ток или напряжение одной из ветвей при t > 0.
Переходные процессы в последовательной RC-цепи при скачкообразном изменении ЭДС
Рассмотрим переходные процессы в последовательной RC-цепи (рис. 20.1.) при скачкообразном изменении ЭДС идеализированного источника постоянного напряжения:
e(t)
R
i
L
2
i(t)
C
R
uc(t)
Рис. 20.1. Последовательная RC-цепь
Используя второй закон коммутации, находим единственное независимое начальное условие
uC(0+) = uC(0-) = Е1. (20.6)
Дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи целесообразно составить уравнение относительно напряжения на ёмкости.
Системы уравнений электрического равновесия цепи при t 0
Исключая все неизвестные величины, кроме uC, получаем
Напряжение на емкости при t 0 представим в виде суммы принужденной и свободной составляющих
uC = uСпр+ uСсв. (20.7)
Установившееся значение напряжения на емкости будет равно напряжению источника энергии после коммутации. Таким образом, принужденная составляющая напряжения на емкости
uCпр = E2 (20.8)
Характеристическое уравнение цепи
RCP + 1=0
имеет единственный корень
p1 = -1/(RC) = -1/τC,
где τС = RC - постоянная времени последовательной RC - цепи, поэтому свободная составляющая напряжения на емкости uCсв содержит один экспоненциальный член
(20.9)
Используя выражения (20.7), (20.8) и (20.9), находим напряжение на емкости после коммутации при произвольных начальных условиях
(20.10)
Для определения постоянной интегрирования А1 воспользуемся независимым начальным условием (20.6). Полагая в (20.10) t = 0, uC = uC(0+) = E1, получаем
Е1==Е2+А1,
откуда
А1 = Е1 - Е2.
Таким образом, при заданных начальных условиях напряжение на емкости после коммутации (t 0) определяется выражением
(20.11)
Зависимость напряжения на емкости от времени при различных соотношениях между Е1 и Е2 показана на рис. 9.2. Здесь же показана зависимость от времени тока емкости iC, которая при t 0 определяется путем дифференцирования выражения (9.14) по времени и умножения результата на С:
(20.12)
Как видно из рисунка, в начальный момент после коммутации напряжение на емкости сохраняет то же значение, что и до коммутации, а затем плавно изменяется, стремясь в пределе к новому установившемуся значению. Ток емкости в начальный момент скачком изменяется от нуля до начального значения, а затем плавно уменьшается, стремясь в пределе к нулю.
IC(0+) = (E2 - E1)/R, (20.13)
.
t
e(t)
E2
E1 = 0
t
e(t)
E1
E2 = 0
t
e(t)
E2
E1
0
t
uc = ucсв
ucсв
t
uc(t)
E1
0
uc(t)
E2
0
-Е2
t
ucсв
ucпр
t
i(t)
E2/R
0
ic = icсв
ic = icсв
uc(t)
E2
0
-(Е2-E1)
t
ucсв
ucпр
t
i(t)
(E2 – E1)/R
0
ic = icсв
Рис. 20.2. Переходные процессы при скачкообразном изменении ЭДС в последовательной цепи
В связи с тем, что установившееся значение тока емкости до и после коммутации равно нулю, ток рассматриваемой цепи содержит только свободную составляющую.
Скорость затухания свободных составляющих тока и напряжения емкости не зависит от значения ЭДС идеализированного источника напряжения до и после коммутации, а определяется только постоянной времени цепи τС, которая численно равна промежутку времени, в течение которого свободные составляющие тока и напряжения уменьшаются в е 2,718 раз. Можно показать, что при любом t 0
Для определения постоянной времени цепи по графику к кривым iСсв или uСсв удобно проводить касательную при t1 = 0. В этом случае она пересекает ось времени в точке t = τC (рис. 20.2).
Чем больше постоянная времени цепи, тем медленнее затухают свободные составляющие токов и напряжений и, следовательно, токи и напряжения цепи медленнее приближаются к установившимся значениям.
Теоретически процесс установления нового режима длится бесконечно долго, однако, переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися через промежуток времени (45)τС после коммутации.
Подключение источника гармонического напряжения к последовательной RL-цепи
Рассмотрим переходные процессы в последовательной RL – цепи (рис. 20.3), содержащей идеализированный источник, ЭДС которого e(t) изменяется во времени по закону
(20.14)
График функции e(t) при ψ 0 приведен на рис. 20.4, а. Ток индуктивности в момент времени, непосредственно предшествующий коммутации, iL(0-) = 0.
e(t)
R
i
L
2
i(t)
L
R
uL(t)
Рис. 20.3. Последовательная RL-цепь
а б
Рис. 20.4. К исследованию переходных процессов при включении источника гармонического напряжения в последовательную RL-цепь. а - воздействие, б - реакция цепи
Дифференциальное уравнение цепи, составленное относительно тока i = iL, при t 0 имеет вид
(20.15)
Принужденная составляющая тока может быть найдена с помощью метода комплексных амплитуд
где z, - модуль и аргумент комплексного входного сопротивления рассматриваемой цепи:
= arctg(L/R).
Характеристическое уравнение цепи
LP +R = 0
имеет единственный корень p1 = - R/L, поэтому свободная составляющая тока содержит один экспоненциальный член
где L = L/R - постоянная времени последовательной RL - цепи.
Суммируя свободную и принужденную составляющие, находим общее решение дифференциального уравнения цепи (20.15) после коммутации:
(20.16)
Для определения постоянной интегрирования А1 воспользуемся первым законом коммутации, в соответствии с которым начальное значение тока рассматриваемой цепи должно равняться нулю:
i(0+) = iL(0+) = iL(0-) = 0
Подставляя (6.20) в выражение (6.19), получаем
откуда
(20.17)
С учетом (20.17) выражение для тока рассматриваемой цепи после коммутации принимает вид
Характер переходных процессов зависит от соотношения между начальной фазой ψ ЭДС. идеализированного источника напряжения и аргументом входного сопротивления цепи. Если ψ = /2 то свободная составляющая тока равна нулю. Переходные процессы в цепи в этом случае отсутствуют, т. е. установившийся режим наступает сразу же после коммутации. При ψ = или ψ = начальные значения свободной и принужденной составляющих максимальны, и отличие в форме кривых i = i (t) и iпр = iпр(t) выражено наиболее резко (рис. 20.4, б).
Скорость затухания свободной составляющей тока рассматриваемой цепи не зависит от характера внешнего воздействия, а определяется только постоянной времени L. За промежуток времени t = L свободная составляющая тока уменьшается в е раз и к моменту времени t = (45)L после коммутации переходные процессы в цепи можно считать практически закончившимися.
Подключение источника постоянного напряжения к последовательной RLC-цепи
Последовательная RLC- цепь содержит два независимо включенных реактивных элемента, поэтому процессы в ней описываются дифференциальным уравнением второго порядка, а для определения постоянных интегрирования необходимо задать два независимых начальных условия.
ЭДС идеального источника напряжения изменяется во времени по закону
Независимые начальные условия в цепи нулевые:
uC(0+) = uC(0-) = 0; iL(0+) = iL(0-) = 0. (20.18)
Составим уравнение электрического равновесия цепи по методу токов ветвей
(20.19)
Дифференцируя правую и левую части (20.19), получаем дифференциальное уравнение рассматриваемой цепи после коммутации
(20.20)
Для определения единственного решения этого уравнения, соответствующего заданного режиму работы цепи до коммутации, необходимо определить начальные значения тока цепи и его первой производной по времени.
Начальное значение тока цепи совпадает с начальным значением тока индуктивности
i(0+) = iL(0+) = 0, (20.21)
Начальное значение первой производной тока цепи по времени может быть найдено с использованием независимых начальных условий (20.18) и уравнения электрического равновесия цепи (20.20) при t = 0+ = 0;
(20.22)
Установившееся значение тока после коммутации равно нулю, следовательно ток содержит только свободную составляющую: i = iсв.
Характеристическое уравнение последовательной RLC-цепи
Lp2 + Rp + 1/C = 0 (20.23)
Корни характеристического уравнения
(20.24)
где δ = R/(2L) - коэффициент затухания,
- резонансная частота цепи.
= 1/ = 2L/R называется постоянной времени последовательной RLC- цепи.
Отношение0 и δ связано с добротностью
В зависимости от добротности цепи корни характеристического уравнения (20.24) могут быть вещественными различными, комплексно-сопряженными или вещественными одинаковыми (кратными). Рассмотрим каждый из этих случаев.
В е щ е с т в е н н ы е р а з л и ч н ы е к о р н и.
При малой добротности последовательной RLC-цепи (Q < 1/2, т. е. R > 2 и δ > 0) характеристическое уравнение (20.23) имеет два различных вещественных отрицательных корня, а выражение для тока цепи после коммутации (t 0) содержит два экспоненциальных члена:
(20.25)
Продифференцирем правую и левую части выражения (20.25)
Используя начальные условия (20.21), (20.22), составляем уравнения для определения постоянных интегрирования А1 и А2:
А1 + А2 = 0;
р1А1 + +р2А2= Е/L,
откуда
(20.26)
С учетом (20.26) выражение для тока цепи после коммутации принимает вид
Расположение корней р1, р2 характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость нормированного тока рассматриваемой цепи от времени приведены на рис. 20.5, а. Переходной процесс в цепи носит апериодический (неколебательный) характер, причем вследствие того, что р1 < р2 , вторая составляющая тока цепи i(2) затухает быстрее, чем первая i(1).
а б в г
Рис. 20.5. Расположение корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного и зависимость свободной составляющей тока последовательной RLC -цепи от времени для:
а - > 0; б - < 0; в - = 0; г - = 0;
К о м п л е к с н о- с о п р я ж е н н ы е к о р н и.
При большой добротности последовательной RLC-цепи (Q > 1/2, т. е. R < 2ρ и δ < ω0) характеристическое уравнение (20.23) имеет два комплексно-сопряженных корня
р1,2= - δ jсв,
где - частота свободных колебаний в цепи. Ток цепи после коммутации, как и в предыдущем случае, определяется выражением (20.25). Постоянные интегрирования
A1 = E/(j2свL), A2 = - E/(j2свL)
Выражение (20.25) в этом случае может быть преобразовано к виду
где Im(t) = Ee-t/(свL).
Таким образом, при включении в последовательную RLC-цепь с высокой добротностью идеального источника постоянного напряжения переходные процессы в ней имеют колебательный характер. Ток цепи представляет собой затухающую гармоническую функцию, амплитуда которой экспоненциально уменьшается во времени. Колебательный характер переходного процесса в цепи связан с периодическим обменом энергией между емкостью и индуктивностью, а затухание колебаний объясняется потерями энергии в сопротивлении.
Расположение корней р1, р2 характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного р и зависимость тока цепи от времени показаны на рис. 20.5, б. Корни характеристического уравнения расположены симметрично относительно действительной оси в левой полуплоскости на полуокружности с радиусом, численно равным резонансной частоте последовательного колебательного контура 0. Чем меньше коэффициент затухания , тем ближе к мнимой оси расположены корни уравнения, меньше различие между св и 0 и медленнее затухание свободных процессов. В пределе, при = 0, корни характеристического уравнения располагаются на мнимой оси, частота свободных колебаний совпадает с резонансной частотой цепи, а а колебательные процессы в цепи носят незатухающий характер (рис. 20.5, в). Таким образом, резонансная частота RLC-цепи численно равна частоте свободных колебаний в цепи, когда коэффициент затухания равен нулю.
Пунктирными линиями на рис. 20.5, б показаны кривые Im(t), которые характеризуют закон изменения амплитуды тока во времени. Эти кривые называются огибающими Постоянная времени RLC-цепи равная длине подкасательной к огибающей тока. За промежуток времени t = ордината огибающей тока уменьшается в е раз.
К р а т н ы е к о р н и.
При Q = 1/2, т. е. при R = 2ρ и = 0, характеристическое уравнение последовательной RLC-цепи имеет два одинаковых вещественных корня р1 = р2 = - , расположенных на отрицательной вещественной полуоси в плоскости комплексного переменного р (рис. 20.5, г). Как следует из выражения (20.5), общее решение дифференциального уравнения (20.20) при t 0 в этом случае имеет вид
(20.27)
Определяя с помощью начальных условий (20.21) и (20.22) значения постоянных интегрирования А1 = 0, А2 = E/L и подставляя их в выражение (20.27), получаем
Переходный процесс в цепи при одинаковых вещественных корнях имеет апериодический характер (рис. 20.5. г), поэтому условие Q = 1/2 является предельным условием существования в цепи апериодических свободных процессов. Режим работы цепи на границе между колебательным и апериодическим характерами переходных процессов называется критическим.
Итак, характер переходных процессов в последовательной RLC -цепи полностью определяется расположением корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного.
Зависимость характера переходных процессов от расположения корней характеристического уравнения в плоскости комплексного переменного присуща не только последовательной RLC -цепи, она является общим свойством линейных электрических цепей любого порядка сложности.
Использование аппарата преобразования Лапласа для анализа электрических цепей. Операторные схемы замещения цепей при различных начальных условиях. Нахождение реакции цепи в операторном виде. Пример использования операторного метода.
Цели изучения:
Классический метод анализа переходных процессов применяют в основном тогда, когда исследуемая цепь имеет невысокий порядок сложности, а внешнее воздействие на нее после коммутации является гармонической функцией времени либо постоянно. Если внешнее воздействие на цепь после коммутации имеет более сложный характер, то определение принужденной составляющей реакции цепи существенно затруднено, а при повышении порядка цепи усложняется определение постоянных интегрирования. Значительно большие возможности представляет операторный метод анализа переходных процессов, основанный на применении преобразования Лапласа. Подобно ранее рассмотренному методу комплексных амплитуд, операторный метод относится к символическим методам, в которых операции над функциями времени заменяются операциями над их символами (изображениями).
Взаимное соответствие между функцией времени а(t) и ее изображением А(р) в операторном методе устанавливается с помощью прямого и обратного преобразований Лапласа
(21.1)
(21.2)
Функция a(t) называется оригиналом.. Комплексное число р - оператором преобразования Лапласа или комплексная частота. А(р) называется операторным изображением функции a(t) или изображением функции a(t) по Лапласу.
На практике к интегрированию по формулам (21.1), (21.2) приходится прибегать сравнительно редко, так как для большинства часто употребляемых функций разработаны таблицы прямого и обратного преобразований Лапласа. Операторные изображения некоторых функций приведены в приложении 1.
Свойства преобразования Лапласа
1) Изображение по Лапласу постоянной величины К равно этой величине, деленной на р:
(21.3)
2) Умножение функции времени a(t) на постоянное число К соответствует умножению на это же число ее изображения:
(21.4)
3) Изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций:
(21.5)
где
4) Теорема дифференцирования. Если начальное значение функции a(t) равно нулю (а(0+) = 0), то дифференцированию функции a(t) соответствует умножение изображения этой функции на р
(21.6)
при а(0+) 0
(21.7)
5) Теорема интегрирования. Интегрированию функции времени в пределах от 0 до t соответствует деление изображения этой функции на р
(21.8)
6) Теорема запаздывания. Смещению функции времени на t0 соответствует умножение изображения на
(21.9)
7) Теорема смещения Смещению изображения А(р) в комплексной плоскости на комплексное число соответствует умножение оригинала на .
8) Теорема разложения. Если изображение А(р) может быть представлено в виде отношения двух полиномов от р, не имеющих общих корней
(21.10)
причем степень полинома М(p) выше, чем степень полинома N(p), а уравнение
M(p) =0 (21.12)
не имеет кратных корней, то для перехода от изображения к оригиналу можно воспользоваться формулой:
(21.13)
где pk - корни уравнения (21.12).
При использовании операторного метода решения дифференциальных уравнений неизвестные токи и напряжения ветвей электрической цепи, а также заданные токи и напряжения независимых источников заменяют их операторными изображениями. При этом система интегро-дифференциальных уравнений электрического равновесия, составленная относительно мгновенных значений токов и напряжений ветвей, преобразуется в систему алгебраических уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов и напряжений. Решая эту систему уравнений, находят изображения искомых токов и напряжений ветвей электрической цепи после коммутации. Далее, применяя обратное преобразование Лапласа, переходят от изображений искомых токов и напряжений к оригиналам.
Вследствие того, что изображение суммы функций времени равно сумме изображений этих функций, для перехода от уравнений баланса мгновенных значений токов и напряжений ветвей к уравнениям баланса операторных изображений токов и напряжений достаточно в уравнениях, составленных в соответствии с законами Кирхгофа, заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями
(21.14)
(21.15)
Уравнения (21.14) и (21.15) - это уравнениями баланса токов и напряжений в операторной форме.
По аналогии с ранее рассмотренными понятиями комплексного входного сопротивления и комплексной входной проводимости введем понятия операторного входного сопротивления Z(p) и операторной входной проводимости Y(p).
Операторным входным сопротивлением пассивного линейного двухполюсника называется отношение операторного напряжения на входе двухполюсника к операторному току при нулевых начальных условиях
Z (p) = U (p)/I (p), (21.16)
где и - операторные изображения тока и напряжения на входе некоторого пассивного двухполюсника при t 0 и нулевых начальных условиях.
Величина, обратная Z(p), называется операторной входной проводимостью
Y (p) = 1/Z (p) = I (p)/U (p). (21.17)
Как следует из выражений (9.45), (9.46), каждому пассивному линейному двухполюснику при нулевых начальных условиях может быть поставлена в соответствие операторная схема замещения, на которой рассматриваемый двухполюсник представляется своим операторным входным сопротивлением или операторной входной проводимостью, а токи и напряжения на его зажимах - их операторными изображениями. Если в рамках решаемой задачи двухполюсник не находится при нулевых начальных условиях, то его операторная эквивалентная схема должна содержать независимый источник тока или напряжения, характеризующий начальные запасы энергии в цепи.
Рассмотрим операторные компонентные уравнения и операторные схемы замещения идеализированных пассивных двухполюсников.
С о п р о т и в л е н и е.
Соотношения между мгновенными значениями тока и напряжения на зажимах сопротивления
uR = RiR; iR = GuR.
Учитывая, что умножению функции времени на постоянное число соответствует умножение изображения функции на это же число, для получения компонентных уравнений сопротивления в операторной форме достаточно в выражениях (1.9), (1.10) заменить мгновенные значения токов и напряжений их операторными изображениями
UR(p) = RIR(p); (21.18)
IR(p) = GUR(p) (21.19)
Подставляя соотношения (21.18), (21.19) в (21.16), (21.17), находим выражения для операторного входного сопротивления и операторной входной проводимости
ZR(p) = R; YR(p) = G = 1/R. (21.20)
Операторная эквивалентная схема сопротивления приведена на рис. 21.1.
R
i
L
2
I(p)
ZR(p) = R
UR(p)
Рис. 21.1. Операторная схема замещения сопротивления
Ё м к о с т ь.
Напряжение и ток емкости связаны соотношениями:
Используя теоремы дифференцирования (21.7) и интегрирования (21.8), получаем
IC(p) = p CUC (p) - CuC (0); (21.21)
(21.22)
Операторные компонентные уравнения емкости (21.21) и (21.22) являются равносильными и могут быть получены одно из другого. При нулевых начальных условиях (uC (0) = 0) они принимают вид
IC (p) = pCUC (p); UC (p) = IC (p)/(pC).
Таким образом, операторное входное сопротивление ZС(p) и операторная входная проводимость емкости YС (p) определяются выражениями
ZС (p) = 1/(pC); YС (p) = pC. (21.23)
Операторным компонентным уравнениям (21.21) и (21.22) соответствуют параллельная и последовательная схемы замещения емкости (рис. 21.2, а, б), содержащие независимый источник тока CuС (0) или напряжения uС (0)/p. При нулевых начальных условиях независимые источники тока или напряжения, характеризующие начальный запас энергии в емкости, выключаются, и в операторной эквивалентной схеме емкости остается только один элемент - операторное входное сопротивление или операторная входная проводимость емкости (рис. 21.3, в).-
R
i
L
2
IC(p)
YC(p) = pC
UC(p)
R
i
L
2
IC(p)
ZC(p) = 1/(pC)
UC(p)
R
i
L
2
IC(p)
ZC(p) = 1/(pC)
UC(p)
CUC(0)
UC(0)/p
а б в
Рис. 21.2. Операторные схемы замещения емкости:
а - параллельная при ненулевых начальных условиях; б - последовательная при ненулевых начальных условиях; в - при нулевых начальных условиях
И н д у к т и в н о с т ь. Мгновенные значения тока и напряжения индуктивности связаны между собой соотношениями:
Применяя к этим выражениям теоремы дифференцирования (21.7) и интегрирования (21.8), получаем компонентные уравнения индуктивности в операторной форме:
UL(p) = pLIL (p) - LiL (0); (21.24)
IL (p) = iL (0)/p + UL (p)/(pL). (21.25)
Уравнения (9.53), (9.54) равносильные и могут быть получены одно из другого с помощью элементарных преобразований. Используя их, определяем комплексное входное сопротивление и комплексную входную проводимость индуктивности
ZL (p) = pL; YL (p) = 1/(pL) (21.26)
Этим уравнениям соответствуют последовательная и параллельная схемы замещения (рис. 21.3, а, б). Как и операторные схемы замещения емкости, операторные схемы замещения индуктивности содержат независимый источник напряжения LiL (0) или тока iL (0)/p, характеризующий начальный запас энергии в индуктивности. Операторная эквивалентная схема индуктивности при нулевых начальных условиях приведена на рис. 21.3, в.
R
i
L
2
IL(p)
YL(p) = 1/(pL)
UL(p)
R
i
L
2
IL(p)
ZC(p) = pL
UL(p)
R
i
L
2
IL(p)
ZL(p) = pL
UL(p)
LIL(0)
IL(0)/p
а б в
Рис. 21.3. Операторные схемы замещения индуктивности:
а - последовательная при ненулевых начальных условиях; б - параллельная при ненулевых начальных условиях; в - при нулевых начальных условиях
Анализируя полученные результаты, нетрудно установить, что выражения для операторных входных сопротивлений (проводимостей) идеализированных пассивных элементов имеют такую же структуру, как и выражения для комплексных входных сопротивлений (проводимостей) этих же элементов, и могут быть получены одно из другого путем замены j на p.
Аналогичным образом может быть получено выражение для операторного входного сопротивления (проводимости) произвольного линейного двухполюсника, составленного из идеализированных пассивных элементов. Используя операторные эквивалентные схемы идеализированных пассивных элементов, можно получить операторную эквивалентную цепи, которая имеет такую же структуру, как и эквивалентная схема цепи для мгновенных значений, но содержит дополнительные независимые источники энергии, определяющие запасы энергии цепи в момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации.
Используя операторную схему замещения цепи, можно с помощью любого из известных методов сформировать систему уравнений ее электрического равновесия в операторной форме, которая будет равносильна основной системе уравнений электрического равновесия цепи после коммутации.
В связи с тем, что операторная схема замещения цепи может быть построена непосредственно по эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений, этап формирования дифференциальных уравнений цепи может быть исключен. Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на формировании операторных уравнений электрического равновесия цепей по их операторным эквивалентным схемам, получил название операторного метода анализа переходных процессов
Основные этапы анализа переходных процессов в линейных цепях с помощью операторного метода.
1. Анализ цепи до коммутации и определение независимых начальных условий. Выполняются так же, как и при использовании классического метода анализа переходных процессов.
2. Составление операторной эквивалентной схемы цепи после коммутации. Составление операторной эквивалентной схемы цепи производится непосредственно по эквивалентной схеме цепи для мгновенных значений путем замены каждого идеализированного пассивного элемента его операторной схемой замещения и представления токов и напряжений идеализированных источников тока или напряжения их операторными изображениями.
3. Составление уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме. Система уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме может быть сформирована любым методом непосредственно по операторной схеме замещения цепи.
4. Решение уравнений электрического равновесия цепи относительно изображений искомых токов и напряжений.
5. Определение оригиналов искомых токов и напряжений. Как правило, производится путем применения таблиц обратного преобразования Лапласа и использования основных свойств преобразования Лапласа. Если изображение интересующей функции представляет собой отношение двух полиномов p, для выполнения обратного преобразования Лапласа можно воспользоваться теоремой разложения.
Пример 21.1. Для цепи, схема которой приведена на рис. 21.4, а, найти зависимость тока и напряжения индуктивности i3, u3 от времени t 0. ЭДС идеализированного источника постоянного напряжения e(t) при t = 0 скачком изменяется от E1 до E2 :
Анализируя процессы в цепи до коммутации, находим начальное значение тока индуктивности
i3(0) = i3(0+) = i3(0-) = E1/R1.
Для построения операторной эквивалентной схемы цепи после коммутации (рис. 21.4, б) заменяем все идеализированные пассивные элементы их операторными схемами замещения, а ЭДС. идеализированного источника напряжения Е2 - операторной ЭДС., E2(p) = E2/p.
e(t)
R1
R2
L
R1
R2
E2/p
L
LE1/R1
I11
I22
i1
i3
i2
I1(p)
I2(p)
I3(p)
а б
Рис. 21.4. К примеру 21.1
Используя метод контурных токов, составляем систему уравнений электрического равновесия цепи в операторной форме
(R1 + R2) I11 (p) - R2I22 (p) = E2/p;
-R2I11 (p) + (R2 + pL) I22 (p) = LE1/R1,
где
Решая эту систему уравнений, находим операторные изображения искомого тока и напряжения:
I3 (p) = [R1R2E2 + pL (R1 + R2) E1]/{pR1 [pL (R1 + R2) + R1R2]}
U3 (p) = pLI3 (p) - E1L/R1 = [LR2(E2 - E1)]/[pL (R1 + R2) + R1R2].
Преобразуем полученные выражения к такому виду, чтобы для выполнения обратного преобразования Лапласа можно было непосредственно воспользоваться таблицами, приведенными в приложении 1:
Учитывая, что
и
получаем выражения для тока и напряжения индуктивности при t 0
где = (R1+ R2) L/(R1R2) - постоянная времени рассматриваемой цепи.
Как видно из полученных соотношений, в начальный момент времени ток индуктивности сохраняет то же значение, что и до коммутации i3(0) = E1/R1, а затем плавно изменяется, стремясь в пределе к E2/R1. Напряжение индуктивности в начальный момент времени скачком изменяется от нуля до u3(0+)= R2(E2 - E1)/(R1 + R2), а затем плавно уменьшается до нуля.
Понятие операторной характеристики цепи. Методы нахождения операторных характеристик линейных цепей
Цели изучения
Рассмотрим идеализированную линейную цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения, у которой выделены пара входных - и пара выходных k - k зажимов.
Операторной, или обобщенной частотной характеристикой Hk(p) линейной цепи называется отношение операторного изображения реакции цепи yk = yk (t) к операторному изображению внешнего воздействия х = х (t) при нулевых начальных условиях:
Hk (p) = Yk (p)/X (p), (22.1)
где
Для перехода от операторной характеристики цепи к ее комплексной частотной характеристике Hk (j) достаточно в выражение (22.1) заменить p на j. Следовательно, комплексную частотную характеристику можно рассматривать как частный случай обобщенной частотной характеристики при Re (p) = = 0.
Подобно комплексной частотной характеристике, операторная характеристика линейной цепи не зависит от действующих в цепи токов и напряжений, а определяется только топологией цепи и параметрами входящих в нее элементов. В связи с тем, что выражения для операторных сопротивлений и проводимостей идеализированных пассивных элементов (21.20), (21.23), (21.26) были получены безотносительно к виду внешнего воздействия, операторные характеристики описывают свойства линейных цепей при произвольных внешних воздействиях.
Как и комплексные частотные характеристики, операторные характеристики цепи делятся на входные и передаточные. В зависимости от того, какая величина выступает в качестве внешнего воздействия на цепь, а какая рассматривается в качестве отклика цепи, различают:
- операторное входное сопротивление
Z (p) = U (p)/I (p); (22.1)
- операторную входную проводимость
Y (p) = I (p)/U (p); (22.2)
- операторный коэффициент передачи по напряжению
Kk (p) = Uk (p)/ U (p) (22.3)
- операторный коэффициент передачи по току
Gk (p) = Ik (p)/I (p); (22.4)
- операторное передаточное сопротивление
Zk (p) = Uk (p)/I (p) (22.5)
- операторную передаточную проводимость
Yk (p) = Ik (p)/U (p). (22.6)
Операторные коэффициенты передачи по напряжению и току являются безразмерными величинами, операторные входное и передаточное сопротивления имеют размерность сопротивления, а операторные входная и передаточная проводимости - размерность проводимости.
Для определения операторной характеристики цепи с заданной комплексной частотной характеристикой достаточно в соответствующем аналитическом выражении заменить j на p. В общем случае выражения для любых операторных характеристик сколь угодно сложной линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, могут быть получены из рассмотрения узловых или контурных уравнений цепи, составленных по ее операторной схеме замещения при нулевых начальных условиях.
Пример 22.1. Для цепи, схема которой приведена на рис. 22.1, а, найдем операторное входное сопротивление Z11x(p) со стороны зажимов 1 -1 и операторный коэффициент передачи по напряжению K21x (p) от зажимов 1 - 1 к зажимам 2 - 2в режиме холостого хода на зажимах 2 – 2
R1
рL
U1(p)
I1(p)
U2(p)
I2(p)
Рис. 22.1. К примеру 22.1
Выражения для комплексного входного сопротивления и комплексного коэффициента передачи данной цепи (22.1, 22.3)
Z11x (j) = R + jL;
K21x (j) = jL/(R + jL).
Заменяя в этих выражениях j на p, находим операторное входное сопротивление Z11x (p) и операторный коэффициент передачи цепи по напряжению:
Z11x (p) = R + pL = L(p + R/L);
Можно убедиться, что аналогичные результаты получаются и при рассмотрении операторной схемы замещения цепи (рис. 22.1).
Определение идеализированных стандартных воздействий на цепь. Функция включения: описание, свойства, график. Описание сигналов при помощи функции включения. Дельта-функция: описание, свойства, график. Временные характеристики цепей: определение, свойства, способы нахождения. Связь между временными и операторными характеристиками цепи.
Цели изучения
1.Определение единичных функций и их основных свойств
2. Определение временных характеристик
3. Установление связи между импульсной, переходной и операторной характеристками
Важное место в теории линейных цепей занимает исследование реакции цепей на идеализированные внешние воздействия, описываемые единичными функциями.
Функцией включения (функцией Хевисайда) называется функция
(23.1)
При t0 = 0 для функции включения обозначение 1(t) (рис. 23.1). График функции 1(t - t0) имеет вид ступеньки или скачка, высота которого равна 1.
1(t)
0 t
1(t-t0)
0 t0 t
23.1. К определению функции включения
Функцию Хевисайда 1(t - t0) удобно использовать для аналитического представления внешних воздействий на цепь, значение которых скачкообразно изменяется в момент коммутации:
(23.2)
где f(t) - ограниченная функция времени.
1) При подключении цепи к источнику постоянного тока или напряжения значение внешнего воздействия на цепь
(23.3)
где t0 - момент коммутации.
Используя функцию Хевисайда, выражение (23.4) можно представить в виде
x(t) = X 1(t - t0).
X1(t)
0 t0 t
1(t-t0)
0 t0 t
Х(t)
0 t0 t0+ t
Х
Х
-Х
а б в
Рис. 23.2. Представление прямоугольного импульса в виде разности двух
неединичных скачков
2) В цепь включается источник гармонического тока или напряжения при t = t0
С использованием функции 1(t - t0) внешнее воздействие на цепь можно представить в форме
x(t) = 1(t - t0)Xm cos(t + ψ).
3) Внешнее воздействие на цепь в момент времени t = t0 скачкообразно изменяется от одного фиксированного значения Х1 до другого Х2,
X(t) = X1 + (X2 - X1) 1(t - t0).
4) Внешнее воздействие на цепь, имеет форму прямоугольного импульса высотой Х и длительностью tи (рис. 6.15? a). Его можно представить в виде разности двух одинаковых скачков
X1(t) = X 1(t - t0)
и X2(t) = Х 1(t - t0 - ),
сдвинутых во времени на (рис. 6.15, б, в):
Х(t) = Х1(t) - Х2(t) = X(1(t - t0) - 1(t - t0 - )). (23.4)
-функция или функция Дирака определяется как
-функция может быть представлена как импульс бесконечно малой длительности, бесконечно большой высоты, площадь которого равна 1 (рис. 9.14, а)
Х(t)
0 t0 t0+t t
1/
(t-t0)
0 t0 t
0 t0 t0+ t
(t)
а б в
Рис. 23.3. К определению - функции
Следовательно,
(23.5)
При t0 = 0 для -функции используется обозначение (t). При построении временных диаграмм функции (t - t0) и (t) будем изображать в виде вертикальной стрелки (рис. 23.3, б, в).
Для установления связи между - функцией и функцией включения воспользуемся выражением (23.4). Полагая X = 1/t и устремляя t к нулю, получаем
(23.6)
откуда
(23.7)
Таким образом, -функция представляет собой производную от функции включения, а функция включения - интеграл от -функции.
Строгое обоснование операции над единичными функциями, в том числе операции дифференцирования, дано в теории обобщенных функций. Для качественного обоснования таких операций функции 1(t - t0) и (t - t0) удобно рассматривать в качестве предельных значений некоторых более простых функций, для которых соответствующие операции являются определенными.
При выполнении различных операций над единичными функциями момент коммутации t0 удобно расчленять на три различных момента: t0- - момент времени, непосредственно предшествовавший коммутации, t0 - собственно момент коммутации и t0+ - момент времени, следующий непосредственно после коммутации. С учетом этого интеграл (23.5) можно заменить на
(23.8)
В общем случае
(23.9)
Произведение произвольной ограниченной функции времени f(t) на (t - t0)
следовательно,
f(t) (t - t0) = f(t0) (t - t0). (23.10)
Из выражений (23.9) и (23.10) следует, что интеграл от произведения произвольной ограниченной функции f(t) на (t - t0) равен либо значению этой функции при t = t0 (если точка t0 принадлежит интервалу интегрирования), либо 0 (если точка t0 не принадлежит интервалу интегрирования
(23.11)
Таким образом, с помощью -функции можно выделять значения функции f(t) в произвольные моменты времени t0. Эту особенность -функции обычно называют фильтрующим свойством.
Для определения реакции линейных электрических цепей на внешнее воздействие в виде единичного скачка или единичного импульса необходимо найти изображения единичных функций по Лапласу. Используя рассмотренные свойства единичных функций, получаем
(23.11)
При t0 = 0 операторные изображения единичных функций имеют простой вид:
(23.12)
К временным характеристикам цепей относятся переходная и импульсная характеристики.
Рассмотрим линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников тока и напряжения.
Пусть внешнее воздействие на цепь представляет собой функцию включения (единичный скачок) x(t) = 1(t - t0).
Переходной характеристикой h(t - t0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется реакция этой цепи на воздействие единичного скачка тока или напряжения при нулевых начальных условиях.
Размерность переходной характеристики равна отношению размерности отклика к размерности внешнего воздействия, поэтому переходная характеристика может иметь размерность сопротивления, проводимости или быть безразмерной величиной.
Пусть внешнее воздействие на цепь имеет форму -функции
x(t) = (t - t0).
Импульсной характеристикой g (t - t0) линейной цепи, не содержащей независимых источников энергии, называется реакция цепи на воздействие в виде -функции при нулевых начальных условиях.
Размерность импульсной характеристики равна отношению размерности отклика цепи к произведению размерности внешнего воздействия на время.
Подобно комплексной частотной и операторной характеристикам цепи, переходная и импульсная характеристики устанавливают связь между внешним воздействием на цепь и ее реакцией, однако в отличие от первых характеристик аргументом последних является время t, а не угловая или комплексная p частота. Так как характеристики цепи, аргументом которых является время, называются временными, а характеристики, аргументом которых является частота (в том числе и комплексная) - частотными, то переходная и импульсная характеристики относятся к временным характеристикам цепи.
Каждой операторной характеристики цепи Hk (p) можно поставить в соответствие переходную и импульсную характеристики.
(23.14)
При t0 = 0 операторные изображения переходной и импульсной характеристик имеют простой вид
(23.15)
Выражения (23.13), (23.14) устанавливают связь между частотными и временными характеристиками цепи. Зная, например, импульсную характеристику можно с помощью прямого преобразования Лапласа найти соответствующую операторную характеристику цепи
а по известной операторной характеристики Hk(p) с помощью обратного преобразования Лапласа определить импульсную характеристику цепи
Используя выражения (23.13) и теорему дифференцирования, нетрудно установить связь между переходной и импульсной характеристиками
Если при t = t 0 функция h(t - t 0) изменяется скачкообразно, то импульсная характеристика цепи связана с ней следующим соотношением
(23.16)
Выражение (23.16) известно под названием формулы обобщенной производной. Первое слагаемое в этом выражении представляет собой производную переходной характеристики при t > t 0, а второе слагаемое содержит произведение -функции на значение переходной характеристики в точке t = t 0.
Если функция h(t - t0) не претерпевает разрыва при t = t 0, т. е. значение переходной характеристики в точке t = t0 равно нулю, то выражение для обобщенной производной совпадает с выражением для обычной производной., импульсная характеристика цепи равна первой производной переходной характеристики по времени
(23.17)
Для определения переходных (импульсных) характеристик линейной цепи применяют два основных способа.
Следует обратить внимание, что при качественном рассмотрении реакции линейной цепи на воздействие единичного импульса тока или напряжения переходной процесс в цепи разделяют на два этапа. На первом этапе (при t] t0-, t0+ [ ) цепь находится под воздействием единичного импульса, сообщающего цепи определенную энергию. Токи индуктивностей и напряжения емкостей при этом скачком изменяются на значение, соответствующее поступившей в цепь энергии, при этом нарушаются законы коммутации. На втором этапе (при t t 0+) действие приложенного к цепи внешнего воздействия закончилось (при этом соответствующие источники энергии выключены, т. е. представлены внутренними сопротивлениями), и в цепи возникают свободные процессы, протекающие за счет энергии, запасенной в реактивных элементах на первой стадии переходного процесса. Следовательно, импульсная характеристика характеризует свободные процессы в рассматриваемой цепи.
Пример 23.1. Для цепи, схема которой приведена на рис. 22.1, а, найдем переходную и импульсную характеристики в режиме холостого хода на зажимах 2-2. Внешнее воздействие на цепь - напряжение на зажимах 1-1 x(t) = u1, реакция цепи - напряжение на зажимах 2-2 y(t) = u2.
Операторная характеристика данной цепи, соответствующая указанной паре: воздействие - реакция, была получена в примере 22.1
Следовательно, операторные изображения переходной и импульсной характеристик цепи имеют вид
Используя таблицы обратного преобразования Лапласа переходим от изображения искомых временных характеристик к оригиналам.
h(t) = e-Rt/L; g(t) = (t) - Re-Rt/L/L.
Полученные характеристики изображены на рис. 9.15
h(t)
0 t0 t
1
g(t)
0 t
а б
Рис. 23.4.К примеру 23.1. а – импульсная характеристика, б – переходная характеристика
Использование принципа наложения для нахождения реакции линейной цепи на произвольное воздействие. Определение реакции с использованием временной или переходной характеристики. Различные формы интеграла Дюамеля.
Цели изучения:
освоение наиболее общего метода расчёта реакции линейной цепи на произвольное воздействие
Наиболее общий подход к анализу переходных процессов в линейных цепях основан на использовании принципа наложения. Внешнее воздействие на цепь x = x(t) в этом случае представляют в виде линейной комбинации однотипных элементарных составляющих xk(t)
а реакцию цепи на такое воздействие ищут в виде линейной комбинации частичных реакций yk(t) на воздействие каждой из элементарных составляющих внешнего воздействия в отдельности:
В качестве элементарных составляющих xk(t) можно выбирать внешние воздействия, описываемые различными классами функций, реакция цепи на которые может быть найдена с помощью рассмотренных ранее методов. Наиболее широкое распространение получили элементарные воздействия в виде гармонической функции времени, единичного скачка или единичного импульса.
Метод анализа переходных процессов в линейных цепях, основанный на представлении внешнего воздействия в виде конечной или бесконечной суммы гармонических функций времени, получил название спектрального, более подробно он будет рассмотрен при изучении курса «Радиотехнические цепи и сигналы».
Рассмотрим произвольную линейную электрическую цепь, не содержащую независимых источников энергии, переходная характеристика которой h(t) известна. Пусть внешнее воздействие на цепь задается в виде произвольной функции x =x(t), равной нулю при t < t0 и непрерывной при всех t, за исключением точки t = t0, где x(t) может иметь конечный разрыв (рис. 24.1).
x(t)
0 t0 k t
x(t0)
Рис. 24.1. Представление произвольного внешнего воздействия в виде
суммы неединичных скачков
Функцию x(t) можно приближенно представить в виде в виде линейной комбинации единичных скачков, смещенных один относительно другого на :
(24.1)
Здесь x(t0) - высота начального скачка функции x(t);
-высота скачка, подаваемого в момент времени t = k (на рис. 9.16 этот скачок заштрихован).
В соответствии с определением переходной характеристики реакция цепи на воздействие неединичного скачка, приложенного в момент времени t = = k, равна произведению высоты скачка на переходную характеристику цепи h(t - k). Следовательно, реакция цепи на воздействие, представляемое суммой неединичных скачков (24.1), равна сумме произведений высот скачков на соответствующие переходные характеристики
(24.2)
Точность представления входного воздействия в виде суммы неединичных скачков, как и точность представления реакции цепи в виде (9.79), возрастает с уменьшением шага разбиения по времени . При 0 суммирование заменяется интегрированием:
(24.3)
Выражение (24.3) - интеграл Дюамеля (интеграл наложения). Используя это выражение, можно найти точное значение реакции цепи на заданное воздействие x = x(t) в любой момент времени t после коммутации. Интегрирование в (24.3) осуществляется на промежутке t0 < < t, выражения для x() и h(t - ) получается из выражений для x(t) и h(t) путем замены t на и (t - ) соответственно.
С помощью интеграла Дюамеля можно найти реакцию цепи на заданное воздействие и тогда, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной функцией, т. е. функцией, которая имеет конечное число конечных разрывов. В этом случае необходимо разбить интервал интегрирования на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции x = x(t) и учесть реакцию цепи на конечные скачки функции x = x(t) в точках разрыва.
Пример 24.1. Найдем реакцию цепи на внешнее воздействие, задаваемое функцией x = x(t) вида рис. 24.2.
x(t)
0 t1 t2 t
х1(0)
x1(0)
x2(t2)
x2(t1)
x1(t)
x2(t)
Рис. 24.2. К примеру 24.1
Разбиваем ось времени на четыре промежутка в соответствии с интервалами непрерывности функции x = x(t).
1) При t < 0 реакция цепи y = y(t) тождественно равна нулю (реакция цепи не может опережать по времени внешнее воздействие на цепь).
2) На участке 0 < t < t1 функция x = x(t) непрерывна, поэтому реакция цепи находится непосредственно с помощью выражения (9.80)
3) При t1 < t < t2 интервал интегрирования ]0, t[ содержит одну точку разрыва функции x(t). Разбивая интервал интегрирования на два промежутка ]0, t1[, ]t1, t[ и учитывая реакцию цепи на воздействие скачка функции x(t) в точке t = t1, получаем
4) При t > t2 интервал интегрирования содержит две точки разрыва функции x(t). Для определения реакции цепи в этом случае необходимо разбить интервал интегрирования на три промежутка ]0, t1[, ]t1, t2[, ]t2, t[ и учесть реакцию цепи на скачки функции в точках t1 и t2. Принимая во внимание, что при t > t2 dx(t)/dt = 0, получаем
Пусть внешнее воздействие на линейную электрическую цепь, импульсная характеристика которой g(t - t0) известна, описывается произвольной функцией x = x(t), равной нулю при t < t0 и непрерывной при всех t, за исключением точки t = t0, где функция x(t) может иметь конечный разрыв (рис. 24.2). Функция x(t) может быть приближенно представлена в виде суммы импульсов xk(t) длительностью , сдвинутых один относительно другого на
(24.3)
Рассматривая элементарный импульс xk(t) (на рис. 24.3 заштрихован) как разность двух неединичных скачков x(k), сдвинутых по времени на , выражение (24.3) можно представить в виде
(24.4)
где Sk = x(k) - площадь элементарного импульса xk (t).
x(t)
0 t0 k t
х(k)
x(t0)
Рис. 24.3. Представление произвольного внешнего воздействия в виде
суммы импульсов
Точность представления внешнего воздействия на цепь с помощью выражения (24.4) возрастает с уменьшением шага разбиения по времени .
Учитывая, что
внешнее воздействие на цепь при достаточно малом шаге разбиения по времени можно представить в виде линейной комбинации единичных импульсов
(24.5)
В соответствии с определением импульсной характеристики реакция цепи yk (t) на воздействие одиночного импульса xk = Sk(t - k) равна произведению площади импульса Sk на импульсную характеристику цепи g(t - k)
yk (t) = Skh(t - k).
Следовательно, реакция цепи на воздействие вида (24.5) равна сумме произведений площадей импульсов Sk на соответствующие импульсные характеристики g(t - k)
Устремляя к нулю и переходя от суммирования к интегрированию, получаем окончательно
(24.6)
Выражение (24.6) представляет собой одну из форм записи интеграла Дюамеля и его можно получить непосредственно из (24.3), используя правило интегрирования по частям и учитывая соотношения между переходной и импульсной характеристиками цепи. Выражение (24.6) можно использовать для определения реакции цепи и в том случае, когда внешнее воздействие на цепь описывается кусочно-непрерывной функцией, при этом интервал интегрирования разбивается на несколько промежутков в соответствии с интервалами непрерывности функции x(t).
Пример 24.1
Зная импульсную характеристику цепи g(t - t0), найдем реакцию цепи на внешнее воздействие, описанное в примере 23.1.
Разбиваем ось времени на четыре промежутка в соответствии с интервалами непрерывности функции x = x(t) и, используя выражение (9.84), определяем реакцию цепи на заданное воздействие на каждом из промежутков:
Как и следовало ожидать, полученные выражения для реакции рассматриваемой цепи на заданное воздействие, найденные с помощью импульсной характеристики цепи, совпадают с соответствующими выражениями, полученными с использованием переходной характеристики цепи (пример 22.1).
Функция f(t), определяемая соотношением
является сверткой функций f1(t) и f2(t). Используя известное из математики свойство свертки двух функций
из выражений (9.80) и (9.84) можно получить еще две формы записи интеграла Дюамеля
Все приведенные формы записи интеграла Дюамеля равноценны в смысле получаемых результатов, поэтому выбор того или иного выражения определяется только удобством вычислений и не носит принципиального характера.
Определение цепи с распределёнными параметрами. Одномерные цепи с распределёнными параметрами – длинные линии. Первичные (погонные) параметры линии. Однородные и неоднородные длинные линии. Уравнения электрического равновесия для длинной линии (телеграфные уравнения). Начальные и граничные условия. Вторичные параметры линии.
Цель изучения:
Цепями с распределенными параметрами называются идеализированные электрические цепи, процессы в которых описываются дифференциальными уравнениями в частных производных. Токи и напряжения в одномерной цепи с распределенными параметрами являются функциями двух переменных - времени t и координаты x.
Исторически сложилось так, что первыми в качестве одномерных цепей с распределенными параметрами стали представлять так называемые длинные цепи, т.е. линии передачи энергии от источника к нагрузке, длина которых значительно превышает длину волны передаваемых электромагнитных колебаний. Поэтому одномерные цепи с распределенными параметрами часто называют длинными линиями или линиями.
Рассматривая электромагнитные процессы, происходящие в электрических линиях, при помощи которых электрическая энергия или сигналы передаются на расстояние, необходимо иметь в виду, что магнитное и электрическое поля распределены по всей длине линии и превращение электромагнитной энергии в тепло также происходит по всей длине линии.
Если мысленно выделить какой-либо конечный участок этой линии, то токи на концах этого участка окажутся неодинаковыми вследствие наличия токов смещения, обусловленных емкостью между токоведущими проводниками, и токов утечки через изоляцию. Только при бесконечном уменьшении участков линии токи на концах их можно считать равными друг другу.
Магнитный поток, который сцепляется с контуром тока, образуемым токоведущими проводниками, определяет индуктивность цепи.
Емкость между проводами, а также емкости этих проводов по отношению к земле (или соответственно к корпусу машины, самолета, корабля и т. д.) и другим соседним проводам определяют емкость цепи.
Тепловые потери в проводах с учетом поверхностного эффекта и эффекта близости обусловливают продольное активное сопротивление цепи
Наконец, несовершенство изоляция (проводимость изоляции и диэлектрические потери, возникающие в ней определяет поперечную активную проводимость цепи.
В качестве цепи с распределенными параметрами ниже рассматривается однородная двухпроводная линия, т. е. такая линия, индуктивность, емкость, активное сопротивление и проводимость которой равномерно распределены вдоль всей длины линии. Эти электрические параметры, отнесенные к единице длины линии, называются первичными параметрами линии; они обозначаются через L0, С0, R0 и G0. Первичные параметры линии зависят от её конструкции и частоты.
В зависимости от того, какие процессы в исследуемой реальной цепи имеют преобладающий характер, а также от степени идеализации, эквивалентная схема элементарного участка цепи может не содержать тех или иных из показанных на рис. 8.1 элементов. В соответствии с этим цепи с распределенными параметрами подразделяют на цепи без потерь (LC -линии), резистивно-емкостные (RC- линии), резистивно-индуктивные (RL- линии) и резистивные (RG- линии). Наиболее интересны процессы в линиях без потерь и в линиях общего вида с малыми потерями, которые используются в основном для моделирования реальных линий передачи и колебательных систем сверхвысоких частот. С развитием микроэлектроники возрос интерес к исследованию процессов в RC -линиях, которые используют в качестве моделей различных пассивных элементов интегральных микросхем (пленочных и диффузионных резисторов, конденсаторов, соединительных проводников и перемычек), а также к исследованию резистивных линий, которые применяют для моделирования контактов к различным микроэлектронным элементам.
R
i
u
L
2
i+i
i
L
2
L0x
R0x
R
i
G0x
i
L
2
R
i
u+u
C0x
x x
Рис. 25.1. Элементарный участок цепи с равномерно распределёнными параметрами
Напряжение и ток в линии являются функциями двух независимых переменных: пространственной координаты х, определяющей место наблюдения, и времени t, определяющего момент наблюдения. Здесь предполагается, что направление координатной оси х совпадает с направлением оси линии.
Нашей задачей является нахождение пространственно-временного распределения тока в линии i(x, t) и напряжения между проводами и (х, t). Выберем положительное направление тока в линии слева направо (рис. 8.1) и условимся называть «началом» линии левый конец, а «концом» линии — правый конец. Расстояние до произвольной точки линии от начала обозначим через х, а от конца — через y.
Выделим элементарный участок линии длиной x, находящийся на расстоянии х от начала. Пользуясь первичными параметрами r, g, L и С, отнесенными к единице длины, приближённо представим рассматриваемый участок в виде последовательно включённых сопротивления R0x и индуктивности L0x и параллельно включённых активной проводимости G0x и ёмкости C0x. Обозначим:
и — напряжение между верхним и нижним проводами в точке х,
u+u — приращение напряжения на участке x,
i — ток в точке х,
i+I — приращение тока на участке x.
Уравнения для приращений напряжений и тока на элементе длины x запишутся следующим образом:
(25.1)
Ввиду наличия двух независимых переменных (x и t) уравнения записываются в частных производных.
По мере стремления x к нулю степень точности этих уравнений повышается.
Итак, линия рассматривается как цепная схема с бесконечно большим числом звеньев, электрические параметры которых бесконечно малы.
Разделив обе части уравнений (25.1) на x и перейдя к пределу x = 0, получаем дифференциальные уравнения
(25.2)
Эти уравнения известны в литературе под названием телеграфных уравнений.
Если за начало отсчета принять конец линии, т. е. ввести координату y, то уравнения примут вид:
(25.3)
Уравнения (25.2) или (25.3) могут быть решены однозначно при использовании начальных и граничных условий. Начальными условиями будут значения напряжения и тока в начале или конце линии в момент времени, принятый за нуль. Граничные условия определяются связями между напряжением и током в начале или конце линии, зависящими от заданного режима работы линии.
Решение указанных выше уравнений дает функциональные зависимости напряжения и тока в линии от переменных х (или y) и t.
Для решения дифференциальных уравнений линии воспользуемся операторным методом, который позволяет перейти от решения дифференциальных уравнений в частных производных для мгновенных значений токов i = i(x, t) и напряжений u = u(x, t) линии к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, составленных относительно операторных изображений соответствующих токов и напряжений .
Применив преобразование Лапласа к уравнениям (25.2), получаем
(25.4)
где функции u(x, 0), i(x, 0) описывают распределение напряжения и тока вдоль линии при t = 0, т.е. определяют начальные условия задачи. В связи с тем что в уравнениях (25.4) содержатся производные неизвестных функций U(x, p) и I(x, 0) только по одной переменной, частные производные этих функций по x заменены обыкновенными (полными) производными.
При нулевых начальных условиях уравнения (25.4) принимают вид
(25.5)
где Z1(p) = R0 + pL0, Y1(p) = G0+ pC0 - операторные погонное сопротивление и погонная проводимость линии.
Уравнения (25.5) путем исключения переменных могут быть сведены к одному дифференциальному уравнению, составленному относительно тока или напряжения
(25.6)
- (25.7)
операторный коэффициент распространения.
Таким образом, распределение операторных изображений токов и напряжений в однородной цепи с распределенными параметрами определяется решениями линейного дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, общее решение которого имеет вид
U(x, p) = A1(p)e- (p) x + A2(p)e (p) x, (25.8)
где A1(p), A2(p) - постоянные интегрирования, определяемые граничными условиями задачи, т.е. значениями неизвестных функций U(x, p) и I(x, p) в начале (x = 0) или в конце (x = l) линии. Подставляя (25.8) в уравнение (25.5), находим выражение для операторного изображения тока линии
I(x, p) = A1(p)e- (p) x/ZB(p) - A2(p)e (p)x/ZB(p). (25.9)
Величина ZB(p) называется операторным волновым сопротивлением линии.
(25.10)
Определяя значения постоянных интегрирования, соответствующие тем или иным граничным условиям, и подставляя их в выражения (25.8), (25.9), можно получить операторные изображения тока и напряжения в любом сечении линии при произвольном внешнем воздействии, а также найти любые частотные и временные характеристики исследуемой цепи.
Распределение тока и напряжения вдоль линии при гармоническом воздействии. Падающая и отражённая волна. Коэффициент отражения. Фазовая скорость. Решение телеграфных уравнений при гармоническом воздействии.
Цели изучения:
Распределение комплексных действующих значений напряжения и тока в однородной длинной линии, находящейся под гармоническим внешним воздействием, получается путем замены в (25.5) и (25.6) комплексной частоты p на j
(26.1)
(26.2)
Комплексный коэффициент распространения и комплексное волновое сопротивление при этом определяются как
; (26.3)
(26.4)
Представим коэффициент распространения линии в алгебраической форме, а волновое сопротивление линии и постоянные интегрирования в показательной форме и преобразуем каждое из входящих в выражения (26.1), (26.2) слагаемых в показательную форму:
= + j; (26.5)
ZB = zBej;
.
Переходя от комплексных действующих значений напряжения и тока к мгновенным, получаем
(26.6)
(26.7)
Как видно из выражений (26.6), (26.7), установившиеся значения напряжения и тока в произвольном сечении линии, находящейся под гармоническим внешним воздействием, можно представить в виде суммы двух подобных по структуре, но отличающихся знаками перед коэффициентами и составляющих:
u(x, t) = uпад(x, t) + uотр(x, t); (26.8)
i(x, t) = iпад(x, t) + iотр(x, t), (26.9)
где
При фиксированном x каждая из составляющих тока и напряжения представляет собой гармоническую функцию времени t. В связи с тем, что сумма двух гармонических функций времени, имеющих одинаковую частоту, есть гармоническая функция времени той же частоты, напряжение и ток во всех сечениях линии изменяются по гармоническому закону с частотой внешнего воздействия (рис. 8.2), амплитуда напряжения экспоненциально уменьшается с ростом x.
При увеличении t точки функции uпад(x, t), имеющие одинаковую фазу, смещаются вправо. Аналогичный вид имеют зависимости iпад(x, t). Следовательно, uпад(x, t) и iпад(x, t) представляют собой волны напряжения и тока, распространяющиеся в направлении увеличения x. Эти волны называют падающими или прямыми.
Из рассмотрения зависимостей uотр(x, t) и iотр(x, t) следует, что uотр(x, t) и iотр(x, t) представляют собой волны напряжения и тока, распространяющиеся в направлении уменьшения x, т.е. от конца линии к ее началу (рис. 8.2, б). Эти волны называются отраженными или обратными.
Амплитуды напряжения и тока падающей и отраженной волны уменьшаются в направлении распространения волн. Величина , характеризующая уменьшение амплитуды (действующего значения) падающей или отраженной волны на единицу длины линии называется коэффициентом ослабления
(26.10)
Убывание амплитуды волны связано с потерями энергии, поэтому чем больше потери в линии, тем больше коэффициент ослабления.
Мнимая часть комплексного коэффициента передачи линии, характеризующая изменение фазы прямой или обратной волн на единицу длины линии, называется коэффициентом фазы
Рис. 26.1. Распределение напряжения падающей (а) и
отраженной (б) волн вдоль линии (t3 > > t2 > t1)
Волновое сопротивление однородной линии ZB является коэффициентом пропорциональности между напряжением и током падающей или отраженной волн:
Таким образом, волновое сопротивление однородной линии можно рассматривать как сопротивление линии падающей или отраженной волн в отдельности.
Волновое сопротивление и коэффициент распространения называются вторичными, характеристическими или волновыми параметрами линии.
Расстояние между двумя точками волны, фазы которых различаются на 2, называется длиной волны. Длина волны в линии определяется значением коэффициента фазы. Действительно, изменение фазы падающей или отраженной волны на участке линии длиной
(t - x + 1) - [t - (x + ) + 1] = 2,
откуда
= 2 /. (26.11)
Скорость перемещения вдоль линии точки волны, фаза колебания в которой остается неизменной, называется фазовой скоростью волны. Для падающей волны условие постоянства фазы записывается в виде
откуда
Vф.пад = dx/dt = /. (26.12)
Аналогично фазовая скорость отраженной волны
Vф.отр = -/. (26.13)
Знак минус в выражении (8.24) указывает на то, что отраженная волна перемещается в направлении уменьшения x. Для линии без потерь фазовая скорость падающей и отраженной волн не зависит от частоты
(26.14)
Используя (10.21) и (10.22), получаем соотношения между фазовой скоростью и длиной волны в линии
= 2vф/ = vф/f = Tvф (26.15)
За время, равное периоду внешнего воздействия T, падающая и отраженная волны перемещаются на расстояние, равное длине волны .
Распределение токов и напряжений в длинной линии определяется не только волновыми параметрами, которые характеризуют собственные свойства линии и не зависят от свойств внешних по отношению к линии участков цепи, но и коэффициентами отражения линии по напряжению и току, которые характеризуют степень согласования линии с источником энергии и нагрузкой.
Коэффициентом отражения длинной линии называется отношение комплексных действующих значений напряжений или токов отраженной и падающей волн в произвольном сечении линии:
(26.16)
Если входное сопротивление равно то коэффициент отражения волны в начале линии равен
(26.17)
Аналогично, если - выходное сопротивление на конце линии или входное сопротивление приёмника, то коэффициент отражения в конце линии
(26.18)
Если сопротивление приёмника равно волновому сопротивлению линии (Z2 = Zв), то коэффициент отражения равен 0. При этом в линии существует только прямая волна, обратной волны нет.
Исследуем закон распределения действующих значений напряжения и тока вдоль линии. Постоянные интегрирования А1 и А2, входящие в (26.1) и (26.2), находятся в зависимости от напряжения и тока в начале линии.
При х = 0
Откуда
(26.19)
Подстановка выражений для А1 и А2 в (8.11) и (8.12) даёт следующие результаты
(26.20)
Если заданы граничные условия на конце линии, то удобнее отсчитывать расстояние от конца, пользуясь координатой у. В этом случае для А1 и А2 получаем следующие выражения
(26.21)
(26.22)
Выражения (26.20), (26.22) позволяют рассмотреть распределение напряжение и токов в однородной длинной линии при гармоническом воздействии.
Определение длинной линии без потерь. Режимы работы: режим бегущей волны, ражим стоячей волны, режим смешанных волн. Распределение амплитуд токов и напряжений вдоль линии в различных режимах работы.
Цели изучения:
Для линии без потерь выполняются условия:
R0 = G0 = 0.
Коэффициент ослабления равен нулю, а коэффициент распространения является чисто мнимым:
Амплитуды падающей и отраженной волн напряжения и тока в не зависят от координаты x и не изменяются вдоль линии
Коэффициент фазы прямо пропорционален частоте
(27.1)
Волновое сопротивление линии без потерь имеет чисто резистивный характер
(27.2)
Длина волны в линии обратно пропорциональна частоте
Исследуем основные режимы работы длинной линии без потерь.
Режимом бегущих волн называется режим работы линии, при котором в ней распространяется только падающая волна напряжения и тока, т.е. амплитуды напряжения и тока отраженной волны во всех сечениях линии равны нулю. очевидно, что в режиме бегущих волн коэффициент отражения линии Котр = 0. Из выражения (8.26) следует, что коэффициент отражения может быть равен нулю при сопротивлении нагрузки линии равном волновому сопротивлению ZB (такая нагрузка называется согласованной).
Полагая в (8.35) равной нулю отражённую волны, определит мгновенные значения тока и напряжения вдоль линии
(27.4)
В режиме бегущих волн амплитуды напряжения и тока в линии без потерь сохраняют одно и то же значение во всех сечениях линии (рис. 27.1).
Начальные фазы напряжения u1 - x и тока i1 - x в режиме бегущих волн изменяются вдоль линии по линейному закону, причем сдвиг фаз между напряжением и током во всех сечениях линии имеет одно и то же значение u1 - i1.
Входное сопротивление линии в режиме бегущих волн равно волновому сопротивлению линии и не зависит от ее длины:
U1
u(x)
x
0
Рис. 27.1. Распределение амплитуд напряжения вдоль линии в режиме
бегущих волн
У линии без потерь волновое сопротивление имеет чисто резистивный характер, поэтому в режиме бегущих волн сдвиг фаз между напряжением и током во всех сечениях линии без потерь равен нулю.
Мгновенная мощность, потребляемая участком линии без потерь, расположенным правее произвольного сечения x (см. рис. 8.1), равна произведению мгновенных значений напряжения и тока в сечении x:
p(x, t) = u(x, t)i(x, t)= 2U1 I1 cos2(t - x - u1) (27.5)
Мгновенная мощность, потребляемая произвольным участком линии без потерь в режиме бегущих волн, не может быть отрицательной, следовательно, в режиме бегущих волн передача энергии в линии производится только в одном направлении - от источника энергии к нагрузке. Обмен энергией между источником и нагрузкой в режиме бегущих волн отсутствует и вся энергия, передаваемая падающей волной, потребляется нагрузкой.
Если сопротивление нагрузки рассматриваемой линии не равно волновому сопротивлению, то только часть энергии, передаваемой падающей волной к концу линии, потребляется нагрузкой. Оставшаяся часть энергии отражается от нагрузки и в виде отраженной волны возвращается к источнику. Если модуль коэффициента отражения линии равен 1, т.е. амплитуды отраженной и падающей волн во всех сечениях линии одинаковы, то в линии устанавливается специфический режим называемый режимом стоячих волн. Согласно выражению (26.16) модуль коэффициента отражения Котр = 1 только в трех случаях: когда сопротивление нагрузки равно либо нулю, либо бесконечности, либо имеет реактивный характер. Следовательно, режим стоячих волн может установиться только в линии без потерь при коротком замыкании или холостом ходе на выходе, а также если сопротивление нагрузки на выходе такой линии имеет чисто реактивный характер.
При коротком замыкании на выходе линии коэффициент отражения в конце линии Котр2 = - 1. В этом случае напряжения падающей и отраженной волн в конце линии имеют одинаковые амплитуды, но сдвинуты по фазе на 180, поэтому мгновенное значение напряжения на выходе тождественно равно нулю. Подставляя в выражения (27.3) Z2 =0, находим комплексные действующие значения напряжения и тока линии:
(27.6)
(27.7)
Полагая, что начальная фаза тока на выходе линии равна нулю, и переходя от комплексных действующих значений напряжений и токов к мгновенным, устанавливаем, что при коротком замыкании на выходе линии амплитуды напряжения и тока изменяются вдоль линии по периодическому закону (рис. 27.2)
(27.8)
(27.9)
Максимальные значения амплитуды напряжения и тока в некоторых точках , минимальные равны нулю.
Точки, в которых мгновенные значения напряжения (тока) равны нулю, называются узлами напряжения (тока).
Точки, в которых амплитуда напряжения (тока) принимает максимальное значение, называются пучностями напряжения (тока). Как видно из рис. 27.2, узлы напряжения соответствуют пучностям тока и, наоборот, узлы тока соответствуют пучностям напряжения.
у 5/4
Um(x)
Um max
у 5/4
Im(x)
Im max
Рис. 27.2. Распределение амплитуд напряжения и тока вдоль линии в режиме короткого замыкания
Узлы напряжения (тока) и пучности напряжения (тока) чередуются с интервалом /4, а расстояние между соседними узлами (или пучностями) равно /2. Пучности напряжения (тока) возникают в тех сечениях линии, в которых напряжения (токи) падающей и отраженной волн совпадают по фазе и, следовательно, суммируются, а узлы располагаются в сечениях, где напряжения (токи) падающей и отраженной волн находятся в противофазе и, следовательно, вычитаются.
Мгновенная мощность, потребляемая произвольным участком линии, изменяется во времени по гармоническому закону, поэтому активная мощность, потребляемая любым участком линии, равна нулю
. (27.10)
Таким образом, в режиме стоячих волн энергия вдоль линии не передается, и на каждом участке линии происходит только обмен энергией между электрическим и магнитным полями.
В режиме холостого хода распределение амплитуд напряжения (тока) вдоль линии определяется аналогично предыдущему случаю (рис. 27.3)
у 5/4
Um(x)
Um max
у 5/4
Im(x)
Im max
Рис. 27.3. Распределение амплитуд напряжения и тока вдоль линии в режиме холостого хода
3) Линия с реактивной нагрузкой
Рассмотрим линию без потерь, сопротивление нагрузки на выходе которой имеет чисто реактивный характер:
Zн = jxн. (27.11)
Подставляя (27.11) в (26.18), получаем
(27.12)
из которого следует, что модуль коэффициента отражения на выходе линии равен 1, а аргумент
Используя выражения (8.35), (8.44), найдем комплексные действующие значения напряжения и тока линии:
(27.13)
где = arctg(RB/xн).
Из выражения (27.13) видно, что амплитуды напряжения и тока изменяются вдоль линии по периодическому закону:
Координаты узлов напряжения (пучностей тока)
где k = 0, 1, 2, 3, ...,
а координаты пучностей напряжения (узлов тока)
где n = 0, 1, 2, 3, ...
Распределение амплитуд напряжения и тока при чисто реактивной нагрузке в целом имеет такой же характер, как и в режимах холостого хода или короткого замыкания на выходе (рис. 27.4), причем все узлы и все пучности смещаются на расстояние так, что в конце линии не оказывается ни узла, ни пучности тока или напряжения.
Um(x)
Um max
Um(x)
Um max
у l1+ l1+ l1+l1
у l1+ l1+ l1+l1
а
б
Рис. 27.4. Распределение амплитуд напряжения вдоль линии с ёмкостной и индуктивной нагрузкой
27.3. Режим смешанных волн
Режимы бегущих и стоячих волн это предельные случаи, в одном из которых амплитуда отраженной волны во всех сечениях линии равна нулю, а в другом - амплитуды падающей и отраженной волн во всех сечениях линии одинаковы. В остальных случаях в линии имеет место так называемый режим смешанных волн который можно рассматривать как наложение режимов бегущих и стоячих волн. В режиме смешанных волн энергия, передаваемая падающей волной к концу линии, частично поглощается нагрузкой, а частично отражается от нее, поэтому амплитуда отраженной волны больше нуля, но меньше амплитуды падающей волны.
Как и в режиме стоячих волн, распределение амплитуд напряжений и тока в режиме смешанных волн (рис. 27.5) имеет четко выраженные максимумы и минимумы, повторяющиеся через /2. Однако амплитуды тока и напряжения в минимумах не равны нулю. Чем меньшая часть энергии отражается от нагрузки, т.е. чем выше степень согласования линии с нагрузкой, тем в меньшей степени выражены максимумы и минимумы напряжения и тока, поэтому соотношения между минимальными и максимальными значениями амплитуд напряжения и тока можно использовать для оценки степени согласования линии с нагрузкой. Величина, равная отношению минимального и максимального значений амплитуды напряжения или тока, называется коэффициентом бегущей волны
. (27.14)
Коэффициент бегущей волны может изменяться в пределах от 0 до 1, причем чем больше Кб, тем ближе режим работы линии к режиму бегущих волн.
у 5/4
Um(x)
Um max
Um min
у 5/4
Im(x)
Im max
Im min
Рис. 27.5. Распределение амплитуд напряжения и тока вдоль линии без потерь в режиме смешанных волн
Cвязь между коэффициентом бегущей волны и коэффициентом отражения в линии без потерь
Kбв = (1 - Котр2)/(1 + Котр2). (27.15)
В линии с потерями модуль коэффициента отражения изменяется вдоль линии, достигая наибольшего значения в точке отражения (при x = l). В связи с этим в линии с потерями значение коэффициента бегущей волны изменяется вдоль линии, становясь в конце нее минимальным.
Комплексное входное сопротивление отрезка длинной линии. Применение отрезков длинной линии в режимах холостого хода или короткого замыкания в качестве индуктивности, емкости, последовательного или параллельного колебательного контура.
Цели изучения:
анализ зависимости входного сопротивления длинной линии в режимах холостого хода или короткого замыкания от длины линии.
Найдём комплексное входное сопротивление Z отрезка однородной длинной линии без потерь, нагруженного со стороны выхода произвольным сопротивлением Z2. Согласно (8.35)
(28.1)
Из выражения (28.1) непосредственно следует, что при согласованной нагрузке входное сопротивление линии равно волновому и не зависит от длины линии. При сопротивлении нагрузки не равном волновому входное сопротивление линии зависит от её длины, частоты внешнего воздействия и соотношения между Z2 и RВ.
Рассмотрим случаи, когда сопротивление нагрузки линии равно нулю (режим короткого замыкания) или равно бесконечности (режим холостого хода).
При Z2 = 0 на основании (28.1) находим сопротивление отрезка линии Zк
Zк = jRB tg l = jRB tg l/ = jxк (28.2)
Вещественная часть комплексного входного сопротивления отрезка длинной линии без потерь в режиме короткого замыкания на выходе равна нулю, а мнимая составляющая является периодической функцией и может принимать любые значения (рис. 28.1, а). При 0 < l < /4 входное сопротивление линии имеет индуктивный характер. При l = /4 оно бесконечно велико, характеристика подобна сопротивлению параллельного колебательного контура. При /4 < l < /2 входное сопротивление имеет ёмкостной характер. При l = /2 входное сопротивление подобно соответствующей характеристике последовательного колебательного контура. Увеличение длины линии на величину, кратную /2 не изменяет входного сопротивления.
В режиме холостого хода комплексное входное сопротивление отрезка длинной линии Zхх
Zхх = - jRB сtg l = - jRB сtg l/ = jxк (28.3)
Из сравнения (28.2) и (28.3), а также рис. 28.1, а, б, видно, что характеристика разомкнутого на конце отрезка линии длиной l совпадает с характеристикой короткозамкнутого отрезка линии длиной l+ /4.
Рассмотренные свойства короткозамкнутых и разомкнутых отрезков длинных линий позволяют использовать их в качестве колебательных систем в диапазоне сверхвысоких частот, когда добротность колебательных контуров, составленных из дискретных элементов, становится низкой. В отличие от колебательных систем с сосредоточенными параметрами, число резонансных частот в колебательных системах с распределёнными параметрами бесконечно велико.
у
хк
у
ххх
а
б
Рис. 8.9. Зависимость мнимой составляющей комплексного входного сопротивления линии без потерь от расстояния от конца линии. а – режим короткого замыкания, б – режим холостого хода
Отрезки длинных линий длиной l < /4 используются также в качестве реактивных шлейфов, то есть устройств, подключаемых параллельно какому-либо участку цепи для компенсации реактивной составляющей его проводимости. Изменяя длину отрезка, всегда можно добиться того, чтобы мнимая составляющая входной проводимости шлейфа была равна по абсолютному значению и противоположна по знаку мнимой составляющей входной проводимости параллельно включённого участка цепи. При этом суммарное входное сопротивление участка цепи вместе с шлейфом имеет резистивный характер.
В связи с тем, что сопротивление короткозамкнутого отрезка длиной l = /4 бесконечно велико, его можно использовать в качестве изолятора для подвески или крепления основной линии передачи.
В связи с тем, что комплексное сопротивление отрезка длиной линии в общем случае не равно сопротивлению нагрузки, отрезки линий обладают способностью трансформировать сопротивления. Например, при l = /4, согласно (28.1) находим, что
Z = RB2/Z2
Входное сопротивление пропорционально проводимости нагрузки и может изменяться в широких пределах при изменении волнового сопротивления линии. Следовательно, отрезок линии длиной /4 (четвертьволновый трансформатор) может преобразовывать большое сопротивления в малое и наоборот. Трансформирующие свойства отрезков длинных линий широко используются на практике для построения устройств согласования реальных линий передачи с нагрузкой. В результате согласования в линии устанавливается режим работы, близкий к режиму бегущих волн, при этом практически вся передаваемая линией энергия потребляется нагрузкой.
Электрический фильтр – линейный четырёхполюсник, предназначенный для той или иной обработки сигнала. Часто под электрическим фильтром понимают линейный четырёхполюсник, предназначенный для выделения из состава сложного электрического колебания частотных составляющих, расположенных в заданной полосе частот. При этом частотные составляющие за пределами этой полосы подавляются (задерживаются). Указанные частотные полосы называют соответственно полоса пропускания и полоса задерживания. По взаимному расположению полос пропускания и задерживания различают фильтры нижних частот (ФНЧ), верхних частот (ФВЧ), полосовые (ПФ) и т.д. Амплитудно-частотные характеристики идеальных фильтров перечисленных типов приведены на рис. 29.1.
K
K
K
Рис. 29.1. Амплитудно-частотные характеристики идеальных ФНЧ, ФВЧ, ПФ.
Требования к амплитудно-частотной характеристике фильтра формулируются обычно в виде требований к частотной зависимости ослабления (ослабление – величина, обратная коэффициенту передачи по напряжению, выраженная в дБ). Ослабление фильтра в его полосе пропускания не должно превышать некоторой заданной величины a, а в пределах полосы задерживания не должно принимать значений, меньших, чем это допускается техническими требованиями. Между полосой пропускания и полосой задерживания у реальных фильтров существует полоса перехода, в которой ослабление не нормируется.
По схемным решениям электрические фильтры можно разделить на пассивные и активные. Пассивные фильтры чаще всего состоят из реактивных элементов (LC-фильтры). Активные фильтры строятся на основе активного элемента, например транзистора или операционного усилителя, нужный тип фильтра обеспечивается введением различных цепей обратной связи.
Ранее использовались методы расчёта LC-фильтров, основанные на рассмотрении характеристических параметров фильтра как реактивного четырёхполюсника. Современные методы синтеза основываются на отыскании и реализации оптимальных решений соответствующих аппроксимационных задач. Поэтому число используемых разновидностей характеристик фильтров ограничено (фильтры Баттерворта, Чебышева, Кауэра). Пассивные фильтры также могут не содержать индуктивностей (RC-фильтры).
Для реализации передаточных функций полосовых фильтров с узкой шириной полосы пропускания (до десятых и сотых долей процента) применяют устройства, в основе работы которых лежит пьезоэффект – кварцевые фильтры.
Основным достоинством пассивных фильтров является отсутствие источника питания. Однако в ряде случаев их трудно настраивать и трудно обеспечить согласование фильтра с нагрузкой.
Активные фильтры обычно не содержат катушек индуктивности. Стремление исключить катушки из цепей вызвано рядом причин: катушки имеют большие габариты и массу; в катушках значительны потери; в катушках с сердечником проявляются нелинейные свойства.
На рис. 29.2 приведена схема активного фильтра нижних частот, выполненного на операционном усилителе. Коэффициент передачи такого фильтра на постоянном напряжении и частота среза определяются по формулам:
,
.
R1
R2
C2
AR1
Рис. 29.2. Схема активного ФНЧ с одноконтурной обратной связью первого порядка.
На рис. 29.3 приведена схема активного фильтра верхних частот, выполненного на операционном усилителе. Коэффициент передачи такого фильтра на постоянном напряжении и частота среза определяются по формулам:
.
С1
R2
C2
AR1
Рис. 29.3. Схема ФВЧ с одноконтурной обратной связью первого порядка.
На рис. 29.4 приведена схема активного фильтра полосового фильтра, выполненного на операционном усилителе. Максимальное усиление, частота максимального усиления и добротность этого фильтра равны
.
,
.
R1 С1
R2 R3
C2
AR1
C3
Рис. 10.4. Схема ПФ с одноконтурной обратной связью
Активные фильтры обеспечивают более качественное разделение полос пропускания и задерживания. В них сравнительно просто можно регулировать неравномерности частотной характеристики, не предъявляется жёстких требований к согласованию нагрузки с фильтром. Это обусловило широкое применение активных фильтров.
Учёт нелинейности при анализе электрических цепей. Вольтамперные характеристики нелинейных безынерционных элементов. Способы аппроксимации вольтамперных характеристик: кусочно-линейная, полиномиальная, показательная. Определение отклика нелинейного элемента. Особенности уравнений электрического равновесия цепей, содержащих нелинейные безинерционные элементы.
Цели изучения
Явления, имеющие место в нелинейных элементах, положены в основу функционирования большинства радиоэлектронных устройств, причем важнейшие для радиоэлектроники процессы генерирования колебаний, модуляции, детектирования, выпрямления, ограничения, умножения и преобразования частоты и многие другие в принципе не могут быть реализованы с помощью линейных цепей с постоянными параметрами.
Характеристики большинства реальных элементов в той или иной степени нелинейны. В одних случаях нелинейность характеристик невелика и при построении упрощенной модели ею можно пренебречь, в других - нелинейностью характеристик реальных элементов пренебречь нельзя и при построении упрощенных моделей таких цепей приходится использовать идеализированные элементы с нелинейными характеристиками. На практике нелинейностью характеристик реального элемента можно пренебречь, если характеристика элемента практически линейна в рабочем диапазоне токов и напряжений, а функционирование устройства не построено на использовании нелинейности соответствующей характеристики. Окончательное решение о том, является ли нелинейность несущественной, не может быть произведено в рамках линейного приближения, а требует решения задачи с учетом нелинейности характеристик.
Рассмотрим основные особенности и методы расчета цепей, содержащих нелинейные резистивные элементы.
При анализе будем пренебрегать эффектами, связанными с запасанием энергии электрического и магнитного полей, имеющими место во всех реальных элементах, и считать, что свойства нелинейных резистивных элементов полностью определяются их статическими вольтамперными характеристиками (ВАХ). Для каждого реального элемента зависимость между мгновенными значениями токов и напряжений будет совпадать с ВАХ только в том случае, если частота изменения токов и напряжений на внешних зажимах элемента не превышает некоторого предельного значения. В этом случае нелинейный резистивный элемент можно рассматривать как безынерционнный. Безынерционность нелинейного элемента означает мгновенное установление выходной реакции вслед за изменением внешнего входного воздействия.
Физические явления, обусловливающие нелинейную (непропорциональную) связь между напряжением и током резистивных элементов, весьма разнообразны. Этим определяется и существенное различие вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. С точки зрения особенностей расчета режимов в цепях с такими элементами можно привести следующую классификацию нелинейных резистивных элементов и их характеристик:
1) элементы с монотонными характеристиками
Режим работы нелинейной цепи не изменится, если выводы нелинейного резистивного элемента с симметричной характеристикой поменять местами.
2) элементы с немонотонными характеристиками
u
u
i
i
i
i
u
u
u
а) б) в) г)
Рис. 30.1. Вольт-амперные характеристики нелинейных резисторов.
У элементов с N-образной вольт-амперной характеристикой в некотором интервале одному и тому же току отвечают три различных значения напряжения, т. е. зависимость u(i) не однозначна. Поскольку при этом зависимость i(u) имеет однозначный характер, то такие элементы и характеристики называются управляемыми напряжением. Элементы с S-образной характеристикой, наоборот, называются управляемыми током—они имеют однозначную зависимость u(i), а обратная функция i(u) неоднозначна.
В зависимости от числа внешних выводов различают:
Если вид вольт-амперных характеристик зависит от некоторого физического параметра другого класса, например, температуры, освещенности, тока или напряжения, то резистивный элемент относится к классу управляемых элементов. Они подразделяются на
Вольт-амперные характеристики управляемых элементов изображаются семейством кривых, каждая из которых отвечает постоянному значению управляющего параметра.
Различают статические и дифференциальные параметры нелинейных элементов.
Статическое сопротивление: Rст = Rст (i) = u/i,
дифференциальное сопротивление: Rд = Rд (i)= du/di.
(30.1)
Иногда удобнее пользоваться дифференциальной крутизной вольт-амперной характеристики:
Sд=1/ Rд,
которая является тангенсом угла наклона касательной характеристики в данной рабочей точке.
Подчеркнем, что, вводя понятие дифференциального сопротивления или дифференциальной крутизны, мы, по сути, дела, линеаризуем реальную ВАХ, что справедливо лишь для малых приращений сигнала относительно рабочей точки
При различных токах, протекающих через нелинейный элемент (при различном приложенном напряжении) параметры элемента будут принимать различные значения.
Падающему участку немонотонных характеристик (см. рис. 30.1) отвечают отрицательные значения дифференциальных параметров (Rд< 0). Статические сопротивления и проводимости нелинейных элементов в общем случае не равны соответствующим дифференциальным параметрам. У линейного элемента оба параметра совпадают.
На принципиальных электрических схемах реальные нелинейные резистивные элементы изображают с помощью установленных стандартами ЕСКД условных графических обозначений. При построении эквивалентных схем цепей нелинейные резистивные элементы изображают в виде двухполюсников или многополюсников (см. рис. 30.2), либо представляют схемами замещения, содержащими наряду с другими элементами идеализированные нелинейные сопротивления. Для неэлектрически управляемых сопротивлений рядом с «полочкой» на условном графическом обозначении сопротивления указывают буквенное обозначение соответствующей управляющей величины (рис. 30.2, г).
Рис. 30.2. Условные графические обозначения нелинейных сопротивлений. а) — с N-образной характеристикой; б) — с S-образной характеристикой; в) — с монотонной характеристикой; г) — неэлектрически управляемое
Как правило, вольтамперные характеристики нелинейных элементов получают экспериментально; гораздо реже удается найти их из теоретического анализа. Для изучения процессов в радиотехнических цепях, содержащих такие элементы, необходимо прежде всего отобразить вольтамперные характеристики в математической форме, пригодной для расчетов. Простым и весьма точным способом может явиться представление характеристики в виде таблицы. Этот способ особенно удобен для анализа процессов в цепях с помощью ЭВМ; аргумент и функция образуют в запоминающем устройстве двумерный массив чисел.
Если исследование должно проводиться не численными, а аналитическими методами, то требуется подобрать такую аппроксимирующую функцию, которая, будучи довольно простой, отражала бы все важнейшие особенности экспериментально снятой характеристики с достаточной степенью точности.
В радиотехнике чаще всего используют следующие способы аппроксимации вольтамперных характеристик нелинейных двухполюсников:
Кусочно-линейная аппроксимация
Способ основан на приближенной замене реальной характеристики отрезками прямых линий с различными наклонами. В качестве примера на рис. 10.3 показана входная характеристика транзистора, аппроксимированная двумя отрезками прямых.
Аппроксимация определяется двумя параметрами — напряжением начала характеристики Uн и крутизной S, имеющей размерность проводимости. Математическая форма аппроксимированной ВАХ:
(30.2)
0, u<Uн,
i(u) =
s(u-Uн), u>Uн.
0
u, В
i, А
Uн
Рис. 30.3. Входная характеристика транзистора КТ306 — зависимость тока базы от напряжения промежутка база - эмиттер
Напряжение начала входных характеристик биполярных транзисторов Uн = 0.2 — 0.8 В; крутизна характеристики тока базы iб(Uбэ), как правило, около 10 мА/В. Крутизна характеристики тока коллектора в зависимости от напряжения база — эмиттер iк(Uбэ) нескольких ампер на вольт (сименсов), так как равна произведению крутизны характеристики iк(Uбэ) на h21Э - коэффициент усиления тока базы, h21Э = 100 – 200.
Такую аппроксимацию обычно применяют при расчёте процессов в нелинейных элементах в случае больших амплитуд внешних воздействий.
Степенная аппроксимация
Способ основан на разложении нелинейной вольтамперной характеристики i(u) в ряд Тейлора, сходящийся в окрестности рабочей точки U0:
(30.3)
i(u)=a0+a1(u-U0)+a2(u-U0)+…
Здесь коэффициенты а0, а1, a2,... — некоторые числа. Количество членов разложения зависит от заданной точности расчетов.
Способ нахождения коэффициентов степеней аппроксимации иллюстрируется следующим простым примером.
Пример 30.1. Экспериментально снятая входная характеристика iб=f(Uбэ) транзистора КТЗО1 задана таблицей 30.1. Найти коэффициенты а0, at и а2, определяющие аппроксимацию вида Iб=a0+a1(uбэ-U0)+a2(u,’-U0)2 в окрестности рабочей точки U0 = 0 7 В.
Таблица 30.1.
Вольт-амперная характеристика транзистора
|
uбэ, В |
0,5 |
0,7 |
0,9 |
|
iб, мА |
0,05 |
0,15 |
0,5 |
Выбираем в качестве узлов аппроксимации точки 0.5, 0.7 и 0.9 В. Как видно из построения, для нахождения неизвестных коэффициентов следует решить систему уравнений:
а0 - 0.2a1 + 0.04а2 = 0.05,
а0 = 0.15,
а0 + 0.2a1 + 0.04а2 = 0.5,
откуда а0 = 0.15 мА, а, = 1.125 мА/В, аг = 3.125 мА/В2.
Следует обратить внимание на выбор узлов аппроксимации: крайние узлы должны располагаться на краях рабочего участка.
Степенную аппроксимацию используют при анализе работы нелинейных элементов, на которые подаются относительно малые внешние воздействия.
Степенную аппроксимацию широко используют при
анализе работы нели-нейных устройств, на ко-торые подаются относительно малые внешние воздействия
Показательная аппроксимация
Из теории работы р-n переходов следует, что вольт-амперная характеристика полупроводникового диода в области и > 0 описывается выражением
(30.4)
i(u) = Iо[ехр(u/uТ)-1]
Здесь Iо - обратный ток насыщения, величина порядка нескольких пикоампер, uТ - температурный потенциал, равный 25 мВ для кремниевых приборов при стандартной температуре 300 К.
Показательную зависимость часто используют при изучении нелинейных явлений в радиотехнических цепях, содержащих полупроводниковые устройства. Аппроксимация вполне точна при значениях тока, не превышающих нескольких миллиампер. При больших токах экспоненциальная характеристика плавно переходит в прямую линию из-за влияния объемного сопротивления полупроводникового материала.
Рассмотрим явления в простейшей цепи, образованной последовательным соединением источника гармонического сигнала uс (t) = Umcosωt, источника постоянного напряжения смещения U0 и безынерционного нелинейного элемента. Найдем форму тока в цепи графическим методом, построения приведены на рис. 30.4. Формы тока и напряжения оказываются различными: одинаковым приращениям напряжения отвечают неодинаковые приращения тока, поскольку ∆i = Sд (и) ∆u, а дифференциальная крутизна вольт-амперной характеристики на разных участках также различна.
t
i
i
t
U0
0
0
u
Um
Рис. 30.4. Графическое построение кривой, отображающей изменение тока в безынерционной нелинейной цепи
При анализе считается известной нелинейная функция i (и) = (uc, U0). Постоянное напряжение смещения является параметром данной функции. К входным зажимам нелинейного двухполюсника приложено напряжение uс (t) = Um cos (ωt + φ).
Обозначим ξ = ωt + φ. Функция i(ξ) = i(Umcos ξ ,U0) оказывается периодической относительно аргумента ξ с периодом 2π, поэтому она может быть представлена рядом Фурье:
(30.5)
∞
i(ξ) = ∑cnejnt
n=-∞
с коэффициентами
(30.6)
Поскольку функция i(ξ) четная, ряд Фурье будет содержать только косинусоидальные слагаемые (гармоники):
(30.7)
∞
i(ξ) =I0+∑Incos nξ.
n=1
Амплитудные коэффициенты гармоник выражаются следующим образом:
(30.8)
(30.9)
Итак,
(30.10)
Следовательно, ток в нелинейном безынерционном элементе при гармоническом внешнем воздействии содержит постоянную составляющую I0 и бесконечную последовательность гармоник с амплитудами In, п = 1, 2,… . Амплитуды гармоник зависят параметров Um и U0, а также от вида аппроксимирующей функции.
Форма тока в цепи при кусочно-линейной аппроксимации характеристики нелинейного элемента
Пусть характеристика нелинейного элемента аппроксимирована кусочно-линейной зависимостью
0, u<Uн
i(u) =
S(u-U0), u≥Uн
К элементу приложено напряжение
и (t)=U0 + Um cos ωt.
i
i
0
0
2σ
2π
wt
U0
Up
wt
i
i
2
2
0
0
t
U0 Uн u
t
Рис. 30.5. Форма тока в цепи, содержащей нелинейный элемент с кусочно-линейной характеристикой.
График тока имеет вид косинусоидальных импульсов с отсечкой. Угол отсечки импульсов тока определяется из равенства U0 + Um cos = Uн:
(30.11)
Постоянную составляющую и амплитуды гармоник тока вычисляют по формулам:
(30.12)
I0=SUmγ0(),
Iн=SUmγn(), n = 1,2,... ,
где γn() - функции Берга.
n = 1, 2, 3, ... .
Графики первых функций Берга приведены на рис. 30.6.
γ2
γ1
γ0
45 90 135 180 , град
1,0
0,75
0,5
0,25
0
1
0
2
Рис. 30.6. Графики первых функций Берга.
Форма тока в цепи при степенной аппроксимации характеристики нелинейного элемента.
Пусть в окрестности рабочей точки U0 вольтамперная характеристика нелинейного элемента представлена в виде
(30.13)
i = a0 + a1 (u – U0) + а2(и- U0)2 + ...,
приложенное к нелинейному двухполюснику напряжение
u(t) = U0 + Umcos( ωt )
Воспользовавшись формулами
cos2 x = 1/2 (1 + cos 2x),
cos3 х = 1/4 (3 cos x + cos Зх),
cos4 x = 1/8(3 + 4 cos 2x + cos 4x),
cos5 x = 1/16 (10 cos x + 5 cos 3x + cos 5x),...
путем подстановки получаем :
i(t) = (a0 + 1/2a2U2m + 3/8a4U4m + …) +
+(at Um + 3/4a3U3m + 5/gas I/* + ...) cos ωt +
+(1/2a2U2m + 1/8a4U4m + ...) cos 2 ωt +
+(1/4a3U3m + 5/16a5U5m + ...) cos 3 ωt + ...
Отсюда вытекают следующие соотношения для расчета постоянной составляющей тока и амплитуд гармоник:
I0= a0 + 1/2a2U2m + 3/8a4U4m + … ,
I1= at Um + 3/4a3U3m + 5/gas I/* + ... ,
I2= 1/2a2U2m + 1/8a4U4m + … ,... .
Общее выражение при произвольном номере гармоники п:
(30.14)
Постоянная составляющая и амплитуды четных гармоник определяются коэффициентами степенного ряда с четными номерами. Амплитуды нечетных гармоник зависят лишь от нечетных коэффициентов.
Как и в случае линейных электрических цепей, задача анализа нелинейной резистивной цепи заключается в общем случае в определении токов и напряжений всех или части ветвей при заданных параметрах независимых источников энергии. Если нелинейная цепь включает в себя р ветвей, из которых рит ветвей содержат независимые источники тока, а рин состоят только из независимых источников напряжения, то для определения 2р - Pит – рин неизвестных токов и напряжений можно воспользоваться р уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа, и р — рит— рив уравнениями ветвей.
В связи с тем что токи ветвей дерева любой электрической цепи однозначно выражаются через токи главных ветвей, а напряжения главных ветвей — через напряжения ветвей дерева, при выборе дерева графа нелинейной резистивной электрической цепи в качестве ветвей дерева необходимо использовать ветви цепи, содержащие нелинейные элементы с S-образной характеристикой, и ветви с независимыми источниками напряжения, а в качестве главных ветвей следует выбирать ветви с источниками тока и ветви, содержащие нелинейные резистивные элементы с N-образной характеристикой. Нелинейные резистивные элементы с монотонной ВАХ могут входить как в состав ветвей дерева, так и в состав главных ветвей. Очевидно, что все уравнения основной системы уравнений электрического равновесия нелинейной резистивной цепи будут алгебраическими, причем, по крайнем мере, одно из компонентных уравнений будет нелинейным.