Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
9. Каждое число n имеет, по крайней мере два положительных делителя: 1 и n. Существуют натуральные числа, которые не имеют положительных делителей, отличных от 1 и самого себя.
ОПР. Натуральное число р. наз-ся простым, р>1 и р не имеет положительных делителей, отличных от 1 и р.(2,3,5,7,11,13,17,19,21)
ОПР. Натуральное число n >1 наз-ся составным, если n имеет, по крайней мере один положительный делитель, отличный от 1 и n.
Согласно этому опред., если n сост. число, то у n имеется делитель а, такой, что n=ab, где b=n/a тоже такое, что 1<b<n.
Все четные числа, кроме 2, составные, так как при n=2k,k>1 будет, что 2 делитель n и 1<2<n.
Согласно данным опр. множество натуральных чисел разбивается на 3 подмножества: простые числа, составные, число 1, которое не причисляется ни к простым, ни к составным.
Теорема Эвклида. Множество простых чисел бесконечно.
Док-во: предположим, что множество простых чисел конечно. Пусть р=
{ р1,…,рк }-все простые числа. Рассмотрим следующее натуральное число: n= р1,…,рк +1. n не может быть простым т. к. n>р, отсюда n-составное и делиться нацело на рi (по крайней мере на одно простое), отсюда 1 делиться на рi, а это невозможно. ч.т.д.
Св-ва прост. чисел:
1 если р делится нацело на d, то d=1 или d=p.
2 Для любых р1, р2 , если р1 дел. нацело на р2 , то р1 = р2 .
3 Для любых n не равных единице n делится нацело х. б. на одно простое число
4 Для любых n принадлежащих N, для любого простого р: n делится нацело на р или (n, р)=1-взаимопросты.
5 ав делится нацело на р, то а делится нацело на р или в делится нацело на р.
Основная теорема арифметики.
Любое n принадлежащие N, n не равное единице можно разложить в произведение простых множителей, причем это разложение однозначно с точностью до порядка сомножителей.
Док-во:1 существ. применим индукцию по числу n:
1) n=2 можно разложить 2=2∙1
2) Пусть 1<к<n-верно
3) док-ем, что для n верно. По св-ву 3 число n имеет по крайней мере один делитель.
1 случай: если само n является простым, то разложение состоит из одного числа
2 случай: если n-составное n=p∙n1, 1<n1<n, где по индуктивному предположению n1 разлагается
на произведение простых чисел. Тогда очевидно и n разлагается на произведение простых чисел. чтд.
2 единств. Пусть n=р1∙р2∙…∙рк
n=q1∙ q2∙…∙ qs.
Док-ем, что n=к. pi=qi при подходящей нумерации. р1∙р2∙…∙рк = q1∙ q2∙…∙ qs отсюда следует, что р1∙р2∙…∙рк делится нацело на q1, тогда по св-ву 5 по крайней мере одно из чисел. р1,р2,…,рк делится нацело на q1. Пусть р1 делится нацело на q1 отсюда следует, что р1 =q1 .Т.о. получим р2∙р3∙…∙рк = q2∙ q3∙…∙ qs. Теперь применяя индукцию по числу n, получим, что мы имеем два канонических разложения для некоторого n1<n. По индуктивному предположению n1 должно разлагаться в произведение простых чисел, причем единственным образом, отсюда следует, что к-1=s-1 отсюда следует, что k=s и р2 = q2 , р3=q3, рк=qk. т. е. соответствующие множители равны отсюда следует, что pi=qi , для любых i=1,…,k/ чтд.
Замечание. Сгруппировав в разложении одинаковые простые числа и расположив их в порядке возрастания, причем (1), где р1<р2<…<рк, . Разложение (1) каноническое разложение, запись вида (1)-однозначна, поскольку число n единственным способом можно записать в виде произведения простых чисел.