Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЗМІСТ
|
ПЕРЕДМОВА___________________________________________________________ |
4 |
|
|
I. ВСТУПНЕ ЗАНЯТТЯ___________________________________________________ |
5 |
|
|
1. |
Болонський процес та кредитно-модульна система організації навчального процесу___________________________________________________________ |
5 |
|
2 |
Мета і завдання вивчення дисципліни «Фізика» у вищій школі і роль лабораторних занять у навчальному процесі____________________________ |
7 |
|
3 |
Похибки вимірювань фізичних величин________________________________ |
10 |
|
4 |
Рекомендації щодо графічного зображення та опрацювання результатів експерименту______________________________________________________ |
18 |
|
5 |
Інструкція з охорони праці при виконанні робіт в навчальній лабораторії фізичного практикуму «Механіка і молекулярна фізика» кафедри експериментальної фізики___________________________________________ |
22 |
|
ІІ. ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНІ ЛАБОРАТОРНІ РОБОТИ З МЕХАНІКИ_____________ |
26 |
|
|
№1 |
Чутливість аналітичних терезів та методи точного зважування (вимірювання маси)_____________________________________________________________ |
26 |
|
№2 |
Визначення густини сухого повітря та універсальної газової сталої за методом відкачки___________________________________________________ |
38 |
|
№3 |
Визначення густини твердих тіл пікнометром___________________________ |
42 |
|
№4 |
Вивчення обертального руху твердого тіла за допомогою маятника Обербека |
44 |
|
№5 |
Визначення прискорення сили земного тяжіння за допомогою оборотного фізичного маятника_________________________________________________ |
52 |
|
№6 |
Вивчення коливань зв’язаних маятників________________________________ |
56 |
|
№7 |
Визначення моменту інерції тіл різної форми методом крутильних коливань трифілярного підвісу________________________________________________ |
62 |
|
№8 |
Визначення модуля Юнга сталі статичним методом за деформацією розтягу_ |
66 |
|
№9 |
Визначення швидкості звуку в твердих тілах і пружних сталих твердих тіл динамічно-акустичним методом_______________________________________ |
70 |
|
№10 |
Визначення модуля зсуву сталі статичним методом за деформацією кручення стрижня___________________________________________________________ |
76 |
|
№11 |
Визначення модуля Юнга сталі за методом деформації згину______________ |
79 |
|
№12 |
Вивчення поля швидкостей повітряного потоку за допомогою трубки Піто-Прандтля__________________________________________________________ |
84 |
|
№13 |
Вивчення прецесії гіроскопа__________________________________________ |
89 |
|
Додаток 1. |
Питання для самоконтролю при підготовці до виконання та захисту експериментальних лабораторних робіт з механіки_________________ |
93 |
|
Додаток 2. |
Деякі математичні формули. Логарифмічна функція та її властивості__ |
98 |
|
Додаток 3. |
Приклад розрахунку відносної та абсолютної похибок непрямих вимірювань за робочою формулою, яка служить для визначення в’язкості рідини_______________________________________________ |
99 |
|
Додаток 4. |
Довідкові таблиці______________________________________________ |
102 |
|
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ_____________ |
105 |
ПЕРЕДМОВА
У цьому навчальному посібнику зібрані нові описи експериментальних лабораторних робіт з механіки, які виконують студенти 1 курсу фізичного та радіофізичного факультетів Харківського національного університету імені В.Н. Каразіна при проходженні протягом одного семестру занять з фізичного практикуму на кафедрі експериментальної фізики. При підготовці цього видання його укладачами у тій чи іншій мірі були використані попередні варіанти описів лабораторних робіт, які викладені у посібниках [1-6], методичні, теоретичні і довідкові матеріали, що містяться у різноманітних підручниках та посібниках [7-47], а також власні методичні розробки.
Фізичний практикум, під час якого студент особисто проводить експериментальні дослідження, опрацьовує теоретичний матеріал, оформляє звіт про лабораторну роботу, готується до її захисту, значно більше, ніж інші види занять з фізики, розвиває у нього теоретичні знання, прищеплює вміння і навички працювати самостійно. Це є особливо важливим у наш час у зв’язку з приєднанням України до Болонського процесу, згідно з яким значно посилюється роль самостійної роботи студентів у навчальному процесі, направленому на підвищення якості підготовки фахівців і підвищення рівня їх адаптації до зміни вимог ринку праці.
У вступному занятті коротко описані загальні відомості щодо особливостей кредитно-модульної системи навчання, мети і завдання вивчення дисципліни «Фізика» у вищій школі та ролі лабораторних занять у навчальному процесі. У ньому також розглянуто методику обчислення похибок при опрацюванні результатів лабораторних робіт на практикумах із загального курсу фізики, подані рекомендації щодо графічного зображення та опрацювання результатів експерименту, наведено основні вимоги техніки безпеки, яких треба дотримуватись при проведенні занять в навчальній фізичній лабораторії.
Описи кожної з 13 лабораторних робіт, які складають основний зміст посібника, укладено у повній відповідності із сучасними вимогами до навчально-методичних видань, що використовуються для забезпечення навчального процесу. Вони включають, як складові частини, підрозділи, за якими студенти можуть ознайомитись з деякими теоретичними відомостями щодо фізичних явищ, що досліджуються, а також з детальними методичними інструкціями щодо порядку підготовки до виконання лабораторної роботи, методик вимірювань, які використовуються в роботі, а також алгоритму їх проведення. У описах лабораторних робіт наведено також методичні рекомендації щодо обробки отриманих результатів та їх оформлення, а також подані посилання на підручники і посібники, з якими студенти можуть самостійно ознайомитись при підготовці до захисту лабораторних робіт. У додатках наведені питання для самоконтролю при підготовці до виконання та захисту експериментальних лабораторних робіт з механіки, приклади розрахунку похибок та різні довідкові таблиці.
Подані у посібнику інструкції і рекомендації студенти повинні враховувати і використовувати при виконанні експериментальних лабораторних робіт, проявляючи разом з тим самостійність, наполегливість, ініціативу й творчість. Бажаємо студентам досягнути успіхів в дослідженнях різноманітних механічних явищ і в опануванні основними методами опрацювання результатів експериментів.
Укладачі посібника.
I. ВСТУПНЕ ЗАНЯТТЯ
1. Болонський процес та кредитно-модульна система організації навчального процесу
У передмові вже згадувалось про Болонський процес, яким називають процес структурного реформування національних систем вищої освіти європейських країн , що був започаткований 19 червня 1999 року в місті Болонья (Італія), коли тридцять міністрів освіти від імені своїх урядів підписали Болонську декларацію і домовились про створення єдиного європейського освітнього простору до 2010 року. Україна увійшла до числа учасників Болонського процесу у травні 2005 року.
Основні організаційні заходи, які повинні бути здійснені у державах, що приєднались до так званого болонського етапу реформи вищої школи, є такими:
1. Введення двохетапної системи вищої освіти, що відповідно складається з базових рівнів бакалавра і магістра наук.
2. Упровадження уніфікованої системи обліку трудомісткості навчальної роботи студента в кредитах. За основу пропонується взяти Європейську систему перезарахування кредитів (залікових одиниць трудомісткості) ECTS – European Community Course Credit Transfer System.
3. Упровадження спеціальної системи контролю якості освіти, яка здійснюватиметься національними агентствами акредитації вузів.
4. Значне підвищення ступеня мобільності студентів, викладачів і науковців у межах загальноєвропейського простору. Більш масштабне залучення до навчання у європейських університетах студентів з інших регіонів світу.
5. Забезпечення адекватності номенклатури спеціальностей та спеціалізацій усіх рівнів до нагальних проблем загальноєвропейського ринку праці.
Сучасні виробництво, освіта і наука потребують фахівців з конкурентноздатним рівнем кваліфікації, які можуть швидко адаптуватись до зміни вимог ринку праці, уміють самостійно вчитись і ефективно поповнювати свої знання протягом усього життя.
Забезпечити підготовку таких фахівців у вищих навчальних закладах можна лише на основі використання традиційних і нових навчальних технологій.
Навчальна технологія – це цілісний алгоритм організації ефективного засвоєння знань, умінь і навичок, який характеризується оптимальною комбінацією основних навчальних компонентів (зміст, прийоми, форми і засоби) з урахуванням вимог наукової організації праці, збереження і зміцнення здоров’я суб’єктів навчання забезпечує досягнення запланованих навчальних результатів.
Уміння – це здатність і готовність людини до осмисленого виконання певних практичних дій на основі набутих знань і досвіду.
Навички – це автоматизовані компоненти осмисленої діяльності людини, які вона набуває у процесі своєї діяльності завдяки здійснення великої кількості відповідних вправ.
Існуюча традиційна (класична) система організації навчального процесу у вищих навчальних закладах орієнтується на колективні методи роботи викладача з так званим середнім студентом. З метою модернізації системи вищої освіти України відповідно до основних вимог документів Болонського процесу передбачено впровадження у навчальний процес кредитно-модульної системи організації навчального процесу, яка, передовсім, розрахована на індивідуальний підхід до кожного зі студентів.
Кредитно-модульною системою організації навчального процесу (КМСОНП) називають таку модель організації навчального процесу, яка ґрунтується на поєднанні модульно-рейтингових технологій навчання із системою спеціальних залікових освітніх одиниць (залікових кредитів).
Модульно-рейтинговими називають такі навчальні технології, характерною ознакою яких є застосування нагромаджувальних систем оцінювання знань студентів та розбиття навчального матеріалу на модулі.
Заліковий кредит – це одиниця вимірювання трудомісткості навчального навантаження студента, необхідного для засвоєння модулів.
Навчальний модуль (модуль) – це логічно завершена і задокументована частина елементів знань з навчальної дисципліни (освітньо-професійної програми навчальної дисципліни), що реалізується завдяки виконання студентом певних видів робіт, спрямованих на засвоєння навчального матеріалу, і проходження ним відповідних видів навчальних занять (лекцій, практичних і лабораторних занять, семінарів, індивідуальних занять, усіх видів практик, консультацій). Якщо в кредитах визначають оптимальний час повного навчального навантаження студента, необхідний для засвоєння ним змісту навчальної дисципліни чи курсу, то модуль, як одиниця вимірювання змісту, дає можливість засвоювати зміст навчальної дисципліни не урочними порціями, що характерно для загальноосвітньої школи, не семестровим відрізком, що характерно для традиційної вищої школи, а логічно завершеними частинами (модулями).
При застосуванні КМСОНП зміст навчальної дисципліни поділяється на навчальні модулі (2-3 на семестр). Модуль навчальної дисципліни містить окремі теми аудиторної і самостійної роботи студента. Рівень освоєння студентом кожного з модулів оцінюється з використанням рейтингової системи оцінювання знань. Загальна оцінка студента за навчальний модуль визначається як підсумкова за всіма складовими навчання в межах модуля.
При вивченні навчальної дисципліни «Фізика» загальна оцінка студента за навчальний модуль складається з оцінок, виставлених йому за рівень оволодіння теоретичними знаннями, за вміння розв’язувати фізичні задачі, а також за теоретичні знання та експериментальні навички, які він проявив при виконанні та здачі лабораторних робіт в процесі проходження занять на лабораторному практикумі. При цьому однаковою мірою враховуються результати як аудиторної, так і самостійної роботи, а також дані щодо відвідування студентом усіх видів аудиторних занять.
Підсумкова (результуюча) оцінка засвоєння студентом навчального матеріалу дисципліни може визначатись без проведення семестрового екзамену (заліку) як інтегральна (рейтингова) оцінка за всіма навчальними модулями даної дисципліни, які одержав студент, у результаті проходження так званого модульного контролю.
Студент, який набрав протягом семестру менш як необхідну кількість балів, зобов’язаний складати семестровий іспит (залік). При цьому він допускається до його складання лише тоді, коли попередньо виконав увесь обов’язковий перелік завдань, передбачених навчальним графіком з даної дисципліни. При вивченні навчальної дисципліни «Фізика» обов’язковою передумовою допуску до складання студентом семестрового іспиту є виконання і захист ним усіх лабораторних робіт, згідно з його індивідуальним завданням на лабораторному практикумі.
Основною метою запровадження кредитно-модульної системи навчання є активізація самостійної роботи студентів протягом усього періоду навчання. ЇЇ широке використання дасть можливість покращити мотивацію вивчення тієї чи іншої навчальної дисципліни і підвищити якість знань. Ця система навчання забезпечує кожному студенту досягнення поставлених навчальних успіхів завдяки поступового накопичення знань, оскільки перехід від одного модуля до іншого здійснюється після повного засвоєння попереднього, причому кожним студентом індивідуально. Студент сам оперує навчальним матеріалом. Лише у цьому випадку він засвоюється осмислено і міцно. При цьому у студентів розвивається інтелект, формується здатність до самоосвіти, самоорганізації, зникає невпевненість у власних силах, підвищується творча активність і змагальність, проявляється наполегливість у опануванні теоретичними знаннями і практичними навичками.
Детальніше ознайомитись з кредитно-модульною технологією навчання можна за посібниками [39,41,42].
2. Мета і завдання вивчення дисципліни «Фізика» у вищій школі і роль лабораторних занять у навчальному процесі
Фізика – це одна з природничих наук, предметом якої є вивчення найпростіших і разом з тим найбільш загальних форм руху матерії. Об’єктом вивчення фізики є конкретні і специфічні властивості і руху елементарних часток, атомів, молекул, макроскопічних тіл.
З прогресом науки у рамках фізики виділилось багато самостійних дисциплін: механіка, молекулярна фізика, термодинаміка, вчення про електрику і магнетизм, оптика, атомна фізика, ядерна фізика, теорія відносності, технічна фізика, хімічна фізика, біофізика, геофізика та ін. У даний час фізика розвивається такими темпами і досягла таких результатів, яких не знає ні одна з природничих наук за історію свого існування.
Вивчення дисципліни «Фізика» студентами 1-3 курсів фізичного та радіофізичного факультетів, які навчаються в бакалавратурі за напрямками підготовки «Фізика» та «Прикладна фізика», має на меті засвоєння ними теоретичних знань щодо основних фізичних явищ і законів, оволодіння фундаментальними поняттями і теоріями класичної та сучасної фізики, а також методами сучасного дослідження і зрештою формування у них наукового світогляду.
Дисципліна «Фізика» є фундаментом, на якому базується вивчення всіх інших спеціальних дисциплін, які студенти вивчають, навчаючись у бакалавратурі та у магістратурі .
Головним завданням сучасного фізика-дослідника є відкриття нових фізичних явищ і законів. При спостереженні того чи іншого ефекту чи явища фізику треба уміти виділити головне, тобто те, що відрізняє дане явище від інших явищ. Проводячи різноманітні вимірювання він повинен уміти встановлювати кількісні зв’язки між різними фізичними величинами та знаходити аналітичні вирази залежностей між ними. Результат експерименту повинен служити фізику основою для висунення гіпотези, яка пояснює явище на основі відомих законів, підводити його до формулювання нових висновків і постулатів теорії. Сучасний дослідник також повинен уміти планувати експеримент, підбирати необхідні прилади для його проведення, знати основні правила проведення експериментальних і теоретичних досліджень, володіти різноманітними методами досліджень, уміти правильно виконувати фізичні вимірювання, користуватись довідниками та іншими літературними джерелами, оцінювати відповідні похибки, у тому числі розраховувати їх з використанням комп’ютера.
У зв’язку з вищезазначеним для студентів–фізиків особливо важливою є робота у навчальних фізичних лабораторіях при проходженні занять з лабораторного фізичного практикуму. Лабораторні заняття (від латинського «laboro» - трудитись, старатись) на фізичних практикумах із різних розділів загального курсу фізики призначені для поглибленого вивчення студентами науково-теоретичних основ даного навчального предмета і оволодіння методами і навичками лабораторного фізичного експерименту. Студент, працюючи в лабораторії, в процесі виконання лабораторної роботи, опрацювання і оформлення її результатів ніби заново, власноруч, відкриває основні закони даного розділу фізики, і, крім того, ознайомлюється із засобами та методами спочатку навчального, а далі і наукового фізичного експерименту. Під час проходження занять з фізичного практикуму студенти молодших курсів закріплюють теоретичні знання, набувають практичних навичок у роботі з вимірювальними приладами під час проведення експерименту, опановують навичками дотримання правил техніки безпеки, умінням обробки результатів вимірювання та обчислення похибок. Під час оформлення звіту (так званого протоколу лабораторної роботи) за результатами виконання лабораторних робіт відбувається ознайомлення студентів з вимогами оформлення документації та державними стандартами.
Виконання кожної лабораторної роботи складається з таких елементів: підготовка до лабораторної роботи, тобто вивчення відповідного теоретичного матеріалу та інструкцій щодо методик дослідження та порядку виконання лабораторної роботи, попередня підготовка конспекту протоколу роботи; допуску студента до виконання роботи; проведення експериментальних вимірювань; обробка результатів вимірювань та остаточне оформлення протоколу (звіту) роботи; захист лабораторної роботи.
При проходженні занять на практикумі з механіки усі необхідні відомості щодо організації лабораторних досліджень, правил користування деякими приладами, особливостей техніки безпеки та правил оформлення звітів студенти отримують на вступному занятті та самостійно за підручниками [7,9] та навчально-методичним посібником [43].
Робота усіх студентів у навчальній лабораторії здійснюється згідно з індивідуальним графіком виконання лабораторних робіт в межах кожного навчального модуля. При цьому їх діяльність на різних етапах може здійснюватись у таких формах: у парній (студент – студент, студент – викладач); у груповій (студентська група – викладач); у кооперативній (студенти навчають один одного); у індивідуальній (самостійна робота студента при проведенні вимірювань, опрацюванні результатів та здачі лабораторних робіт).
Для успішного виконання лабораторної роботи студент повинен попередньо підготуватись. Для цього він повинен уважно ознайомитись з її описом за даним посібником і зробити у зошиті з лабораторного практикуму (лабораторному журналі) його короткий конспект, який є складовою частиною майбутнього звіту щодо виконання лабораторної роботи.
На початку кожного опису лабораторної роботи у даному посібнику сформульовано її мету. Це дає можливість студенту одразу ж чітко уяснити що є головним її завданням, на чому, перш за все, треба акцентувати увагу при проведенні досліджень. Описи лабораторних робіт також включають деякі теоретичні відомості стосовно явищ, які досліджується, чи теорії методу, який використовується для проведення експерименту. Вони містять описи і принципові схеми експериментальних установок і приладів, а також детальні інструкції щодо порядку проведення експериментальних досліджень і перелік тих конкретних завдань, які треба у певній послідовності здійснити для того щоб успішно виконати лабораторну роботу і підготувати звіт про неї. Для успішної підготовки до отримання допуску від викладача, який керує заняттям на практикумі, до виконання лабораторної роботи і її успішного захисту студент повинен додатково опрацювати певні підручники і посібники. Опис кожної лабораторної роботи у даному посібнику закінчується посиланнями на літературні джерела, у яких можна детально ознайомитись з теоретичними даними щодо змісту лабораторної роботи, а у Додатку №1 наведені контрольні питання, які бажано використати для здійснення самоконтролю якості засвоєння теоретичного матеріалу, основ методики досліджень та порядку проведення вимірювань.
Студент повинен розуміти, що методичні інструкції – це лише теоретична основа для виконання роботи, а навички експериментування залежать, перш за все, від відношення студента до виконання лабораторної роботи, що формально бездумно проведені вимірювання – це марно витрачений час. Якщо студент приступає до виконання лабораторної роботи без чітких уявлень щодо теорії за темою дослідження, то він не зможе «впізнати» фізичне явище, не зможе відділити ефект, який досліджується, від випадкових перешкод.
На практикумі з механіки лабораторні роботи студенти виконують самостійно. У тих випадках, коли лабораторну роботу виконувати одному незручно, студенти виконують їх попарно. Звіт у кожного зі студентів повинен бути індивідуальним. За час, відведений на виконання лабораторної роботи, студенти проводять вимірювання, попередньо опрацьовують результати експерименту і подають дані вимірювань і розрахунків на перевірку і підпис викладачу. Окремим студентам, які проявили інтерес до механічних явищ, що досліджуються в лабораторії, чи до певних приладів, які використовуються на практикумі, керівник занять може запропоновувати виконати додаткові індивідуальні завдання, які потребують проведення додаткових експериментальних досліджень, чи здійснення певних теоретичних розрахунків.
Відлік величин, які вимірюють, треба здійснювати з максимальною уважністю і точністю.
Етап опрацювання результатів вимірювань не менш важливий, ніж виконання експерименту. При обробці результатів треба використовувати калькулятор з програмним пристроєм чи комп’ютер. Вдома потрібно завершити розрахунки, заповнити цифровими даними таблиці, а також оцінити похибки експерименту, побудувати на міліметровому папері графіки залежностей величин, які досліджуються у лабораторній роботі. Для оптимізації самостійної роботи студентів щодо оформлення звітів (протоколів) лабораторних робіт у описах більшості лабораторних роботах запропоновані певні стандартні форми таблиць, які необхідно заповнити цифровими даними, отриманими шляхом вимірювань чи розрахунків. Однак це не означає, що студенти повинні користуватись виключно лише такими стандартизованими формами звітів, оскільки це, у деякій мірі, обмежує можливості прояву творчої ініціативи студентів щодо оформлення самостійно отриманих ними результатів. На нашу думку опрацювання результатів наукових досліджень, отриманих у ході виконання кожної з лабораторних робіт, повинно завершуватись написанням студентом висновків по лабораторній роботі, які містять короткий аналіз одержаних результатів, оцінку ефективності використаного методу досліджень, результати порівняння даних, отриманих з експерименту, з табличними даними, відомими з довідників і підручників.
Захист лабораторної роботи кожний студент здійснює індивідуально. Для цього він надає для ознайомлення керівнику занять оформлений звіт (протокол) лабораторної роботи і отримує від нього перелік запитань, на які студент повинен відповісти в процесі захисту. Захист результатів лабораторної роботи і теоретичного матеріалу, який стосується тематики даної лабораторної роботи, здійснюється при спілкування студента з викладачем. Відповіді на запитання треба попередньо підготувати в усній, або в письмовій формі. Студентам можуть бути запропоновані також тести, які стосуються змісту і методичних особливостей даної лабораторної роботи. Тестування може бути здійснене у письмовій формі, або з використанням комп’ютера.
Залік з лабораторного практикуму для кожного з модулів курсу складається із заліків по окремих лабораторних роботах, винесених на модульний контроль. Залік з лабораторного практикуму за даним розділом курсу, що вивчається, складається із заліків з усіх модулів курсу.
Якщо студент пропустив заняття з лабораторного практикуму, то на наступному занятті він виконує ту лабораторну роботу, яка стоїть у його індивідуальному плані, а пропущену роботу виконує або під час додаткових занять на практикумі, або у відповідності з індивідуальним графіком відпрацювань лабораторних робіт, узгодженим з керівником занять.
Для тих студентів, які з тих чи інших причин, насамперед через хворобу, вчасно не виконали або не захистили лабораторні роботи у відведені терміни під час проведення модульних контролів чи залікової сесії, (а інколи і під час екзаменаційної сесії) на практикумі, у порядку виключення, за розпорядженням завідувача практикуму призначають додаткові заняття і консультації.
Для правильного оформлення звітів (протоколів) лабораторної роботи та кваліфікованої обробки результатів вимірювань студент повинен попередньо ознайомитись з основними відомостями щодо класифікації вимірювань, оволодіти на практиці алгоритмами обчислення похибок вимірювань, правилами округлювання чисел та ознайомитись з рекомендаціями щодо побудови графіків.
3. Похибки вимірювань фізичних величин
Класифікація вимірювань
Наукове спостереження полягає в цілеспрямованому і планомірному сприйнятті властивостей предметів і явищ дійсності для одержання відповідної інформації про об’єкт пізнання за допомогою органів чуття. У здійсненні наукового спостереження значну роль відіграє теоретичне мислення. Дослідник не просто реєструє факти. Він свідомо відшукує їх, користуючись певною ідеєю, гіпотезою тощо. Результати наукових спостережень відповідно інтерпретуються на основі певної теорії. У наукових спостереженнях широко використовують спеціальні засоби і прилади, які компенсують природну обмеженість органів чуттів людини, підвищують точність і об’єктивність результатів спостереження.
Експеримент ґрунтується на забезпеченні відтворення явища в лабораторній обстановці і супроводжується точними, по можливості, вимірюваннями та математичною обробкою даних. За структурою експеримент суттєво відрізняється від спостереження наявністю спеціальних матеріальних засобів (експериментальних установок і приладів) впливу на досліджувані об’єкти або процеси.
Вимірювання фізичних величин є метою кожної лабораторної роботи. Вимірювання – це порівняння способом фізичного експерименту даної фізичної величини з відомою однорідною величиною, взятою за одиницю вимірювання. У результаті встановлюється, у скільки разів вимірювана величина більша або менша від одиниці вимірювання.
За способом знаходження результату вимірювання поділяють на два основні види: прямі і непрямі. Прямі вимірювання – це такі вимірювання, в яких шукане значення величини знаходять безпосередньо з досліду, порівнюючи його з мірою цієї величини за даними відліку, здійсненого за допомогою відлікового пристрою вимірювального приладу. Відліком у метрології прийнято називати число, відраховане по відліковому пристрою засобу вимірювання. Прикладом найпростіших прямих вимірювань може бути вимірювання довжини масштабною лінійкою, сили струму – амперметром, проміжків часу – секундоміром та ін.
Непрямі вимірювання – це такі вимірювання, результат яких розраховують за відомою функціональною залежністю, вираженою аналітичною формулою, з використанням даних, одержаних в результаті проведення прямих вимірювань. Наприклад, об'єм прямокутного паралелепіпеда може бути знайдений за формулою , де – ребра паралелепіпеда, довжина яких виміряна шляхом проведення прямих вимірювань за допомогою штангенциркуля або лінійки.
Похибки прямих вимірювань
При будь-якому вимірюванні фізичної величини, як би старанно його не проводили, неминучі похибки, тобто виміряти величину абсолютно точно неможна. Вимірювання фізичної величини не може бути проведене з абсолютною точністю з цілого ряду причин, таких як недоліки приладів, методів вимірювання, впливу зовнішніх умов, індивідуальних властивостей спостерігача та ін. Тому метою вимірювання є не тільки відшукання наближеного значення величини, а й оцінювання його відхилення від істинного значення. Обов'язково потрібно вказувати точність, гарантовану даним вимірюванням, або його похибку. Розрізняють абсолютні та відносні похибки.
Похибку, виражену різницею між виміряним і істинним значеннями величини, називають абсолютною похибкою вимірювання. Вона визначається за формулою
. (1)
Але істинне значення фізичної величини нам невідоме, тому можна знайти тільки наближену похибку, при цьому замість істинного значення величини беруть найбільш ймовірне її значення, яке за великої кількості вимірювань дорівнює середньому арифметичному всіх виміряних значень. Виміряне значення може бути як більше, так і менше від істинного значення , тому абсолютна похибка може бути як додатною, так і від'ємною, Але абсолютна похибка не дає повного уявлення про точність вимірювання, оскільки її величина не порівнюється із самою виміряною величиною.
Якість результатів вимірювання краще характеризує відносна похибка. Відносну похибку визначають відношенням абсолютної похибки до дійсного (середнього арифметичного) значення величини. Цю похибку виражають у процентах (відсотках):
. (2)
Відносна похибка дозволяє зробити висновки про точність проведених вимірювань. У технічній літературі часто зустрічається поняття «точність вимірювань». Під цим розуміють величину, обернену до відносної похибки вимірювань без процентів. Так, якщо , то точність таких вимірювань дорівнюватиме 100.
Вимірювання залежно від методу, приладів та властивостей об’єкта дослідження можуть бути з одноразовими або багаторазовими спостереженнями. Відповідно перші називають звичайними вимірюваннями, а другі – статистичними вимірюваннями.
Похибки вимірювань за характером і причинами їх появи поділяють на три класи: систематичні, випадкові та промахи.
Систематична похибка – це та частина загальної похибки вимірювання, яка залишається сталою або змінюється закономірно при повторних вимірюваннях тієї самої величини. Систематична похибка має знак і викликає відхилення результату завжди в один бік. Через це дослідник, частіше за все, просто не підозрює про існування такої похибки.
Причини виникнення систематичної похибки такі: неправильне градуювання приладу або його несправність; неправильне встановлення приладу та погані умови його роботи; невдалий вибір методу дослідження і т. д.
Виявлення, оцінювання та позбавлення від систематичних похибок є головними завданнями дослідника. Для цього необхідно ретельно готуватись до проведення вимірювання і продумувати методику його проведення. Наведемо деякі приклади. Якщо шкала приладу зміщена, то всі вимірювання матимуть сталу похибку, що дорівнює величині зміщення. Або коли металевою лінійкою вимірювати розміри тіла безпосередньо в нагрівальній печі. Внаслідок термічного розширення лінійки при її нагрівання збільшиться відстань між поділками лінійки і систематична похибка дорівнюватиме величині цього збільшення. В обох прикладах систематична похибка може бути виявлена.
Несправний прилад можна порівняти з іншим аналогічним приладом, а температурну похибку можна розрахувати за температурним коефіцієнтом матеріалу лінійки. Але це зовсім не означає, що завжди можна повністю позбавитися систематичної похибки. Завжди існує власна похибка навіть у справного приладу, зумовлена недоліками його виготовлення. Таку похибку називають інструментальною похибкою.
Поділки на шкалі приладу роблять відповідно до його інструментальної похибки. Масштабну лінійку градуюють через , а мікрометр має поділки, найменша ціна яких дорівнює одній сотій міліметра. На перший погляд здається, що за допомогою лупи можна провести підрахунок десятих, а то й сотих часток міліметра і на лінійці. Але це не так. Товщина самих поділок уже дає десяту частку міліметра, і нанесені вони з деякою похибкою, тому при вимірюванні лінійкою можна гарантувати мінімальну похибку, яка дорівнює ціні поділки, або . Інколи за інструментальну похибку беруть половину найменшої ціни поділки.
Аналогічну ситуацію маємо при зважуванні тіла за допомогою гир. У паспорті вказується, що гиря масою має інструментальну абсолютну похибку Таку похибку дають усій партії гир, порівнюючи вибірково деякі з них з еталоном. При цьому в жодному випадку похибка не перевищує , але може бути меншою. Та нам це невідомо, тому маси тіл, виміряні за допомогою такої гирі, повинні мати похибку У цьому випадку інструментальна похибка є систематичною і тому при повторних вимірюваннях завжди дає відхилення виміряної величини від істинного значення в один бік, але невідомо в який. Отже, похибка подається з подвійним знаком і результат зважування запишеться так:
.
За відсутності вказівок щодо похибки вимірювального приладу його абсолютну похибку беруть такою, що дорівнює половині ціни найменшої поділки його шкали.
Випадкова похибка.
З досвіду відомо, що багаторазові вимірювання тієї самої величини, проведені найточнішими приладами, дають значення, які дещо відрізняються одне від одного. У такому випадку має місце випадкова похибка, складова загальної похибки, що змінюється довільним чином при повторних вимірюваннях однієї величини.
Поява випадкових похибок зумовлена конструкцією приладу (тертя між деталями та ін.), зміною зовнішніх умов (коливання температури, вібрації та ін.), а також суб’єктивним впливом на процес вимірювання самого спостерігача. Неможливо позбавитися випадкових похибок, але ми можемо зменшити їх вплив на кінцевий результат, використовуючи методи математичної статистики, що дозволяють визначити, яке зі значень найближче до істинного, та знайти похибку цього значення.
Теорія похибок установлює що:
1.При багатократному вимірюванні однієї і тієї самої величини однакова ймовірність одержання значень як більших за істинне, так і менших, тому найближчим до істинного значення буде середнє арифметичне значення ряду окремих вимірювань
, (3)
де кількість вимірювань.
Значення тим ближче до істинного, чим більшу кількість вимірювань проведено.
2.Результати окремих вимірювань відрізняються від . Цю різницю називають відхиленням від середнього арифметичного
. (4)
Ця різниця наближена до абсолютної похибки окремого вимірювання і є випадковою величиною.
Середнє значення відхилення від середнього арифметичного, яке за своєю величиною близьке за величиною до середнього значення абсолютної похибки кількох вимірювань, знаходять за формулою:
. (5)
Промахи.
Про те, що під час проведення вимірювань були допущені грубі похибки (промахи), дізнаються здебільшого наприкінці досліджень, коли дістануть явно неправильні результати. Таким чином, можемо визначити промах як похибку, що суттєво перевищує очікувану за даних умов. Джерелом такої похибки може бути неуважність або помилка експериментатора, а також несправність засобу вимірювання.
Якщо у результаті аналізу даних, одержаних під час проведення вимірювань, дослідник дійшов висновку, що результати вимірювань містять промахи, то ці, завідомо неправильні дані слід беззастережно відкинути. Після чого бажано встановити причину помилки, виправити несправності та недоліки і повторити вимірювання заново.
Алгоритм проведення прямих вимірювань та обробки їх результатів
Підкреслимо, що спочатку необхідно визначитися, з якою відносною похибкою потрібно виміряти фізичну величину та який очікуваний порядок цієї величини. Відповідно до цього добирають засіб вимірювання, знаючи його діапазон вимірювання, ціну поділки та інструментальну похибку. Створюють нормальні умови для його застосування та готують засіб до вимірювання. Перевіряють наявність похибки відліку нуля. За потреби налагоджують прилад.
Коли наперед відомо, що систематична похибка приладу перевищує випадкову похибку, то виконують одне вимірювання. Якщо ні, то проводять не менш як три вимірювання, результати яких записують у відповідну таблицю.
Тепер наведемо спрощену послідовність проведення розрахунків абсолютної похибки кількох прямих вимірювань однієї і тієї самої фізичної величини, яка найчастіше використовується в навчальних лабораторіях:
. (6)
Для зручності запису чисел слід користуватися десятковими кратними і частковими одиницями, утвореними від одиниць Інтернаціональної системи (CI), або десятковими множниками. Наприклад, замість можна записати або Кінцевий же результат треба подавати в CI. Крім одиниць CI у деяких випадках допускається використання системи одиниць СГС. Дані щодо деяких одиниць цих систем і співвідношень між ними та іншими позасистемними одиницями містяться в Додатку №.4.
Похибки непрямих вимірювань.
У багатьох випадках шукану величину неможливо виміряти безпосередньо приладом, тому потрібно вимірювати інші величини, математична залежність від яких шуканої величини відома.
Загальні правила підрахунку похибок непрямих, або посередніх вимірювань можна дістати тільки за допомогою використання математичної теорії похибок і методів диференціального числення.
Алгоритм обробки результатів непрямих вимірювань
Похибки посередніх вимірювань визначаються за похибками безпосередньо вимірюваних величин. Безпосередньо вимірювані величини вважатимемо аргументами, а посередньо вимірювані – функціями . Розглянемо спочатку найпростіший випадок. Нехай , а абсолютна похибка прямого вимірювання величини X дорівнює . Очевидно, що
. (7)
Розкладаючи праву частину виразу (7) у ряд Тейлора, матимемо:
(8)
Нехтуючи членами розкладу, які мають у степені, вищому за перший, дістаємо:
. (9)
Замінивши після диференціювання символ диференціалу на символ , що позначає абсолютну похибку, матимемо:
(10)
Отже абсолютна похибка функції одного аргументу дорівнює добутку похідної цієї функції на абсолютну похибку її аргументу.
Для відносної похибки з (10) дістаємо:
. (11)
Якщо посередньо вимірювана величина є функцією кількох аргументів , то повний диференціал цієї функції може бути представлений у такому вигляді:
. (12)
Цей вираз складається із суми частинних диференціалів, кожний з яких визначає ту частину похибки у величині функції, яка виникає через похибку кожного з аргументів . При обчисленні частинної похідної всі аргументи, крім , вважаються сталими, а за величиною диференціювання здійснюють за правилами, які використовують при диференціюванні функцій однієї змінної. Замінивши у формулі (12) символ на , одержимо формулу, яку використовують для визначення абсолютного значення абсолютної похибки функції, що залежить від декількох змінних:
. (13)
Абсолютна похибка будь якого аргументу може бути як додатною, так і від’ємною. У залежності від поєднання знаків усіх похибок аргументів за однакових усіх інших умов абсолютне значення абсолютної похибки може мати різну величину. Для того, щоб бути впевненим у тому, що при самому несприятливому поєднанні знаків похибок аргументів похибка функції не виходить за межі треба визначити максимальне значення . Таке максимальне значення абсолютної похибки, або, як кажуть, гранична похибка, буде одержана тоді, коли усі доданки суми у формулі (13) будуть додатні. Тому на практиці при проведенні розрахунків абсолютної похибки за формулою (13), беруть не суму частинних диференціалів функції багатьох змінних, а суму абсолютних величин частинних диференціалів незалежно від того, які знаки були одержані у частинних похідних при диференціюванні. Таким чином, формула, яку використовують для визначення абсолютної похибки непрямих вимірювань у тому випадку, коли функція залежить від кількох змінних, має такий вигляд:
. (14)
Наведеною вище формулою (14) зручно користуватися у тому випадку, якщо шукана величина є сумою або різницею результатів прямих вимірювань. Однак дуже часто виникає необхідність визначати похибку за формулами, які відображають складні функціональні залежності. Слід зазначити, що для величин, які виражені формулами, придатними для логарифмування, розрахунок похибок результатів непрямих вимірювань зручніше починати зі знаходження відносної похибки. Оскільки , то
. (15)
У цю формулу замість частинних похідних від функції входять частинні похідні від логарифма цієї функції. Тому у тому випадку, коли залежність виражена формулою, зручною для логарифмування, простіше спочатку визначити відносну похибку за формулою (16), а потім знайти абсолютну похибку.
. (16)
Таким чином для того, щоб визначити похибку непрямих вимірювань рекомендується такий порядок операцій. Спочатку треба прологарифмувати вихідну функцію, тобто вихідну формулу, за якою розраховують значення досліджуваної фізичної величини, а потім продиференціювати одержаний вираз. Для цього треба спочатку визначити частинні похідні за кожним з аргументів , а потім записати вираз для повного диференціалу логарифма даної функції. У остаточному виразі, за яким буде здійснюватись розрахунок абсолютної похибки, треба замінити символи диференціала , які стоять біля диференціалів усіх аргументів на символ , який позначає абсолютну похибку, з якою було експериментально визначене чи взяте з довідкових таблиць значення даного аргументу. Для того, щоб визначити максимальне значення похибки, яка може бути одержана при найменш придатних умовах проведення даного експерименту, усі знаки «–» у цій формулі, які утворились у результаті логарифмування і диференціювання вихідного виразу, треба замінити на знаки «+». Після цього треба здійснити розрахунок відносної похибки. Для цього необхідно підставити у остаточну формулу для визначення величини усі відомі значення фізичних величин, які були одержані при проведенні прямих вимірювань чи взяті з таблиць, а також значення їх абсолютних похибок. Зверніть увагу на те, що у випадку проведення серії прямих вимірювань у цю формулу підставляють тільки середні значення величин, а розрахунок значення величини, одержаної у результаті проведення непрямого вимірювання, виконують тільки один раз. Після розрахунку відносної похибки фізичної величини (у відносних одиницях, а не у відсотках) треба визначити абсолютну похибку за формулою і записати результат непрямого вимірювання фізичної величини у такому вигляді
. (17)
Приклади виведення формул для знаходження похибок непрямих вимірювань наведені у додатку №3.
Наближені обчислення
Важливим питанням є те, скільки значущих цифр слід зберігати в результаті кожної дії. Точність обчислень результатів вимірювання має відповідати точності вимірювань. Виконувати обчислення з точністю, більшою ніж це дозволяють експериментальні дані, нераціонально і некоректно. Отже, обчислення, які виконуються при математичній обробці експериментальних результатів, отриманих у науковій чи навчальній лабораторії, є наближеними. Одержані числа можна округляти, тобто зменшувати кількість їх значущих цифр. Щоб округлити число до n значущих цифр, треба відкинути усі цифри, які стоять після n-го розряду. При цьому користуються такими правилами: якщо перша з цифр, які відкидають менша 5, то остання з тих цифр, які залишаються, не змінюється; якщо ж перша з цифр, які відкидають, більша або рівна 5, то остання цифра, з тих цифр, які зберігаються, збільшується на одиницю. Наприклад, округлення числа 7,192 до трьох значущих цифр дає число 7,19, до двох 7,2. Округлення числа 1681 до двох значущих цифр дає число , а округлення числа 0,80214 – число 0,8. Абсолютна похибка округленого числа не перевищує половини одиниці останньої збереженої цифри. Це, зокрема, слід враховувати при округленні табличних даних та значень фізичних сталих, які беруть з довідкових таблиць.
У наближених обчисленнях записи 25,6 і 25,600 відрізняються один від одного. У числі 25,6 точні (правильні) лише цифри цілих і їхні десяті частини, а в числі 25,600 також соті і тисячні частини.
Прийнято вважати, що k-та цифра наближеного числа а точною (правильною), якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці k-го розряду цієї цифри. Всі цифри, які стоять лівіше від правильної, також правильні. У протилежному випадку цифру k-го розряду називають сумнівною. Сумнівною цифрою називають ту, яка стоїть безпосередньо за крайньою справа правильною цифрою. Цифри, які стоять справа від сумнівної цифри, називаються неправильними. Неправильні цифри повинні бути відкинуті шляхом округлення як у вихідних даних, так і у кінцевому результаті розрахунку.
Всі правильні цифри числа, починаючи з першої зліва, відмінної від нуля, і включаючи першу сумнівну цифру, називаються значущими цифрами. Всі інші цифри називаються незначущими. Наприклад, у числі 0,0507 три значущих цифри; перші два нулі незначущі, нуль між п’ятіркою і семіркою – значущий.
Записуючи остаточні результати наближених обчислень, незначущі цифри числа відкидають. У числі 2500 – чотири значущих цифри (нулі в числі 2500 – значущі цифри; точно відомо, що одиниць і десятків у числі 2500 немає). Запис 47200·103 або 0,47200·108 означає, що в числі 47 200 000 три останні цифри не значущі, а всі інші – значущі.
Запис результатів вимірювання має відповідати також точності вимірювання. Наприклад, якщо товщина пластинки після обчислень становить 4,5568 мм при абсолютній похибці вимірювання 0,02 мм, то такий запис числа не відповідає теорії похибок вимірювання. Середнє арифметичне значення для товщини пластинки в цьому разі слід округлити до 4,56 мм.
Взагалі при округленні наближеного або точного числа а до n значущих цифр за правилом доповнення число а замінюють числом з n значущими цифрами так, щоб похибка округлення не перевищувала половини одиниці розряду, що зберігається.
Якщо з наближеними числами ще проводитимуться обчислення, то в них слід зберігати одну або дві сумнівні цифри.
При виконанні математичних операцій над наближеними числами слід дотримуватись таких правил.
Наближені числа треба округляти перед виконанням відповідних математичних операцій. Округляти числа слід за наведеним вище правилом до розряду найменш точного числа, залишаючи в числах одну або дві запасні цифри. Це дає змогу цілком правильно округлити кінцевий результат. У кінцевому результаті ці «запасні» цифри відкидають.
При додаванні і відніманні наближених чисел кінцевий результат слід округляти так, щоб у ньому не було значущих цифр у тих розрядах, яких немає хоча б в одному з наближених чисел. Наприклад: 5,962 + 2,49 + 7,18376 + 6,14685,962+2,49+7,184 + +6,147=21,78321,78.
При множенні і діленні наближених чисел у кінцевому результаті слід залишати стільки значущих цифр, скільки їх є в наближеному числі з найменшою кількістю значущих цифр. Наприклад: 3,624·2,4·5,1127·3,62·2,4·5,11=8,6888,7.
При піднесенні до степеня в кінцевому результаті слід залишити стільки значущих цифр, скільки їх має наближене число, яке підноситься до степеня. Наприклад: (1,26)2=3,2763,28.
При добуванні коренів у кінцевому результаті слід залишити стільки значущих цифр, скільки їх має підкореневе наближене число. Наприклад: .
Знаходячи логарифм наближеного числа, потрібно брати з таблиць чи з дисплея мікрокалькулятора для мантиси стільки значущих цифр, скільки їх має це число. Наприклад: lg77,23 2,8878 2,888.
Правильне і обернене: число, яке знаходять за логарифмом, повинно мати стільки значущих цифр, скільки їх у мантиси (при довільній характеристиці).
На основі викладеного вище, сформулюємо правила запису вимірювань і розрахунків, яких слід дотримуватись у навчальній лабораторії:
Детальніше ознайомитись з методами обробки експериментальних результатів і розрахунку похибок можна за посібниками [7-9,11,19,39,40,43-46].
4. Рекомендації щодо графічного зображення та опрацювання результатів експерименту
У багатьох випадках при обробці результатів фізичного експерименту слід вдаватися до графічного методу, який дає можливість наочніше подавати результати експерименту у вигляді графіка залежності функції у (величина, закономірність якої вивчається) від аргументу х (величина, від зміни якої залежить значення функції), а також графічно знаходити величини у для таких значень х, які безпосередньо вимірюванням не досліджувались, наприклад, для значення х, проміжного між двома вимірюваннями х1 і х2 (інтерполяція). Зазначимо, що під інтерполяцією розуміють, по-перше, знаходження значень функції для проміжних значень аргументу х і, по-друге, в чисельному аналізі інтерполяцією називається заміна функції на проміжку деякою іншою функцією , яка в точках набуває тих самих значень, що й функція .
Мова може йти також про знаходження значень функцій для значень аргументу х, менших (або більших), ніж найменше (найбільше) з вимірюваних – екстраполяцію. Звичайно, при цьому має бути тверда впевненість у тому, що характер залежності для областей, де не виконувались вимірювання, такий самий, що й в областях, де вимірювання виконувались.
Основною перевагою графіків є їх наочність. Достатньо зробити лише один погляд на графік і можна зразу ж визначити вигляд одержаної залежності, зробити висновок щодо наявності на ній різних особливостей, максимумів чи мінімумів, точок перегину, областей найбільшої, чи найменшої швидкості зміни величин, що досліджуються, періодичності і т. ін.. Графік дає можливість також легко судити про відповідність одержаних експериментальних даних тій чи іншій теоретичній залежності.
При побудові графіків за вимогами Державних стандартів найчастіше використовують прямокутну систему координат. Координатні осі використовують як функціональні шкали. Функціональною шкалою називається множина мічених точок, які відображують окремі значення функції та її аргументу. Шкали можуть бути рівномірними і нерівномірними. Відстань між двома сусідніми мітками шкали називається графічним інтервалом; різниця цих міток дає ціну поділки. На шкалі, як правило, наносять лише підписані (відцифровані), так звані «круглі» мітки. Мітки без підписів називаються німими. Часто німі мітки поділяють проміжок між двома підписаними мітками на деяку кількість рівних частин (рис.1). Стрілки в кінці тих
Рис.1
функціональних шкал, на яких є відцифровані мітки, не ставлять. Графік обмежують прямокутником, дві (або й три) сторони якого є функціональними шкалами. При побудові графіків по осі абсцис (горизонтальна вісь) відкладають незалежну змінну, по осі ординат (вертикальна вісь) – залежну змінну. На перетині координатних осей може міститися нуль або, в разі необхідності, інше число. Бажано щоб шкали починались з «нульової» мітки (рис.1а). Якщо ж одна, чи обидві шкали містять мітки, які значно більші ніж нуль, то тоді початок шкал відзначають «нульовою» міткою, а далі на осях ставлять значки розриву шкали, за якими круглі мітки позначають цифрами, величина яких набагато більша за нуль, але дещо менша ніж значення величин, які відповідають експериментальним точкам, що відкладають на графіку (рис.1б).
Для побудови графіків слід насамперед раціонально вибрати масштаб, тобто так, щоб на графіку цього розміру (частина аркушу міліметрового паперу) розмістився весь діапазон експериментальних значень фізичних величин, що їх відкладають на координатних осях, і щоб ціна однієї поділки виражалась би, по можливості, цілим числом. Одночасно при виборі масштабу слід підпорядкувати точність вимірювання точності відліку за графіком. Крім того, слід акцентувати увагу на чітке вираження експериментальних даних (експериментальна крива має бути не дуже крутою і не дуже пологою, бо на таких кривих важко робити відліки); потрібно по можливості використати всю площу графіка (якщо дослідні дані величин х і у набагато відрізняються від нуля, відлік поділок потрібно починати на осях з деяких значень, які трохи менші від одержаних під час досліду). Після нанесення на функціональні шкали міток біля них пишуть необхідні цифри. На кінцях координатних осей (шкал) наносять позначення величин, що відкладають, а одиниці вимірювання їх відокремлюють комою; якщо напис має більше п’яти знаків, то його розміщують вздовж вісі, посередині. У ряді випадків одиниці вимірювань помножують на 10n, де n– показник степеня, він може бути додатний або від'ємний. Множник 10n ставлять тільки в кінці відповідної вісі. Замість множника 10n дозволяється застосовувати скорочені позначення кратних і часткових одиниць. Наприклад: U, B;.h, м; .
Звернемо увагу на те, що числа, знайдені внаслідок вимірювання фізичних величин, є наближеними. Тому замість числа х треба було б писати , замість у – число . Звідси випливає, що замість точок на графіках треба було б зображати експериментальні дані маленькими прямокутниками, трикутниками тощо з основами і висотами , всередині яких і перебувають справжні дані, знайдені в результаті ідеального експерименту. Відповідно до цього можна було б провести дві граничні криві, між якими, очевидно, проходить крива, яка зображує, який насправді вигляд має функція .
Під час графічного оформлення результатів, одержаних при виконанні лабораторних робіт на фізичному практикуму звичайно обмежуються нанесенням на графік експериментальних точок, а потім за допомогою лекал креслять плавну криву так, щоб вона проходила якомога ближче до всіх експериментальних точок і щоб приблизно однакове число точок було по обидві сторони цієї лінії. Експериментальні точки на графіках мають бути добре помітними. Крива повинна, як правило, лежати в межах похибок вимірювання (рис.1 а, б). Чим менші ці похибки, тим краще крива збігається з експериментальними точками. Якщо на графік наносять кілька кривих, то експериментальні точки на них зображують різними значками (точками, обмеженими маленькими трикутниками, кругами, ромбами, квадратами або просто маленькими трикутниками, кругами, ромбами, квадратами тощо). Усі криві на графіках нумерують арабськими цифрами (рис.1а, б). Слід пам’ятати про те, що результат експерименту – це точка на графіку, а крива – це лише суб’єктивне тлумачення результату, яке має дослідник. На графіках не повинно бути ніяких написів, що їх пояснюють. Підписи, які пояснюють умови, при яких, наприклад, була одержана експериментально та чи інша функціональна залежність, відображена на графіку, тощо поміщують під графіком, після того, як він буде приклеєний у лабораторному журналі там, де знаходиться звіт про виконання даної лабораторної роботи. Графіки на міліметровому папері треба виконувати графітним олівцем. Якщо при обробці результатів було використано комп’ютер, то під роздруківкою графіка треба обов’язково вказати, яка з програм використовувалась при побудові графіка.
В основному абсолютні похибки значень функції більші від абсолютних похибок аргументу, тому у ряді випадків на графіках подають лише абсолютну похибку функції у вигляді відрізка прямої, довжина якої дорівнює подвоєній абсолютній похибці у певному масштабі. При цьому експериментальна точка міститься в середині цього відрізка, який з обох кінців обмежується рисками (рис. 1в).
Точки перегину, максимуму, мінімуму на експериментальних кривих відповідають якісним змінам у системах, наприклад появі нової фази та ін. У таких точках порушується рівномірність зміни всіх властивостей системи. В областях, близьких до цих сингулярних точок, слід проводити вимірювання значно частіше. Будуючи графіки плавних залежностей, не слід брати багато точок. Якщо окремі точки значно відхиляються від кривої, то це може свідчити про великі похибки вимірювання або явні промахи. Це, в свою чергу, свідчить про потребу підвищення в цих областях якості вимірювання і зменшення кроку вимірювання.
Рис.2
Кутовий коефіцієнт К графіка залежності у тому випадку, коли увесь графік, або деяка його частина, є прямою лінією (рис.2 а), визначають за формулою:
(7)
і треба визначати з графіка у тих одиницях, які відкладені на його осях, але для розрахунку кутового коефіцієнта їх треба виразити у одиницях однієї системи.
У деяких випадках для графічного подання і подальшого опрацювання результатів фізичного експерименту доцільно користуватись напівлогарифмічними функціональними сітками. У напівлогарифмічному масштабі залежності виду зображують прямими лініями, що дає можливість легко знайти шукану величину за кутовим коефіцієнтом цієї прямої. При побудові такого графіка треба обов’язково вказувати одиниці, у яких виражена та фізична величина, логарифм якої відкладено по вісі графіка (див. рис.2 б).
Детальніше з правилами побудови графіків можна ознайомитись за посібниками [7-11,15].
Під час виконання лабораторних робіт з різних розділів загального курсу фізики студенти мають справу зі складним обладнанням, склом, газовими пальниками, відкритим вогнем, рідинами, різноманітними приладами, електричними схемами, по яких проходить електричний струм. Слід пам’ятати про те, що легковажність, недотримання правил техніки безпеки та рекомендацій щодо користування електровимірювальними і іншими приладами може привести до нещасних випадків, пошкодження приладів і обладнання, виникнення пожеж. Нижче наведена інструкція з охорони праці, у якій детально розглянуті правила і вимоги, яких студентам треба дотримуватись при роботі і перебуванні у навчальній лабораторії практикуму з механіки і молекулярної фізики кафедри експериментальної фізики.
5. Інструкція з охорони праці при виконанні робіт в навчальній лабораторії фізичного практикуму «Механіка і молекулярна фізика» кафедри експериментальної фізики
1. ЗАГАЛЬНІ ПОЛОЖЕННЯ
1.1. Ця інструкція є обов’язковою для усіх фізичних осіб, які працюють в лабораторії. Студенти, співробітники і викладачі, які не ознайомлені з інструкцією, не мають права працювати в лабораторії фізичного практикуму. Інструктаж з питань охорони праці проводиться з усіма працівниками перед початком роботи в лабораторії незалежно від їх освіти, стажу роботи або посади.
1.2. Первинний інструктаж проводиться за програмою, яка укладена завідувачем практикуму з урахуванням особливостей роботи в фізичній лабораторії. Програма первинного інструктажу повинна відповідати основним вимогам «Типового положення про навчання, інструктаж та перевірку знань працівників з питань охорони праці».
Первинний інструктаж проводиться безпосередньо на робочому місці до початку роботи з працівником, новоприйнятим (постійно чи тимчасово) для роботи в лабораторії, а також із студентами, перед виконанням ними лабораторних робіт фізичного практикуму.
1.3. Запис про проведення інструктажу фізичних осіб та його дату роблять у спеціальному «Журналі реєстрації інструктажів з питань охорони праці». У ньому обов’язково повинні бути підписи всіх фізичних осіб, які були проінструктовані, а також підпис особи, яка проводила інструктаж. Журнал повинен бути пронумерованим, прошнурованим і скріпленим печаткою.
1.4. Усі фізичні особи, яким ще не виповнилось 18 років, приймаються на роботу лише після проходження попереднього медичного огляду і в подальшому, до досягнення ними віку 21 року, щороку підлягають обов’язковому медичному огляду.
1.5. Особи, які допущені до роботи на електроустановках, повинні мати відповідну кваліфікаційну групу з електробезпеки. Не допускаються до самостійної роботи на електроустановках особи, яким не виповнилось 18 років.
1.6. Лабораторні заняття зі студентами, загальна кількість яких не повинна перевищувати половини складу академічної групи, проводяться у відведений для них час за розкладом у спеціально обладнаних навчальних лабораторіях з використанням устаткування, пристосованого до умов навчального процесу. Неповнолітні студенти, тобто особи віком до 18 років, виконують лабораторні роботи з використанням електроустановок під наглядом інженера чи лаборанта, які обслуговують практикум, або викладача – керівника лабораторних занять.
1.7. У приміщенні лабораторії забороняється: палити, пити, приймати їжу; захаращувати робочі місця та підступи до них будь-якими речами, які не використовуються при виконанні лабораторної роботи (головні убори, верхній одяг, портфелі, сумки тощо).
1.8. Одяг і зачіски працюючих повинні відповідати вимогам виробничої санітарії та особистої гігієни, а також умовам праці, які існують у лабораторії.
1.9. Відповідальність за дотримання загальних положень Інструкції з охорони праці у навчальній лабораторії фізичного практикуму згідно з чинним законодавством України несуть: завідувач кафедри, завідувач практикуму, керівники лабораторних занять.
2. ВИМОГИ ТЕХНІКИ БЕЗПЕКИ ПЕРЕД ПОЧАТКОМ РОБОТИ
2.1. Відповідальний працівник (інженер, старший лаборант) перед початком занять повинен заздалегідь відкрити та провітрити навчальне приміщення і переконатися у тому, що головні електричні вимикачі (рубильники на центральних електричних щитах) та вимикачі приладів і електричних щитів на робочих місцях знаходяться в положенні «ВИМКНУТО». Крім цього, він повинен перевірити непошкодженість заземлення (занулення) та електроізоляції електричних установок і підготувати прилади та інше необхідне устаткування до експлуатації на час виконання лабораторних робіт.
Перед тим як відкрити загальний кран подачі газу в приміщення лабораторії, необхідно переконатися в тому, що всі газові крани, що є в приміщенні, закриті, після цього відкрити спочатку загальний кран, а потім крани тих розгалужень, куди потрібно подати газ.
2.2. Студенти не мають права заходити в лабораторію без дозволу відповідального працівника (інженера, старшого лаборанта) або викладача – керівника лабораторних занять.
2.3. Перед початком виконання кожної лабораторної роботи студенти повинні ретельно і детально ознайомитись з методичними вказівками щодо її виконання та вимогами техніки безпеки на робочому місці.
2.4. Кожний студент повинен отримати від викладача-керівника лабораторних занять дозвіл (допуск) на виконання лабораторної роботи, передбаченої його власним розкладом. Без цього дозволу (допуску) студентам категорично ЗАБОРОНЯЄТЬСЯ самостійно включати електричні установки та виконувати будь-які маніпуляції з приладами та устаткуванням лабораторії.
3. ВИМОГИ ТЕХНІКИ БЕЗПЕКИ ПІД ЧАС ВИКОНАННЯ ЛАБОРАТОРНИХ РОБІТ
3.1. Перше вмикання електричної установки чи іншого устаткування студенти здійснюють лише під безпосереднім наглядом інженера, лаборанта чи викладача – керівника лабораторних занять.
3.2. Студентам дозволяється самостійно виконувати лабораторну роботу, в якій використовуються установки і прилади з електроживленням до 1000 В, лише тоді, коли кожний із них: а) прослухав первинний інструктаж та розписався за нього в Журналі реєстрації; б) знає основні правила електробезпеки; в) отримав дозвіл (допуск) на виконання конкретної лабораторної роботи; г) при виконанні лабораторних робіт з підвищеною небезпекою (робота з використанням скляного посуду, з газом) чи складними приладами та устаткуванням БЕЗПОСЕРЕДНЬО ПЕРЕД ВИКОНАННЯМ ЛАБОРАТОРНОЇ РОБОТИ одержав додатковий інструктаж щодо безпечних методів експлуатації обладнання та вказівки стосовно поведінки на робочому місці цього студента та працюючих поруч з ним інших студентів.
3.3. Увімкнуту електроустановку ЗАБОРОНЯЄТЬСЯ залишати без нагляду. Не дозволяється також працювати на ній одному, без напарника.
3.4. При виконанні лабораторної роботи треба суворо дотримуватись методичних вказівок щодо порядку вмикання і вимикання електричних приладів, а також вимог техніки безпеки при роботі з ними.
3.5. Студентам категорично забороняється виконувати роль «технічних консультантів», які самостійно, без дозволу керівника занять чи відповідального працівника практикуму, вмикають експериментальні установки при виконанні тієї чи іншої лабораторної роботи іншими студентами.
3.6. Під час роботи зі скляними приладами, посудом та іншими виробами зі скла необхідно виконувати вимоги техніки безпеки. Якщо при цьому є хоч невелика ймовірність аварії, розривання скляних посудин тощо, обов’язково треба обгородити всю установку захисним екраном з оргскла, а найнебезпечніші ділянки установки – металевою сіткою або металевім кожухом. Нагріваючи рідину в пробірці або колбі з термічно стійкого скла, потрібно тримати їх так, щоб отвір пробірки або шийка колби були спрямовані в напрямі від себе і сусідів по роботі; не можна заглядати в посудину (навіть у пробірку) згори, бо в разі можливого викидання нагрітої речовини можуть бути нещасні випадки. Переносячи посудини з гарячою рідиною, потрібно брати їх руками, захищеними рушником; велику посудину при цьому тримають однією рукою за дно, другою – за шийку.
3.7. При роботі з газом треба дотримуватись правил техніки безпеки: суворо забороняється перевіряти вогнем герметичність з’єднань газопроводу, кранів та інших елементів газового обладнання; перевіряти потрібно за допомогою мильної піни, наносячи її на місця можливого витоку газу; необхідно правильно запалювати пальник – спочатку піднести запалений сірник, а потім обережно відкрити газовий кран. Положення крана визначається лінією (рискою) на квадратній головці крана: якщо кран відкритий – риска спрямована вздовж осі газопроводу, якщо закритий – упоперек; треба стежити за тим, щоб горіння було нормальним: полум’я спокійне, синьо-фіолетове; не можна залишати ввімкнені пальники та інше газове обладнання без нагляду. Слід стежити за тим, щоб на вогонь не потрапили одяг, волосся, а рідина, яка нагрівається, не заливала полум’я пальника.
3.8. У випадку використання приладів із ртуттю (наприклад, ртутний термометр) та зруйнування скляної оболонки необхідно зібрати ртуть гумовою грушею, попередньо локалізувавши її краплі невеликими за розміром свіжо наструганими свинцевими ошурками, а те місце, де розлилась ртуть, треба промити одновідсотковим розчином марганцевокислого калію.
3.9. Під час роботи в лабораторії необхідно підтримувати належним чином чистоту, порядок на робочому місці, суворо дотримуватись правил техніки безпеки.
4. ВИМОГИ ТЕХНІКИ БЕЗПЕКИ ПІСЛЯ ЗАКІНЧЕННЯ РОБОТИ
4.1. Після виконання експериментальної частини лабораторної роботи студенти повинні обов’язково показати одержані результати керівнику занять на перевірку їх достовірності та для їх підписання.
4.2. З дозволу викладача, лаборанта чи інженера, які обслуговують практикум, треба вимкнути електроустановку. Після цього треба здати інженеру інструменти, вимірювальні прилади, устаткування на робочому місці.
4.3. Після закінчення користування газом треба закрити крани перед пальником.
4.4. Привести в порядок своє робоче місце, вимкнути електроживлення на робочому місці, повідомити про це керівника занять і лише після цього залишити лабораторію.
4.5. Відповідальний працівник перед тим, як залишити лабораторію повинен: перевірити наявність приладів та устаткування на кожному робочому місці; перевести всі електричні вимикачі на робочих місцях в положення «ВИМКНУТО»; вимкнути електричний рубильник; закрити газові крани на розгалуженнях і загальний кран подачі газу в приміщення; надійно закрити кватирки та крани водопостачання, закрити приміщення лабораторії.
5. ВИМОГИ ТЕХНІКИ БЕЗПЕКИ ПІД ЧАС АВАРІЙНИХ СИТУАЦІЙ
5.1. Оцінити стан аварійної ситуації, далі діяти, виходячи з конкретних обставин, повідомити про виникнення аварійної ситуації по інстанції (зав. практикумом, зав. кафедрою, декана, відповідні служби).
5.2. При виникненні пожежі: негайно вимкнути всі електроприлади та електричний рубильник лабораторії; вивести студентів із лабораторії та направити їх в безпечне місце згідно з планом евакуації при пожежі; організувати, якщо це можливо, гасіння пожежі власними силами (піском, вуглекислим вогнегасником тощо); повідомити чергового пожежної охорони ХНУ за тел. 54-11 і декана фізичного факультету.
5.3. При ураженні електричним струмом треба: виключити електроживлення на робочому місці потерпілого, або ж вимкнути рубильником на центральному електрощиті електроживлення всієї лабораторії; надати першу допомогу потерпілому від ураження електричним струмом; викликати швидку допомогу за тел. 9-03.
5.4. У разі несподіваного припинення подачі газу в мережу треба негайно закрити всі газові крани, у тому числі й загальний кран подачі газу в приміщення.
5.5. При аварії труб теплопостачання або водопостачання треба: вимкнути електричне живлення лабораторії; вивести студентів у безпечне місце; закрити, якщо це можливо, вхідні крани водопостачання; повідомити чергових відповідних служб ХНУ за тел. 52-00 (водопостачання), 56-20 (котельна).
Ця інструкція з охорони праці при виконанні робіт в навчальній лабораторії фізичного практикуму «Механіка і молекулярна фізика» кафедри експериментальної фізики фізичного факультету розроблена згідно з інструкцією про охорону праці №58, яка затверджена Наказом ректора ХНУ імені В.Н. Каразіна і узгоджена з відділом охорони праці.
II. ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНІ ЛАБОРАТОРНІ РОБОТИ З МЕХАНІКИ
Лабораторна робота №1
Чутливість аналітичних терезів та методи точного зважування (вимірювання маси)
Мета лабораторної роботи:
Вивчення пристрою аналітичних терезів, засвоєння методики точного зважування.
Деякі теоретичні відомості.
Маса тіла – це фізична величина, яка характеризує інертні і гравітаційні властивості тіла. Величина маси залежить від розміру тіл і природи їх речовини. Вона може бути визначена за різними її проявами (інертністю, тяжінням) шляхом порівняння з масою еталонного тіла, довільно прийнятою за одиницю. У інерціальній системі відліку маса тіла зв’язана з модулем ваги цього тіла таким співвідношенням , де g – прискорення сили тяжіння у даній точці земної поверхні. У багатьох задачах фізики та техніки необхідне точне визначення маси тіл з різним ступенем точності. Для цього використовують аналітичні терези. Зважування на аналітичних терезах належить до найбільш точних фізичних вимірювань. На аналітичних терезах при дотриманні відповідних правил у ряді випадків проводять вимірювання маси тіл з точністю до тисячних частин відсотка, тобто до стотисячних частин її величини Аналітичні терези бувають різних типів і різного конструктивного оформлення.
Рис.1
Розглянемо принцип дії аналітичних терезів. Вони є важелем першого роду (рис.1), у якого відстані від точок прикладання сил до точок опори рівні одна одній (рівноплечий важіль). Помістимо на ліву шальку терезів тіло масою m1. Для того щоб відновити рівновагу, треба на праву шальку терезів накладати важки то тих пір, доки стрілка В, пов’язана з важелем, не повернеться у вихідне положення. Позначимо масу важків, при якій це відбудеться, m2. На підставі правила моментів сил , де P1 і P2 відповідно ваги тіл – сили, що діють на ліву і праву частини важеля у точках опори шальок терезів, l1 і l2 – відстані від цих точок до точки опори коромисла. Так як терези є рівноплечими, то і при рівновазі . Але , а , значить , так як у даному місці земної поверхні прискорення сили тяжіння є постійною величиною.
Таким чином, при зважуванні тіл на аналітичних терезах порівнюють силу, з якою маса тіла, яке зважують, притягується до Землі із силою, з якою відбувається притягування до Землі еталонного тіла, яке має еталонну масу. Так як еталоном при цьому є маса, то фактично зважування тіл на важільних терезах зводиться до визначення їх маси.
Будова аналітичних терезів. Точне аналітичне зважування здійснюють на двохшалькових аналітичних терезах з рівноплечим трьохпризмовим коромислом.
Рис.2
Загальний вигляд аналітичних терезів АД – 200, поширених у навчальних лабораторіях, показаний на рис.2. Вони складаються з рівноплечого коромисла 12, трубчатої колонки 6 та шальок 7. Ребром середньої опорної призми коромисло спирається на агатову подушку колонки. До крайніх вантажопідйомних призм, скріплених з коромислом, підвішені серги 2 з шальками. Ребра всіх трьох призм паралельні, а поверхні їх дотику відполіровані. Для відліку коливань призначено стрілку 11, кінець якої переміщується паралельно шкалі 10. Колонка закріплена на опорній дошці з гвинтовими ніжками 8 для встановлення терезів за виском і рівнем, який закріплений на опорній дошці (основі) терезів. Для зупинки коливань терезів, а також для відокремлення призм від подушок у неробочому стані з метою запобігання їх ушкодження і швидкого зношування служить аретир, рукоятка 9 якого розміщена під вітриною 1 терезів. При повороті рукоятки важеля аретира 9 в ту чи іншу сторону коромисло та чашки закріплюються на відповідних підпорах або знімаються з них. Терези розміщенні у скляному футлярі, який захищає терези від пилу, вологи, потоків повітря і пари, яку видихає людина, а також від нагрівання. З лівого і правого боків скляного футляру є дверці, через які на шальки терезів кладуть важки і тіла, які зважують. На верхній частині коромисла нанесена рейтерна шкала 4, яка має десять поділок, позначених цифрами від 1 до 10. Рейтер зроблений з легкої дротини, зігнутої у вигляді петлі, масою 10 мг (рис. 3в). Абсолютна похибка маси рейтера не повинна перевищувати 0,2 мг.
Рис.3
Ця міліграмова гиря навішується на коромисло за допомогою спеціального пристрою, що складається з гачка 3, скріпленого на рухомій штанзі з стрижнем 5, який виведено на бічну сторону вітрини. За допомогою цього спеціального важеля, який знаходиться в верхній частині футляру терезів, рейтер може бути розташований на будь яку поділку рейтерної шкали коромисла. Тоді він буде створювати додатковий момент сили, який діє на коромисло. Поміщувати рейтер слід тільки на цілі поділки шкали, отримуючи таким чином цілі міліграми. Якщо рейтер накласти (навісити) на десяту поділку рейтерної шкали, яка знаходиться якраз над призмою коромисла, то навантаження терезів буде рівним 10 мг, тобто вазі рейтера. Якщо ж рейтер покласти на дев’яту, восьму, п’яту поділку, то навантаження терезів буде рівнозначне відповідно 9, 8, 5 міліграм.
До кожних аналітичних терезів додають стандартний набір робочих важків (гир) і пінцет, що знаходиться у спеціальній дерев’яній коробочці. Гирі (рис.3 а,б) – це тіла певної маси і встановленої форми, які призначені для зважування (вимірювання маси) на терезах. Маса гир здебільшого вказана на них. Для забезпечення стабільності маси гирі виготовляють з корозійно-стійких і немагнітних матеріалів. З причин технологічного характеру гирям масою від 1 г до 200 г надано форми прямого циліндра з головкою. Набір гир такий:100, 50, 20, 10, 5, 2, 2, 1 г. Крім цього у наборі є міліграмові важки: 500, 200, 200, 100, 50, 20, 20, 10 мг. Ці гирі виготовлені з тонких металевих пластинок з одним загнутим кутком для зручності захоплення їх пінцетом. Вони мають форму різноманітних багатокутників. Сума ваги всіх важків, які входять у стандартний набір, не перевищує допустимого граничного навантаження аналітичних терезів, яке визначає те граничне навантаження шальок терезів, при якому терези залишаються непошкодженими і водночас забезпечується необхідна точність вимірювань. Дані щодо стандартного набору важків аналітичних терезів та допустимих для них похибок представлені в таблиці №1.
Таблиця №1
|
Маса важка, г |
Допустима похибка, мг |
Маса важка, мг |
Допустима похибка, мг |
|
100 |
± 1 |
500 |
± 0,3 |
|
50 |
± 1 |
200 |
± 0,3 |
|
20 |
± 1 |
200 |
± 0,3 |
|
20 |
± 1 |
100 |
± 0,3 |
|
10 |
± 0,6 |
50 |
± 0,3 |
|
5 |
± 0,6 |
20 |
± 0,2 |
|
2 |
± 0,6 |
20 |
± 0,2 |
|
2 |
± 0,6 |
10 |
± 0,2 |
|
1 |
± 0,6 |
Чутливість аналітичних терезів. Найважливішою характеристикою аналітичних терезів є їх чутливість . Чутливістю терезів називають відношення кутового або лінійного переміщення покажчика рівноваги (стрілки), яке здійснюється під дією перевантаження, до маси навантаження. У теорії важільних терезів, яку вперше розробив у 1738р. Л. Ейлер, чутливість визначається тангенсом кута відхилення стрілки, що виникає при навантаженні однієї з шальок терезів тілом масою 1мг., тобто
, (1)
де - кут відхилення стрілки, а p – вага важка, покладеного на шальку терезів. Значення тангенса кута відхилення стрілки при невеликих відхиленнях прямо пропорційне тій кількості поділок, на яку переміщується стрілка терезів по шкалі. Тому на практиці під чутливістю аналітичних терезів з шкалами розуміють число поділок n, на яке відхиляється стрілка терезів при навантаженні однієї з шальок важком в 1 мг, тобто
. (2)
Чутливість виражають в поділках шкали, віднесених до одного міліграма. Обернена величина, тобто маса тіла, яке зумовлює переміщення стрілки на одну поділку, називається ціною поділки.
Експериментально встановлено, що чутливість важільних терезів залежить від різних факторів: навантаження, маси коромисла, довжини плеча і стрілки, взаємного розміщення вершин призм, жорсткості коромисла, пружних сил, які виникають в місці контакту призм і подушок. Виведемо аналітичний вираз, який носить назву рівняння Ейлера і встановлює зв’язок між різними величинами, які впливають на чутливість аналітичних терезів.
Приймемо такі позначення (рис.4):
О'О'' – горизонтальна вісь;
О – проекція ребра середньої опорної призми коромисла на площину креслення;
A та B – проекції ребер призм для підвісу чашок;
L = AО = BО – довжина плечей коромисла;
С – центр тяжіння (центр ваги) коромисла зі стрілкою;
d – віддаль від центра ваги С до ребра середньої опорної призми О;
Q – вага коромисла зі стрілкою;
Р – вага кожної шальки терезів;
р – вага додаткового тягарця.
При рівновазі ненавантажених терезів плечі коромисла складають з лінією горизонту О'О'' кути α. Якщо на одну з шальок терезів покласти додатковий тягарець p, то ця шалька опуститься вниз, а коромисло терезів повернеться на кут β і займе нове положення рівноваги A'ОB'. Чутливість терезів може бути визначена з умови рівноваги коромисла з шальками та додатковим тягарцем, згідно з якою сума моментів сил, що діють на праве плече, повинна бути рівною сумі моментів, що діють на ліве плече, тобто:
. (3)
Розв’яжемо це рівняння відносно β:
.
.
.
. (4)
Якщо вага додаткового тягарця р є малою, то кут повороту коромисла терезів також малий, і можна вважати, що tg β β. У цьому випадку рівняння Ейлера, за яким визначають чутливість терезів, має такий вигляд:
. (5)
Аналізуючи формулу (5) можна прийти до висновку, що чутливість аналітичних терезів є змінною величиною і, перш за все, залежить від навантаження. При збільшенні навантаження, чутливість терезів зменшується. З співвідношення (5) також видно, що чутливість терезів залежить від L, d, Q, α.
За допомогою особливого пристрою чутливість терезів можна регулювати. Зазвичай шляхом регулювання можна досягти значень γ, які лежать у межах від 1 до 4 поділок на міліграм.
Правила користування терезами. Аналітичні терези – це точний вимірювальний прилад. Тому поводитись з ними потрібно обережно, суворо дотримуючись вказаних нижче правил їхньої експлуатації.
Методичні інструкції та рекомендації щодо проведення вимірювань.
Порядок дій при точному зважуванні тіл. Для того щоб точно зважити тіло на аналітичних терезах, треба послідовно здійснити такі операції:
Спинимось докладніше на методичних особливостях виконання деяких з цих операцій.
1. Визначення нульової точки (положення рівноваги) ненавантажених терезів. Перед початком кожного зважування потрібно знайти - положення рівноваги ненавантажених терезів, тобто ту поділку шкали, проти якої зупинилася б стрілка за відсутності тертя. Цю поділку називають нульовою точкою терезів. З метою виключення впливу тертя нульова точка визначається за методом коливань. При коливанні коромисла терезів стрілка поводить себе як маятник, який здійснює внаслідок тертя повільно згасаючі коливання. При припинені коливань стрілка-вказівник встановлюється проти одної з поділок шкали, якою і визначається положення нульової точки ненавантажених аналітичних терезів. Отже, здавалося б, для того щоб визначити нульову точку слід зачекати, доки стрілка терезів у результаті згасання коливань зупиниться. Але на це було б затрачено багато часу. Тому на практиці нульову точку визначають так. Знявши терези з аретира, тобто звільнивши їх, і пропустивши два повні коливання стрілки, відлічують починаючи з третього коливання, з точністю 0,1 поділки шкали (починаючи звичайно зліва) за шкалою терезів непарне число (найчастіше п’ять) послідовних відхилень стрілки від нульової поділки, тобто фіксують ті поділки шкали, до яких стрілка відхиляється від нульової поділки вліво і вправо . Нижні індекси л та п позначають відхилення стрілки вправо чи вліво, а верхні індекси відповідають порядковому номеру коливань, яке досліджується.
Оскільки амплітуда згасаючих коливань зменшується не пропорційно часу, а за експоненціальним законом , де - коефіцієнт згасання, то для розрахунку беруть середнє арифметичне відхилень у кожну сторону. Тоді нульова точка визначається як середнє арифметичне середніх арифметичних лівих і правих відхилень стрілки, тобто
(6)
Формулою (6) користуються при зважуванні на терезах, шкала яких має цифру 0 посередині. При цьому відхилення праворуч домовились вважати додатними, а ліворуч – від’ємними. Тоді, якщо при визначені нульової точки ми дістали значення, наприклад, +2, то це означає, що нульова точка терезів знаходиться праворуч від 0 на другій поділці. Якщо ж дістанемо значення -1, то це означатиме, що нульова точка терезів знаходиться на першій поділці ліворуч від нуля шкали. Знаходячи нульову точку терезів N, як і при всіх інших вимірюваннях, треба зробити хоча б три визначення положення нульової точки і підрахувати її середнє арифметичне значення .
Завдання №1. Дотримуючись методичних рекомендацій, наведених вище, визначте нульову точку (положення рівноваги) ненавантажених терезів. Дані вимірювань і розрахунків запишіть у таблицю №2. Суттєві розбіжності в окремих значеннях нульових точок можуть бути спричинені як неправильною роботою терезів, пов’язаною з їх поганим юстуванням або з порушенням правил їх експлуатації, так і грубими промахами, зумовленими неуважністю експериментатора. У таких випадках при результуючій оцінці результатів вимірювань такі помилкові результати слід відкинути, а вимірювання повторити заново.
Таблиця №2
|
№ досліду |
Відліки (у поділках шкали) відхилення стрілки |
, под |
, под |
||||
|
вліво |
вправо |
||||||
|
1 |
|||||||
|
2 |
|||||||
|
3 |
2. Визначення чутливості ненавантажених терезів. Для того, щоб визначити чутливість ненавантажених терезів, на першу велику поділку рейтерної шкали правого плеча коромисла терезів поміщують рейтер. Цю маніпуляцію здійснюють при аретованих терезах за такою методикою. Рейтер у вигляді петельки із тонкої дротинки пінцетом навішують на рухомий гачок, який може переміщуватись вздовж рейтерної шкали коромисла. Як відомо, рейтер створює навантаження у мг, яке дорівнює номеру тієї поділки рейтерної шкали, на яку він поміщений. У даному випадку поміщуючи рейтер на першу поділку шкали досягають збільшення навантаження терезів на 1 мг. Після цього знову визначають середнє положення рівноваги терезів так само, як визначалась нульова точка терезів. Дослід повторюють не менше трьох раз. За даними вимірювань розраховують середнє арифметичне значення середнього положення рівноваги терезів . Абсолютна величина різниці і є середньою чутливістю ненавантажених терезів, бо вона визначає ту кількість поділок шкали, на яку (в середньому) зміщується нульова точка (положення рівноваги) терезів при перевантаженні їх тілом масою в 1 мг. Знаючи чутливість, можна визначити ціну однієї поділки k на шкалі терезів за такою формулою
. (7)
Завдання №2. Дотримуючись методичних рекомендацій, наведених вище, визначте чутливість ненавантажених терезів і ціну однієї поділки на шкалі терезів. Дані вимірювань і розрахунків запишіть у таблицю №3.
Таблиця №3
|
№ досліду |
Відліки (у поділках шкали) відхилення стрілки |
, под |
, под |
, под/мг |
, под/мг |
||||
|
вліво |
вправо |
||||||||
|
1 |
|||||||||
|
2 |
|||||||||
|
3 |
3. Визначення чутливості навантажених терезів. Як було вже зазначено вище чутливість терезів, (а значить і ціна однієї поділки шкали) змінюється в залежності від навантаження. Тому для більш точного зважування треба попередньо визначити чутливість та ціну однієї поділки навантажених терезів. Для того, щоб визначити чутливість зрівноважених терезів, навантажених вантажем P, у загальному випадку треба використовувати таку методику. Після зрівноваження терезів залишають на них тіло, яке зважують, і важки. Переміщують рейтер праворуч на одну велику поділку, тобто збільшують навантаження на 1 мг (якщо рейтером не користувались при зважуванні, то його ставлять на першу велику поділку рейтерної шкали правого плеча коромисла). Після цього знову знаходять положення рівноваги так само, як визначали нульову точку терезів. Дослід повторюють кілька разів.
Абсолютна величина різниці і є середньою чутливістю терезів, навантажених вантажем P, бо вона визначає собою те число поділок шкали, на яке ( в середньому) зміщується нульова точка терезів при перевантажуванні їх тілом масою в 1 мг за умови, що терези навантажені певним вантажем. Знаючи чутливість, можна визначити ціну однієї поділки k на шкалі терезів, навантажених вантажем Р, за такою формулою
. (8)
Завдання №3. Визначити залежність чутливості терезів від навантаження.
При проведенні зважувань на аналітичних терезах АД-200 згідно з вимогами метрологічних стандартів прийнято визначати чутливість і ціну поділки терезів, навантажених 20 г і 200 г, оскільки це дає можливість, як буде показано нижче, досить точно визначати масу тіл у межах до 100 г і від 100 г до 200 г. У даній лабораторній роботі для того, щоб пересвідчитись у залежності чутливості терезів від навантаження треба визначити чутливість терезів, навантажених 10 г, 20 г, 30 г, 40 г, 50 г, 80 г.
При проведенні зважування і врівноважування терезів треба врахувати такі обставини. На зважуване тіло і на гирі в повітрі діє сила Архімеда. Тому за законом Архімеда, як зважуване тіло, так і важки втрачають у своїй вазі стільки, скільки важить витіснене ними повітря. Це приводить до того, що коли помістити на шальки терезів дві гирі однакової маси, але виготовлені з різних матеріалів, або навіть з одного матеріалу але різної форми, то одна з них в повітрі обов’язково переважить іншу, так як об’єми гир будуть різні, а значить різними будуть і діючі на них сили Архімеда.
Враховуючи зазначене вище, виконання вимірювань при визначенні залежності чутливості терезів від навантаження треба проводити у такій послідовності. На ліву і на праву шальку терезів поставте гирі масою 10 г. Визначте нульову точку терезів за методикою, описаною у п. 1. Помістіть рейтер на першу велику поділку рейтерної шкали правого плеча коромисла терезів. Цією маніпуляцією, яку здійснюють при аретованих терезах, досягають збільшення навантаження терезів на 1 мг. Після цього знову визначають середнє положення рівноваги терезів так само, як визначалась нульова точка терезів . Дослід повторюють не менше трьох раз. За даними вимірювань розраховують середнє арифметичне значення середнього положення рівноваги терезів. Абсолютна величина різниці і є середньою чутливістю терезів, навантажених вантажем Р, бо вона визначає ту кількість поділок шкали, на яку (в середньому) зміщується нульова точка (положення рівноваги) терезів при перевантаженні їх тілом масою в 1 мг.
Послідовно навантажуючи ліву і праву шальки терезів гирьками масою 20г, 30г, 40г, 50г, 80г, 100г, визначте значення середньої чутливості терезів та ціну поділки терезів при даних значеннях навантаження. Дані вимірювань і розрахунків запишіть у таблицю №4. Побудуйте графіки залежностей .
Таблиця №4
|
m, г |
, под |
, под |
, под/мг |
|
0 |
|||
|
10 |
|||
|
20 |
|||
|
50 |
|||
|
80 |
|||
|
100 |
Зважування. Зважування тіла здійснюють за такою методикою. При аретованих терезах поміщують зважувань тіло у центр лівої шальки терезів. Гирі з грамового і міліграмового наборів пінцетом кладуть на праву шальку терезів. Шляхом поступового підбору важків і положення рейтера на рейтерній шкалі терези врівноважуються так, щоб стрілка коливалась у межах шкали. При точному зважуванні, як правило, пересуваючи рейтер вздовж рейтерної шкали правого плеча коромисла, знаходять дві такі її поділки, для яких виконується така закономірність. Поміщення рейтера на одну з цих поділок дає загальне навантаження правої шальки терезів, яке трохи менше ніж маса тіла, а поміщення рейтера на другу поділку дає загальне навантаження, яке є трохи більшим ніж маса зважуваного тіла. Це означає, що у першому випадку маса зважуваного тіла виміряна з недостачею, а у другому – з надлишком. При зважуванні бажано, щоб тіло трохи перевантажувало важки, тобто спостерігалось деяке незначне недовантаження важками, що завжди можна врахувати шляхом відповідних обчислень. Примітка. При великій різниці в масі тіла та важків перевантаження однієї з шальок легко спостерігається: коромисло терезів при звільнені терезів від аретира зразу же нахиляється в ту, чи в іншу сторону і не коливається. При малій різниці в масі тіла та важків коромисло терезів продовжує коливатися.
За методикою, описаною у п. 1, визначають середнє значення нульової точки терезів, тобто положення рівноваги ненавантажених аналітичних терезів. За методикою, описаною у п. 2 визначають середню чутливість ненавантажених терезів. За цими даними, використовуючи метод інтерполяції, можна знайти величину недовантаження терезів, яке мало місце при зважуванні даного тіла. Для цього користуються пропорцією 1 мг - , а x мг -, де - середнє значення положення рівноваги (середнє значення нульової точки) аналітичних терезів, на яких з недовантаженням у x мг зважене дане тіло. Звідки
. (9)
Отже, маса зважуваного тіла з точністю до 0,0002 г, не враховуючи поправок на наявність нерівності плечей коромисла і на втрату маси тіла в повітрі, визначається із співвідношення
(10)
де m – сумарна маса усіх гир номінального значення, які лежать на правій шальці зрівноважених терезів з врахуванням положення рейтера на рейтерній шкалі.
На практиці, за вимогами існуючих державних метрологічних стандартів, якщо маса тіла не перевищує 100 г, то вона визначається за формулою
, (11)
де - середнє значення положення рівноваги (середнє значення нульової точки) аналітичних терезів, на яких з недовантаженням у x мг зважене дане тіло, - середнє положення рівноваги (нульова точка) аналітичних терезів при навантаженні в 20 г, а - ціна поділки шкали терезів при навантаженні в 20 г.
Якщо ж маса тіла не перевищує 200 г, то вона визначається за формулою
, (12)
де - середнє значення положення рівноваги (середнє значення нульової точки) аналітичних терезів, на яких з недовантаженням у x мг зважене дане тіло, - середнє положення рівноваги (нульова точка) аналітичних терезів при навантаженні в 200г, - ціна поділки шкали терезів при навантаженні в 200г.
Методи точного зважування. Зважування, як і будь-які виміри, не може бути проведене абсолютно точно, обов’язково будуть якісь похибки. На результат зважування впливають такі систематичні похибки:
Дві перші похибки усувають створенням певних умов при роботі. Третя та четверта похибки можуть бути усунені шляхом введення поправок. Для усунення впливу нерівноплечості коромисла та інших похибок можна застосовувати такі методи точного зважування:
Метод тарування (метод Борда). Цей спосіб відомий як спосіб зважування на одному плечі, що ґрунтується на такій аксіомі: дві величини, які дорівнюють такій самій третій, дорівнюють одна одній. На праву шальку терезів кладуть тіло, що зважують. На ліву шальку терезів для зрівноважування цього тіла кладуть допоміжний вантаж, який називають тарою. Зазвичай у якості тари використовують різноманітні невеликі за розміром предмети, виготовлені з металів і сплавів, або з інших негігроскопічних матеріалів (наприклад шматочки металу, гвинтики, гайки, станіоль, тощо). Зважування здійснюють у такій послідовності. Визначають положення рівноваги терезів так, як це було описано вище. Нульова точка N повинна лежати в інтервалі ± 2 поділки від центра шкали терезів. Після цього тіло знімають і, не змінюючи нічого в положенні терезів, зрівноважують тару важками. Тоді маса важків дорівнюватиме масі тіла. Знаходять масу тіла з недостачею або з надлишком з точністю до 1 мг. Десяті долі міліграма визначають інтерполяцією.
При зважування за методом Борда нерівність плечей коромисла ролі не відіграє, тому що тіло та важки лежать на одній і тій же чашці терезів.
Метод постійного навантаження (метод Менделєєва). Д.І. Менделєєв удосконалив метод Борда, запропонувавши зважувати тіла при однаковому повному навантажування терезів, а отже і при однаковій чутливості. На одну з чашок терезів, припустимо, праву, кладуть набір важків, сумарна маса яких дорівнює граничному навантаженню терезів (наприклад 200 г). На ліву шальку терезів для зрівноважування правої шальки терезів кладуть тарувальний матеріал. Знаходять положення рівноваги терезів. Знімають з правої шальки терезів частину важків, кладуть на неї тіло, яке зважують, та, додаючи важки до встановлення приблизної рівноваги, знаходять масу тіла з недостачею та з надлишком з точністю до 1 мг. Десяті долі міліграма знаходять інтерполяцією.
Метод Менделєєва зручний у випадку проведення багатократних зважувань, тому що чутливість терезів при цьому методі постійна.
Метод подвійного зважування (метод Гаусса). Спосіб Борда незручний через те, що крім двох мас тіла і гир вводиться ще третя – маса тари. За методом Гаусса тіло зважують послідовно спочатку на правій, а потім на лівій чашці з граничною точністю. Через нерівність довжин плечей коромисла результати зважування трохи відрізняються. Похибка, зумовлена нерівністю плечей, матиме в першому і у другому зважуваннях протилежні знаки. Потім обчислюють масу тіла таким чином. Нехай довжина лівого плеча коромисла – Lл, правого – Lп, m – невідома маса тіла та відповідна їй вага Р. Вага важків, які зрівноважують тіло та лежать на правій шальці терезів – Рл,, а на лівій – Рп.
Умовою рівноваги в цих двох випадках буде
та . (13)
Отже
. (14)
Різниця між Рл та Рп невелика. Тому нехай ,
. (15)
Так як мале порівняно з одиницею, то
. (16)
Остаточно
. (17)
Завдання №4.
Література: [1-15,17,16]
Лабораторна робота №2
Визначення густини сухого повітря та універсальної газової сталої за методом відкачки
Мета лабораторної роботи:
Визначення густини сухого повітря та універсальної газової сталої за даними вимірювань залежності тиску сухого повітря від його маси.
Деякі теоретичні відомості
Повітря біля поверхні Землі є сумішшю газів з усередненим значенням молярної маси . Зміна атмосферного тиску і температури повітря дуже мало впливає на густину рідин і твердих тіл. Густина ж повітря при коливаннях температури і тиску різко змінюється. Густину повітря при даній температурі і тиску можна визначити за даними вимірювань залежності тиску повітря, яке знаходиться у посудині об’ємом V, ізольованій від атмосфери, від його маси m.
Універсальна газова стала R є важливою фізичною константою. Це фізична величина, яка чисельно дорівнює роботі, яку виконує один моль ідеального газу при його нагріванні на один кельвін при постійному тиску.
Чисельне значення універсальної газової сталої можна визначити теоретично з рівняння стану для одного моля ідеального газу, яке запропонував Клапейрон
, (1)
де P0, T0, V0μ – параметри стану одного моля ідеального газу за нормальних умов (Р0=1.013٠105 Па, V0μ = 22,4 м3, Т = 273,15 К). Розрахунки показують, що .
Універсальна газова стала входить і у рівняння стану ідеального газу Клапейрона-Менделеєва для довільної кількості молів газу. Це дає можливість визначити її значення експериментально за даними, які отримують за методом відкачки при дослідженні залежності тиску ідеального газу від його маси. За рівнянням Клапейрона-Менделеєва
, (2)
де m – маса газу, V - його об’єм, μ – молярна маса газу, а Т його абсолютна температура.
Видно, що при постійних об’ємі та температурі тиск газу лінійно залежить від його маси
. (3)
Опис експериментальної установки
Експериментальна установка (рис.1) складається із сферичної скляної колби A з краном К1, яка з’єднана з U – подібним відкритим ртутним манометром М, сушильні С, в якій міститься гігроскопічна речовина, яка використовується для поглинання водяної пари, що завжди є у повітрі. Як відомо, водяна пара не входить до складу повітря, яке є сумішшю газів. Її наявність у повітрі вносить неточності у результати вимірювань, тому досліди,
Рис.1
безперечно, необхідно проводити з сухим повітрям. Крім цього, сушильня С служить для запобігання потрапляння вологи у ртуть, та у форвакуумний масляний насос Камовського N, який використовується для розрідження повітря у даній вакуумній системі.
Рис.2
Насос Камовського (рис.2) складається з робочого циліндра без дна, який приєднується до відкачуваної колби за допомогою гумової трубки. Всередині цього циліндра знаходиться рухомий поршень. Циліндр з поршнем поміщений у посудину, заповнену спеціальним вакуумним маслом. Знизу він може закриватись щільно пришліфованим приставним дном, яке притискується до нижнього краю циліндра пружиною тоді, коли циліндр знаходиться у нижньому положенні. При русі поршня вгору, яке здійснюється в результаті обертання ручки насоса, між циліндром і приставним дном циліндра утворюється пустота, що спричинює розрідження. Повітря з відкачуваної системи через гумову і металеву трубки заходить в циліндр. При русі поршня вниз повітря, яке знаходиться під ним, стискується, а потім, коли поршень виходить з циліндра і притискується до приставного дна, виштовхується назовні, в атмосферу.
Порядок виконання роботи
1. За сифонно чашковим ртутним барометром визначте (у мм. рт. ст.) атмосферний тиск повітря у лабораторії, а за термометром – його абсолютну температуру. Оскільки тиск повітря Pi у вакуумній системі, а значить і у колбі А, визначається за формулою , де - різниця рівнів ртуті у колінах манометра, то перш ніж проводити вимірювання треба попередньо розрахувати значення різниць рівнів ртуті у колінах манометра, які мають бути за умови, що тиск сухого повітря у колбі А буде рівним: Р1 = 600 мм. рт. ст., Р2 = 500 мм. рт .ст,. Р3 = 400 мм. рт. ст., Р4 = 300 мм. рт. ст., Р5 = 200 мм. рт. ст., Р6 = 100 мм. рт. ст., Р7 = 50 мм. рт. ст., Р8 =25 мм. рт. ст., а атмосферний тиск у лабораторії Ратм. При експериментальному визначені тиску у колбі доцільно враховувати таке. Якщо попередньо визначити початкове положення ртуті у обох колінах манометра, яке вона займає при атмосферному тиску, тобто h0., то при певному значенні тиску у системі Рі різниця рівнів ртуті у колінах манометра , де hпрі – висота стовпчика ртуті у правому коліні манометра, яке з’єднане з вакуумною системою, відлічена від початкового рівня. Покажіть розраховані значення викладачу, який веде заняття, і одержіть від нього детальні інструкції щодо вимог техніки безпеки та методики вимірювань тиску з використанням ртутного манометра.
2. Приєднайте колбу A до системи за допомогою гумової під’єднувальної трубки з краном К1, якою оснащена колба.. Закрийте кран К3, який служить для відокремлення сушильні від форвакуумного насоса і колби. Відкрийте крани К1 та К2 і відкачайте повітря з колби до максимального розрядження, яке може створити насос. Закрийте крани К1 та К2 і відокремте колбу А з трубкою від установки. Зважте колбу (разом з під’єднувальною гумовою трубкою та краном на ній) на аналітичних терезах, тобто виміряйте шляхом зважування масу відкачаної колби .
3. Приєднайте колбу А до системи за допомогою гумової під’єднувальної трубки з краном К1, якою оснащена колба. Відкрийте спочатку кран К1. Обережно відкрийте К4, а потім кран К3, який служить для відокремлення сушильні від форвакуумного насоса, манометра і колби. Повітря, проходячи через сушильню, звільниться від водяної пари і заповнить колбу A. Після того, як ртуть у обох колінах манометра стане на одному рівні, що означатиме те, що тиск сухого повітря у системі став рівний атмосферному тиску, закрийте кран К3, а також кран К1 на гумовій під’єднувальній трубці колби A і відокремте колбу А з трубкою від установки.
4. Зважте колбу (разом з під’єднувальною гумовою трубкою та краном на ній) на аналітичних терезах, тобто виміряйте масу колби з повітрям, яке у ньому знаходиться , при атмосферному тиску Ратм.
5. Знову приєднайте колбу до вакуумної системи, відкрийте кран К1 та відкачайте систему до тиску Р1. Закрийте кран К1 на трубці колби А і відокремте колбу з трубкою від установки.
6. Шляхом зважування колби (разом з під’єднувальною гумовою трубкою та краном на ній) на аналітичних терезах визначте масу колби з повітрям, яке залишилось у ній після відкачування системи . Дослід повторюють декілька раз для вказаних вище значень тиску сухого повітря у колбі, або для якихось інших його значень, узгоджених попередньо з керівником занять.
Маса сухого повітря у колбі при тиску Рi (MC– маса оболонки колби) відносно невелика, тому зважування необхідно проводити з якомога більшою точністю (в даному випадку з точністю 0,5 мг), так як навіть невелика абсолютна похибка, допущена при зважуванні, може привести до великої відносної похибки результату.
Підставивши значення маси повітря в формулу (3), можна отримати формулу (4), яка демонструє наявність лінійної залежності між тиском сухого повітря Рi у колбі і його масою
. (4)
7. За даним вимірювань побудуйте графік залежності , попередньо розрахувавши значення тиску сухого повітря в колбі в паскалях, а масу повітря в колбі в кг. З цього графіка визначте числове значення тангенса кута нахилу (кутового коефіцієнта) прямої , який, у свою чергу, дорівнює RT/μV, де Т – абсолютна кімнатна температура в лабораторії, - усереднене значення молярної маси сухого повітря. Об’єм колби V заданий.
Примітка. Якщо будувати графік залежності, відкладаючи тиск у міліметрах ртутного стовпчика, а масу сухого повітря у грамах, то при визначені кутового коефіцієнта цієї прямої потрібно обов’язково врахувати співвідношення між 1 мм. рт. ст. і Па (1 мм рт. ст. = 133,3 Па), а також між грамом і кілограмом (1кг =1000 г).
8. За формулою
(5)
розрахуйте значення універсальної газової сталої. Розрахуйте абсолютну та відносну похибки. Порівняйте отримане значення R з табличним значенням цієї сталої. За відношенням отриманого вами експериментально значення R до її табличного значення розрахуйте відносну похибку, з якою вам, скориставшись методом відкачки, вдалось експериментально визначити універсальну газову сталу.
9. За даними щодо маси сухого повітря, яке було у колбі А при атмосферному тиску Ратм, а також щодо його ж маси при найменшому з досягнутих у результаті відкачування тиску Рmin, визначте густину сухого повітря при кімнатній температурі Т та атмосферному тиску Ратм, скориставшись для цього такою формулою
. (5)
10. Скориставшись отриманим значенням ρ, обчисліть значення густини сухого повітря за нормальних умов за формулою
. (6)
11. Визначте абсолютну та відносну похибки визначення густини сухого повітря.
12. Проаналізуйте отримані у ході виконання лабораторної роботи результати і зробіть висновки.
Література: [1-6,9,20-23,33-36]
Лабораторна робота №3
Визначення густини твердих тіл пікнометром
Мета лабораторної роботи:
Ознайомлення з основами методики визначення густини твердих тіл за допомогою пікнометра.
Деякі теоретичні відомості
Якщо досліджуване тверде тіло обмежене складною поверхнею і має малі розміри то для визначення його густини використовують пікнометри. Пікнометри – це невеликі посудини певного сталого об’єму (своєрідні мірні колби). Майже всі пікнометри виготовляють із скла. Вони можуть мати кулясту або циліндричну форму(з круговою міткою на шийці), які закриваються або глухою пробкою, або притертою пробкою (рис.1 а,в) з капілярним отвором (рис.1 б).
Рис.1
Щоб визначити густину твердого тіла пікнометричним методом, як правило не менше ніж три рази послідовно виконують такі зважування на аналітичних терезах: 1) зважують досліджуване тіло в повітрі; 2) зважують пікнометр, наповнений дистильованою водою (або іншою допоміжною рідиною відомої густини), в повітрі; 3) зважують пікнометр, наповнений рідиною з зануреним в неї досліджуваним твердим тілом, у повітрі. З отриманих декількох значень маси тіла, маси пікнометра з водою, маси пікнометра з водою та зануреним у нього тілом для розрахунків густини досліджуваного твердого тіла слід брати середні арифметичні їх значення.
Порядок виконання роботи.
Одержимо формулу, яка дає можливість розрахувати густину твердого тіла за даними пікнометричних досліджень. Маса води mВ, яка була виштовхнута з пікнометра при введенні у нього твердого тіла, визначається за такою формулою . При цьому mВ визначає невиправлену масу дистильованої води в об’ємі, рівному об’єму твердого тіла. Поділивши масу води на густину води при температурі досліду , одержимо об’єм досліджуваного твердого тіла
.
Тоді невиправлена густина твердого тіла може бути визначена за формулою
. (1)
Формула (1) може бути використана для того, щоб визначити невиправлену густину твердого тіла без врахування втрати маси води і твердого тіла (за рахунок дії виштовхувальної сили Архімеда). Якщо врахувати ці втрати, то можна отримати остаточну формулу для визначення справжньої густини твердого тіла
, (2)
де густина повітря. За нормальних умов, тобто при температурі 0С і тиску Р = 760 мм. рт. ст. густина повітря складає 0,001293 г/см3. Для кімнатних значень температури та середнього значення атмосферного тиску в кімнаті густину повітря можна вважати рівною 0.0012 г/см3.
5.Скориставшись формулами (1) і (2) та даними таблиці №1 розрахуйте за даними пікнометричних вимірювань невиправлену густину твердого тіла, його справжню густину, а також абсолютну і відносну похибки. Дані вимірювань і розрахунків запишіть у таблицю №2. Порівняйте між собою одержані значення. Зробіть висновки.
Таблиця №1
Залежність густини дистильованої води від температури
|
t, °C |
, г/см3 |
t, °C |
, г/см3 |
t, °C |
, г/см3 |
t, °C |
, г/см3 |
|
15 |
0,99913 |
19 |
0,99843 |
23 |
0,99753 |
27 |
0,99654 |
|
16 |
0,99897 |
20 |
0,99823 |
24 |
0,99732 |
28 |
0,99626 |
|
17 |
0,99880 |
21 |
0,99803 |
25 |
0,99707 |
29 |
0,99597 |
|
18 |
0,99862 |
22 |
0,99780 |
26 |
0,99681 |
30 |
0,99567 |
Таблиця №2
|
№ досліду |
m, г |
M,г |
MВ,г |
t, °C |
, г/см3 |
, г/см3 |
, г/см3 |
Література: [1-8,10-12]
Лабораторна робота №4
Вивчення обертального руху твердого тіла за допомогою маятника Обербека.
Мета лабораторної роботи:
Вивчення основного закону динаміки обертального руху твердого тіла, визначення моменту інерції хрестовини маятника Обербека.
Деякі теоретичні відомості.
Твердим тілом (або абсолютно твердим тілом) у механіці називають систему матеріальних точок (елементів тіла), відстань між якими у процесі руху не змінюються. Згідно з визначенням тверде тіло не деформується під дією зовнішніх сил. Реальне тверде тіло можна вважати твердим тілом, якщо деформації, що виникають під дією зовнішніх сил, малі і в умовах задачі ними можна знехтувати.
Обертальним рухом твердого тіла навколо нерухомої осі називається рух, при якому існують хоч би дві нерухомі точки тіла. Пряма лінія, яка проходить через ці точки, називається віссю обертання. Можна показати, що усі інші точки тіла, які не лежать на осі обертання, рухаються в перпендикулярній до осі обертання площині по колах, центри яких лежать на осі обертання. Лінійна швидкість цих точок перпендикулярна до осі обертання і направлена по дотичній до кола.
Основними кінематичними характеристиками обертального руху твердого тіла є його кутова швидкість і кутове прискорення.
|
Рис.1 |
Нехай ОО – нерухома вісь обертання твердого тіла. Направимо вісь нерухомої декартової прямокутної системи координат так, щоб вісь z співпадала з віссю обертання (рис.1). Проведемо з початку координат до довільної точки А радіус вектор . Кутовою координатою (кутом повороту) називається кут між додатним напрямком вісі x і проекцією радіуса вектора на координатну площину xy. Кут повороту – величина скалярна, він може бути додатнім, від’ємним або нулем. Додатній напрямок відліку кутової координати умовились визначати за таким |
правилом: воно утворює правий гвинт з додатнім напрямком осі z декартової системи координат. Кут вимірюється у радіанах.
Нехай тверде тіло повернулося на нескінченно малий кут навколо нерухомої вісі ОО. При цьому довільна точка А тіла, рухаючись по колу, зайняла положення А (рис.2). Вектором елементарного повороту називається вектор , модуль якого дорівнює модулю кута повороту : . Вектор направлений вздовж вісі обертання тіла, при цьому його напрямок пов’язаний правилом правого гвинта (буравчика) з напрямком обертання тіла. згідно з цим правилом напрямок вектора кута
|
Рис.2 |
повороту співпадає з напрямком поступального руху вістря буравчика, головка якого обертається у напрямку руху точки по колу. Нехай тверде тіло, обертаючись навколо нерухомої вісі ОО, здійснило за елементарний проміжок часу dt елементарний поворот . Обертання твердого тіла у цьому випадку характеризується величиною та напрямком вектора кутової швидкості . Кутовою швидкістю тіла називається вектор, який визначається за такою формулою: |
, (1)
|
Рис.3 |
Напрямок вектора кутової швидкості співпадає за напрямком з вектором і, значить він направлений вздовж осі обертання тіла, причому так, що утворює правий гвинт з напрямом обертання. Якщо дивитися на тверде тіло, яке обертається, зверху, а тіло при цьому повертається проти годинникової стрілки, то вектор кутової швидкості спрямований вгору вздовж вісі обертання (рис.3). Якщо вісь z нерухомої декартової системи координат направлена вздовж вісі обертання тіла, то проекція на цю вісь вектора кутової швидкості дорівнює |
. (2)
Кутовим прискоренням називається вектор , який дорівнює першій похідній вектора кутової швидкості за часом, або другій похідній вектора кутового переміщення за часом:
. (3)
Напрямок вектора співпадає з напрямком вектора прирощення кутової швидкості за нескінченно малий проміжок часу dt. Якщо тіло обертається навколо нерухомої вісі обертання ОО', то вектор прирощення кутової швидкості і вектор кутового прискорення лежать на вісі обертання (рис.4).
|
Рис.4 |
Якщо з течією часу кутова швидкість в ході обертання твердого тіла зростає, то вектори і направлені в одну сторону, а якщо кутова швидкість у ході обертання тіла зменшується, то вектор кутового прискорення направлений вздовж вісі обертання у протилежному напрямку до напрямку вектора . Якщо вісь z нерухомої декартової системи координат направлена вздовж осі обертання тіла, то проекція на цю вісь вектора кутового прискорення дорівнює |
. (4)
Зв’язок між векторами кутової швидкості і кутового прискорення і відповідними їм лінійними величинами для певної точки твердого тіла, яка лежить на відстані від вісі обертання, такий:
, (5)
де - радіус-вектор даної точки, - тангенціальне прискорення цієї точки, - нормальне прискорення цієї точки.
Основними динамічними характеристиками обертального руху є момент сили, момент імпульсу і момент інерції. Між поступальним і обертальним рухом існує аналогія. Момент сили є аналогом сили, момент імпульсу - аналогом імпульсу, а момент інерції J – аналогом маси.
Рис.5
Момент сили відносно нерухомої точки О, яка лежить на вісі обертання, – це фізична величина, яка визначається векторним добутком радіуса вектора , проведеного з точки О в точку А прикладання сили (рис.5), на вектор сили
. (6)
Вектор момента сили напрямлений вздовж вісі обертання відповідно до правила правого буравчика: якщо обертати буравчик від радіуса-вектора до вектора сили , то поступальний рух його вістря покаже напрям вектора (рис.5). Модуль вектора моменту сили дорівнює добутку модуля вектора сили на найкоротшу відстань від точки О до лінії дії сили, або добутку модуля вектора сили на плече сили.
|
Рис.6 |
Момент сили відносно нерухомої вісі z – це скалярна величина Mz, яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту сили, визначеного відносно довільної точки О даної вісі z. Значення моменту Mz не залежить від вибору положення точки О на осі z. Якщо вісь z співпадає з напрямком вектора, то момент сили є вектором, який співпадає з цією віссю. Моментом імпульсу матеріальної точки відносно нерухомої точки О, яка лежить на осі обертання, – це фізична величина, яка визначається векторним |
добутком радіуса-вектора цієї точки, проведеного з точки О (рис.6), на імпульс цієї матеріальної точки
. (7)
Напрямок вектора моменту імпульсу матеріальної точки визначається за правилом правого буравчика. Якщо обертати буравчик від радіуса-вектора до вектора імпульсу , то поступальний рух його вістря покаже напрям вектора (рис.6). Модуль вектора моменту імпульсу дорівнює добутку модуля вектора імпульсу на найкоротшу відстань від точки О до прямої, вздовж якої направлений імпульс точки, або добутку модуля вектора імпульсу на плече імпульсу. Момент імпульсу матеріальної точки mi відносно нерухомої осі z – це скалярна величина Liz, яка дорівнює проекції на цю вісь вектора моменту сили, визначеного відносно довільної точки О даної вісі z. Значення моменту імпульсу Liz не залежить від вибору положення точки О на вісі z. Якщо вісь z співпадає з напрямком вектора , то момент імпульсу є вектором, який співпадає з цією віссю.
Між моментом сили , яка діє на тверде тіло, і моментом імпульсу абсолютно твердого тіла існує зв’язок, який встановлюється основним рівнянням динаміки обертального руху твердого тіла:
. (8)
Дослід показує, що зміна швидкості обертального руху твердого тіла, тобто його кутове прискорення, залежить не тільки від маси твердого тіла, що обертається, але й від її розподілу відносно нерухомої вісі обертання. Величина, яка враховує обидві ці обставини, і виступає мірою інертності твердого тіла у обертальному русі, називається моментом інерції твердого тіла відносно нерухомої вісі обертання J.
Встановимо зв’язок між моментом імпульсу і моментом інерції твердого тіла. Як відомо, кутове переміщення точок твердого тіла в процесі його обертального руху виникає внаслідок дії на тверде тіло деякого моменту сил. При цьому на кожний елемент маси твердого тіла (рис.7), яке рухається з лінійною швидкістю , діє тангенціальна сила
. (9)
Рис.7
Момент цієї сили відносно довільної точки А, яка лежить на нерухомій вісі ОО',
. (10)
Сумарний момент сил, який діє на все тверде тіло, що складається з N елементів маси, визначається за формулою:
. (11)
Скалярна величина називається моментом інерції і-того елемента маси твердого тіла відносно нерухомої вісі ОО'. Момент інерції усього твердого тіла визначається за формулою
. (12)
Користуючись формулами (11) та (12), отримаємо формулу, яка також виражає закон динаміки обертального руху твердого тіла:
. (13)
З рівняння (13) бачимо, що вектор моменту сили , яка діє на тверде тіло, що обертається, співпадає за напрямком з напрямком його вектора кутового прискорення . Якщо момент інерції тіла сталий, то у випадку обертання тіла навколо нерухомої вісі ОО, закон динаміки обертального руху можна сформулювати так: модуль кутового прискорення прямо пропорційний до моменту сили відносно даної вісі і обернено пропорційний до моменту інерції твердого тіла відносно даної вісі
. (14)
Залежність модуля кутового прискорення від модуля обертального моменту сили та моменту інерції відносно нерухомої вісі обертання можна визначити експериментально за допомогою хрестоподібного маятника Обербека (рис.7).
Рис.8
Опис експериментальної установки.
Основна частина цього маятника – хрестовина – складається зі шківа та чотирьох легких стрижнів, які закріплені (вгвинчені) у шків, перпендикулярно осі шківа.
Хрестовина може обертатися відносно нерухомої горизонтальної вісі ОО', яка співпадає з віссю шківа. На кожному зі стрижнів хрестовини закріплюють по одному додаткові вантажі, які мають циліндричну форму. Маси вантажів m0 однакові. Їх величина вказана на установці.
З метою зміни моменту інерції приладу вантажі m0 можна переміщувати вздовж стрижнів та закріплювати на будь-яких відстанях Ri від осі обертання маятника ОО'. На шків намотана в один шар тонка, але доволі міцна нитка. До вільного кінця нитки прив’язана платформа П відомої маси. На платформу кладуть вантаж масою m. Якщо нитці дати можливість розмотуватися у результаті падіння платформи з вантажем масою m, то вона буде натягуватись. Сила натягу нитки створює обертальний момент сили. Під дією цього моменту сили маятник Обербека почне обертатися з кутовим прискоренням.
|
Рис.9 |
Оскільки безпосереднє вимірювання обертального моменту сили і кутового прискорення утруднено, то ці величини замінюють іншими, більш доступними для вимірювання. На падаючий тягар (рис.9) діють (силою тертя нехтуємо) такі сили: сила тяжіння, модуль якої і сила натягу нитки , яка діє вздовж нитки по дотичній до поверхні шківа маятника. Різниця цих двох сил, напрямлених в протилежні боки, і зумовлює абсолютну величину прискорення падаючого тіла a, тобто |
(15)
Звідси
. (16)
Момент сили натягу нитки відносно вісі обертання ОО
, (17)
де r – радіус шківа (плече сили натягу нитки). У свою чергу, як вже зазначено вище,
, (18)
де JОО - момент інерції маятника відносно вісі обертання ОО, - кутове прискорення маятника.
Кутове прискорення маятника можна визначити з таких міркувань. Нехай платформа з вантажем масою m падає з висоти h. Тоді прискорення його руху визначається за формулою
. (19)
Якщо умови експерименту такі, що у його ході нитка змотується із шківа маятника без тертя і ковзання, то лінійне (тангенціальне) прискорення точок його поверхні також дорівнює а. Тоді величину кутового прискорення можна визначити за формулою
. (20)
Момент інерції J маятника відносно осі ОО', який, як відомо, є скалярною адитивною величиною, є сумою моменту інерції хрестовини без додаткових вантажів – Jхр та моменту інерції додаткових вантажів m0 – відносно осі ОО':
. (21)
Момент інерції додаткового вантажу можна визначити аналітично, якщо прийняти його за матеріальну точку, яка знаходиться на відстані Ri від вісі обертання. Як відомо, у цьому випадку момент інерції одного додаткового вантажу . Оскільки додаткових вантажів чотири, то остаточно момент інерції усіх додаткових вантажів можна розрахувати за формулою
. (22)
Остаточно, враховуючи вираз (22), момент інерції хрестовини можна визначити за такою формулою
. (23)
Порядок виконання роботи.
. (24)
Таблиця №1
|
Ri,м |
mi,кг |
,с |
,с |
с, |
,с |
ai, м/с2 |
βi, рад/с2 |
Mi, кг٠м |
Ji, кг٠м2 |
Jхр, кг٠м2 |
, кг٠м2 |
Література: [1-16,20-35]
Лабораторна робота №5
Визначення прискорення сили земного тяжіння
за допомогою оборотного фізичного маятника.
Мета лабораторної роботи:
Визначення прискорення сили земного тяжіння падіння за допомогою оборотного фізичного маятника.
Деякі теоретичні відомості
Фізичний маятник – це абсолютно тверде тіло, що здійснює коливання під дією сили тяжіння навколо горизонтальної нерухомої вісі О, яка не проходить через його центр мас С (рис.1).
|
Рис.1 |
Нехай маятник маси m відхилено з положення рівноваги на невеликий кут . Складова сили тяжіння маятника , напрямлена вздовж вісі ОО′, зрівноважється силою реакції осі О. Складова , яка перпендикулярна до вісі ОС, намагається повернути маятник у положення рівноваги. Відповідно до рівняння динаміки обертового руху твердого тіла за відсутності тертя момент М обертальної сили можна записати у такому вигляді |
, (1)
де J – момент інерції маятника відносно осі, що проходить через точку О, l – відстань між точкою підвісу і центром мас маятника, відповідає малим коливанням маятника, тобто коливанням з малою амплітудою, при яких . Тоді
. (2)
Позначивши , отримаємо рівняння незатухаючого гармонічного осцилятора
. (3)
Розв’язок цього рівняння такий:
. (4)
Таким чином, при малих коливаннях і за відсутності тертя фізичний маятник здійснює гармонічні коливання з частотою і періодом
, (5)
де - зведена довжина фізичного маятника. Аналізуючи формулу (5) приходимо до висновку про те, що період коливань фізичного маятника дорівнює періоду коливань такого математичного маятника, довжина якого дорівнює L. Отже, зведена довжина фізичного маятника дорівнює довжині такого математичного маятника, який має однаковий з фізичним маятником період коливань.
Точка підвісу О′ на продовженні прямої ОС, що знаходиться від осі підвісу на відстані зведеної довжини L, називається центром коливань фізичного маятника.
Точка підвісу О і центр коливань О′ мають властивість спряженості. Якщо їх поміняти місцями, то період коливань фізичного маятника не зміниться.
Розглянемо фізичний маятник масою m, який здійснює малі коливання відносно осі підвісу, яка проходить через точку А (рис.2). Його центр мас, який міститься у точці С, знаходиться на відстані b1 від точки підвісу А. У такому положенні період коливань фізичного маятника
. (6)
Перевернемо маятник. Тепер вісь коливань проходить через точку підвісу В, яка знаходиться від центра мас маятника С на відстані b2. У цьому положенні період коливань
. (7)
Змінюючи розподіл маси вздовж маятника, можна підібрати таке положення його центра мас С при якому періоди коливань фізичного маятника будуть рівними між собою :, тобто
. (8)
За теоремою Штейнера
, (9)
де J0 – момент інерції маятника відносно осі, яка проходить через його центр мас, паралельно горизонтальній вісі коливань. З формул (8) та (9) маємо
. (10)
Порівнюючи отриманий вираз (10) з формулою (5), можна пересвідчитись у тому, що, якщо відстань між точками підвісу дорівнює зведеній довжині фізичного маятника, то періоди коливань маятника відносно горизонтальних осей, які проходять через дані спряжені точки, однакові.
Користуючись формулою (5) для періоду коливань для фізичного маятника, можна експериментально визначити прискорення сили тяжіння g. Якщо використовувати звичайний фізичний маятник, то в ході експериментів виникає утруднення, пов’язане з точним вимірюванням моменту інерції маятника. Цього утруднення можна позбутись, якщо використати для вимірювань метод оборотного маятника (метод Бесселя). За цим методом прискорення сили земного тяжіння можна визначити з достатньою точністю якщо виміряти зведену довжину маятника L та визначити період його повного коливання T.
Опис експериментальної установки та методики вимірювань.
Оборотний фізичний маятник, який використовується у даній лабораторній роботі, складається з металевого стрижня довжиною більше 1 м на поверхні якого нанесені міліметрові поділки (рис.3). Вздовж стрижня можуть переміщуватись диски С1 і С2. Маятник можна підвішувати на одній з опорних призм: на призмі А чи на призмі В. Переміщуючи диски С1 та С2 вздовж стрижня маятника, можна визначити таке положення центра мас та центра гойдань маятника, при якому при підвішуванні маятника на опорній призмі А або на опорній призмі В період його коливань залишається незмінним. Вище було показано що якщо періоди коливань фізичного маятника при його підвішуванні на обох призмах збігаються, то віддаль між вістрями опорних призм дорівнює зведеній довжині маятника L. Для установки маятника «на рівність періодів коливання» доцільно користуватися таким методичним прийомом: не змінюючи положення диска С2 на стрижні маятника, послідовно переміщують диск С1 вздовж шкали, яка нанесена на стрижні маятника, спочатку на 2 см (у межах від 0 до 20 см поділки шкали), далі на 10 см (у межах від 20 до 80 поділки шкали), а потім знову на 2 см (у межах від 80 до 100 поділки шкали) від вістря опорної призми А і вимірюють декілька разів секундоміром (мінімум тричі) час, протягом якого маятник здійснює 20-30 повних малих коливань, будучи підвішеним в положеннях І чи ІІ (рис.3). Визначають середні арифметичні значення періодів повних коливань оборотного маятника і для кожного з використаних у експерименті положень диска С1 на стрижні маятника. Результати вимірювань, як правило, наносять на графік, відкладаючи по вісі абсцис відстані, на яких знаходиться диск С1 від призми А, а по вісі ординат – відповідні значення періодів коливань чи . Отримують дві криві, які відображають існуючу залежність періоду коливань даного оборотного фізичного маятника від відстані між диском С1 і вістрям опорної призми А для обох досліджених випадків, тобто коли маятник здійснює малі коливання будучи підвішеним на призмі А чи на призмі В. Якщо диск С2 не дуже віддалений від призми В, то обидві криві повинні перетнутись у двох точках. За абсцисами точок перетину кривих визначають ту відстань диска С1 від призми А, при якій періоди коливань маятника, який здійснює малі коливання в положеннях І та ІІ, є однаковими.
Встановивши диск С1 навпроти визначеної таким способом поділки шкали, декілька разів вимірюють час 100-200 повних коливань маятника, послідовно підвішуючи його спочатку на опорній призмі А, а потім на опорній призмі В. Визначають періоди повного коливання маятника ТI і ТII. Якщо значення періодів повного коливання в обох випадках відрізняються один від одного дуже мало, то знаходять середній період повного коливання оборотного фізичного маятника Т за формулою
. (11)
Якщо ж різниця між значеннями періодів коливань маятника в положеннях І та ІІ буде великою, то треба повторити вимірювання. Для цього треба попередньо трохи пересунути диск С1 по шкалі маятника в ту чи іншу сторону (від призми А, чи ближче до неї). Куди саме треба змістити диск від його вихідного положення можна легко визначити за отриманими графіками залежностей і . За методикою, описаною вище, знову вимірюють періоди повних коливань маятника в положеннях І та ІІ і визначають за формулою (11). Вимірявши масштабною лінійкою віддаль L між вістрями опорних призм А і В маятника визначають прискорення сили земного тяжіння за такою формулою
. (12)
Порядок виконання роботи
1. За методикою, описаною вище, проведіть вимірювання середніх періодів повних коливань оборотного маятника у положеннях I і II при різних положеннях диска С1 на стрижні маятника. Дані, отримані в ході вимірювань і розрахунків, запишіть у таблицю №1.
Таблиця №1
|
l, см |
, с |
, с |
2. Побудуйте графіки залежностей і . За графіком визначте ту відстань диска С1 від опорної призми А, при якій періоди коливань маятника в положеннях І і ІІ є однаковими. Покажіть отримані графіки керівнику занять для перевірки і схвалення.
3. За методикою, описаною вище, визначте середній період коливань оборотного маятника та його зведену довжину L.
4. Розрахуйте прискорення сили земного тяжіння g, а також абсолютну і відносну похибки, з якими Вам вдалось його визначити.
5. Зробіть висновки.
Література: [1-38]
Лабораторна робота №6
Вивчення коливань зв’язаних маятників
Мета лабораторної роботи:
Вивчення особливостей коливань зв’язаної системи.
Деякі теоретичні відомості
Як відомо, коливанням називається всякий рух або зміна стану тіла (коливальної системи), що характеризується тим чи іншим ступенем повторюваності в часі значень фізичних величин, які визначають цей рух або стан тіла. Вільні коливання коливальної системи відбуваються після того, як вона була виведена із стану рівноваги і залишена сама на себе. Власні коливання системи здійснюються за рахунок енергії, яка була надана системі і відбуваються за відсутності дії в цій системі сил опору, а також за відсутності дії на неї інших зовнішніх впливів.
Коливання називаються періодичними, якщо значення фізичних величин, які змінюються в процесі коливань, повторюються через однакові проміжки часу. Найпростішим типом періодичних коливань є так звані гармонічні коливання, при яких значення фізичної величини змінюються у часі за законом косинуса (синуса). Якщо абсолютно тверде тіло (фізичний маятник) здійснює малі власні вільні гармонічні коливання, то його період коливань не залежить від амплітуди коливань (ізохронність маятника). При цьому тіло коливається з власною частотою коливань , яка визначається параметрами даної коливальної системи і дорівнює
. (1)
Кожне з двох твердих тіл, зв’язаних одне з одним динамічним зв’язком, які утворюють, так звану зв’язану систему, буде коливатися з двома різними частотами. Властивості будь якої зв’язаної системи визначаються властивостями двох вихідних коливальних систем, які утворюють цю зв’язану систему. Якщо різниця частот коливань мала, то будуть спостерігатися биття, тобто періодична зміна (збільшення і зменшення) амплітуди коливань.
Два математичних маятники, з’єднані між собою пружиною, є найпростішим прикладом зв’язаної системи. Маятники мають однакові власні частоти коливань, доки коливаються незалежно один від одного. Частота довільних коливань маятника за наявності зв’язку відрізняється від його власної частоти, оскільки при коливанні маятників пружина деформується і, значить, змінюється сила, яка діє на маятники. При відхиленні одного з маятників з положення рівноваги за наявності динамічного зв’язку між маятниками буде відхилятись і другий маятник.
Розглянемо на якісному рівні особливості коливання двох однакових маятників, зв’язаних пружиною (рис.1). Відхилимо подумки один з них (правий) на певний кут від положення рівноваги так, щоб пружина здеформувалась. Лівий маятник при цьому повинен перебувати у стані спокою. Потім правий маятник відпустимо. Він почне коливатись навколо положення рівноваги. Спочатку правий маятник гойдається так, ніби ніякого зв’язку з лівим він не має. Поступово лівий маятник також почне розгойдуватися, оскільки між маятниками почне здійснюватись обмін коливальною енергією. Так як енергія від правого маятника, буде поетапно передаватися лівому маятнику, то з часом амплітуда коливань правого маятника буде поступово зменшуватись, в той час як амплітуда коливань лівого маятника буде зростати. Все це буде тривати деякий час Тб/2 доти, доки правий маятник не зупиниться. При цьому лівий маятник (якщо втрати на тертя малі) буде коливатись майже з такою ж амплітудою, яка була у правого маятника спочатку. Потім маятники знову поступово «обмінюються ролями»: лівий маятник буде розгойдувати правий, а тому процес обміну коливальною енергією повністю повториться, так як маятники однакові. Таким чином обидва маятники, з’єднані між собою пружиною, будуть здійснювати коливання, амплітуди яких увесь час, то збільшуються, то зменшуються. Як відомо, такі коливання називаються биттями, а час Тб – періодом биття. За час Тб/2 маятники будуть обмінюватись коливальною енергією. Механічна енергія буде весь час переходити від одного маятника до іншого до того часу, доки вона не перетвориться в теплову, у результаті чого обидва маятники зупиняться.
Якщо якимось чином спочатку довільно відхилити обидва маятника від положення рівноваги, а потім відпусти їх, то знову амплітуда коливань першого маятника не буде залишатися постійною: вона буде то збільшуватися, то зменшуватися. Відповідним чином буде відбуватись і зміна амплітуди коливань другого маятника. Якщо в ході коливання досліджуваної зв’язаної системи амплітуда коливань першого маятника збільшується, то у другого вона обов’язково зменшується. Однак тепер амплітуда змінюється від деякого максимуму до деякого мінімуму; час „перекачування” енергії все рівно дорівнює Тб/2. Як би не збуджувалися коливання обох маятників, завжди період биттів буде однаковим. У залежності від способу збудження коливань змінюється лише різниця між максимумом та мінімумом амплітуди коливань маятників.
Коливання кожного за маятників, взагалі кажучи, у цьому випадку не є гармонічними. Кожний маятник здійснює як би гармонічне коливання, але амплітуда його пульсує (періодично змінюється з однаковим періодом биття Тб).
На практиці можна застосувати два способи збудження гармонічних коливань у обох зв’язаних маятників. Перший з них такий – обидва маятника треба відхилити на малий кут однаково в одну сторону від положення рівноваги, а потім одночасно відпустити. Другий спосіб збудження є таким – обидва маятника треба відхилити на такий же малий кут в різні сторони від положення рівноваги, а потім одночасно відпустити. Після збудження коливань за першим способом обидва маятника будуть здійснювати коливання так, ніби пружини, яка їх з’єднує, немає, оскільки у цьому випадку пружина зв’язку не розтягується і не впливає на рух кожного маятника. Якщо пружина має малу вагу, то обидва маятники синхронно (синфазно) коливаються з таким же самим періодом коливань Т1, з яким здійснював би власні коливання кожний з них за відсутності зв’язку між ними. Після збудження коливань другим способом маятники будуть здійснювати протифазні коливання. Обидва маятника перебувають за однакових умов і здійснюють гармонічні коливання з періодом Т2. Період коливань Т2 буде меншим за період коливань, так як у другому випадку до «вертаючої» сили маятника додається ще і «вертаюча» сила пружини.
Таким чином, власні коливання двох зв’язаних маятників можуть бути представлені як результат додавання (накладання, суперпозиції) двох гармонічних коливань, які здійснюються з різними циклічними частотами ω1 та ω2. Частоти ω1 та ω2 залежать від фізичних параметрів маятників: їх довжини l, маси m, коефіцієнта жорсткості пружини k, відстані від місця її закріплення до вісі обертання маятника а. Встановлено, що між цими параметрами існує така залежність
. (2)
Циклічні частоти ω1 та ω2 називають власними або нормальними частотами нормальних коливань зв’язаної системи. Гармонічні коливання, які зв’язана система здійснює після відхилення маятників у фазі, є власними коливаннями маятників з меншою нормальною частотою ω1. Власні коливання з більшою нормальною циклічною частотою ω2 спостерігаються при відхилення обох маятників в протифазі. Отже, власні коливання з меншою нормальною циклічною частотою є синфазними гармонічними коливаннями обох маятників, а власні коливання з більшою нормальною частотою є протифазними гармонічними коливаннями обох маятників.
Для того щоб проаналізувати процес виникнення биттів, розглянемо задачу про додавання двох гармонічних коливань, які здійснюються з близькими частотами.
Як відомо, додавання двох гармонічних коливань з однаковими частотами та одного напрямку дає гармонічне коливання тієї самої частоти.
Коливання, отримане в результаті додавання двох гармонічних коливань, які мають один напрямок, але різні циклічні частоти, не є гармонічним коливанням. Нехай
; . (3)
Результуюче, сумарне коливання
. (4)
Перший член рівняння (4) не є гармонічним коливанням, так як він є добутком двох гармонічних множників, перший з яких має частоту (ω1–ω2)/2, а другий – частоту (ω1+ω2)/2. Якщо частоти ω1 та ω2 не дуже відрізняються одна від одної, то частота (ω1+ω2)/2 приблизно одного порядку з ω1 (або ω2), але частота (ω1–ω2)/2 буде порівняно з ω1 (або ω2) дуже малою. У цьому випадку перший член рівняння (4), яке описує результуючий рух маятників можна розглядати як періодичне коливання з пульсуючою амплітудою, тобто биття двох близьких частот, яке здійснюється з періодом
. (5)
У цього коливання амплітуда Аб (амплітуда биттів) повільно (по відношенню до ) змінюється з часом від 0 до 2А за законом косинуса
. (6)
У зв’язку з тим, що період модуля косинуса дорівнює , період зміни амплітуди (період биттів)
. (7)
Рис.2
Графік таких коливань представлено на рис.2. Їх називають биттями двох близьких частот, або так званими «чистими биттями». Другий член виразу (4) описує гармонічне коливання, яке здійснюється з частотою ω2. Додавання «чистих биттів» з цим гармонічними коливаннями, як показують експериментальні дослідження, дає картину биттів, при яких амплітуда коливань змінюється з періодом биттів Тб, але ніколи не досягає нуля. При додаванні двох коливань з однаковою амплітудою А = В биття будуть чистими, а при А ≠ В отримаємо звичайні биття двох близьких частот, причому їх частота ωб=2π/Тб із врахуванням формули (7) дорівнює:
. (8)
Частота биттів дорівнює модулю різниці нормальних циклічних частот гармонічних коливань, з яких вони утворені. Вона не залежить від їх амплітуд та початкових фаз.
Проаналізувавши дані щодо власних коливань маятників, які утворюють зв’язану систему, і врахувавши результати теоретичного аналізу додавання двох гармонічних коливань різних частот, приходимо до висновку про те, що власні коливання двох маятників, з’єднаних пружиною, є суперпозицією двох гармонічних коливань, причому різниця нормальних частот цих коливань дорівнює частоті биттів. Теоретичним аналізом та експериментальними дослідженнями встановлено, що при коливальному русі зв’язаної системи виконуються такі закономірності:
. (9)
Опис експериментальної установки та методики вимірювань.
Установка складається з рами, на якій підвішені два однакових металеві маятники. Маятники складаються з довгих легких титанових стрижнів, на нижньому кінці яких закріплені стальні циліндри маси m. Верхні кінці стрижнів закріплені у внутрішні шайби підшипників, зовнішні шайби яких закріплені на рамі таким чином, щоб площина підшипників, а значить, і площина руху маятників співпадала з площиною рами. На різних висотах ai від точки підвісу (центра підшипника) на стрижнях симетрично поміщені муфточки з отворами, які служать для закріплення легкої пружини зв’язку. Довжина цієї пружини в не розтягнутому стані точно дорівнює відстані між стрижнями маятників у не відхиленому положенні. Установка укомплектована спеціальним пристроєм для визначення коефіцієнта жорсткості пружини k статичним методом, який складається із закріпленої вертикально на штативі лінійки з міліметровою шкалою і набору різних важків з відомою масою. Маса маятника m, ефективна довжина маятника l (відстань від точки підвісу до центра циліндра) і відстані ai від точок закріплення пружини до центра підвісу відомі. Вони вказані на установці.
Порядок виконання роботи.
1. Визначте періоди власних малих коливань кожного з маятників Т0. Для цього треба за допомогою секундоміра не менше ніж 3 рази визначити час, впродовж якого здійснюється 50 повних малих коливань кожного з маятників, які не з’єднані пружиною. Обчисліть середній період власних коливань і середню власну частоту коливань кожного з маятників .Пересвідчіться у тому, що частоти власних коливань обох маятників співпадають.
2. Встановіть пружину зв’язку на вказаній керівником занять відстані від точки підвісу aі приступіть до вимірювання частот коливань зв’язаних маятників. Усі вимірювання треба здійснювати не менше ніж три рази і визначати середні арифметичні значення одержаних величин.
3. Визначте період Т1 малих коливань маятників в фазі. Для цього треба, користуючись для відліку мітками, які є на установці, відхилити обидва маятники в одну сторону на малий кут від положення рівноваги. Спричинивши рух обох маятників виміряйте, користуючись секундоміром, час, впродовж якого лівий маятник здійснює 50 повних малих коливань у фазі. Обчисліть середнє значення періоду коливань у фазі . За формулою
(10)
обчисліть середню першу нормальну циклічну частоту коливань . Якщо пружина зв’язку в процесі визначення періоду коливань маятників у фазі не розтягувалась, а значить не впливала на рух маятників, то у цьому випадку обидва маятники повинні були коливатись з першою нормальною частотою, яка в межах похибки повинна дорівнювати частоті власних коливань маятників. Порівняйте одержане значення з величиною .
4. Визначте період Т2 малих коливань маятників у протифазі. Для цього треба, користуючись для відліку мітками, які є на установці, відхилити обидва маятники на малий кут в протилежні сторони від положення рівноваги. Спричинивши рух обох маятників виміряйте, користуючись секундоміром, час, впродовж якого лівий маятник здійснює 50 повних малих коливань у протифазі. Обчисліть середнє значення періоду коливань у фазі . За формулою
(11)
обчисліть середню другу нормальну циклічну частоту коливань .
5. Визначте період биттів Тб. Для збудження коливань з биттями правий маятник треба відхилити від положення рівноваги так, щоб пружина зв’язку в процесі коливань увесь час залишилась у натягнутому стані. При такому способі збудження початкове зміщення лівого маятника не буде у точності дорівнювати нулю, але воно буде малим. Після збудження коливань з биттями треба виміряти час між трьома послідовними зупинками в русі лівого маятника. За даними дослідів обчисліть середнє значення періоду биттів та середню циклічну частоту биттів .
6. Визначте період періодичних коливань маятників при биттях .Для цього треба. виміряти час, впродовж якого лівий маятник здійснює 20 повних коливань, які відбуваються між послідовними зупинками лівого маятника в процесі биттів. Обчисліть середнє значення періоду періодичних коливань маятників при биттях та середню циклічну частоту при биттях .
7. За отриманими експериментальними даними щодо визначених середніх значень обох циклічних нормальних частот, а також циклічної частоти биттів та циклічної частоти періодичних коливань маятників при биттях перевірте виконання (в межах похибки експерименту) таких співвідношень:
, , . (12)
8. З метою перевірки збігу результатів, отриманих з використанням різних методик вимірювань, описаних у лабораторій роботі, розрахуйте і порівняйте між собою абсолютні похибки, з якими у роботі визначені фізичні величини, що входять у праві та у ліві частини рівнянь (12). Зробіть висновки щодо одержаних результатів.
Література: [3-6,7,11,20-35]
Лабораторна робота №7
Визначення моменту інерції тіл різної форми методом крутильних коливань трифілярного підвісу
Мета лабораторної роботи:
Визначення моменту інерції твердих тіл різної форми методом крутильних коливань трифілярного підвісу.
Деякі теоретичні положення
Момент інерції тіла довільної форми можна виміряти методом трифілярного підвісу. Трифілярний підвіс складається з круглої плоскої платформи D у вигляді диска та малого диска H, які з’єднані трьома металевими нитками або дротами. Нитки однакової довжини закріплені симетрично по вершинах рівнобічного трикутника та рівномірно навантажені вагою платформи D. Диск меншого діаметра H закріплений в горизонтальному положенні до спеціального контейнера, вмонтованого в стіну так, що платформа D звисає на нитках над підлогою на висоті 1,5 м. Платформа D може здійснювати крутильні коливання навколо вертикальної вісі, яка перпендикулярна до її площини і проходить через її центр мас. За допомогою крутильних коливань платформи D можна визначити момент інерції цієї платформи, а також момент інерції будь якого тіла, розміщеного на ній. Тіло на платформу поміщують таким чином, щоб рівномірний натяг ниток не порушувався (рис.1). Якщо платформу D повернути на невеликий кут відносно вертикальної вісі, яка проходить через її центр мас, то всі три нитки набудуть похиле положення; внаслідок чого центр мас платформи піднімається. Після цього платформа може здійснювати обертальні коливання навколо вертикальної вісі, яка проходить через її центр. Період коливань платформи визначається величиною її моменту інерції. Він буде іншим, якщо платформу додатково навантажити будь-яким тілом.
Позначимо довжину ниток через l, а відстані від точок їх закріплення до центрів платформи D та диска H відповідно через R та r. При повороті платформи на деякий кут α0 відносно верхнього диска внаслідок крутильних коливань точка закріплення нитки А переміщується в положення А1, а центр мас платформи переміщується вздовж вісі обертання набуваючи найвищого положення при максимальному відхиленні платформи від положення рівноваги та найнижчого при положенні рівноваги. Максимальну висоту, на яку піднімається центр мас платформи, можна визначити із співвідношення
. (1)
Цей вираз можна записати у вигляді
. (2)
Із геометричних даних маємо
,
. (3)
На основі цих рівнянь вираз для h можна привести до такого вигляду
. (4)
При великій довжині нитки та малих кутах відхилення платформи в цьому виразі значення ВС та ВС1 можна вважати рівними l, а значення синуса кута α0 замінити просто значенням α0.
Таким чином остаточно маємо
. (5)
На основі цього виразу, для потенціальної енергії платформи, при її відхиленні від положення рівноваги на кут α0, отримуємо
, (6)
де m – маса платформи D.
Кінетична енергія обертального руху Ек платформи при проходженні нею положення рівноваги на визначається за формулою
, (7)
де J – момент інерції платформи відносно вертикальної осі, яка проходить через центр мас платформи, а - кутова швидкість платформи у момент досягнення нею положення рівноваги.
Визначимо значення кутової швидкості платформи D в цей момент, вважаючи що коливання платформи відбуваються за гармонічним законом. У цьому випадку залежність зміщення платформи від часу можна записати у такому вигляді
, (8)
де α – кутове зміщення в момент часу t;
α0 – кутова амплітуда;
Т – період обертання.
Кутова швидкість
. (9)
При проходженні тілом положення рівноваги (t = 0, Т/2, Т, 3Т/2...)
, тому . (10)
Враховуючи формулу (10) вираз (7) можна записати так
. (11)
Нехтуючи силами тертя з рівнянь (6) та (11) на основі закону збереження енергії маємо
. (12)
З формули (12) одержимо робочу формулу для визначення моменту інерції платформи відносно вертикальної осі, яка проходить через її центр мас:
. (13)
Усі величини в правій частині цієї формули доступні для безпосереднього вимірювання.
Якщо на платформу помістити досліджуване тіло, маса якого повинна бути попередньо визначена і знову виміряти період коливань навантаженої платформи, то можна визначити момент інерції тіла відносно вертикальної осі, яка проходить через центр мас цього тіла і центр мас платформи. Так як згідно з адитивністю моменту інерції момент інерції системи тіл є сумою моментів інерції ненавантаженої платформи Jпл та розташованого на ній тіла, то момент інерції тіла JT
. (14)
Порядок виконання роботи.
Таблиця №1
|
Тіло |
Маса тіла m, кг |
Момент інерції платформи
|
Момент інерції платформи з тілом |
Момент інерції тіла |
|||
Література: [1-15,17,19,25-38]
Лабораторна робота №8
Визначення модуля Юнга сталі статичним методом за деформацією розтягу
Мета лабораторної роботи:
Визначення модуля Юнга сталі статичним методом за деформацією розтягу дротини.
Деякі теоретичні відомості
Усі тверді тіла під дією сил деформуються, тобто змінюють об’єм і форму. Розрізняють деформації розтягу, стиску, зсуву, кручення, згину (три останні зводяться до суперпозиції двох перших).
Якщо деформації зникають після припинення дії прикладених зовнішніх сил, то вони називаються пружними. Деформації, які зберігаються після припинення дії зовнішніх сил, називаються пластичними. Розділення деформацій на пружні і пластичні є умовним, оскільки після дії будь якої сили у реальному твердому тілі залишаються остаточні деформації. Але якщо вони є дуже малими, то деформації вважають пружними.
Для пружних тіл між діючими силами і викликаними ними деформаціями існує однозначна залежність (при пластичних деформаціях такої однозначності немає). Як показали експериментальні дослідження, малі пружні деформації тіл прямо пропорційні зовнішнім силам, які їх спричинили. Якщо тіло знаходиться у рівновазі, то це означає що зовнішні сили зрівноважені пружними силами, які виникли у тілі внаслідок його деформації. Ці сили намагаються надати тілу попередніх розмірів і форми. Встановлено, що для багатьох твердих тіл існують області малих пружних деформацій (різні у кожному випадку).
Кількісною мірою, яка характеризує ступінь деформації, є відносна деформація, яка визначається відношенням абсолютної деформації до величини, яка характеризує вихідні розміри і форму тіла.
Одним із типів пружних деформацій є деформація розтягу. Розглянемо деформацію розтягу на прикладі однорідного ізотропного зразка, наприклад стрижня довжиною (рис.1).
Рис.1
До кінців стрижня прикладені направлені вздовж його осі рівні сили . Пружну силу, яка діє на одиницю площі поперечного перерізу тіла, називається напруженням (механічним напруженням). Модуль цієї сили визначається за формулою:
. (1)
Якщо сила направлена до нормалі до поверхні, то напруження називається нормальним , а якщо воно направлене по дотичній до поверхні, то дотичним (тангенціальним) .
Під дією сил, стрижень пружно деформується, у результаті чого, його довжина змінюється на величину . Відносна деформація стрижня , яка у даному випадку називається відносним видовженням, визначається за формулою
. (2)
Одночасно з деформацією розтягу стрижня, яка характеризується його відносним видовженням відбувається зменшення його поперечних розмірів, яке характеризується відносною поперечною деформацією .
Відповідно до закону Гука напруження пружної деформації розтягу пропорційне відносному видовженню стрижня:
, (3)
де - модуль пружності, який залежить від речовини, з якої виготовлено стрижень, і його фізичного стану. Цей модуль був уведений англійським вченим Т. Юнгом і носить його ім’я.
Поклавши у виразі (3) , знайдемо, що модуль Юнга чисельно дорівнює напруженню, яке виникло б у разі збільшення довжини досліджуваного зразка (у даному випадку довжини стрижня) у 2 рази за інших незмінних умов. Насправді майже всі матеріали руйнуються (розриваються) раніше, ніж вони будуть видовжені вдвічі (виняток – гума). Величина називається коефіцієнтом пружності при деформації розтягу. Вона є пружною характеристикою матеріалу, з якого виготовлено стрижень.
Розглянемо діаграму напружень, яка на якісному рівні відображає залежність між прикладеним напруженням і відносним видовженням металічного зразка.
Рис.2
Аналізуючи цей графік можна зробити висновок щодо того, що лінійна залежність між і , встановлена Гуком, виконується лише в певних вузьких межах до межі пропорційності . При подальшому збільшенні напруження деформація є ще пружною, хоч залежність між і є вже нелінійною і до межі пружності остаточні деформації у тілі ще не виникають. За межею пружності в тілі виникають остаточні деформації і графік, який описує повернення тіла у вихідний стан після припинення дії сили, зображується не кривою ВО, а паралельною їй кривою CF. Напруження, при якому проявляється помітна остаточна деформація , називається межею текучості () У області: СD – тіло ніби «тече». Ця область називається областю текучості (або областю пластичних деформацій). При подальшому розтягу (за точку D) напруження спочатку різко збільшується, а потім зменшується і здійснюється руйнування тіла. Максимальне напруження, яке виникає у тілі до руйнування, називається межею міцності ().
Для експериментального визначення модуля Юнга певного матеріалу може бути використаний поздовжній розтяг дротини, виготовленої з цього матеріалу.
Дротина циліндричної форми, початкової довжини , і діаметра , яка виготовлена з досліджуваного матеріалу, розтягується під дією вантажу . Площа поперечного перерізу дротини , а нормальне напруження . Закон Гука у цьому випадку можна представити у вигляді
, (4)
де коефіцієнт пропорційності - практично постійна для даного зразка величина.
Якщо змінюючи навантаження дротини вимірювати абсолютне видовження дротини і розраховувати нормальне напруження , яке його спричинило, то можна побудувати графік залежності . За нахилом цього графіка можна визначити модуль Юнга. Отже
. (5)
Опис експериментальної установки.
Рис.3
Схему установки, призначеної для визначення модуля Юнга за деформацією розтягу, наведено на рис.3. Стальна дротина 1 розтягується під дією змінних вантажів, вагою які поміщуються на платформу 2. Довжина дротини вимірюється рулеткою, а її діаметр – мікрометром. Абсолютне видовження дротини вимірюють за допомогою катетометра 3, спостерігаючи у зорову трубу катетометра за вертикальним зміщенням горизонтальної мітки, закріпленої на дротині, яке відбувається при навантаженні (розвантаженні) дротини.
Порядок виконання роботи.
1. Визначте ціну поділки катетометра. Для цього сумістіть візирний хрест, або один з штрихів вертикальної шкали окуляра зорової труби катетометра (так звану реперну точку) з одним із штрихів вертикально поставленої еталонної лінійки і відлічіть показання на основній вертикальній шкалі та на лімбі катетометра. Повертаючи лімб, перемістіть зорову трубу катетометра так, щоб на візирний хрест або вибраний для вимірювань один з штрихів окулярної шкали змістився на декілька міліметрів. Після цього знову відлічіть показання за основною шкалою та за лімбом катетометра. Різниця результатів цих двох відліків дає вертикальне переміщення реперної точки в поділках катетометра n. Поділивши переміщення реперної точки за шкалою еталонної лінійки в міліметрах на переміщення, виражене в поділках катетометра, отримайте ціну поділки катетометра у міліметрах.
2. Виміряйте в кількох місцях і у різних ( наприклад у взаємно перпендикулярних напрямах) діаметр дротини d та визначте його середнє значення.
3. Виміряйте ефективну довжину дротини (відстань від точки її закріплення у кронштейні до мітки, яку використовують для визначення абсолютної деформації дротини).
4. Навантажуючи платформу спочатку одним вантажем маси , а потім додаючи по одному ще два вантажі і, тим самим, послідовно збільшуючи навантаження дротини, визначте за допомогою катетометра не менше ніж по три рази абсолютне видовження дротини у поділках катетометра . Результати досліджень запишіть у таблицю №1.
5. Розвантажуючи платформу, тобто знімаючи з неї по одному вантажі маси , і, тим самим послідовно зменшуючи навантаження дротини, визначте за допомогою катетометра не менше ніж три рази абсолютне видовження дротини у поділках катетометра . Результати досліджень запишіть у таблицю №1.
6. За отриманими даними обчисліть відносне видовження дротини та нормальне напруження.
7. Побудуйте графік залежності відносного видовження дротини від нормального напруження.
8. За нахилом цього графіка визначте модуль Юнга. Розрахуйте відносну і абсолютну похибки, з якими ви визначили цей модуль пружності. Порівняйте одержане значення Е з табличним значенням величини модуля Юнга сталі, яке наведено у довідковій таблиці у Додатку №4. Зробіть висновки.
Таблиця №1
|
m, кг |
P, Н |
n, у поділках |
, у по-діл-ках |
∆L, мм |
∆L/L0, відн. од. |
, Па |
Е, Па |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
||||||||||
|
Нав. |
Розв. |
Нав. |
Розв. |
Нав. |
Розв. |
|||||||
Література: [1-15,19-38,47]
Лабораторна робота №9
Визначення швидкості звуку в твердих тілах і пружних сталих твердих тіл динамічно-акустичним методом
Мета лабораторної роботи:
Визначення швидкості звуку і модуля Юнга та інших пружних сталих шляхом вимірювання резонансних частот подовжніх звукових коливань у стержнях, виготовлених із слабко поглинаючих матеріалів (металів і сплавів).
Деякі теоретичні відомості
Атоми і молекули будь якої речовини – твердої, рідкої, газоподібної – перебувають у стані хаотичного теплового руху. Характер теплового руху залежить від агрегатного стану речовини. Так внаслідок теплового руху структурні одиниці, з яких складається тверде тіло (атоми, молекули, іони), здійснюють коливальні рухи поблизу положення рівноваги. Ці частинки розташовані настільки близько одна до одної, що середовище можна вважати суцільним, неперервним, а саме: у будь якому елементарному (фізично нескінченно малому) об’ємі міститься величезне число структурних одиниць, з яких складається тверде тіло, а у будь якій довільно вибраній точці заповненого речовиною простору обов’язково є частинка речовини (не заповнені речовиною проміжки відсутні). Середовище є пружним: воно протидіє розтягу і стиску, а також зсуву – відносному переміщенню частинок середовища, які межують одна з одною, вздовж поверхні їх дотику. Будь яка частинка середовища, яка виведена з положення рівноваги, під дією пружних сил намагається повернутися в початкове положення та здійснює вимушені коливання. Коливання одної частинки не залишається локалізованим, оскільки середовище поблизу даної частинки деформується і тому спочатку починають коливатися прилеглі до неї частинки, а потім наступні. Віддалені області середовища поступово втягуються в коливальний рух. Процес поширення коливань в суцільному середовищі, яке неперервно розподілене в просторі і має пружні властивості, називається механічним хвильовим процесом або механічною хвилею. При поширенні хвилі частинки середовища не рухаються разом з хвилею, а коливаються біля свого положення рівноваги. Основною властивістю всіх хвиль є така: перенос енергії здійснюється без переносу речовини. Пружними (або механічними) хвилями називають механічні збурення, що поширюються у пружному середовищі. Пружні хвилі бувають поперечні і поздовжні. Хвиля називається поздовжньою, якщо напрямок коливань частинок середовища співпадає з напрямком поширення хвиль. Ці хвилі можуть поширюватись у середовищах, в яких виникають пружні сили при деформації стиску і розтягу, тобто у твердих тілах, у рідинах і у газах. Хвиля називається поперечною, якщо частинки коливаються у площинах, перпендикулярних напрямку поширення хвилі. Поперечні хвилі можуть поширюватись в середовищі, в якому виникають пружні сили при деформації зсуву, тобто лише у твердих тілах.
При поширені звукових коливань з частотами, які лежать у інтервалі від 16 до 20 000 Гц, у ізотропних твердих тілах утворюються як поздовжні, так і поперечні звукові хвилі. Причому швидкість їх поширення у ізотропному твердому тілі є різною. Вона залежить від пружних властивостей середовища, через які проходить хвиля. У випадку поздовжніх хвиль теорія дає таке співвідношення для швидкості поширення поздовжньої звукової хвилі у стрижні, довжина якого велика у порівнянні з лінійними розмірами його перерізу:
, (1)
де Е – модуль Юнга матеріалу, з якого виготовлено стрижень,
ρ – його густина.
Для збудження поздовжніх коливань у стрижні треба якимось чином спричинити у одному з його кінців поперемінно стискування і розтягування у напрямку його довжини, що приведе до поширення у ньому плоскої біжучої пружної хвилі. Розглянемо стрижень довжиною L. Нехай правий кінець цього стрижня вільний (не закріплений). У цьому випадку біжуча хвиля відбивається від вільного кінця без зміни фази. Якщо знехтувати затуханням пружної хвилі у стрижні, то у випадку її майже повного відбивання на межі розділу стрижень – повітря, то при певних частотах коливань розподіл зміщень по стрижню буде визначатись суперпозицією біжучої і відбитої хвиль, які утворюють так звану стоячу хвилю
(2)
У формулі (2) – амплітуда хвилі, циклічна частота, – хвильове число, – довжина хвилі. Така хвиля утворюється лише в тому випадку, якщо зміщення, викликане біжучою хвилею у точці закріплення стрижня (лівий кінець стрижня, коли ), буде дорівнювати нулю. У протилежному випадку слід враховувати вторинне відбивання біжучої хвилі від лівого і від правого кінця стрижня. Таким чином, умовою резонансу стрижня буде
(3)
Перейдемо у формулі (3) від до , підставивши у неї замість хвильового числа вираз . Одержимо, що резонанс буде спостерігатись тоді, коли на довжині стрижня укладається непарне число чвертей довжин хвиль, тобто:
(4)
За відсутності згасання такі коливання будуть зберігатись у стрижні дуже довго і навіть без дії на стрижень вимушуючої сили, тому їх називають власними коливаннями стрижня, закріпленого з одного боку.
Коли на тілі утворюються стоячі хвилі, то все тіло поділяється нерухомими точками (вузлами зміщень стоячої хвилі) на стаціонарні частини, які коливаються ніби незалежно одна від одної. У цих точках амплітудні зміщення стоячої хвилі дорівнюють нулеві. Точки, в яких амплітудні зміщення стоячої хвилі мають максимальні значення, називаються пучностями зміщення стоячої хвилі. Довжиною стоячої хвилі λ називається відстань між двома її сусідніми вузлами або пучностями. Встановлено, що відстань від вузла до пучності дорівнює , а між сусідніми вузлами (пучностями) дорівнює . Якщо обидва кінці стрижня вільні, то на його торцях утворюються пучності зміщення стоячої хвилі. Можливі варіанти розподілів вузлів і пучностей стоячих хвиль в стрижні, який резонує, показані на рис. 1. Суцільні криві відповідають зміщеннями частинок середовища, які відбуваються у стрижні при встановленні у ньому стоячої хвилі, а пунктирні – тим самим зміщенням через проміжок часу, рівний половині періоду коливань частинок середовища.
Позначивши довжини хвиль, які відповідають частотам власних продовжних коливань стрижня λn, одержимо вираз, який встановлює зв’язок між ними і швидкістю поширення поздовжньої звукової хвилі
, (5)
де νn – частота власних коливань стрижня при резонансі.
Підставляючи в формулу (4) λn , визначене з виразу (5), одержимо
. (6)
Якщо стрижень закріплений посередині, то при такому збудженні коливань вузол стоячої хвилі знаходиться у точці закріплення стрижня, а пучності – на кінцях стрижня (рис.2). У цьому випадку стрижень довжиною можна розглядати як з’єднані у місці закріплення два стрижні довжиною , закріплених з одного кінця і вільних з іншого. Умова утворення стоячої хвилі для такого стрижня буде такою
. (7)
Рис.2
Резонансні частоти коливань стрижня у цьому випадку можуть бути визначені за такою формулою:
. (8)
Тому швидкість, з якою у стрижні поширюється поздовжня звукова хвиля, може бути визначена за формулою:
(9)
Резонанс в стрижні найбільш чітко спостерігається на частотах основного тону, якому відповідає n = 0. У цьому випадку формула (9) має такий вигляд:
. (10)
Статичні методи вимірювання модулів пружності мають рід значних недоліків, зокрема низьку точність. Більш точно модуль пружності можна визначити за динамічними методами, зокрема за динамічно акустичним методом, який вивчається у даній лабораторній роботі.
Якщо визначити динамічно акустичним методом швидкість поширення звукових хвиль у стрижні, виготовленого з досліджуваного матеріалу, то можна, скориставшись формулою (1), розрахувати модуль Юнга цього матеріалу із такого співвідношення:
. (11)
Як відомо, модуль Юнга матеріалу чисельно дорівнює напруженню, яке виникло б у разі збільшення довжини зразка, виготовленого з досліджуваного матеріалу (у даному випадку довжини стрижня) у 2 рази при його деформації розтягом за інших незмінних умов. Крім модуля Юнга пружні властивості матеріалу характеризують його модуль зсуву, модуль всебічного стиску та коефіцієнт Пуассона.
Модуль зсуву N, який характеризує пружні властивості твердого тіла при деформації зсуву, в межах пружності дорівнює дотичному напруженню, яке виникло б у зразку при відносному зсуві, що дорівнює одиниці.
При деформації всебічного стиску об’єм тіла зменшується без зміни його форми під дією рівномірно розподілених по всій поверхні тіла напружень. Пружні властивості тіла, у цьому випадку характеризує модуль об’ємної пружності К. Він дорівнює величині, оберненій відносній зміні об’єму тіла при зміні діючого по нормалі до поверхні тіла напруження на одиницю.
Одночасно з деформацією розтягу стрижня, яка характеризується його відносним видовженням відбувається зменшення його поперечних розмірів, яке характеризується відносною поперечною деформацією . Абсолютна величина відношення відносного поперечного видовження стрижня до його відносної поперечної деформації називається коефіцієнтом поперечної деформації або коефіцієнта Пуассона . Таким чином
. (12)
Для більшості ізотропних тіл (металів) . Дані щодо значень коефіцієнта Пуассона для матеріалів, зразки яких досліджуються у даній лабораторній роботі, наведені у таблиці №1
У теорії пружності встановлено зв’язок між пружними сталими ізотропного твердого тіла. Показано, що модуль Юнга, модуль зсуву, модуль об’ємної пружності і коефіцієнт Пуассона зв’язані між собою такими рівняннями:
(13)
Таблиця №1
|
Вид матеріалу. |
Значення коефіцієнта Пуассона . |
|
Сталь |
0,24-0,28 |
|
Мідь |
0,31-0,34 |
|
Алюміній |
0,32-0,36 |
|
Латунь |
0,32-0,42 |
Опис експериментальної установки та методики вимірювань.
Схема установки представлена на рис.2. Установка складається з звукового генератора, приладу з обоймою В, яка служить для закріплення стрижня А, і двох електромагнітів для збудження і прийому поздовжніх коливань та катодного осцилографа.
Досліджуваний стрижень А точно посередині закріплюється в обоймі В так, щоб його кінці були розташовані напроти полюсів збудника коливань С і їх приймача D. Стрижень повинен бути закріплений точно посередині, адже неточне закріплення стрижня може суттєво вплинути на результати вимірювань, оскільки воно є причиною виникнення поперечних коливань стрижня і появи так званих „хибних” резонансів. Для підсилення збуджень поздовжніх коливань стрижня збудник і приймач коливань треба розташувати якомога ближче до кінців стрижня, але так, щоб вони не дотикались до них. Змінна електрична напруга від звукового генератора підводиться до котушки електромагніта С. У результаті цього на правий кінець стрижня буде діяти періодична сила з частотою, рівною частоті генератора і у феромагнітному стрижні виникнуть поздовжні хвилі. Якщо стрижень виготовлений з немагнітного матеріалу, то для збудження поздовжніх хвиль до його кінців прикріплюють тонкі пластинки, виготовлені зі сталі або магнітом’якого заліза.
Електромагніт D – приймач – служить для перетворення звукових коливань у електричні. Його котушка приєднана до клем «вход вертикального усилителя» катодного осцилографа. Підсилені електричні коливання, які поступають від приймача, спостерігаються на екрані осцилографа. Поступово збільшуючи частоту коливань напруги, яка подається на збудник коливань С від генератора можна досягти стрімкого зростання амплітуди коливань на екрані осцилографа, що свідчить про появу резонансу, тобто збіг частоти вказаних коливань з однією з частот власних коливань стрижня.
Порядок виконання роботи.
1. Виміряйте довжину стрижнів (без урахування металевих насадок на кінцях). Випишіть з таблиць фізичних величин значення густин матеріалів, з яких ці стрижні виготовлені.
2. Закріпіть у приладі один з досліджуваних стрижнів, наприклад стальний, і точно відцентруйте його положення відносно обойми.
3. За допомогою мікрометричних гвинтів встановіть електромагніти якомога ближче до торців стрижня (але так, щоб електромагніти не торкалися стрижня і між ними і стрижнем був повітряний зазор, товщиною 0,1-0,2 мм).
4. Увімкніть і підготуйте до проведення вимірювань звуковий генератор та осцилограф за інструкцією, яка знаходиться на робочому місці.
5. Встановіть напругу на виході звукового генератора на максимум. Повільно обертаючи лімб «установка частоти» генератора, спостерігайте за поведінкою електронного променя на екрані осцилографа до тих пір, доки не наступить стрімке зростання амплітуди коливань. Особливо сильне зростання амплітуди коливань спостерігається на основному резонансі. Зафіксуйте частоту основного тону, при якій спостерігається максимальна смуга розгортки електронного променя на екрані осцилографа. Відлічіть відповідну частоту за лімбом генератора.
Шукати основний резонанс рекомендується в діапазонах частот, які вказані на робочому місці. Необхідно пам’ятати, що резонанс спостерігається на дуже малому інтервалі частот. Тому навіть при дуже повільному обертанні лімба резонанс легко пропустити. Для того, щоб не допустити промах, той інтервал частот, у якому спостерігався основний резонанс, для уточнення, треба пройти у обидва боки від резонансної частоти декілька разів, якомога повільніше.
6. За формулою (9) обчисліть швидкість поширення звуку в стрижні, а за формулою (11) – модуль Юнга зразка матеріалу, з якого виготовлено стрижень.
7. За формулами (13) обчисліть усі пружні сталі, які характеризують пружні властивості зразка досліджуваного матеріалу, з якого виготовлено стрижень.
8. Вимірювання і розрахунки, описані у п.1-6 проведіть для стрижнів, виготовлених із зразків інших матеріалів: міді, алюмінію і латуні.
9. Дані вимірювань і результати розрахунків запишіть у таблицю №2. Розрахуйте абсолютну та відносну похибки визначення пружних сталих E, N ,K.
10. Порівняйте одержані значення швидкостей поширення звуку в досліджених твердих тілах та значення їх пружних сталих з табличними даними, які наведені у довідковій таблиці Додатку №4. Зробіть висновки.
Таблиця №2
|
Матеріал |
, м |
, Гц |
, кг/м3 |
,м/с |
, Па |
, Па |
, Па |
|
Література: [2-8,11,20-36,38,47]
Лабораторна робота №10
Визначення модуля зсуву сталі статичним методом за деформацією кручення
Мета лабораторної роботи:
Визначення модуля зсуву сталі статичним методом за деформацією кручення стрижня.
Деякі теоретичні відомості
Зсувом називається така деформація твердого тіла, при якій всі його плоскі шари, паралельні деякій площині, яка називається площиною зсуву, не викривляючись і не змінюючись у розмірах, зміщуються паралельно один одному. При зсуві об’єм твердого тіла не змінюється.
Рис.1
Розглянемо деформацію зсуву на прикладі пружної деформації твердого тіла, яке має форму паралелепіпеда (рис.1). Основу паралелепіпеда, тобто його нижню грань, закріпимо нерухомо, а в площині верхньої грані прикладемо по дотичній довільної величини силу . Під дією цієї сили грані паралелепіпеда перекосяться і тому горизонтальні шари тіла зсунуться один відносно одного. Прямокутна грань АВСD після його деформації зсувом стає паралелограмом АВ′С′D, а бічні грані тіла зміщуються на кут . Кут – кут зсуву, або відносний зсув. У межах пружних деформацій згідно з законом Гука величина цього кута змінюється прямо пропорційно прикладеній силі і обернено пропорційно площі поперечного перерізу . Крім того, кут залежить від природи матеріалу. Отже, в межах пружних деформацій, закон Гука у випадку деформації зсувом можна записати так:
, (1)
де - тангенційне (дотичне) напруження, а - модуль зсуву. Якщо в рівнянні (1) покласти , то воно набере такий вигляд
. (2)
Отже, модуль зсуву, в межах пружності, дорівнює дотичному напруженню, яке виникло б у зразку при відносному зсуві, що дорівнює одиниці.
Модуль зсуву експериментально іноді визначають із деформації кручення, оскільки цю деформацію можна описати тими ж параметрами, які характеризують деформацію зсуву.
Якщо основу 1 циліндричного стрижня закріпити нерухомо (рис.2), а до іншої основи 2 прикласти пару сил, то в стрижні виникає деформація кручення. Момент пари сил відносно осі стрижня направлений вздовж цієї осі. Під дією обертального моменту пари сил різні перерізи стрижня повертатимуться на різні перерізи стрижня повертатимуться нарізні кути відносно закріпленої основи стрижня, причому нижній поперечний шар стрижня (площина 1) зовсім не повертатиметься, а верхній поперечний шар (площина 2) повернеться навколо на деякий кут . Кут повороту площини 2 називається кутом кручення.
Рис.2
Закон Гука для деформації кручення матиме такий вигляд:
(3)
де - модуль кручення. Величина модуля кручення залежить не тільки від природи матеріалу, з якого виготовлено тіло. Значення цього модуля залежить також і від геометричної форми тіла, яке деформується.
У результаті деформації кручення відбувається деякий перекіс твірної циліндра на кут. Це і є зсув. Причому
. (4)
З трикутника ВАА′ при малому куту одержимо:
(5)
Прирівнявши обидві частини рівнянь (4) і (5), одержимо таке рівняння:
(6)
Отже, з (6) видно, що деформацію кручення можна виразити через деформацію зсуву і навпаки.
Відомо, що модуль кручення однорідного циліндричного стрижня довжиною дорівнює
(7)
Підставимо вираз (7) у (3), одержимо
(8)
З формули (8) знаходимо модуль зсуву
(9)
Для експериментального визначення модуля зсуву у даній лабораторній роботі
використовують статичний метод.
Опис експериментальної установки та методики вимірювань.
Прилад для визначення модуля зсуву складається з рами на якій закріплена муфта для фіксації стального стрижня (на рис.3 вона не показана) і диска D, радіус якого R. Диск прикріплений до нижнього кінця стрижня, який підвішений на рамі, Верхній кінець стрижня затиснутий у муфті гвинтом. На диск намотаний шнур в одному напрямі і до його кінців, перекинутих через блоки, прикріплені шальки для тягарців. Якщо на шальки покласти однакової маси тягарці, то обертальний момент пари сил поверне диск на деякий кут . З віссю диска жорстко зв’язана вісь дзеркала z. Кут повороту диска вимірюють за допомогою використання методу дзеркала та шкали і визначають (у радіанах) за формулою:
, (10)
де n та n0 – показання шкали відповідно при навантаженій певним вантажем та при ненавантаженій ним установці;
d – відстань від дзеркала Z до шкали зорової труби.
З формул (9) і (10) одержимо робочу формулу для визначення модуля зсуву
. (11)
Порядок виконання роботи.
1. Виміряйте довжину L стрижня (відстань між місцями закріплення стрижня на рамі та на диску), діаметр стрижня r (в декількох місцях та обчисліть його середнє значення), радіус диска R та відстань від дзеркала до шкали d.
2. Поступово збільшуючи, а потім зменшуючи момент прикладених сил, зафіксуйте, використовуючи суб’єктивний метод дзеркала і шкали, відповідні кути закручування стрижня . Дослідження для кожного вантажу треба провести не менше ніж три рази. Для розрахунків і треба брати їх середні арифметичні значення. За кут закручування, який відповідає тому чи іншому вантажу, треба брати середнє арифметичне із різниць показань шкали, одержаних при вимірювання, проведених в одному (при навантажені вантажем) і у другому (при розвантажені вантажем) напрямку. Моменти пари сил створюйте розташовуючи почергово на платформах попарно рівні вантажі маси
, (12)
де m – маса вантажу на одній платформі;
g – прискорення вільного падіння.
3. Розрахуйте за формулою (11), підставляючи у неї відповідні значення моментів пари сил, модуль зсуву для кожного із дослідів. Результати вимірювань і розрахунків запишіть у таблицю №1.
4. Обчисліть середнє значення модуля зсуву . Розрахуйте абсолютну та відносну похибки. Порівняйте одержане значення з табличним значенням модуля зсуву сталі, яке наведене у довідковій таблиці Додатку №4.
Таблиця №1
|
m, кг |
P, Н |
n, м |
, м |
, м |
N, Па |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
||||||||
|
Нав. |
Розв. |
Нав. |
Розв. |
Нав. |
Розв. |
|||||
Література: [1-9,11,20-38,47]
Лабораторна робота №11
Визначення модуля Юнга сталі за методом деформації згину
Мета лабораторної роботи
Дослідження пружних властивостей стрижня при його згинанні. Визначення модуля Юнга сталі за методом деформації згину бруска.
Деякі теоретичні положення
Однією з основних деформацій твердого тіла є прогин стрижнів або брусків під дією сил, прикладених нормально до осі стрижнів. За деформацією згину можна визначити модуль Юнга. Для цього один кінець бруска закріплюють нерухомо, а до другого прикладають силу (рис.1а), перпендикулярно до його осі. Внаслідок дії зовнішніх сил брусок деформується так, що його кінець опуститься, а поздовжня вісь викривиться. При згині верхні шари бруска будуть розтягуватись, його нижні шари – стискатись, а деякий середній шар, який називають нейтральним шаром, або пружною лінією бруска, не змінить свою довжину, він лише викривиться (рис.1б). Переміщення, яке здійснює вільний кінець бруска, називається стрілою прогину . Стріла прогину буде тим більшою, чим більшим є навантаження. Вона також залежить від форми бруска, його розмірів і модуля Юнга матеріалу, з якого виготовлено брусок. Точний аналіз деформацій і напружень у пружному стрижні є досить складним. Наближені результати можна одержати, використовуючи гіпотезу Бернуллі про те, що при викривленні стрижня чи бруска усі його поперечні перерізи залишаються плоскими. Це завбачення відповідає наведеним вище даним про те, що у кожному малому об’ємі бруска при згині здійснюється тільки деформація стиску чи розтягу.
Рис.1
Розглянемо теоретично деформацію згину бруска, яка здійснюється у результаті дії на нього моменту сили , прикладеної до його кінця.
Для того щоб обчислити стрілу прогину розглянемо деякий елемент dx прямокутного бруска довжиною L, висотою b та шириною a.
Нехай цей елемент dx знаходиться на відстані х від вільного кінця бруска та безпосередньо прилягає до перерізу, який розглядається. І позначає напрямок цього перерізу перед згином, а ІІ – положення того ж самого перерізу після згину по відношенню до сусіднього перерізу, яке позначено – ІІІ. Перед згином І паралельний ІІІ.
Знайдемо видовження dl деякого шару бруска висотою dy, який знаходиться на відстані у від нейтрального шару. З рис.2 видно, що
, звідки . (1)
Для того щоб спричинити це видовження dl, на деякий шар бруска треба подіяти деякою елементарною пружною силою dF, яка за законом Гука буде дорівнювати
, (2)
де Е – модуль Юнга матеріалу, з якого виготовлений брусок;
ds – елементарна площа розтягнутого шару.
Підставляючи у цей вираз вже знайдене значення , а також , що видно з рис.2, одержимо вираз за яким можна визначити елементарну пружну силу
. (3)
Щоб обчислити модуль обертального моменту пружної сили, яка діє на увесь поперечний переріз бруска, потрібно обчислити модулі моментів усіх елементарних пружних сил dF , які діють на нього, та просумувати їх. Модуль обертального моменту пружної сили визначимо за формулою:
. (4)
Так як при рівновазі обертальний момент, який зумовлений дією пружних сил, повинен дорівнювати обертальному моменту зовнішньої сили , то можна записати таке рівняння:
, (5)
де Р – вага вантажу, який прикладений до вільного кінця бруска;
х – відстань від точки прикладання сили Р до даного перерізу.
Мірою прогину в перерізі, який розглядається, є елементарний кут dφ, який утворений двома напрямками І та ІІ поперечного перерізу. Легко бачити, що
. (6)
Проведемо в точках А та В перпендикуляри до напрямків І та ІІ та продовжимо їх до вільного кінця бруска, зробивши, таким чином, їх довжину рівною х. Ясно, що ці два відрізки утворюють між собою кут, рівний dφ. Відстань dλ між кінцями обох відрізків є елементарна стріла прогину, який утворюється внаслідок обертання поперечного перерізу бруска, що розглядається. З рис.2 видно, що dλ = х dφ. Підставляючи сюди вже знайдене значення dφ, а також значення
(7)
з рівняння (5), знайдемо елементарну стрілу прогину
. (8)
Вся стріла прогину може бути визначена у результаті інтегрування
. (9)
З цієї формули можна визначити модуль Юнга матеріалу, з якого виготовлено брусок:
(10)
Опис установки та методики вимірювань.
Схематичне зображення установки наведено на рис.3. Вона складається з масивної металевої рами A, яка встановлена на опорах B. На рамі встановлений індикатор циферблатного типу C, який можна пересувати по рамі. Цей прилад служить для вимірювання стріли прогину бруска D під дією вантажів, які поміщують на підвіс F. Брусок, виготовлений зі сталі, закріплений з одного боку нерухомо, а з іншого боку бруска на ньому встановлена опорна призма з підвіскою для вантажів F. Опорна призма може переміщуватись по бруску.
Індикатор циферблатного типу (рис.4) широко використовують в експериментальних дослідженнях. Він, зокрема, служить для вимірювання малих деформацій тіл та їх видовження при нагріванні. Індикатор складається з корпуса 2, вимірювальної штанги 1, обойми зі шкалою 3, малої стрілки 5, великої стрілки 4. Система передачі зміни довжини предмета, який досліджується, здійснюється з допомогою штанги і важільного механізму, який знаходиться у корпусі приладу.
Індикатор є точним вимірювальним приладом. Ціна однієї поділки його великої шкали складає 0,01 мм. Повний оборот великої стрілки відповідає зміні довжини досліджуваного предмета на 1 мм. Це фіксується відхиленням малої стрілки на одну поділку на малій шкалі. Значить, ціна однієї поділки малої шкали складає 1 мм. Максимальна зміна довжини, яку може зафіксувати індикатор, не перевищує 10 мм.
Шкали індикатора мають чорну і червону розшифровку. За допомогою чорних цифр вимірюють величину видовження досліджуваного тіл, а за допомогою червоних цифр – укорочування розміру тіла. Перед початком вимірювань індикатор встановлюють на нуль поворотом обойми 3.
Видовження чи укорочування тіла за допомогою індикатора визначають за формулою:
(11)
де - число поділок малої шкали індикатора; - ціна поділки великої шкали, - число поділок великої шкали індикатора. Якщо велика стрілка при вимірювань не зробила ні
Рис.4
одного повного оберту, то зміна довжини тіла визначається за формулою
. (12)
Вимірювання стріли прогину здійснюють за такою методикою. Поклавши на підвіс вантаж, визначають за індикатором стрілу прогину бруска у точці закріплення індикатора . З рис.5. видно, що дійсне значення стріли прогину у точці, до якої прикладена сила , може бути визначене з пропорції за формулою:
(13)
Рис.5
Порядок виконання роботи.
Таблиця №1
|
mi , кг |
Pi, Н |
λ, м |
, м |
, м |
, Па |
|||||
|
1 |
2 |
3 |
||||||||
|
Нав. |
Розв. |
Нав. |
Розв. |
Нав. |
Розв. |
|||||
Література: [1-13,19-38,47]
Лабораторна робота №12
Вивчення поля швидкостей повітряного потоку за допомогою трубки Піто-Прандтля
Мета лабораторної роботи:
Вивчення динамічних характеристик повітряного потоку за допомогою трубки Піто-Прандтля та рідинного мікроманометра.
Деякі теоретичні положення
При вивченні руху рідин та газів користуються методом вивчення, який був запропонований Л. Ейлером. За цим методом замість дослідження руху кожного елемента рідини або газу визначають швидкість у кожній точці потоку у різний час. Ця швидкість стосується не певної, а будь-якої частинки, що міститься в заданій точці потоку. Зрозуміло, що коли будуть знайдені розподіл швидкостей у потоці та характер зміни його в часі, то потік рідини або газу стане повністю визначеним. Іншими словами, за методом Ейлера потік рідини або газу задається полем векторів швидкостей.
Рис.1
Графічно потік зображують не векторами швидкостей у кожній точці, а лініями потоку. Вони проводяться так, щоб у кожній точці лінії вектор швидкості був дотичною (рис.1). Цих ліній проводять стільки, щоб їх густота (тобто кількість ліній на одиницю перпендикулярної до них площадки) була пропорційна швидкості в усіх місцях потоку. Так лініями потоку відображають напрям і модуль швидкості в різних місцях потоку: де швидкість потоку більша, лінії потоку йдуть густіше, а де вона менша – рідше. Лінії потоку не слід ототожнювати з траєкторіями частинок; лише для стаціонарного потоку, тобто у такому для якого поле швидкостей з часом залишається незмінним, лінії потоку збігаються з траєкторією частинок.
Частину рідини або газу, обмежену лінями потоку, називають трубкою потоку. Оскільки швидкості частинок дотичні до лінії потоку, вони залишаються дотичними також до поверхні трубки потоку, тому частинки рідини у своєму русі не виходять за межі трубки потоку.
Вільним повітряним потоком називають повітряний потік, який виходить з деякою постійною швидкістю з аеродинамічної труби в нерухоме повітря (рис.2).
Оскільки течія повітряного потоку після виходу струмини повітря з аеродинамічної труби є турбулентною (вихровою), то частинки повітря внаслідок інтенсивного вихороутворення і перемішування набувають складових швидкостей, перпендикулярних до напряму течії, що обумовлює їх переходи із одного шару в інший. Через це швидкість
.
Рис.2
частинок повітря швидко зростає по мірі їх віддалення від стінок обраної для розгляду трубки потоку, а далі змінюється незначно. Тому профіль усередненої швидкості під час турбулентної течії повітря у обраній трубці потоку (рис.3 б ) відрізняється від параболічного профілю (рис.3 а), характерного для ламінарної течії рідини більш швидким зростанням швидкості біля стінок обраної трубки потоку і меншою кривизною у центральній частині трубки потоку.
Рис.3
З віддаленням від аеродинамічної труби швидкість потоку повітря зменшується, а тому течія повітря поступово переходить від турбулентної до ламінарної (див. рис.2). Ламінарною течією називається така течія, при якій кожний виділений тонкий циліндричний шар рідини у обраній для аналізу трубці течії ковзає відносно інших сусідніх шарів не перемішуючись з ними. Вимірювання показали, що під час ламінарної течії швидкість частинок повітря змінюється від мінімальної біля стінок обраної трубки потоку до максимальної на осі цієї трубки потоку (рис.3 а).
У найпростіших випадках при дослідженні поля швидкостей повітряного потоку зазвичай обмежуються визначенням складових швидкості, паралельних осі аеродинамічної труби А (рис.4), проводячи вимірювання на різних відстанях від її кінця. Вважаючи, що при круглому перерізі труби А поле її швидкостей симетричне відносно осі х, вимірювання можна обмежити, очевидно, будь яким напрямком, який перпендикулярний до осі х.
Вимірювання починають в точках, які лежать на осі х, яка співпадає з віссю обраної для досліджень трубки потоку і доводять до тих точок, де складова швидкість вздовж осі х стає рівною нулю, тобто до стінок обраної трубки потоку.
Опис експериментальної установки та методики вимірювань.
Для вимірювання швидкостей потоку використовують трубку Піто-Прандтля. При дотриманні певних співвідношень в розмірах вона дає можливість вимірювати різницю між повним і статичним тиском, яка дорівнює динамічному тиску в потоці, а також швидкість повітряного потоку.
Будова трубки схематично показана на рис.5. Манометр, який з’єднаний з відростком В трубки Піто-Прандтля, показує статичний тиск у потці РS; манометр, який з’єднаний з С, покаже повний тиск у потоці Р.
Згідно з рівнянням Бернуллі для горизонтальної трубки потоку динамічний тиск (динамічний напір) в потоці повітря дорівнює різниці між повним і статичним тиском:
, (1)
де ρ – густина повітря;
υ – швидкість потоку повітря у точці, де розміщується початок трубки Піто-Прандтля,
отримаємо
. (2)
Отже, для визначення швидкості в будь-якій точці потоку необхідно окремо виміряти Р та РS.
На практиці ці вимірювання виконують, зазвичай, таким чином, що різницю тисків Р – РS визначають одночасно, в результаті одного вимірювання. Цього можна досягти, якщо скористуватися одним манометром та включити його диференціально, як показано на рис. 5. Манометр буде показувати безпосередньо різницю між повним та статичним тиском, тобто динамічний тиск.
Так як при досліджені поля швидкостей потоку повітря ми маємо справу з вимірюванням малих різниць тисків, то для цього необхідно застосовувати так звані мікроманометри. Робота рідинних мікроманометрів заснована на тому ж принципі, що і звичайних, але чутливість їх збільшена за рахунок того, що вони заповнюються рідинами з малою густиною (спирт, керосин), а одному з колін манометра D при виготовлені надається похиле положення (рис.5). Друге коліно мікроманометра Е виконано у вигляді посудини з відносно великим перерізом. Нехтуючи незначними змінами рівня рідини в коліні Е при диференціальному з’єднанні мікроманометра, отримаємо
, (3)
де ρр – густина рідини в мікроманометрі;
∆h – різниця рівнів рідини в коліні D;
∆l – різниця рівнів рідини, яка відлічують за шкалою мікроманометра;
α – кут нахилу трубки.
Вільний повітряний потік отримують від маленької аеродинамічної труби. При проведенні вимірювань треба встановлювати підставку з трубкою Піто-Прандтля та мікроманометром таким чином, щоб вісь трубки співпадала з віссю аеродинамічної труби. За допомогою гвинтів на підставці мікроманометр встановлюють за рівнем та відлічують його початкове показання. На підставці аеродинамічної труби прикріплена масштабна лінійка, за якою можна відлічувати відстані по осі х.
Порядок виконання роботи
1. Сопло аеродинамічної труби при проведені першого вимірювання приблизьте майже впритул до кінця трубки Піто-Прандтля. Увімкніть вентилятор аеродинамічної труби в електричну мережу. Послідовно пересуваючи трубку Піто-Прандтля вздовж перерізу потоку (вздовж осі у), через кожен сантиметр, до того моменту поки трубка не вийде за межі потоку повітря, здійсніть за шкалою мікроманометра (у поділках цієї шкали) вимірювання динамічного тиску в потоці. Дані вимірювань запишіть у таблицю №1.
2. За методикою, описаною в п.1, проведіть вимірювання динамічного тиску в потоці повітря, послідовно змінюючи відстань між соплом аеродинамічної труби та трубкою Піто-Прандтля на 10 см. Дані вимірювань запишіть у таблицю №1.
Таблиця №1.
|
Показання масштабної лінійки (вісь х), см |
|||||||||||||||||||||||||
|
0 |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
||||||||||||||||||
|
l, [ ] |
∆l, [ ] |
, [ ] |
l, [ ] |
∆l, [ ] |
, [ ] |
l, [ ] |
∆l, [ ] |
, [ ] |
l, [ ] |
∆l, [ ] |
, [ ] |
l, [ ] |
∆l, [ ] |
, [ ] |
l, [ ] |
∆l, [ ] |
, [ ] |
l, [ ] |
∆l, [ ] |
, [ ] |
l, [ ] |
∆l, [ ] |
, [ ] |
||
|
Показання масштабної лінійки (вісь у), см |
0 |
||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||
|
3 |
|||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||
|
5 |
|||||||||||||||||||||||||
|
6 |
|||||||||||||||||||||||||
|
7 |
|||||||||||||||||||||||||
|
8 |
|||||||||||||||||||||||||
|
9 |
|||||||||||||||||||||||||
|
10 |
|||||||||||||||||||||||||
|
11 |
|||||||||||||||||||||||||
|
12 |
|||||||||||||||||||||||||
|
13 |
|||||||||||||||||||||||||
|
14 |
|||||||||||||||||||||||||
|
15 |
3. Побудуйте графік поля швидкостей вільного повітряного потоку в різних перерізах трубки потоку. Для його побудови немає необхідності попередньо розраховувати абсолютні значення всіх швидкостей потоку. Замість них можна використати величину, пропорційну абсолютному значенню швидкості, а саме , так як
, (4)
оскільки ρр, ρ, g та α – постійні величини.
4. Абсолютні значення швидкостей потоку треба розрахувати тільки для швидкостей потоку повітря вздовж осі трубки потоку, яка співпадає з центром перерізу сопла аеродинамічної труби. Дані щодо густини повітря, кута і густини робочої рідини манометра наведені на робочому місці і в довідковій таблиці Додатку №4.
5. Розрахуйте абсолютну та відносну похибки для одного із абсолютних значень швидкості вільного повітряного потоку.
Література: [1-6,18,20-39]
Лабораторна робота №13
Вивчення прецесії гіроскопа
Мета лабораторної роботи:
Ознайомлення з особливостями руху гіроскопа. Визначення кутової швидкості прецесії і моменту інерції гіроскопа.
Деякі теоретичні положення
Гіроскопом називається масивне симетричне тверде тіло, яке здатне обертатись навколо власної осі симетрії з великою кутовою швидкістю (рис.1).
Рис.1
Встановлено, що якщо вісь гіроскопа, який обертається з великою кутовою швидкістю, розташована вертикально, то його обертання може тривати дуже довго. Якщо вісь відхилиться від вертикалі, то гіроскоп, не впаде, а буде здійснювати так званий прецесійний рух, його вісь буде описувати поверхню кругового конуса з вершиною у точці опори (рис.2).
Рис.2
Прецесія – це складний рух, яке складається з обертання гіроскопа навколо двох осей, які перетинаються. Навколо власної осі він обертається з кутовою швидкістю , а навколо нерухомої вертикальної осі з кутовою швидкістю . Точка перетину двох осей є єдиною нерухомою точкою гіроскопа. У прикладі, який розглядається на рис.2, – це точка опори гіроскопа на горизонтальну поверхню. У загальному випадку прецесійного руху нерухомою може бути будь яка точка осі гіроскопа, наприклад його центр мас.
Кутова швидкість обертання гіроскопа навколо власної осі називається кутовою швидкістю власного обертання. Кутова швидкість , з якою вісь гіроскопа обертається навколо нерухомої осі, називається кутовою швидкістю прецесії. Зазвичай кутова швидкість власного обертання гіроскопа не набагато більшою за кутову швидкість прецесії.
Якщо на вісь гіроскопа діє деяка сила, яка створює момент сили , то момент імпульсу відносно точки (головний момент імпульсу) змінюється у відповідності з рівнянням моментів
. (1)
Аналіз рівняння (1) спрощується внаслідок того, що кутова швидкість обертання гіроскопа дуже велика. Це означає, що головний момент імпульсу практично направлений по осі гіроскопа. Момент зовнішніх сил направлений перпендикулярно до осі гіроскопа, тобто практично перпендикулярно до головного моменту імпульсу . Елементарне прирощення моменту імпульсу повинно бути направлене перпендикулярно до вектора моменту імпульсу у напрямку, паралельному вектору моменту зовнішніх сил . Таке прирощення спричинить зміну напрямку вектора моменту імпульсу , тобто зміну напрямку осі гіроскопа. Якщо при цьому вісь гіроскопа повертається на кут , то відповідна зміна модуля вектора моменту імпульсу буде дорівнювати
(2)
Якщо при зміні напряму осі на кут момент зовнішньої сили повернеться на такий же кут і не змінить свою величину, то ситуація у новому положенні гіроскопа буде аналогічною, тобто відбудеться так ж сама зміна напряму осі обертання гіроскопа за наступний момент часу , тобто під дією постійного моменту сил виникне обертання осі гіроскопа з постійною кутовою швидкістю При цьому зміна моменту імпульсу за одиницю часу, рівне , буде визначатися рівнянням (1) і дорівнювати
. (3)
Враховуючи, що для гіроскопа, який швидко обертається,
, (4)
де - момент інерції гіроскопа відносно його осі, одержимо формулу для визначення модуля вектора кутової швидкості прецесії
. (5)
Отже, обертання осі гіроскопа з кутовою швидкістю відносно його осі під дією постійного моменту сил, називається прецесією гіроскопа.
Опис приладу та методики вимірювань
Прилад (рис.3) складається з електричного моторчика А, закріпленого в обоймі В. Обойма опирається на вертикальний стрижень С і може обертатись навколо горизонтальної осі, а разом зі стрижнем – навколо вертикальної. Власне гіроскопом є ротор моторчика з масивним диском Е. Момент зовнішніх сил, прикладених до гіроскопа, може змінюватись при переміщенні вантажу К по стрижню обойми. Прилад має також електронний блок G, у склад якого входять: система вимірювання швидкості обертання моторчика, електронний таймер, фотоелектрична система вимірювання кута повороту гіроскопа навколо вертикальної осі.
Рис.3
Увімкнення моторчика здійснюється шляхом виведення ручки «скорость вращения» 1 із крайнього лівого положення. Подальше обертання цієї ручки за годинниковою стрілкою приводить до збільшення швидкості обертання моторчика. Стрілковий прилад 2 на панелі блоку показує швидкість обертання моторчика.
Увімкнення електронного таймера і фотоелектричної системи вимірювання кута повороту гіроскопа навколо горизонтальної осі здійснюється шляхом натискання клавіші «сеть» 3. При натисканні на клавішу «сброс» 4 здійснюється обнулювання табло електронного блока 6, 7. Після натискання на клавішу «сброс» здійснюється запуск фотоелектронної системи вимірювання кута і електронного таймера в момент, коли світловий потік попадає на фотоелемент системи через один з прорізів на циліндричній діафрагмі D, яка обертається разом з гіроскопом навколо вертикальної осі. Після натискання на клавішу «стоп» 5 здійснюється зупинка вимірювання часу і кута при черговому попаданні світлового пучка на фотоелемент системи. Кутову швидкість прецесії одержують шляхом ділення зафіксованого на табло 7 електронного блока значення кута на відповідний час .
Порядок виконання роботи
1. Закріпіть вантаж К на стрижні обойми так, щоб увесь прилад знаходився у байдужій рівновазі. Вісь гіроскопа встановіть горизонтально.
2. Увімкніть моторчик і зачекавши 2-3 хвилини, доки ротор не почне обертатись з номінальним числом оборотів.
3. Зміщенням вантажу К створіть момент сили тяжіння М. Величина цього моменту визначається за формулою , де - заданий модуль ваги вантажу, - відстань цього вантажу від його початкового положення, яка вимірюється за шкалою на стрижні.
4. Виміряйте величину кутової швидкості прецесії при різних значеннях моменту (при різних значеннях плеча ). Треба зробити 3-4 вимірювання для кожного значення швидкості обертання ротора (рекомендовані значення швидкості обертання 2000, 4000 і 6000 обертів за хвилину). При стійкій роботі моторчика в межах похибки вимірювань повинна виконуватись така умова
. (6)
5. Скориставшись формулою (6) визначте середнє арифметичне значення величини для кожного значення кутової швидкості обертання ротора .
6. За формулою (4) обчисліть момент інерції гіроскопа для кожного значення кутової швидкості обертання ротора і середнє арифметичне значення моменту інерції гіроскопа . Обчисліть абсолютну та відносну похибки.
Література: [11,16,20-38]
Додаток №1
Питання для самоконтролю при підготовці до виконання та захисту експериментальних лабораторних робіт з механіки.
Чутливість аналітичних терезів
та методи точного зважування (вимірювання маси).
Визначення густини сухого повітря та
універсальної газової сталої за методом відкачки.
Визначення густини твердих та рідких тіл пікнометром.
Вивчення обертального руху твердого тіла
за допомогою маятника Обербека.
Визначення прискорення сили земного тяжіння
за допомогою оборотного фізичного маятника.
Вивчення коливань зв’язаних маятників.
Визначення моменту інерції тіл різної форми методом крутильних коливань трифілярного підвісу.
Визначення модуля Юнга сталі статичним методом за деформацією розтягу.
Визначення швидкості звуку в твердих тілах і пружних сталих твердих тіл
динамічно-акустичним методом.
Визначення модуля зсуву сталі статичним методом за деформацією кручення
Визначення модуля Юнга сталі за методом деформації згину.
Вивчення поля швидкостей повітряного потоку
за допомогою трубки Піто-Прандтля.
Вивчення прецесії гіроскопа.
Додаток №2
Деякі математичні формули.
Логарифмічна функція та її властивості.
ab = c => log a c = b
Основна логарифмічна тотожність:
alog a N = N
|
Властивості логарифмічної функції: log a (N1N2) = log a N1 + log a N2 log a (N1 / N2) = log a N1 - log a N2 log a (Nm) = m . log a N log a = log a N / k log a b = log a c => b = c |
Логарифмічні тотожності: log a b = 1 / log b a log a b . log b a = 1 log a N = log ak Nk log an N = log a N / n log a 1 = 0 log a a = 1 |
|
Формула, яка використовується для здійснення переходу від однієї основи логарифму до іншої: log a N = log b N / log b a log 10 N = lg N log e N = ln N |
Таблиця диференціалів.
|
d(C)x = 0, C-const d(kx+b)x = k dx d(xr)x = r xr-1 dx d(ex)x = ex dx d(ax)x = ax ln a dx d(ln x)x = d(log x)x = d(sin x)x = cos x dx d(cos x )x = – sin x dx |
d(tg x)x = d(ctg x)x = – d(arcsin x)x = d(arccos x )x = – d(arctg x)x = d(arcctg x)x = – |
Основні формули диференціювання.
d(u±υ) = du ± dυ
d(Cu) = Cdu
d(uυ) = du υ + u dυ
d(u/υ) = (du υ – u dυ)/υ2
Формула, за якою здійснюють диференціювання складної функції.
df(h(g(x)))x = df(h(g(x)))h(g(x)) dh(g(x))g(x) dg(x)x dx
Додаток №3
Приклади розрахунку
відносної та абсолютної похибок непрямих вимірювань
Приклад №1.
I. Робоча формула, яка використовується для розрахунку прискорення сили тяжіння земного за періодом коливань математичного маятника, має такий вигляд:
. (1)
ІІ. Результати прямих експериментальних вимірювань та табличні значення величин, виражені у одиницях СГС є такими.
Нехай - довжина маятника, яка виміряна з абсолютною похибкою . Період коливань маятника , а . Якщо при підрахунках взяти число , то . Розрахунок прискорення сили земного тяжіння за формулою (1) і за даними, одержаними з таблиць та шляхом проведення прямих вимірювань, дав таке його значення:
(2)
ІII. Алгоритм знаходження відносної та абсолютної похибки для робочої формули (1):
(3)
Для того, щоб одержати робочу формулу, за якою можна розраховувати абсолютне значення відносної похибки визначення прискорення сили земного тяжіння , діємо згідно з вказівками викладеними у п. 3 Вступного заняття. Замінимо у чисельниках виразів, які входять у формулу (3) повного диференціала логарифму , символи диференціалу на символи абсолютної похибки і знак «-« , що стоїть перед третім доданком на знак «+». Таким чином, остаточна формула для визначення абсолютного значення відносної похибки прискорення сили земного тяжіння має такий вигляд:
. (4)
Для проведення розрахунку за формулою (4) у неї треба підставити числові значення всіх величин, що входять до цього виразу, а також абсолютні значення їх абсолютних похибок . Таким чином
(5)
Визначаємо абсолютну похибку визначення прискорення сили земного тяжіння.
(6)
Записуємо остаточний результат визначення прискорення сили земного тяжіння за даними непрямих вимірювань у такому вигляді:.
Приклад№2.
І. Робоча формула, яка служить для визначення в’язкості рідини має такий вигляд:
, де
ІІ. Результати прямих експериментальних вимірювань та табличні значення величин, виражені у одиницях СГС:
ρ = 11,3 г/см3 ∆ρ = 0,05 г/см3 (половина відомого порядку),
ρ0 = 1,26 г/см3 ∆ρ0 = 0,005 г/см3 ( – / – / – / – / – / – /– / – / – /–),
g = 9,8 м/с2 ∆g = 0,02 м/с2 (знаючи, що g = 9,81 м/с2),
d = 0,196 см ∆d = 0,0005 см (половина ціни поділки мікрометра),
D = 5,6 см ∆D = 0,05 см (половина ціни поділки лінійки),
l = 14,1 см ∆l = 0,05 см ( – / – / – / – / – / – /– / – / –/ – /– ),
t = 3,2 c ∆t = 0,2 c (ціна поділки механічного секундоміра).
ІІІ. Алгоритм розрахунку відносної похибки для .
1. Логарифмуємо вираз за натуральним логарифмом:
.
2. Диференціюємо отриманий вираз:
.
3. Замінюємо символ „d” на символ „∆” в чисельниках дробів та знак „–” на знак „+” між доданками:
.(1)
4. Підставляємо у формулу (1) чисельні значення:
.
ІV. Знаходження відносної та абсолютної похибок для робочої формули:
1.
.
2.
.
3.
4. Враховуючи знайдене значення , знайдемо відносну похибку:
.
V. Обчислимо чисельне значення ηі та абсолютну похибку:
, пуаз,
пуаз.
VI. Остаточно запишемо результат у такому вигляді:
пуаз; .
Додаток №4
Довідкові таблиці
Деякі фізичні властивості деяких твердих тіл
|
Матеріал |
Густина , кг/м3 |
Модуль Юнга Е, Па |
Модуль зсуву N, Па |
Швидкість звуку u, м/с |
|
Алюміній |
2,69·10-3 |
(6,17,4)·1010 |
(2,22,6)·1010 |
6400 |
|
Сталь |
(7,7 - 8,0)·10-3 |
(1,92,2)·1011 |
(7,88,1)·1010 |
5100 |
|
Латунь |
(8,3-8,7)·10-3 |
(7,89,8)·1010 |
(2,73,7)·1010 |
4280-4700 |
|
Мідь |
(8,6-8,96)·10-3 |
(1,11,3)·1011 |
(3,94,8)·1010 |
3600 |
Співвідношення між деякими одиницями різних систем.
Одиниці довжини.
1 м = 102 см = 103 мм = 106 мк =109 нм = 1010 ангстрем.
1 см – 10-2 м = 10 мм = 104 мк =107 нм = 108 ангстрем.
1 мк (мікрометр) = 10-6 м =10-4 см =10-3 мм = 104 ангстрем.
Одиниці маси і одиниці сили.
1 кг = 103 г.
1 Н =105 дин.
Одиниці тиску.
1 Паскаль (Па) =1 Н/м2
1 Па = 10 дин/см2 = 10-5 бар = 7,5 10-4 мм. рт. ст.
1 мм. рт. ст. = 1 Торр =133,3·Па = 1,333·103 дин.
1 атмосфера (атм) = 760 мм.рт.ст. = 101325 Па.
Одиниці роботи (енергії).
1 Дж = 107 ерг =0,2385 кал.
1 ккал = 103 кал = 4,18·103 Дж = 4.18·1010 ерг.
Довідкова таблиця деяких фізичних сталих та інших фізичних величин.
|
Величина |
Позначення |
Значення |
|
Прискорення вільного падіння |
g |
9,80602 м/с2 |
|
Гравітаційна стала |
G |
6,672 . 10 –11 Н.м2/кг2 |
|
Абсолютний нуль температури |
- |
- 273,15 о С |
|
Потрійна точка води |
- |
273,16 К = 0,01о С |
|
Мольний об’єм ідеального газу за звичайних умов (0 О С та 101325 Па) |
Vо |
22,41·10-3 м3/моль |
|
Універсальна газова стала |
R |
8,314 Дж/моль.К |
|
Кількість молекул в молі речовини (число Авогадро) |
NA |
6,022 . 1023 моль-1 |
|
Кількість молекул в 1 м3 газу за звичайних умов (число Лошмідта) |
nо(Lо) |
2,68719 . 1025 м –3 |
|
Стала Больцмана |
k=R/NA |
1,38 . 10-23 Дж/К |
|
Атомна одиниця маси |
а.о.м. |
1,660 . 10 –27 кг |
|
Швидкість світла у вакуумі |
с |
2,997925 . 10 8 м/с |
|
Швидкість звуку в повітрі за нормальних умов |
υ |
330 м/с |
|
Густина сухого повітря за звичайних умов |
ρпов. |
1,293 кг/м3 |
|
Густина ртуті за звичайних умов |
ρHg |
13595,04 кг/м3 |
Множники та приставки для утворення десяткових кратних і часткових одиниць та їх найменувань
|
Множник |
Приставка |
Множник |
Приставка |
||
|
Назва |
Позначення |
Назва |
Позначення |
||
|
101 |
дека |
да |
10-1 |
деци |
д |
|
102 |
гекто |
г |
10 -2 |
санти |
с |
|
103 |
кіло |
к |
10 -3 |
мілі |
м |
|
106 |
мега |
М |
10 -6 |
мікро |
мк |
|
109 |
гіга |
Г |
10 -9 |
нано |
н |
|
1012 |
тера |
Т |
10 -12 |
піко |
п |
|
1015 |
пета |
П |
10 -15 |
фемто |
ф |
|
1018 |
екса |
Е |
10 -18 |
атто |
а |
Одиниці вимірювань фізичних величин в СІ
|
Величина |
Одиниця |
||
|
Найменування |
Позначення |
Найменування |
Позначення |
|
Основні одиниці |
|||
|
Довжина |
l |
метр |
м |
|
Маса |
m |
кілограм |
кг |
|
Час |
t |
секунда |
с |
|
Температура |
T |
кельвін |
К |
|
Сила струму |
I |
ампер |
А |
|
Сила світла |
J |
кандела |
кд |
|
Кількість речовини |
μ |
моль |
моль |
|
Допоміжні одиниці |
|||
|
Плоский кут |
α = l/R |
радіан |
рад |
|
Тілесний кут |
Ω = S/R2 |
стерадіан |
ср |
|
Похідні одиниці |
|||
|
Площа |
S = l2 |
квадратний метр |
м2 |
|
Об’єм |
V = l3 |
кубічний метр |
м3 |
|
Густина |
ρ = m/V |
кілограм на кубічний метр |
кг/м3 |
|
Швидкість |
υ =∆l/∆t |
метр в секунду |
м/с |
|
Прискорення |
a = ∆υ/∆t |
метр на секунду в квадраті |
м/с2 |
|
Частота обертання |
n = 1/t |
секунда в мінус першій степені |
с-1 |
|
Кутова швидкість |
ω = ∆φ∆/t |
радіан в секунду |
рад/с |
|
Кутове прискорення |
ε = ∆ω/∆t |
радіан на секунду в квадраті |
рад/с2 |
|
Сила |
F = ma |
ньютон |
Н |
|
Тиск |
p = F/S |
паскаль |
Па |
|
Напруження (механічне) |
σ = F/S |
||
|
Жорсткість |
k = F/∆l |
ньютон на метр |
Н/м |
|
Імпульс (кількість руху) |
р = mυ |
кілограм-метр в секунду |
кг·м/с |
|
Імпульс сили |
І = F·t |
ньютон-секунда |
Н·с |
|
Робота |
А = Fl |
джоуль |
Дж |
|
Енергія |
Е = W = Fl |
||
|
Потужність |
Р = А/t |
ватт |
Вт |
|
Момент сили |
М = Fl |
ньютон-метр |
Н·м |
|
Момент інерції |
J = mr2 |
кілограм-метр в квадраті |
кг·м2 |
|
Момент кількості руху |
L = Jω |
кілограм-метр в квадраті на секунду |
кг·м2/с |
|
Період |
T |
секунда |
с |
|
Частота періодичного процесу |
ν |
герц |
Гц |
|
Фаза коливального процесу |
φ = ωt+φ0 |
радіан |
рад |
|
Кутова швидкість |
ω = ∆α/∆t = 2πν |
радіан в секунду |
рад/с |
|
Кутове прискорення |
ε = ∆ω/∆t |
радіан на секунду в квадраті |
рад/с2 |
|
Довжина хвилі |
λ = uT |
метр |
м |
СПИСОК ВИКОРИСТАНОЇ ТА РЕКОМЕНДОВАНОЇ ЛІТЕРАТУРИ
PAGE 50
A
α
Р
α
β
β
β
О
О''
Q
Q
C'
C
'
P
р
P
P
B
B'
О'
Рис.4
Рис.2
dφ
dφ
O
O
Рис.3
II
B
C2
C1
A
I
B
C2
C1
A
Рис.2
b2
L
C
B
A
L
B
C
A
b1
Рис.1
m
k
m
l
а
В
H
D
Рис.1
α0
r
R
l
A1
A
C
C1
O
O1
Рис.1
L
Рис.2
D
C
B
А
ЕО
ЗГ
Рис.3
D
Р
Р
z
A
B
C
D
F
Рис.3
y
x
A
Рис.4
α
∆l
∆h
С
В
D
E
Рис.5
Рис.2
O
b
a
B
A
dl
dλ
σ
x
dx
dy
ІІІ
ІІ
І
y