Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
PAGE \* MERGEFORMAT 8
Лекция 3.
Статические модели. Модель черного ящика.
Задаются только входы и выходы.
Модель Форрестера
В 1968 г. по инициативе Аурелио Печчеи [1, 2] (общественного деятеля и бизнесмена, тогда входившего в руководство фирмы "Оливетти") был создан Римский клуб – неправительственная организация ученых, предпринимателей, общественных деятелей. Клуб был создан с целью анализа и поиска решений глобальных проблем. С самого начала существования Клуба его задачей стало привлечение внимание широкой общественности к накопившимся глобальным проблемам. Довольно быстро члены Клуба осознали, что наилучшей формой достижения подобной цели было бы создание и использование математических моделей. Это позволило бы, с их точки зрения, представить существующие проблемы в наиболее объективном ракурсе и поставить их в центр внимания всего общества.
В июне 1970 г. на заседании в Берне Римский клуб предложил профессору МТИ, руководителю группы системной динамики Дж. Форрестеру разработать модель глобального развития. Уже через 4 недели тот представил примитивную модель, грубо имитирующую основные процессы мировой системы. Эта модель получила название "Мир-1". Последующая доработка и отладка привела к появлению так называемой модели "Мир-2". Именно ее мы и рассмотрим подробнее. Описание самой модели, анализ полученных результатов и выводы были опубликованы в книге "Мировая динамика" [3], увидевшей свет в 1971 г. Кратко изложим саму модель.
Модель Форрестера построена на основании принципов системной динамики – метода изучения сложных систем с нелинейными обратными связями, который до этого сам Форрестер со своими сотрудниками разрабатывал с конца 50-х годов. Аналитические основы построения модели, предназначенной для имитации мировых процессов, были рассмотрены в его предыдущих работах, посвященных изучению промышленных и урбанизированных систем [4]. Качественный скачок заключался лишь в том, чтобы перейти от подобных микросистем к глобальной макросистеме.
Метод системной динамики предполагает, что для основных фазовых переменных (так называемых системных уровней) пишутся дифференциальные уравнения одного и того же типа:
,
где y+ – положительный темп скорости переменной y, включающий в себя все факторы, вызывающие рост переменной y; y–– отрицательный темп скорости, включающий в себя все факторы, вызывающие убывание переменной y.
Предполагается, что эти темпы расщепляются на произведение функций, зависящих только от "факторов" – комбинаций основных переменных, т.е., в свою очередь, самих являющихся функциями системных уровней: y± = g(y1, y2,…, yn) = f(F1, F2,…, Fk) = f1(F1) f2(F2) … fk(Fk), где – факторы, причем m = m(j) < n, k = k(j) < n (число уровней). Т.е. факторов меньше, чем основных переменных, и каждый фактор зависит не от всех системных уровней, а только от какой-то их части. Это позволяет упростить задачу моделирования.
Непосредственно моделирование мировой динамики проводилось Форрестером поэтапно. Основные этапы таковы.
1. Концептуализация – выделение главного. На этом этапе выделялись наиболее существенные, на взгляд Форрестера, мировые процессы, такие как: 1) быстрый рост населения; 2) индустриализация и связанный с ней промышленный рост; 3) нехватка пищи; 4) рост отходов производства; 5) нехватка ресурсов.
Отсюда основные переменные (системные уровни):
1) население P;
2) основные фонды K;
3) доля фондов в сельском хозяйстве (т.е. в отрасли обеспечения пищей) X;
4) уровень загрязнения (или просто загрязнение) Z;
5) количество невозобновляемых (невосстановимых) природных ресурсов R.
А также факторы, через которые и осуществляется взаимовлияние переменных при построении дифференциальных уравнений:
· относительная численность населения PP (население, нормированное на его численность в 1970 году);
· удельный капитал KP;
· материальный уровень жизни C;
· относительный уровень питания (количество пищи на человека) F;
· нормированная величина удельного капитала в сельском хозяйстве XP;
· относительное загрязнение ZS;
· доля остающихся ресурсов RR.
Помимо перечисленных переменных, Форрестер ввел еще понятие о "качестве жизни" Q. Этот фактор является своего рода мерой функционирования исследуемой системы, т.е. носит характер индикатора. Зависит этот индикатор от четырех факторов PP, C, F, ZS: Q = QC QFQP QZ. В целом он не играет существенной роли в модели, поэтому, в дальнейшем не рассматривается.
Скажем несколько слов по поводу единиц измерения основных переменных. Население естественно оценивать числом людей, доля фондов в сельском хозяйстве – безразмерная величина между 0 и 1. Выбор единиц для фондов, загрязнения и ресурсов осуществлялся привязкой к базовому году. Единицей капитала считается условная величина – капитал, приходящийся на душу населения в 1970 г.; единицей ресурсов считается их годовое потребление в 1970 г.; за единицу загрязнения принимается условная величина – загрязнение, приходящееся на одного человека в 1970 году.
2. Составление уравнений. Для системных уровней пишется система дифференциальных уравнений, которая в упрощенном виде записывается так:
где B = B(C, F, PP, ZS) = cB·BC(C)·BF(F)·BP(PP)·BZ(ZS) – темп рождаемости,
D = D(C, F, PP, ZS) = cD·DC(C)·DF(F)·DP(PP)·DZ(ZS) – темп смертности,
K+ = K+(P, C) = P·KC(C) – скорость производства основных фондов,
X+ = X+(F, Q) = XF(F)·XQ(Q) / TX – прирост доли сельскохозяйственных фондов,
Z+ = Z+(P, KP) = P·ZK(KP) – скорость генерации загрязнения,
TZ = TZ(ZS) – характерное время естественного разложения загрязнения,
R- = R-(P, C) = P·RC(C) – скорость потребления ресурсов.
Уравнения для вспомогательных переменных:
– относительная плотность населения
– удельный капитал
– относительное загрязнение
– доля оставшихся ресурсов
– относительная величина сельскохозяйственных фондов
– относительное качество жизни
– уровень питания
– материальный уровень жизни
Все обозначенные выше буквы с подстрочными символами (BC, BF, KC и т.д.) суть таблицы с линейной интерполяцией (так называемыемножители). Эти таблицы строились (задавались) либо экспертами в данной области, либо – если экспертов не было – самим Форрестером (в качестве примеров см. рис. 1 и 2).
Константы:
cB = 0,04 – нормальный темп рождаемости,
cD = 0,028 – нормальный темп смертности,
cK = 0,05 – нормальный темп фондообразования,
TK = 40 лет – постоянная износа основных фондов,
TX = 15 лет – время выбытия доли сельскохозяйственных фондов,
tN = 1970 – базовый год,
PN = 3,6·109 – численность населения в 1970 г.,
XN = 0,3 – нормальная часть фондов в сельском хозяйстве,
ZN = 3,6·109 – стандартное загрязнение, численно совпадающее с PN.
Начальные данные:
t0 = 1900, P0 = 1,65·109, K0 = 0,4·109, X0 = 0,2, Z0 = 0,2·109, R0 =9·1011 (значение было взято, исходя из предположения, что ресурсов при скорости их потребления как в 1970 г. должно хватить на 250 лет).
Расчеты по своей модели Форрестер проводил для временного интервала с 1900 по 2100 г.г. С 1900 г. по 1970 г. – главным образом, для того, чтобы "отладить" (настроить) параметры модели на известных данных, а с 1970 г. – уже как чисто прогнозные. Иными словами, параметры модели (в частности, cB, cD, cK ), начальные данные и отчасти табличные функции подбирались, чтобы динамика системы совпала по возможности с реальной мировой динамикой на интервале от 1900 до 1970 г.г., а дальше система пускалась, так сказать, "в свободное плавание". В результате этого расчета получилась картина развития, представленная на рис. 3.
Видно, что после периода монотонного роста численность населения с 2025 г. начинает уменьшаться, причем за 75 лет сокращается в полтора раза, т.е. почти на 2 млрд. человек. Невозобновляемых природных ресурсов к 2100 году остается меньше ⅓ начальных запасов (т.е. R0), уровень загрязнения к 2050 г. в несколько раз превышает стандартный уровень ZN, а затем начинает падать, что является следствием общего упадка промышленности и сокращения численности населения. Материальный уровень жизни (или просто уровень жизни) достигает максимума примерно в 2000 г., а затем падает. Относительный уровень питания после 1970 г. незначительно уменьшается примерно до 2015 г., затем вырастает из-за того, что падает население, хотя в целом ведет себя весьма стабильно – это связано главным образом с заложенным в модель механизмом распределения инвестиций по отраслям. Как только сокращаются ресурсы, резко падает численность населения и промышленное производство.
Заметим, что о технологиях и их развитии Форрестер ничего не говорит и в свою модель явным образом не вводит, пожалуй, это одно из основных упущений его работы. Здесь позиция исследователя такова: зафиксируем наши возможности (технологический уровень) на данном этапе и экстраполируем современные тенденции в части потребления ресурсов, роста загрязнения, выбытия плодородных земель, демографической динамики. Понятно, к чему такое приведет. С другой стороны, тем самым Форрестер показал необходимость развития нужных технологий, решающих тот круг задач, который рассматривается в модели.
Форрестер пробовал изменять по очереди параметры модели в разумных пределах (такие, как запасы ресурсов, их потребление на душу населения, продуктивность сельского хозяйства и т.п.); в результате несколько менялись величина и время наступления спада, но общая картина упадка (типа представленной на рис. 3) сохранилась.
Единственный способ избежать кризиса, связанного, как считал Форрестер, с экспоненциальным ростом, – переход к глобальному равновесию, когда переменные системы выходят на стационарные значения и не меняются. Подчеркнем, кризиса в рамках данной модели, а не в реальности. Соответствие модели действительности – отдельная проблема, которая здесь в полном объеме не рассматривается. Не касаясь вопроса, насколько вообще реальна концепция "нулевого роста", приписываемая Форрестеру (а потом и всему Римскому клубу), обратим внимание лишь на то, что осуществить такую стабилизацию в рамках модели невозможно, поскольку ресурсы могут только убывать и, следовательно, не могут стабилизироваться. Сам Форрестер это прекрасно понимал и в своей книге писал, что без регенерации отходов и применения заменителей истощение природных ресурсов рано или поздно вызовет кризис в моделируемой системе.
По пути усложнений и детализации моделей двигались последующие исследователи. В подавляющем большинстве случаев эти модели очень "раздуты", количество переменных и параметров в них исчисляется сотнями или даже тысячами. Такие сверхсложные модели неудовлетворительны: их трудно верифицировать, поскольку жизнь не стоит на месте, а мы имеем дело с необратимо развивающейся сложной системой; в них трудно понять, какие факторы являются определяющими, а какие сопутствующими; есть опасность подмены понимания вычислениями.
Успехи, достигнутые в этом направлении, более чем скромны: только одному коллективу во главе с академиком Н.Н. Моисеевым удалось произвести воздействие на массовое сознание и на политиков, сравнимое с тем, какое произвели первые глобальные модели. Именно, речь идет о моделировании "ядерной зимы". Результаты, полученные группой Н.Н. Моисеева, оказали огромное влияние на нашу жизнь, да и продолжают оказывать, продемонстрировав невозможность глобальной ядерной войны и, тем самым, очертив границы дозволенного человеку. Других глобальных моделей, которые давали бы такой же понятный и наглядный результат, по-видимому, не построено (либо они широко не известны).
В 70-е и отчасти в 80-е г.г. XX века исследователи полагали, что достаточно учесть как можно больше факторов, чтобы адекватно описать реальное поведение мировой системы. Они не учли при этом трудности идентификации больших моделей, поскольку в большинстве случаев известны не количественные характеристики протекающих процессов, но лишь качественное поведение. "Глобальное моделирование" показало серьезную ограниченность существующих методов прогноза мировой динамики. Оказалось, что задачи, которые ставились при построении большинства моделей, не могли быть решены применяемыми средствами в силу общей ограниченности знания, носящей зачастую принципиальный характер. Поэтому большинство проведенных исследований зашло в тупик и не оправдало возлагавшихся на них надежд.
В исследованиях мировой динамики, видимо, стоит опираться, прежде всего, на наглядные и простые базовые модели. К сожалению, таких моделей не очень много и модель Форрестера – одна из них.