Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Министерство образования Российской Федерации
ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет - УПИ
ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплинам Теория автоматического управления, Автоматическое управление, Управление в биологических и медицинских системах для студентов дневной формы обучения специальностей 20.06.00 – Электроника и автоматика физических установок (направление 651000 – Ядерные физика и технологии), 19.02.00 – Приборы и методы контроля качества и диагностики (направление 653700 – Приборостроение), 19.06.00 – Инженерное дело в медико-биологической практике (направление 653900 – Биомедицинская техника)
Составитель доцент, к.ф.-м.н. В.Ю.Иванов
Научный редактор доцент Н.Ф.Школа
ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ: Методические указания к выполнению лабораторных работ по дисциплинам «Теория автоматического управления», «Автоматическое управление», «Управление в биологических и медицинских системах» / В.Ю.Иванов. Екатеринбург: Издательство ГОУ ВПО УГТУ-УПИ, 2004. с.
Методические указания содержат описание динамических и статических характеристик звеньев (систем) автоматического управления первого и второго порядков. Оценка по этим характеристикам показателей качества звена (системы) применима и к системам более высокого порядка. Частотный критерий Найквиста позволяет выполнять оценку устойчивости замкнутых автоматических систем с единичной обратной связью по передаточной функции разомкнутого контура. Приведено описание критерия Найквиста, способа его применения по амплитудно-фазовым и частотным логарифмическим характеристикам автоматической системы. Изложены методы анализа устойчивости и частотной коррекции операционных схем. Описаны принципы синтеза простых автоматических систем в соответствии с требованиями технического задания на систему. Синтез реализуется путем введения последовательного динамического корректирующего звена. Расчет корректирующего звена выполняется по логарифмическим характеристикам автоматической системы. Приведены методики экспериментального определения динамических характеристик объекта управления и настройки автоматического регулятора на примере системы, состоящей из промышленного регулятора температуры ВРТ-2 и лабораторной нагревательной печи.
Библиогр.: 13 назв. Рис. 28. Прил. .
Подготовлено кафедрой «Экспериментальной физики»
© ГОУ ВПО Уральский государственный технический университет – УПИ, 2004
ЛИНЕЙНЫЕ НЕПРЕРЫВНЫЕ АВТОМАТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ
Составитель Иванов Владимир Юрьевич
Редактор
|
Подписано в печать Формат 60х84 1.16 Бумага типографская Офсетная печать Усл.печ. л. Уч.-изд.л. Тираж Заказ Цена «С» |
Издательство ГОУ ВПО УГТУ-УПИ
620002, Екатеринбург, ул.Мира, 19
ОГЛАВЛЕНИЕ
1. Типовые звенья автоматических систем ……………………………....……3
1.1. Характеристики типового звена автоматической системы………………3
1.2. Контрольные вопросы…………………………...…………………………..6
1.3. Задание по работе………………………………..…………………………..6
1.4. Требования к отчету …………...………..…………….…………………….8
2. Устойчивость и качество работы автоматических систем….………………8
2.1. Частотный критерий устойчивости Найквиста…………………………....8
2.2. Показатели качества………………………………………………………..11
2.3. Контрольные вопросы……………………………………………………...12
2.4. Задание по работе……………………….……………………....………….12
2.5. Требования к отчету ………….……………………………………………13
3. Устойчивость и качество работы операционных схем…………………….13
3.1. Математическое описание операционной схемы………………………...13
3.2. Устойчивость операционной схемы………………………………………17
3.3. Методы частотной коррекции операционных усилителей……………....19
3.4. Факторы, снижающие устойчивость операционной схемы……………..22
3.5. Контрольные вопросы……………………………………………………...25
3.6. Задание по работе…………………………………………………………..25
3.7. Требования к отчету ………….……………………………………………26
4. Коррекция линейных непрерывных автоматических систем.....………….26
4.1. Метод расчета звена последовательной коррекции……………………...26
4.2. Реализация типовых звеньев коррекции………………………………….30
4.3. Контрольные вопросы……………………………………………………..35
4.4. Задание по работе………………………………………..………………...35
4.5. Требования к отчету………………………………………..………………36
Библиографический список………………………………………….…………36
1. ТИПОВЫЕ ЗВЕНЬЯ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Цель работы – изучение математических моделей простых элементов автоматических систем (АС) – дифференциальное уравнение, передаточная функция в виде Лаплас-изображения, комплексный частотный коэффициент и его логарифмическое представление (логарифмические амплитудо- и фазочастотные характеристики), переходная и импульсная переходная (весовая) характеристики. Ознакомление с простейшими методами коррекции динамических и статических свойств простых элементов АС и процессами, развивающимися в АС, составленных из нескольких типовых элементов.
1.1. ОСНОВНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ТИПОВОГО ЗВЕНА АВТОМАТИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
Звеном называют математическую модель элемента АС. Наиболее удобный и часто используемый вид математического описания элемента АС или системы в целом – набор дифференциальных уравнений, связывающих вектора задающего (входного) воздействия g(t), воздействия возмущения f(t) и состояния выхода x(t) системы (элемента). Если считать воздействия возмущения малыми, при скалярных задающем и выходном сигналах математической моделью системы является т.н. дифференциальное уравнение «входа-выхода». Если возможно выделить область значений задающего сигнала, при которых зависимость между ним и выходным сигналом является линейной, то в результате процедуры линеаризации получают линейное дифференциальное уравнение (ЛДУ) первого приближения. Его стандартный вид: . Если применить к обеим частям ЛДУ преобразование Лапласа и считать начальные условия нулевыми, то можно перейти к передаточной функции в форме изображения по Лапласу:
(1)
здесь mn для физически реализуемых АС (элементов АС).
Комплексный частотный коэффициент (или амплитудно-фазовая частотная характеристика) W(j) можно получить из W(s) путем замены переменной s на j:
(2)
Представление комплексного частотного коэффициента в виде пары логарифмических частотных характеристик (амплитудной - L() и фазовой - ()) выглядит следующим образом:
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
Весовая (импульсная переходная) характеристика системы – w(t) – есть реакция системы на воздействие типа (t):
(8)
Выражение (8) несложно получить из (1), если учесть, что преобразование Лапласа от функции (t) равно 1. Для простого случая, когда характеристичеcкий полином звена Q(s) (т.н. собственный полином) не имеет кратных корней sk, в соответствии с разложением Хевисайда:
(9)
если же выражение Q(s) = 0 имеет кратные корни, переходную характеристику следует искать по формуле (общее количество корней sk по-прежнему n, а кратности групп корней - mk):
(10)
Переходная (или разгонная) характеристика - h(t) – есть реакция системы на функцию 1(t) входного воздействия:
(11)
Выражение (11) несложно получить из (1), если учесть, что преобразование Лапласа от функции 1(t) равно 1/s.
Пример математического описания простейшей RC-цепи с емкостью на выходе (рис.1):
Рис.1. Пример физической реализации типового звена –
элемента автоматической системы.
|
Во «временной» области: Uin(t)=UR(t)+UC(t) UC(t)=Uout(t) UR(t)=RI I=CdUC/dt= CdUOUT/dt RC=T TdUout/dt+Uout=Uin L{Uin(t)}=Uin(s) L{Uout(t)}=Uout(s) |
В «частотной» области: W(s)=Uout(s)/U(s)=1/(Ts+1) W(j)= U()+jV()=1/(jT+1) A()=(U2()+V2())1/2=(1+(T)2)-1/2 ()=arctg(V()/U())=-arctg(T) L()=20lgA() L-1{W(s)/s}=h(t)=1-e-t/T L-1{W(s)}=w(t)=(1/T)e-t/T |
В настоящей работе предлагается исследовать характеристики некоторых простых (типовых) звеньев АС в зависимости от их параметров, а также характеристики простейших АС, составленных из нескольких типовых звеньев. Исследование предлагается выполнить с помощью информационно-расчетной среды MathCad 2001 или Mathlab.6.0.
1.2. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Разверните содержание терминов «динамические» и «статические» свойства АС?
2. Дать определение передаточной функции системы в виде изображения по Лапласу.
3. Дать определение переходной и весовой характеристикам системы. Как они связаны между собой и с Лаплас-передаточной функцией системы?
4. Как влияет расположение корней характеристического полинома (полюсов) системы на вид переходной и весовой функций?
5. Дать определение «статической» и «астатической». От каких параметров зависит статическая точность системы?
6. Какие характерные наклоны ЛАЧХ и изменения фазы ЛФЧХ характерны для типовых звеньев первого и второго порядков?
1.3. ЗАДАНИЕ ПО РАБОТЕ
4.1. Изучить амплитудно-фазовую (АФХ), логарифмические амплитудо- и фазочастотные (ЛАЧХ и ЛФЧХ) и переходную характеристики для следующих типовых звеньев согласно значению коэффициентов, приведенных в таблице 1:
- интегрирующего,
- апериодического,
- колебательного
4.2. Изучить амплитудно-фазовую (АФХ), логарифмические амплитудо- и фазочастотные (ЛАЧХ и ЛФЧХ) и переходную характеристики для составного (интегро-дифференцирующего) звена:
4.3. Изучить с построением всех перечисленных характеристик коррекцию динамических свойств апериодического звена жесткой (Wос=k1) и гибкой (Wос=k1s) отрицательной обратной связью.
4.4. Построить амплитудно-фазовую (АФХ), логарифмические амплитудо- и фазочастотные (ЛАЧХ и ЛФЧХ) и переходную характеристики для частотно-компенсированного фильтра (рис.2) (задание для «четных» вариантов):
Рис.2. Схема частотно-компенсированного фильтра.
4.5. Построить амплитудно-фазовую (АФХ), логарифмические амплитудо- и фазочастотные (ЛАЧХ и ЛФЧХ) характеристики и зависимость от времени выходного параметра состояния дифференцирующей цепи с компенсацией (рис.3) (задание для «нечетных» вариантов):
Рис.3. Схема дифференцирующей цепи с компенсацией.
при подаче на ее вход сигнала u(t)=e-t/T, где T=10-4c.
Таблица 1
Значение параметров коэффициентов типовых звеньев
|
Параметр звена |
Номер варианта |
||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
k |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
70 |
80 |
90 |
100 |
110 |
120 |
130 |
140 |
150 |
|
Т, с |
10-6 |
510-6 |
10-5 |
510-5 |
10-4 |
510-4 |
10-3 |
510-3 |
10-2 |
510-2 |
10-1 |
510-1 |
1 |
5 |
10 |
|
|
0.005 |
0.0075 |
0.01 |
0.025 |
0.05 |
0.075 |
0.1 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
1 |
0.0025 |
0.0001 |
0.0003 |
0.09 |
|
Tдиф |
10-6 |
510-6 |
10-5 |
510-5 |
10-4 |
510-4 |
10-3 |
510-3 |
10-2 |
510-2 |
10-1 |
510-1 |
1 |
5 |
10 |
|
Tинт |
10-5 |
510-5 |
10-6 |
510-6 |
10-2 |
510-2 |
10-1 |
510-1 |
10-4 |
510-4 |
10-3 |
510-3 |
5 |
510-2 |
510-1 |
|
k1 |
100 |
90 |
80 |
70 |
60 |
50 |
40 |
30 |
20 |
10 |
1 |
0.5 |
0.1 |
0.05 |
0.01 |
|
Параметр звена |
Номер варианта |
|||||
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
|
k |
10 |
20 |
30 |
40 |
50 |
60 |
|
Т, с |
10-6 |
510-6 |
10-5 |
510-5 |
10-1 |
510-4 |
|
|
0.01 |
0.05 |
0.075 |
0.1 |
0.05 |
0. 75 |
|
Tдиф |
10-5 |
510-6 |
10-3 |
510-3 |
10-3 |
510-2 |
|
Tинт |
10-6 |
510-5 |
10-4 |
510-1 |
10-2 |
510-4 |
|
k1 |
50 |
60 |
70 |
60 |
20 |
50 |
1.4. ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ
Отчет по работе должен содержать для каждого из заданий:
5.1. Аналитические выражения для передаточной функции, комплексного передаточного коэффициента, логарифмических (амплитудо- и фазо-) частотных и переходной характеристики изученных звеньев, простых и скорректированных.
5.2. Графическое изображение характеристик (в том числе с отражением качества вариации параметров (по крайней мере, три значения) звеньев).
2. УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО РАБОТЫ
АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Цель работы - ознакомление с одним из критериев устойчивости систем автоматического регулирования (АС) - графоаналитическим критерием устойчивости Найквиста, количественными оценками устойчивости (запасы устойчивости по амплитуде и фазе), прямыми оценками качества работы АС.
2.1. ЧАСТОТНЫЙ КРИТЕРИЙ УСТОЙЧИВОСТИ НАЙКВИСТА
В основе частотного (графоаналитического) критерия Найквиста лежит принцип аргумента - следствие теоремы Коши относительно числа нулей и полюсов функции, аналитической в заданной области. Рассмотрим алгебраическое уравнение n-й степени с действительными коэффициентами:
(12)
Если si -корни уравнения (12), то согласно основной теоремы алгебры (теоремы Безу) D(s) можно представить в виде произведения простых сомножителей:
(13)
На комплексной плоскости s каждому корню соответствует вполне определенная точка. Геометрически каждый корень si можно изобразить в виде вектора, проведенного из начала координат в точку si (рис.4). Величины (s -si), входящие множителями в D(s), геометрически изображают векторами, проведенными из точек si к точке s. Если положить s=jw в D(s), то концы элементарных векторов разностей будут находится на мнимой оси (рис.5). Аргумент (фаза) D(s) равна сумме аргументов его элементарных векторов:
(14)
|
Рис.4. Элементарный вектор (s - si). |
Рис.5. Изменение аргумента векторов разности при изменении частоты в бесконечных пределах. |
Направление вращения вектора против часовой стрелки принимают за положительное. Тогда при изменении w в пределах каждый элементарный вектор повернется на угол +, если соответствующий корень лежит в левой части комплексной плоскости, и на угол -, если - в правой (рис.5). Если уравнение D(s)=0 имеет m-правых и n-m левых корней, то суммарное изменение аргумента D(s):
,
при изменении w в пределах (15)
Если же w меняется , то
Критерий Найквиста позволяет судить об устойчивости замкнутой отноконтурной АС с единичной отрицательной обратной связью по частотным характеристикам разомкнутого контура.
Рассмотрим вспомогательную функцию (jw)=1+W(jw). Если частотная характеристика разомкнутой системы представима в дробно-рациональном виде , тогда и, таким образом, числитель (jw) представляет собой характеристический полином замкнутой системы, поскольку .
Изменение аргумента функции (jw) при изменении w от :
(16)
Будем считать, что разомкнутая система может быть устойчивой (тогда все ее n-корней собственного уравнения “левые”, что имеет место в подавляющем большинстве случаев) или неустойчивой (в этом случае у нее может быть m-”правых” корней). Для того, чтобы замкнутая система была устойчива необходимо, чтобы все корни ее собственного полинома R(iw)+Q(jw)=0 были “левые”. Тогда (16) примет вид:
(17)
Критерий Найквиста: для того чтобы замкнутая система была устойчива необходимо и достаточно, чтобы (jw) при изменении w от охватывала (в положительном направлении) начало координат m/2 раз, где m-число неустойчивых корней разомкнутого контура. Формулировка сохраняется для амплитудно-фазовой характеристики (АФХ) разомкнутого контура по отношению к точке (-1, j0). На рис.6 изображен пример устойчивой АС при устойчивом разомкнутом контуре.
Рис.6. Годограф вектора W(jw).
На практике удобнеее пользоваться следующей формулировкой критерия: изменение аргумента (jw) при при изменении w от равно разности переходов АФХ через отрезок действительной оси из верхней полуплоскости внижнюю и наооборот (т.н. “положительные” и “отрицательные” переходы).
В случае, когда АФХ разомкнутого контура имеет к-нулевых (полуустойчивых) корней, следует при подсчете количества охватов точки (-1, j0) продолжить годограф АФХ в т. w=0 по окружности бесконечно большого радиуса по часовой стрелке на угол, равный к/2.
АФХ систем в зависимости от пересечения с вещественной осью относительно критической точки с координатами (-1, j0) можно подразделить на два типа:
1-го рода все точки пересечения с вещественной осью расположены справа от критической точки. В таких системах увеличение передаточного коэффициента к выше критического приводит к нарушению устойчивости, а уменьшение - к стабилизации системы (критическим уровнем считается такой, при котором АФХ пересекает точку (-1, j0);
2-го рода где точки пересечения находятся как слева, так и справа от (-1, j0).
Для анализа устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам следует построить ЛАЧХ и ЛФЧХ системы и найти интервал частот, в которых ЛАЧХ положительна L(w)>0. Сосчитать число пересечений в этом интервале частот ЛФЧХ (w) с уровнем - снизу вверх («положительные» переходы) и сверху вниз («отрицательные») и сопоставить их с числом неустойчивых корней разомкнутого контура. В случае астатических систем (полуустойчивые корни) необходимо учитывать отрицательный сдвиг -/2 в области малых частот ( - порядок астатизма).
В случае использования логарифмических частотных характеристик запасу устойчивости системы по модулю (амплитуде) соответствует отрезок l=20 lg h (где h-запас устойчивости), при котором фазовая характеристика (w) = - (рис.7). Запасу устойчивости системы по фазе соответствует значение угла, представляющее превышение фазовой характеристики над - при частоте среза wc.
Рис.7. Запасы устойчивости по логарифмическим частотным характеристикам.
Поведение системы в переходном процессе, вызванном типовым воздействием, стремящемся с течением времени к постоянному установившемуся значению, можно охарактеризовать при помощи показателей качества (рис.8):
Рис.8. Определение показателей качества САР по виду переходной характеристики.
xmax - максимальное динамическое отклонение регулируемой величины;
- перерегулирование ;
- статическое отклонение;
tр - время регулирования, которое представляет собой минимальное время, отсчитываемое от приложения воздействия, после которого имеет место неравенство: , некоторой постоянной величины, называемой трубкой регулирования.
В «частотном» представлении качество работы системы характеризует показатель колебательности Мр, равный резонансному максимуму вещественной частной характеристики, нормированному на значение этой характеристики на нулевой частоте. Связь между «временными» и «частотными» показателями качества для апериодического звена второго порядка представлена на рис. 9.
|
Рис.9. Связь перерегулирования и резонансного максимума АЧХ (Мр) с запасом устойчивости по фазе Фm для апериодического звена второго порядка. |
2.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Сформулировать принцип аргумента (следствие теоремы Коши относительно числа нулей и полюсов функции, аналитической в заданной области)?
2. Охарактеризовать особенности учета при анализе устойчивости АС интегрирующих звеньев.
3. Как определить запасы устойчивости АС по амплитуде и фазе на логарифмических частотных характеристиках?
4. Как влияет на устойчивость АС наличие в ее контуре существенных временных задержек?
4. Какие показатели качества определяют по переходной характеристике АС?
5. Какова связь показателя колебательности и «временных» показателей качества АС?
2.4. ЗАДАНИЕ ПО РАБОТЕ
Задания предлагается выполнить с помощью информационно-расчетной среды MathCad 2001 или Mathlab.6.0.
3.1. Определить с помощью критерия Найквиста устойчивость системы с единичной обратной связью, запасы устойчивости по амплитуде и фазе, если ее разомкнутый контур представлен передаточной функцией:
|
Параметр звена |
Номер варианта |
||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
k |
10 |
20 |
30 |
50 |
75 |
100 |
125 |
150 |
200 |
250 |
300 |
350 |
400 |
450 |
500 |
|
Т1, с |
10 |
15 |
- |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
- |
60 |
65 |
70 |
75 |
- |
|
Т2, с |
- |
0.12 |
0.11 |
0.1 |
0.09 |
- |
0.07 |
0.06 |
0.05 |
0.04 |
0.03 |
- |
0.01 |
0.009 |
0.008 |
|
Т3, с |
0.0065 |
- |
0.0075 |
0.008 |
0.0085 |
0.009 |
- |
0.01 |
0.02 |
0.03 |
- |
0.05 |
0.06 |
0.07 |
0.08 |
|
Т4, с |
0.0005 |
0.0001 |
0.0005 |
- |
0.0005 |
0.001 |
0.0015 |
- |
0.0025 |
0.003 |
0.0035 |
0.004 |
0.0045 |
- |
0.0055 |
|
Т5, с |
0.25 |
0.3 |
0.35 |
0.4 |
- |
0.5 |
0.55 |
0.6 |
- |
0.7 |
0.75 |
0.8 |
- |
0.9 |
0.95 |
|
Параметр звена |
Номер варианта |
|||||
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
|
k |
10 |
20 |
30 |
50 |
75 |
100 |
|
Т1, с |
15 |
25 |
- |
55 |
30 |
75 |
|
Т2, с |
- |
0.13 |
0.1 |
0.03 |
0.04 |
- |
|
Т3, с |
0.0095 |
- |
0.02 |
0.006 |
0.05 |
0.07 |
|
Т4, с |
0.0005 |
0.0005 |
0.005 |
- |
0.0001 |
0.0045 |
|
Т5, с |
0.4 |
0.3 |
0.55 |
0.4 |
- |
0.8 |
3.2. Определить (1) запасы устойчивости по модулю и фазе, (2) показатели качества замкнутой системы с единичной обратной связью, представленной передаточной функцией разомкнутого контура:
|
Параметр звена |
Номер варианта |
||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
k |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
150 |
200 |
250 |
300 |
350 |
400 |
450 |
500 |
550 |
600 |
|
Т1, с |
200 |
250 |
300 |
350 |
400 |
450 |
500 |
550 |
600 |
650 |
700 |
750 |
800 |
850 |
900 |
|
Параметр звена |
Номер варианта |
|||||
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
|
k |
20 |
40 |
60 |
80 |
100 |
150 |
|
Т1, с |
700 |
750 |
800 |
850 |
900 |
650 |
3.3. Для системы, представленной передаточной функцией разомкнутого контура определить области критических коэффициентов k устойчивости системы. Построить переходные процессы для различных областей, определить в каком случае запас устойчивости по фазе будет больше.
|
Параметр звена |
Номер варианта |
||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
Т1, с |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
40 |
45 |
50 |
55 |
60 |
65 |
70 |
75 |
80 |
|
Т2, с |
0.5 |
0.75 |
1 |
1.25 |
1.5 |
1.75 |
2 |
2.25 |
2.5 |
2.75 |
3 |
3.25 |
3.5 |
3.75 |
4 |
|
Параметр звена |
Номер варианта |
|||||
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
|
Т1, с |
10 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
|
Т2, с |
2 |
1.75 |
3 |
3.25 |
3.5 |
4 |
2.5. ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ
3.1. Аналитические выражения для передаточной функции, логарифмических (амплитудо- и фазо-)частотных и переходной характеристики САР.
3.2. Графическое изображение АФХ, ЛАЧХ и ЛФЧХ, переходной характеристики и величины определенных параметров.
3. УСТОЙЧИВОСТЬ И КАЧЕСТВО РАБОТЫ ОПЕРАЦИОННЫХ СХЕМ
Цель работы – применение критериев устойчивости автоматических систем к операционным схемам, прогноз и прямая оценка качества их работы.
3.1. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ ОПЕРАЦИОННОЙ СХЕМЫ
Операционный усилитель (ОУ) – многокаскадный электронный усилитель, коэффициент усиления которого зависит от частоты изменения входного сигнала. Эта зависимость для режима малого сигнала (область линейного усиления) в общем виде выражается формулой:
|
(18) |
Здесь (и далее) подстрочные индексы будут использованы в следующей нотации: OA (operation amplifier) – операционный усилитель, OC (operation amplifier with return connection) – операционный усилитель (схема) с замкнутой обратной связью.
где AOA(0) –коэффициент усиления ОУ на нулевой частоте, точки излома (полюсы) характеристики соответствуют частотам f1<f2<f3. Типичные логарифмические амплитудно- и фазочастотные характеристики (ЛАЧХ и ЛФЧХ) операционного усилителя - диаграмма Боде – приведены на рис.10.
Рис.10. Типичная диаграмма Боде операционного усилителя. Величина коэффициента усиления выражается в децибеллах, т.е. в единицах 20 lg|A|. AOA=200000, ft=1 мГц.
Для большинства ОУ первая точка излома частотной характеристики соответствует весьма небольшой частоте f110 Гц, что определяется требованиями к обеспечению устойчивости операционной схемы. Самый низкочастотный полюс не является "естественным" для ОУ и специально организуется элементами коррекции (см. раздел 3.3). На частоте f1 (согласно свойствам апериодического звена первого порядка): AOA(f1)=AOA(0)-3дБ=0.707AOA(0), следовательно эта частота играет роль fВ (частоты среза) для операционного усилителя и определяет ширину полосы пропускания. Все остальные полюса характеристики лежат в более высокочастотной (МГц) области. Так, частота f2 обычно определяется усилительным каскадом с самым значительным коэффициентом усиления, и, как следствие, со сниженными частотными свойствами. В диапазоне f12<<f2<<f22, где значение текущей частоты как минимум на декаду отстоит от значения границы диапазона, справедливо следующее приближение:
|
- - частота единичного усиления (19) |
Для приближенной модели ОУ, представленной в (19), справедлив следующий вид переходной характеристики: uout(t)=AОА(0)(1-exp(-t/)), где =1/2f1. Эта характеристика в нормированном виде представлена на рис.11. Время нарастания tн определяется увеличением выходного сигнала от уровня 0.1 до уровня 0.9 и составляет tн2.2=0.35/f1.
Таким образом, для ОУ характерен значительный низкочастотный коэффициент усиления и весьма ограниченная полоса пропускания за счет малой первой частоты излома ЛАЧХ. Эта ситуация является следствием требований к обеспечению устойчивости операционных схем. В связи с этим эксплуатация ОУ в реальных схемах возможна лишь при введении обратной связи (обычно отрицательной), рис.12.
Комплексный коэффициент передачи для ОУ с отрицательной обратной связью:
|
(20) |
где - петлевое усиление (в нотации теории автоматического управления - коэффициент передачи разомкнутого контура). Именно петлевое усиление и определяет (согласно, например, критерия Найквиста) устойчивость операционной схемы. Изготовитель ОУ задает только первую составляющую АОА, в то время как на вторую () он может влиять только косвенно, давая рекомендации по схемам включения. Успех конкретных применений зависит от готовности пользователя соблюдать определенные ограничения. При |АОА(jf)(jf)| >>1 – сильная обратная связь –AOC(jf)1/(jf) (характерное для низких частот приближение, т.е. почти наверняка AOC(0)1/(0)). При |АОА(jf)(jf)| <<1 – слабая обратная связь – A
OC(jf) AOА(jf) (характерное для высоких частот приближение).
Рис.11. Нормированная переходная характеристика приближенной модели ОУ.
Рис.12. Схема включения ОУ с отрицательной обратной связью.
Если элемент обратной связи не вносит фазовых искажений (или таковыми можно пренебречь), то лишь операционный усилитель определяет изменение фазы сигнала в разомкнутом контуре.
|
(21) |
ЛАЧХ для ОУ, охваченного отрицательной обратной связью, приведена на рис.13.
Рис.13. Сравнение ЛАЧХ для ОУ с обратной связью и без нее.
3.2. УСТОЙЧИВОСТЬ ОПЕРАЦИОННОЙ СХЕМЫ
ОУ – многокаскадный электронный усилитель, и по мере увеличения частоты фазовый сдвиг между входным и выходным сигналами монотонно увеличивается. На определенной частоте (f180) фазовый сдвиг достигает 1800. На этой частоте тот вход, который на низкой частоте был инвертирующим становится неинвертирующим и, наоборот, для другого входа ОУ (соответственно, отрицательная обратная связь превращается в положительную). Выражение для АОС приобретает вид:
|
(22) |
Пока |AOA(jf)|<1 для частот f>f180 схема является устойчивой, поскольку подавляет сигнал возникающей положительной обратной связи. Причем устойчивость тем выше, чем меньше петлевое усиление для частот f>f180. Ситуация ухудшается, когда петлевое усиление стремится к единице для f180, то есть когда коэффициент передачи операционной схемы стремится к бесконечности (либо весьма велик) при возникающей положительной обратной связи. В этом случае схема может вырабатывать выходное напряжение и при нулевом входном сигнале. Случайные флуктуации разности напряжений входов сколь угодно малой величины эффективно усиливаются петлей положительной обратной связи. Форма выходного напряжения в этом случае – синусоида или меандр с частотой f180. Операционная схема превращается в генератор и, как правило, нечувствительна к входным воздействиям. Приведенное качественное объяснение представляет собой интерпретацию критерия Найквиста для операционной схемы. Поскольку на низкой частоте AOC(0)1/, то условие принципиальной устойчивости схемы: АОС(0)>|AOA(f180)|. Последнее справедливо, если петля обратной связи вносит незначительный фазовый сдвиг (например, организована резистивным делителем). Если для ОУ выполняется условие f1<<f2<<f3<<f4 (как правило, для f1 это условие выполняется достаточно хорошо, несколько хуже для f4), то можно показать, что f180=(f2f3)1/2. Определим AOA(f180):
|
(23) |
Следовательно, условие устойчивости операционной схемы предстает в виде: АОС(0)>ft/(f2+f3).
При разработке реальной схемы необходимо иметь для безопасности работы некоторый запас устойчивости. Запас по фазе определяется как: 1800-(AOA(ft)). Как правило, запас по фазе не должен быть менее 450. Если f1<<f2<<f3, то частота, на которой фазовый сдвиг петлевого усиления достигает 1350 есть f2, а коэффициент передачи ОУ неохваченного обратной связью на этой частоте составляет:
|
(24) |
И поэтому, условие устойчивости вместе с требованием обеспечения запаса по фазе 450: АОС(0)>ft/((2)1/2f2). В том случае, когда f2 и f3 близки («наихудший» случай f2=f3), имеем 1350=arctg(f135/f1)+ arctg(f135/f2)+ arctg(f135/f3)=900+2 arctg(f135/f2). Поэтому f135=f2tg(22,50)= 0,4142f2. В этих условиях:
(25)
При этом требование обеспечения запаса по фазе еще жестче: АОС(0)>ft/(0,4853f2).
Следствием этих требований как раз и является весьма низкое значение частоты f1. Так, например, при АОА(0)=105, f2=f3=1 мГц (нормальная полоса пропускания каскада усиления) для обеспечения запаса по фазе 450 для операционной схемы реализующей повторитель напряжения АОС(0)=1>АОА(0)f1/(0,4853f2) следует f1<5 Гц. Такие малые частоты излома обеспечиваются цепями внутренней, либо внешней коррекции. Методы организации малых частот излома характеристики рассматриваются в следующем разделе.
3.3. МЕТОДЫ ЧАСТОТНОЙ КОРРЕКЦИИ ОПЕРАЦИОННЫХ УСИЛИТЕЛЕЙ
|
Рис.14. Цепь запаздывающей коррекции емкостью. |
Его передаточный коэффициент W(jf)=1/(1+jf/fK), где fK=f1=1/(2RCK). Резистивная компонента корректирующей цепи определяется в основном выходным сопротивлением каскада, после которого и подключается емкость. Запаздывающий фазовый сдвиг, вносимый таким звеном, определяет название способа коррекции. Для расчета величины емкости коррекции необходимо знать величину резистивной составляющей корректирующей цепи, а также частоту f2 (ее обычно можно оценить из приводимых в справочной литературе ЛАЧХ некорректированного ОУ). Следует отметить, что между точками подключения корректирующего конденсатора имеется и собственная емкость С0, однако последняя весьма мала и организуемый ею собственный полюс лежит в области высоких частот. Поэтому «добавку» к емкости коррекции за счет С0 обычно не учитывают. К недостаткам метода следует отнести сильное понижение частоты f1 (ухудшение частотных характеристик операционной схемы) и весьма большую емкость коррекции. Поэтому при реализации этого способа коррекции выбирают «наиболее высокоомную» сигнальную точку.
Рис.15. Цепь запаздывающей коррекции резистором и емкостью.
В результате обеспечение требования запаса устойчивости по фазе определяется частотой f3, кроме того, частотный диапазон операционной схемы при таком методе коррекции существенно больше. Собственную емкость C0 ОУ в точках подключения корректирующей цепи по прежнему можно не учитывать, она весьма мала. Весьма редко эта емкость определяет f3 некорректированного ОУ и тогда при подключении цепочки коррекции RKCK эта частота только увеличится, поскольку f3КОРР=1/(2(R||RK)C0).
Рис.16. Коррекция местной емкостной обратной связью.
Для уменьшения требуемой емкости конденсатора его включают в каскад, дающий наибольшее усиление, а потому являющийся самым низкочастотным. Его часто выполняют на составном транзисторе. Именно он в некорректированном ОУ отвечает за частоту f2. Подключение емкости СК в соответствии с эффектом Миллера увеличивает входную емкость каскада на транзисторе VT2 СМ=СК(1+К2), где К2-коэффициент усиления каскада на транзисторе VT2. Сформированная емкость является нагрузкой каскада VT1 и определяет появление низкочастотного излома характеристики ЛАЧХ последнего (f1=1/(2RвыхVT1CМ)), в то время как до коррекции он был достаточно высокочастотным и характеризовался частотой f3>f2. В корректированном ОУ начиная с частоты f2 коэффициент передачи второго каскада (а значит и емкость Миллера) уменьшаются со скоростью 20 дБ/дек. Следовательно, коэффициент передачи каскада VT1, начиная с частоты f2 перестает уменьшаться (выравнивается). Этот факт можно рассматривать как эквивалентную компенсацию полюса f2 нулем. Поскольку частота f3 некорректированного каскада за счет емкости Миллера «трансформировалась» в f1, то следующий за f1 «отрицательный» излом характеристики будет иметь место после той частоты, где К2 будет меньше или равен 1 (тогда емкость Миллера перестает уменьшаться с увеличением частоты, т.е. становиться частотно-независимой) – т.е. после частоты единичного усиления каскада VT2. Такой способ коррекции по достигаемой широкополосности превосходит способ коррекции RC-цепью. Необходимая емкость конденсатора, «увеличиваемая» эффектом Миллера, составляет десятки пикофарад (она рассчитывается исходя из низкочастотного значения K02 коэффициента усиления каскада на транзисторе VT2) и позволяет встраивать емкость внутрь ОУ. Причем величина CK некритична, поскольку ее изменение может незначительно изменить f1, но не нарушает условие компенсации полюса f2 формирующимся нулем каскада VT1. Недостаток метода – повышенное прохождение высокочастотных шумов источника питания Еп2 через промежуток эмиттер-база транзистора VT2 и далее через CK на выход.
Рис.17. Коррекция с фазовым опережением.
При передаче по обходному пути (фактически форсирующее звено) фазовый сдвиг положителен. Таким образом, общий фазовый сдвиг петлевого усиления в области высоких частот уменьшается. Передача через конденсатор СК становится заметной лишь там, где коэффициент передачи самого каскада уже в достаточной степени мал, т.е. в области частоты его единичного усиления. Этот метод иногда называют методом выключения каскада (каскадов) на высоких частотах. Коэффициент пассивной передачи по обходному пути с повышением частоты увеличивается, стремясь к коэффициенту передачи емкостного делителя напряжения, состоящего из СК и эквивалентной емкости нагрузки каскада (она состоит из параллельно включенных СН каскада и С22 – выходной емкости каскада при закороченном входе): КСк=СК/(CН.ЭК+СК). Устранение свойственного каскаду неограниченного уменьшения коэффициента передачи повышает усиление всего ОУ на высоких частотах. Если конденсатором СК обойти тот каскад, который ограничивает максимальную скорость нарастания UВЫХ, то последняя возрастет. С точки зрения изменения ассимптотической ЛАЧХ отметим, что если корректируемый каскад характеризуется частотой f2, то подключение конденсатора увеличивает емкость нагрузки каскада и, соответственно, понижает частоту полюса до величины f2КОРР=1/(2RН.ЭК(CК+СН.ЭК)), которая и играет роль f1. Соответствующий обходному контуру "положительный" излом характеристики возникает при значениях КСк<1 на частоте fК=1/(2RН.ЭКCК). Этот нуль характеристики можно использовать и для компенсации полюса какого-либо другого каскада ОУ. Поскольку передача сигнала по обходному пути не сопровождается переворотом по фазе, то корректируемый каскад (группа каскадов) должны быть неинвертирующими. Конденсатор СК вносит местную положительную ОС, способную вызвать самовозбуждение. Для предотвращения последнего надо, чтобы петлевое усиление этой ОС было меньше единицы. Поскольку вносимая ОС параллельная, для получения малого петлевого усиления достаточно, чтобы внутреннее сопротивление источника входного сигнала было малым. Поэтому перед каскадом ставят эмиттерный повторитель.
3.4. ФАКТОРЫ, СНИЖАЮЩИЕ УСТОЙЧИВОСТЬ ОПЕРАЦИОННОЙ СХЕМЫ
К факторам, снижающим устойчивость операционной схемы (фактически уменьшающих запас устойчивости по фазе) относят «паразитные» фазосдвигающие цепочки (как правило, с запаздыванием по фазе), вносящие дополнительные точки излома ЛАЧХ операционной схемы. К наиболее распространенным относятся RC-цепочки, сформированные (1) емкостью между землей и выводом инвертирующего входа ОУ и резисторами цепи обратной связи и (2) выходным сопротивлением ОУ и емкостью нагрузки (рис.18).
Рис.18. Факторы, снижающие устойчивость операционной схемы.
Емкость между землей и выводом инвертирующего входа составляет С-=СД+Ссинф.- Передаточная функция возникающего звена составляет (вход схемы подключен к эквивалентному генератору с внутренним сопротивлением Rгенер :
(26)
где частота полюса определяется как .
(27)
Компенсирует влияние C- вводя дополнительный фазовый сдвиг в петлю обратной связи параллельно резистору R2 (рис.19).
Рис.19. Компенсация влияния входной емкости.
Благодаря этому на высоких частотах в цепи ОС образуется делитель С2, С-, который не вносит фазового сдвига. Выражение для коэффициента передачи петли ОС схемы с коррекцией составляет (без учета Rгенер и RВХ.Д): , где Z1=R1/(jf/(2R1C-)+1), а Z2=R2/(jf/(2R2C2)+1). Отношение комплексных сопротивлений равно Z1/Z2=(R2/R1)*(jf/(2R1C-)+1)/(jf/(2R2C2)+1), поэтому если постоянные времени равны, то отношение комплексных сопротивлений, а следовательно, и коэффициент обратной связи не зависят от частоты и влияние емкости С- исключено. Таким образом, условие, накладываемое на С2 имеет вид: R1C-=R2C2. Обычно оптимальная емкость С220 пФ подбирается экспериментально по минимуму колебаний на вершине прямоугольных импульсов выходного напряжения.
Если в вывод неинвертирующего входа включается RДОБ (рис.18), то параллельно ему может быть включен конденсатор С3 с той же целью, что и С2. Однако это не обязательно, поскольку его роль может выполнять синфазная входная емкость данного входа Cсинф+. Кроме того, иногда параллельно резистору R1 подключают конденсатор небольшой емкости C1. Если R1C1=R2C2, то емкость С2 не вызывает зависимости от частоты коэффициента передачи ОС (равного отношению Z1/Z2), так как тогда Z1 и Z2 зависят от частоты одинаково.
Тем же конденсатором С2 можно скомпенсировать и влияние емкости нагрузки, поскольку цепь R2||C2 вносит положительный фазовый сдвиг в петлевое усиление. Но если СН велика, то лучше в выходной вывод ОУ включить дополнительный резистор R100 Ом, а конденсатор С2 подключить непосредственно к точке выхода ОУ (рис.20).
Рис.20. Компенсация влияния емкости нагрузки операционной схемы.
Высокочастотная ветвь петли ОС состоит из конденсатора С2. Благодаря наличию R дополнительный фазовый сдвиг на высоких частотах в точке a оказывается меньше, чем на зажимах емкости CН. Поэтому отделение С2 от СН резистором R уменьшает высокочастотный фазовый сдвиг петли ОС, следовательно, повышает устойчивость схемы. В предположении, что сопротивления RВЫХ и R малы по отношению к R2 и реактивному сопротивлению конденсатора С2: (1) по постоянному току коэффициент передачи обратной связи имеет вид:
(28)
с определяющим полюсом на частоте 1/() и несущественным вторым высокочастотным полюсом, в то же время (2) по переменному току компенсационная цепь имеет коэффициент передачи:
(29)
с несущественным частотным дублетом с относительным разделением частот R/(R+RВЫХ). Полный коэффициент обратной связи есть сумма .
3.5. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. На какой режим работы в составе операционной схемы рассчитывают внутренние элементы коррекции операционных усилителей?
2. Каковы проявления неустойчивой работы операционной схемы?
3. Перечислить схемотехнические методы организации отрицательного (-20 дБ) излома ЛАЧХ ОУ на малой частоте.
4. Охарактеризовать факторы, снижающие устойчивость операционной схемы.
5. Принцип компенсации влияния входной емкости.
6. Принцип компенсации влияния емкости нагрузки.
3.6. ЗАДАНИЕ ПО РАБОТЕ
Расчетная часть задания выполняется с помощью информационно-расчетной среды MathCad 2001 или Mathlab.6.0. Практическая проверка расчетов выполняется на стендах в лаборатории «Информационной электроники и САПР (Ф-343).
3.7. ОТЧЕТ ПО РАБОТЕ
3.1. Аналитические выражения для передаточной функции, логарифмических (амплитудо- и фазо-)частотных и переходной характеристики рассмотренных операционных схем.
3.2. Графическое изображение характеристик, численные значения оценок качества работы операционных схем.
4. КОРРЕКЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ НЕПРЕРЫВНЫХ АВТОМАТИЧЕСКИХ СИСТЕМ
Цель работы - изучение метода синтеза звена последовательной коррекции контура системы автоматического управления по логарифмическим амплитудо- и фазо-частотным характеристикам.
4.1. МЕТОД РАСЧЕТА ЗВЕНА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОЙ КОРРЕКЦИИ
Для придания системе автоматического управления необхо димых показателей качества, надо знать характеристики входного параметра G(t), который система должна отслеживать. В общем случае G(t) является достаточно произвольной функцией вре мени. При разработке следящей системы надо знать возможную скорость V(t) = dG(t)/dt его изменения, ускорение A(t) = d2G(t)/dt2 а также допустимую ошибку max, с которой должно происходить отслеживание такого параметра. Кроме того, следящая система должна иметь показатель колебательности М, не превы шающий некоторый уровень, и, следовательно, достаточный запас устойчивости.
Всем перечисленным условиям можно удовлетворить, если в контур управления дополнительно к необходимым функциональ ным элементам добавить звенья или цепи коррекции. Цепи коррекции так меняют частотную характеристику системы, что ее динамические свойства приближаются к требуемым. В некоторых случаях реальное каче ство системы удается получить не хуже требуемого. Именно такой подход к выбору и расчету звеньев коррекции обсуждается далее.
Процедура синтеза устройств коррекции состоит из следую щих этапов.
1. Формулируются количественные требования, которым ди намика системы автоматического управления должна удовлетворять, Задаются пределы, в рамках которых могут меняться ско рость (0 - Vmax) и ускорение (0 - Amax) входного параметра G(t), за кото рым происходит слежение. Кроме этого, задаются максимально допустимый уровень статической ошибки max, c которой должно осуществлять ся отслеживание, и допустимый уровень колебательности М. Обычно 1.1 < М < 1.5. В некоторых случаях для низкочастотной области могут быть заданы степень астатизма скорректированной системы и значения коэффициентов ошибок АС, а для области среднич частот – время регулирования tр и величина перерегулирования переходной характеристики.
2. По заданным условиям строится такая логарифмическая частотная характеристика (ЛЧХ) системы автоматического управления, которая гарантирует для замкнутого кольца динамику, не хуже требуемой. Эту ЛЧХ называют желаемой и обозначают Lж.
3. По передаточным функциям реальных функциональных устройств, входящих в состав следящей системы, строится ее реальная ЛЧХ.
4. Характеристики реальная L(w) и желаемая Lж(w) срав ниваются. Их разность определяет ЛЧХ последователь ного корректирующего звена. По найденной Lк(w) записывается передаточная функ ция корректирующего звена, и находятся все ее параметры.
5. Составляется принципиальная схема звена коррекции.
Ограничения на скорость, ускорение, возможный диапазон вариаций R(t) и допустимую ошибку слежения max определяются той конкретной задачей, которая решается с помо щью системы автоматического управления. Они являются техническими усло виями для разработки. Эти условия обычно вытекают из назначения технического комплекса, в который конкретная система автоматического управления входит как составная часть.
Для построения желаемой ЛЧХ удобно пользоваться не кон кретными функциями R(t), а их гармоническими эквивалента ми G(t)=Gsinwt, скорости и ускорения которых равны V(t)=wGsinwt=Vsinwt и A(t)=-w2Gsinwt=-Asinwt, откуда w=A/V и R=V2/A. Входной сигнал можно теперь записать в виде G(t)=(V2/A)sin(A/V)t, который удобен для дальнейших вычислений.
Известно, что ошибка слежения в кольце автоматического управления определяется передаточной функцией для ошибки и входным сигналом. Символическое уравнение для ошибки записы вается выражением (t)=X(t)-G(t)=R(t)Wre(s)=R(t)/(1+W(s)), где W(s) – передаточная функция разомкнутого контура.
Амплитуда (t) при гармоническом входном сигнале равна =(V2/A)/|1+W(jw)|. Чтобы ошибка была незначительной, в системах автоматического управления в пределах полосы пропускания обычно |W(jw)|>>1, поэтому с дос таточной точностью =V2/(A*W(jw)). Отсюда L(w)=20lg|W(jw)|=20lg (V2/(A*)).
Как видно, уровень ЛЧХ определяется допустимой ошибкой сле жения и амплитудами скорости и ускорения входного сигнала. Ес ли обозначить wmax=Amax/Vmax,то уровень ЛЧХ, при котором ошибка слежения удовлетворяет ус ловию < max, будет определяться формулой Lж(wmax)>20lg(V2max/(Amax*max)).
Полученному условию должна удовлетворять желаемая ЛЧХ. Она, как показано на рис.21, должна проходить несколько выше кон трольной точки а, найденной по последнему неравенству. Эта точка лежит на границе запретной зоны для желаемой ЛЧХ. Граница этой зоны может быть найдена, если варьировать V и А в пределах, определенных техническим заданием.
Пусть, например, G(t) меняется так, что скорость дости гает Vmax, ускорение А = 0.1Аmax. Динамика такого движения эквивалентна гармоническому с частотой, равной w=0.1Amax/Vmax=0.1wmax. Чтобы и в этом случае ошибка слежения не превышала допусти мую, уровень желаемой ЛЧХ должен быть Lж(0.1wmax)> 20lg(V2max/(0.1Amax*max))=20дб+L(wmax), т.е.на 20 дБ выше, чем на частоте wmax. Наклон желаемой ЛЧХ в области частоты w<wmax должен иметь крутизну -20 дб/дек. Аналогично можно показать, что в области w>wmax граница за претной зоны по допустимой ошибке слежения должна иметь крутизну -40дб/дек. Такая запретная зона для желаемой ЛЧХ приведена на рис.21. Желаемая ЛЧХ должна располагаться несколько выше ее границ.
В случае, если в техническом задании на систему заданы порядок астатизма и коэффициенты ошибок по скорости (С1) и ускорению (С2) , то установить границы зоны, запретной для нахождения ЛАЧХ можно, пользуясь формулами: С1=1/|W(jw)| и С2=1/ (|W(jw)|*wmax).
Поведение желаемой ЛЧХ в области средних частот опреде ляется не только допустимой ошибкой, но и характером переход ного процесса, который надо получить в замкнутом кольце. В этой области вид желаемой ЛАЧХ определяют по заданному показателю колебательности и максимальному запасу устойчивости по фазе или по времени регулирования и величине перерегулирования переходного процесса. Затем запретную зону по колебательности и устойчивости сопрягают с областью по ошибке.
граница зоны граница зоны
по ошибке по колебательности
Рис.21. Алгоритм построения желаемой ЛЧХ.
Чтобы переходная характеристика замкнутого кольца не имела резко выраженной колебательной компоненты, а имела бы характер, близкий к апериодическому, наклон ЛЧХ в области ее пересечения с горизонтальной осью на частоте среза должен быть -20 дб/дек. Частота среза выбирается по показателю колебательности М и максимально возмож ному запасу устойчивости по фазе. Как показано на рис.20, она должна лежать между сечениями 1/=w0*(M-1/M)1/2 и 1/T=w0*(M+1)/(M*(M-1))1/2. Границы этих сечений определяются частотой w0 в точке пересе чения Lж(w) с горизонтальной осью и значением заданного М. При построении желаемой ЛЧХ следует иметь в виду, что чем шире ее участок с наклоном в -20 дб/дек в зоне wcp, тем меньше М, но и меньше быстродействие замкнутого кольца. Область повышенных частот w>1/T соответствует малым уровням усиления и существенного влияния на динамику системы управления не оказывает.
Выбрать частоту среза можно по времени регулирования и величине перерегулирования переходного процесса с использованием диаграммы, приведенной на рис.22, или по формуле wср = a*/tр , где а зависит от величины перерегулирования: 1.7 (для 15%), 2.2 (20%), 3.0 (25%), 4.0(30%).
Протяженность участка желаемой ЛАЧХ с наклоном -20 дб/дек в районе частоты среза следует выбирать исходя из требуемого запаса устойчивости скорректированной системы. Приближенно частоты «излома» ЛАЧХ в области средних частот можно выбрать так: wн=(24)wср и wв=w2ср/wн.
Общий вид желаемой ЛЧХ показан на рис.20.
|
Рис. 22. Зависимости для определения времени регулирования и величины перерегулирования переходного процесса. |
4.2. РЕАЛИЗАЦИЯ ТИПОВЫХ ЗВЕНЬЕВ КОРРЕКЦИИ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ
Рассмотрим свойства корректирующих уст ройств, которые наиболее часто встречаются в схемах последова тельной коррекции в разных системах автоматического управления. Их по этому называют последовательными корректирующими устройст вами. Среди звеньев, этого вида обычно выделяют звенья: запаздывающие, форсирующие и комбинированные.
Запаздывающее корректирующее звено способствует тормо жению переходного процесса в контуре управления. Оно описыва ется передаточной функцией вида W(s)=(1+sT1)/(1+sT2) при T2>T1. Его частотная характеристика (ЛЧХ) L(w)=[20lg(1+(wT1)2)1/2-20lg(1+(wT2)2)1/2] состоит, как показано на рис.23, из трех прямых линий. Фазовая характеристика описывается выражением (w)=arctg(wT1)-arctg(wT2). Как видно из рис.23, это звено подавляет усиление на высоких частотах, а в области пониженных частот вносит отрицательный фазовый сдвиг. О механизме процедуры замедления переходного процесса, вносимой таким звеном в сечениях t 0 в контур управления легко, судить по форме его переходной характеристики, также показан ной на рис.23. Технически такое звено в радиоавтоматике реали зуется на RC-элементах и часто, как показано на рис.24, с исполь зованием решающих усилителей. Расчет R- и С- элементов для схем коррекции проводят так, чтобы получить требуемые значения Т для формирования исходной передаточной функции.
Форсирующее звено ускоряет течение переходных процес сов, добавляя к сигналу в контуре управления его производную. Оно описывается такой же передаточной функцией, как и запаздывающее звено, но при условии, что T2<T1. Формулы для частотных и фазовых характеристик также совпадают, хотя форма этих характеристик иная по сравнению с рассмотренными. Частотные характеристики форсирующего звена показаны на рис.25. Там же приведена переходная характеристика. Как видно из ЛЧХ, форсирующее звено является фильтром высоких частот. Оно их подчеркивает и в ограниченной полосе частот добавляет положительный фазовый сдвиг. Механизм форсирования, вносимый звеном в контур управ ления, понятен из переходной характеристики.
Рис.23. Частотные и переходная характеристики замедляющего звена коррекции
В сечениях време ни, примыкающих к началу координат, как видно из рис.25, за счет этого звена уровень сигнала в контуре управления увеличива ется. Схемное решение для форсирующего звена, как видно из рис.24, сходно с решением для звена замедляющего. Разница со стоит в выборе R- и С-элементов в цепи обратной связи.
Смешан ное или корректирующее комбинированное звено состоит из звеньев замедляющего и форсирующего, включенных последова тельно. Поэтому описывается смешанное звено передаточной функцией вида W(s)=(1+sT1)(1+sT3)/(1+sT2)(1+sT4), при условии, что Т2 > T1 > Т3 > Т4 . Его асимптотическая ЛЧХ определяется формулой L(w)=[20lg(1+(wT1)2)1/2-20lg(1+(wT2)2)1/2 -20lg(1+(wT4)2)1/2+20lg(1+(wT3)2)1/2] и состоит, как показано на рис.26, из пяти отрезков прямых. Фазовая характеристика описывается выражением (w)=arctg(wT1)-arctg(wT2)+ arctg(wT3)-arctg(wT4).
Рис. 24. Схемы замедляющего, форсирующего и смешанного звеньев коррекции.
Рис.25. Частотные и переходная характеристики форсирующего звена коррекции
Как видно из рис.26, корректирующее звено смешанного ти па подавляет некоторую зону средних частот и может вносить в контур управления дополнительные как положительные, так и от рицательные фазовые сдвиги. В разных областях частот корректи рующее звено смешанного типа проявляет себя по-разному. В зоне высоких частот его поведение сходно с поведением звена форси рующего, а на низких частотах - с поведением замедляющего зве на. Такое двоякое поведение наглядно иллюстрируется формой переходной характеристики. Используя смешанные звенья коррек ции, можно более гибко влиять на динамику устройств автоматического управления, ускоряя или замедляя течение переходного процесса в раз личных сечениях времени.
К звеньям параллельных схем коррекции относят прежде всего известные и уже изученные дифференцирующие звенья с передаточной функцией W(s)=s. Они используются для организа ции управления не только по входному управляющему параметру, но и по его производным. Использование производных позволяет знать не только предисторию системы, но и спрогнозировать пове дение входного управляющего сигнала в ближайшем будущем. По тому в таких системах управления может быть существенно повы шена точность слежения.
К параллельным схемам коррекции относят также изодромное звено, которое состоит из параллельно включенных усилитель ного и интегрирующего звеньев. Передаточная функция такого звена имеет вид W(s)=K+1/s=(1+Tиз)/s. Его частотные характеристики описываются вы ражениями L(w)=-20lgw+20lg(1+(wTиз)2)1/2 и (w)=-/2+arctg(wTиз). По этим формулам на рис.27 построены частотные и переходная характеристики изодромного звена. Такое звено часто используют для повышения порядка астатизма.
В цепи дополнительных обратных связей включают звенья усилительные и дифференцирующие. В первом случае обратную связь называют жесткой или позиционной, во втором - гибкой или скоростной. Кроме того, возможно использование комбинирован ных устройств, осуществляющих, например, усиление и взвешен ное дифференцирование и т.д. Влияние дополнительных обратных связей на динамику контура или отдельных устройств можно на глядно показать на простом примере. На рис.27 показано звено, имеющее передаточную функцию вида W(s)=K/(s(1+Ts)). Так описываются многие исполнительные механизмы, например двигатели, вращающие направленные антенны радиолокаторов, автопилоты, приводящие в движение рули управления и т.д. Пере ходная характеристика имеет вид, показанный также на рис.28. При такой h(t) антенна или рули управления бу дут постоянно вращаться при любом входном сигнале. Если же механизм охватить дополнительной обратной связью, на пример позиционной, содержащей звено с передаточной функцией Wос(р)=Кос, то скорректированное устройство будет описываться формулой Wскор(s)=W(s)/(1+W(s)Wос(s))=K/Ts2+s+KKос.
Рис.27. Частотные и переходная характеристики изодромного звена.
Рис.28. Коррекция h(t) исполнительного механизма за счет введения жесткой обратной связи.
4.3. КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
1. Принцип построения желаемой ЛАЧХ в области малых частот.
2. Построение желаемой ЛАЧХ в области средних и высоких частот.
3. Переходные и логарифмические характеристики форсирующего и замедляющего корректирующих звеньев.
4. Переходные и логарифмические характеристики смешанного корректирующего звена.
5. Последствия коррекции местной «жесткой» обратной связью.
6. Последствия коррекции местной изодромной обратной связью.
4.4. ЗАДАНИЕ ПО РАБОТЕ
|
Параметр звена |
Номер варианта |
||||||||||||||
|
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
10 |
11 |
12 |
13 |
14 |
15 |
|
|
Emax |
0.01 |
0.025 |
0.05 |
0.075 |
0.1 |
0.25 |
0.5 |
0.75 |
0.5 |
0.25 |
0.1 |
0.075 |
0.05 |
0.025 |
0.01 |
|
Vmax |
1 |
3 |
5 |
7 |
10 |
12 |
15 |
17 |
20 |
23 |
25 |
27 |
30 |
32 |
35 |
|
Amax |
15 |
14 |
13 |
12 |
11 |
10 |
9 |
8 |
7 |
6 |
5 |
4 |
3 |
2 |
1 |
|
M |
1.25 |
1.5 |
1.25 |
1.5 |
1.25 |
1.5 |
1.25 |
1.5 |
1.25 |
1.5 |
1.25 |
1.5 |
1.25 |
1.5 |
1.25 |
|
KΩ |
150 |
100 |
200 |
250 |
300 |
250 |
200 |
100 |
150 |
200 |
150 |
100 |
200 |
300 |
250 |
|
Ev |
0.0025 |
0.005 |
0.0075 |
0.01 |
0.0075 |
0.0005 |
0.0025 |
0.005 |
0.0075 |
0.01 |
0.0075 |
0.005 |
0.0025 |
0.005 |
0.0075 |
|
EA |
0.01 |
0.02 |
0.03 |
0.04 |
0.05 |
0.06 |
0.07 |
0.08 |
0.09 |
0.1 |
0.11 |
0.12 |
0.13 |
0.14 |
0.15 |
|
σ |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
30 |
25 |
20 |
15 |
20 |
25 |
30 |
35 |
30 |
25 |
|
treg |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
1 |
0.5 |
0.45 |
0.4 |
1.0 |
0.9 |
0.8 |
0.7 |
0.6 |
0.5 |
|
Параметр звена |
Номер варианта |
|||||
|
16 |
17 |
18 |
19 |
20 |
21 |
|
|
Emax |
0.01 |
0.025 |
0.05 |
0.075 |
0.1 |
0.25 |
|
Vmax |
12 |
15 |
17 |
20 |
23 |
25 |
|
Amax |
4 |
5 |
6 |
7 |
8 |
9 |
|
M |
1.25 |
1.5 |
1.25 |
1.5 |
1.25 |
1.5 |
|
KΩ |
150 |
200 |
200 |
250 |
300 |
150 |
|
Ev |
0.0025 |
0.005 |
0.0075 |
0.005 |
0.0025 |
0.0005 |
|
EA |
0.11 |
0.08 |
0.09 |
0.04 |
0.1 |
0.15 |
|
σ |
15 |
20 |
25 |
15 |
35 |
30 |
|
treg |
0.5 |
0.6 |
0.7 |
0.8 |
0.9 |
1 |
4.4. ТРЕБОВАНИЯ К ОТЧЕТУ
Отчет по работе должен содержать последовательность выбора звена последовательной коррекции для каждого из заданий, поясняющие формулы и соответствующие логарифмические и фазо-частотные характеристики.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК