Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
20
НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ
ІНСТИТУТ МОНОКРИСТАЛІВ
На правах рукопису
Харченко Дмитро Олегович
УДК 539.2
КОРЕЛЯЦІЙНІ ЕФЕКТИ
У ПРОЦЕСІ САМООРГАНІЗАЦІЇ
САМОПОДІБНИХ СТОХАСТИЧНИХ СИСТЕМ
01.04.02 –теоретична фізика
АВТОРЕФЕРАТ
дисертації на здобуття наукового ступеня
доктора фізико-математичних наук
Міністерства освіти і науки України.
Науковий консультант –заслужений діяч науки і техніки України,
доктор фізико-математичних наук, професор
Олємской Олександр Іванович,
Сумський державний університет.
Офіційні опоненти: доктор фізико–математичних наук, професор,
завідувач відділу теоретичної фізики
Білоколос Євген Дмитрович
Інститут магнетизму НАН України
доктор фізико–математичних наук,
старший науковий співробітник
Філь Дмитро Вячеславович
Інститут монокристалів НАН України
начальник відділу статистичної фізики та
квантової теорії поля
Національний науковий центр “Харківський фізико-технічний інститут”
Провідна установа – Інститут фізики конденсованих систем НАН
України, відділ квантово-статистичної теорії процесів каталізу, м.Львів.
Захист відбудеться “.05” року о 14 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.169.01 при Інституті монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, проспект Леніна, 60.
З дисертацією можна ознайомитись у науковій бібліотеці Інституту монокристалів НАН України за адресою: 61001, м. Харків, проспект Леніна, 60.
Автореферат розісланий “.04 ” р.
Вчений секретар спеціалізованої вченої ради
кандидат фізико-математичних наук М.В.Добротворська
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Симетрія представляє одну з найважливіших властивостей фізичної системи, яка суттєвим чином визначає їх поведінку. Це відбивається наявністю законів збереження, виконання яких значно розширює фізичну картину симетричного об’єкта. Найважливіші приклади такого роду дають властивості однорідності та ізотропності простору-часу, наслідком яких є закони збереження енергії, імпульсу та моменту імпульсу. Використання теореми Нетер дозволяє узагальнити такі властивості для опису простору станів фізичної системи, симетрія якого приводить до законів збереження узагальнених зарядів.
Дослідження систем, які проявляють фазові переходи, свідчить, що вони володіють особливим типом симетрії –відносно зміни масштабу. Це віддзеркалюється у самоподібності стохастичних систем, що приводить до автомодельного характеру процесів, які проходять у них. Завдяки цьому уведення масштабів, які необхідним чином змінюються у часі, приводить до універсальних скейлінгових законів залежності функції розподілу стохастичної системи. Із геометричної точки зору такі об’єкти подаються самоподібними просторово-часовими множинами дробової вимірності (фракталами).
Із формальної точки зору властивість самоподібності віддзеркалюється використанням однорідних функцій, визначених у такий спосіб, що дилатація їх аргументів подається степеневим множником із дробовим показником. Як свідчить теорія критичних явищ, таку поведінку виявляють макроскопічні величини типу густини ймовірності, статистичних моментів, кореляційних функцій, сприйнятливостей та ін. Послідовна картина еволюції такого роду систем досягається використанням формалізму дробових інтегралів та похідних, нелінійних рівнянь Фоккера-Планка.
Найважливіша властивість стохастичних систем, що підвладні флуктуаційному впливу зовнішнього середовища, полягає у їх самоорганізації. При цьому самоподібність віддзеркалюється мультиплікативним характером шуму, інтенсивність якого змінюється степеневим чином. Застосування польового формалізму дозволяє знайти поведінку найбільш імовірних значень стохастичної змінної та спряженого з нею імпульсу. Однак повна картина еволюції стохастичної системи із мультиплікативним шумом потребує дослідження статистичних моментів, які загалом можуть мати дробовий порядок.
Дослідження феноменологічної картини процесу самоорганізації, що подає фазовий перехід, індукований шумом, досягається у рамках синергетичного підходу. Його використання дозволяє подати нелінійні властивості стохастичної системи, наявність позитивних та негативних зворотних зв’язків, дію корельованих шумів та просторову неоднорідність системи. Характерна особливість систем, що самоорганізуються, полягає в тому, що сумісна дія нелінійності, просторової неоднорідності та корельованих шумів може приводити до реверсивних переходів, при яких упорядкований стан спостерігається у замкненій області зміни керуючого параметра.
Останнім часом зростає інтерес дослідження самоорганізовуваної критичності, процес якої подається випадковою послідовністю лавиноподібних переходів стохастичної системи у самоподібний критичний режим. На відміну від звичайного процесу самоорганізації тут критичний стан досягається не в єдиній точці, що відповідає фазовому переходу, а у кінцевому інтервалі зміни параметрів системи. Незважаючи на інтенсивне розвинення відповідної теорії, до останнього часу не були виявлені причини скейлінгової поведінки системи, а картина лавиноутворення досліджувалася лише чисельними методами та у наближенні середнього поля.
До моменту виконання даної роботи існували й інші проблеми теорії самоорганізації стохастичних систем. Перша з них полягає у встановленні зв’язку фрактальної вимірності фазового простору з показниками, які характеризують часову поведінку системи, її неадитивність та інтенсивність шумів. Остаточно не з’ясовано картину упорядкування стохастичних систем, зокрема, причини реверсивних переходів, індукованих шумом. Практично не досліджувався вплив крос-кореляційних зв’язків між різними стохастичними джерелами на картину упорядкування.
У колі сучасних проблем теоретичної фізики особливої актуальності набули дослідження стохастичних систем, які виявляють поведінку, властиву фазовим переходам. Теоретична схема, що дозволяє всебічно подати особливості поведінки таких систем, ґрунтується на використанні синергетичної концепції. Розвинення теорії стохастичних систем, що самоорганізуються, потребує: дослідження фрактальної картини фазового простору, у якому проходять процеси аномального перенесення; дослідження впливу скорельованих флуктуаційних джерел на картину нерівноважних фазових переходів, індукованих шумом; дослідження особливостей процесу упорядкування стохастичних систем, що виявляють реверсивну поведінку та поглинаючий стан; самоузгодженого опису стаціонарних станів, які виникають у процесі самоорганізовуваної критичності.
Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота пов’язана із виконанням держбюджетних тем “Синергетична теорія конденсованих середовищ” (номер державної реєстрації 0103U000772, термін виконання 2003-2005рр.) та “Дослідження впливу флуктуаційного середовища на процеси упорядкування в стохастичних системах” (номер державної реєстрації 0104U002435, термін виконання 2004-2005рр.).
Мета і завдання дослідження. Метою є розвинення теоретичних методів, які дозволяють описати самоорганізацію самоподібних стохастичних систем, що підвладні дії скорельованих флуктуаційних джерел. Для цього необхідно вирішити такі завдання:
Методи дослідження. Розвинутий у роботі формалізм ґрунтується на адіабатичному наближенні, теорії середнього поля та відповідній феноменологічній схемі, евклідовій теорії поля, розвиненні за кумулянтами, методі уніфікованої апроксимації кольорового шуму, а також на використанні теорії марковських процесів, нелінійних рівнянь Ланжевена та Фоккера-Планка із похідними дробового порядку. Також розроблено та використано методи і алгоритми чисельних експериментів, що моделюють поведінку стохастичних систем.
Об’єктом дослідження є процес самоорганізації стохастичних систем, який проявляється в універсальній поведінці статистичних характеристик залежно від параметрів флуктуаційних джерел.
Предмет дослідження становить нелінійна динаміка систем із ієрархічною будовою у нерівноважних умовах та самоорганізація, обумовлена зовнішнім впливом і корельованими шумами.
Наукова новизна одержаних результатів
Наукове та практичне значення одержаних результатів
Особистий внесок здобувача. У працях [1-3,5-13,17,18,20,21], виконаних сумісно із співавторами, здобувач брав участь у поставленні задач, аналітичних викладках, проводив чисельні розрахунки, а також обговоренні отриманих результатів. Зокрема:
У праці [1] автор брав участь у поставленні задач, розробленні методів статистичного подання впливу крос-кореляцій та процедури чисельного моделювання, одержував біфуркаційні та фазові діаграми у випадку диспергуючого коефіцієнта тертя. У праці [2] автору належать поставлення задачі та аналітичні розрахунки стаціонарної поведінки статистичних моментів. У праці [3] здобувач брав участь у поставленні задачі, особисто розвинув польову схему, одержав біфуркаційні та фазові діаграми, що ілюструють вплив кореляцій флуктуацій на характер утворення лавин, провів дослідження часових залежностей розміру лавин та спряженого імпульсу. У працях [5-7,9] автору належать поставлення задачі і аналітичні обчислення. Поставлення задачі, аналітичні обчислення та опис перебудови дефектної структури у полі пластичної деформації, одержання фазових діаграм автором проводилось у роботі [8]. У праці [10] здобувачу належать поставлення задачі, розвинення статистичного підходу врахування крос-кореляцій флуктуаційна на картину фазового переходу, чисельне розв’язання рівняння станів. У роботі [11] автору належать чисельне дослідження умов виникнення одинокої лавини у флуктуаційному середовищі, розробка картини поведінки ансамблю лавин (одержання фазових діаграм, моделювання степеневих розподілів за розмірами лавин), аналітичне дослідження аномальних режимів формування лавин. У працях [12,13] дисертант брав участь у поставленні задачі та узагальненні задач опису аномальної дифузії, еволюції найбільш імовірних величин і статистичних моментів, узагальнення та подання самоорганізовуваної критичності, проводив чисельні розрахунки щодо ієрархічного опису аномальної дифузії. У праці [14] здобувачу належать поставлення задачі та розвинення статистичної картини поведінки параметра порядку та автокорелятора, одержання фазової діаграми. У працях [17,20] здобувачем проводилися: поставлення задачі; аналітичні обчислення для одержання статичної схеми; чисельне розв’язання рівнянь станів; розроблення програмного забезпечення для проведення чисельного експерименту. У роботі [18] автор брав участь у поставленні задачі, одержанні стаціонарних рівнянь для параметра порядку та автокорелятора, обчисленні часових асимптотик та чисельному розв’язанні еволюційних рівнянь. У праці [21] дисертант виконував аналітичні обчислення щодо одержання польового лагранжіана, чисельні розрахунки стаціонарних станів та фазових діаграм, проводив чисельний експеримент.
Роботи [4,15,16,19,22-25] виконано автором самостійно.
Апробація результатів дисертації
Основні результати дисертаційної роботи обговорювалися на наукових семінарах Сумського державного університету, Інституту монокристалів НАН України, Інституту металофізики НАН України, Інституту конденсованих середовищ НАН України, Університету Карла (Прага, Чехія), а також на таких конференціях: Симпозіумі “Порядок у металах та сплавах” (Київ, 1998), International Workshop “Nonequilibrium Physics at Short Time Scales”(Дрезден, Німеччина, 2000); Міжнародній науковій конференції “Моделювання та оптимізація складних систем”(Київ, 2001); International School-Seminar “Coherent Evolution in Noisy Environments”(Дрезден, Німеччина, 2001); Міжнародній науковій конференції “Фізика і технологія тонких плівок”(Івано-Франківськ, 2003); XVI Міжнародній школі-семінарі “Spectrocsopy of Molecules and Crystals”(Севастополь, 2003); Міжнародній науковій конференції “Statistical Physics 2005: Modern Problems and New Applications”(Львів, 2005).
Публікації. Основні результати дисертації опубліковані у 25 статтях. Роботи [12,13] є оглядовими, стаття [4] є монооглядом, а робота [3] видана як розділ колективної монографії.
Структура та обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, семи розділів, висновків, списку використаних джерел. Обсяг дисертації становить 342 сторінок, включно зі списком використаних джерел, що містить 348 найменування. У роботі міститься 98 рисунків (подано у тексті).
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі висвітлено актуальність теми досліджень, сформульовано мету роботи та визначено її наукову новизну і практичне значення. Окреслено зв’язок роботи з науково-дослідницькими роботами, визначено особистий внесок автора у спільних публікаціях.
Розділ „Ефекти самоорганізації стохастичних систем” має оглядовий характер і містить матеріал, який стосується опису ефектів самоорганізації у стохастичних системах та методів їх дослідження. Показано, що нелінійні системи здатні активно реагувати на стохастичний вплив середовища, змінюючи не лише простір своїх станів, але й властивості середовища. Серед найактуальніших питань щодо самоорганізації динамічних систем у розділі виділяються: аномальна дифузія, що супроводжується уповільненням або прискоренням процесів перенесення із скейлінговими залежностями статистичних характеристик у часі та просторі; індуковані шумом фазові переходи; критичність, що самоорганізується за відсутності сталого впливу зовнішнього середовища. Показано, що системи із такою поведінкою характеризуються самоподібним фазовим простором. У розділі висвітлено, що наведені ефекти виникають унаслідок дії флуктуаційних джерел, які у багатьох випадках можуть бути корельованими.
Існуючі методи опису картини самоорганізації стохастичних систем загалом, потребують розвитку, оскільки не дозволяють адекватним чином не лише подати аномальні властивості прискореного та уповільненого процесів перенесення, але й виявити їх вплив на картину виникнення упорядкованих станів. Виявлено, що у рамках однопараметричних моделей систем, що зазнають реверсивні фазові переходи не вдається встановити вплив спряжених полів до амплітуди гідродинамічниї моди, що суттєво обмежує інформацію про характер упорядкування. У розділі показано, що реверсивні фазові переходи, які спостерігаються експериментально у сегнетоелектриках, розчинах полімерів та хімічних реакціях для пояснення дозволяють використання рівноважних теорій та комп’ютерного моделювання. Показано, що суттєвим недоліком існуючих теорій опису індукованого флуктуаціями упорядкування є нехтування крос-кореляційними властивостями стохастичних джерел, що суттєво звужує уявлення про статистичну картину самоорганізації. Акумулюючим ефектом самоорганізації у стохастичному середовищі є самоорганізована критичність, оскільки вона містить всі наведені характеристики складності поведінки, однак відповідної самоузгодженої теорії формування одиночної лавини або цілого ансамблю не запропоновано і не виявлено роль випадкових чинників при утворенні лавин. У висновках розділу докладно обґрунтовується необхідність розв’язання наведених задач, що у даній дисертаційній роботі об’єднуються в рамках однієї проблеми опису самоорганізації складних систем.
У зв’язку із поставленими задачами у розділі „Аномальна дифузія у системах із мультиплікативним шумом” доводиться, що перехід від звичайної броунівської до узагальненої дифузії із законами для середнього зміщення x(t)=0 та дисперсії x(t)tH,H –показник Герста, при 0<H<1/2 відбувається уповільнення дифузії, а при H>1/2 –прискорення. Опис таких процесів досягається введенням ймовірностей стрибків у просторі W(r-r’) та ймовірностей очікування частинки у даний момент часу (t-t’). Тоді еволюція густини ймовірності P(r,t) знайти частинку у точці r у момент часу t задається інтегральним рівнянням
формальний розв’язок якого досягається використанням перетворень Фур’є-Лапласа і набуває вигляду Pk(u)=(1-(u))(u[1-(u)Wk])-1. При цьому ймовірності переходів та очікування набирають неаналітичного вигляду:
d0.1. c7 H ( – , – )
Відповідні асимптоти у прямому d-вимірному просторі є такими: W(s)|s|-(d+), (t)t-(1+), t,s=r-r’. Вирази дозволяють встановити, що у кінетичному рівнянні для P(r,t) процес прискореної дифузії задається дробовою похідною за простором порядку >0, а відповідно уповільнена дифузія –дробовою похідною за часом порядку 0<<1. Загальний вираз для показника Герста стає таким: H=/.
Використання стандартної теорії у випадку d=1 дозволяє подати узагальнений тип дифузії за рахунок переходу до самоподібних систем із мультиплікативним шумом, інтенсивність якого D(x)=x-, а дрейфова компонента D(x)x-, де . Відповідне рівняння Фоккера-Планка для густини ймовірності P(x,t) задається рядом Крамерса-Мойала
Відповідне рівняння Ланжевена для процесу x(t), що відповідає , має вигляд
Як показали аналітичні та чисельні розрахунки (рис.1) для мультиплікативного шуму з інтенсивністю D(x)=xa, де 0a1, показник Герста задається виразом
H-1==2(1-a), а внутрішня фрактальна вимірність фазового простору складає величину D=2(1-a). Натомість динамічний показник z=H-1 визначається у такий спосіб: z= при <2 і z=2 при 2. Узагальнення одержаних виразів на випадок субдифузії дозволяє подати рівняння руху перших двох моментів у вигляді tx=D(x), tx=D(x). Оскільки система є самоподібною, то динамічний показник обчислюється безпосередньо і виражається відношенням фрактальної вимірності до порядку похідної за часом: z=D/. Дослідження ефекту пам’яті у процесах аномального перенесення проводилося використанням дробово-диференціальних рівнянь еволюції та застосуванням формалізму функції пам’яті. Виявилося, що фрактальна вимірність фазового простору прямо пропорційно залежить від частки механічних каналів, у яких пам’ять частково зберігається.
При описі ієрархічної картини аномальної дифузії відповідне рівняння для густини ймовірності стає нелінійним:
.
Його розв’язок задається функцією ієрархічного зв’язку (P) мікро- та макроскопічного рівнів. Показано, що ієрархічні системи описуються узагальненою статистикою Цаліса. Це потребує здійснення переходу від звичайного до узагальненого логарифма lnlnq=(q-1)-1(q-1-1), який при параметрі неадитивності q1 зводиться до стандартного. Статистиці Цаліса відповідає вибір (P)=P і (P)=P/q. Дослідження поведінки самоподібної системи у автомодельному режимі при D(x)=[xc(t)]a(x/xc) та P(x,t)=[xc(t)]-1(x/xc) з xc(t)tH і зазначеному виборі функцій ієрархічного зв’язку дозволило встановити залежність показника Герста від показника a амплітуди мультиплікативного шуму та параметра статистики q у вигляді
Виявлено, що зростання q переводить систему із субдифузійного режиму у супердифузійний із аномальною кореляційною функцією x(t)x(t’)|t-t’|H(q). Отже, аномальні властивості дифузії можуть бути враховані мультиплікативним шумом із степеневим законом зміни його амплітуди.
У розділі „Кінетика стохастичної системи з мультиплікативним шумом” за встановленою моделлю флуктуацій у рамках польового формалізму досліджується вплив властивості самоподібності стохастичної системи та флуктуаційних кореляцій на кінетику індукованого шумом переходу. Основним об’єктом є система, що параметризується скалярним полем x(r,t), яке підпорядковується рівнянню Ланжевена
із детерміністичною силою f(x)=-dV/dx, визначеною потенціалом Ландау V(x)=x/2+x/4, де керуючий параметр відіграє роль знерозміреної температури, та амплітудою мультиплікативного шуму g(x)=|x|a, інтенсивність якого визначається показником 0a1. Стохастична сила (r,t) подається гаусівським шумом із середнім значенням (r,t)=0 і кореляційною функцією (r,t)(r’,t’)=(r-r’)C(t-t’).
Дослідження кінетики індукованого шумом переходу досягається на основі евклідової теорії поля, підґрунтям якої є функціонал статистичної суми Z[x]=t(tx-f(x)-x-g(x)(r,t)), що дозволяє записати ймовірність реалізації значень стохастичного поля та спряженого імпульсу у вигляді функціонала P[x]exp(-S[x,]), де евклідова дія S[x,] задається лагранжіаном L(x,). Динамічні властивості системи досліджуються мінімізацією дії та використанням рівнянь Ейлера-Лагранжа. Відповідні фазові траєкторії, що задають імовірність реалізації оптимальних шляхів еволюції системи, розміщуються у площині найбільш імовірних значень стохастичного поля x та спряженого імпульсу, що дає флуктуації спряженої сили . Оскільки польова теорія розвинута для систем із адитивним шумом, то у випадку білого мультиплікативного шуму, де C(t-t’)=(t-t’), процедура знаходження польового лагранжіана ґрунтується на використанні стохастичного диференціала Іто. Це дозволяє подати L(x,) у вигляді
Для кольорового шуму із кореляційною функцією C(t-t’)=-1exp(-|t-t’|/), де –час автокореляції флуктуацій, а процес (t) задовольняє рівняння еволюції з білим шумом (t) у вигляді
розвинення формалізму уніфікованої апроксимації кольорового шуму і застосування диференціала Іто дозволяє встановити для однорідної системи форму лагранжіану у вигляді:
У той час як лагранжіани (8), (10) узгоджуються з відомими, одержаними у випадку адитивних шумів, вони містять складові типу (1/2)g(x)dg(x)/dx, які пов’язані із використанням властивостей марковості для білого шуму (t). Окрім того у випадку =0, що відповідає білому шуму лагранжіан (10) набирає вигляду (8).
Відповідні рівняння Ейлера-Лагранжа у випадку білого шуму при врахуванні дисипативної функції стають такими
Виявилося, що на характер упорядкування суттєво впливають зміни керуючого параметра , інтенсивності просторової неоднорідності розподілу параметра порядку і спряженого імпульсу та показник амплітуди мультиплікативного шуму. За умови подання x -2x, -2, де масштаби і визначають порядок сталих просторової неоднорідності, виявлено, що із зниженням температури система упорядковується, а при підвищенні інтенсивності шуму зазнає розупорядкування (рис.2а). Варіація параметра неоднорідності спряженого імпульсу може привести до реалізації рівноважного або нестійкого до упорядкування стану. Характер рівноважності досліджувався встановленням розбіжності узагальненої сприйнятливості на границі адитивного шуму (a=0), що відповідає випадку теплових флуктуацій. Картина упорядкування була проаналізована також у випадку сумірності просторових масштабів. Виявилося, що упорядкування стає можливим лише на довгохвильовій границі.
Дослідження забарвлених флуктуацій, поданих процесом , показує, що звуження частотного спектра шуму приводить до упорядкування однорідної системи. Згідно з рис.2б неупорядкований стан реалізується у фіксованому інтервалі значень показника мультиплікативного шуму.
d0.2. b3 e8 : ) b3e7 e1 ( 1, 2, 3 =0.9, 1.1, ); ) ea (f0 1, 2 =0.65, 0.7).
При дослідженні кінетичних особливостей поведінки системи методом фазової площини виявлено, що упорядкування супроводжується виникненням двох сідлових точок на площині -x. Незалежно від критичного значення керуючого параметра, параметрів просторової неоднорідності або часу автокореляції шуму при значеннях показника a<1/2 і малих початкових значеннях x(0) фазові траєкторії збігаються до вузла у точці x=0, =0. У протилежному разі a1/2 при малих x(0) притягуючий вузол миттєво переміщується на безмежне значення спряженого імпульсу. Така перебудова фазового портрета відповідає формуванню поглинаючого стану при a1/2, у якому параметр порядку стає тривіальним, а амплітуда флуктуації спряженої сили –нескінченною.
Імовірність реалізації оптимальних траєкторій P[x] визначається підстановкою розв’язків рівнянь Ейлера-Лагранжа у функціонал евклідової дії S[x,]. Суттєво, що часові асимптотики поведінки параметра порядку та спряженого імпульсу не зазнають суттєвих змін при переході від білого до кольорового шуму. Аналітичні розрахунки асимптотик дії, визначеної оптимальними траєкторіями та чисельним інтегруванням за фазовими траєкторіями, дозволили встановити, що неупорядкований стан при a<1/2 реалізується із кінцевою імовірністю, а поглинаючий –за рахунок швидкого зростання спряженого імпульсу відповідає нульовим значенням P(x(0))0. При цьому область на площині -x, що визначає утворення нових стаціонарних станів, пролягає між сепаратрисами новоутворених сідлових точок.
У розділі „Еволюція стохастичної системи з мультиплікативним шумом” подано статистичну картину поведінки самоподібної системи, поданої потенціалом Ландау з білим та кольоровим мультиплікативними шумами. Опис ґрунтується на розгляданні рівнянь руху основних статистичних моментів процесу x(t), що задовольняє рівняння Ланжевена , де флуктуації визначені процесом . Визначаючи параметр порядку першим статистичним моментом (t)x(t), замкнений опис еволюції досягається використанням відповідних дисперсії S(t)[x(t)-(t)] та двочасової функції Гріна G(t,t’)[x(t)-(t)][x(t’)-(t’)]. Показано, що властивість самоподібності приводить до виникнення у рівняннях руху дробових моментів, порядок яких задається показником a мультиплікативного шуму. Суттєве спрощення виразів зміни у часі величин , S та G, одержаних використанням теореми Новікова, досягається розгляданням випадку білого шуму із використанням стохастичного диференціала Іто. У такому разі еволюція
d0.3. , : ) ; )
системи буде описуватися системою рівнянь:
У випадку кольорового шуму застосовується розвинутий у попередньому розділі метод уніфікованої апроксимації кольорового шуму. Загальний вигляд рівнянь руху параметра порядку та автокорелятора є таким:
де , . Властивість самоподібності дозволяє виразити момент дробового порядку через моменти цілого порядку, оскільки стаціонарний розподіл величини x для самоподібної системи набирає вигляду P(x)Ax-2a, де A –нормуюча стала. Показано, що у випадках систем, яка упорядковуються (a<1/2, фрактальна вимірність D>1) або неупорядковуються (a1/2, D<1), для моменту дробового порядку маємо:
Дослідження властивостей неупорядкованої системи для білих і кольорових флуктуацій показало, що автокорелятор упродовж часу досягає свого стаціонарного значення, причому при малому часі він поводиться степеневим чином , а при досяганні стаціонарного значення змінюється експоненціально.
При аналізі процесів упорядкування встановлено, що у системі з білим шумом показник його амплітуди a знижує температуру упорядкування, підвищуючи , так що при a1/2 реалізація упорядкованого стану унеможливлюється, оскільки (рис.3а). При включенні автокореляції шуму з часом система, що упорядковується, зазнає суттєвих змін у стаціонарному режимі. У той час як залежність від a зберігає свій вигляд, наявність забарвлених флуктуацій спричиняє реверсивне проходження процесу упорядкування. Тут при фіксованих значеннях часу автокореляції упорядкований стан існує лише в певній області температур (рис.3б). Установлено, що в обох ситуаціях індукований шумом перехід супроводжується стрибкоподібною зміною параметра порядку завдяки кореляціям S. Дослідження часових залежностей параметра порядку та автокорелятора в області неупорядкованого стану досягається застосуванням узагальненої експоненти Цаліса, яка приводить до степеневої поведінки параметра порядку та гіперболічної для автокорелятора. В околі упорядкованого стану дослідження часових залежностей досягається використанням перетворень Меліна, у рамках яких поведінка параметра порядку та автокорелятору описується стиснутою експонентою. Характер наведених асимптот залишається незмінним як для білого, так і для кольорового шумів.
Окремо у розділі досліджено еволюцію неадитивної системи, поданої рівнянням Фоккера-Планка із адитивним шумом та x-моделлю синергетичного потенціалу. Встановлено, що збільшення показника неадитивності q приводить до зменшення граничного значення інтенсивності шуму, нижче якого відбувається упорядкування. В околі стаціонарних значень параметр порядку та автокорелятор змінюються експоненціальним чином з показником, значення якого спадає із зростанням параметра неадитивності.
На відміну від попередніх у розділі „Фазові переходи у самоподібній системі з корельованими шумами” досліджується стаціонарна картина самоорганізації просторово розподіленої стохастичної системи за наявності двох скорельованих шумів. Без втрати загальності модель системи з декількома шумами вибрана у вигляді
де m –маса ефективної частинки; (x)–кінетичний коефіцієнт; D – стала неоднорідності; g(x )–амплітуда -го шуму із випадковою гаусівською функцією , яка підпорядковується процесу Орнштайна-Уленбека з корелятором (r,t)(r’,t’)=(r-r’)C(t-t’); C–матриця експоненціально спадних кореляційних функцій.
Дослідження стаціонарної поведінки ґрунтується на переході до d-вимірної моделі та використанні кінетичного рівняння для густини ймовірності i-го вузла ґратки P(xi,pi,t), методу розвинення за кумулянтами та теорії середнього поля. У рамках розвинутого формалізму показано, що як сильно-, так і слабкодисипативна системи можуть бути ефективно описані кінетичним рівнянням tP=(L+C)P, де L –детерміністичний оператор еволюції; C –оператор, визначений флуктуаційними внесками, заданими авто- та крос-кореляціями шумів. Застосуванням методу розвинення за кумулянтами Ван Кампена та використанням моментів , які дозволяють рекурсивно подати шуканий розподіл P(xi,t)=P(xi,t), одержано ефективне рівняння для P(xi,t). Використовуючи ієрархію дисипативних, детерміністичних і стохастичних складових (, , , , ; позначення з індексом s задають відповідні масштаби, –крок на просторовій ґратці), при знерозмірюванні змінних з точністю до таке рівняння набирає вигляду ряду Крамерса-Мойала , де дрейфовий та дифузійний коефіцієнти для слабкодисипативної системи задаються виразами
поданими через моменти кореляційної матриці , –ґраткове подання оператора Лапласа.
У випадку сильнодисипативної системи, коли флуктуючою величиною є поле x(r,t) і реактивною складовою у (15) можна знехтувати, при =const коефіцієнти дрейфу і дифузії відрізняються від наближених (16) і набувають точного вигляду
У рамках середньопольового формалізму здійснюється перехід DxD(-x), де x –середнє поле взаємодії найближчих вузлів ґратки, є параметром порядку, який визначається умовою самоузгодження , де Pst(x, )–стаціонарний розв’язок рівняння Фоккера-Планка . Фазова діаграма системи задається розв’язком рівняння . Отже, розвинутий формалізм дає можливість врахувати ефект крос-кореляції між флуктуаційними джерелами та виявити роль диспергувального кінетичного коефіцієнта.
Наведений формалізм застосовано до узагальненої системи, яка зазнає дії адитивного та мультиплікативного шумів: ga(x)=a, gm(x)=msign(x)|x|a із масштабами автокореляції a, m і крос-кореляції c. Питомий потенціал задається стандартною моделлю x. Кінетичний коефіцієнт вибрано у формі (x)=|x-1|-, де показник > 0 є мірою сингулярності дисипації в околі стану x=1.
d0.4.– a=0.8, =0, a2=4.84, m2=0.01, m=0.01, D=1.0. 1, 2, 3, 4, 5 c0, c =2.5, 3.0, 5.0, 10.0. =1/2, – .
Аналіз впливу кореляцій на поведінку параметра порядку показав таке: у разі відсутності крос-кореляційного зв’язку між шумами параметр порядку симетрично зростає при збільшенні керуючого параметра (штрихова крива на рис.4); включення незначних кореляцій між шумами призводить до порушення симетрії функції розподілу з
62
61