Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
На практике часто приходится иметь дело с функциями от случайных величин. Предположим, что случайные величины Y и X связаны функционально, то есть
,
тогда математическое ожидание Y
, (12.1.1)
а дисперсия
, (12.1.2)
где - плотность распределения величины X.
Важно отметить, что для определения отмеченных характеристик случайной величины Y не требуется знать ее закон распределения, достаточно знать только закон распределения X .
Если Y функционально связана с системой случайных величин (, то есть
,
то
.
Дисперсия Y
.
Неслучайная величина X=c как частный случай случайной величины имеет плотность, выражающуюся через дельта-функцию Дирака, то есть
.
Математическое ожидание неслучайной величины c
. (12.2.1)
Действительно
.
Дисперсия неслучайной величины
D( с )=0. (12.2.2)
Действительно
.
Математическое ожидание
. (12.2.3)
Дисперсия
. (12.2.4)
Если , то
,
то есть математическое ожидание суммы случайных величин равно сумме математических ожидании слагаемых.
. (12.2.5)
Докажем этот факт для случая суммы двух случайных величин X и Y.
=.
Дисперсия суммы случайных величин X и Y
. (12.2.6)
Доказательство.
Если случайные величины независимы, то
.
Если , то
. (12.2.7)
Если случайные величины, входящие в сумму взаимно не коррелированны, то дисперсия суммы равна сумме дисперсий:
. (12.2.8)
Рассмотрим функцию
.
Математическое ожидание
. (12.2.9)
Доказательство. Пользуясь формулой (12.2.5) получаем, что
.
Дисперсия Y
, (12.2.10)
где Kij - корреляционный момент пары (Xi,Xj). Эта формула является следствием (12.2.7).
Доказательство. Пусть , тогда
Если случайные величины Xi не коррелированны друг с другом, то
. (12.2.11)
Пусть
,
тогда
. (12.2.12)
Доказательство. Представим X и Y в виде:
,
тогда
что равносильно (12.2.12).
Если X и Y не коррелированны, то математическое ожидание их произведения равно произведению их математических ожиданий, то есть:
. (12.2.13)
Дисперсия произведения независимых случайных величин X и Y
. (12.2.14)
Доказательство.
.(12.2.15)
Так как X и Y независимы, то
.
Если эти выражения подставить в (12.2.15), то после приведения подобных членов получаем (12.2.14).
Для независимых центрированных величин дисперсия произведения равна произведению дисперсий, то есть
. (12.2.16)