тематических моделей большинства физических процессов
Работа добавлена на сайт samzan.net:
§ ДУ в частных производных
ДУ в частных производных (ДУ ЧП) применяются при составлении математических моделей большинства физических процессов. Аргументам функций часто придается смысл времени и пространственных переменных. Многие ДУ ЧП рассматриваются в курсе математической физики.
В качестве примеров ДУ ЧП можно привести, например, следующие (искомую функцию нескольких аргументов будем обозначать , имея ввиду, что в разных задачах она интерпретируется по-разному):
- Уравнение Пуассона: .
здесь - оператор Лапласа ( при или при );
- функция пространственных переменных.
Область применения – теория упругости, электронная оптика, электростатика.
- Уравнение Лапласа: .
Представляет собой частный случай уравнения Пуассона при .
Область применения – описание электростатических полей (пространственные или плоские), стационарных тепловых полей, задачи гидро- и аэродинамики.
- Уравнение диффузии или теплопроводности: или .
Например, им описывается распространение тепла в тонком стержне, плоской пластинке или объеме. При наличии внутренних источников или поглотителей тепла в теле уравнение будет неоднородным: .
- Волновое уравнение: или - одномерное уравнение (свободные или вынужденные колебания струны, соответственно).
- двух- или трехмерное волновое уравнение (колебания мембран или объемов).
- Уравнение переноса: .
Простейшая одномерная модель распределения частиц в веществе. - скорость переноса.
- Уравнение Гельмгольца (модель установившихся колебательных процессов): .
- Уравнение Шредингера в квантовой механике: .
Приведенные уравнения – наиболее характерные представители уравнений математической физики. На примере некоторых из них мы обсудим принципы построения численных методов решения ДУ ЧП. Рассмотрим более подробно случай, когда функция зависит от двух переменных: или . Общий (канонический) вид линейного ДУ ЧП второго порядка относительно неизвестной функции имеет вид:
(1)
Если , уравнение (1) называется однородным, в противном случае – неоднородным.
Решением уравнения (1) называется функция , обращающая это уравнение в тождество. Графиком решения является поверхность в пространстве (интегральная поверхность).
Выбор метода решения задачи для ДУ ЧП зависит от класса уравнения и типа граничных условий.
Классификация уравнений семейства (1) проводится в зависимости от знака детерминанта (по аналогии с кривыми второго порядка.):
- - гиперболический тип;
- - эллиптический тип;
- - параболический тип;
- не сохраняет знак – смешанный тип уравнения.
Если коэффициенты , , - постоянные величины, уравнение (1) можно привести к виду, не содержащему . Тогда
- , - гиперболический тип (волновое уравнение);
- , - эллиптический тип (уравнение Пуассона, Лапласа, Гельмгольца);
- , при (т.е. одна из вторых производных отсутствует) – параболический тип (уравнение теплопроводности).
ДУ ЧП, как и ОДУ, имеет бесчисленное множество решений. Однако получение общего решения даже в случае простых ДУ ЧП сопряжено с большими трудностями. В практически интересных случаях, как правило, интерес представляют именно частные решения, описывающие конкретное явление. Для ДУ ЧП ставятся как начальные, так и краевые условия, хотя это разделение условно. Т.е. начальные условия формулируются, если одна из переменных играет роль времени, граничные же или краевые условия задаются при различных значениях пространственной переменной.
Для уравнений эллиптического типа, описывающего стационарные процессы, обычно формулируются граничные условия (ставятся граничные задачи), а для уравнений гиперболического и параболического типа, описывающих эволюционные явления – смешанные условия (начальные по времени и граничные по координатам), т.е. ставятся смешанные задачи.
Существует 3 типа граничной задачи:
- Если во всех точках границы области функция принимает заданное значение:
, (2)
то это граничное условие первого рода или условие Дирихле. А задача по отысканию функции , удовлетворяющей уравнению (1) внутри области и условию (2) на ее границе, называется первой краевой задачей или задачей Дирихле.
- Если во всех точках границы области производная по нормали от функции принимает заданное значение:
, (3)
то это граничное условие второго рода или условие Неймана. А задача по отысканию функции , удовлетворяющей уравнению (1) внутри области и условию (3) на ее границе, называется второй краевой задачей или задачей Дирихле.
- Если на границе области заданное значение принимает линейная комбинация искомой функции и ее производной по нормали:
, (4)
то имеем граничные условия третьего рода и третью или смешанную краевую задачу.
, и - заданные во всех точках границы непрерывные функции. Если данные функции равны нулю, то соответствующие граничные условия (2), (3), (4) называются однородными.
§ Сеточные методы для ДУ эллиптического типа
Идея метода сеток принадлежит Эйлеру. Однако при вычислениях «вручную» его использование оказывалось слишком трудоемким из-за необходимости решать системы линейных алгебраических уравнений. Обсудим принципы построения метода сеток (конечных разностей). Поговорим о таких терминах, как сетка, узлы, слой, шаблон, разностная аппроксимация производной.
Кратко суть заключается в том, что область непрерывного изменения аргументов заменяется набором узлов, т.е. сеткой и вместо непрерывных функций вводятся сеточные.
Т.е. идея метода сеток (конечных разностей) такова:
- в области , в которой ищется решение, строится сеточная область из одинаковых ячеек и приближающая область , причем сеточная область выбирается так, чтобы ее контур наилучшим образом аппроксимировал контур области ;
- в каждом узле сетки исходное ДУ заменяется конечно-разностным уравнением, в котором приближенные значения производных в каждом узле записывают, используя информацию о значениях искомой функции в соседних узлах;
- из граничных условий устанавливается значения искомого решения в граничных узлах области .
Сеточная область может состоять из квадратных, прямоугольных, треугольных и др. ячеек. Размер ячейки влияет на величину остаточного члена при замене ДУ конечно-разностным.
Начнем с применения метода сеток для ДУ эллиптического типа. Вычислителя сложности могут поджидать на 2-х этапах: аппроксимация граничных условий (если граница сеточной области не совпадает с границей ) и решение СЛАУ большой размерности, которые возникают при замене ДУ конечно-разностным.
Рассмотрим задачу Дирихле для уравнения Пуассона (для простоты двумерное уравнение Пуассона):
(1)
Граничное условие примем в виде:
(2)
Покрываем область сеткой: , (, ). Значение искомой функции в узлах заменяем значениями сеточной функции . Используем шаблон «крест». Заменяя производные в (1) разностными отношениями, получаем разностное уравнение
(3)
В уравнении (3) неизвестных столько, сколько узлов во множестве . Но часть из них определяется точно из граничного условия (2). Рассмотрим случаи различных .
1. Область - прямоугольник: , .
Строим сетку: (, , ), (, , ). Тогда разностная схема для задачи (1)-(2) такова:
, (4)
где , , .
Значения же сеточной функции в узлах, расположенных на границе расчетной области, можно найти из граничного условия (2):
,
, (5)
Итак, (4)-(5) – это СЛАУ относительно значений сеточной функции во внутренних узлах. В теории разностных схем доказывается, что решение построенной разностной задачи существует, а сама схема устойчива.
Как решать систему (4). Это система с разреженной матрицей коэффициентов. В принципе, можно применять как прямые, так и итерационные методы. Если размерность системы невелика, то вполне можно воспользоваться методом Гаусса. На практике же система (4) может содержать от сотен до сотен тысяч неизвестных и предпочтение отдают итерационным методам, которые менее требовательны к памяти компьютера и позволяют получить выигрыш в объеме вычислений. Итерации часто проводятся по методу Зейделя.
Для решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа (частный случай задачи (1)-(2) при ) одним из наиболее известных итерационных методов решения разностной задачи является метод релаксации. Каждое уравнение (4) разрешается относительно центрального узла . Для всех внутренних узлов (, ) задаются разумные начальные приближения (иногда ). На границе – (5). Уточнение производится по формулам:
(6)
, ; - номер итерации.
или для квадратной сетки ():
- формула «4». (7)
Для окончания процесса итерации можно ввести величину - максимальное отклонение сеточной функции во внутренних узлах для двух последовательных итераций. Итерации прекращают и выводят результат, если , где - заданная погрешность вычислений.
2. Область имеет криволинейную границу. В этом случае построение разностной схемы несколько усложняется. Каждому внутреннему узлу ставится в соответствие одно сеточное уравнение (4), а значения для граничных узлов находятся, например, переносом значения из ближайшей (по , по ли по нормали) точки границы . Погрешность аппроксимации будет величиной , где - расстояние от граничного узла до точки на границе , с которой переносятся значения функции. Но это грубый учет граничных условий, снижающий точность аппроксимации.
Для уменьшения погрешности аппроксимации граничного условия можно использовать линейную интерполяцию. Пусть - узловая граничная точка, - точка на границе , ближайшая к , - ближайший к внутренний узел (рис…..). Тогда:
. Для случая, изображенного на рис…., . Погрешность аппроксимации составляет величину .
Используются и другие способы аппроксимации граничных условий.
Переходим к построению явных и неявных разностных схем для нестационарных задач.
§ Сеточные методы для ДУ параболического типа
Во многом все то же самое, что и для уравнений эллиптического типа. Разностные схемы будем строить на примере однородного уравнения теплопроводности:
(8)
Тогда имеет смысл температуры, - времени. Далее для простоты будем полагать , чего можно достичь, введя новую временную переменную .
Т.е. требуется найти решение уравнения
(9)
т.е. распределение температуры вдоль стержня в любой момент времени, если известно распределение температуры в начальный момент времени :
при (10)
и известны законы изменения температуры в зависимости от времени (тепловые режимы) на концах стержня и :
при (11)
Задача (9)-(11) – начально-граничная (смешанная) задача.
Для уравнений параболического типа сложность сеточных методов заключается в том, чтобы избежать накопления погрешностей.
Как видно, область , на которой определена данная задача, представляет собой прямоугольник в системе координат , а ее граница состоит из отрезков прямых , , (отрезок к границе не относится).
Построим в полуполосе , прямоугольную сетку: (; - шаг по ), (; - шаг вдоль оси ). Совокупность узлов, лежащих на одной прямой при фиксированном , называют слоем. Введем обозначение для сеточной функции, приближающей непрерывную функцию в узлах сетки (т.е. это будет приближенное решение задачи (9)-(11)).
Конечно-разностные методы решения ищут сеточные решения путем замены входящих в уравнения непрерывных функций сеточными, а частных производные – их простейшими разностными аналогами, например правой, левой или центральной аппроксимацией первой производной:
(…)
(…)
(…)
а для второй производной наиболее естественно использовать симметричную формулу:
(…)
Конечно-разностные (сеточные) уравнения, заменяющие дифференциальное уравнение, плюс уравнения, аппроксимирующие на той же сетке начальные и граничные условия, называются разностными схемами. Совокупность узлов, значения сеточной функции в которых входят в разностную схему, называется шаблоном разностной схемы. Для рассматриваемой нами задачи (9)-(11) возможны следующие шаблоны разностных схем:
Явная двухслойная схема.
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED PBrush
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
EMBED Equation.2
2. Эпоха царствованния Николая II
3. Формы права (источники)
4. Мета роботи Ознайомитися з характеристиками та особливостями роботи тиристорів
5. Лечение Хирургическое лечение абсцесса твердого неба заключается в раннем разрезе до кости
6. Реферат- История государства и права Великобритании в новейшее время
7. а и logos ~ слово учение
8. Экономические ресурсы и понятие их редкости
9. Юность Большой Волги Направление- Науки об обществе Секция- 38
10. О БУХГАЛТЕРСКОМ УЧЕТЕ С 2013Г
11. Ege.ru. а агЕнт агронОмия акрОполь алкогОль алфавИт Амфора анАлог анАтом анонИм апокАлипсис
12. Иранское нагорье
13. Стратегическое планирование в управлении коммунальным комплексом
14. Історія мистецтв Викладач Возна Т
15. Лечение ожирения. уменьшение массы тела
16. Лекция 1 Предмет роль и функции философии 1
17. тема общества Собственность как основа экономической системы Экономические системы общества и их
18. Политические партии и партийные системы
19. методическое пособие по немецкому языку для студентов всех специальностей
20. Хворий на ішемічну хворобу серця не повідомив лікаря що у нього бувають напади бронхоспазму