тематики Модуль 2 Семестр- VІ Кількість годин- 2 ЛЕКЦІЯ 13 8384

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Міністерство освіти і науки України

Комунальний вищий навчальний заклад

«Бериславський педагогічний коледж імені В. Ф. Беньковського»

Херсонської обласної ради

Предмет: Основи початкового курсу математики Модуль № 2 Семестр: VІ Кількість годин: 2

ЛЕКЦІЯ № 13 (83-84)

Тема: Числові вирази, їх значення. Вирази зі змінними

Розглянуто і затверджено на засіданні предметної (циклової) комісії викладачів фізико-математичних дисциплін та нових інформаційних технологій Протокол № ___ від _________ 2013р. Голова предметної (циклової) комісії: _________________ Г. Ю. Шкворченко

м. Берислав

 Тема лекції: Числові вирази, їх значення. Вирази зі змінними

Студенти повинні знати:

1. поняття про числові вирази та вирази зі змінною (змінними);
2. означення області визначення виразу;
3. поняття «тотожності».

Студенти повинні вміти:

1. виконувати тотожні перетворення виразів;
2. знаходити область визначення виразу;
3. розпізнавати по записах вирази (числові та зі змінною), числові рівності, нерівності.

Тип лекції: тематична

Ключові поняття: елементарний вираз, вираз зі змінною, область визначення виразу, тотожність, числова рівність, числова нерівність.

План

1. Алфавіт математичної мови.
2. Числові вирази. Значення числового виразу.
3. Вирази зі змінною. Область визначення виразу.
4. Тотожні перетворення виразу. Поняття тотожності.
5. Числові рівності, властивості істинних числових рівностей.
6. Числові нерівності, властивості істинних числових нерівностей.

Основна література

1.  Кухар, В. М. Теоретичні основи початкового курсу математики [Текст] : навч. посібник для педучилищ / В. М. Кухар, Б. Л. Білий. – К. : Вища школа, 1987. – С. 76-87.
2.  Основи початкового курсу математики [Текст] : навчально-методичний посібник / укл. Л. М. Голець, О. О. Кислякова, І. А. Ляшенко, О. Г. Онуфрієнко. – Запоріжжя, 2010. –

С. 117-121.

1. Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики [Текст] : учеб. пособие для учащихся педучилищ / Л. П. Стойлова, А. М. Пишкало. – М. : Просвещение, 1988. – С. 242-252.

Інтернет-ресурси

1. Величина. Числові і буквені вирази, їх числове значення. Формули [Електронний ресурс] : математика 5 клас // Гіпермаркет Знань. – Режим доступу: http://school.xvatit.com/ index.php?title=%D0%92%D0%B5%D0%BB. – Назва з екрана.
2. Нерівності [Електронний ресурс] // Електронні посібники ВНТУ. – Режим доступу: http://posibnyky.vntu.edu.ua/web-m/tema19.html. – Назва з екрана.
3. Числові вирази [Електронний ресурс] // «Математика для всех» / учителя математики Гавруша Петра Федоровича. – Режим доступу: http://mathematics-pf.ru/uncategorized/celue. – Назва з екрана.
4. Числові вирази. Буквені вирази і їх значення. Формули [Електронний ресурс] // Школяр України. – Режим доступу: http://shkolyar.in.ua/chislivi-vyrazy. – Назва з екрана.

 Структура лекції

1.  Вступна частина:
2.  Оголошення теми, мети і завдань лекції.
3.  Ознайомлення з планом лекції, основною та додатковою літературою.
4.  Виклад лекційного матеріалу (згідно плану та вимог до лекції)

1. Алфавіт математичної мови

Математична мова будується за певними правилами з математичних знаків, що становлять її алфавіт. Алфавіт математичної мови, мови штучної, яка виникла у зв’язку з необхідністю точних, стислих формулювань математичних законів, правил, доведень, які повинні бути зрозумілі однозначно, включає математичні знаки (символи), які можна поділити на 5 класів:

1.  знаки об’єктів:
2.  цифри: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 (знаки нумерації для запису чисел у десятковій системі числення); I, V, X, L, X.D, M (знаки римської нумерації);
3.  букви латинського алфавіту: А, В, С, …, X, Y, Z; a, b, c, d, …, x, y, z (для позначення змінних, множин, елементів множин, висловлень, геометричних фігур, тощо);
4.  знаки операцій:
5.  знаки арифметичних дій: +, -, ×, : ;
6.  знаки піднесення до степеня і добування кореня:
7.  знаки перерізу і об’єднання множин: та інші;
8.  знаки відношень: <, =, >; ≤; ≥; ; ~ та інші;
9.  знаки відображень:
10.   – позначення функції;
11.   – симетрія відносно прямої, відносно центра;
12.  допоміжні знаки:
13.  дужки: { }, [ ], ( );
14.  кома: «,»; крапка з комою: «;».

Отже, є ще багато інших математичних символів. Історично символіка математики створювалась віками завдяки працям видатних вчених. Наприклад: Діофант (ІІІ ст.) ввів позначення змінних величин буквами; прописні букви латинського алфавіту ввів для позначень Р. Декарт (XVII ст.). Знак «дорівнює» (=) вперше ввів Р. Рекорд (XVI ст.), знаки «<», «>» – знаки нерівності, ввів англійський математик Гаріот, хоч самі поняття рівності і нерівності існували з далекої давнини.

Питання для узагальнення

1.  Що є алфавітом математичної мови?

2. Числові вирази. Значення числового виразу

Елементарний вираз – це будь-яке дійсне число.

Означення. Числовий вираз – це запис, що складається з чисел, з’єднаних знаками арифметичних дій. Н.: 3 + 7, 24 : 8, (25 + 3) · 2 – 17.

Кожне дійсне число є числовим виразом. Такі вирази називають елементарними. Якщо А і В є числові вирази, то А + В, А – В, А ·В, А :В також є числовими виразами.

Наприклад: записи 4 + 6, 45 : 5, 72 – 34, 25 · 4 є числові вирази, які називаються відповідно сума, частка, різниця, добуток.

Якщо в числовому виразі виконати всі зазначені дії, то дістанемо число, яке називається значенням числового виразу.

Означення. Число, отримане в результаті послідовного виконання дій, називається значенням числового виразу. Н.: 30 : 2 + 75 = 90 (90 є числовим значенням виразу).

Не будь-який числовий вираз має значення. Наприклад: вираз не має числового значення, бо ділення на нуль неможливе. Про такі вирази говорять, що вони не мають смислу.

З числовими виразами учні ознайомлюються ще у 1 класі. У 2 класі ці знання систематизуються при вивчені теми «Числові вирази». Учні вчаться читати, записувати, порівнювати вирази, обчислювати їх значення, записувати розв’язання задачі виразом.

Наприклад: називання (читання) і запис деяких виразів подано в таблиці:

Сума двадцяти і п’яти	20 + 5
Різниця чисел 18 і 9	18 – 9
Добуток трьох чисел, кожне з яких 6	6 · 6 · 6
Частка від ділення суми чисел 24 і 12 на 4	(24 + 12) : 4
Сума числа 16 з часткою чисел 8 і 2	16 + 8 : 2
Зменшуване виражене сумою чисел 39 і 17, від’ємник 16.	(39 + 17) – 16
Сума добутків чисел 15 і 2 та чисел 20 і 2	15 · 2 + 20 · 2

Отже, числовий вираз – це запис, що складається з чисел, сполучених знаками дій, і дужок, які вказують на порядок дій.

Питання для узагальнення

1.  Що називається числовим виразом?
2.  Що називається значенням числового виразу?

3. Вирази зі змінною. Область визначення виразу

Означення. Якщо записи складаються з чисел, знаків дій і букв, замість яких можна підставляти числа, то вони називаються виразами зі змінною. Буква у виразі, замість якої підставляються числа, називається змінною. Змінну можна позначити будь-якою буквою латинського алфавіту. Записи є виразами зі змінними. Якщо замість букви (змінної) підставляти числа, то будуть отримуватись різні числові вирази. Наприклад, розглянемо вираз зі змінною:  

Якщо , то маємо числовий вираз

якщо , то числовий вираз буде

Отже, змінна – це знак (символ), який можна заміняти числами. Числа, які можна підставляти замість змінної, називаються значеннями змінної, а множина таких чисел називається областю визначення даного виразу. Можна підставляти замість змінної тільки такі її значення, при яких отримується числовий вираз, який має смисл. Так у вираз не можна підставити замість х число 3, бо числовий вираз не буде мати смислу. Тобто областю визначення  даного виразу є множина .

В математиці розглядають вирази, які містять одну, дві, три і т.д. змінні. Наприклад:  тощо.

Отже, числові вирази утворюються з чисел, знаків дій та дужок, а у виразах зі змінними є ще і букви. Числові вирази, вирази зі змінною – це математичні слова, з яких утворюються математичні речення.

Питання для узагальнення

1.  Який вираз називається виразом зі змінною?
2.  Що називається областю визначення виразу зі змінною?

3. Тотожні перетворення виразу. Поняття тотожності

Означення. Два вирази називаються тотожно рівними, якщо при будь-яких значеннях змінної з області визначення виразів їх відповідні значення рівні.

Н.: і – тотожно рівні вирази.

Означення. Тотожність – це рівність, що містить у собі невідоме, позначене буквою і справедливе при будь-якому значенні цієї букви.

Н.: a + b = b + a – тотожність.

Рівність, яка правильна при будь-яких значеннях змінної, називається тотожністю.

Тотожностями є всі правильні числові рівності. Прикладами тотожностей є закони додавання, множення, правила віднімання, ділення: тощо. Тотожностями є правила дій з нулем і одиницею: тощо. Прикладами тотожностей є відомі формули скороченого множення: тощо.

Тотожні перетворення виразів – це заміна виразу тотожно рівним йому виразом.

Прикладами тотожних перетворень є:

а) розклад многочлена на множники різними способами – це винесення за дужки спільного множника, яке здійснюється на основі розподільного закону множення відносно додавання; групування, яке здійснюється на основі переставного і сполучного законів додавання; застосування формул скороченого множення тощо;

б) зведення подібних;

в) виконання дій з дробами; скорочення дробів або зведення дробів до спільного знаменника тощо.

В початковій школі виконують тотожні перетворення тільки числових виразів. Їх теоретичною основою є застосування законів множення, додавання, різних правил: додавання суми до числа чи числа до суми; віднімання суми від числа чи числа від суми та інших.

Наприклад.  

Отже, тотожностями є всі правильні числові рівності.

Питання для узагальнення

1.  Які вирази називаються тотожно рівними?
2.  Що називається тотожними перетвореннями виразів?

4. Числові рівності, властивості істинних числових рівностей

Означення. Числова рівність – це два числові вирази між якими стоїть знак дорівнює.

a = b – загальний вигляд числової рівності.

5 + 1 = 8 – 2 – істинна числова рівність.

Означення. Числова рівність істинна, якщо значення числових виразів, що стоять у лівій і правій частинах рівності, співпадають.

Властивості істинних числових рівностей:

Відношення «дорівнює» на множині R володіє властивостями:

1. рефлективності:  
2. симетричності:   
3. транзитивності:    .
4.  монотонність додавання:    .

(Якщо до обох частин істинної числової рівності а = в додати один і той самий числовий вираз с, що має смисл, то отримаємо також істинну числову рівність а + с = b + с, а = b => а + с = b + с).

Отже, це відношення є відношенням еквівалентності.

5) монотонність множення :    

(Якщо обидві частини істинної числової рівності а = в помножити на один і той самий числовий вираз с, що має смисл, то отримаємо також істину числову рівність ас = bс, а = b => ас = bс).

Питання для узагальнення

1.  Що називається числовою рівністю?
2.  Назвіть властивості істинних числових рівностей?

5. Числові нерівності, властивості істинних числових нерівностей

Нехай а і b – два числові вирази. З’єднаємо їх знаком > або <. Отримаємо речення а > b (а < b), яке називають числовою нерівністю.

Н.: 6 + 2 > 13 – 7 – істинна числова нерівність.

Означення. Два числові вирази а і b, сполучені знаками «>» (більше) або «<» (менше) називають числовою нерівністю:

a > b  або a < b – числові нерівності.

Наприклад. 45 > 23 + 12; 5 · 7 < 5 · 8; 200 < 300 – 100.

Нерівності – це також висловлення, які можуть бути істинними або хибними.

Властивості істинних числових нерівностей:

Відношення «менше» на множині R володіє властивостями:

1. антисиметричності:   ,
2. транзитивності:     ;
3. монотонність додавання:    ;

(Якщо до обох частин істинної числової нерівності а > b додати один і той самий числовий вираз с, що має смисл, то отримаємо також істинну числову нерівність а + с > в + с).

4) монотонність множення:    

(Якщо обидві частини істинної числової нерівності а > в помножити на один і той самий числовий вираз с, що має смисл і набуває додатне значення, то отримаємо істинну числову нерівність ас > bс).

5) монотонність множення:    

(Якщо обидві частини істинної числової нерівності а > b помножити на один і той самий числовий вираз с, що має смисл і набуває від’ємне значення, то, щоб отримати істинну числову нерівність, необхідно знак нерівності поміняти на протилежний ас < bс).

Питання для узагальнення

1.  Що називається числовою нерівністю?
2.  Назвіть властивості істинних числових нерівностей?

1.   Заключна частина

Загальний висновок

Числовий вираз – це запис, що складається з чисел, з’єднаних знаками арифметичних дій. Н.: 3 + 7, 24 : 8, (25 + 3) · 2 – 17.

Вираз зі змінною – це вираз, що містить у собі змінну, позначену латинською літерою.

Н.: 2а + 3, 3х – 5.

Числа, які можна підставляти замість змінної частини у вираз, називають значеннями змінної.

Область визначення виразу – це множина дійсних значень змінної, при якій вираз має зміст, тобто можна виконати усі арифметичні дії.

Н.: 3 – 4у – область визначення R.

; х – 3 ≠ 0, х ≠ 3, D.

У математиці розглядають вирази, які містять одну зміну, дві. три і т. д.

Вираз 3х + 4у містить дві змінні, 5х – (2у – 7z) – вираз із трьома змінними.

Числова рівність – це два числові вирази між якими стоїть знак дорівнює. a = b – загальний вигляд числової рівності

Числова рівність істинна, якщо значення числових виразів, що стоять у лівій і правій частинах рівності, співпадають.

Два числові вирази а і b, сполучені знаками «>» (більше) або «<» (менше) називають числовою нерівністю.

Запитання для узагальнення студентам

1.  Що є алфавітом математичної мови?
2.  Що називається числовим виразом?
3.  Що називається значенням числового виразу?
4.  Який вираз називається виразом зі змінною?
5.  Що називається областю визначення виразу зі змінною?
6.  Які вирази називаються тотожно рівними?
7.  Що називається числовою рівністю?
8.  Що називається числовою нерівністю?
9.  Сформулюйте властивості істинних числових рівностей і нерівностей?

Повідомлення домашнього завдання

1. Стойлова, Л. П. Основы начального курса математики [Текст] : учеб. пособие для учащихся педучилищ / Л. П. Стойлова, А. М. Пишкало. – М. : Просвещение, 1988. – С. 242-252.

Р. 4, § 14, п. 92 – 95, § 15, п. 96 – 98, впр. 3, 4 (С. 246), впр. 3 (С. 248), впр. 5 (С. 251).

1. Комплексное нормирование работ при изготовлении машины
2. географических факторов водосборов; построения зависимостей между годичными стоковыми характеристиками
3. Тема 2 Проектирование экономических информационных систем 1
4. Программирование и планирование при коллективном взаимодействии
5. У куклы день рождения
6. Реферат- Ортопедохірургічне лікування еквіноплосковальгусної деформації стопи при спастичному церебральному паралічі
7. на тему- Автотранспорт как основной источник загрязнения окружающей среды Исполнитель- студен
8. Статья- Генри Филлипс- легко ли поставить крест на отвертку с плоским жалом
9. Роботы
10. Экскурсия по Бульварному кольцу
11. БелРЦОКО от 18
12. Контрольная работа- Организация рабочего времени
13. Статья 11. Способы создания политической партии 1
14.  Рассмотрим вынужденные механические колебаний пружинного маятника на который действует внешняя вынуждаю
15. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата економічних наук Луганськ 2000
16. ТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ВСПЛЫТИЯ ПОДВОДНОЙ ЛОДКИ Введение Под словами математическая модель всплытия по
17. О классификации чрезвычайных ситуаций природного и техногенного характера ЧС природного и техногенно
18. профилактических учреждений ЛПУ вопросы ценообразования возникли совсем недавно а именно при переходе на
19. Реферат- Скоринговые системы в кредитовании физических лиц
20. UA Первая помощь при повреждении электрическим током

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе