Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Міністерство освіти і науки України
Комунальний вищий навчальний заклад
«Бериславський педагогічний коледж імені В. Ф. Беньковського»
Херсонської обласної ради
|
Предмет: Основи початкового курсу математики Модуль № 2 Семестр: VІ Кількість годин: 2 |
ЛЕКЦІЯ № 13 (83-84)
Тема: Числові вирази, їх значення. Вирази зі змінними
|
Розглянуто і затверджено на засіданні предметної (циклової) комісії викладачів фізико-математичних дисциплін та нових інформаційних технологій Протокол № ___ від _________ 2013р. Голова предметної (циклової) комісії: _________________ Г. Ю. Шкворченко |
м. Берислав
Тема лекції: Числові вирази, їх значення. Вирази зі змінними
Студенти повинні знати:
Студенти повинні вміти:
Тип лекції: тематична
Ключові поняття: елементарний вираз, вираз зі змінною, область визначення виразу, тотожність, числова рівність, числова нерівність.
План
Основна література
С. 117-121.
Інтернет-ресурси
Структура лекції
1. Алфавіт математичної мови
Математична мова будується за певними правилами з математичних знаків, що становлять її алфавіт. Алфавіт математичної мови, мови штучної, яка виникла у зв’язку з необхідністю точних, стислих формулювань математичних законів, правил, доведень, які повинні бути зрозумілі однозначно, включає математичні знаки (символи), які можна поділити на 5 класів:
Отже, є ще багато інших математичних символів. Історично символіка математики створювалась віками завдяки працям видатних вчених. Наприклад: Діофант (ІІІ ст.) ввів позначення змінних величин буквами; прописні букви латинського алфавіту ввів для позначень Р. Декарт (XVII ст.). Знак «дорівнює» (=) вперше ввів Р. Рекорд (XVI ст.), знаки «<», «>» – знаки нерівності, ввів англійський математик Гаріот, хоч самі поняття рівності і нерівності існували з далекої давнини.
Питання для узагальнення
2. Числові вирази. Значення числового виразу
Елементарний вираз – це будь-яке дійсне число.
Означення. Числовий вираз – це запис, що складається з чисел, з’єднаних знаками арифметичних дій. Н.: 3 + 7, 24 : 8, (25 + 3) · 2 – 17.
Кожне дійсне число є числовим виразом. Такі вирази називають елементарними. Якщо А і В є числові вирази, то А + В, А – В, А ·В, А :В також є числовими виразами.
Наприклад: записи 4 + 6, 45 : 5, 72 – 34, 25 · 4 є числові вирази, які називаються відповідно сума, частка, різниця, добуток.
Якщо в числовому виразі виконати всі зазначені дії, то дістанемо число, яке називається значенням числового виразу.
Означення. Число, отримане в результаті послідовного виконання дій, називається значенням числового виразу. Н.: 30 : 2 + 75 = 90 (90 є числовим значенням виразу).
Не будь-який числовий вираз має значення. Наприклад: вираз не має числового значення, бо ділення на нуль неможливе. Про такі вирази говорять, що вони не мають смислу.
З числовими виразами учні ознайомлюються ще у 1 класі. У 2 класі ці знання систематизуються при вивчені теми «Числові вирази». Учні вчаться читати, записувати, порівнювати вирази, обчислювати їх значення, записувати розв’язання задачі виразом.
Наприклад: називання (читання) і запис деяких виразів подано в таблиці:
|
Сума двадцяти і п’яти |
20 + 5 |
|
Різниця чисел 18 і 9 |
18 – 9 |
|
Добуток трьох чисел, кожне з яких 6 |
6 · 6 · 6 |
|
Частка від ділення суми чисел 24 і 12 на 4 |
(24 + 12) : 4 |
|
Сума числа 16 з часткою чисел 8 і 2 |
16 + 8 : 2 |
|
Зменшуване виражене сумою чисел 39 і 17, від’ємник 16. |
(39 + 17) – 16 |
|
Сума добутків чисел 15 і 2 та чисел 20 і 2 |
15 · 2 + 20 · 2 |
Отже, числовий вираз – це запис, що складається з чисел, сполучених знаками дій, і дужок, які вказують на порядок дій.
Питання для узагальнення
3. Вирази зі змінною. Область визначення виразу
Означення. Якщо записи складаються з чисел, знаків дій і букв, замість яких можна підставляти числа, то вони називаються виразами зі змінною. Буква у виразі, замість якої підставляються числа, називається змінною. Змінну можна позначити будь-якою буквою латинського алфавіту. Записи є виразами зі змінними. Якщо замість букви (змінної) підставляти числа, то будуть отримуватись різні числові вирази. Наприклад, розглянемо вираз зі змінною:
Якщо , то маємо числовий вираз
якщо , то числовий вираз буде
Отже, змінна – це знак (символ), який можна заміняти числами. Числа, які можна підставляти замість змінної, називаються значеннями змінної, а множина таких чисел називається областю визначення даного виразу. Можна підставляти замість змінної тільки такі її значення, при яких отримується числовий вираз, який має смисл. Так у вираз не можна підставити замість х число 3, бо числовий вираз не буде мати смислу. Тобто областю визначення даного виразу є множина .
В математиці розглядають вирази, які містять одну, дві, три і т.д. змінні. Наприклад: тощо.
Отже, числові вирази утворюються з чисел, знаків дій та дужок, а у виразах зі змінними є ще і букви. Числові вирази, вирази зі змінною – це математичні слова, з яких утворюються математичні речення.
Питання для узагальнення
3. Тотожні перетворення виразу. Поняття тотожності
Означення. Два вирази називаються тотожно рівними, якщо при будь-яких значеннях змінної з області визначення виразів їх відповідні значення рівні.
Н.: і – тотожно рівні вирази.
Означення. Тотожність – це рівність, що містить у собі невідоме, позначене буквою і справедливе при будь-якому значенні цієї букви.
Н.: a + b = b + a – тотожність.
Рівність, яка правильна при будь-яких значеннях змінної, називається тотожністю.
Тотожностями є всі правильні числові рівності. Прикладами тотожностей є закони додавання, множення, правила віднімання, ділення: тощо. Тотожностями є правила дій з нулем і одиницею: тощо. Прикладами тотожностей є відомі формули скороченого множення: тощо.
Тотожні перетворення виразів – це заміна виразу тотожно рівним йому виразом.
Прикладами тотожних перетворень є:
а) розклад многочлена на множники різними способами – це винесення за дужки спільного множника, яке здійснюється на основі розподільного закону множення відносно додавання; групування, яке здійснюється на основі переставного і сполучного законів додавання; застосування формул скороченого множення тощо;
б) зведення подібних;
в) виконання дій з дробами; скорочення дробів або зведення дробів до спільного знаменника тощо.
В початковій школі виконують тотожні перетворення тільки числових виразів. Їх теоретичною основою є застосування законів множення, додавання, різних правил: додавання суми до числа чи числа до суми; віднімання суми від числа чи числа від суми та інших.
Наприклад.
Отже, тотожностями є всі правильні числові рівності.
Питання для узагальнення
4. Числові рівності, властивості істинних числових рівностей
Означення. Числова рівність – це два числові вирази між якими стоїть знак дорівнює.
a = b – загальний вигляд числової рівності.
5 + 1 = 8 – 2 – істинна числова рівність.
Означення. Числова рівність істинна, якщо значення числових виразів, що стоять у лівій і правій частинах рівності, співпадають.
Властивості істинних числових рівностей:
Відношення «дорівнює» на множині R володіє властивостями:
(Якщо до обох частин істинної числової рівності а = в додати один і той самий числовий вираз с, що має смисл, то отримаємо також істинну числову рівність а + с = b + с, а = b => а + с = b + с).
Отже, це відношення є відношенням еквівалентності.
5) монотонність множення :
(Якщо обидві частини істинної числової рівності а = в помножити на один і той самий числовий вираз с, що має смисл, то отримаємо також істину числову рівність ас = bс, а = b => ас = bс).
Питання для узагальнення
5. Числові нерівності, властивості істинних числових нерівностей
Нехай а і b – два числові вирази. З’єднаємо їх знаком > або <. Отримаємо речення а > b (а < b), яке називають числовою нерівністю.
Н.: 6 + 2 > 13 – 7 – істинна числова нерівність.
Означення. Два числові вирази а і b, сполучені знаками «>» (більше) або «<» (менше) називають числовою нерівністю:
a > b або a < b – числові нерівності.
Наприклад. 45 > 23 + 12; 5 · 7 < 5 · 8; 200 < 300 – 100.
Нерівності – це також висловлення, які можуть бути істинними або хибними.
Властивості істинних числових нерівностей:
Відношення «менше» на множині R володіє властивостями:
(Якщо до обох частин істинної числової нерівності а > b додати один і той самий числовий вираз с, що має смисл, то отримаємо також істинну числову нерівність а + с > в + с).
4) монотонність множення:
(Якщо обидві частини істинної числової нерівності а > в помножити на один і той самий числовий вираз с, що має смисл і набуває додатне значення, то отримаємо істинну числову нерівність ас > bс).
5) монотонність множення:
(Якщо обидві частини істинної числової нерівності а > b помножити на один і той самий числовий вираз с, що має смисл і набуває від’ємне значення, то, щоб отримати істинну числову нерівність, необхідно знак нерівності поміняти на протилежний ас < bс).
Питання для узагальнення
Загальний висновок
Числовий вираз – це запис, що складається з чисел, з’єднаних знаками арифметичних дій. Н.: 3 + 7, 24 : 8, (25 + 3) · 2 – 17.
Вираз зі змінною – це вираз, що містить у собі змінну, позначену латинською літерою.
Н.: 2а + 3, 3х – 5.
Числа, які можна підставляти замість змінної частини у вираз, називають значеннями змінної.
Область визначення виразу – це множина дійсних значень змінної, при якій вираз має зміст, тобто можна виконати усі арифметичні дії.
Н.: 3 – 4у – область визначення R.
; х – 3 ≠ 0, х ≠ 3, D.
У математиці розглядають вирази, які містять одну зміну, дві. три і т. д.
Вираз 3х + 4у містить дві змінні, 5х – (2у – 7z) – вираз із трьома змінними.
Числова рівність – це два числові вирази між якими стоїть знак дорівнює. a = b – загальний вигляд числової рівності
Числова рівність істинна, якщо значення числових виразів, що стоять у лівій і правій частинах рівності, співпадають.
Два числові вирази а і b, сполучені знаками «>» (більше) або «<» (менше) називають числовою нерівністю.
Запитання для узагальнення студентам
Повідомлення домашнього завдання
Р. 4, § 14, п. 92 – 95, § 15, п. 96 – 98, впр. 3, 4 (С. 246), впр. 3 (С. 248), впр. 5 (С. 251).