Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Математика 1 курс СПб ГУТ Колледж телекоммуникаций
ДТО Занятие № 64 Понятие правильного многогранника 7
Занятие № 64 ПОНЯТИЕ ПРАВИЛЬНОГО МНОГОГРАННИКА
Определение. Выпуклый многогранник называется правильным, если все его грани равные правильные многоугольники и в каждой его вершине сходится одно и то же число рёбер.
Свойства.
Существует только пять типов правильных многогранников:
Каждая вершина додекаэдра является вершиной трёх правильных пятиугольников. Тогда сумма плоских углов при каждой вершине равна .
Теорема Эйлера. Для числа граней Г, числа вершин В и числа рёбер Р любого выпуклого многогранника справедливо соотношение Г+В-Р=2.
Пусто n – число рёбер каждой грани, а m – число рёбер сходящихся в каждой вершине. Так как каждое ребро принадлежит двум граням, то nГ=2Р. Каждое ребро содержит по две вершины, значит mВ=2Р. Из последних двух равенств и теоремы Эйлера составим систему
.
Решая эту систему, получим , и .
Найдём число вершин, рёбер и граней правильных многогранников:
Р=6, Г=4, В=4.
Р=12, Г=8, В=6.
Р=30, Г=20, В=12.
Р=12, Г=6, В=8.
Рассмотрим элементы симметрий правильных многогранников.
Правильный тетраэдр
Правильный тетраэдр (рис.1) не имеет центра симметрии.
Рис.1
Оси симметрий тетраэдра (рис.2) проходят через середины двух противоположных рёбер, таких осей симметрий три.
Рис. 2
Рассмотрим плоскости симметрий тетраэдра (рис. 3). Плоскость α, проходящая через ребро AB перпендикулярно ребру CD, будет являться плоскостью симметрии правильного тетраэдра ABCD. Таких плоскостей симметрий шесть.
Рис. 3
Симметрия куба
1. Центр симметрии — центр куба (точка пересечения диагоналей куба) (рис. 4).
2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер; шесть плоскостей симметрии, проходящие через противолежащие ребра (рис. 5).
Рис. 5
3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через центры противолежащих граней; четыре оси симметрии, проходящие через противолежащие вершины; шесть осей симметрии, проходящие через середины противолежащих ребер (рис. 6).
Рис. 6
Симметрия прямоугольного параллелепипеда
1. Центр симметрии — точка пересечения диагоналей прямоугольного параллелепипеда (рис. 7).
2. Плоскости симметрии: три плоскости симметрии, проходящие через середины параллельных ребер (рис. 8).
Рис.8
3. Оси симметрии: три оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих граней (рис. 9).
Рис. 9
Симметрия параллелепипеда
Центр симметрии — точка пересечения диагоналей параллелепипеда (рис. 10).
Рис. 10
Симметрия прямой призмы
Плоскость симметрии, проходящая через середины боковых ребер (рис. 11).
Рис. 11
Симметрия правильной призмы
1. Центр симметрии при четном числе сторон основания — точка пересечения диагоналей правильной призмы (рис. 12)
Рис. 12
2. Плоскости симметрии: плоскость, проходящая через середины боковых ребер; при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие ребра (рис. 13).
Рис. 13
3. Оси симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через центры оснований, и оси симметрии, проходящие через точки пересечения диагоналей противолежащих боковых граней (рис. 14).
Рис. 14
Симметрия правильной пирамиды
1. Плоскости симметрии: при четном числе сторон основания — плоскости, проходящие через противолежащие боковые ребра; и плоскости, проходящие через медианы, проведенные к основанию противолежащих боковых граней (рис. 15).
Рис. 15
2. Ось симметрии: при четном числе сторон основания — ось симметрии, проходящая через вершину правильной пирамиды и центр основания (рис. 16).
Рис. 16
Решение задач.
Решение.
Рис.17
Пусть данный правильный октаэдр, а - угол между рёбрами данного октаэдра, которые имеют общую вершину, но не принадлежат одной грани.
Рассмотрим четырёхугольник : , т.к. - правильный октаэдр. Тогда рассматриваемый четырёхугольник является ромбом.
Рассмотрим два треугольника и , эти два треугольника равны по двум сторонам и углу между ними. Значит .
Получили, что является ромбом и его диагонали равны, значит, он является и квадратом. Из чего следует, что =.
Контрольные вопросы и задания:
Рис. 18