Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Билет №1.
1. Векторная система координат. Положение точки М определено, если радиус-вектор r из центра О выражен функцией времени t r= r(t) задан способ определения модуля вектора и его направления, если имеется система координат. Скорость и ускорение: tr(t), тогда (t+Δt)r(t+Δt), получаем Δr= r(t+Δt)-r(t) Vср=Δr/Δt. V=lim(Δr/Δt)=dr/dt. aср=ΔV/Δt. a=lim(Δv/Δt)=dV/dt= d²r(t)/dt². Переход от векторной формы к координатной: r(t)=x(t)i+y(t)j+z(t)k. Обратно: x=r(t)×i, y=r(t)×j, z=r(t)×k. 2. Эквивалентность пар. Сложение пар. Условия равновесия пар сил. Эквивалентность: А) 2 пары, имеющие равные моменты, эквивалентны. Пару сил можно перемещать, поворачивать в плоскости действия, перемещать в параллельную плоскость, менять одновременно силу и плечо. Б) 2 пары, лежащие в одной плоскости, можно заменить на одну пару, лежащую в той же плоскости с моментом, равным сумме моментов этих пар. M=M(R,R)=BA×R=BA×(F1+F2)=BA×F1+BA×F2. При переносе сил вдоль линии действия момент пары не меняется BA×F1=M1, BA×F2=M2, M=M1+M2. СЛОЖЕНИЕ. 2 пары, лежащие в пересекающихся плоскостях, эквивалентны 1 паре, момент которой равен сумме моментов двух данных пар. Дано: (F1, F1), (F2, F2) Доказательство: Приведем данные силы к плечу АВ оси пересечения плоскостей. Получим пары: (Q1,Q1) и (Q2,Q2). При этом M1=M(Q1,Q1)=M(F1, F1), M2=M(Q2,Q2)=M(F2, F2). Сложим силы R=Q1+Q2, R=Q1+Q2. Т. к. Q1= - Q1, Q2= - Q2 R= -R. Доказано, что система двух пар эквивалентна системе (R,R). M(R,R)=BA×R=BA×(Q1+Q2)= BA×Q1+BA×Q2=M(Q1,Q1)+ M(Q2,Q2)=M(F1,F1)+ M(F2,F2) M=M1+M2. УСЛОВИЯ РАВНОВЕСИЯ: Система находится в равновесии, если суммарный момент всех пар сил, действующих на тело, равен нулю. M1+ M2+…+ Mn=0. |
Билет №2.
1. Декартова система координат. Вектор r можно разложить по базису I, j, k: r=xi+yj+zk. Движение материальной точки полностью определено, если заданы три непрерывные и однозначные функции от времени t: x=x(t), y=y(t), z=z(t), описывающие изменение координат точки со временем. Эти уравнение называются кинематическими уравнениями движения точки. Радиус-вектор r является функцией переменных x, y, z, которые, в свою очередь, являются функциями времени t. Поэтому производная r׳(t) может быть вычислена по правилу dr/dt=∂r/∂x∙dx/dt+∂r/∂y∙dy/dt+∂r/∂z∙dz/dt. Отсюда вытекает, что v=vxi+vyj+vzk. V=√(vx²+vy²+vz²) Ускорением точки в данный момент времени назовем вектор а, равный производной от вектора скорости v по времени. А=x׳׳(t)I+y׳׳(t)j+z׳׳(t)k. А=√((x׳׳(t))²+(y׳׳(t))²+(z׳׳(t))²) 2. Аксиомы статики.
Действие связей можно заменить действием сил реакций связи. |
Билет №3.
1. Естественный способ. Если задана траектория движения точки, выбрано начало и положительное направление отсчета и известна S=S(t) зависимость пути от времени, то такой способ задания движения точки называется естественным. V=dr/dt∙dS/dS=S׳(t)∙dr/dS=S׳(t)∙τ= =vτ∙τ. Dr/dS=τ. Τ направлена всегда в «+» направлении отсчета S. A=dv/dt=S׳׳(t)∙τ+S׳(t)∙dτ/dt=S׳׳∙τ+ (S׳)²n/ρ. Aτ=S׳׳-тангенциальное ускорение, an=(S׳)²/ρ-нормальное (центростремительное) ускорение, ρ-радиус кривизны. A=√((aτ)²+(an)²). 2. Векторный и алгебраический момент пары сил. Алгебраический момент M=F∙d (пара). M=dF1=dF2=2SΔABC= Sٱ. Он не меняется при перемещении сил вдоль линии их действия (ни плечо, ни направление вращения не меняются). Векторный момент вектор M=M(F,F), направлен перпендикулярно плоскости пары в ту сторону, откуда видно стремление пары повернуть тело против часовой хода стрелки, его модуль равен алгебраическому моменту пары. M(F1,F2)=BAxF1=ABxF2. Моменты относительно точки. Алгебраическим моментом силы F относительно точки О называется взятое со знаком «+» или «-» произведение |F| на её плечо: MO(F)=Fh=2SΔOAB ∙ MO(F). «+» - против часовой стрелки. Характеризует вращательный эффект F. Свойства: А) Не меняется при переносе точки приложения вдоль линии действия силы. (т.к. |F|sinα= const). Б) Ь=0 если т. О лежит на линии действия силы. Плоскость действия M через F и O. Векторный момент силы F относительно точки О вектор MO(F)=rxF (r радиус- вектор из А в О). |MO(F)|=|F|∙|r|∙sinα=Fh. i j k MO(F)= xA yA zA => Fx Fy Fz
MOz(F)=xFy-yFx |
Билет №4.
1. Полярные координаты Ox полярная ось, φ полярный угол, r полярный радиус. Если задан закон r=r(t), φ=φ(t), то задано движение в полярной системе координат. Пусть r=rºr, rº - единичный вектор, pº┴rº - единичный вектор. Тогда v=dr/dt=r׳rº+ rdrº/dt=r׳rº+rφ׳pº=vrrº+vppº. vp и vr трансверсальная и радиальная составляющая скорости. A=dv/dt=d(r׳rº+rφ׳pº)/ dt=r׳׳rº+r׳drº/dt+r׳φ׳pº+rφ׳׳pº+rφ׳∙ dpº/dt=(r׳׳-(rφ׳)²)rº+(rφ׳׳+2r׳φ׳)pº= ar∙rº+appº. r²=x²+y², φ=arctg(y/x). vr=r׳=(xvx+yvy)/r, vp=rφ׳=(xvy-yvx)/r 2. Т. о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил. Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом MO системы сил относительно точки О. Доказательство: Пусть О центр приведения. Переносим силы F1, F2,…,Fn в точку О: FO= F1 +F2+…+Fn= ∑Fk. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F1,F1”)…(Fn,Fn”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M1=M(F1,F1”)=r1xF1=MO(F1). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду MO=M1+…+M2=∑MO(Fk)= ∑rkxFk => (F1, F2,…,Fn) ~ (R,MO) (не зависит от выбора точки О). |
Билет №5.
1. Скорость точки в криволинейных координатах. V=dr/dt=(∂r/∂q1)∙dq1/dt+(∂r/∂q2)∙dq2/dt+(∂r/∂q3)∙dq3/dt. v=(dq1/dt)H1e1+(dq2/dt)H2e2+(dq3/dt)H3e3. v=√(dq1/dt)²H1²+(dq2/dt)²H2²+(dq3/dt)²H3². vq1=(dq1/dt)H1, vq2=(dq2/dt)H2, vq3=(dq3/dt)H3. Пример: 1) скорость в цилиндрической системе. Т.к. x=ρcosφ, y=ρsinφ, z=z, то H1=1, H2=ρ, H3=1. vρ=dρ/dt, vφ=ρdφ/dt, vz=dz/dt. 2) Движение по винтовой. ρ=R=const, φ=kt, z=ut. vρ=0, vφ=kR, vz=u. 2. Момент силы относительно оси. Момент силы относительно оси алгебраический момент проекции этой силы на ось, перпендикулярную оси z, взятого относительно точки A пересечения оси с этой плоскостью. Характеризует вращательный эффект относительно оси. Mz(F)=2SΔABC=F┴∙h. Если Mz(F)=0, то сила F либо параллельна оси z, либо линия её действия пересекает ось z. |
Билет №6.
1. Криволинейные координаты. Устанавливают закон выбора 3 чисел q1, q2, q3. q1, q2, q3 криволинейные координаты. Функция координат: r=r(q1,q2,q3) (из точки О). Возьмем точку М0 с координатами q1,q10,q20. X=X(q1,q20,q30); Y=Y(q1,q20,q30); Z=Z(q1,q20,q30); Определяют кривую (переменная только q1). Кривая координатная линия, соответствующая изменению q1 (аналогично q2 и q3). Касательные к координатным линиям, проведенные в точке M0 в сторону возрастания соответствующих координат координатные оси: [q1], [q2], [q3]. H1= Коэффициент Ламе. e1=(∂r/∂q1)/H1. Аналогично Н2, Н3, е2, е3. 2. Виды связей и их реакции. Связи ограничения, накладываемые на свободное твердое тело (занимает произвольное положение в пространстве). Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу.
Дополнительно: А) Скользящий; Б) Внутренний. |
Билет №7.
1. Число степеней свободы твердого тела n=3N-k, где n-число степеней свободы, N-число точек, к-число связей. n =6-для свободного тв.тела Для тела, кот-е совершает сферич.дв-е достаточно 3 коор-ты, поскольку оно имеет 3 степени свободы. 2. Лемма о параллельном переносе силы. Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F и F”. |F|=|F|=|F”|. F~(F,F,F”), т.к. (F,F”) ~ 0, то F ~ (F,F,F”) ~ (F,F,F”) ~ (F,M(F,F”)). Но M(F,F”)=BAxF=MB(F). Получаем: F ~ (F,M(F,F”)) Ч. т. д. |
Билет №8.
1. Поступательное движение. Существует 5 видов движения поступательное, вращательное вокруг неподвижной оси, плоское (плоскопараллельное), сферическое, общий случай. Поступательное движение твердого тела движение, при котором любая прямая этого тела при движении остается параллельной самой себе. Траектории любой точки тела, совершающего поступательное движение, одинаковы. Радиус вектор любой точки движущегося поступательно тела равен rB=rA+AB, AB=const. drB/dt=drA/dt+ dAB/dt=drA/dt => vB=vA, aB=aA 2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки. Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы F относительно произвольной точки О на этой оси. Доказательство: Пусть О произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ MO(F)┴(OAB). Пусть угол между MO(F) и осью z равен α. Тогда ПрzMO(F)=2SΔOAB= 2SΔOAB∙cosα => Mz(F) = |MO(F)|cosα. Ч.т.д. |
Билет №9.
1. Вращение вокруг неподв. оси. φ=φ(t) угол поворота, n=1 степень свободы. Для задания вращения вокруг неподвижной оси необходимо выбрать ось, начало отсчета угла поворота и его положительное направление и задать зависимость угла поворота от времени. ω=dφ/dt угловая скорость. ε=dω/dt= d²φ/dt² - угловое ускорение. Скорость любой точки тела, не лежащей на оси v=ωxr, ускорение a=dv/dt=(dω/dt)xr+ ωxdr/dt=εxr+ωx(ωxr), где aτ=εxr Частные случаи: 1) ω=const равномерное вращение (φ=φº+ωt ). 2) ε=const равноускоренное вращение (ω=ωº+εt, φ=φº+ωt+ εt²/2) 2. Основная теорема статики (теор. Пуансо): При приведении системы сил к заданому центру возникает главный вектор R равный сумме всех сил и главный момент Мо, равный сумме моментов всех сил относительно центра приведения. R=Fk Lo=Mo(Fk) |
Билет №10.
2. Инварианты системы сил. Частные случаи приведения. Инвариант системы сил векторные и скалярные величины, не зависящие от точки приведения системы сил.
Доказательство: Умножим обе части выражения (1) на R: MO1R= MOR+(O1OxR)R ПрR(LO1)= ПрR(LO)= LO1R∙ ∙cos(LO1^R)= LO2Rcos(LO2^R). LO1xRx+ LO1yRy +LO1zRz =LO2xRx +LO2yRy +LO2zRz Приведение к простейшему виду:
R0, MO0, MO┴ R к равнодействующей, равной R, проходящей через О1: ОО1=d= |MO| / |R|. Доказательство: R и пара сил с моментом MO лежат в одной плоскости силы R и R” уравновешиваются, систему можно заменить равнодействующей R.
Доказательство: Разложим MO на 2 составляющих: M1 и M2. M2 представим в виде пары сил R и R”. Силы R и R” уравновешиваются, а M1 перенесем в точку O1 (свободы). В результате получили винт R, M1, проходящий через точку О1. Прямая, проходящая через точку О1 ось динамы. |
Билет №11.
1. Соотн. между уск. 2-х точек при плоском движении. vB=vA+ωxAB. aB=dvB/dt=dvA/dt+(dω/dt)xAB+ ωx(dAB/dt)=aA+εxAB+ωx(ωx AB). Считая, что εхАВ=(aBA)τ; (aBA)n=ω²∙AB, окончательно получим: aB=aA+(aBA)τ+(aBA)n aA ускорение полюса; aBA ускорение движения вокруг полюса. 2. Сила трения скольжения. Законы Кулона для Fтр.ск.: 1)Сила трения скольжения лежит в интервале 0 Fтр Fмах; 2) Сила трения скольжения не зависит от площади соприкасающихся тел, а зависит лишь от силы давления этого тела на поверхность 3)Сила тр.скольжения опр-ся по ф-ле: Fтр=fN, N-сила реакции опоры =Р, f-коэф-т трения скольжения 4)Коэф-т трения скольжения завис.от шероховатостей пов-тей трущихся тел, от температуры, от физич.состояния материала. |
Билет №12.
1. МЦС. Способы нахождения. При плоском движении твердого тела в каждый момент времени существует точка, скорость которой равна нулю. vP=vO+vPO=0, vO=ω∙OP=>OP= vO/ω. Способы нахождения:
2. Трение качения. Коэффициент трения качения. Круглое тело вдавливается в опорную поверхность (дуга CD). Трение качения сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Полная реакция N опорной поверхности препятствует качению. Нам нужен момент сопротивления качению => заменим N и представим в виде Fтр. и N, приложенных в точке В, смещенной от центра на δ. Условия равновесия: N=P, F=Q. QmaxR=δN. Mтр.max=δ∙N. Момент сопротивления качению 0<Mк<Mк.max (не зависит от радиуса). Коэффициент трения качения δ при предельном состоянии равновесия (при Qmax) N (сила нормального давления) отстает на δ от вертикального радиуса. δ не зависит от материала, из которого сделано тело. Определяется экспериментально. |
Билет №13.
1. Вращение твердого тела вокруг неподвижной точки. Углы Эйлера. Движение твердого тела, у которого одна точка неподвижна, называется сферическим. Количество степеней свободы n=3. (XA, YA, ZA). Положение тела определяется с помощью углов Эйлера. Определение: свяжем с телом подвижную систему координат Oxyz. Плоскость xOy пересекает неподвижную плоскость x1Oy1 по прямой ОК линии узлов. Ψ угол прецессии; φ угол собственного вращения θ угол нутации. Все углы против часовой стрелке. Если заданы функции Ψ=f1(t); φ=f2(t); θ=f3(t) то движение полностью определено. 2. Условия равновесия для произвольной простр.системы сил, а также следствия из этих уравнений. R=0 и Lo=0 ур-я равновесия. Им соотв-ют 6 скалярных алгебраических ур-1 равновесия для простр.системы сил: Fkх=0 Fkу=0 Fkz=0 Мх(Fk)=0 Му(Fk)=0 Мz(Fk)=0 аналитическое условие равновесия для произвольной системы сил. Пусть все силы пл-ти хоу, тогда: Fkх=0 Fkу=0 Мо(Fk)=0 условие равновесия для произвольной плоской системы сил. Условие равновесия для плоской системы параллельных сил. Пустьсилы оси оу, тогда Fkх=0 Мо(Fk)=0 Условие равновесия для пространственной системы параллельных сил. F1, F2, F3,…,Fn оси оz, тогда: Fkz=0 Мх(Fk)=0 Му(Fk)=0 Вторая форма условия равновесия для пороизвольной плоской системы сил:МА(Fk)=0 МВ(Fk)=0 МС(Fk)=0 причем т.А, т,В, т.С одной прямой. - Докажем необходимость этих условий: Допустим, система сил нах-ся в равновесии. Тогда очевидно, что моментов всех сил относительно любой точки пл-ти=0, т.е. выполняются эти 3 условия. - Докажем достаточность этих условий: Доказать достоточность это значит доказать, что при выполнении этих усл-й система нах-ся в равновесии. Доказывать будем методом от противного, поэтому предположим, что эти усл-я выполняются, но система не нах-ся в равновесии, т.е. существует R*0 эквив.данной сист.сил. Рассмотрим усл-е первое и 2-е: для того, чтобы они выполнялись необходимо, чтобы R* проходил через т.А и т.В. Согласно третьему условию hR=0. Поскольку т.С прямой АВ это может выполняться только в случае R*=0, т.е. наше предположение не верно и система действительно нах-ся в равновесии. Третья форма усл-я равновесия для произвольной плоской системы сил. Fkz=0 МА(Fk)=0 МВ(Fk)=0 причем ось ох не перпендикулярна АВ. - Необходимость этого усл-я очевидна, т.к.если система нах-ся в равновесии, то главный вектор и главный момент =0 относительно любой точки. - Докажем достаточность этих условий: Предположим, что система не нах-ся в равновесии и сущ-ет, т.е. сущ-ет R* и R* 0 является равнодействующей данной системы сил. Для того, чтобы выполнялось усл-е 2 и 3 необходимо, чтобы R* проходил через АВ. Потребуем выполнения усл-я R*cos=0, поскольку х не перпендикулярна АВ , то R* должно быть равно 0, т.о. мы доказали, что эти усл-я достаточны для того чтобы система находилась в равновесии. На основании двух изложенных форм ур-й равновесия для плоской системы параллельных сил можно записать еще один вид ур-я равновесия для плоской системы параллельных сил: МА(Fk)=0 МВ(Fk)=0, АВ не параллельна F1, F2, F3,…,Fn |
Билет №14.
1. Опред. v 2-х точек с пом. МЦС. Зная положение МЦС и скорость какой-либо точки фигуры, можно найти скорости всех точек плоской фигуры. Пусть P МЦС и известна скорость какой-либо точки фигуры vА, тогда ω= vА/AP. vB= vАPB/PA. Соединив конец вектора vB с точкой Р, получим распределение скоростей вдоль отрезка РВ. 2. Теорема Вариньона. Если данная система сил имеет равнодействующую, то момент равнодействующей относительно произвольной точки О равен сумме моментов относительно той же точки. Пусть система сил (F1, F2,…,Fn) приводит к равнодействующей R, проходящей через точку С пересечения линий действия сил. Возьмем произвольную точку О, тогда: MO(R)=rxR=rx∑Fi=∑(rxFi)= ∑MOi(Fi). Ч. т. д.. |
Билет №15.
1. МЦУ. Способы нахождения. МЦУ точка плоской фигуры, ускорение которой в данный момент времени равно нулю. aQ=aA+aAQ=0. Угол между aQA и QA tgα=aBAτ/aBAn=ε/ω², aAQ=√aAQτ+aAQn=AQ√ ε²+ω4 1 способ нахождения МЦУ: Отложить от точки А под углом α=arctg(ε/ω²) к aA отрезок AQ=aA/√(ε²+ω4 в направлении круговой стрелки ε. 2 способ нахождении МЦУ основан на условии задачи если ускорение какой-либо точки по условию задачи равно нулю, то эта точка является МЦУ. 2. Лемма о параллельном переносе силы. Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F и F”. |F|=|F|=|F”|. F~(F,F,F”), т.к. (F,F”) ~ 0, то F ~ (F,F,F”) ~ (F,F,F”) ~ (F,M(F,F”)). Но M(F,F”)=BAxF=MB(F). Получаем: F ~ (F,M(F,F”)) Ч. т. д. |
Билет №16.
1. Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки. VA=ω×rA. Пусть точка М лежит на мгновенной оси вращения. i j k VM=ω×rM= ωx ωy ωz XM YM ZM X/ωx=Y/ωy=Z/ωz мгновенная ось вращения. aA=dv/dt=dω/dt×rA+ω×drA/dt=ε×rA+ω×vA=aAвр+aAос. aAвр= ε×rA вращательное ускорение точки. aAос= ω×vA осестремительное ускорение точки. Формула Ривальса: aAoc=ωvAsin(ω, vA). aвр направлен перпендикулярно плоскости (ε,r) в сторону, откуда переход от ε к r виден против часовой стрелки. aвр направлен по перпендикуляру к плоскости (ω,v). 2. Аналитические выражения для моментов силы относительно осей координат. i j k MO(F)= xA yA zA => Fx Fy Fz
MOz(F)=xFy-yFx |
Билет №17.
1. Скорости и ускорения точек тела при его свободном движении. Разложение общего вида движения на поступательное, связанное с точкой О и вращательное относительно О. Поступательное: X1o=f1(t); Y1o=f2(t); Z1o=f3(t). Вращательное: Ψ=f4(t); φ=f5(t); θ=f6(t). Таким образом, число степеней свободы при свободном движении твердого тела равно 6. ρA=ρо+rvA=dρ/dt+dr/dt=vo+ω×r. aA=dvA/dt=dvo/dt+dω/dt×r+ω×dr/dt=ao+ε×r+ω²r= ao+aAвр+aAос. 2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки. Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы F относительно произвольной точки О на этой оси. Доказательство: Пусть О произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ MO(F)┴(OAB). Пусть угол между MO(F) и осью z равен α. Тогда ПрzMO(F)=2SΔOAB= 2SΔOAB∙cosα => Mz(F) = |MO(F)|cosα. Ч.т.д. |
Билет №18.
1. Сложное движение точки. Основные понятия. Сложное движение движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную). Относительное движение движение точки по отношению к подвижной системе координат. Переносное движение движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи. 2. Центр системы параллельных сил. Формула для радиус-вектора и координат центра системы параллельных сил. Дано : F1 || F2 . R=F1+F2. MC(R)=MC(F1)+MC(F2)=0 F1∙CA1=F2∙CA2. Повернем F1 и F2 на угол α, при этом R повернется тоже на угол α. С центр параллельных сил. То же самое, если сил несколько и не по одной прямой. R=∑Fi, R||Fi (точка С принадлежит R) MO(R)=∑MO(Fi), rC×R=∑(ri×Fi). Введем единичный вектор e Fk=Fk∙e R=∑Fk∙e. rC×∑Fi∙e=∑ri×(Fi∙e). ∑FirC×e=∑Firi×e. (∑FirC-∑Firi)×e=0 rC=∑Firi/∑Fi. Координаты центра системы параллельных сил: XC=∑Fixi/R; YC=∑Fiyi/R; ZC=∑Fizi/r |
Билет №19.
1. Сложное движение точки. Основные понятия. Сложное движение движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную). Относительное движение движение точки по отношению к подвижной системе координат. Переносное движение движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи. Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести. Центр тяжести центр системы параллельных сил тяжести частиц тела. Его радиус-вектор rC=∑Piri/P. XC=∑Pixi/P; Yc=∑Piyi/P; ZC=∑Pizi/P Вес тела P=∑Pi, Pi сила тяжести частицы. Методы определения координат центра тяжести тела.
rC=(V1rC1+V2rC2+…+VnrCn)/V Отрицательные массы: rC=VсплrC-V1rC1-…-VnrCn, где Vk, rCk объемы и радиус-векторы пустот тела.
XC=(∫xdV)/V, YC=(∫ydV)/V, ZC=(∫zdV)/V |
Билет №20.
1. Сложное движение точки. Основные понятия. Сложное движение движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную). Относительное движение движение точки по отношению к подвижной системе координат. Переносное движение движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи. Опр-е ускорения точки в сложном движении VM=VO+[ ωr]+ Vr WM=d VM/dt=(d VO/dt)+[ εr]+[ ω(dr/dt)]+d Vr/dt dr/dt=[ ωr]+ Vr WM=Wo+[ εr]+ [ω[ωr]]+[ ω Vr]+ [ ωVr]+Wr d Vr/dt=[ ω Vr]+ Wr Wk=2[ω Vr] WM=WL+Wr+WK кинематическая теорема Кариолиса Абсолютное ускорение точки это есть сумма переносного ускорения, относительного ускорения и ускорения Кариолиса Переносное ускорение хар-ет измен-е переносной скорости в переносном движении. Относительное ускорение хар-ет изм-е относительной скоростив в относительном движении. Ускорение Кариолиса хар-ет изм-е относительной скорости в переносном движении Ускорение Кариолиса. Согласно правилу векторного произведения, вектор ускорения Кариолиса ┴ пл-ти, в кот-й лежат вектора ω и Vr и направлена в ту сторону,что с конца этого вектора кратчайшее совмещение первого вектора ко второму ω к Vr кажется видным против хода часовой стрелки. 2. Лемма о параллельном переносе силы. Сила, приложенная к какой-либо точке твердого тела, эквивалентна такой же силе, приложенной к любой другой точке тела, и паре сил, момент которой равен моменту данной силы относительно новой точки приложения. Доказательство: пусть дана сила F. Приложим к какой-либо точке В систему F и F”. |F|=|F|=|F”|. F~(F,F,F”), т.к. (F,F”) ~ 0, то F ~ (F,F,F”) ~ (F,F,F”) ~ (F,M(F,F”)). Но M(F,F”)=BAxF=MB(F). Получаем: F ~ (F,M(F,F”)) Ч. т. д. |
Билет №21.
1. Сложное движение точки. Основные понятия. Сложное движение движение по отношению к системе координат, выбранной за основную (абсолютную). Относительное движение движение точки по отношению к подвижной системе координат. Переносное движение движение подвижной системы координат относительно неподвижной. Установление связи между этими движениями позволяет решать различные задачи. Ускорение Кориолиса. Правило Жуковского. Полное ускорение точки А, участвующей в сложном движении aA=ar+ae+2ω×vr. Слагаемое aК=2ω×vr называется ускорением Кориолиса. aK=2ωvrsin(ω,vr). Частные случаи: А) ω0 смена знака Б) vr0 относительный покой (смена знака движения). В) sin(ω,vr)0, ω||vr. Правило Жуковского. Ускорение Кориолиса равно проекции относительной скорости на плоскость, перпендикулярную ω, увеличенной в 2ω раз и повернутой на 90° в направлении круговой стрелки ω. 2. Пара сил. ∑ моментов сил, составляющих пару. Пара сил система 2-х равных по модулю и противоположных по направлению сил, действующих на твердое тело. ∑F=0; ∑M≠0. Расстояние между линиями действия плечо d. Пара сил характеризуется плоскостью действия, моментом пары. ТЕОРЕМА: Векторный момент пары сил равен векторному моменту одной из её сил относительно другой. Доказательство: MO(F1)+ MO(F2)=rAxF1+ rAxF2= rAxF1- rBxF1=(rA-rB) x F1. Из сложения треугольником OA+AB=OB => AB=OB-OA => MO(F1)+ MO(F2)=ABxF1=MA(F1) => сумма моментов сил, составляющих пару, не зависит от положения точки, относительно которой берутся моменты. |
Билет №22.
1. Сложение вращений твердого тела вокруг пересекающихся осей. В случае вращательных относительного и переносного движений твердого тела, когда оси их вращений пересекаются в точке О, абсолютное движение будет сферическим движением вокруг точки О. ω=ωe+ωr. Скорость любой точки, лежащей на линии по которой направлен вектор ω v=ω×r=0. Скорость любой точки М тела в данном случае можно определить так: vM=ω×rM=(ωe+ωr)×rM=ve+vr. ve=ωe∙he; vr=ωr∙hr; v=ω∙h; где he, hr, h кратчайшие расстояния от точки М до соответствующих осей вращения. 2. Зависимость между главными моментами сил относительно 2 центров приведения. Главный момент системы сил относительно второго центра приведения О1 равен вектору главного момента системы сил относительно первого центра приведения О, плюс векторный момент главного вектора, приложенного в первом центре приведения относительно второго центра. Доказательство: Момент относительно любой точки O1 MO1=∑(rO1ixFi). Момент относительно первого центра приведения О MO=∑(rOixFi). Причем rO1i=O1O+rOi. MO1=∑(O1O+rO1)xFi=O1O∑Fi+ ∑(rOixFi)=MO+O1OxR= MO+MO1(R). MO1= MO+MO1(R) (1) |
Билет №23.
1. Определение ускорения точек плоской фигуры с помощью МЦУ. Зная положение МЦУ и ускорение какой-либо точки плоской фигуры можно найти ускорение всех точек плоской фигуры. Пусть известна величина и направление точки А aA плоской фигуры и МЦУ Q. Тогда ускорение любой другой точки B плоской фигуры будет лежать под углом α, равным углу между aA и QA против направления круговой стрелки ε.. Его величина aB=QB/√ε²+ωюбюб4=QBaA/ AQ. 2. Система сходящихся сил. Условия равновесия. Система сил называется сходящейся, если линии всех сил пересекаются в одной точке. Попарно поочередно сложим эти силы, перенесенные к точке пересечения. Тогда R=∑Fk главный вектор, так как R12=F1+F2, R13=R12+F3 и т. д. Rx=∑Fix R=√(Rx²+Ry²+Rz²), cos(x,R)=Rx/R аналитический способ задания. Условия равновесия. Система находится в равновесии когда главный вектор R=0. А) Векторная форма: R=∑Fk=0; Б) Аналитическая форма: Rx=Fkx=0, Ry=Fky=0, Rz=Fkz=0; В) Графическая форма: замкнут многоугольник сил. |
Билет №24.
1. Способы опред. угл. уск. При плоском движении.
Например, Y
B
C
A X Если известны по модулю aA и (aBA)n, то, проецируя векторное равенство aB=aA+(aBA)τ+(aBA)n на ось Ох, получим: εAB∙AB∙sinφ=aA+(ωAB)²∙AB∙cosφ 2. Трение качения. Коэффициент трения качения. Круглое тело вдавливается в опорную поверхность (дуга CD). Трение качения сопротивление, возникающее при качении одного тела по поверхности другого. Полная реакция N опорной поверхности препятствует качению. Нам нужен момент сопротивления качению => заменим N и представим в виде Fтр. и N, приложенных в точке В, смещенной от центра на δ. Условия равновесия: N=P, F=Q. QmaxR=δN. Mтр.max=δ∙N. Момент сопротивления качению 0<Mк<Mк.max (не зависит от радиуса). Коэффициент трения качения δ при предельном состоянии равновесия (при Qmax) N (сила нормального давления) отстает на δ от вертикального радиуса. δ не зависит от материала, из которого сделано тело. Определяется экспериментально. |
Билет №25.
1. Полная и локальная производная вектора. Формула Бура. Пусть задан вектор b(t)=bxi+byj +bzk в подвижной системе отсчета. Орты i, j, k не меняются в подвижной системе отсчета. Поэтому локальная производная d~b/dt=dbx/dt∙i+dby/dt∙j+dbz/dt∙k, а полная производная с учетом изменения также ортов i, j, k примет вид: db/dt= dbx/dt∙i+dby/dt∙j+dbz/dt∙k+bxdi/dt+ bzdj/dt+ bzdk/dt.= d~b/dt+ω×(bxi+ byj+bzk)= d~b/dt+ω×b. db/dt=d~b/dt+ω×b формула Бура. Частные случаи: А) ω=0db/dt= d~b; Б) Если вектор b не меняется в подвижной системе отсчета, то db/dt= ω×b; В) Если b все время параллелен вектору угловой скорости (ω×b=0), то db/dt= d~b. 2. Центр тяжести тела. Методы нахождения центра тяжести. Центр тяжести центр системы параллельных сил тяжести частиц тела. Его радиус-вектор rC=∑Piri/P. XC=∑Pixi/P; Yc=∑Piyi/P; ZC=∑Pizi/P Вес тела P=∑Pi, Pi сила тяжести частицы. Методы определения координат центра тяжести тела.
rC=(V1rC1+V2rC2+…+VnrCn)/V Отрицательные массы: rC=VсплrC-V1rC1-…-VnrCn, где Vk, rCk объемы и радиус-векторы пустот тела.
XC=(∫xdV)/V, YC=(∫ydV)/V, ZC=(∫zdV)/V |
Билет №26.
1. Пара вращений. При противоположных направлениях векторов ωe и ωr и равенстве их модулей (ωe = ωr), если условие ωe=-ωr выполняется на отрезке времени t2-t1, абсолютное движение будет поступательным. Такой случай сложения вращательных движений называется парой вращений. Действительно, ω=ωe+ωr= -ωr+ωr=0, и для любой точки тела справедливы соотношения: v=ωe×r1+ωr×r2=ωe×(r1-r2)=ωe×OeOr=ωr×OrOe; Следовательно, скорости всех точек тела в данном случае одинаковы и равны скорости поступательного движения. 2. Т. о приведении произвольной системы сил к силе и паре сил. Теорема Пуассо: Произвольная система сил, действующих на твердое тело, можно привести к какому-либо центру О, заменив все действующие силы главным вектором системы сил R, приложенным к точке О, и главным моментом MO системы сил относительно точки О. Доказательство: Пусть О центр приведения. Переносим силы F1, F2,…,Fn в точку О: FO= F1 +F2+…+Fn= ∑Fk. При этом получаем каждый раз соответствующую пару сил (F1,F1”)…(Fn,Fn”), Моменты этих пар равны моментам этих сил относительно точки О. M1=M(F1,F1”)=r1xF1=MO(F1). На основании правила приведения систем пар к простейшему виду MO=M1+…+M2=∑MO(Fk)= ∑rkxFk => (F1, F2,…,Fn) ~ (R,MO) (не зависит от выбора точки О). |
Билет №27.
1. Сложение вращений твердого тела относительно параллельных осей. Если оси вращательных движений тела параллельны, то вектор результирующей угловой скорости ω тела в неподвижной системе координат будет коллинеарен ωе и ωr. Положение мгновенной оси вращения тела как оси, проходящей в данный момент времени через точку Р МЦС в плоскости П, перпендикулярной осям вращений, можно определить из анализа: vrP=ωr×OrP, veP= ωe×OeP, Or, Oe точки пересечений П с соответствующими осями вращения. vP=veP+vrP=0 veP= - vrP veP= vrP ωrOrP= ωeOeP. В зависимости от взаимного расположения и численного значения векторов ωr и ωe можно выделить 3 случая сложения вращательных движений: А) При совпадении направлений векторов ωe и ωr абсолютное движение будет плоским. Абсолютная угловая скорость в этом случае будет иметь направление, совпадающее с направлениями её составляющих, а её модуль ω=ωr+ωe. Положение точки Р можно найти из пропорции ωe/OrP=ωrOeP=ω/OeOr. Скорость любой точки тела может быть найдена по формуле v=ω×PM. Б) При противоположных направлениях векторов ωe и ωr, когда ωr≠ωe, абсолютное движение будет плоским. Абсолютная угловая скорость имеет направление, совпадающее с направлением большей по модулю составляющей угловой скорости, а её модуль ω=|ωr-ωe|. Пропорции для нахождения точки Р имеют тот же вид, что и в пункте А. 2. Инварианты системы тел. Частные случаи приведения. Инвариант системы сил векторные и скалярные величины, не зависящие от точки приведения системы сил.
Доказательство: Умножим обе части выражения (1) на R: MO1R= MOR+(O1OxR)R ПрR(LO1)= ПрR(LO)= LO1R∙ ∙cos(LO1^R)= LO2Rcos(LO2^R). LO1xRx+ LO1yRy +LO1zRz =LO2xRx +LO2yRy +LO2zRz Приведение к простейшему виду:
R0, MO0, MO┴ R к равнодействующей, равной R, проходящей через О1: ОО1=d= |MO| / |R|. Доказательство: R и пара сил с моментом MO лежат в одной плоскости силы R и R” уравновешиваются, систему можно заменить равнодействующей R.
Доказательство: Разложим MO на 2 составляющих: M1 и M2. M2 представим в виде пары сил R и R”. Силы R и R” уравновешиваются, а M1 перенесем в точку O1 (свободы). В результате получили винт R, M1, проходящий через точку О1. Прямая, проходящая через точку О1 ось динамы. |
Билет №28.
1. Теорема о проекциях двух точек на линию, соединяющую эти точки. При любом движении проекции двух точек на линию, их соединяющую, равны. Док-во: rB=rA+AB => drB/dt = drA/dt+dAB/dt, но dAB/dt ┴ AB. Проецируем на линию АВ, учитывая, что dAB/dt ┴ AB: ПрАВ(vB)=ПрАВ(v)A+0. 2. Главный вектор, момент. Пусть дана система сил (F1, F2,…,Fn). Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил. R=∑Fk. Rx=∑Fkx; cos(x,R)= Rx/R; Ry=∑Fky; cos(y,R)= Ry/R; Rz=∑Fkz; cos(z,R)= Rz/R; Главный момент системы сил сумма моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения). Lx=∑Mx(Fk) |
Билет №29.
1. Скорости и ускорения точек тела при его вращении вокруг неподвижной точки. VA=ω×rA. Пусть точка М лежит на мгновенной оси вращения. i j k VM=ω×rM= ωx ωy ωz XM YM ZM X/ωx=Y/ωy=Z/ωz мгновенная ось вращения. aA=dv/dt=dω/dt×rA+ω×drA/dt=ε×rA+ω×vA=aAвр+aAос. aAвр= ε×rA вращательное ускорение точки. aAос= ω×vA осестремительное ускорение точки. Формула Ривальса: aAoc=ωvAsin(ω, vA). aвр направлен перпендикулярно плоскости (ε,r) в сторону, откуда переход от ε к r виден против часовой стрелки. aвр направлен по перпендикуляру к плоскости (ω,v). 2. Связь между моментом относительно оси и относительно точки. Момент силы F относительно оси z равен проекции на эту ось вектора момента силы F относительно произвольной точки О на этой оси. Доказательство: Пусть О произвольная точка на оси z. Момент силы F относительно точки О перпендикулярен плоскости ОАВ MO(F)┴(OAB). Пусть угол между MO(F) и осью z равен α. Тогда ПрzMO(F)=2SΔOAB= 2SΔOAB∙cosα => Mz(F) = |MO(F)|cosα. Ч.т.д. |
Билет №30.
1. Соотн. между уск. 2-х точек при плоском движении. vB=vA+ωxAB. aB=dvB/dt=dvA/dt+(dω/dt)xAB+ ωx(dAB/dt)=aA+εxAB+ωx(ωx AB). Считая, что εхАВ=(aBA)τ; (aBA)n=ω²∙AB, окончательно получим: aB=aA+(aBA)τ+(aBA)n aA ускорение полюса; aBA ускорение движения вокруг полюса. 2. Главный вектор, момент. Пусть дана система сил (F1, F2,…,Fn). Главным вектором системы сил называется вектор, равный векторной сумме этих сил. R=∑Fk. Rx=∑Fkx; cos(x,R)= Rx/R; Ry=∑Fky; cos(y,R)= Ry/R; Rz=∑Fkz; cos(z,R)= Rz/R; Главный момент системы сил сумма моментов сил относительно какого-либо полюса (центра приведения). Lx=∑Mx(Fk) |