Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Введение
координата декартовый плоскость геометрия
Аналитическая геометрия изучает свойства геометрических объектов при помощи аналитического метода, в основе которого лежит так называемый метод координат, впервые систематически примененный Декартом (французский математик и философ, 1596-1650).
Метод координат представляет собой глубокий и мощный аппарат, позволяющий привлекать для исследования геометрических объектов методы алгебры и математического анализа. Основные понятия геометрии (точки, прямые линии, плоскости) относятся к числу начальных понятий. Вводятся декартовы координаты точки на прямой, на плоскости и в пространстве. Из школьного курса геометрии эти понятия известны, как известны и некоторые сведения о векторах. Обобщим и дополним эти сведения. Векторная величина характеризуется не только своим численным значением, но и направлением. Физическими примерами векторных величин могут служить смещение материальной точки, скорость и ускорение этой точки действующая на эту точку сила. В отличие от векторных величин рассматриваются скалярные величины, каждая из которых характеризуется только численным значением (площадь, объем, длина). Свойства векторов и операции над ними позволяют получить уравнения прямой, плоскости и изучить их взаимное положение.
Целью настоящей работы является исследование кривых второго порядка. Задачи работы:
) изучение декартовых координат на прямой, на плоскости, в пространстве;
) характеристика основных понятий векторов и действий над ними;
) решение простейших задач методом координат;
) выявление геометрического смысла линейных неравенств с двумя переменными;
) анализ видов кривых второго порядка.
Декартовы координаты на прямой, на плоскости и в пространстве
Прямую линию с указанным на ней направлением, началом отчета и единицей масштаба назовем числовой осью. Каждому действительному числу Х на числовой оси соответствует единственное число, которое называется координатой данной точки.
Здесь числа х2>х1>0, х3<0.
х3, х1, х2, х - координаты точек Q, F, N, M соответственно. Записывают:
Q (х3), F (x1), N(x2), M (x).
Точки F и N ограничивают отрезок FN. Очевидно, его длина | FN | = х2- х1. Две взаимно перпендикулярные оси на плоскости с общим началом и одинаковой единицей масштаба образуют декартову прямоугольную систему координат на плоскости. Одна из осей - ось абсцисс Ох, другая - ось ординат Оу.
Рис.
Каждой точке плоскости соответствует единственная пара чисел х, у.
x, у называют координатами точки М и записывают М (х, у).
Рис.
В пространстве декартова прямоугольная система координат представляет собой совокупность трех взаимно перпендикулярных осей с общим началом и одинаковой единицей масштаба. Это ось абсцисс Ох, ось ординат Оу и ось аппликат Оz. Каждая точка пространства М имеет координаты х, у, z. Записывают:
М (х, у, z).
Вектор. Основные понятия. Действия над векторами
Вектором называется направленный отрезок
Будем обозначать вектор либо символом , где точки А и В - начало и конец направленного отрезка, либо символом (малая латинская буква с чертой).
Для обозначения длины вектора будем использовать символ модуля:
|| - длина вектора ,
|| - длина вектора .
Вектор называется нулевым (или нуль-вектором), если начало и конец его совпадают. Нулевой вектор не имеет определенного направления, длина его равна числу 0. Записывают: || = 0.
Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых. Если векторы и коллинеарны, то записывают: ||.
Два вектора называются равными, если они коллинеарны, имеют одинаковую длину и одинаковое направление. Записывают: =.
Понятно, что вектор можно переносить параллельно самому себе в любую точку пространства, т.е. изучаемые в геометрии векторы являются свободными.
Векторы называются компланарными, если они лежат в одной или в параллельных плоскостях.
Рис.
Рассмотрим векторы, совпадающие с ребрами куба.
Векторы и коллинеарны, но не равны.
Векторы , , , , компланарны, так как лежат в параллельных гранях.
Векторы , , равны: ==.
В квадрате MNKZ векторы , , ,, имеют одинаковые длины, но не равны. Если изменим направление у двух векторов, то можно утверждать, что = и =.
Рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами ромба ABCD.
Рис.
Здесь =, но №, №, хотя длины векторов, совпадающих со сторонами ромба, равны:
|| = || = || = ||.
Линейными операциями над векторами называют сложение векторов и умножение вектора на число.
Суммой + двух векторов и называется вектор , идущий из начала вектора в конец вектора при условии, что начало вектора совпадает с концом вектора . Записывают:
=+.
Рис. 1.Рис. 2.
Это правило называется "правилом треугольника" (рис. 1). Для сложения двух векторов можно использовать "правило параллелограмма" (рис. 2): если векторы и приложены к общему началу и на них построен параллелограмм, то суммой и этих векторов является вектор, совпадающий с диагональю параллелограмма, идущей из общего начала векторов и .
Сумму трех, четырех и большего числа векторов можно построить по "правилу многоугольника": начало каждого последующего вектора совмещают с концом предыдущего, а суммой всех векторов является вектор, идущий из начала первого вектора в конец последнего.
Рис. 3
На рис. 3 построена сумма четырех векторов +++.
Три вектора в пространстве можно складывать по "правилу параллелепипеда": если на трех векторах , ,, как на ребрах, построить параллелепипед, то его диагональ, выходящая из общего начала данных векторов, и будет их суммой (рис. 4):
=++.
Рис. 4
Произведением Ч вектора на число называется вектор , коллинеарный вектору , имеющий длину, равную ||Ч||, одинаково с вектором направленный в случае >0 и противоположно с ним направленный в случае <0. Записывают:
=Ч.
Когда =0, для любого вектора произведение Ч равно нуль-вектору:
Ч=.
Когда =1, 1Ч=.
Когда = -1, (-1)Ч=- - вектор, противоположный вектору .
Итак, при умножении вектора на число получаем вектор, коллинеарный данному. Поэтому, если известно, что =Ч, где - число, имеем два коллинеарных вектора и. Иначе говоря, равенство =Ч является условием коллинеарности векторов и.
Для примера рассмотрим векторы, совпадающие со сторонами треугольника АВС: =, =.
Рис.
Требуется выразить через векторы и вектор , где О - точка пересечения медиан треугольника.
Известно, что точка О пересечения медиан треугольника делит отрезок медианы в отношении 2:1, считая от вершины. Поэтому =2/3Ч, где точка D - середина стороны СВ.
Но вектор =1/2Ч=1/2Ч; =-1/2Ч.
В треугольнике САD вектор =+= -1/2Ч+.
Искомый вектор =-2/3(-1/2+)= 1/3Ч-2/3Ч.
Итак, =1/3Ч-2/3Ч. Заметим, что разность векторов и можно рассматривать как сумму вектора и вектора, противоположного вектору :
-=+(-1)Ч =+(-).
В нашем примере из треугольника САD можно получить вектор =-=1/2Ч-.
Если вектор умножить на число 1/||, получим так называемый единичный вектор вектора (или орт вектора ), который обозначается 0. Итак, орт вектора или единичный вектор вектора
0=1/||Ч=/||; |0|=1.
Принято единичные векторы на координатных осях Ох, Оу, Оz обозначать , , соответственно.
Линейные операции над векторами обладают теми же свойствами, что и линейные операции над матрицами. Укажем некоторые из них:
) +=+ - перестановочный закон сложения;
) +(+)=(+)+ - сочетательный закон сложения;
) Ч(Ч) = (Ч)Ч - сочетательный закон умножения на число;
) Ч(+)=Ч+Ч;
) (+)Ч=Ч+Ч - распределительные законы.
Рассмотрим координаты вектора, для чего перенесем вектор параллельно самому себе так, чтобы его начало совпало с началом координат. Пусть конец вектора - точка М.
Координатами вектора назовем координаты его конечной точки.
Рис. 5
Рис. 6
Так как координатами точки на плоскости являются два числа х и у, то на плоскости вектор задается двумя координатами.
Записывают: =(х, у) (рис. 5).
В пространстве вектор задается тремя координатами х, у и z.
Записывают: =(х, у, z) (рис. 6).
Нетрудно показать, что при сложении векторов складываются их соответствующие координаты, а при умножении вектора на число все его координаты умножаются на это число.
Если даны координаты векторов и =(х1, у1, z1), =(х2, у2, z2) и
=+; =-; =Ч,
то координаты векторов , , легко находятся:
=(х1+х2; у1+у2; z1+z2),
=(x1-x2; y1-y2; z1-z2),
=(Чх1; Чу1; Чz1).
На рис. 5 и рис. 6 видно, что длина вектора равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:
||=||=.
В плоском случае достаточно считать третью координату z равной нулю.
Если вектор ограничен двумя точками, координаты которых заданы: т. А (х1, у1, z1), т. В (х2, у2, z2), то легко найти координаты самого вектора .
Рис. 7
На рис. 7 видно, что вектор можно получить как разность векторов и , где т. О - начало координат:
=-,
=(х1, у1, z1), =(х2, у2, z2).
Тогда координаты вектора равны разности соответствующих координат конца и начала вектора:
=(х2-х1; у2-у1; z2-z1).
Расстояние между точками А и В вычислим как длину вектора :
|АВ|=||=.
Углом между векторами и назовем наименьший угол, на который надо повернуть один вектор до совпадения его с другим.
Рис.
Записывают ()=.
Покажем угол между вектором и координатной осью Ох, например. Обозначим этот угол через . Пусть =.
Рис.
Очевидно, что cos==.
Обозначим через , , углы между вектором и координатными осями Ох, Оу, Оz соответственно. Тогда
cos=, cos=, cos=.
Эти формулы определяют направляющие косинусы вектора и полностью задают направление вектора в пространстве. Направляющие косинусы вектора удовлетворяют условию:
cos2+cos2+cos2=1.
Это равенство легко получить, учитывая, что длина вектора
=.
В школьном курсе рассматривается еще одна операция над векторами - скалярное произведение векторов.
Скалярным произведением двух векторов называется число, равное произведению длин этих векторов на косинус угла между ними.
Обозначают скалярное произведение векторов и символами
Ч или (,).
Таким образом, по определению
Ч=ЧЧcos,
где - угол между векторами и .
Скалярное произведение обладает следующими свойствами:
. Ч=Ч
.
. (+)Ч=Ч+Ч
. Если векторы и взаимно перпендикулярны, то их скалярное произведение равно нулю (и наоборот), т. е. ^Ч=0.
Условие Ч=0 поэтому и называют условием перпендикулярности векторов.
. Ч=. Отсюда получают правило для вычисления длины вектора:
=
Если известны координаты векторов и , то легко показать, что скалярное произведение равно сумме произведений одноименных координат векторов, т. е. если =(х1, у1, z1) и =(х2, у2, z2), то
Ч=х1Чх2+у1Чу2+z1Чz2
Условие перпендикулярности тогда примет вид:
^x1Чx2+y1Чy2+z1Чz2=0
Пусть, например, даны векторы = (2, -1, 2), = (1, 0, 4), = (3, 4, -1).
Найдем скалярные произведения
Ч= 2 Ч 1 + (-1) Ч 0 + 2 Ч 4 = 10,
Ч=2 Ч 3 + (-1) Ч 4 + 2 Ч (-1) = 0,
Ч= 1 Ч 3 + 0 Ч 4 + 4 Ч (-1) = -1.
Мы обнаружили, что векторы и образуют прямой угол.
Используя определение скалярного произведения, можно вычислить угол между векторами по формуле
.
Простейшие задачи метода координат
При решении чисто геометрических задач используются формулы и правила, позволяющие вычислить длину отрезка или вектора, расстояние между точками, угол между векторами или осями, найти точку, делящую данный отрезок.
Рассмотрим эти задачи.
. Расстояние между точками
А (х1, у1, z1) и В(х2, y2, z2):
=.
Эта же формула позволяет вычислить длину вектора.
. Деление отрезка в данном отношении
Пусть в пространстве даны две точки М1 и М2. Говорят, что точка М делит отрезок М1М2. в отношении , если
Точка М делит отрезок М1М2 в отношении .
Точка N делит тот же отрезок М1М2 в отношении .
Видимо, при мы получим середину отрезка.
Если известны координаты начала М1 и конца М2 отрезка, то координаты точки М, делящей отрезок М1М2 в отношении , находят по формулам:
, ,
где т. М1(х1, у1, z1), т. М2(х2, у2, z2), т. М(х, у, z).
Координаты середины отрезка получают при :
Например, если т. А(-2, 3, 4), т. В(0, 1, -2), то координаты середины отрезка АВ получим из формул:
z=
Итак, точка С(-1, 2, 1) является серединой отрезка АВ.
. Угол между векторами вычисляется по формуле
cos .
. Условие перпендикулярности двух векторов: х1Чх2+у1Чу2+z1Чz2=0.
. Условие коллинеарности двух векторов:
Если векторы коллинеарны, то их соответствующие координаты пропорциональны.
Пример № 1.
Даны три вершины параллелограмма: А(4;2), В(5;7), С(-3;4). Найти четвертую вершину D, противолежащую вершине В.
Рис.
Для решения этой задачи воспользуемся свойством диагоналей параллелограмма: диагонали его, пересекаясь, делятся точкой пересечения пополам.
Пусть точка М - точка пересечения диагоналей параллелограмма АВСD.
Тогда точка М - середина отрезка АС; координаты точки М найдем из формул:
Итак, т. М(.
Но точка М является серединой и отрезка ВD. Поэтому верны равенства:
и .
; .
Из этих равенств находим координаты вершины D(-4, -1).
Проверить правильность решения можно, построив все вершины параллелограмма.
Рис.
Рис.
Пример № 2.
Найти центр тяжести треугольника, зная координаты его вершин: А(1;4), В(-5;0), С(-2;-1). Центр тяжести треугольника лежит в точке пересечения медиан, которая делит отрезок любой медианы в отношении 2:1, считая от вершины.
Точка М делит отрезок СD в отношении =2, а точка D - середина стороны АВ. ;
Середина стороны АВ - точка D(-2;2). Координаты точки М найдем, рассматривая отрезок СD.
Итак, центр тяжести треугольника лежит в точке М(-2,1).
Построим все точки и убедимся, что решение верно.
Рис.
Пример № 3.
Проверить, что четырехугольник, вершины которого находятся в точках А(5; 2; 6;), В(6; 4; 4), С(4; 3; 2) и D (3; 1; 4), есть квадрат.
Квадратом является четырехугольник, у которого стороны взаимно перпендикулярны и длины сторон равны.
Запишем координаты векторов, совпадающих со сторонами:
=(6-5; 4-2; 4-6)=(1; 2; -2)
=(4-6; 3-4; 2-4)=(-2; -1; -2)
=(3-4; 1-3; 4-2)=(-1; -2; 2)
=(5-3; 2-1; 6-4)=(2; 1; 2)
Проверим, выполняется ли условие перпендикулярности для каждой пары смежных сторон-векторов.
=1Ч(-2)+2Ч(-1)+(-2)Ч(-2)=-2-2+4=0, что и доказывает, что ^.
=(-2)Ч(-1)+(-1)Ч(-2)+(-2)Ч2=2+2-4=0, т. е. ^.
=(-1)Ч2+(-2)Ч1+2Ч2=0, т. е. ^.
=2Ч1+1Ч2+2Ч(-2)=0, т. е. ^.
Мы установили, что стороны четырехугольника взаимно перпендикулярны. Покажем, что и длины сторон его равны.
,
Итак, АВСD - квадрат. Заметим, что построением эту задачу не проверить, так как точки заданы не на плоскости, а в пространстве.
Уравнение линии. Прямая на плоскости
Одним из важнейших в аналитической геометрии является вопрос об уравнении линии на плоскости.
Всякая линия есть множество точек плоскости, координаты которых должны быть связаны некоторым условием. Это условие записывается в виде уравнения.
Определение. Уравнение F(х, у)=0 называется уравнением линии, если этому уравнению удовлетворяют координаты х и у любой точки, лежащей на линии, и не удовлетворяют координаты ни одной точки, не лежащей на этой линии.
В этом случае говорят: уравнение F(х, у)=0 определяет эту линию.
Пример № 4.
Показать, что уравнение х2+у2=r2 определяет окружность.
Окружностью называется множество точек плоскости, расстояние каждой из которых до данной точки постоянно. Пусть М(х, у) - любая точка плоскости. Расстояние этой точки от начала координат
Тогда уравнению х2+у2=r2 удовлетворяют только те точки, для которых r, т. е. точки, лежащие на окружности радиуса r с центром в начале координат. Если же точка не лежит на окружности, то расстояние r.
Итак, уравнению х2+у2=r2 удовлетворяют координаты любой точки окружности и не удовлетворяют координаты никакой точки, не лежащей на окружности. Значит, уравнение х2+у2=r2 определяет окружность при любом r>0.
Очевидно, уравнение (х-х0)2+(у-у0)2=r2 определяет окружность с центром в точке С(х0, у0) радиуса r>0.
Например, уравнение х2+(у+1)2=1 определяет окружность радиуса r=1 с центром в точке С(0; -1).
Простейшей линией является прямая на плоскости. Рассмотрим различные виды уравнения прямой.
1. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(х0,у0) перпендикулярно данному вектору = (А; В).
Рис.
Чтобы вывести уравнение прямой, возьмем на ней любую точку М(х, у), которая может по прямой перемещаться.
В любом случае вектор , ограниченный данной точкой М0(х0,у0) и произвольной точкой М(х, у), всегда лежит на прямой и поэтому перпендикулярен данному вектору (А; В). Найдем координаты вектора и запишем условие перпендикулярности векторов и .
^ЮА Ч (х - х0) + В Ч (у - у0) = 0.
Полученному уравнению удовлетворяют координаты любой точки прямой и не могут удовлетворять координаты точки, не лежащей на прямой (тогда условие перпендикулярности не будет выполняться).
А Ч (х - хо) + В Ч (у - у0) = 0 (1)
- уравнение прямой, проходящей через данную точку перпендикулярно данному вектору. Вектор (А; В) называют нормальным вектором.
В уравнении (1) раскроем скобки:
А Ч х + В Ч у + (-А Ч х0 - В Ч уо) = 0
Обозначим число - А Ч х0 - В Ч у0 = С. Уравнение прямой примет вид:
А Ч х + В Ч у + С = 0 (2)
Его называют общим уравнением прямой, а коэффициенты при х и у задают нормальный вектор .
Заметим, что уравнение прямой - уравнение первой степени с двумя переменными. Поэтому в аналитической геометрии прямую линию называют линией первого порядка.
. Уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(х0, у0) параллельно данному вектору =(m; n).
Рис.
Пусть М(х, у) - любая точка прямой. Тогда векторы и всегда коллинеарны. Запишем условие коллинеарности векторов ; у-у0) и =(m; n):
(3)
уравнение прямой, параллельной вектору =(m; n).
3. Уравнение прямой, проходящей через две данные точки М1(х1, у1) и М2(х2, у2)
Рис.
Для любой точки М(х, у) прямой векторы =(х - х1; у - у1) и = (х2 - х1; у2 -у1) всегда коллинеарны, а потому
(4)
искомое уравнение.
. Уравнение прямой с угловым коэффициентом.
Выведем уравнение прямой, проходящей через точку М0(х0, у0) под углом к оси абсцисс Ох.
Угол между прямой и осью Ох называют углом наклона прямой, а угловым коэффициентом k прямой называют тангенс угла наклона этой прямой, т. е. k =tg.
Рис.
Для любой точки М(х, у) прямой отношение равно , поэтому или у-у0=kЧ(х-х0).
Получили уравнение прямой, проходящей через данную точку М0(х0, у0) в заданном направлении
у-у0 = k Ч (х-х0) (5)
Здесь - угловой коэффициент прямой. Угол наклона
Если точка М0 - точка пересечения прямой с осью ординат Оу, то ее координаты х0= 0, у0= b. Уравнение принимает вид: у-b=kЧx, или
у = k Ч x + b (6)
уравнение прямой с угловым коэффициентом, b - начальная ордината прямой.
Рис.
. Угол между прямыми
Пусть даны две прямые своими общими уравнениями:
А1Чх+В1Чу+С1=0 и А2Чх+В2Чу+С2=0
Так как = (А1; В1) и - нормальные векторы данных прямых, то угол между прямыми равен углу между нормальными векторами и .
Если две прямые заданы уравнениями с угловым коэффициентом: и , то угол между ними удобнее вычислять по формуле:
доказательство которой легко усматривается из рисунка:
Рис.
Если прямые перпендикулярны, то 1 + k1 Ч k2 = 0 и .
Если прямые параллельны, то
k1 = k2.
Пример № 5
Проверить, что четыре точки А(-2;-2), В(-3;1), С(7;7) и D(3;1) служат вершинами трапеции, и составить уравнение высоты, опущенной из вершины А.
В трапеции две стороны параллельны, а две - нет. Составим уравнения каждой из четырех сторон по формуле (4).
Уравнение АВ:
или у+2=-3(х+2).
Уравнение ВС: ,
или у-1=.
Уравнение CD:
или у-7=.
Уравнение DА: ,
или у-1=.
Сравним угловые коэффициенты полученных прямых; они равны для прямых ВС и DA: .
ВС и DA - основания трапеции, АВ и СD - боковые стороны ее.
Высота трапеции перпендикулярна основанию, и угловой коэффициент прямой, совпадающей с высотой, равен . Составим уравнение прямой, проходящей через точку А(-2,-2) с угловым коэффициентом k= по формуле (5):
у+2= или 5х+3у+16=0.
Построением убедимся в правильности решения.
Рис.
Обзор кривых второго порядка
Прямая на плоскости является линией первого порядка, так как определяется уравнением первой степени с двумя переменными. Рассмотрим кривые второго порядка, то есть линии, определяемые в декартовых координатах уравнениями второй степени. Установлено, что таких линий всего четыре: окружность, эллипс, гипербола и парабола.
В п. 4 было получено уравнение окружности с центром С(х0, у0) и радиусом r:
(х-х0)2 + (у-у0)2 = r2 (7)
Из этого уравнения можно получить так называемое общее уравнение окружности: x2+y2+mЧx+nЧy+p=0. Заметим, что коэффициенты при х2 и у2 в уравнении окружности одинаковы. Если же в уравнении коэффициенты при х2 и у2 будут разными по величине, но одного знака, то такое уравнение будет определять эллипс.
Простейшее (каноническое) уравнение эллипса имеет вид:
(8)
Чтобы построить такой эллипс, отметим точки пересечения эллипса с осями координат: А1(a, 0), А2(-а, 0), В1(0, b), В2(0, -b), называемые вершинами эллипса. Расстояние между вершинами |А1А2|=2а и |В1В2|=2b называют осями, а числа а и b - полуосями эллипса (а>0, b>0). Из уравнения (8) эллипса видно, что эллипс - фигура, симметричная относительно обеих осей и начала координат. Для точного построения эллипса используем определение:
Эллипсом называется множество точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух данных точек F1 и F2, называемых фокусами, есть величина постоянная.
Фокусы F1(c, 0) и F2(-c, 0) построим, учитывая,
что (при а>b).
По определению сумма остается постоянной для любой точки М(х, у) эллипса.
Рис.
Если центр симметрии эллипса расположен в точке С(х0, у0) и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение эллипса:
(9)
Рис.
В школьном курсе гипербола рассматривается как график обратной пропорциональной зависимости .
Рассмотрим более общий случай гиперболы, начав с ее определения:
Гиперболой называется множество точек плоскости, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек есть величина постоянная. Простейшее (каноническое) уравнение гиперболы имеет вид:
(10)
Как видно, коэффициенты при х2 и у2 имеют разные знаки.
Числа а и b (а>0 и b>0) называются полуосями гиперболы.
Точки А1(а,0), А2(-а,0), В1(0,b) и В2(0,-b) называют вершинами гиперболы.
Построим прямоугольник со сторонами, проходящими через вершины А1, А2, В1, В2 параллельно координатным осям. Диагонали этого прямоугольника называют асимптотами гиперболы. Очевидно, уравнения асимптот
и
Через вершины А1(а, 0) и А2(-а, 0) проведем теперь две симметричные относительно координатных осей ветви гиперболы так, чтобы по мере удаления от центра симметрии - точки О(0,0) - они приближались бы к асимптотам, но не пересекали бы их.
Рис.
Если же центр симметрии гиперболы расположен в точке С(х0, у0) и оси симметрии параллельны координатным осям, то уравнение гиперболы имеет вид:
,
Укажем, что гипербола является и графиком дробно-линейной функции .
Параболу в школьном курсе рассматривают как график квадратного трехчлена у=ах2+bх+с.
Выделяя из квадратного трехчлена полный квадрат, это уравнение легко привести к виду
(х-х0)2=±2рЧ(у-у0) (11)
Здесь точка С(х0, у0) - вершина параболы, ось симметрии параллельна Оу. Коэффициент р(р>0) называют параметром параболы. Знак плюс перед коэффициентом 2р соответствует параболе, ветви которой направлены вверх, знак минус - вниз.
Рис.
Можно рассмотреть параболу с осью симметрией, параллельной оси Ох. Ее уравнение имеет вид
(у-у0)2 = ±2р Ч (х-х0). (12)
Рис.
Отметим, что уравнение параболы содержит квадрат только одной переменной: либо х (формула 11), либо у (формула 12).
Дадим определение, которое часто фигурирует как определение параболы. Параболой называется множество точек плоскости, равноудаленных от данной прямой и от данной точки.
Заключение
В основу метода координат положены две идеи:
- введение переменной величины.
Переменная - величина, которая принимает различные значения. Чаще всего обозначается буквами латинского алфавита: х, у, z и т.д.
Аргумент функции - независимая переменная. Это произвольный элемент из области определения. Обозначается обычно буквой х латинского алфавита. Зависимость переменной у от переменной х называется функцией, если каждому значению х соответствует единственное значение у. При этом используют запись у = f (х);
- использование прямолинейных (декартовых) координат.
Возьмем две взаимно перпендикулярные координатные прямые Ох и Оу с равными единичными отрезками. Точка пересечения координатных прямых О называется началом координат, координатная прямая Ох - осью абсцисс, а Оу - осью ординат. Т.о., мы задали систему координат. Плоскость, на которой задана система координат, называется координатной плоскостью.
Возьмем точку А координатной плоскости и проведем через нее прямые l1 и l2, параллельные координатным осям. Абсциссой точки А называется число, которое соответствует точке пересечения прямой l1 и оси абсцисс. Ординатой точки А называется число, которое соответствует точке пересечения прямой l2 и оси ординат. Упорядоченная пара (х; у) называется координатами точки А в прямоугольной декартовой системе координат.
В заключение обзора кривых второго порядка отметим, что эти линии часто встречаются в различных вопросах естествознания. Например, движение материальной точки под воздействием центрального поля силы тяжести происходит по одной из этих линий. Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы широко используется в инженерном деле. В частности, оптические свойства параболы используется при конструировании прожекторов, антенн, телескопов. Такие термины, как «эллиптическая орбита», «эллипсоид инерции», «параболическая траектория», «параболическое зеркало» и т.д., убеждают в широком применении кривых второго порядка.
Список использованной литературы
.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. - 2-е изд. - М., 2004.
.Беклемишева Л.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре / Л.А. Беклемишева, А.Ю. Петрович, И.А. Чубаров. - 2-е изд. - М., 2007.
.Бугров Я.С. Высшая математика. Задачник / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - 2-е изд. - М., 2010.
.Бугров Я.С. Элементы линейной алгебры и аналитической геометрии / Я.С. Бугров, С.М. Никольский. - 2-е изд. - М., 2004.
.Высшая математика для экономистов / Под ред. Н.Ш. Кремера. - 2-е изд. - М., 2008.
.Декарт Р. Избранные произведения. М., 1950.
.Ильин В.А. Линейная алгебра / В.А. Ильин, Э.Г. Позняк. - 2-е изд. - М., 2011.
.Кривич М., Ольгин О. Мастерские науки. - 2-е изд. - М., 2004.
.Кузнецов Б.Т. От Галилея до Эйнштейна. - 2-е изд. - М., 2006.
.Лятоер Д.А. Декарт. М., 1975.
.Меркулов И.П. Гипотетико-дедуктивная модель и развитие научного знания. - 2-е изд. - М., 2010.