Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Всякая периодическая функция (P -периоды), удовлетворяющая условию Дирихле (функция должна быть ограниченной, кусочно–непрерывной и иметь на периоде конечное число экстремумов на периоде) м.б. представлена в виде Ряда Фурье: (1.1.) , частота функции , где Т 1 – период функции , СK – постоянный коэффициент.
В качестве базовых функций, функций по которым производится разложение в ряд Фурье, используются комплексные гармонические функции вида , где k- целочисленный параметр.
Эти функции ортогональны на интервале T1, соответственно интеграл на этом промежутке от произведения двух функций с параметрами k=n, k= - m равен 0, если
(1.2)
Здесь t0 некоторое начальное значение аргумента Т.
Значение коэффициента СK Ряда 1.1. можно найти если обе части равенства 1.1 домножить на и проинтегрировать на промежутке Т1.
(1.3.)
Поскольку подынтегральная функция изменяется с периодом Т1, то значение интеграла за период, а следовательно и коэффициент не зависит от начального аргумента t0.
Обычно интегрирование ведут от 0 т.е. t0 =0 до Т1 или -Т1/2 до Т1/2
Тогда (1.1) и (1.3) можно записать в виде одного соотношения.
,(1.4.) (Обобщенный ряд Фурье) где T1 – период ,.
Ряд Фурье (1.4.) будем использовать для представления функций времени, однако понятно, что этот ряд справедлив для функций аргумента имеющего любую физическую или математическую природу.
Ряд Фурье (1.4) справедлив для периодических сигналов, но на его основе можно вывести соотношение для непериодических сигналов. Действительно, непериодический сигнал можно представить как частный случай периодического (). При этом частота , следовательно, обозначим как дифференциал df.
Частота отдельной гармоники в этом случае будет играть роль отдельной частоты (мгновенной) , а сумма гармоник перейдет в интеграл по этой частоте, в результате для не периодичной функции получим:
- преобразование (интеграл) Фурье для непериодической функции.
где T1→∞ - период «соответствующий» φ(t) функции φp(t)
Тогда прямое преобразование Фурье принимает вид:
,
а обратное преобразование Фурье принимает вид:
,
Прямое и обратное преобразование Фурье справедливо для ф-ции с ограниченной энергией
где φ(t) должно удовлетворять условию .
Основные свойства преобразования Фурье (ПФ):
1. свойство суммирования.
Преобразование Фурье – линейное преобразование. Отсюда следует, что ПФ линейные комбинации некоторых функций равно аналогичные линейные комбинации ПФ этих функций, т.е.
2. Свойство смещения функций.
при смещении функции φ(t) по аргументу t0 преобразование Фурье умножается по . Действительно, произведя замену переменной t=t+t0, получим:
3. Свойство изменения масштаба аргумента функции.
если аргумент t функции φ(t) заменить на at, где a – постоянный коэффициент, то ПФ φ(t) с (f) изменится на (1/|a|)(f/a). Это следует из простых преобразований: осуществив замену t=at, получим:
.
4. перемножение функций
ПФ произведения двух функций φ1(t)φ2(t) равно свертке ПФ, т.е.
. Это свойство доказывается путем использования ОПФ и изменения порядка интегрирования:
5.Свертывание функций
ПФ свертки двух функций равно свертываемых функций 1(f)2(f). Это свойство может быть кратко записано в виде:
6. При дифференцировании функции φ(t) ее ПФ (f) умножается на j2f:
для доказательства используется формула интегрирования по частям:
Первое слагаемое в правой части равенства равно нулю, т.к. функция, для которой существует ПФ, стремиться к нулю при стремлении аргумента .
7. при интегрировании от -∞ до ∞ функции и имеющей равную нулю постоянную составляющую, ее ПФ делится на j2f. Применяя формулу интегрирования по частям, получим выражение
при выполнении условия
8.Обратимость преобразования Фурье
Преобразование Фурье обратимо с точностью до знака аргумента. Это «видно» из того, что формулы для ПФ и ОПФ похожи. Производя в этих формулах замену переменных (частоты и времени) f=t и t=f,что, ели , то и .
Для четно-симметричных функций, когда ПФ также будет четно-симметричным