тематичні методи наукових досліджень і сучасне природознавство

Работа добавлена на сайт samzan.net:

1.  Математичні методи наукових досліджень і сучасне природознавство. Сучасні тенденції розвитку математичної освіти у середній і вищій школі.

У наш час спектр наукових досліджень у природознавстві незвичайно широкий. Сучасне природознавство – це єдина система, компоненти якої (природничі науки) є настільки тісно взаємозалежними, що випливають друг із друга, тобто представляють справжню єдність. Необхідна для такого природознавства математика починається з найпростіших вимірів. У міру свого розвитку точне природознавство використовує усе більше доконаний арсенал математики. Можна прийти до висновку, що математика – це «цемент», що зв’язує воєдино науки, що входять у природознавство й дозволяє глянути на нього як на цілісну науку. Без логічного апарата математики не обійдеться жодна наука.

Досвід розвитку сучасного природознавства показує, що на певному етапі розвитку природно наукових дисциплін неминуче відбувається їх математизація, результатом якої є створення логічно струнких формалізованих теорій і подальший прискорений розвиток дисципліни.

У прикладних аспектах гуманітарних наук доцільно використовувати математичні методи. Математичний апарат теорії ймовірностей дає можливість вивчати масові явища в соціології, лінгвістиці. Математичні методи відіграють важливу роль при обробці статистичних даних, моделюванні.

Моделювання - метод наукового пізнання, що грунтується на вивченні реальних об'єктів за допомогою вивчення моделей цих об'єктів, тобто за допомогою вивчення більш доступних для дослідження і (або) втручання об'єктів-заступників природного або штучного походження, що володіють властивостями реальних об'єктів.

Математичне моделювання широко використовується там, де експериментальні дослідження трудомісткі і дорогі, або взагалі неможливі (наприклад, у вивченні соціальних явищ). Крім завдання про прогноз, математичне моделювання допомагає класифікувати і систематизувати фактичний матеріал, побачити існуючі зв'язки в мозаїці фактів. Це випливає з того, що модель є специфічним-яскравим і виразною мовою, призначеним для опису для опису досліджуваного об'єкта або явища.

Шкільна математична освіта нашої країни пройшла складний шлях становлення та розвитку. Ця проблема має глибокі історичні корені, пізнання яких може бути корисним на сучасному етапі реформування шкільної математичної освіти.

Особливого розвитку набула шкільна математична освіта в 50 – 60 рр.Створити уявлення про рух реформи того часу допомагають матеріали доповідей Міжнародної комісії з математичної освіти, наданих Московським (1966 р.) міжнародним конгресом математиків. Значну роботу проведено в цей період щодо модернізації шкільної математичної освіти. Важливим чинником діяльності було створення в 1964 році комісії  АН СССР і АПН СССР з визначення змісту математичної освіти на чолі з Андрієм Миколайовичем Колмогоровим.  Особливу увагу комісією було приділено переходу школи на нові програми. Найважливіші сторони складеної програми з математики для І–ІІІ класів: 1) навчальний предмет арифметика перейменувати на математика; 2) початковій школі повернути чотирирічний термін навчання; 3)у нову програму 1969 року включити набагато більше геометричного матеріалу.

Вилучення з нової програми для ІV–Х класів низки тем можливо розглядати як розвантаження її, але зникають ті питання, які стають провідними в розвитку шкільної математичної освіти. Реформу 60–70-х років у СССР називали «колмогоровською». У цей період діяльність А.М. Колмогорова була занадто інтенсивною. 5 грудня 1978 року розвиток усіх кращих традицій вітчизняної математичної освіти , закладених А.М. Колмогоровим, був перерваний під час обговорення на Відділенні математики АН СССР, проте основні контури, які накреслив академік, збереглися й набувають особливої актуальності в наш час.

Розвиток шкільної математичної освіти за часи незалежності залишається складним і суперечливим. Посилення гуманістичного спрямування змісту природничо-математичної підготовки, про яке йдеться мова в Державній програмі «Освіта» («Україна XXI століття»), у Законі України «Про освіту», у Концепції національної системи освіти ще не через один рік досягне своєї вершини. Система освіти, що існує в Україні, і суспільство в цілому не готові до сприйняття відповідної точки зору на місце математики в навчанні кожного окремого учня. Якою б не була стратегія нової реформи шкільної математичної освіти, вона не може бути успішною без урахування історико-педагогічного досвіду. 

Вища математична освіта відіграє особливу роль у підготовці майбутніх спеціалістів у галузі математики, техніки, комп'ютерних та інформаційних технологій, виробництва, економіки, управління як у плані формування певного рівня математичної культури, інтелектуального розвитку, так і в плані формування наукового світогляду, розуміння сутності практичної спрямованості математичних дисциплін, оволодіння методами математичного моделювання. Основні проблеми вищої математичної освіти: 1)зменшення обсягу математичних дисциплін (скорочення кількості годин, що виділяється на математику); 2)розрив між рівнем математичних знань випускників шкіл і вимогами ВНЗ; 3)розрив між рівнем математичних знань випускників ВНЗ і потребами сучасної науки і технологій; 4)недостатнє фінансування освіти з боку держави.

Проблеми, з якими стикаються студенти під час вивчення математичних дисциплін:

- низький рівень базової теоретичної підготовки з математики;

- недостатній рівень практичних умінь та навичок щодо використання цих знань;

- низька мотивація при вивченні дисциплін математичного циклу;

- недостатній рівень навчально-пізнавальної діяльності студентів;

- невміння і небажання студентів працювати самостійно;

- невміння застосовувати математичні знання для формалізації практичних задач та їх розв'язування.

Подолання негативних тенденцій у вищій математичній освіті:

1. Привести у відповідність програми вивчення математики в школі та у ВНЗ. Модернізувати курси вищої математики, наповнивши їх сучасними досягненнями математичної науки, звільнивши їх від рутини і перенісши акцент з питання „як” (розв’язати, обчислити і т.д.) на питання „що” і „навіщо”;

2. Розробити та впровадити методичні системи навчання математичних дисциплін на основі новітніх педагогічних та інформаційно-комунікаційних технологій з використанням навчальних комплексів, електронних підручників та посібників, робочих конспектів для студентів, контролюючих і тренувальних комп’ютерних програмних засобів;

3. У ВНЗ створити єдине освітньо-наукове інформаційне середовище, яке дозволить ефективно використовувати ІКТ для проведення аудиторних, зокрема лабораторних, занять з математики, контролюючих заходів і, особливо, для самостійної роботи студентів денної та дистанційної форм навчання.

2. Філософські проблеми математики в історичному контексті. Формування наукового світогляду при вивченні математики.

Основні філософськи проблеми математики: зв'язок математики з реальністю, проблема обґрунтування математики, проблема існування математичних абстракцій, проблема істинності математичного знання.

Не маючи безпосереднього відношення до реальності, математика не тільки описує цю реальність, але і дозволяє, робити нові цікаві та несподівані висновки про реальність з теорії, яка представлена в математичній формі.

Три кризи в обґрунтуванні математики.

Перша криза відноситься до V ст. до н. е. У цей період, ймовірно, теоретично була усвідомлена проблема обґрунтування математики. Причиною даної кризи стало відкриття несумірних відрізків піфагорійцями, які знали лише позитивні цілі і дробові числа, і апоріями (парадоксами) Зенона Елейського. Стародавні греки, бачачи практичні межі поділу предметів, допускали теоретично нескінченну подільність. Зенон розкрив труднощі, пов'язані з поняттям такої нескінченності. Більшість парадоксів Зенона виходять з уявлення про нескінченну подільність тіла або відрізка, яке спирається на потенційну нескінченність. Зенон в своїх апоріях демонструє, що уявлення про нескінченну подільність тіл є абстракцією, яка спрощує, схематизує дійсні процеси. Суперечності, що породжуються поняттями нескінченності, розкриті Зеноном та іншими давньогрецькими вченими, привели до того, що дослідники стали відмовлятися від використання в математиці нескінченних процесів.

Перша криза була подолана створенням теорії пропорцій і методу вичерпання давньогрецьким математиком і астрономом Євдоксом Кнідським. Дана теорія, що спирається на постулат, який виходить із абстракції потенційної здійсненності, містить у неявному вигляді поняття потенційної нескінченності. Те ж саме можна сказати і про метод вичерпання античної математики. Він, по суті, є не що інше, як прообраз теорії границь, де оперують поняттям потенційної нескінченності.

Друга криза обґрунтування математики відноситься до XVII - XVIII ст. і пов'язана зі створенням аналізу нескінченно малих, диференційного та інтегрального числень. Причиною кризи стало, перш за все, невизначене, розпливчате поняття нескінченно малого, його сутності. Нечіткість в розумінні природи нескінченно малих величин привела до різних суперечностей. Вихід з кризової ситуації був здійснений завдяки розробці теорії меж багатьма математиками, насамперед французьким вченим О. Коші. У цій теорії не фігурує актуально нескінченно мале, воно замінено поняттям граничного переходу. Нескінченно малою величиною тут виступає змінна величина, границя якої дорівнює нулю.

Для обґрунтування надзвичайно великої кількості математичних суджень різних теорій необхідно було редукувати питання про істинність всіх суджень математики до питання про істинність суджень якоїсь однієї теорії та до істинності аксіом цієї теорії. В кінці XIX ст. така редукція мислилася як зведення названого питання до проблеми істинності аксіом теорії множин Г. Кантора. Однак, були виявлені формально-логічні суперечності, які виникли в змістовній теорії множин. Парадокси поставили під сумнів теоретико-множинне обґрунтування математики. З'явилися розбіжності в трактуванні її принципових питань. Стали виникати школи обґрунтування математики (логіцизм, інтуїціонізм, формалізм), які по-різному інтерпретували рішення цієї проблеми. Дана ситуація і склала третю кризу обґрунтування математики.

Математичні абстракції мають свою специфіку, вони відображають не просто властивості, а властивості властивостей, будуючи абстракції більш високого рівня, ніж в інших науках. Виділяють кілька типів абстракцій: ототожнення, ідеалізації, конструктивізації, інтерпретації. Одним з найбільш спірних в історії математики є питання про абстракцію актуальної нескінченності і потенційної здійсненності. У школах обґрунтування математики склалися різні погляди на розуміння абстракції нескінченності.

Особливості математичного пізнання знаходять своє відображення і в розумінні істини в математиці. Істинне математичне положення має задовольняти, принаймні, двом критеріям: по-перше, воно повинно підтверджуватися доказом, по-друге, воно не повинно вносити в теорію протиріччя. Ця обставина зазвичай виражається коротко: положення не повинно бути суперечливим. Після аналізу різних підходів до концепту істини в математики можна прийти до наступного визначення. Математична істина - це методологічний регулятор, який передбачає досягнення гармонії всіх концептуальних модулів математичної теорії.

Під науковим світоглядом розуміють систему поглядів на оточуючий світ, на можливість його пізнання людиною,  на ставлення до суспільства і праці. Це система поглядів на природу і суспільні явища,  основана на даних науки. Тому систематична робота викладачів різних предметів по формуванню цілісного наукового світогляду у студентів повинна бути спрямована не лише на озброєння науковим розумінням навколишнього світу, але і перетворення цих знань у внутрішні переконання кожного студента.

Можна виділити чотири групи світоглядних ідей математики: методологія, філософія, історія і прикладне значення математики.

Методологія математики вивчає сукупність математичних методів, зв’язок математики з іншими науками, місце математики в системі наук, її внутрішню структуру,  методи, які використовуються в дослідженні.

Багато філософських питань математики  (проблеми нескінченності, істинності, походження абстракцій) можна розглядати на лекціях. Якщо на заняттях математики будуть залучатись філософські знання,  то викладач одержить можливість глибше визначати важливі математичні поняття і вносити свій вклад у формування наукового світогляду студентів.

Використання історизму у навчанні є дієвим та ефективним засобом формування світогляду. Знання основних фактів історії виникнення вихідних понять, основних історичних стимулів розвитку,  біографічні відомості про видатних математиків,  особливо вітчизняних, знання сучасного стану проблем математики має вплив на ставлення студентів, учнів до предмету, на мотивацію їх навчальної діяльності.

Огляд педагогічних програмних засобів для вивчення математичних дисциплін у середній і вищій школі.

Охарактеризуємо окремі програмні засоби, що повністю або частково орієнтовані на використання при вивченні різних розділів математики, як і у вищій, так і в середній школі.

MACSYMA – система комп’ютерної алгебри, що містить багато математичних методів, які використовують у науці і техніці: знаходження границь, похідних, невизначених і визначених інтегралів, спрощення виразів, операцій над векторами, матрицями, розв’язування систем нелінійних рівнянь та інше. За допомогою цього засобу можна розв’язувати задачі як чисельно, так і символьно, і графічно.

EUREKA – програмний засіб, за допомогою якого можна розв’язувати системи лінійних і нелінійних рівнянь та нерівностей і перевіряти знайдені розв’язки, розв’язувати задачі лінійного програмування, будувати графіки та інше.

GRAPHER – програмний засіб, за допомогою якого можна будувати до 10 графіків на одній координатній площині, масштабувати осі, виводити заголовки і коментарі, друкувати графіки на папері, зберігати графічну і числову інформацію у файлах.

доцільно при вивченні вищої математики використовувати ті програмні засоби, які при розробці були безпосередньо зорієнтовані на навчальний процес. До таких програмних засобів належать програма GRAN1, програмний засіб DERIVE, IBM GEOMETRY SERIES, MATH PRACTICE TUTOR. На сьогоднішній день окрім названих популярні пакети MATHCAD, MATHLAB, STATGRAPH, MAPLE, MATEMATIKA, які можна використовувати як при вивченні окремих розділів математики, так і при розв’язуванні суто професійних, вузькоспеціалізованих математичних задач.

За допомогою зазначених програм студент може розв’язувати окремі задачі, навіть не знаючи відповідного аналітичного апарату, методів і формул, правил перетворення виразів тощо. Відповідні програми перетворюють окремі розділи і методи математики на «математику для всіх», що робить їх доступними, зрозумілими, легкими і зручними для використання. При вивченні вищої математики ефективно використовувати такі програмні засоби: GRAN1, DERIVE, EXCEL.

програму GRAN1 було створено для цілеспрямованого використання в навчальному процесі при вивченні дисциплін математичного циклу. Назва програми походить від її призначення – графічний аналіз функції.

Програмний засіб DERIVE Обчислення можна здійснювати як над числами, так і над масивами чисел (матрицями, векторами тощо). Прискорити процес виконання обчислюваних операцій і зменшити ймовірність появи помилок при розв’язуванні задач можна за допомогою спеціальних програмних засобів.

Програма DERIVE призначена для розв’язання математичних задач у символьному вигляді. До таких задач належать спрощення виразів; виконання арифметичних дій; розклад многочленів на множники; відшукання границь; обчислення похідних, інтегралів; розв’язання рівнянь і їх систем; виконання дій над матрицями та ін.. Програма передбачає можливість побудови графіків функцій на площині й зображення поверхонь у просторі.

Для роботи з програмою DERIVE (для Windows) потрібно активізувати файл DFW.EXE. Після замовлення стає активним алгебраїчне вікно, про що вказує напис у верхній лівій частині екрана. Зауважимо, що програма передбачає можливість режимів 2D-PLOT Windows і 3D-PLOT Windows, які є графічними й відповідають дво- та тривимірному просторам.

Методика створення і використання нових засобів навчання на основі комп’ютерних технологій.

Основним видом навчальної діяльності, спрямованим на первинне оволодіння знаннями, є лекція.

Застосування інформаційних технологій дозволяє змінити способи доставки навчального матеріалу, традиційно здійснюваного під час лекцій, з допомогою спеціально розроблених мультимедіа курсів.

Для організації вивчення теоретичного матеріалу можуть бути використані наступні види мультимедіа курсів.

Відеолекція. Лекція викладача записується на відеоплівку. Методом нелінійного монтажу вона може бути доповнена мультимедіа додатками, що ілюструють виклад лекції. Перевагою такого способу викладу теоретичного матеріалу є можливість прослухати лекцію в будь-який зручний час, повторно звертаючись до найбільш важким місцях.

 Мультимедіа лекція. Для самостійної роботи над лекційним матеріалом можуть бути розроблені інтерактивні комп'ютерні навчальні програми. Це навчальні посібники, в яких теоретичний матеріал завдяки використанню мультимедіа коштів структурований так, що кожен навчається може вибрати для себе оптимальну траєкторію вивчення матеріалу, зручний темп роботи над курсом і спосіб вивчення, максимально відповідний психофізіологічним особливостям його сприйняття.

 Практичні заняття - форма організації навчального процесу, спрямована на закріплення теоретичних знань шляхом обговорення першоджерел і вирішення конкретних завдань, що проходить під керівництвом викладача. Практичні заняття за рішенням завдань можуть бути проведені за допомогою електронного задачника або бази даних, в яких зібрані типові та унікальні завдання по всіх основних тем навчального курсу.

Лабораторна робота - форма організації навчального процесу, спрямована на отримання навичок практичної діяльності шляхом роботи з матеріальними об'єктами або моделями предметної області курсу. Мультимедіа курси дозволяють організувати роботу з тренажерами, що імітують реальні установки, об'єкти дослідження, умови проведення експерименту. Такі тренажери віртуально забезпечують умови та вимірювальні прилади, необхідні для реального експерименту, і дозволяють підібрати оптимальні параметри експерименту.

Семінарські заняття. До числа електронних дидактичних засобів, що застосовуються на семінарських заняттях, можна віднести наступні: хрестоматія, збірник документів і матеріалів, опорні конспекти лекцій, електронний підручник, навчальний посібник і т.д.

Інформаційні технології дозволяють використовувати як основу для СРС і НДРС не тільки друковану продукцію навчального або дослідницького характеру, а й мультимедіа курси, ресурси мережі Інтернет - електронні бази даних, каталоги і фонди бібліотек, архівів і т.д.

Практично всі можливі види контролю можуть бути реалізовані за допомогою електронних видань, на основі спеціально розроблених комп'ютерних програм, що дозволяють зняти частину навантаження з викладача і посилити ефективність і своєчасність контролю. Мультимедіа курси є безсумнівно перспективним дидактичним засобом, який за певних умов може значно підвищувати ефективність навчального процесу. Таким чином, мультимедіа курс як основний дидактичний засіб повинен поєднувати в собі три компоненти: зміст навчального матеріалу, методи і технології навчання.

6. Засоби унаочнення при викладанні математики у середній і вищій школі

Використовуються різні засоби навчання: підручники, навчальні посібники для учнів (картки з математичними завданнями, зошити з друкованою основою, довідники тощо), спеціальні наочні посібники (предмети або їх зображення, розрізні цифри, знаки дій і порівняння, моделі геометричних фігур), інструменти і прилади (лінійка, циркуль, кутник, палетка), технічні засоби навчання

Навчальні наочні посібники поділяють на: натуральні і образотворчі. До натуральних наочних посібників, які використовують на уроках математики, належать: зошити, олівці, палички, кубики, тощо.

Серед образотворчих наочних посібників виділяють образні: предметні картинки, зображення предметів і фігур з паперу і картону, таблиці із зображенням предметів або фігур. Різновидністю образотворчих наочних посібників є умовні (символічні) посібники: картки із зображеннями математичних символів, схематичні рисунки, креслення. До образотворчих наочних посібників належать також екранні наочні посібники: навчальні фільми, діафільми, діапозитиви.

Щодо використання, то наочні посібники поділяють на: загальнокласні і індивідуальні. Загальнокласними користується відразу весь клас. Індивідуальними користується кожен учень окремо. Важливо правильно розміщувати як загальнокласні, так і індивідуальні посібники, щоб ними зручно було користуватись на уроках.

Саморобні посібники доповнюють готові наочні посібники. Це різні малюнки і креслення для складання задач, збірні геометричні фігури, таблиці, в яких можна замінювати цифри і окремі слова, електрифіковані таблиці множення і додавання. До  виготовлення наочних посібників корисно залучати дітей. Це має велике освітнє і виховне значення, сприяє свідомому і міцному опануванню знань і умінь, допомагає виробити певні трудові навички.

Важливим засобом наочності в процесі вивчення математики є таблиці. За метою застосування вони різноманітні: таблиці для формування математичних понять і  закономірностей (навчальні таблиці); таблиці-інструкції, таблиці, що служать засобом відшукання способу розв’язування задачі, таблиці для усних обчислень; таблиці-довідники.

Таблиці-ілюстрації – це здебільшого алгоритми виконання арифметичних дій, пам’ятки розв’язування текстових задач. Багато таблиць використовується для ілюстрації змісту задач за допомогою малюнка, для усних обчислень.

Наочна інтерпретація має велике значення для розв’язування задач. При цьому кожний вид наочності може мати різні варіанти. Вибір того чи іншого виду наочності зумовлений передусім дидактичною метою роботи над задачами, розв’язати задачу окремими діями з письмовим поясненням чи без нього, складання виразу з письмовим поясненням чи записати (назвати) відразу вираз; розв’язати задачу різними способами  і встановити, який з них раціональний: розглянути тільки залежність між величинами задачі тощо.

Велике значення відіграють також інструменти, прилади і моделі, технічні засоби навчання та засоби зворотного зв’язку.

Знання видів наочних посібників дає змогу учителеві правильно їх добирати і ефективно використовувати під час навчання. Проте потрібно пам’ятати, що наочність не самоціль а допоміжний засіб навчання. Тому не слід зловживати застосуванням наочності, бо це гальмує активність учнів і затримує розвиток їх логічного мислення.

7. Математичні конкурси і олімпіади у середній і вищій школі.

Середня школа

Всеукраїнські учнівські олімпіади з математики проводяться щороку серед учнів загальноосвітніх і професійно-технічних навчальних закладів (організатор – Інститут інноваційних технологій і змісту освіти, на який покладається організаційно-методичне забезпечення проведення відповідних змагань).

Всеукраїнський конкурс-захист науково-дослідницьких робіт учнів-членів Малої академій наук України (відділ математики), проводиться щороку. Організатор – Національний центр "Мала академія наук України".

Всеукраїнські турніри юних математиків проводяться щороку.

Основними завданнями олімпіад, конкурсів є:

виявлення, розвиток обдарованих учнів, надання їм допомоги у виборі професії, залучення їх до навчання у вищих навчальних закладах;

формування творчого покоління молодих науковців та практиків для різних галузей суспільного життя;

підвищення інтересу до поглибленого вивчення математики;

активізація всіх форм позакласної та позашкільної роботи з учнями;

формування команд для участі в міжнародних олімпіадах, конкурсах, турнірах.

Організація Всеукраїнських олімпіад

Всеукраїнські учнівські олімпіади проводяться в чотири етапи:

I (перший) етап - шкільні (міжшкільні, училищні) на базі загальноосвітніх, професійно-технічних навчальних закладів;

II (другий) етап - районні (міські);

III (третій) етап – обласні;

IV (четвертий) етап - на державному рівні.

Звіти про проведення олімпіад та заявки на участь в ІІ етапі надсилаються в районні (міські) оргкомітети до 1 листопада поточного року.

У разі виникнення питань учасники мають право після завершення всіх турів відповідного етапу змагань подавати заяву у письмовій формі апеляційній комісії з приводу правильності та об'єктивності оцінювання виконаних ними завдань.

Переможці IV етапу олімпіад: диплом I ступеня- не більше 1/6, диплом II ступеня – 1/3 від кількості переможців. Решта осіб з числа переможців нагороджуються дипломами III ступеня.

Популярним мат. конкурсом серед учнів є мат. міжнар.конкурс «Кенгуру».На початку 80-х років XX століття Пітер Холлоран, професор математики з Сіднею, вирішив організувати новий тип гри-конкурсу для австралійських школярів: підбірку задач із варіантами відповідей, перевірку яких здійснює комп’ютер. Тисячі школярів могли взяти участь у грі одночасно. Успіх австралійського національного математичного конкурсу був надзвичайний. З 1997 р. конкурс організ. в Україні.

Вища школа

Олімпіада – система масових очних змагань студентів навчальних закладів у творчому застосуванні здобутих знань, умінь та навичок.

Олімпіада проводиться щорічно з метою виявлення, відбору та підтримки обдарованої студентської молоді, розвитку та реалізації здібностей студентів, стимулювання творчої праці студентів та науково-педагогічних працівників, підвищення якості підготовки фахівців, активізації навчально-пізнавальної діяльності студентів, інтенсифікації та вдосконалення навчального процесу, формування команд для участі в міжнародних олімпіадах.

Організація проведення олімпіади Підготовку проведення олімпіади здійснює організаційний комітет, персональний склад якого затверджується Головою спілки голів обласних рад директорів ВНЗ, до складу оргкомітету Всеукраїнської олімпіади входять досвідчені викладачі-фахівці ВНЗ з різних регіонів України.

Олімпіада  проводиться у два етапи.

I етап – з навчальної дисципліни, спеціальності (напряму) у вищому навчальному закладі серед студентів, які в ньому навчаються.

II етап – у базових вищих навчальних закладах з відповідних навчальних дисциплін, спеціальностей (напрямів), перелік яких затверджується наказом Міністерства освіти і науки. II етап Олімпіади проводиться з навчальної дисципліни, спеціальності (напряму), за якими здійснюється підготовка студентів не менш ніж у 5 вищих навчальних закладах України. Кількість студентів, які беруть участь в Олімпіаді, повинна бути не меншою  ніж 15 осіб у рівній кількості від кожного вищого навчального закладу.

В Олімпіаді можуть брати участь студенти – громадяни зарубіжних країн (відкрита олімпіада). Умови їх участі узгоджуються з базовим вищим навчальним закладом, відповідальним за проведення Олімпіади, і не повинні суперечити міждержавним та іншим угодам.

Учасники Олімпіади отримують завдання та дають на них відповіді державною мовою.

У Конкурсі беруть участь студенти вищих навчальних закладів України ІІІ-ІV рівнів акредитації незалежно від форм власності та підпорядкування, студенти зарубіжних країн, у тому числі іноземні громадяни, які навчаються у вищих навчальних закладах України.

На Конкурс подаються самостійно підготовлені роботи студентів або студентських колективів (не більше 3 осіб) з актуальних проблем  у галузі математичних наук, які є пошуковими за своїм характером, мають наукове й прикладне значення.

8. Вимоги до математичної освіти майбутнього вчителя математики.

Професійна підготовка майбутнього вчителя математики – це процес набуття майбутнім учителем професійних знань, формування математичних умінь в умовах творчого розвитку та саморозвитку особистості, при цьому формування особистих якостей випускника-математика педагогічного ВНЗ залежить від видів навчальної діяльності, через які реалізується підготовка студента-математика.

Математичну культуру вчителя математики визначають такі його знання та уміння.

Знання:

∗ основних фактів з фахових математичних дисциплін;

∗ загальних методів розв’язування математичних задач, включаючи і методи доведення тверджень;

∗ сутності математичного моделювання і методів побудови математичних моделей;

∗ прикладів важливих застосувань математики у різних галузях науки, техніки і життя;

∗ найяскравіших фактів з історії математики;

∗ шкільного курсу математики та його особливостей у різних типах середніх навчальних закладів;

∗ логічних прогалин шкільного курсу математики,  причин їх виникнення та можливі засоби їх усунення;

∗ основних математичних видань  (підручники,  посібники,  монографії, журнали тощо), пов’язаних з професійною діяльністю вчителя математики.

Уміння:

∗ використовувати знання з фахових математичних дисциплін у своїй роботі в школі;

∗ розв’язувати математичні задачі,  зокрема,  і доводити твердження різного рівня складності, демонструючи зразок логічного мислення, обґрунтованості кожного кроку міркувань,  гнучкість думки,  творчий підхід,  широкий математичний кругозір, математичну інтуїцію, яскравість уявлень;

∗ розвивати прикладну спрямованість математики,  будувати математичні моделі процесів і явищ, пов’язаних з матеріалом шкільного курсу математики та доступних учням середніх шкіл;

∗ використовувати практично значущі задачі для підвищення рівня мотивації вивчення математики;

∗ використовувати факти з історії математики для підвищення інтересу учнів до математики та активізації процесу навчання математики;

∗ використовувати різні підходи та різні методи введення найважливіших понять і різні методи доведень тверджень;  подавати один і той самий матеріал на різних рівнях строгості, проте кожного разу чітко, точно, зв’язно висловлюючи думки;

∗ при необхідності пояснювати учням сутність логічних прогалин шкільного курсу математики та розкривати можливі шляхи їх усунення;

∗ систематично працювати над математичною літературою і навчати цього своїх учнів, виховуючи критичність мислення,  вміння виявляти помилки і неповноту міркувань, будувати контрприклади, узагальнювати; розвивати нахили учнів до творчої діяльності.

Основні проблеми вищої математичної освіти в Україні:

1. Зменшення обсягу математичних дисциплін (скорочення кількості годин, що виділяються на математику).

2. Розрив між рівнем математичних знань випускників шкіл з вимогами ВНЗ.

3. Розрив між рівнем математичних знань випускників ВНЗ і потребами сучасної науки і технологій.

4. Недостатнє фінансування освіти з боку держави.

Все це негативно відбивається на якості знань і вмінь студентів математичних спеціальностей, їх інтелектуальному розвитку, рівні фахової підготовки.

Процес підготовки майбутнього учителя математики до викладання в сучасній школі є складним, динамічним і багатогранним, кінцевий результат якого – досконалий рівень сформованості професійних умінь і навичок.

9. Математичні здібності і їх розвиток у середній і вищій школі.

Насамперед слід зазначити те, що характеризує здібних математиків і зовсім необхідне для успішної діяльності в області математики "єдність схильностей і здібностей у покликанні", що виражається у вибірково-позитивному відношенні до математики, наявності глибоких і діючих інтересів у відповідній області, прагненні і потребі займатися нею, жагучої захопленості справою. Не можна стати творчим працівником в області математики, не переживаючи захопленості цією роботою, - вона породжує прагнення до пошуків, мобілізує працездатність, активність. Без схильності до математики не може бути справжніх здібностей до неї.

Якщо учень не почуває ніякої схильності до математики, то навіть гарні здатності навряд чи забезпечать цілком успішне оволодіння математикою. Роль, яку тут грають схильність, інтерес, зводиться до того, що цікавляться математикою людин посилено займається нею, а отже, енергійно вправляє і розвиває свої здібності. На це вказують постійно самі математики, про це свідчать усе їхнє життя і творчість. Але якщо здатності, як правило, зв'язані зі схильністю те це не носить усе-таки характеру загального закону. помилково було б скажемо діагностувати чи наявність відсутність здібностей по тому, чи мається і як яскраво виражено схильність до відповідного виду діяльності. В окремих випадках тут може бути і розбіжність.

У школі нерідко зустрічаються такі випадки: здатний до математики учень мало цікавиться нею і не виявляє особливих успіхів в оволодінні цим предметом. Але якщо вчитель зуміє розбудити в нього інтерес до математики і схильність займатися нею, те такий учень "захоплений" математикою, може швидко домогтися великих успіхів.

Пережиті людиною емоції є важливим чинником розвитку здібностей до будь-якої діяльності, не крім і математичної. Радість творчості, почуття задоволення від напруженої розумової роботи, емоційна насолода цим процесом підвищують розумовий тонус людини, мобілізують його сили, змушують переборювати труднощі. Байдужа людина не може бути творцем.

Можливість повного й інтенсивного розвитку математичних здібностей, як і здібностей узагалі, цілком залежить від рівня розвитку характерологічних рис, особливо вольових рис характеру. Як би ні були блискучі здатності людини, але якщо в нього немає звички посидюче і завзято працювати, він навряд чи здатний досягти великих успіхів у діяльності. Він у кращому випадку так і залишиться лише потенційно здатним. Завзятість, наполегливість, працездатність, працьовитість - ці якості повинні супроводжувати здібностям.

Ще одна риса характеру властива справжньому вченому - критичне відношення до себе, своїм можливостям, своїм досягненням, скромність, правильне відношення до своїх здібностей. Треба мати на увазі, що при неправильному відношенні до здатної особистості - захвалюванні, надмірному перебільшенні досягнень, афішуванні здібностей, підкреслення переваги над іншими - дуже легко вселити їй віру у свою вибраність, винятковість, заразити "стійким вірусом зазнайства".

Математичний розвиток людини неможливо без підвищення рівня його загальної культури.

10. Міжпредметні зв’язки дисциплін природничо-математичного циклу у середній і вищій школі.

Міжпредметні зв'язки — узгодженість між навчальними предметами, що дає змогу розглядати факти і явища реальної дійсності з різних точок зору, з позицій різних навчальних предметів.

Сукупність знань з різних навчальних предметів розкриває зв'язки, що виявляються в дійсності. Нерідко одні й ті самі факти, явища різні науки вивчають з різних точок зору, в різних аспектах. Пізнання цих зв'язків важливе для формування наукового світогляду школярів.

Міжпредметні зв'язки мають на меті показати і такий їх аспект, коли можливості одного предмета сприяють розв'язанню завдань іншого. Так, математику застосовують під час вивчення фізики, хімії, а знання рідної мови допомагає грамотно висловлювати свої думки усно і на письмі з усіх навчальних предметів. Міжпредметні зв'язки реалізуються за умови, що всі шкільні предмети викладають рідною мовою, кожен предмет певною мірою спирається на математичний апарат, тому вчитель має врахувати те, що учні вже знають з рідної мови і математики. Не менш суттєву роль відіграє зв'язок викладання природничо-математичних дисциплін з природою і виробництвом, а гуманітарних — із суспільними явищами. Дбаючи про це, учитель мусить цікавитися викладанням інших дисциплін, передусім суміжних, враховувати їх особливості у своїй діяльності.

Реалізація принципу міжпредметних зв'язків — один з основних резервів подальшого вдосконалення навчально-виховного процесу в школі, оскільки це сприяє систематизації знань учнів, забезпечує формування світогляду, «підвищує ефективність навчання і виховання, забезпечує наскрізне застосування й закріплення знань, умінь і навичок, що їх набули учні на уроках з різних предметів. Нарешті, реалізація міжпредметних зв'язків дає змогу підвищити ефективність (одночасно сприяє полегшенню) роботи самих школярів. Усім цим і зумовлена виняткова важливість і актуальність проблеми міжпредметних зв'язків у навчально-виховному процесі».

Тепер у школі вивчають основи сучасної математики з її новими ідеями, математичним апаратом, сучасною термінологією та символікою. Тому вчитель фізики повинен докладно ознайомитися із змістом програми з математики, підручниками й навчальними посібниками з математики, обов'язково знати сучасну термінологію і символіку для того, щоб використовувати міжпредметні зв'язки для формування в учнів міцних і глибоких  знань з фізики.

Зв’язок математики і фізики проявляється в трьох видах ситуацій:

1. фізика ставить завдання, розв’язок яких призводить до появи нових математичних ідей і методів, а вони, в свою чергу, стають базою для розвитку математичної теорії;

2. математична теорія з її ідеями і апаратом застосовується для вивчення і аналізу фізичних явищ, що призводить до створення нової фізичної теорії;

3. математичний апарат, на який спирається фізична теорія, розвивається по мірі його використання в фізиці; відбувається паралельний прогрес фізики і математики.

11.Критерії якісної роботи викладача середньої і вищої школи. Форми і методи підвищення кваліфікації викладачів.

Критерії оцінки - це ті положення, урахування яких є обов'язковим при виставленні тієї чи іншої оцінки.

I. Оцінка якості навчальної роботи.1. Якість складання навчальних програм, планів роботи. 2. Знання предмету, професійна підготовка. 3. Якість викладання, навчально-методичне забезпечення викладання. 4. Якість знань студентів, проведення додаткових занять, консультацій. 5. Якість практичної підготовки студентів.

II. Оцінка якості виховної роботи. 1.Здійснення виховання на заняттях, зв'язок з життям, з сучасністю. 2.Якість планування виховної роботи, якість проведення виховних заходів.

III. Оцінка якості методичної роботи. 1.Участь в роботі циклових комісій, методичної ради. 2.Проведення відкритих занять. 3.Навчально-методичне забезпечення занять. 4.Написання рефератів, методичних розробок, статей, інструкцій, програм, навчальних посібників. 5.Виступи з доповідями , рефератами на педрадах, конференціях і т.д.

ІV. Оцінка рівня професійної підготовки. 1.Самоосвіта. 2.Відвідування занять інших викладачів, їх аналіз. 3.Підвищення кваліфікації на курсах ФПК, стажування.

V.Оцінка якості громадської активності. 1.Яку громадську роботу виконує, якість.

VІ. Оцінка соціально-психологічного статусу викладача в колективі.

Форми підвищення кваліфікації викладачів

Підвищення кваліфікації – набуття особою здатностей виконувати додаткові завдання та обов'язки в межах професійної діяльності або наукової спеціальності;

Первинне підвищення кваліфікації(6 тижнів) проходять всі викладачі навчальних закладів протягом перших п'яти років після зарахування на посаду, але не раніше, як через рік після нього. Проводиться на базі факультетів підвищення кваліфікації викладачів і відділення підвищення кваліфікації викладачів. Мета - отримання базових знань з педагогіки та педагогічної психології, навиків їх використання у навчальному процесі; - оволодіння сучасними ефективними технологіями організації навчального процесу, контролю рівня знань і умінь; - знайомство з сучасними проблемами педагогіки і психології; - поглиблення знань із спеціальності; - вивчення форм методичної роботи, особливостей організації навчального процесу відповідних профільних кафедр навчальних закладів; - оволодіння практичними навичками роботи на ПЕОМ;- формування уявлень про можливості і перспективи; використання ПЕОМ у навчальному процесі.

Безпосередньо після зарахування на посаду викладачі підвищують кваліфікацію в межах свого навчального закладу: - педагогічну - на створених для  цього постійно діючих навчальних семінарах, роботу яких організує і контролює ректор (проректор з навчальної роботи); - спеціальну - на кафедрі; організацію і контроль цієї роботи здійснює завідуючий кафедрою.

До спеціальних форм підвищення кваліфікації ми відносимо також величезне розмаїття курсів, які в обов’язковому порядку в досить жорстких рамках підвищують кваліфікацію викладачів охорони праці, безпеки життєдіяльності, військової підготовки та інших. Судячи з наявних документів (свідоцтв, дипломів, сертифікатів) зміст навчання на цих курсах досить стандартизований, не змінюється роками.

Повторне підвищення кваліфікації. Мета: -удосконалення професійної майстерності викладача за  фахом дисципліни викладання, наукової кваліфікації.

Тривалість повторних циклів визначається їх навчальними планами і програмами.

Базами повторного підвищення кваліфікації викладачів можуть бути: - кафедри цих навчальних закладів; - науково-дослідні інститути; - кафедри  університетів,  педагогічних та інших ВНЗ України, підпорядкованих Міністерству освіти України та іншим міністерствам; - закордонні навчальні заклади, науково-дослідні інститути та установи.

Важливим завданням підвищення кваліфікації викладачів має стати ознайомлення з загальноприйнятими світовими вимогами до якості освіти, реальна методологічна допомога в розробці навчально-методичних програм і матеріалів.

За сучасних умов, коли завдання освіти полягає не в розширенні знань, а в поясненні та розумінні величезного, накопиченого всіма попередніми поколіннями фактичного матеріалу, необхідний пошук нових орієнтирів пізнавальної діяльності.

12.Види занять з математики у школі і ВНЗ. Система підготовки викладача до занять з математики. Типи занять, їх структура.

 Закон України "Про вищу освіту" Стаття 43. Форми організації навчального процесу та види навчальних занять  Навчальний процес у вищих навчальних закладах здійснюється у таких формах: навчальні заняття; самостійна робота; практична підготовка; контрольні заходи.

Основними видами навчальних занять у вищих навчальних закладах є:

лекція; лабораторне, практичне, семінарське, індивідуальне заняття; консультація.

ВНЗ може встановлювати інші види навчальних занять.

Порядок підготовки викладача до поточного навчального заняття в умовах вже поставленої дисципліни можна представити у вигляді деякого алгоритму, при цьому етапами творчості його є і задум заняття, і розробка цього задуму, і, звичайно, його реалізація. 

Первинна підготовка викладача до занять всіх видів повинна базуватися на вивченні навчального плану та «Примірної програми» дисципліни, яка затверджена відповідною інстанцією. Потім необхідно скласти тематичні плани за видами занять відповідно до виділених годинами, і переходити до підготовки до занять, при цьому необхідно постійне вдосконалення професійних і педагогічних знань. 

 Тематичний план повинен розкривати дидактичну послідовність вивчення тем і включати певну кількість годин на їх вивчення. Викладачеві слід дидактично осмислити зміст кожної теми, використовуючи теоретичні положення, дослідження, історичні факти, виробничі приклади. Мета такої дидактичної перебудови - активізувати інтерес студентів до предмета і виховати почуття відповідальності до майбутньої професії. 

 Структура тематичного плану повинна містити наступні пункти: номер заняття, тему заняття та основні питання, кількість годин, мета заняття, тип заняття, основні методи навчальної роботи (спосіб вивчення нового матеріалу, робота студентів на заняттях - зокрема на лабораторно-практичних, контроль засвоєння занять), навчально-наочні посібники та технічні засоби навчання, міжпредметні зв'язки, змісту для самостійної роботи студентів, основну та додаткову літературу. Обсяг знань, який повинен отримати студент в результаті вивчення предмета, визначено «приблизною програмою». 

При підготовці до заняття викладач продумує його структуру, тобто навчальну, розвиваючу і виховує мета заняття; форму опитування (індивідуальний, фронтальний, комбінований, програмний); метод вивчення та закріплення нового матеріалу; використання наочних посібників і технічних засобівнавчання; зміст і обсяг самостійної роботи. Мета заняття повинна формулюватися чітко і коротко. Тип заняття, форми і методи навчання залежать від особливостей змісту навчального матеріалу, матеріально-технічної бази, рівня підготовки студентів до даної теми заняття. Важливим фактором є також особливості педагогічної майстерності викладача, глибоке знання ним навчального матеріалу, вміння організувати навчальний процес із застосуванням ефективних методів навчання. 

Типи занять за способом організації

-групові тобто з усією групою ді(традиційно такі заняття називаються фронтальними),  -підгрупові (кількість студентів — від 8 до 15), у сучасних умовах це переважно з половиною групи;  -індивідуально-підгрупові (від 4 до 8 студентів)

-індивідуальні (від 1до 4 студентів)

Математичні методи в педагогічних дослідженнях.

Педагогічне дослідження – це свідомий цілеспрямований пошук напрямів удосконалення педагогічного процесу з використанням певного наукового апарату, наукових методів і прийомів.

Об’єктами дослідження є:

•  діяльність вчителя, вихователя, керівника навчального закладу;
•  якість освіти: знань, умінь і навичок, моральність учнів тощо.

Використовують їх для кількісного аналізу фактичного матеріалу, отриманого у процесі дослідження. У педагогічних дослідженнях широко використовують такі їх види:

•  метод реєстрування — виявлення певної якості в явищах та її кількості (наприклад, кількості запізнень на уроки );
•  метод ранжування — класифікація даних у певній послідовності (спадання чи зростання показників), визначення місця в цьому ряду (наприклад, складання списку учнів залежно від рівня успішності тощо);
•  метод моделювання — створення і дослідження моделей. Є засобом теоретичного дослідження психологічних явищ через уявне створення життєвих ситуацій, в яких може відбуватися діяльність людини, змодельованої системи. Допомагає пізнати закономірність поведінки людини у певних ситуаціях;
•  статистичні методи — методи математичної статистики, що використовуються для опрацювання експериментальних даних з метою підвищення обґрунтованості висновків. У педагогіці вони представлені: а) описовою статистикою (графічний вираз та кількісне оцінювання даних); б) теорією статистичного висновку (передбачення результатів за даними обстеження вибірок); в) теорією планування експериментів (виявлення та перевірка причинних зв'язків між змінними).

За допомогою статистичних методів визначають середні величини одержаних показників: середнє арифметичне (наприклад, визначення кількості помилок у перевірних роботах контрольної й експериментальної груп); медіана — показник середини ряду (наприклад, за наявності 12 учнів у групі медіаною буде оцінка шостого учня в списку, в якому всі учні розподілені за рангом їхніх оцінок); ступінь розсіювання — дисперсія, чи середнє квадратичне відхилення, коефіцієнт варіації та ін. Усе частіше в педагогічних дослідженнях використовують різні форми  математичного аналізу (факторного, регресивного, кореляційного тощо). Для проведення цих підрахунків використовують комп. програми (напр., STATISTICA). Результати, оброблені за допомогою методів математичної статистики, дають змогу встановити кількісну залежність у вигляді графіків, діаграм, таблиць.

У педагогічній науці ще багато невиявлених зв'язків і залежностей, що дають простір для наукових пошуків молодих дослідників. Комплексність додає науково-педагогічним дослідженням колективний характер і забезпечує можливість одержання переконливих результатів.

Математичні методи ефективні тільки при масовому характері досліджуваних явищ, їх типовості, вимірюваності.

14. Підвищення кваліфікації викладачів математики у середній і вищій школі. Система самоосвіти викладача математики середньої і вищої школи.

Професійна підготовка вчителя не закінчується у стінах педагогічного навчального закладу. Вона продовжується протягом усієї професійної діяльності педагога.

У сучасному загальноосвітньому навчальному закладі в системі науково-методичної роботи вирішуються такі основні завдання:

- поглиблення філософсько-педагогічних знань, які сприяють розбудові й оновленню української загальноосвітньої школи;

- підвищення рівня теоретичної (предметної) і психолого-педагогічної підготовки;

- організація роботи по вивченню нових освітніх програм, навчальних планів, освітніх державних стандартів;

- систематичне вивчення, узагальнення і поширення передового педагогічного досвіду, впровадження досягнень педагогічної науки;

- збагачення новими педагогічними технологіями, формами і методами навчання та виховання;

- підвищення загального рівня професійно-педагогічної культури, надання допомоги у розвитку якостей і властивостей особистості, необхідних для сучасного педагога.

Підвищення кваліфікації

Педагоги проходять спеціальне навчання в Інститутах підвищення кваліфікації педпрацівників, інститутах післядипломної освіти або на спеціальних факультетах педагогічних навчальних закладів. 

Однією з продуктивних форм професійного становлення педагогів є курси підвищення кваліфікації.

Самоосвіта

Самоосвіта – це самостійно надбані знання з урахуванням особистих інтересів і об'єктивних потреб загальноосвітньої школи, одержані з різних джерел додатково до тих, що отримані в базових навчальних закладах. Самоосвіта є найгнучкішою формою отримання знань, тому що вона здійснюється на діагностичній індивідуалізованій основі. 

Результати самоосвіти вчитель репрезентує на кожному її етапі, беручи участь у семінарах, інформуючи на засіданні методичного об'єднання, кафедри, доповідаючи на педагогічних читаннях, науково-практичних конференціях і под.

Серед форм та методів самоосвіти можна виділити:  самостійну роботу з літературою, фаховими виданнями; самостійна робота з електронними посібниками;  вдосконалення знань і вмінь роботи з компíютерною технікою;  аналіз та узагальнення власної педагогічної діяльності; вивчення досвіду досвідчених вчителів та вчителів-новаторів з послідуючими висновками та аналізом; вивчення та розроблення власних методик щодо використання нових технологій навчання;  участь у виставках чи конкурсах передового педагогічного досвіду; проведення науково-дослідної роботи, вивчення нових програм і підручників, аналіз їхніх дидактичних та методичних особливостей.

Основні форми самостійної роботи вчителя.  

Заготовка навчального матеріалу (цікаві приклади і контрприклади, цитати, незвичні способи міркувань, фотографії, креслення, історичні курйози, помилки учнів, бібліографічні нотатки тощо).Таке  накопичення інформації  досить корисне, адже може бути використане як ефективний засіб викладання математики. 

Розв’язування задач. Вміння розв’язувати задачі є одним із найважливіших елементів професійної підготовки вчителя. Займатися цим слід систематично. Подібна робота є дуже корисною формою організації самоосвіти. Для того, щоб розв’язати  справді складну задачу, доводиться звертатися до спеціальної літератури,  поновлювати знання з багатьох розділів математичної науки.

1.  Рецензування.  У практиці шкіл  існують такі види рецензування: рецензування книги (статті); рецензування циклу статей з однієї тематики (огляд); вибіркове рецензування. Для молодого вчителя дуже корисно прорецензувати нові підручники, посібники для факультативних занять, курсів за вибором, сучасні методичні рекомендації, статті із фахових методичних журналів і збірників. Рецензія передбачає серйозне критичне опрацювання теми, порівняння і протиставлення, пропозиції і рекомендації.
2.  Вироблення вмінь і навичок. Вчитель математики повинен володіти значною кількістю спеціальних вмінь і навичок. Наприклад, вдосконалювати прийоми усного рахунку, креслить. Єдиний спосіб ліквідувати ці прогалини– самостійна робота.
3.  Перевірка і впровадження нових ідей. У наукових друкованих виданнях досить часто з’являються повідомлення про нові методичні знахідки та ідеї.
4.  Елементи дослідної роботи.  Досить часто задача, яку вчитель планує використати на уроці, потребує прийомів дослідницької роботи: анкетування, інтерв’ю, експериментальних завдань для учнів, спостереження, педагогічного експерименту. Чимало вчителів  не наважуються  застосовувати перераховані види робіт, перебільшуючи їх складність. Однак ця робота відкриває нові можливості для підвищення рівня теоретичної і практичної підготовки педагога.

У ряді шкіл розроблена  система оперативної перевірки виконання плану самостійної роботи вчителя. Ця система включає в себе: звіт про самостійну роботу на педраді; доповідь на методичному об’єднанні; конкретну роботу з учнями; взаємоперевірку; проведення відкритого заходу; виступ перед населенням; участь у конференції, диспуті; доповідь на районному методоб’єднанні; виставку результатів самостійної роботи. Подібна діяльність дозволяє включити самоосвіту вчителя в загальний план навчально-виховної роботи школи. Плани самоосвіти складаються на один навчальний рік. На основі цього вчитель щорічно оформляє результати своєї роботи  згідно із запланованими темами.

15. Організація гурткової і науково-дослідної роботи у середній і вищій школі. 

Сучасне поняття «науково-дослідна робота» включає в себе два взаємопов'язаних елементи: 1) навчання елементам дослідницької праці, прищеплення навичок цієї праці; 2) власне наукові дослідження, що проводяться учнями або студентами під керівництвом вчителів, викладачів і професорів.

У середній школі в організації науково-дослідної роботи учнів умовно можна виділити 2 напрямки: 1) науково-дослідна діяльність учнів на уроках, основними організаційними формами якої є проблемні уроки, наукові семінари, практичні та лабораторні роботи з елементами наукових досліджень; 2) позаурочна науково-дослідницька діяльність учнів, основними організаційними формами якої є реферативна робота, проектна робота, курсові роботи, наукові праці в рамках всеукраїнських та міжнародних конкурсів, олімпіади, змагання, наукові конференції, гурткова робота.

У вищій школі НДР  умовно поділяються на НДР, включену в навчальний процес, а також НДР, виконувану студентами у позанавчальний час. Навчально-дослідна робота, включена в навч. процес, виконується у відведений розкладом занять навч. час за спеціальним завданням в обов'язковому порядку кожним студентом. Основним її завданням є навчання студентів навичкам самостійної теоретичної та експериментальної роботи, ознайомлення з реальними умовами праці в лабораторії, в науковому колективі.

До таких занять відносяться: 1) лекції з дисципліни «Основи наукових досліджень»; 2) практичні та лабораторні заняття з елементами наукових досліджень з дисципліни; 3) курсові та дипломні роботи; публікації статей, тез доповідей, виготовлених матеріалів на винаходи.

Керівництво НДР у вишій школі є обов'язковим елементом діяльності професорів та викладачів вузів, аспірантів. У кожному вузі організовується рада з НДРС, очолювана ректором; на факультеті - деканом; на кафедрі - завідувачем кафедрою. Головними завданнями рад є: надання всебічної допомоги керівництву вузу у створенні умов для широкої участі студентів у науково-дослідній, конструкторській і творчій роботі; поширення позитивного досвіду організації наукової роботи студентів; методичне керівництво роботою нижчестоящих рад; організація науково-технічних конференцій, виставок, конкурсів , оглядів та ін.

Основними формами наукової роботи студентів, що виконується в позанавчальний час, є :

- індивідуальна робота викладачів зі студентами, які займаються науковими дослідженнями;

- науково-дослідна робота студентів у наукових гуртках, конструкторських бюро тощо;

- участь студентів-дослідників у постійних наукових проблемних групах;

- участь студентів у науково-практичних конференціях, наукових читаннях, семінарах та ін.;

- участь студентів у наукових дослідженнях, що проводяться викладачами кафедр та співробітниками наукових установ вузу по держбюджету і госпдоговірної тематики.

Гурткова робота

У середній школі, як правило, створюються предметні гуртки.

Гуртки створюють із різних навч. предметів. Завданням предметних гуртків є поглиблення набутих знань, розвиток інтересів і здібностей. Окрім систематичних занять, учасників гуртків залучають до масових виховних заходів: тематичних вечорів, конкурсів, олімпіад, тижнів і місячників знань, випуску стінгазет, радіогазет, альманахів. Це сприяє поглибленню знань і підвищує інтерес до навчальних предметів не тільки учасників предметних гуртків, а й інших школярів.

Гурток обов'язково повинен бути організаційно оформленим. Вже на І занятті треба обов'язково висвітлити всі організаційні питання. На першому засіданні гуртка обирають старосту, редколегію стінної газети; розподіляють різні доручення між членами гуртка, а також висловлюють основні вимоги, яких повинні дотримуватися всі члени гуртка.

На ІІ занятті керівник уточнює список бажаючих і зобов'язує усіх присутніх систематично відвідувати гурток. Звичайно гурток відвідують 10-20 учнів.

Учитель заздалегідь намічає приблизний план роботи. На перших заняттях гуртка план уточнюється, враховуючи інтереси та побажання гуртківців і можливості школи, розподіляють теми між членами гуртка, складають календар роботи занять гуртка, строки випуску газети, організації вечора, шкільної вікторини, конкурсу тощо. План роботи гуртка вивішують так, щоб його могли бачити всі учні.

Зміст роботи гуртка повинен передбачати не тільки доповіді вчителя, студентів чи викладачів вузів, а й повідомлення, доповіді самих учасників гуртка. При цьому теми доповідей розподіляються заздалегідь. Щоб учні мали час своєчасно їх підготувати, а керівник гуртка - проконсультувати і перевірити їх. Якщо тема велика за об'ємом, доцільно розділити її на частини і доручити 2-3 учням. Бажано, щоб виступи учнів займали не більше 20-30 хв.

Крім доповідей, на математичному гуртку розв'язують багато різноманітних задач. Задачі підбираються цікаві за змістом або способом розв'язування, відповідно до віку учнів. Окремі задачі і питання добираються таким чином, щоб труднощі, які виникають в процесі їх розв'язування, спонукали учнів до розгляду і вивчення певних розділів теорії, пошуків нових способів розв'язування задач, що в деякій мірі розширюють і поглиблюють рамки навчальної програми.

У вищій школі  найпоширенішими є наукові гуртки.

Студентські наукові гуртки при кафедрі чи науковій лабораторії являють собою порівняно невеликі колективи, об´єднані розробкою певної наукової проблеми. Студентський науковий гурток об´єднує велику кількість ентузіастів, які вивчають принципи, методи та прийоми ведення наукової роботи. Кожний студент в гуртку виконує самостійне завдання наукового керівника.

Зміст роботи в гуртках та форми підведення її підсумків в кожному вузі мають свої особливості. Для більшості гуртків у вузах характерне написання рефератів та доповідей, їх активне обговорення, винесення кращих доповідей на студентські вузівські та міжвузівські конференції, висування на студентські конкурси. Саме на засіданні гуртка обговорюються наукові доповіді, часто вперше в житті написані студентами. На обговорення членами гуртка виносяться не лише студентські наукові доповіді, а й доповіді, написані під керівництвом вчених групою студентів або індивідуально. На гуртку студенти можуть зустрічатись з провідними вченими, досвідченими практичними працівниками, аспірантами і обговорювати оголошену тему, проводити дискусію з питань, які їх цікавлять.

Специфічною особливістю в організації роботи гуртків є спільність наукових інтересів викладачів, студентів та аспірантів. Керівництво гуртком здійснює звичайно викладач кафедри, при якій функціонує гурток. Залучення студентської молоді у гуртки починається з першого курсу і продовжується в гуртках при випускаючих кафедрах протягом всього навчання студента у вузі.

16. Наукові і педагогічні семінари з математики у середній і вищій школі

Семінар (лат. seminarium — буквально:"рассадник", "теплиця") — форма учбовий-практичних занять, при якій учні (студенти, стажисти) обговорюють повідомлення, доповіді і реферати, виконані ними за наслідками учбових або наукових досліджень під керівництвом викладача.

Наукові семінари - в наукових колективах традиційна форма підвищення кваліфікації, ознайомлення з роботами колег, форма колективного, публічного робочого обговорення наукової інформації колегами для формування компетенції учасників колективу в об'ємі нових знань, методів, для оптимізації взаємодії за проектами і програмами.

Студентські наукові семінари найчастіше проводяться при кафедрах. Підготовка семінару організується так, щоб протягом семестру кожен студент міг виступити на ньому з доповіддю чи повідомленням, присвяченим підсумкам виконаного дослідження. Діяльність семінарів починається з підготовки студентами старших курсів спеціальних наукових доповідей. Проведення наукового семінару передбачає поглиблене вивчення проблем, що цікавлять студентів. На семінарах кожен студент виступає з виконаною під керівництвом викладача доповіддю по науково-дослідній роботі, захищає свої висновки і пропозиції, отримані в результаті проведеного дослідження. Доповідь рецензують студенти, в її обговоренні приймають участь, як правило, два опоненти з числа учасників семінару. Опоненти попередньо знайомляться з доповіддю, вивчають літературу по темі доповіді та при обговоренні дають їй розгорнуту оцінку. В обговоренні доповіді приймають участь всі учасники наукового семінару. Керує студентським науковим семінаром завідуючий кафедрою або викладач, що активно веде наукові дослідження.

ПЕДАГОГІЧНИЙ СЕМІНАР - це одна з основних форм семінарів, яка полягає в ознайомленні з новітніми досягненнями педагогічної науки і передового досвіду та в обговоренні слухачами повідомлень, доповідей, рефератів, виконаних ними за результатами досліджень самостійно під керівництвом спеціалістів у даній галузі. Педагогічний семінар з математики  має на темі ознайомлення та обговорення новітніх досягнень педагогічної науки, які торкаються викладання математичних дисциплін. В середній школі він як правило проводиться серед педагогічних працівників школи, а у вищій школі – серед викладачів та студентів педагогічних спеціальностей.

Організація педагогічного семінару потребує високої кваліфікації організаторів методичної роботи або прямих зв'язків з ученими, представниками Академії педагогічних наук, педагогами, кваліфікованими лекторами інститутів післядипломної педагогічної освіти. Важливою позитивною тенденцією в роботі педагогічного семінару є органічний взаємозв'язок теорії й практики на його заняттях.

Проводячи педагогічний семінар, необхідно забезпечити атмосферу творчості, неформального спілкування. У деяких випадках після творчого повідомлення можна організувати дискусію, диспут.

Під час роботи семінару можливе й колективне вирішення навчально-педагогічних завдань. Педагогічні семінари можуть бути ефективною формою залучення студентів (вчителів, викладачів)  до творчої науково-дослідницької діяльності. Практика свідчить, що робота такого семінару упродовж багатьох років помітно підвищує загальну і педагогічну культуру його учасників.

Для забезпечення функціонування семінару характерні такі етапи роботи:

Вибір теми.

Складання плану.

Добір літератури.

Визначення проблеми.

Вивчення проблеми.

Написання тез, рефератів, повідомлень.

Виклад змісту рефератів, повідомлень.

Формулювання рекомендацій.

Зворотний зв'язок — виконання рекомендацій, творче їх осмислення та впровадження в практику роботи.

17) Формування наукового світогляду при викладанні математики. Математика і антинаукові теорії.

Методика викладання математики перебуває на етапі розроблення оптимальних форм і методів застосування комп’ютерних технологій.

У своїй практичній діяльності кожен учитель, що проводить навчальні заняття з використанням ІКТ, обирає потрібний йому за різними параметрами набір педагогічних програмних засобів, що підвищує ефективність його праці, а   рівень теоретичних знань, практичних умінь і навичок його учнів  наближує до вимог сьогодення. Окрім цього, для кожного вчителя є важливим не лише досягнення максимального результату роботи, але і спосіб його досягнення.

Програма для створення презентацій Microsoft Power Point є універсальним видом наочності і може бути застосованою у будь-якому класі на уроці будь-якого типу. Та найефективнішим, на нашу думку, є підготовка та використання презентацій на таких етапах вивчення математики:

- на уроках вивчення нового матеріалу у вигляді комп’ютерного діафільму з використанням елементів анімації;

- на уроках узагальнення і систематизації знань з теми -  у вигляді шаблону «навчальний посібник» (презентації з майстра автозмісту) або йому подібного, у якому розглядаються всі поняття, формули, співвідношення з теми, приведено матеріал з історії розвитку данного поняття, міститься яскравий ілюстративний матеріал – діаграми, схеми, ілюстрації, аудіо та відеофайли, матеріали для контролю та самоконтролю знань.

Систематичне використання комп’ютерних презентацій на уроках знімає актуальне питання наочності з математики. Більше того, постає інше питання – чи варто витрачати невеликі шкільні ресурси для придбання наочності, зокрема традиційних таблиць, плакатів тощо, якщо можна подати їх у вигляді презентації.

Ефективним способом у процесі формування наукового світогляду та абстрактного мислення є розв’язування задач з геометрії, умови яких містять параметри.

18) Архітектура і зміст сучасної математики. Математичні структури і теорії.

Ієрархія по Бурбаки, описана в статті "Архітектура математики" (1948), представляється трирівневої:

Основні (породжують) математичні структури. У центрі знаходяться основні типи структур. Найголовнішими, так би мовити, породжують структури ( фр. les structures-meres ) З них є

Алгебраїчні структури;

Топологічні структури;

Структури порядку.

У кожному з цих типів структур присутня достатня різноманітність. При цьому слід розрізняти найбільш загальну структуру розглянутого типу з найменшим числом аксіом і структури, які виходять з неї в результаті її збагачення додатковими аксіомами, кожна з яких тягне за собою і нові наслідки.

Відносини, які є вихідною точкою у визначенні структури, можуть бути досить різноманітними.

Найважливішим типом структур є алгебраїчні структури. Наприклад, ставлення, зване "законом композиції", тобто відношення між трьома елементами, яке визначає однозначно третій елемент як функцію двох перших. Коли відносини у визначенні структури є "законами композиції", відповідна математична структура називається структурою алгебри. Наприклад, структури лупи, групи, поля визначається двома законами композиції з належним чином обраними аксіомами. Так додавання і множення на безлічі дійсних чисел визначають поле на безлічі цих чисел.

Другий важливий тип представляють структури, визначені відношенням порядку, тобто структури порядку. Це відношення між двома елементами , Яке частіше за все ми висловлюємо словами " x менше або дорівнює y "І яке в загальному випадку позначається як x R y . У цьому випадку не передбачається, що це відношення однозначно визначає один з елементів як функцію іншого. В теорії множин часто замість терміна "структура порядку" використовується термін " решітка ".

Третім типом структур є топологічні структури (або топології). У них знаходять абстрактну математичну формулювання інтуїтивні поняття околиці, межі і безперервності.

2.   Складні математичні структури. У складні ( фр. multiples ) Структури входять одночасно одна або кілька породжують структур, але не просто комбінований один з одним, а органічно скомбіновані за допомогою зв'язують їх аксіом. Наприклад, топологічна алгебра вивчає структури, що визначаються законами композицій і топологічної структурою, які пов'язані тією умовою, що алгебраїчні операції є безперервними (у розглянутій топології) функціями елементів. Іншим прикладом є алгебраїчна топологія, яка розглядає деякі безлічі точок простору, визначені топологічними властивостями, як елементи, з яких виробляються алгебраїчні операції.

3.   Приватні математичні структури. У приватних структурах елементи розглянутих множин, які до цього в загальних структурах були абсолютно невизначеними, отримують певну індивідуальність. Саме таким чином отримують такі теорії класичної математики, як математичний аналіз функцій дійсної та комплексної змінної, диференціальну геометрію, алгебраїчну геометрію

Математичні поняття. Методика формування математичних понять.

Кожна наука оперує своїми поняттями. У математиці (як у науці, так і в навчальному предметі) розглядають різні об'єкти: числа, фігури, формули, рівняння, конус, інтеграл, натуральне число і т.д. Все це математичні поняття. Скільки їх? Кілька тисяч, найважливіші перераховані в математичній енциклопедії, в ШКМ - кілька сотень.

За допомогою понять ми висловлюємо загальні, суттєві ознаки предметів і явищ, процесів і відносин об'єктивної дійсності.

У математичних поняттях відображаються в основному кількісні відносини і просторові форми матеріального світу.

Кожне поняття характеризується обсягом і змістом.

Обсяг поняття - це безліч об'єктів, на які поширюється дане поняття.

Зміст поняття - це сукупність основних ознак об'єктів (предметів або явищ), що охоплюються цим поняттям. Наприклад, поняття «число». Обсяг - безліч всіх парних чисел. Змістом є ознака «число, що ділиться на 2». Поняття «рівняння». Зміст - рівність, що містить одну або кілька змінних.

Зміст поняття розкривається за допомогою визначення, обсяг - за допомогою класифікації. За допомогою визначення і класифікації окремі поняття організуються в систему взаємопов'язаних понять.

В ШКМ вміння вказати обсяг поняття виявляється за допомогою завдань такого типу: наведіть приклади різних трикутників (паралелограмів, десяткових дробів і т.д.), а вміння вказати зміст перевіряється за допомогою завдань такого типу: 1.Що називається трикутником (кругом, раціональним числом, конусом). 2.Сформулюйте визначення кіл (кулі, дійсного числа, рівняння і т.д.). Між обсягом і змістом має місце Закон зворотного відносини: чим ширше зміст поняття, тим вже його об'єм і, навпаки. Наприклад, поняття «трикутник». Додамо до двох його ознаками: 1) плоский багатокутник, 2) наявність трьох сторін (зміст поняття). Ще третій - 3) дві сторони рівні. Отримали нове поняття «рівнобедрений трикутник». Зміст ширше, а обсяг, вже: безліч рівнобедрених трикутників є підмножиною множини трикутників взагалі.

Формування понять - складний психологічний процес, звичайно (але не завжди) протікає по такій схемі: відчуття - сприйняття - уявлення - поняття.

Розглянемо процес формування понять на прикладі поняття «куб». Куб - математичний об'єкт, тому немає відчуттів («м'яч» - відчуваємо пружність, вага розмір).

Ми бачимо на столі дерев'яну модель куба - у нас є сприйняття куба. Прибрали куб - сприйняття скінчилося, але не зникає з нашої пам'яті безслідно. В даний момент ми можемо не бачити цього куба, але ми можемо його собі уявити лежачим на столі, тому що його образ зберігся в нашій свідомості. Це і є уявлення. Але ми бачив багато різних кубів різного розміру, різного забарвлення, виготовлених з різних матеріалів і т.д. Ми можемо відвернутися від індивідуальних ознак окремих моделей куба і виділити тільки ті ознаки, які є загальними й істотними для будь-якого куба (наприклад, форма). Тоді у нас створюється поняття куба взагалі. Висновок (сутність поняття):

Поняття абстрагується від індивідуальних рис і ознак окремих сприйнять і уявлень і є, таким чином, результатом узагальнення сприйнять і уявлень дуже великої кількості однорідних предметів і явищ.

Заключним етапом формування поняття, як правило, є його визначення:

Перерахування необхідних і достатніх ознак поняття, зведених у зв'язне пропозицію (мовне або символічне), є визначення поняття (математичного об'єкта). В ШКМ визначення розглядають як таке математичне пропозицію, яка зводить дане поняття математики до вже знайомим математичним поняттям. За Погорєлову: «Дати визначення чого-небудь - значить пояснити, що це таке». Необхідно, щоб учні розуміли, що ніякі визначення не доводяться. Про визначення не має сенсу говорити, істинно воно або помилково. Визначення може бути правильним (коректним) або неправильним (некоректним) залежно від того, задовольняє вона чи ні певним вимогам (відсутність порочного кола і відсутність омонімії).

У математиці і в навчанні математики застосовуються різні способи визначень.

І. «Через найближчий ряд і видову відмінність». Наприклад, визначається поняття «просте число» - натуральне число, більше 1 (рід) + має тільки два дільника (видову відмінність), «квадратне рівняння» - рівняння (рід) + виду «ромб» - паралелограм (рід) + боку якого рівні (видову відмінність). Такі визначення є явними визначеннями, в яких чітко (явно) виділені визначаються і визначають поняття.Вони дозволяють замінити при необхідності, наприклад, при доказі теорем, одне поняття іншим.

ІІ. Генетично (спосіб, який вказує на походження поняття). Наприклад, Визначення кола, кола, сфери, кулі,, лінійного кута, двогранного кута, конуса, циліндра як тіл обертання - генетичні. Однак не всі математичні поняття визначаються таким чином. Процес відомості одного поняття до інших не може бути нескінченним. Тому є початкові поняття, які явно не визначаються через інші поняття, їх властивості виражаються в аксіомах, це неявні аксіоматичні визначення понять, наприклад, точка, пряма, площина, натуральне число, міра та ін.

Огляд програмного забезпечення навчального процесу у вищій школі.

Важлива роль у рішенні стратегічних проблем соціального та економічного характеру для розвитку держави належить вищій школі. У сучасних умовах змін в науці, техніці та виробництві система вищої освіти має відповідати стану науково-технічного прогресу та активно впливати на нього, сприяючи зміцненню та підвищенню культури й духовності нашого суспільства.

Таким чином, для успішної діяльності вищої школи в сучасних умовах необхідно удосконалювати  навчальну, науково-педагогічну та управлінську роботу, за рахунок створення  систем організаційного управління, які б  базувались на  сучасних інформаційних технологіях  та реалізовували б нові задачі оптимального управління процесами і об’єктами ВНЗ.

Після того, як Україна стала незалежною державою, освітня політика докорінно змінилася. Нестабільність та невизначеність у сучасних економічних та правових умовах вимагають від керівників вищих навчальних закладів більш самостійних дій та виважених рішень. Тому зараз питання про створення єдиної автоматизованої системи управління вищим навчальним закладом є найбільш актуальним.

Повна інформатизація вищого навчального закладу має бути досягнута рішенням наступних загальних задач:

створення корпоративної мережі вищого навчального закладу на базі телекомункаційного вузла (Інтернет / Інтранет);

впровадження електронного документообігу у сферах управління та організації навчального процесу;

створення, розвиток та використання навчально-дослідницьких систем автоматизації наукових досліджень;

створення, впровадження та використання перспективних електронних навчальних засобів та систем:

електронних підручників;

автоматизованих навчальних та контролюючих курсів;

систем тестування;

систем дистанційного навчання;

створення, впровадження та використання автоматизованих інформаційних систем (бібліотечних, видавницьких);

автоматизація бухгалтерського обліку, адміністративно-господарчих ресурсів, планування та управління кадрами;

забезпечення та підтримка кваліфікації у сфері інформатизації професорсько-викладацького складу наукових працівників та навчально-допоміжного персоналу, надання освітніх послуг у цій області;

розробка та використання методичних матеріалів для ефективного функціонування інформаційних технологій у навчальному процесі та наукової діяльності, формування методичних фондів на базі існуючих серверів мережі та бібліотек

Система організаційного управління ВНЗ на сучасному етапі уявляється як інформаційна система, що виконує функції планування, обліку, контролю, аналізу та регулювання. Крім того, вона повинна виконувати також інформаційно-довідкову функцію, що передбачає миттєву реакцію системи на запит будь-якої інформації, регламентованої відповідними повноваженнями особи, що надає цей запит. Шляхом створення єдиного інформаційного та комунікаційного середовища на базі технологій Інтранет та клієнт/сервер система повинна забезпечувати доступ різних категорій користувачів (викладачів, студентів різних форм навчання, співробітників та адміністративних працівників) до інформації, у тому числі й навчального, організаційного характеру (електронним версіям державних стандартів та нормативів, навчальним планам, методичним посібникам, завданням для самостійної роботи студентів, оперативної інформації з успішності навчання студентів, кадрам, бібліотечним каталогам, інше). Система має бути максимально захищеною як від ненавмисних некоректних дій користувачів, так і від навмисних спроб руйнування інформації або намагань доступу до критичних даних.

Разом з тим, використання новітніх інформаційних технологій у системі освіти не обмежується лише питаннями управління адміністративними ресурсами навчального закладу. Ще більш потужним та перспективним є застосування комп’ютерних технологій як засобу навчання. Застосування засобів нових інформаційних технологій (НІТ) надає величезних можливостей для вдосконалення навчання, для створення умов активізації навчально-пізнавальної діяльності студентів. Згідно з концепцією інформатизації освіти передбачається застосування ефективних засобів та організаційних форм навчальної роботи з використанням нових інформаційних технологій навчання, забезпечення їх впровадження у традиційні навчальні дисципліни

21. Створення навчальних і контролюючих програм

Програмоване навчання - це такий метод викладання, який дозволяє найбільш повно здійснювати індивідуальне навчання на основі загальної методики, надавати своєчасну допомогу учню і контролювати засвоєння знань.

Основоположником програмованого навчання вважається американський психолог Б.Скіннер, який випустив у 1954 році книгу „Наука об учении и искуство обучения”. Суть основних ідей програмованого навчання в наступному:

розчленування строго відібраного навчального матеріалу на окремі невеликі частини;

включення системи вказівок, що необхідно виконати на кожному кроці знайомства з порцією матеріалу;

задання питань і вправ по перевірці засвоєння кожної порції матеріалу;

розробка гнучкої системи зворотного зв’язку, яка забезпечує поінформованість учня про правильність його відповідей.

Важливим етапом навчанням Б. Скіннер вважав процес складання відповідей. Таким чином, навчання по Скінеру - це проробка певної лінійної, програми з активним складанням відповідей. Така схема реалізується у вигляді навчальної програми, але володіє слабкою адаптацією до індивідуальних особливостей учня. Позитивною властивістю цієї схеми є постійне підкріплення правильності відповіді учня, що, на думку Скіннера, добре впливає не лише на засвоєння поточної порції матеріалу, але і готує для більш позитивного вивчення наступну порцію матеріала.

Більш гнучкою є схема програмованого навчання по методу Прессі, яка являє собою розгалужену програму. На відміну від лінійної програми Скіннера, по якій усі студенти проходять один і той же „шлях” – набір порцій, то в розгалуженій програмі можливі декілька напрямків шляху. Учнями, які встигають, добре засвоюють матеріал, буде пройдений більш короткий шлях, а слабкими чи неуважними – більш тривалий.

І в лінійних, і в розгалужених програмах слідуюча порція матеріалу видається лише після того, як учень дав правильну відповідь на питання. Прессі сформулював два закони програмованого навчання: „закон частоти повторень” і „закон новизни”.

Суть першого – учень повинен давати більшу кількість правильних відповідей на поставлені питання, тим самим повторюючи й закріплюючи пройдене. „Закон новизни” має на увазі посилення мотивів навчання перед знайомством із черговою порцією шляхом позитивної реакції учня на власну правильну відповідь.

Текстова учбова програма - це компонент автоматизованої навчаючої системи, яка являє собою оснований на ЕОМ комплекс учбово-методичного, інформаційно-лінгвістичного і програмно–технічного забезпечення, орієнтованого на керування навчанням.

Перш чим приступати до розробки текстової учбової програми, необхідно чітко сформувати цілі навчання, визначити місце цієї програми в учбовому предметі й уявити учня, якому програма адресується. Основний принцип створення учбових програм на персональних EОM – це компактність та модульність. Наступний етап - виділення фрагментів учбового матеріалу в рамках параграфу.

Фрагмент складається з трьох основних частин: 

заголовок;  текст; питання.

Після написання текстів фрагментів необхідно визначити, які з них є найбільш суттєвими, обов’язковими для вивчення, які можна віднести до додаткового матеріалу, що розширює тему, а які – для більш детального навчання слабих учнів. І, на кінець, останній етап перед програмуванням курсу на персональних ЕОМ – створення навчального діалогу по кожному фрагменту.

Ряд таких вимог сформулював психолог Є. І. Машбіц:

допомога повинна надаватись своєчасно;

допомога повинна бути адекватна тим проблемам, які виникли в учня;

міра допомоги повинна відповідати можливостям учня;

допомога повинна бути вмотивованою;

студенту повинна бути надана можливість для запиту в любий момент часу.

Основні вимоги до зворотного зв’язку:

після допущеної помилки повинен відбутися зворотній зв’язок;

повідомлення зворотного зв’язку повинні ретельно дозуватися і детальність пояснення повинна відповідати допущеній помилці, важливості поставленого питання;

перед поясненням помилки повинна бути зроблена хоча б одна спроба учня виправити її самостійно;

додаткова інформація видається лише після відповіді на питання;

повідомлення зворотного зв’язку повинні відповідати параметрам адресату – віку, професії і т.п.;

на початкових етапах вивчення нового матеріалу зворотній зв’язок повинен бути більш детальним і частішим, чим на більш пізніших;

зворотній зв’язок повинен надходити не пізніше чим через 30 с після того, як учень зробив помилку.

Види контролю.

Контроль знань в автоматизованих навчаючих системах буває трьох видів:

попередній;

поточний;

підсумковий.

При попередньому контролі визначається рівень підготовки учня по даній темі і відповідний шлях проходження параграфа курсу.

Поточний контроль – відповіді на питання фрагментів, перевірка рівня засвоєння кожного фрагменту і окремих ділянок теми.

І на кінець, підсумковий контроль призначений для того, щоб вияснити стан учня цілям навчання і, як правило, проводиться по всім поняттям теми. Згрупувавши питання по окремих поняттях, приписавши кожному поняттю вагу і встановивши зв’язок між питаннями й фрагментами можна не лише надати цілеспрямовану допомогу при неправильній відповіді, але і сформувати множину фрагментів для повторення понять, які тяжко засвоюються. Підсумковий контроль може мати вид тренажера по вивченим поняттям і являє собою останню стадію адаптації автоматизованого учбового курсу до учня.

22. Організація, зміст і перспективи дистанційної освіти.

Офіційно дистанційне навчання в Україні з’явилося в жовтні 1998 р., коли в Одесі під час національної конференції з розвитку бізнес-освіти було підписано меморандум про співпрацю між 27 вищими навчальними закладами. Незабаром було засновано Українську систему дистанційної освіти, за якою студентам пропонувалися оригінальні web-курси із застосуванням сучасних технологій адміністрування серверів. 7 червня 2000 р. був виданий наказ № 293 Міністерством освіти і науки України “Про створення Українського центру дистанційної освіти”, а вже 20 грудня 2000 р. Міністерство освіти і науки України затвердило "Концепцію розвитку дистанційної освіти в Україні".

Дистанційне навчання традиційно визначається як освітній процес, у якому значна частина викладання здійснюється викладачем чи групою викладачів, віддаленим у просторі і часі від учня або групи учнів.

Порівняно з традиційним кореспондентським навчанням, дистанційне навчання на основі комп'ютерних комунікацій дає можливість:

- розширити аудиторію учнів з мінімальними витратами (не потрібно друкованих матеріалів і аудиторій, студенти не несуть матеріальних витрат на поїздки);

- постійного контакту між педагогом та студентами; залучення зарубіжних викладачів і експертів;

- постійного доступу до навчальних матеріалів, що регулярно оновлюються;

- регулярне тестування знань в асинхронному і в синхронному режимах;

- реалізації колективних форм навчання;

- проведення дискусій;

- розробки і виконання спільних проектів;

- не потрібно шукати аудиторій, технічних приміщень та іншої нерухомості для проведення лекцій, семінарів тощо.

Інформаційне освітнє середовище дистанційного навчання являє собою системно організовану сукупність засобів передачі даних, інформаційних ресурсів, протоколів взаємодії, апаратного й програмного та організаційно-методичного забезпечення, орієнтоване на задоволення освітніх потреб споживачів. Базовими є такі принципи побудови і функціонування дистанційного навчання:

Поєднання централізованого і децентралізованого управління: забезпечення необхідних методологічних, технічних і фінансових умов для впровадження комунікаційних і інформаційних технологій з боку уряду, має поєднуватися з високою відповідальністю за організацію, зміст і якість навчання на місцях з боку керівництва і працівників вищих навчальних закладів.

2.  Гнучкість: навчання відбувається у зручному для студента місці, темпі й часі, в основному без відвідування регулярних занять у вигляді лекцій, семінарів та ін.

3.  Доступність дистанційної освіти: навчання має бути ефективним і одночасно недорогим. Його відносно низька собівартість забезпечується за рахунок використання вищої концентрації й уніфікації освітніх матеріалів, орієнтованості технологій на велику кількість об’ єктів.

Модульний принцип програм дистанційної освіти: кожний окремий курс створює цілісне враження про визначену предметну ділянку. З набору незалежних курсів-модулів формується навчальна програма, що відповідає індивідуальним або груповим (наприклад, для персоналу окремої фірми) потребам і ґрунтується на наявних державних освітніх стандартах.

Спеціалізований контроль якості навчання: використовуються дистанційно-організовані іспити, співбесіди, практичні, курсові і проектні роботи, екстернат, комп’ютерні інтелектуальні системи. Дистанційним способом мають викладатися теоретичні і ті прикладні дисципліни, для яких практичні заняття можна організувати за допомогою інформаційних технологій без втрати якості навчання.

Структура і функції системи дистанційного навчання повною мірою викладені в «Положенні про дистанційне навчання», затвердженому 21 січня 2004 р. наказом № 40 Міністерства освіти і науки України.

Основні завдання сучасного етапу розвитку системи дистанційної освіти:

Усвідомлення керівниками освіти, органами управління, професорсько-викладацьким складом i широкою педагогічною спільнотою доцільності, необхідності та можливості впровадження дистанційного навчання у вітчизняну освіту.

Створення національних, галузевих, регіональних, місцевих підсистем дистанційної освіти і відповідних до них телекомунікаційних мереж з виходом до мережі Інтернет.

Розробка навчально-методичних комплексів дистанційного навчання та їх сертифікація.

Створення локальних телекомунікаційних мереж з виходом до Інтернет навчальних закладів і формування їх Web-сайтів дистанційного навчання.

Підготовка кадрів для дистанційного навчання; формування експериментальних навчальних груп та їх дистанційне навчання.

23. Форми, способи, засоби контролю і оцінювання знань і вмінь учнів.

Контроль – це виявлення, встановлення та оцінка знань учнів, тобто визначення об’єму, рівня та якості засвоєння навчального матеріалу, виявлення успіхів у навчанні, прогалин в знаннях, уміннях та навичках окремих учнів та всього класу для внесення необхідних коректив в процес навчання, для вдосконалення його змісту, методів, засобів та форм організації.

Під оцінкою успішності учнів розуміють систему певних показників, які відображають об’єктивні знання та уміння учнів. Оцінку можна розглядати як визначення ступеня засвоєння учнями знань, умінь та навичок у відповідності з вимогами, що пред’являються до них шкільними програмами.

Передусім оцінка характеризує рівень засвоєння і якості знань набутих учнями в процесі навчання, а також їх розвиток та готовність до застосування цих знань на практиці і показує відношення між тим, що учень знає з певних питань програми, і тим, що він може знати з цих же питань на даний момент навчання.

Використовуються такі форми контролю: фронтальна, групова, індивідуальна, комбінована, самоконтроль, взаємоконтроль.

При фронтальній формі організації учитель ставить питання до всього класу з метою залучення його до обговорення. Форма дозволяє вдало поєднувати перевірку знань з повторенням і закріпленням матеріалу. За порівняно короткий час учитель перевіряє знання у значної частини учнів класу.

Групова форма використовується в тих випадках, коли перевіряються підсумки навчальної роботи або хід її виконання частиною, групою учнів класу, що одержала певне завдання.

Індивідуальний контроль здійснюється на уроці і застосовується для ґрунтовного ознайомлення учителя із рівнем навчальних досягнень окремих учнів. При цьому звертається увага на осмислений характер відповіді учня, логічність його суджень, доказовість положень, уміння застосовувати засвоєні знання.

Комбінована форма поєднує індивідуальний контроль з фронтальним і груповим: учитель одночасно викликає для відповіді декількох учнів, один з них відповідає усно, 1-2 готуються до відповіді, виконуючи на класній дошці необхідну роботу, а решта учнів виконує індивідуальні письмові чи практичні завдання. Перевага: можливість ґрунтовно перевірити декількох учнів при порівняно невеликій витраті часу. Недолік: обмежує навчальну функцію перевірки, бо учні, які самостійно виконують завдання, не беруть участі у фронтальній роботі з класом, а результати їх праці перевіряються учителем за межами уроку.

Самоконтроль допомагає учневі самостійно розібратися в тому, як він оволодів знаннями, перевірити правильність виконання вправ шляхом зворотних дій, оцінити практичне значення результатів проведених дослідів, виконаних вправ, задач тощо. Сама перевірка сприяє стимулюванню учіння, більш повному сприйманню навчального матеріалу, викликає потребу в його глибокому осмисленні.

Взаємоконтроль включає контроль і оцінювання з боку інших учнів, оцінювання самим учнем висловлювань та результатів діяльності інших учнів, відповідальність за оцінювання роботи товаришів.

Серед методів (способів) контролю виділяють: усну перевірку, перевірку письмово-графічних робіт і перевірку практичних робіт.

Усна перевірка націлена: перевірити виконання домашнього завдання, виявити підготовленість учнів до вивчення нового матеріалу, перевірити ступінь розуміння і засвоєння нових знань. Залежно від змісту вона проводиться по матеріалу попереднього уроку або по окремих розділах і темах курсу. Методика усної перевірки містить у собі дві основні частини:а) складання перевірочних питань і їх задавання; б) відповідь учнів на поставлені питання.

Якість питань визначається характером розумових дій, які виконують учні при відповіді на запитання. Тому серед перевірочних завдань виділяють питання, що активізують пам'ять (на відтворення вивченого),мислення (на порівняння, доказ, узагальнення), мова. Велике значення мають проблемні питання, які змушують застосовувати отримані знання в практичної діяльності.

В дидактичній літературі виділяються дві умови якісного виявлення знань учня: учневі ніхто не заважає (вчитель і клас коментують відповідь потім); створюється обстановка, що забезпечує найкращу роботу його інтелектуальних сил.

При оцінці відповіді учня звертають увагу на правильність і повноту відповіді, послідовність викладу, якість мови. Прийоми усної перевірки використовуються на різних етапах уроку.

Перевірка письмово - графічних робіт має свої особливості: велика об'єктивність у порівнянні з усною перевіркою, охоплення потрібного числа що перевіряються, економія часу. Застосування письмових робіт використовується для: перевірки знання теоретичного матеріалу; уміння застосовувати його до рішення задач; контролю сформованих навичок.

У методиці письмово - графічних робіт виділяють чотири основних етапи,яким треба приділяти увагу, це підготовка, організація, проведення,аналіз результатів.

При підготовці потрібно: вичленувати мету перевірки, відібрати зміст об'єктів перевірки, скласти перевірочні завдання. Велику допомогу при цьому надають навчально-методичні посібники "Книга для вчителя", "Дидактичні матеріали ", зразки перевірочних робіт у журналі" Математика в школі ".

При організації перевірочної роботи учнем повідомляється - в яких зошитах її виконувати, які завдання їм призначені, як озаглавити роботу, як оформити рішення, час виконання роботи. При цьому стежити за самостійністю виконання роботи кожним учнем.

Аналізування відповідей учнів ефективно тоді, коли воно проводиться за певними схемами (схемами по елементного аналізу). Ретельно проведений аналіз дозволяє глибоко вивчити прогалини і досягнення окремих учнів, виділити типові помилки й основні труднощі учнів, вивчити причини їх появи і намітити шляхи їх усунення.

Перевірка практичних робіт дає можливість одержати дані про уміння учнів застосовувати отримані знання при вирішенні практичних завдань, користуватися різними таблицями, формулами, креслярські і вимірювальними інструментами, приладами.

До засобів перевірки відносяться питання, задачі та інші завдання, за допомогою яких виявляються знання, уміння, навички учнів. Засоби здійснення контролю поділяються на машинні і безмашинних засоби перевірки.

Безмашинних засоби перевірки включають в себе усне опитування учнів біля дошки, перевірку вчителем зошитів з домашнім завданням, математичний диктант, самостійну і контрольну роботи. Ці засоби перевірки розробляються для кожного  класу і висвітлюються на сторінках методичної літератури.

З машинних засобів перевірки поширені класи автоматизованого контролю знань з застосуванням контролюючих засобів (АК, АМК-1, «Орленок», УГК, «Диск-18», «Ласточка» й ін.) або інформаційно-контролюючих (індивідуальні навчаючі машини і обладнання типу тренажів).

24. Засоби контролю при вивченні математики. Тестування у середній і вищій школі, його переваги і недоліки.

До засобів перевірки відносяться питання, задачі та інші завдання, за допомогою яких виявляються знання, уміння, навички учнів. В теперішніх умовах створюються і розповсюджуються такі засоби машинної і без машинної перевірки, які не потребують великої кількості часу на підготовку, проведення і обробку результатів. З машинних обладнань поширені класи автоматизованого контролю знань з застосуванням контролюючих засобів (АК, АМК-1, «Орленок», УГК, «Диск-18», «Ласточка» й ін.) або інформаційно-контролюючих (індивідуальні навчаючі машини і обладнання типу тренажів).

Контролюючі технічні засоби призначені для поточної і тематичної перевірки знань, умінь і навичок учнів. Вони сприяють організації фронтальної перевірки, оперативному одержанню інформації про ступінь розуміння і засвоєння певної частини навчального матеріалу, активізації розумової діяльності кожного школяра. За своїм принципом вони розраховані на використання різноманітних перевірних завдань, відповіді на які учні дають цілком без шифрування або з попереднім шифруванням у вигляді відповідної послідовності цифр. Найбільш активно використовуються перевірні завдання з вибором відповіді: учням пропонують завдання з декількома відповідями або результатами, серед яких вони вибирають правильний і вводять в контролюючий пристрій через пульт, який є на кожному учнівському столі. Запропоновані учням перевірні завдання або їх системи перед опитуванням попередньо записують на дошці або використовують спеціальні плакати чи кодопозитиви.

Деякі контрольно-навчаючі обладнання дають можливість кожному учневі проконтролювати правильність виконаних ним дій. Учні порівнюють свої результати з відповіддю, попередньо закладеною вчителем у машину, що забезпечує організацію самоконтролю знань.

 3 безмашинних засобів перевірки активно використовуються короткочасні усні й письмові перевірні роботи, математичні диктанти, контрольні роботи на один або два уроки. Ці засоби перевірки добре розроблені і висвітлені в навчально-методичній літературі, в дидактичних матеріалах для вчителя. У комплекс засобів перевірки входять окремі питання, задачі і завдання, багато яких виготовляють у вигляді таблиць, карток з друкованою основою, матриць, завдань з вибором відповіді та ін. Ці засоби перевірки розробляються для кожного  класу і висвітлюються на сторінках методичної літератури.

 Тестування використовується для оперативної перевірки якості знань учнів з можливістю машинного введення даних (відповідей) і автоматизованої обробки результату з наперед заданими параметрами якості. Кожен тест складається з питань і відповідей, підібраних і побудованих відповідно до певних принципів. Характер питань в значній мірі визначається специфікою і логікою того учбового предмету, для перевірки якого даний тест призначається.

Питання тестів можна звести до двох основних типів: засновані на пізнаванні і засновані на пригадуванні і доповненні.

Найбільше поширення набули тести з питаннями першого типу, часто звані виборчими тестами. До кожного питання пропонується декілька відповідей на вибір, учень повинен знайти серед них правильний.

Серед виборчих тестів, у свою чергу, можна виділити альтернативні тести, тести множинного вибору і тести перехресного вибору.

Альтернативні тести зводяться до того, що учень повинен відповісти на запропоноване питання "та" чи ні". Приклади питань альтернативного тесту:

1. Чи є правильна чотирикутна призма паралелепіпедом? Так, ні (вірне підкреслити).

2. Ділиться 3521 на 9?

3. Чи є одиниця простим числом? і т.д.

Тести множинного вибору звичайно припускають вибір однієї відповіді з числа декількох запропонованих. Одним з різновидів виборчих тестів є тести перехресного вибору, або тести на зіставлення, призначені для встановлення відповідей до них, записаних в довільному порядку.

Приклад. Встановіть відповідність між кількістю граней многогранників, названих в лівій колонці, з числом в правій колонці.

1. Чотирикутна піраміда  2. Октаедр.  3. Ікосаедр.  5. Додекаедр.  4. Паралелепіпед.

1) 20.  2) 5.  3) 12.  4)4.  5) 6

Ваша відповідь: 1-2-3-4-5-.

До тестів на зіставлення можна віднести також тести ідентифікації, коли замість словесних або числових відповідей приводяться схеми, графіки, діаграми, креслення і т.п. Учень повинен розпізнати зображення і пронумерувати їх відповідно до умови. Приклад:

Встановіть, чи існує відповідність між графіками функції у = ах2 + bх + з (мал. 1) і співвідношеннями:

а) а < О, = 0;

б) а < О, > 0;

в) а > О, > 0;

г) а > О, = 0 (де - дискримінант).

Сюди ж можна віднести і тести на систематизацію, використовувані для визначення знання тими, що вчаться алгоритмів різних процесів, уміння упорядкувати ті або інші поняття по певній ознаці і т.д. Набули відоме поширення і технічні засоби для їх реалізації, звані тренажерами.

Приклад. Розташуйте номери нижченаведених многогранників у порядку зростання числа їх вершин.

1. Паралелепіпед.

2. Шестикутна піраміда.

3. Тетраедр.

4. Октаедр.

5. П'ятикутна усічена піраміда.

Тести на пригадування і доповнення, тобто тести другого типу будуються звичайно так: учню пропонується зв'язний текст, в якому пропущені окремі числа, слова, формули або вирази, він повинен заповнити пропуски.

Такі тести використовуються, зокрема, в зошитах з друкарською основою, подібне оформлення відповідей застосовується також в лінійних програмованих матеріалах. При машинній перевірці знань відповіді до питань тестів цього типу вводяться за допомогою числового, число - кодованого і результативного способів введення відповідей.

Приклад. Сторона трикутника, лежача проти прямого кута, називається ............ Це характерний приклад з лінійної програмованої допомоги. Учень повинен пригадати і вписати назву відповідної сторони. Перевагою тестування є можливість охоплення матеріалу з усіх розділів. Оцінювання результатів носить більш об'єктивний характер і не залежить від професійних і особистісний якостей вчителя.

25. Задачі у навчанні математики (функції задач, види задач, методи і способи розв’язування задач). Методика навчання учнів розв’язуванню задач.

Мат-ка як наука виникла  із задач  і розв. в осн.  для розвязання задач і через задачі. У навч. процесі  задачі грають важл. роль, 2/3 учбового часу відводиться на розв. здач. Розвязуючи задачі, учні вчаться застос. отримані теоретичні знання з практики, розвивають мислення  і просторові уявлення.

Немає загальноприйнятого визначення поняття «задача». Існує бл. 20 визначень, наприклад, мат-ною задачею наз. задача, що розвязується мат-ними методами. Або: Мат-на задача – це яка-небудь вимога обчислити, побудувати, довести або дослідити що-небудь, що стосується просторових форм і кількісних відносин.

Осн. компоненти задачі: умови-вимоги.

Типи задач: 1) алгоритмічні; 2) напівалгоритмічні; 3) евристичні.

Алгоритмічні – задачі, для розвяз. яких є алгоритм. Розвязуються за допом. безпосер. застос. визначення, формули, доведеної теореми. Роль таких задач – навчити учнів діяти в стандартних умовах.Напівалгоритмічні - задачі, правила розвязання яких носять узагальнений характер і не м.б. зведені  до об'єднання елементарних кроків, але зв'язки між елементами легко виявляються. Розвязуючи їх, учень вчитися застосовувати алгоритми  в різних ситуаціях,  відбувається узагальнення правил розвязання задач. Евристичні - задачі, для розвязання яких необх. з'ясувати деякі приховані зв'язки між елементами умови і вимоги або знайти  невідомий спосіб розвязанняня.

Така типологія задач дає зрозумілий напрям діяльності вчителя по організації навчання учнів розвязуванню задач.

Обов. вимоги до розв. задач: 1)безпомилковість; 2)обгрунтованість; 3)повнота розвязку, вичерпний характер. Бажані вимоги: 4)найб. простота розвязку; 5)належний його запис; 6)пояснення шляхів розвязання; 7)можливе узагальнення розвязку задачі.

Етапи розвязання задачі: 1.Засвоєння змісту задачі. 2.Складання плану розвязання задачі. 3.Реалізація плану розвязання. 5.Аналіз і перевірка правильності розвязку задачі.

Організація навчання розвязанню задач.

Фронтальне розвязання задач - розвязання однієї і тієї ж задачі всіма учнями класу в один і той же час: 1)Усне фронтальне ррозвязання; 2)Письмове розвязання із записом на класній дошці; 3)Письмове самостійне розвязання; 4)Коментування розвязання. Індивідуальне розвязання задач. 

При обговоренні розвязання задачі потрібно зупинитися на наступних питаннях: а)більш повне викор. умови задачі; б)обговорення роботи з пошуку розвязання; в)виявл. зв'язків з раніше розвязаними задачами.

Загальні методи навчання розвязанню математичних задач.

Аналіз і синтез. Аналіз - це метод міркувань від шуканих до даних. Синтез - метод міркувань від даних до шуканих. Обидва ці методи зазвичай застос. у взаємозв'язку. Аналіз і синтез знаходять застос. практично при розвязанні кожного виду задач: 1)при розв. задач на доведення. 2)при розв. текстових задач. 3)при розв. задач на побудову в геометрії.   

Метод вичерпних проб, основою якого є виявлення всіх логічних можливостей і відбір з них таких, які задовольняють умові задачі. Якщо логічних можливостей, відповідних умові задачі кінцеве число, то може виявитися можливим перебрати всіх їх і в ході цього перебору виділити ті, що цілком задовольняють умову.

Метод зведення. Суть його полягає в тому, що дані задачі піддаються послідовним перетворенням. Кінцем ланцюжка перетворень, що виходить таким чином, може бути стан, простий розгляд якого дає необхідний результат.

Моделювання (математичне і наочне). Математичне моделювання знаходить застосування при розв. багатьох текстових (сюжетних) задач. Рівняння, складене за умовою текстової задачі, є її моделлю.

Велике практичне значення мають методи знаходження наближених значень шуканих величин. Всі графічні прийоми розвязання завдач на обчислення дають наближені розвязки. Але наближені розвязки можуть отримуватись і за допомогою чисельних методів.

В практиці розвязання задач різні прийоми часто комбінуються.

Одна з осн. цілей розвязання задач в ШКМ і полягає в тому, щоб забезп. дієве засвоєння кожним учнем осн. методів  розвязання навчальних математичних задач.

26. Нестандартні типи уроків з математики.

Нестандартний урок — це імпровізоване навчальне заняття, що має нетрадиційну структуру. Назви уроків дають деяке уявлення про цілі, завдання і методику проведення таких занять. Найпоширеніші серед них — уроки-прес-конференції, уроки-аукціони, уроки—ділові ігри, уроки-занурення, уроки-змагання, уроки типу КВК, уроки-консультації, комп'ютерні уроки, уроки-консиліуми, уроки-твори, уроки-винаходи, уроки-заліки, театралізовані уроки, уроки взаємного навчання учнів, уроки творчості, уроки-сумніви, уроки-конкурси, уроки-фантазії, уроки-концерти, уроки-екскурсії, інтегральні уроки тощо.

Нестандартні уроки спрямовані на активізацію навчально-пізнавальної діяльності учнів, бо вони глибоко зачіпають емоційно-мотиваційну сферу, формують дух змагальності, збуджують творчі сили, розвивають творче мислення, формують мотивацію навчально-пізнавальної та майбутньої професійної діяльності. Тому такі уроки найбільше подобаються учням і викликають у них творчий інтерес.

Урок-лекція. Як правило, це уроки, на яких викладається значна частина теоретич. матеріалу. Зал. від дидактичних завдань і логіки навч. матеріалу: ввідні, настановчі, поточні і оглядові лекції. За х-тером викладення і діяльності учнів: інформаційна, пояснювальна, лекція-бесіда і т.д. Ст-ра лекції визнач. вибором теми і мети уроку.

Урок-семінар. Семінари х-теризуються 2-ма взаємозв'яз. ознаками: самостійним вивченням учнів програмного матеріалу і обговоренням на уроці результатів їх пізнавальної діяльності. У практиці навчання набули поширення семінари-розгорнуті бесіди, семінари-доповіді, реферати, творчі письмові роботи, коментування читання, семінар-розвязання задач, семінар-диспут, семінар-конференція і т.д.

Однією з форм організації контролю знань, умінь і навиків учнів є урок-залік. Основна мета його полягає в діагностиці рівня засвоєння знань і умінь учнів на певному етапі навчання. Практикуються різні види заліків: поточний і тематичний, залік-практикум, диференційований залік, залік-екстерн і так далі. При їх проведенні використовуються різні форми організації діяльності вчителя і учнів: залік у формі іспиту, рингу, конвеєра, суспільного огляду знань, аукціону і так далі. Якщо учням заздалегідь повідомляють зразковий перелік завдань, що виносяться на залік, то його прийнято називати відкритим, інакше - закритим.

Уроки-практикуми, повинні бути тісним чином пов'язані з вивченим матеріалом, а також сприяти міцному, неформальному його засвоєнню. Основною формою їх проведення є практичні і лабораторні роботи. Головна їх відмінність полягає в тому, що на лабораторних роботах домінуючою складовою є процес формування експериментальних умінь учнів, а на практичних роботах — конструктивних. Розрізняють настановчі, ілюстративні, тренувальні, дослідницькі, творчі і узагальнювальні уроки-практикуми.

На уроки-екскурсії переносяться основні завдання навч. екскурсій: збагачення знань учнів; встановлення зв'язку теорії з практикою, з життєвими явищами і процесами; розвиток творчих здібностей що вчаться, їх самостійності, організованості; виховання позитивного відношення до учення. За змістом уроки-екскурсії діляться на тематичні і комплексні. За часом проведення розрізняють ввідні, супутні і завершальні уроки-екскурсії. Форми проведення уроків-екскурсійя: «прес-конференція» за участю представників підприємства, установи, музею, історичні екскурсії по предмету, що вивчається, урок узагальнювального повторення по темі, розділу або курсу у формі екскурсії і т.д.

Основу уроків-дискусій складають розгляд і дослідження спірних питань, проблем, різних підходів при аргументації думок, вирішенні завдань і т.д. Розрізняють дискусії-діалоги, коли урок компонується навколо діалогу два її головних учасників, групові дискусії, коли спірні питання вирішують в процесі групової роботи, а також масові дискусії, коли в полеміці беруть участь що все вчаться класу.

 Урок-консультація. На уроках даного типу проводиться цілеспрямована робота не тільки по ліквідації пропусків в знаннях учнів, узагальненню і систематизації програмного матеріалу, але і по розвитку їх умінь. Залежно від змісту і призначення виділяють тематичні і цільові уроки-консультації.

Інтегрований урок. З практичної точки зору інтеграція припускає посилення міжнаочних зв'язків, зниження перевантажень учнів, розширення сфери отримуваної інформації, підкріплення мотивації навчання. Ієрархія ступенів інтеграції: 1.конструювання і проведення уроку двома і більше вчителями різних дисциплін; 2.конструювання і проведення інтегрованого уроку 1-м вчителем, що має базову підготовку по відповідних дисциплінах; 3.створення на цій основі інтегрованих тем, розділів, курсів.

Театралізований урок. Виділення такого типу уроків пов'язане із залученням театральних засобів, атрибутів і їх елементів при вивченні, закріпленні і узагальненні програмного матеріалу. Театралізовані уроки привабливі тим, що вносять до учнівських буднів атмосферу свята, піднесений настрій, дозв. проявити свою ініціативу, сприяють виробленню в учнів відчуття взаємодопомоги, комунікативних умінь. Театралізовані уроки розділяють за формою їх організації: спектакль, салон, казка, студія і т.п.

Основу уроку-змагання складають змагання команд. Форма проведення таких уроків: поєдинок, бій, естафета, змагання, побудовані на сюжетах відомих ігор: КВН, «Брейн ринг», «Щасливий випадок», «Зоряна година» і ін. У організації і проведенні уроків-змагань виділяють три основні етапи: підготовчий, ігровий, підведення підсумків.

Урок з дидактичною грою. На відміну від ігор взагалі дидактична гра володіє істотною ознакою — наявністю чітко поставленої мети навчання і відповідного їй педагогічного результату. Дидактична гра має стійку ст-ру: ігровий задум, правила, ігрові дії, пізнавальний зміст або дидактичні завдання, устаткування, результат гри.

Урок-ділова гра. У ділових іграх на основі ігрового задуму моделюються життєві ситуації і відносини, в рамках яких вибирається оптимальний варіант вирішення даної проблеми і імітується його реалізація на практиці. Ділові ігри діляться на виробничі, организаційно-діяльнісні, проблемні, навчальні і комплексні. Їх відмінними властивостями є: моделювання наближених до реального життя ситуацій; поетапний розвиток гри; наявність конфліктних ситуацій; обов'язкова спільна діяльність учасників гри, що виконують передбачені сценарієм ролі; використання опису об'єкту ігрового імітаційного моделювання; контроль ігрового часу; елементи змагальності; правила, системи оцінок ходу і результатів гри.

Урок-рольова гра. Специфіка рольової гри характеризується більш обмеженим набором ст-рних компонентів. Уроки-рольові ігри можна розділити у міру зростання їх складності на 3 групи: 1)імітаційні; 2)ситуаційні; 3)умовні. Форми проведення рольових ігор: уявні подорожі, дискусії на основі розподілу ролей, прес-конференції, уроки-суди і т.д. Методика розробки і проведення рольових ігор передбачає включення повною мірою або частково наступних етапів: підготовчий, ігровий,завершальний,аналіз результатів.

Методика викладання математики як наука і як навчальна дисципліна. Предмет, зміст, цілі, задачі і структура методики викладання математики.

Методика – слово грецького походження  («метод» -  шлях).  МНМ – це наука   про математику як навч. предмет і закономірності процесу навчання математиці різних вікових груп учнів.(Столяр). МНМ – це наука  про різні  форми  і способи передачі математичних знань, про мету, зміст і задачі навчання математики.(Бевз).

МНМ – наука, що відноситься до циклу пед. наук, порівняно молода, немає і 200р. До 18ст. включно всі питання навчання в школах розглядалися в педагогіці. Але пізніше педагогіка розширилася, диференціювалася, від неї відділилися методики викладання навч. предметів у т. ч. і математики.  Вперше методика математики (ММ) виникла в працях швейцар. педагога І.Г.Песталоцци,  що опублікував в 1803 р. роботу «Наочне вчення про число». Ця книга вважається першою книгою з МНМ. Назва (термін) «ММ» ввів в 1836 році нім. педагог А.Дістервег,  в перекладі це означає «шлях до математики». Т. ч., науковою дисципліною   ММ стає  з поч. 19ст.

Предм. МНМ є дослідж. і розробка системи  ефективних методів, форм і прийомів навчання і виховання в процесі викладання математики.

Осн. мета: розкрити закономірності успішного навчання математиці.

Перед МНМ  стоять  наступні осн. задачі:

1) Визначення  конкретної мети  вивчення математики, тобто відповісти на питання: навіщо треба вивчати математику?

2) Встановлення змісту і об'єму математичних знань в школі, тобто відповісти на питання: що треба вивчати?

3) Розробка раціональних методів, організаційних форм і засобів навчання, що забезпечують засвоєння матеріалу шкільної програми, розробка рекомендацій по їх застосуванню  в практиці роботи вчителя, тобто відповісти на питання: як треба навчати математиці?

Зміст МНМ  складають питання її заг. теоретичних основ – загальна методика і питання вивчення окремих розділів, тем курсу –  спеціальна методика.

ММ тісно пов'язана з багатьма науками і перш за все з математикою. Саме наука математика визначає зміст і методи шкільної математики, а, отже, зміст  і специфіку МНМ. МНМ  пов'язана з пед., особливо з дидактикою. Дидактика розглядає процес  навч. в цілому, в ній досліджується мета, зміст, методи, прийоми навчання всіх шкільних предметів.  Ці питання розгл. і в МНМ,  тільки не в заг. трактуванні,  а конкретно, щодо особливостей і вимог  викладу математики. МНМ  тісно пов'язана з психологією.  Психологія – основа  методики. МНМ пов'язана з психологією  мислення, пам'яті, віковими особливостями  учнів. МНМ  пов'язана з логікою, бо однією з найважл. задач  викладання математики  є розвиток логічного мислення.

МНМ  як навч. дисципліна відрізняється  від МНМ  як науки змістом і метою. Зміст і цілі математики, як науки – розробка і дослідження системи ефект. методів  і прийомів навчання. Як навч. дисципліни – озброїти вчителів азбукою викладання. Є програма з МНМ  1977, 1986, 1990рр., програма ДЕКів 1994р. З МНМ провод. лекції, практичні, лабораторні заняття, спецкурси, спецсемінари,  курсові і дипломні роботи.  

Завдання методики математики - відповісти на чотири основні запитання. 1. Навіщо навчати математики? (Мета навчання математики.) 2. Що треба вивчати? (Зміст навчання.)3. Як треба навчати математики? (Методи, організаційні форми і засоби навчання математики.)4. Як розвивати і виховувати учнів у процесі навчання математики?

Цілі навчання математики (освітні, виховні розвиваючі) в загальноосвітній і вищій школі. Аналіз програм з математики. Рівнева та профільна диференціація навчання математики.

Мета навчання математиці відображає загальнодидактичну мету і разом з тим враховує специфіку даного предмету. Мета навч. математиці підрозділяється на дек-ка груп: освітні, виховні, розвиваючі, практичні. В заг. виді  задачі освіти, виховання і розвитку  в процесі навч. розв'язуються в нерозривній єдності.  Вони  об'єднуються заг. задачею  всестор. гармонійного розвитку учнів.

Осн. документом, в якому фіксується мета навч. мат-ки, є програма з математики. Необхідно розрізняти 2 рівні  опису мети навч.: заг. характеристика мети навч. (дається в пояснювальній записці до програми з математики), і конкретне її уявлення (дається у вигляді вимог  до рівня математичної підготовки учнів). В методичних посібниках для вчителя часто формується освітня мета навч. для окремих тем,  уроків. Освітня мета покликана розмежувати осн. і другорядний матеріал і відповідно до цього допомогти вчителю раціонально розподілити час уроку.

Обов'язкова мета: 1)передати учням певну систему мат-них знань; 2)допомогти учням  оволодіти мат-ними методами пізнання реальної дійсності; 3)навч. учнів усній і письм. мат-ній мові; 4)сформувати в учнів уміння застос. отримані знання для вирішення практичних і прикладних задач, у вивченні ін. навч. предметів; 5)допомогти учням оволодіти мінімумом  мат-них відомостей, потрібних для  активної пізнавальної діяльності в процесі навчання і самоосвіти, і ін.

Виховна мета: 1)формування в учнів наукового світогляду; 2)вих.-ня в учнів стійкого інтересу  до вивчення математики; 3)етичне і естетичне виховання; 4)атеїстичне виховання; 5)економічне виховання; 6)екологічне виховання; 7)проф. орієнтація  на уроках математики.

Розвиваюча мета: 1)розвиток в учнів самост., творчого мислення; 2)формув. у школярів  здатності  самонавч.; 3)оволодіння прийомами розумової діяльн.; 4)формув. узагальнених умінь (умінь, що виходять за рамки специфічних); 5)розв. в учнів геометричної, алгебраїч. і числової інтуїції, кмітливості, спостережливості, пам'яті і т.д.

Аналіз програм з математики. Нормативним, обов'язковим для виконання документом, що визначає осн. зміст ШКМ, об'єм підлягаючих засвоєнню учнів кожного класу знань, умінь і навиків, що набуваються, є програма з математики. Зміст шкільної математичної освіти, не дивлячись на те, що в ньому відбуваються зміни, зберігає своє основне ядро. «Ядро» суч. програми з математики складають: 1.числові системи. 2.Величини. 3.Рів-ня і нерівності. 4.Тотожні перетворення математичних виразів, 5.Координати. 6.Ф-ції. 7.Геом. фігури і їх властивості. 8.Вектори. 9.Початки математичного аналізу. Виділене ядро складає основу базисної програми ШКМ,  в якій матеріал розташований  не по класах, а по ступенях навчання (І, ІІ, ІІІ)  і висловлюється  згідно логіці розвитку провідних науково-методичних ліній.  Базисна програма обов'язкова для всіх учбових закладів, що дають середню освіту. Програма для загальноосвітніх шкіл передбачає основний і просунутий рівні, окремо є програма для шкіл, ліцеїв і гімназій з поглибленим вивченням математики.

Під диф-цією розум. таку с-му навч., при якій кож. учень одерж. право і можлив. приділ. переважну уваг. тим направленням, які у найб. ступені відпов. його схильностям. Види диф-ції: рівнева і профільна.

Рівнева – виражається у тому, що навчаючись в одному кл., по одній програмі та підручнику, школярі можуть засвоювати матеріал на різних рівнях. Визначальним при цьому є рівень обов'язкової підготовки.

Профільна - припускає навчання різних груп школярів по програмах, котрі відрізняються глибиною викладання матеріалу, обсягом відомостей і навіть номенклатурою включених питань.

Обидва види диференціації існують і взаємно доповнюють 1 одного на всіх ступенях шкільної мат-ної освіти, однак у різній питомій вазі.

У осн. школі гол. направленням диференціації є рівнева. Профільне навч. мат-ки у осн. школі може існув. у рамках поглибленого вивчення мат-ки, починаючи з VIII класу. На старшій ступені школи пріоритет віддається різноманітним формам профільного вивчення предметів.

Вимоги до існування рівневої диференціації:

— відкрите пред'явлення рівня обов'язкової підготовки повинно здійсн. на всіх етапах навч.;

— рівень, на якому ведеться викладання, повинен бути вище обов'язкового рівня засвоєння матеріалу;

— всі учні повинні пройти через етап опорних знань, через етап роботи над обов'язковими результатами;

— послідовне просування по рівнях;

— облік індивідуального темпу досягнення обов'язкових результатів;

— відповідн. змісту, к-ролю і оцінки прийнятому рівневому підході;

— добровільний вибір засвоєння і звітності.

Виділення і відкрите пред'явлення всім учасникам навч. процесу рівня обов'язкової підготовки є основою диференціації навчання.

Досягнення рівня обов. підготовки служить критерієм, підставою для орг-ції диференційованої роботи у класі. Контроль пов. передбачати для всіх учнів перевірку обов'язкових результатів навч. і доповнюється перевіркою засвоєння матеріалу на більш високих рівнях.

Засвоєння матеріалу всіма учнями на обов'язковому рівні вимог програми наз. базовим рівнем. Підвищення базового рівня співвідносно здібностям, бажанням і інтересам учнів називають продвинутим рівнем.

Вимоги до мат-ної підготовки сформульов. для кожної ступені школи в прог-мі з мат-ки і відображ. собою цільові установки по віднош. до підсумк. рез-ту навчання. Для кожної ступені виділені 2 рівня оволодіння матеріалом: рівень обов. підгот. та продвинутий рівень мат-ної підгот. Досягнення продв. рівня дає достатню основу для одерж. вищої осв. за спеціальностями, які пов’яз. із застос. мат-ки.

Викор. рівневої диф-ції навчання вносить знач. зміни в навч. процес, які проявл. не стільки в методичних прийомах, які застос. вчитель, скільки в зміні стилю взаємодії з учнями. Реалізувати у практиці викладання принципи рівневої диф-ції можливо, викор. різні м-ди і форми навч., різні прийоми роботи з учнями. Додерж. принципів рівневої диф-ції є обов. для вчителя, який працює в рамках даної технології.

29.  Методи навчання математики у середній і вищій школі (характеристика основних методів навчання). На уроках математики педагог, враховуючи пізнавальні можливості школярів, вибирає тi шляхи пізнання, за доп. яких він найбільш ефективно зможе озброїти їх математичними знаннями і навичками, створити систему математичних понять i сформувати вміння викор-ти набуті знання у практ. діяльності. 

Спеціалісти рекомендують на уроках математики використовувати такі  методи: залежно від форми організації спільної діяльності вчителя й учнів – розповідь, бесіда, самостійна робота; від джерела знань – словесні методи (розповідь або виклад знань, бесіда, робота з підручниками або іншими друкованими матеріалами), наочні методи (спостереження, демонстрація предметів або їхніх зображень), практична робота (вимірювання, креслення геометричних фігур, ліплення, аплікація, моделювання, знаходження значень числових виразів тощо);  від способів організації навчальної діяльності школярів (репродуктивна, продуктивна діяльність) - пояснювально-ілюстративний, при якому вчитель дає готову інформацію, а учні її сприймають, усвідомлюють i запам'ятовують; репродуктивний, при якому дається зразок виконання завдання, а потім вимагає від учнів відтворення знань, дій відповідно до даного зразка; частково-пошуковий, при якому учні беруть участь у пошуку шляхів вирішення поставленого завдання, а педагог розчленовує його на складові частини, певною мірою показує шлях вирішення, а частково вимагає від них самост. роботи; проблемний виклад знань, при якому ставиться певна проблема i школярі, намагаючись  розв'язати, переконуються в недостатності наявних у них знань. Вона для них є частково нерозв'язною. Тоді педагог показує шлях її вирішення; дослідницький метод - це спосіб організації творчої діяльності учнів у вирішенні нових для них проблем. 

У навч. процесі найчастіше спостерігаємо комбінацію зазначених методів. Комплексне їхнє використання дозволяє більш повно вирішувати завдання кожного уроку.

У практиці роботи допоміжної школи найбільшого застосування отримала класифікація методів, в основу якої покладено джерело передачі інформації. В ній всі методи діляться на:  1)словесні (пояснення, розповідь, 6есiда), -- Пояснення - це виклад матеріалу, метою якого є розкриття нових понять, математичних термінів, обчислювальних прийомів тощо. Розповідь - це послідовний, образний виклад матеріалу, спрямований на повідомлення або опис конкретних фактів. На уроках математики найчастіше використовується під час ознайомлення з правилами, властивостями, порядком дій, обчислювальними прийомами тощо.  Бесіда - метод навчання, під час використання якого вчитель, опираючись на наявні у школярів знання, навички і досвід, з допомогою запитань підводить їх до розуміння i засвоєння нових знань, до повторення i перевірки навч. матеріалу. Це питально-відповідний метод навчання. 

2)унаочнення (ілюстрація, демонстрація, спостереження, показ), --Демонстрація - це процес показу предметів i явищ навколишньої дійсності за доп. технічних засобів. Ілюстрація - це показ школярам натуральних предметів та їхніх зображень.  Усний виклад математичного матеріалу у поєднанні з демонстрацією та ілюстрацією наочних посібників називається ілюстративно-демонстративним методом. Ефективність цих методів залежить від вмілого поєднання слова i наочності, уміння виділяти в предметі суттєві ознаки. Однією з активних форм чуттєвого сприймання є спостереження. Цей метод широко використав. на уроках математики з метою підготовки учнів до узагальнень та висновків.   3)практична діяльність (вправи, практ. завдання, самост. робота)-- Практична робота - це діяльність учнів з роздатковим дидакт. матеріалом, вимірювання, ліплення, аплікація, малювання тощо і використ. під час закріплення вмінь і форм. навичок вимірювання, креслення тощо.  Вправа – це багаторазове повторення дії на основі усвідомлення її значущості. Застосовуючи вивчений матеріал на практиці учні поглиблюють свої знання, виробляють відповідні вміння i навички, а при виконанні вправ творчого характеру - розвивають свої здібності. В одних випадках самостійною роботою передбачається лише репродуктивна (відтворююча) діяльності учнів, в інших – організації продуктивного творчого процесу (застосування знань у новій ситуації, розв'язування нових типів задач тощо).

Методи навчання підпорядковуються меті уроку і спрямовуються на розв'язання поставлених на ньому завдань. Завдяки цьому учні оволодівають навч. матеріалом, а вчитель досягає запланованого результату. Реалізація того чи іншого методу здійснюється за рахунок застосування прийомів, якi є складовою його частиною.    Учитель може включати в метод різні прийоми i навпаки, використовувати одні й ті ж прийоми в різних методах.   Ефективність методів залежить від правильного, оптимального їх поєднання в навч. процесі. У навчальному процесі на уроках мат-ки необхідно добиватись оптимального поєднання слова, наочності та практичності, самостійної діяльності школярів. 

Ефективність методів забезпечується i засобами навчання. Ними можуть виступати підручники, навчальні посібники, обладнання для проведення практичних занять, наочність, технічні засоби навчання, кіно-, вiдео-, діафільми, телебачення, комп’ютерні програми тощо.

Перевірка знань, умінь і навичок з математики. Критерії оцінювання навчальних досягнень учнів.

Критеріями оцінювання письмових робіт з математики є: правильність виконаної роботи  та її обсяг.

Оцінювання письмових робіт із математики

Рівні навч. досяг. учнів	Бали	Критерії оцінювання навчальних досягнень учнів
І Початковий	1	Учень виконує роботу частково; допускає в роботі 9 і більше помилок
	2	Учень допускає в роботі 8 грубих помилок, або правильно вик. 1/3 запропонованих завдань; 7 грубих та 2 негрубих; 6 грубих та 3-4 негрубих
	3	Учень допускає в роботі 7 грубих помилок; 6 грубих та 2 негрубих; 5 грубих та 3-4 негрубих
II Середній	4	Учень допускає в роботі 6 грубих помилок; 5 грубих та 2 негрубих; 4 грубих та 3 – 4 негрубих
	5	Учень допускає 5 грубих помилок, або правильно вик.½  запроп. завдань; 4 грубих та 1-2 негрубих; 3 грубі та 3-4 негрубі помилки
	6	Учень допускає в роботі 4 грубі помилки; 3 грубі та 2-3 негрубі; 2 грубі та 4 негрубі помилки
III Достатній	7	Учень допускає в роботі 3 грубі помилки; 1 грубу і 3-4 негрубі помилки; 2 грубі і 2 негрубі помилки
	8	Учень допускає в роботі 2 грубі  помилки, або правильно виконує 2/3 запропонованих завдань; 1 груба і 2 негрубі помилки
	9	Учень допускає в роботі 1 грубу помилку; 2 негрубі помилки
IV Високий	10	Учень допускає в роботі 1 негрубу помилку, або 2-3 виправлення
	11	У роботі -1-2 виправлення
	12	Робота в повному обсязі  виконана правильно й охайно

Під час перевірки математичних знань слід розрізняти грубі і негрубі помилки.

До грубих помилок належать:  - обчислювальні помилки в завданнях   - помилки у визначенні порядку виконання арифметичних дій   - неправильне розв'язання задачі (пропуск дій (дії)), неправильний добір дій (дії), зайві дії  - незакінчене розв'язання задачі чи прикладу  - невиконане завдання (не приступив до його виконання)  -незнання або неправильне застосув. властивостей, правил, алгоритмів, існуючих залежностей, які лежать в основі завдань чи використовуються в ході їх виконання  -невідповідність пояснювального тексту, відповіді завдання, назви величин виконаним діям та отриманим результатам  - невідповідність виконаних вимірювань та геометричних побудов даним параметрам завдання.

Негрубими помилками є:

Нерац. прийоми обчислення, якщо ставилась вимога скористатися такими прийомами

неправильна побудова чи постановка запитань до дій (дії) під час розв'язання задачі

неправильне чи неграмотне стилістично або за змістом формулювання відповіді задачі

неправильне списування даних (чисел, знаків) задачі з правильним її розв’язанням

не закінчене (не доведене) до логічного кінця перетворення

помилки в записах математичних термінів, символів

відсутність відповіді в завданні або помилки у записі відповіді.

 2 негрубі помилки вважають за 1грубу помилку. Охайні виправлення є недоліками роботи.  Тривалість виконання перевірних письмових робіт: у 2-му класі початкової школи: І семестр - до 20 хв, II семестр - до 30 хв, 3 - 4-й класи – до 35 хв. За цей час учням треба встигнути не лише повністю виконати роботу, а й перевірити її.

Предмет методики викладання математики. Принципи дидактики в навчанні математики. Цілі та зміст навчання математики в середній загальноосвітній школі 
Введення 
Розвиток нашої школи на сучасному етапі поставила перед МПМ ряд нових проблем: розробка та обгрунтування змісту математики як навчального предмета в умовах диференційованого навчання; корінне уточнення методів і форм навчання; розробка та введення комп'ютерної техніки в навчальний процес навчання математики, створення новітніх ТСО, розробка методичного забезпечення класів і шкіл з поглибленим вивченням математики і т.д. 
У науковій роботі з МПМ використовуються різні дослідження: теоретичний аналіз проблем, практичний аналіз стану викладання математики, спостереження запроцесом викладання, вивчення шкільної документації, анкетування, вивчення та узагальнення передового досвіду вчителів, педагогічний експеримент. 
1. Предмет методики викладання 
1.1 Визначення МПМ 
МПМ - розділ педагогіки, що досліджує закономірності навчання математики на певному рівні її розвитку у відповідності з цілями навчання, поставленимисуспільством. Інакше кажучи, МПМ - наука про математику як навчальному предметі і закономірності процесу навчання математики учнів різних вікових груп. 
Термін «математика» може позначати певну розумову (математичну) діяльність або ж теорію, що є результатом цієї діяльності. Під навчанням математики будемо розуміти навчання математичної діяльності, яка має ту ж природу, що і вченого-математика. Це можна вважати одним з основних положень у ММ. До числа інших положень належать: науковість; систематичність і послідовність вивчення; свідомість і активність учнів; наочність навчання; міцність знань; принцип індивідуального підходу. Навчання математиці є складний процес управління, здійснюваний учителем з використанням низки допоміжних засобів: підручників, наочних посібників, ТЗН і включає в себе: а) сприйняття; б) переробку; в) зберігання; г) передачу інформації. Учитель переробляє інформацію, що отримується з програми, наукової, навчальної та методичної літератури, а також осведомітельних інформацію про рівень і можливості розумової діяльності учнів і передає, користуючись певними засобами навчальну інформацію учням. Учні сприймають і переробляють інформацію, отриману від учителя, з підручника та інших джерел і на вимогу педагога передають йому інформацію про якість засвоєння навчального матеріалу у вигляді відповідей на питання, рішень вправ і завдань. Передача здійснюється в двох напрямках: 1) у прямому - від вчителя учням і 2) в зворотному - від учнів до вчителя у вигляді відповідей на питання, різноманітних письмовихроботах і становить найбільш суттєву частину навчального процесу. Без обліку на кожному етапі навчання рівня розумової діяльності учнів розвитку в нього певних структур мислення, формування певних понять і якості засвоєння ними попереднього матеріалу не може бути побудовано ефективне навчання. 
МПМ - педагогічна наука, предметом дослідження якої є процес навчання математики, який починається з дошкільних закладів і закінчується вищою школою. Основні компоненти процесу навчання математики наступні: цілі навчання, зміст навчального предмета; методи, засоби і форми навчання; викладання (діяльність учителя); вчення (діяльність учня). 
Методика насамперед розробляє методичну систему навчання. Під методичною системою розуміють структуру, яка включає також компоненти: цілі, зміст, методи, засоби та організаційні форми навчання (див. рис.1) 
SHAPE \ * MERGEFORMAT 
рис. 1 
МПМ визначає цілі загальні (навіщо вчити?), Зміст навчального предмета математики (що вчити?), Розробляє методи і форми навчання (як вчити?), Засоби навчання (за допомогою чого вчити?). 
Вона є приватною теорією навчання (приватна дидактика). Результатом методичної, як і кожної іншої, науки є знання. Вони мають велике значення для викладання та навчання. Важливим завданням МПМ є розробка проблем, які найбільш ефективно допомагають учням займатися математикою. 
Викладання - це діяльність вчителя, спрямована на: 1) передачу інформації учням, 2) розвиток їх пізнавальної діяльності; 3) виховання засобами навчального предмета; 4) організацію навчального процесу. 
МПМ допомагає вчителю на основі дидактичних принципів, за допомогою відповідних прийомів і методів найбільш доцільно організовувати навчально-виховний процес. Вона знайомить вчителя з цілями змістом і методами проведення позакласної роботи з математики. У свою чергу, практика робить дуже великий вплив нарозвиток МПМ як науки. Багато методичні ідеї виникають з потреб практики на основі вивчення та узагальнення педагогічного досвіду вчителів. 
Вчення - діяльність учнів, яка полягає в освоєнні основ математики. Структура процесу навчання включає наступні компоненти: 1) сприйняття учнями математичної інформації, яка йде від вчителя або засобів навчання; 2) осмислення навчального змісту основ математики і закріплення його в пам'яті; 3) використання математичних знань і вмінь для освоєння змісту предмета і вирішення навчально- пізнавальних проблем; 4) словесне вираження математичної інформації. 
1.2 Предмет МПМ 
Зміст методики математики становлять питання її загальних теоретичних основ (загальна методика математики) і питання вивчення окремих розділів, тем курсу (приватні методики математики). 
Шкільне математичну освіту - це організаційний процес і результат засвоєння передбачених програмою математичних знань, умінь і навичок, а так само прийомів мислення і способів пізнання. Воно включає в себе навчання математики і пов'язане з ним виховання. Тому предметом МПМ є математичну освіту, до основних компонентів якої належить: 1) зміст (математична інформація, що підлягає вивченню), 2) структура (система побудови та послідовність вивчення інформації); 3) методи і засоби подачі і засвоєння навчальної інформації; 4) діяльність вчителя на уроці; 5) інтерес учнів до вивчення математики, в поєднанні з навчанням і вихованням. Предметом методики математики (ММ) є навчання математики, яка представляє собою наукову галузь, що займається дослідженням процесу навчання в математиці, де б він не відбувався (від дошкільнят до ВНЗ). Під ММ (методикою математики) будемо розуміти область, предметом якої є навчання математики в середній загальноосвітній школі. 
1.3 Завдання МПМ 
Тому перед МПМ стоять наступні завдання: 1) визначити конкретні цілі вивчення математики і зміст навчального предмета середньої школи; 2) розробити найбільш раціональні методи і організаційні форми навчання, спрямовані на досягнення поставлених цілей; 3) розглянути необхідні засоби навчання та розробити рекомендації щодо їх застосування в практиці роботи вчителя. 
Тому, можна сказати, що МПМ - дисципліна, яка займається розробкою цілей, змісту, засобів, форм і методів навчання математики в навчальних закладах різних типів. І більш коротко завдання МПМ - можна сформулювати так: 
Навіщо треба вчити математики? - Цілі навчання 
Що треба вивчати? - Зміст навчання 
Як треба навчати математики? - МПМ. 
З урахуванням психологічної характеристики учнів певного віку і попереднього навчання, ММ визначає зміст і розробляє методи отримання, відповідні цьому змісту і рівню розумової діяльності учнів. ММ займається також аналізом математичної діяльності та розробкою методів вивчення всіх її аспектів. У завдання ММ входить розробка методів побудови шкільного курсу математики та окремих її розділів по роках навчання. Тому вона аналізує ідейні основи самої математики і досліджує можливості побудови шкільного викладання на базі тих же загальних ідей і математичних понять. Вона розробляє методику формування та розвитку математичних ідей у ​​шкільному навчанні і виклад шкільного курсу математики на базі цих ідей. 
1.4 Проблеми МПМ 
Розвиток нашої школи на сучасному етапі поставила перед МПМ ряд нових проблем: розробка та обгрунтування змісту математики як навчального предмета в умовах диференційованого навчання; корінне уточнення методів і форм навчання; розробка та введення комп'ютерної техніки в навчальний процес навчання математики, створення новітніх ТСО, розробка методичного забезпечення класів і шкіл з поглибленим вивченням математики і т.д. 
У науковій роботі з МПМ використовуються різні дослідження: теоретичний аналіз проблем, практичний аналіз стану викладання математики, спостереження за процесом викладання, вивчення шкільної документації, анкетування, вивчення та узагальнення передового досвіду вчителів, педагогічний експеримент. 
Умовно проблеми ММ можуть бути віднесені до двох класів: 
I клас - проблеми змісту навчання (чому вчити?); 
II клас - проблеми методів навчання (як вчити?). 
Однак ці проблеми є складовими частинами навчання, тісно пов'язані між собою і рішення будь-якої проблеми відноситься до одного з класів не мислимо без урахування іншої. 
При розробці методів навчання ми не можемо представляти їх абстрактно безвідносно до конкретного змісту і об'єкту навчання, специфіка яких повинна враховуватися методами. Зміна змісту призводить до зміни методів навчання. З іншого боку, сама розробка нових методів навчання викликає необхідність оновлень змісту і призводить до зміни рівня розумової діяльності учня. 
Головними проблемами МПМ є: 1) модернізація змісту шкільної математичної освіти; 2) вдосконалення структури шкільного курсу математики; 3) удосконалення методів і засобів навчання математики в школі; 4) оптимізація діяльності вчителя з поєднанню його функцій викладання, організації та управління процесом навчання, 5 ) формування у школярів стійкого активного інтересу до вивчення математики. 
1.5 Зв'язок з іншими науками 
МПМ тісно пов'язана з математичною наукою і її розвитком. Вона аналізує ідеї, методи і зміст математики як науки, займається відбором матеріалу, що складає зміст математики як навчального предмета. Розвиток же самої математики впливає на МП цієї науки. Зміна змісту математики, її методів та ідей призводить до зміни змісту математики як навчального предмета. 
Методологічною основою викладання математики є філософія, яка розкриває найбільш загальні закономірності наукового пізнання. Зміст і цілі навчання виникають із завдань розвитку суспільства та зумовлюють методи, засоби і форми навчання. 
МПМ спирається на логіку. З одного боку, навчання математиці є одночасно і навчання її логіко-математичному мови, з іншого - сама математика, будучи дедуктивної наукою, грунтується на Законі ЛОГІКИ. На їх базі МПМ розробляє рекомендації щодо визначень та класифікації понять, питання виховання логічної грамотності учнів та розвитку їх логічного мислення. 
Методика використовує досягнення психології і грунтується на них. Наприклад, педагогічна психологія розкриває закономірності психічної діяльності учнів: як вони сприймають навколишню дійсність і думають, як опановують знаннями, вміннями і навичками, як формуються їхні інтереси і здібності, Все це має самебезпосереднє відношення до процесу навчання математики. Методика враховує вікові особливості учнів, дані психології як в побудові шкільного курсу математики в цілому, так і в методах на кожному етапі навчання. 
МПМ головним чином пов'язана з педагогікою. Вона спирається на теорію виховання, тому що навчання математиці, як і кожного навчального предмету, має бути які мають. Більшою мірою методика пов'язана з дидактикою. Наприклад, зміст шкільного курсу математики розробляється на основі теорії змісту загальної і політехнічної освіти і т.д. 
1.5 Методи МПМ 
До методів МПМ відносяться: 
1. Вивчення та використання історії розвитку математики і математичної освіти (історія математики - історичний шлях розвитку математичних понять, методів і мови, тобто, "дає нам послідовність та історичні передумови математичних понять, але було б величезною помилкою викладати математику, слідуючи історичнійсхемі" (Г. Фройденталь, сучас. Голландський мат-к); історія математичної освіти - зміна змісту і методів шкільного навчання під впливом самої математики та потреб суспільства, отже, вказаний метод призводить до правдоподібних висновком, що підлягають перевірці з урахуванням численних факторів); 
2. Вивчення і використання досвіду сучасного викладання математики; 
3. Перенесення і дидактична переробка ідей, методів, мови науки математики; 
4. Педагогічний експеримент (складність якого пояснюється недостатньою вивченістю мисленнєвої діяльності людини і її подолання - в чіткій розробці методики експерименту з виключенням суб'єктивних факторів, обробкою даних з використанням статичних методів). 
1.6 Історія розвитку викладання математики 
Перша згадка про школу зустрічається в давньо єгипетських джерелах за дві з половиною тисячі років до нашої ери, яка називалася палацової і навчалися в ній жерцями діти царських сановників начаткам арифметики і геометрії. Грецькі філософи Платон (427-347 р. до н.е.) та Аристотель (384-332 р. до н.е.) розробилипедагогічну систему узагальнити деякі досвід. Римський педагог Квінтіліан (I ст.н.е.) розробив основу дидактики (загальної методики). 
Чеський педагог Ян Анос Коменський (1592-1670 р.) розширив зміст шкільного навчання новими реальними предметами, розробив принципи наочності, систематичності, міцності навчання, вніс багато нового в організацію навчальної роботи: навчальний рік, урок, поточний і річний облік знань, тривалість навчального дня, твердий розклад уроків і т.д. в головному своїй праці «Велика дидактика» Я. Коменський приділив увагу питанням початкового навчання арифметиці. 
Дидактика математики виділилася з педагогіки в працях швейцарського педагога Йоганна Генріха Песталоцці (1746-1827 р.), який в 1803 р. надрукував «Елементарні книги» - «Наочне вчення про число» та «Абетка наочності, або Наочне навчання про вимір». 
Зародження дидактики математики в Росії пов'язується з появою першого російського підручника арифметики Л.Ф. Магницького (1703 р.), в якому вперше числа записувалися арабськими цифрами, а не Слов'янськими літерами. Прототипами підручників з систематичним курсам арифметики і алгебри є «Керівництво до арифметики» Леонарда Ейлера (1707-1783) та «Універсальна арифметика». Н.Г. Курганов (учень Магницького) використовував конкретно-індуктивний метод у своїх підручниках алгебри (1557 р.) і арифметики (1771 р.) і переклав на російську мову знамениті «Начала» Евкліда. 
На межі XVIII-XIX ст академік С.Є. Гур'єв висунув прогресивну ідею пропедевтичних курсів математичних дисциплін у школі й більш строго, наукового викладу. Творці російської дидактики арифметики для Народної школи: Буссе Ф.І. «Керівництво викладання арифметики» (1830 р.) і Гур'єв П.С. «Керівництво до викладання арифметики малолітнім дітям» (1839 р.). Найбільші представники: Гольденберг А.І., Шохор-Троцький С.І. (Навчання через системи завдань), Арженніков К.П. та ін 
Деякі основи дидактики геометрії закладені Лобачевським Н.І., академіком Гур'єв С.Є., Осиповського Т.Ф., а перший великий труд присвячений викладання систематичного курсу, - «Матеріали за методикою геометрії» (1883 р.) належать О.М. Остроградському. 
У другій половині XIX ст. створюються основи дидактики алгебри, тригонометрія і початків аналізу (Стралолюбскій А. Н. Єрмаков В.П.), Шереметьєвський В.П. 
Система традиційної МПМ в СШ включала загальну МПМ і п'ять приватних методик: початкового курсу арифметики, систематичних курсів арифметики, алгебри, геометрії та тригонометрії. В останніх містилися конкретні методичні рекомендації щодо вивчення теоретичних питань курсу та розв'язання задач та їх називали «рецептурними». Загальну МПМ називали теоретичної і вона розглядала загальні питання пов'язані з вивчення будь-якого математичного предмета, як цілі навчання математики, математичні поняття і пропозиції, теореми і їх доведення, задачі та їх вирішення, методи і форми навчання і т.д. 
2. Принципи дидактики в навчанні математики 
Методика не тільки використовує досягнення дидактики для удосконалення навчального процесу, а й сама робить вплив на розвиток дидактики 
МПМ, вирішуючи свої завдання, враховує основні загальнодидактичні закономірності навчання: 
обумовленість навчально-виховного процесу потребами суспільства; 
взаємозв'язок навчання, освіти, виховання і розвитку в цілісному педагогічному процесі; 
залежність результатів навчально-виховної діяльності від реальних можливостей учнів; 
залежність навчання і виховання від умов, в яких вони протікають; 
взаємозв'язок виховання і навчання; 
взаємозалежність цілей, змісту, методів, засобів і форм; 
залежність результатів навчально-виховної діяльності від оптимального впливу всіх елементів навчально-виховного процесу. 
МПМ, як і кожна методика, спирається на дидактичні принципи. Вона являє собою найбільш загальне нормативне знання того, як треба будувати, здійснювати і вдосконалити навчання, розвиток і виховання учнів. Розглянемо систему принципів, розроблених дидактикою, і намітимо основні вимоги до процесу навчання математики, яке випливає з кожного принципу. Принципи спрямованості навчання на комплексне вирішення завдань освіти, виховання і загального розвитку учнів: 
домагатися того, щоб кожен учень оволодів знаннями, вміннями і навичками, зафіксованими в програмі з математики; 
здійснювати світоглядну спрямованість шкільного курсу математики; 
проводити роботу з морального, трудового, естетичному вихованню учнів засобами математики, здійснювати профорієнтацію; 
розвивати мислення, усну та письмову мову учнів; 
проводити роботу з оволодіння логічними операціями, судженнями, логічними висновками; 
розвивати в процесі вивчення шкільного курсу математики уявлення, пам'ять, увагу учнів, їхню волю, емоції, інтерес, здібності. 
Принцип науковості: 
зміст шкільного курсу математики має більшою мірою відповідати рівню сучасної математичної науки; 
знайомити учнів з емпіричними, логічними та математичними методами наукового пізнання; 
вчити школярів помічати і обгрунтовувати математичні закономірності; 
впроваджувати в навчальний процес елементи проблематичності, методу дослідження; 
розкривати динаміку розвитку самої науки математики; 
стежити за правильністю формулювань при визначенні математичних понять, побудові доказів, вирішенні задач; 
привчати учнів критично ставиться до кожного судження, не вважати доведеним те, що не обгрунтовано; розрізняти визначення, теореми та ознаки. 
Принцип активності, самостійності і самоусвідомлення: 
виховувати у школярів відповідальне ставлення до навчання як до одного з головних шляхів формування самоусвідомлення навчання; 
домагатися глибокого осмислення навчального матеріалу, виробляти вміння використовувати математичні знання на практиці; 
допомагати учням виявляти і виправляти математичні і логічні помилки; навчати їх навичкам самоконтролю; 
впроваджувати різні способи і прийоми навчання для того, щоб забезпечити активну участь у навчальній роботі учнів з різними типами запам'ятовування, мислення з різними інтересами і здібностями; 
ширше впроваджувати в процес навчання математики евристичну бесіду, створювати проблемні ситуації; 
використовувати різні види взаємодопомоги при навчанні; 
розширювати форми і методи самостійної роботи учнів; 
вчити школярів використовувати раціональні прийоми організації навчальної діяльності, умінню складати план доведення теореми, план відповіді і т.д.; 
не допускати надмірної опіки учнів; 
вчити прийомів розвитку пам'яті, раціонального логічного заучування, порівняння, аналогії, класифікації та систематизації досліджуваного матеріалу. 
Принцип систематичності і послідовності: 
виділення системи понять і найбільш важливих правил, теорем, які складають основу досліджуваного матеріалу, визначення місця даного матеріалу в системі математичних знань; 
виділення логічної структури і логічного типу вивчення нового матеріалу, організація цілеспрямованого і систематичного повторення; 
систематичне використання різних видів наочності: таблиць, схем і т.д.; 
здійснення внутріпредметних і міжпредметних зв'язків, використання алгоритмів; 
навчання від простого до складного, від уявлень до понять, від відомого до невідомого, від знань до умінь, а від них - до навичок. 
Принцип доступності: 
використовувати і здійснювати процес навчання на основі реальних розумових здібностей учнів конкретного класу (міської або сільської школи); 
спиратися в процесі навчання на вікові та індивідуальні особливості учнів; 
виконувати вимоги програми до математичної постановці учнів при плануванні змісту навчання; 
Спиратися на знання учнів, рівень їх загальнонавчальних умінь і навичок, враховувати їх працездатність; 
не допускати розумових перевантажень, використовувати різні заходи допомоги учням. 
Принцип стимулювання позитивного ставлення учнів до навчання, формування у них інтересу до знань, потреби в знаннях: 
пояснювати учням громадянську й особисту значущість вивчення математики; 
розкривати значущість знань не тільки для здобуття вищої освіти але і для творчої діяльності у сферах матеріального виробництва; 
розвивати інтерес учнів до математики шляхом включення в процес навчання цікавих завдань, історичних екскурсів, математичних ігор, віршів, витягів з художньої літератури тощо; 
стимулювати активну розумову діяльність учнів за допомогою математичних завдань, прийомів і методів навчання; 
розвивати оперативну бік навчання: вчити працювати зі шкільними підручниками з математичної книгою, логічно вірно будувати відповідь проводити докази, вирішувати математичні завдання; 
пред'являти явні (точні, ясні) вимоги до навчальної діяльності школярів, здійснювати контроль за результатами навчання і об'єктивно виставляти оцінки. 
Принцип міцності знань: 
під час підготовки школярів до ознайомлення з новим матеріалом необхідно забезпечити мотивацію і установку на свідоме і цільове засвоєння; 
вивчення нового матеріалу має бути організовано так, щоб учні брали в цьому процесі як можна більш активну участь; 
частота повторень повинна відповідати ходу кривої запам'ятовування: найбільше число повторень потрібно відразу після ознайомлення учнів з новим матеріалом, після чого число повторень повинно поступово знижуватися, але не зникнути остаточно; 
важливою формою закріплення пройденого є систематизація матеріалу, застосування різноманітних видів розумової діяльності учнів. 
Принцип наочності: 
при навчанні математики використовуються доступні види наочності: натуральну (природну), образотворчу (фотографії, художні картини, малюнки), символічну(креслення, схеми, таблиці, діаграми); 
не захоплюватися використанням великої кількості наочних посібників; вони повинні застосовуватися при розкритті найбільш складних питань теми; 
недоцільно виставляти наочні посібники всі відразу, а використовувати їх під час викладання; 
під час демонстрацій наочного посібника корисно дещо уповільнити темп пояснення, що дає можливість учням краще обміркувати матеріал, що викладається; 
під час занять бажано поєднувати різні засоби наочності; 
необхідно домагатися активної роботи учнів з наочними посібниками. 
Принцип індивідуалізації навчання: 
постійно вивчати особливості мислення кожного учня, здатності його пам'яті, окремих аналізаторів (слух, зір); 
встановлювати, які індивідуальні особливості учнів впливають на процес навчання позитивно, які негативно і які - нейтрально; 
використовувати різні прийоми, які враховують засвоєння матеріалу різними учнями (диференційовані домашні завдання чи класні завдання, що випереджають, розвиваючі, додаткові індивідуальні завдання, заняття гуртка). 
Таким чином, з дидактичних принципів випливає ряд методичних вимог до процесу навчання математики в загальноосвітній школі. Комплексне використання дидактичних принципів і методичних вимог є методологічною основою МПМ для розробки цілей і завдань математичної освіти, побудови та відбору його змісту, методів і засобів навчання, організації всього навчально-виховного процесу. Без їх знання вчителю математики не можна планувати і здійснювати ефективну роботу з навчання, виховання і розвитку учнів. Вони є основними критеріями при аналізі уроку математики і при визначенні надійної методичної системи викладача 
3. Математика як наука і як навчальний предмет 
За визначенням даними Ф. Енгельсом: «Чиста математика має своїм об'єктом просторові форми і кількісні співвідношення дійсного світу ... Як і всі інші науки математика виникла з практичної діяльності людей: з вимірювання площ земельних ділянок і місткості посудин, з числення часу в механіці». 
Щоб вивчити кількісні відносини і просторові форми в чистому вигляді, математики абстрагується від їх речового змісту. Математики байдуже з якого матеріалу зроблено світ. Їй важливо, що існують або здійсненні тіла, які мають форму кулі, які вона вивчає. Також байдуже дослідження якогось процесу природи призвело до необхідності розглядати деяку функцію. Для математики це функція важлива сама по собі. 
«Математика» - слово, яке прийшло до нас із Древньої Греції, в перекладі означає «пізнання, наука». В історії розвитку математики виділяють чотири основні періоди: 
період зародження математик, який характеризується накопиченням первинних фактів (практичні обчислення і вимірювання, формування понять числа і фігури; з'являються арифметика і геометрія як емпірично встановлені правила вирішення практичних завдань); закінчується створенням геометрії Евкліда. 
період елементарної математики. Початок поклали математики Стародавньої Греції (VI-V ст. До н.е.); Математика - наукова дисципліна з предметом дослідження - число і фігура і власними методами дослідження. З'являється дедуктивний метод. 
Період створення математики змінних величин (17-19 ст.) 
сучасний період - математика змінних відносин, які характеризуються зростанням ролі абстрактних математичних побудов з широким використанням методумоделювання; формується аксіоматичний метод. Період сучасної математики характеризується глибокими змінами у всіх основних розділах. 
Розглянемо це на прикладі геометрії. 
Якщо раніше геометрія вивчала тільки просторові органи і відносини матеріального світу, то тепер її предмет становить багато інші форми і відносини, лише подібні з просторовими, і, тому що допускають використання геометричних методів. Предмет простір придбав новий, більш широкий, але в той же час специфічний сенс. Самі методи геометрії стали багатшими і різноманітнішими. Розвиток геометрії продовжується в різних напрямках. Предметом її розгляду служать все нові й нові простори: проективне, Ріманова і т.д. суттєве розширення предмета, характерне для сучасної математики виводить її за рамки первісного розуміння кількісних відносин і просторових форм. Фігури багатовимірних просторів - це не фігури і форми простору, як ми їх розуміємо, а абстрактні простори математики. 
Іншим предметом виходу математики за межа може служити виникнення математичної логіки. Вона вивчає: які пропозиції можна виводити з даних посилок даними засобами. Відносини між посилками і засобами аксіомами і теоремами не зводяться до кількісних відносин у звичайному сенсі. Вони лише схожі з кількісними і ці подібності відкрили можливість застосування математичних методів їх дослідження. 
Визначення Енгельса можна застосувати і до предмету сучасної математики, якщо що містяться в ньому вирази: кількісні відносини і просторові форми розуміти в більш широкому сенсі, ніж воно розумілося в період класичної математики (включаючи в цей сенс відносини і форми лише схожі з кількісними відносинами і формами). Ця схожість полягає в тому, що деякі відносини і форми дійсності об'єктивно володіють такою ж ступенем байдужості до змісту, як і кількісні відношення і просторові форми. І так само, як і останні можуть бути відвернуті від змісту і визначені в загальному вигляді з такою ясністю і точністю, із збереженням такого багатства зв'язків, щоб служити підставою для чисто логічного розвитку теорії. Якщо такі відносини і форми назвати кількісними, то прийдемо до визначення Енгельса. 
Розвиток людського суспільства неможливо без передачі певних знання і досвіду попередніх поколінь. Тому шкільна математика повинна давати уявлення про науку в цілому, про математичні методи в додатках, сприяти розвитку математичного мислення. Зміст навчального предмета математики змінюється, так як з'являються вимоги до шкільної підготовки виникають тенденції до посилення загального розвитку учнів, змінюється пізнавальне значення та прикладна цінність окремих її розділів, удосконалюються методики математики, враховує досягнення передового досвіду викладача. 
В даний час навчальні програми з математики в школі включають: 
початковий курс - 1-4 класи; 
I ступінь - 5-6 кл. в даний математичний курс, «Математика», що включає арифметику і почала алгебри і найпростіші геометричні поняття, побудови тобто пропедевтические курси алгебри і геометрії. 
II ступінь - 7-9 кл. Вивчають два предмети: систематичний курс алгебри і систематичний курс геометрії (планіметрія); 
III ступінь - 10-11 кл. продовжують вивчати систематичний курс геометрії (стереометрія) і вивчає систематичний курс «Алгебра і початки аналізу», що включає: 
арифметику (вчення про число); 
алгебру (тотожні перетворення, рівняння та нерівності); 
математичний аналіз (функції, похідні); 
аналітичну геометрію (метод координат). 
Таке з'єднання різних математичних дисциплін у шкільному курсі обумовлено тим, що 
у навчальному предметі повинні бути досить повно представлені основи сучасної науки, причому в доступній для учнів формі; 
між різними розділами науки, представленими у навчальному предметі, повинні існувати певний взаємозв'язок, що забезпечує їх систематичне вивчення. 
4. Цілі та зміст навчання математики 
Цілі і зміст математичної освіти зафіксовані у навчальних програмах, підручниках та навчальних посібниках з математики. Постійний розвиток суспільствапризводить до періодичного перегляду цілей і зміст освіти у відповідності з поставленими суспільством вимогами. 
Виходячи із загальних цілей середньої загальноосвітньої школи, із специфіки математики як науки, її ролі і місця в сучасній системі наук, в техніці і виробництві, її значення в житті сучасного суспільства, визначаються цілі навчання математики в середній загальноосвітній школі. 
Цілі - це плановані результати навчання, на досягнення яких буде спрямована спільна діяльність вчителя і учня в процесі навчання математики. 
Комплексне здійснення освіти, виховання і розвитку учнів у загальноосвітній школі виділяє три функції навчання і три групи цілей: загальноосвітні, виховні та розвиваючі. 
Загальноосвітні цілі: 
Математика є одним з опорних предметів середньої школи. Вона забезпечує вивчення інших дисциплін: фізики, хімії, основ інформатики та обчислювальної техніки і т.д. Математичні знання, вміння і навички необхідно для трудової та професійної підготовки школярів. Освітні функції навчання математиці виступає як головне і зумовлена. Шкільний курс математики зобов'язаний: 
- Забезпечити міцне і свідоме оволодіння учнями системою математичних знань, умінь і навичок, визначених шкільною програмою; 
- Озброїти учнів доступними для них математичними методами пізнання дійсності; 
- Сприяти політехнічному освіти учнів (розкривати ідеї застосування математики у вирішенні тактичних завдань, формувати вміння і навички з поводження з приладами, інструментами, таблицями, з навчальною і довідковою літературою, виховувати алгоритмічну культуру і знайомити учнів із сучасною обчислювальною технікою і т.д.) 
Виховні цілі: 
Виховний характер навчання об'єктивна закономірність. Реалізація освітньої та виховної функції здійснюється в процесі навчання математики в єдності. Виходячи з можливостей предмета, математика вносить свій внесок у формування світогляду, моральне трудове та естетичне виховання учнів. Виховні цілі навчання математики зводяться до наступного: 
- Формування у школярів правильного уявлення про природу математики, сутності й походження математичних абстракцій, характер відображення математичною наукою явищ і процесів реального світу, місце математики в системі наук і ролі математичного моделювання у науковому пізнанні; 
- Сприяти моральному вихованню учнів, що означає розвиток таких моральних рис особистості як наполегливість, цілеспрямованість, самостійність,відповідальність, працьовитість, критичність мислення; 
- Проведення роботи з трудового виховання і профорієнтації учнів; 
- Здійснення естетичного виховання: показувати внутрішню гармонію математики, формувати розуміння краси і витонченості логічних доказів, математичних міркувань; вчити оцінювати красу постановки математичної задачі, процесу її рішення і результатів; розкривати зв'язок математики з архітектурою, живописом, музикою, скульптурою та ін 
Розвиваючі цілі: 
У процесі навчання математики проводиться систематична і цілеспрямована робота щодо загального розвитку учнів. Навчання і розвиток - два взаємопов'язані процеси. Відомо, що навчання веде за собою розвиток. Воно більш успішно проходить в тому випадку, якщо кілька забігає вперед, орієнтуючись на зону найближчого розвитку учня. Спільними розвиваючими цілями навчання математики є: 
- Розвиток пізнавальних інтересів учнів до математики; 
- Розвиток таких здібностей, як спостережливість, уявлення, пам'ять, мислення, мова; 
- Формування та розвиток умінь використовувати раціональні прийоми навчальної роботи (вміння вчитися). 
У процесі навчання важливо домагатися математичного розвитку школярів. Відомий педагог С.І. Шварцбург виділяє наступні компоненти математичного розвиток учнів: 
- Розвиток просторових уявлень; 
- Уміння виділяти суттєве, мислити абстрактно; 
- Вміння переходити від конкретної ситуації до її математичному опису; 
- Навички дедуктивного мислення; 
- Вміння аналізувати; 
- Вміння використовувати знання при вирішенні практичних завдань; 
- Критичність мислення; 
- Володіння математичної промовою; 
- Терпіння при вирішенні завдань. 
На його думку математичне розвиток учнів не може бути забезпечено лише програмою, а необхідно наполеглива і дуже клопітка робота вчителя. 
Термін «Елементарна математика» позначає два різних поняття. З одного боку, цим терміном позначають всю математику до 17 століття, тобто «Сукупність таких розділів, завдань і методів математики, в яких не користуються загальними поняттями змінної, функції, межі і тим більш загальним поняттям множини», інакше кажучи, традиційна елементарна математика (ТЕМ), що містить арифметику, алгебру, геометрію і тригонометрію і тому має лише історичне значення. З іншого боку, елементарною математикою позначають шкільний предмет, тобто сукупність математичних дисциплін, що вивчаються в середній школі, яка змінюється під впливом розвитку математичної науки і потреб суспільства і має ознаки: 
елементарна в сенсі початкової, складової основи сучасної математичної науки; 
елементарна в сенсі достатньої простоти і доступності для учнів середньої школи. Іншими словами, сучасна елементарна математика (СЕМ) - це не тільки і не стільки традиційний зміст шкільного курсу математики, скільки те новий зміст, який знаходиться в стадії розробки і стане предметом майбутньої педагогічноїдіяльності. 
Проблема змісту навчання є найбільш складною і важливою проблемою шкільної математичної освіти. Необхідно «відображати такий мінімум знань, який, є стабільним, політехнічний орієнтованим, включав би виховний аспект і в той же час було б достатнім для подальшого поповнення знань, для формування сучасного наукового стилю мислення і не призводив перевантаження учнів». 
Зміст шкільного курсу математики визначається загальними цілями навчання, змістом самої математичної науки, значенням математики і місцем її в системі середньої освіти. Сучасний зміст загальної середньої освіти та навчальних предметів представлені чотирма видами. 
У відношенні до математики як навчального предмету це: 
система теоретичних, методологічних, логічних, міжпредметних, прикладних, історико-наукових знань. Ці знання забезпечують загальне математичне та політехнічна освіта, є основою формування світогляду; 
система загально-навчальних, математичних, інтелектуальних умінь. Вона забезпечує навчальну діяльність учнів, застосування знань на практиці; 
досвід творчої діяльності, накопичений практикою математичного пізнання, необхідний для вирішення навчально-виховних завдань, для творчого підходу до оволодіння математичної і застосування знань і умінь. Це важливий елемент у вихованні творчої особистості; 
досвід емоційно-цілісних відносин до математичних знань, моральних норм, естетичних проявів дійсності. 
Всі ці чотири види змісту навчання взаємопов'язані. Так, не знаючи формул об'єму піраміди, не можна практично знайти його. Без вміння виконувати обчислення, тотожні перетворення не можна придбати повноцінних знань про рівняннях. Той учень, який не володіє досвідом творчої математичної діяльності, приречений на копіювання дій. Він не зможе вирішити нестандартну завдання, тому що не вміє переносити свої знання в нову ситуацію і т.д. І нарешті, досвід емоційно цілісних відносин до дійсності, яка стала об'єктом або засобом діяльності, сприяє формуванню якостей особистості школяра. Всі ці види змісту треба мати на увазі вчителю при організації процесу навчання математики. 
На сьогодні загальновизнаних критеріїв відбору основ наук немає, проте робляться спроби їх сформулювати. Ю.К. Бабанський запропонував наступні критерії оптимізації обсягу і складності навчального матеріалу: 
цілісності змісту, - це означає, що навчальний предмет повинен відображати всі основні напрями розвитку науки; 
наукової загальне визнання, за яким з деякими питаннями можна знайомити учнів, але в основу наук не включати; 
наукова значимість, яка відображає широту впровадження наукових знань. Вони можуть мати загальний або приватний характер; 
відповідність віковим особливостям учня, які тісно пов'язані з доступністю; 
відповідність часу, відведеного на вивчення навчального предмета; 
відповідність міжнародним стандартам, це означає, що навчальні програми наших шкіл повинні відповідати кращим світовим прикладам аналогічних програм. 
Сучасний зміст шкільного курсу математики отримало наукове обгрунтування. Незважаючи на зміни, які відбуваються в ньому, на продовженні досить значного відрізку часу воно зберігає своє основне ядро: 
числові системи; 
величини; 
рівняння і нерівності; 
тотожні перетворення математичних виразів; 
координати; 
функції; 
геометричні фігури та їх властивості, вимірювання геометричних величин; геометричні перетворення; 
вектори; 
основи математичного аналізу. 
Кожен розділ має свою історію розвитку як предмет вивчення в середній школі. 
Проекти модернізації шкільної освіти предмету для вивчення: 
елементарну теорію множин; 
введення в математичну логіку; 
поняття з сучасної алгебри (групи, кільця, поля та вектора); 
введення в теорію ймовірностей і статистику. 
Модернізація математичної освіти означає приведення елементарної математики у відповідність із сучасними ідеями, методами, вимогами. Рух за модернізаціюматематичної освіти почалося більше 100 років тому. Однак доцільніше осучаснювати викладання математики, ніж включати в програму нові розділи з сучасної математики, що представляють методичні труднощі у викладі. 
Модернізація не означає відмови від всього традиційного, а лише заміну тих з них, які втратили в даний час сенс. Прикладом такої традиції може служити Евклідова система побудови геометрії. Виділимо причини, що ускладнюють її модернізацію: 
вона громіздка і ізолює геометрію від решти математики, і проникнення в неї сучасних ідей; 
необхідні для практики геометричні знання здобуваються в пропедевтическом курсі, побудованому на використанні досвіду і заснованому на інтуїції; надалі необхідне введення дедуктивного методу, що сприяє розвитку логічного мислення; 
психологічний фактор (не прийняття сучасного побудови насамперед вчителями). 
Висновок 
Таким чином у процесі навчання математики в органічному єдність повинні досягатися освітні, виховні і розвиваючі цілі. Вчителю математики необхідно точно знати цілі навчання загалом і в кожному класі окремо, що допоможе правильно визначити цілі вивчення тем та уроків. 
Проникнення математики в інші науки вплинуло на формування цілей математичної освіти й призвело до того що володіння математичними знаннями і методами в певному обсязі і специфічною мовою математики стали обов'язковим елементом загальної культури. У процесі навчання математики необхідно формувати в учнів наукові світогляду і навички розумової діяльності з добування нових знань, посилити прикладне значення досліджуваного теоретичного матеріали, прищепити учням навички проведення логічних міркувань і виділення логічних наслідків, характерних дедуктивному мисленню. 
ень репродуктивний еМетодика навчання математики

Слово "метод" грецького походження і в перекладі означає шлях дослідження, спосіб пізнання.

Під методом навчання в дидактиці розуміють способи навчальної роботи вчителя і організації навчально-пізнавальної діяльності учнів з розв'язування різних дидактичних задач, спрямованих на оволодіння матеріалом, що вивчається.

Крім терміна "метод навчання" в дидактиці є термін "прийом навчання", під яким найчастіше розуміють складову частину або окремий бік методу.

У педагогіці існує різна класифікація методів навчання залежно від вибору основи класифікації, а саме: за джерелом здобування знань (словесні, наочні, практичні), за способами організації навчальної діяльності учнів (методи здобування нових знань, методи формування умінь та навичок і застосування знань на практиці, методи перевірки й оцінювання знань, умінь та навичок); за характером навчально-пізнавальної діяльності учнів (І. Я. Пернер і М. М. Скаткін): а) пояснювально-ілюстративний (розповіді лекція, пояснення; робота з підручником і демонстрації та ін.); б) репродуктивний (відтворення знань і способів дій, діяльність за алгоритмом, програмою); в) проблемний виклад; г) частково-пошуковий або евристична бесіда; д) дослідницький метод. Останні три методи використовують під час проблемного навчання як дидактичної системи.

Проілюструємо застосування методів навчання математики за характером навчально-пізнавальної діяльності учнів.

Пояснювально – ілюстративний метод

Цим методом послуговуються, вводячи математичні поняття, вивчаючи аксіоми, теореми і способи розв'язування різних класів задач.

Наприклад, під час вивчення поняття функції в курсі алгебри 8 класу вчитель наводить приклади залежності між змінними величинами і об'єктами іншої природи, що задані за допомогою формули, графіка, таблиці, і формулює означення функції як залежності між змінними, за якої кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної. Вводяться поняття аргумент, область визначення, область значень функції; розв'язуються вправи на відшукання значень функції за даним значенням аргументу. Вводячи поняття функції, вчитель може дати учням Історичну довідку про те, що вперше термін "функція" ввів Г.Лейбніц (1646-1716) у XVII ст. Перше означення функції сформулював учень і співробітник Лейбніца Й. Бернуллі (1667-1748) у 1718 р. Більш загальне фактично сучасне означення функції сформулював у 1834 р.-М І. Лобачевський, а трьома роками пізніше - математик і філософ Б. Больцано (1781-1848).

Репродуктивний метод

Використовується для закріплення на уроці нового матеріалу, перевірки домашнього завдання (учні відтворюють розв'язання задач, формулювання і доведення теорем, означення математичних понять, правила тощо). На уроках, де формуються уміння і навички розв'язування прикладів, задач, застосування репродуктивного методу виявляється в діяльності учнів під час розв'язувати вправі задач за зразком, який дано вчителем або наведено в підручнику, в діяльності за певним алгоритмом. При цьому діяльність за зразком має проводитись не за вказівкою "робите, . що роблю я", а за порадою "роби так, як роблю я".

Недоліком двох названих методів є те, що вони мало сприяють, розвитку продуктивного мислення, пізнавальній активності й самостійності учнів. Разом з тим недооцінка репродуктивної Діяльності учнів призводить до того, що в учнів не забезпечується фонд дійових знань, який є необхідною умовою для можливостей організації самостійної пізнавальної діяльності; розвитку творчого мислення і продуктивної діяльності.

Наступні три методи проблемного навчання, спрямовані на усунення зазначених вище недоліків.

Проблемний виклад

Проблемний виклад як метод навчання математики полягає в тому, що, пояснюючи навчальний матеріал, учитель сам висуває проблеми і, звичайно, як правило, сам їх. розв'язує.. Однак постановка проблем посилює увагу учнів, активізує процес сприймання і усвідомлення того, що пояснює вчитель. Наприклад, доводячи третю ознаку рівності трикутників (за трьома сторонами), вчитель висуває проблеми на кожному етапі доведення теореми і сам проводить потрібні обгрунтування, оскільки досить складна для учнів 7 класу структура доведення теореми не дає можливості організувати колективне доведення теореми самими учнями.

Частково-пошуковий метод або евристична бесіда

Частково-пошуковий метод (його інколи називають евристичною бесідою) полягає в тому, що вчитель заздалегідь готує систему запитань, відповідаючи на які учні самостійно формулюють означення поняття, "відкривають" доведення теореми, знаходять спосіб розв'язування задачі.

Дослідницький метод

Дослідницький метод передбачає самостійний пошук розв'язання пізнавальної задачі. Причому може виявитись потреба, щоб проблему сформулював сам учень або її формулює вчитель, але розв'язують учні самостійно. Наведемо приклад.

У 9 класі після вивчення формул для обчислення площ прямокутника, паралелограма, трикутника перед учнями ставиться проблема - знайти формулу для обчислення площі трапеції, спираючись на вже вивчені формули обчислення площ фігур. Одні учні Можуть провести діагональ трапеції і звести обчислення її площі до знаходження суми площ двох трикутників, на які вона розіб’ється, інші - можуть добудувати трапецію до паралелограма, треті - побудувати трикутник, площа якого дорівнює площі трапеції, або скористатися іншими можливими способами. Колективне обговорення наприкінці уроку знайдених способів відшукання формули площі трапеції максимально активізує увагу і тих учнів, які самі не змогли знайти потрібну формулу.

Існують специфічні методи навчання, характерні для шкільного курсу математики. Розглянемо деякі з них.

Метод доцільних задач запропонував наприкінці XIX ст. С.І. Шохор-Троцький. Належить він фактично до методів проблемного навчання. Навчання математики згідно з цим методом здійснюється за допомогою задач. Із задач починається вивчення будь-якої теми, що, природно, забезпечує мотивацію вивчення теоретичного матеріалу. Вивчаючи теоретичний матеріал теми, учні переважно розв'язують задачі. Теореми в геометрії доводять лише ті, які для учнів не є очевидними, але і не потребують надто тонких міркувань.

Практика засвідчила, що значення методу доцільних задач не можна перебільшувати і додержуватися його формально. По-перше, вивчення не кожної теми доцільно починати з розв'язування задач, по-друге, не можна недооцінювати роль теоретичних знань.

Абстрактно-дедуктивний і конкретно – індуктивний методи навчання

У навчанні математики неабиякого поширення набули абстрактно-дедуктивний і конкретно - індуктивний методи навчання. Вперше докладно проаналізував ці методи в методиці навчання математики К. Ф. Лебединцев.

Суть абстрактно-дедуктивного методу навчання полягає в тому, що під час вивчення нового матеріалу вчитель відразу сам повідомляє означення понять, що вводяться, а потім наводить конкретні приклади об'єктів, що належать до понять. Формулюється й доводиться теорема, і лише після цього розглядаються конкретні приклади застосування нового теоретичного матеріалу.

Конкретно-індуктивний метод, навчання протилежний абстрактно-дедуктивному методу. Під час навчання цим методом пояснення нового матеріалу починається з розгляду прикладів. Використовуючи приклади, учні мають можливість виділити суттєві ознаки поняття, що вводиться. Це допомагає самостійно чи з допомогою вчителя сформулювати означення поняття. Рисунок до теореми дасть змогу учням виявити властивості зображеної фігури і самостійно чи з допомогою вчителя сформулювати теорему.

Важливе завдання, процесу навчання математики в школі - домогтися глибокого і міцного засвоєння учнями теоретичних знань: математичних понять, тверджень про їхні властивості (аксіоми" теореми), правил, законів; сформувати навички й уміння застосування теоретичних знань на практиці і оволодіння способами творчої діяльності, досягти глибокого усвідомлення учнями світоглядних і морально-етичних ідей. Слід розрізняти поняття "процес навчання" і "процес одержання освіти". Навчання, у тому числі й математики, забезпечує освіту лише за умови його формувального впливу на особистість. М. Г. Чернишевський вважав, що для того щоб людина була освіченою у повному розумінні слова, потрібні три властивості: широкі знання, звичка мислити і шляхетність почуттів.

На сучасному етапі розвитку школи в дидактиці навчання трактується як цілеспрямований педагогічний процес організації і стимулювання активної навчально-пізнавальної діяльності учнів для оволодіння науковими знаннями, навичками - уміннями, розвитку творчих здібностей, світогляду, морально-етичних поглядів І переконань. Процес навчання - двосторонній процес взаємодії між тим, хто вчить, і тим, хто навчається. Нагадаймо, що з курсу педагогіки закономірності процесу навчання, що об'єктивно існують, виступають як основні вимоги до практичної організації навчального процесу. Вони дістали назву дидактичних принципів. Виділяється вісім дидактичних принципів: 1)науковості й ідейно-політичної спрямованості; 2)проблемності; 3) наочності; 4) активності й свідомості; 5) доступності; 6) систематичності й послідовності; 7) міцності; 8) єдності освіти, розвитку і виховання.

Зміст цих принципів розкрито в курсі педагогіки. Як самостійну роботу пропонуємо інтерпретувати цей зміст на прикладах навчання математики. Враховуючи, що основна мета загальноосвітньої школи - всебічний розвиток особистості, у процесі навчання математики треба спиратися і на дидактичні, і на психологічні принципи розвивального навчання.

Дидактичні принципи розвивального навчання висунув у 60- 70-х рр. Л. В. Занков. Він вважав, що не будь-яке навчання створює максимально сприятливі умови для розвитку учнів. Потрібний ретельний добір змісту, методів, організаційних форм і засобів навчання, щоб забезпечити ці умови. При цьому треба враховувати такі важливі дидактичні принципи розвивального навчання.

Провідна роль теоретичних знань. У процесі навчання математики це означає, що не можна починати формувати уміння І навички застосування математичних знань доти, поки учні не засвоїли основні поняття, твердження" правила, закони, методи.

Навчання швидкими темпами. У досвіді вчителів-новаторів (В. Ф. Шаталов, Р. Г. Хазанкін та ін.) реалізація цього принципу зводиться до вивчення основного теоретичного матеріалу швидкими темпами на початку ознайомлення з темою, здійснення дійового контролю його засвоєння і звільнення цим самим часу для розв'язування задач. У процесі розв'язування задач теоретичний матеріал повторюється, поглиблюється, закріплюється.

Навчання на високому, але доступному рівні складності. Так само, як спортсмени розвивають свої фізичні можливості на вправах високої складності, учні повинні розвивати мислення, інтелект на навчальних задачах високого рівня складності. Цього принципу стосуються введені ще в 30-х рр. XX ст. психологом Л. С. Виготським поняття зони актуального і зони найближчого розвитку учнів. Учень працює в зоні актуального розвитку тоді, коли розв'язує навчальні задачі в межах засвоєного ним навчального матеріалу. Проте, як зазначав Л. С. Виготський, треба працювати на завтрашній день учня, тобто працювати в зоні його найближчого розвитку. Це означає, що учень має працювати над навчальними задачами, які він ще не спроможний розв'язати самостійно, але за незначної допомоги вчителя або своїх товаришів він таким задачам дає раду.

Разом з тим об'єктивним фактом є те, що різні учні мають різні зони актуального і найближчого розвитку. Саме тому в умовах класно-урочної системи треба здійснювати рівневу диференціацію, використовувати групові Й індивідуальні форми роботи, виділяючи типологічні групи учнів, які мають приблизно однаковий рівень загального розвитку, навченості, темпу просування у навчанні, цікавості до математики.

Усвідомлення всіма учнями процесу навчання. Забезпечення цього принципу вимагає від учителя копіткої роботи з тими, хто не встигає, з'ясування причин цього та організації своєчасної педагогічної підтримки таких учнів.

Систематична робота вчителя над загальним розвитком усіх учнів, у тому числі й найслабкіших. У процесі навчання математики передусім передбачається розвиток мислення, оволодіння учнями загальними розумовими діями і прийомами розумової діяльності. Практика і дослідження психологів свідчать про те, що основною причиною того, що учні не встигають з математики, є насамперед несформованість дій аналізу, синтезу, порівняння, абстрагування, узагальнення.

Психологічні принципи розвивального навчання сформульовано у працях 3.1. Калмикової "Психологические принципи развивающего обучения" (М.: Зиание, 1978.- 48 с.) і "Продуктивное мишление как основа обучаемости" (М.: Педагогика, 1981.- 200 а). Назвемо їх.

1. Систематичний розвиток всіх трьох основних видів мислення: наочно-дійове (або практичне), наочно-образне і абстрактно-теоретичне.

2. Проблемність навчання. Учень лише тоді включається в пізнавальний процес, виявляє розумову активність, коли стикається з проблемами (питаннями і задачами), які Йому треба розв'язати.

3. Індивідуалізація і диференціація навчально-виховного процесу.

4. Цілеспрямоване формування алгоритмічних і евристичних прийомів розумової діяльності.

5. Систематичний розвиток мнемічної діяльності (тобто розвиток пам'яті) для забезпечення фонду дійових знань. На думку педагога і психолога П. П. Блонського, порожня голова не міркує. Психологи зазначають, що добре розвинена пам'ять - умова розвиненого Інтелекту. У процесі навчання математики слід домагатися запам'ятовування учнями основних означень, тверджень, алгоритмів розв'язання ключових задач, озброювати учнів спеціальними мнемічними прийомами, які полегшують запам'ятовування навчального матеріалу.

Важливою є також спеціальна настанова вчителя на те, що треба вивчити, перевести в довгострокову пам'ять, який матеріал вивчається для ознайомлення і не потребує заучування. Відсутність такого орієнтування призводить або до непотрібного перевантаження пам’яті учнів за сумлінного ставлення їх до навчання, або до ігнорування того, що треба вивчити, запам'ятати.

Нині школи України працюють за навчальними планами, які певною мірою враховують національні особливості нашої держави і нові соціальні вимоги до форм і рівня освіти. Вони від повідають вимогам рівневої і профільної диференціації, потребам індивідуальної та групової роботи з окремими категоріями учнів.

Згідно з планом математика вивчається (в основному) 4 год на тиждень в усіх класах, починаючи від 1 до 9 і 3 год - в 10-11 класах, тобто на вивчення математики припадає найбільша кількість годин порівняно з іншим предметами. У варіативній частині плану виділяється. резерв годин для індивідуальних та групових занять на вивчення математики. Цей фактор накладає ще більшу відповідальність на вчителя математики за якість магматичної підготовки школярів.

Цілі навчання математики безпосередньо випливають з цілей завдань загальної середньої освіти, які зазначені у Державній національній програмі "Освіта" ("Україна XXI століття"). Головною метою є подальший всебічний розвиток дитини як цілісної особистості, її здібностей і обдарувань, збагачення на цій основі інтелектуального потенціалу народу, Його духовності й культури, сформування громадянина України, здатного до свідомого суспільного вибору .

Отже, всебічний розвиток особистості, створення для цього сприятливих умов - головна мета школи. Мета навчання і виховання підпорядковані розвитку і виступають як загальні форми, засоби розвитку. Виходячи із зазначеного, можна сформулювати основні цілі навчання математики в школі:

1) розумовий розвиток учнів - розвиток логічного мислення й інтуїції" просторових уявлень і уяви, пам'яті, алгоритмічної та інформаційної культури як особливого аспекту культури мислення; формування позитивних якостей особистості - розумової активності, пізнавальної самостійності, пізнавального інтересу, потреби в самоосвіті, здатності адаптуватися до умов, що змінюються, ініціативи, творчості;

2) забезпечення свідомого і міцного оволодіння системою математичних знань, навичок і умінь, потрібних у повсякденному житті і майбутній трудовій діяльності кожному членові сучасного суспільства, достатніх для вивчення інших дисциплін, продовження освіти в системі безперервної освіти; формування уявлень про ідеї і методи математики та її роль у пізнанні навколишнього світу, формування навичок математизації ситуацій під час досліджень різних явищ природи і суспільства;

3) формування наукового світогляду, загальнолюдських духовних цінностей; виховання національної самосвідомості, поваги до національної культури і традицій України; формування позитивних рис характеру (чесності й правдивості, наполегливості; волі, культури думки і поведінки, обґрунтованості суджень, відповідальності за доручену справу тощо); естетичне, екологічне, економічне, патріотичне, трудове виховання, професійна орієнтація на виховання здорового способу життя.

Зазначимо, що нині в умовах світового співробітництва, інтеграції економіки, виробництва, наукових досліджень розвинуті країни всього світу, у тому числі й держава Україна, прагнуть до підвищення свого Інтелектуального потенціалу. Тому потрібний високий рівень математичної підготовки випускників середньої школи та інших навчальних закладів. За відомим ви словом М В. Ломоносова (1711-1765), "математику вже тому вчити треба, що вона розум до ладу приводить". У зв'язку з цим підвищуються відповідальність і роль вчителя математики, посилюються вимоги до його власної математичної і методичної підготовки. Вчитель має бути конкурентоспроможним в умовах ринкової економіки. Школа відбиратиме і вчителя за конкурсом.

Під впливом сучасних соціальних вимог суспільства перебудова шкільного курсу математики і методики його навчання здійснюється в напрямку гуманізації і диференціації навчально-виховного процесу, гуманітаризації змісту навчання. Розробляються нові програми з математики для початкової, основної та профільної старшої школи, уточнюються чинні й створюються нові нормативні документи щодо обов'язкових результатів навчання, тобто створюються державні стандарти математичної підготовки. На черзі - розробка вимірників цього стандарту з метою забезпечення еквівалентності математичної підготовки в усіх областях країни.

Створюються нові типи шкіл - гімназії, ліцеї, коледжі, у тому числі Й альтернативні школи. Наприклад, в м. Гайвороні Кіровоградської області за ініціативою вчителя математики П. І. Само-вола працює школа поглибленої математичної підготовки. У ній навчаються здібні та обдаровані діти не тільки м. Гайворона, а й усього району.

У навчальному процесі використовуються нові інформаційні технології (зокрема, із застосуванням персональних комп'ютерів), нові форми навчання (наприклад лекційно-практична система), групові форми, активні методи навчання.

Рещено на Allbest.ru

Засоби навчання математики 
Введення

Система завдань - необхідний компонент апарату організації засвоєння матеріалу підручника, що включає репродуктивні та творчі завдання, що охоплюють усі елементи змісту. 
Репродуктивний елемент формує таку якість знань, як оперативність, тобто здатність застосовувати знання в різних ситуаціях і є базою для вирішення творчих завдань. 
Навчання користуванню довідниками з математики, довідковими таблицями та іншої довідкової літературою має знайти своє місце при вивченні математики в середній школі. Довідники необхідні з тієї причини, що для запам'ятовування вибирається першорядне, необхідне для вивчення подальшого курсу, а другорядне можна знайти у довіднику, він же допоможе швидше згадати вивчене, але напівзабуте, знайти необхідний метод, вивчення якого передбачене програмою. 
1. Підручник математики

Призначення підручника математики 
Підручник математики - книга, що висловлює основи наукових знань з математики у відповідності з цілями навчання, визначеними програмою і вимогами дидактики. 
Зміст і побудова підручника визначається завданнями викладача математики і специфікою предмета і тому його призначення в тому, щоб: 
а) сприяти формуванню та розвитку діалектичного та логічного мислення; 
б) давати систематичне, науково обгрунтоване, доступне для учнів даного віку виклад основних теоретичних відомостей з математики, тобто давати систему знань; 
в) включати достатню кількість різноманітних завдань і вправ, розміщених у доцільною з методичної точки зору послідовності, тобто забезпечувати системою вправ. 
У силу свого призначення в системі засобів навчання підручник є ядром, навколо якого групуються всі інші навчальні засоби. 
Підручник призначається: 
1) учневі (зміст тексту, підбір прикладів, мова, рівень формалізації і т.д. розраховані безпосередньо на учня відповідного віку); 
2) вчителю для організації діяльного процесу (матеріал не є необхідним учневі, але дозволяє вчителеві зрозуміти методичний задум автора); 
3) іншим особам (батькам, адміністрації школи і т.д.). 
Отже, підручник - засіб для засвоєння основ наук, призначене для учнів і одночасно резюме викладу наукових відомостей вчителям. 
Структура підручника математики: 
1) будується на основі певних логічних принципів з урахуванням вікових особливостей учнів, визначеними для даного віку рівнем строгості викладу, поставлених цілей навчання. 
2) обов'язкові опису і словесні пояснення, що дають готові знання, висловлюваний матеріал все більшою мірою будується в логічній послідовності, в результаті чого наступає перехід від систематичності, зумовленої середовищем, до логічної систематичності (геометричний матеріал в курсі математики молодших класів). 
3) за наявності однакового змісту, що вводиться по черзі на нижчих і вищих рівнях навчання, використовується концентрична або циклічна систематичність (за цим принципом побудовано зміст тем: тотожні перетворення, рівняння, нерівності), яка дозволяє зв'язати воєдино три ступені пізнання: а) рівень безпосереднього спостереження можливий у побудові, обумовленому середовищем; б) рівень абстрактного мислення - в логічному побудові; в) рівень перевірки та використання знань - в цільовому побудові. 
4) мотивація викладеного матеріалу: при вивченні матеріалу найбільш важкою є проблема створення відповідної мотивації навчання, тобто потреб, інтересів, стимулів, що забезпечують активність пізнавальної діяльності учнів. Стійким і тривалим є лише той інтерес, який виникає при створенні проблемної ситуації (тема в підручнику повинна починатися зі створення характерних проблемних ситуацій і надання засобів для їх вирішення). 
Роль і місце репродуктивних завдань у підручнику математики 
Система завдань - необхідний компонент апарату організації засвоєння матеріалу підручника, що включає репродуктивні та творчі завдання, що охоплюють усі елементи змісту. 
Репродуктивний елемент формує таку якість знань, як оперативність, тобто здатність застосовувати знання в різних ситуаціях і є базою для вирішення творчих завдань. 
Прикладом може служити система репродуктивних завдань у підручнику "Геометрія 7-11" Погорєлова. 

2. Функції наочності в підручнику математики. Методи роботи з підручником

Не всі види наочностей, застосовуваних ілюстрацій мають однакове значення для розкриття досліджуваних закономірностей. На процес розв'язання математичноїзадачі істотно впливає схема та предметно-аналітична картинка, в якій відображені кількісні відношення шуканого і даного. 
Виділимо методичні функції наочності: 
а) пізнавальна: мета - формування пізнавального образу досліджуваного об'єкта, надання учням найкоротшого і доступного шляху осмислення досліджуваного матеріалу (монотонність функції, локальний екстремум пов'язують з кутом нахилу дотичної та знаком похідної); 
б) функція управління діяльністю: участь в орієнтовних, контрольних та комунікаційних діях. Орієнтовні - побудова креслення; контролюючі - виявлення помилок при порівнянні виконаного учнями кресленням з виконаним в підручнику; комунікаційні - на стадії дослідження отриманих результатів, коли учень пояснює по побудованій моделі суть досліджуваного явища або факту; 
в) інтерпретаційні функції: розгляд кожної з можливих моделей фігури (аналітичною або геометричної), якої в певних випадках може служити наочністю (наприклад, окружність можна задати за допомогою пари (центр і радіус), рівнянням осей координат, за допомогою малюнка або креслення і в задачах на побудову наочним буде перше, в описі геометричного місця точок - друге, в геометричних задачах - третє); 
г) естетичні функції наочності та опосередковані методичні функції: забезпечення цілеспрямованого уваги учня, запам'ятовування при повторенні учням навчального матеріалу, використання прикладної спрямованості. 
Методи роботи з підручником математики: читання підручників математики треба спеціально вчити; зміст і форми роботи з підручником визначаються віком учнів, рівнем їх математичної підготовки та загального розвитку, зміст підручника, вже наявними вміннями роботи з математичною книгою. 
У 5-9 класах можливі такі види роботи: 
1) читання правил, визначень, формулювань теорем після пояснення вчителя; 
2) читання інших текстів після їх пояснення вчителем; 
3) розбір прикладів підручника після їх пояснення вчителем; 
4) читання вголос підручника вчителем з виділенням головного й істотного; 
5) читання тексту учнями і розбиття його на смислові абзаци; 
6) читання пункту підручника та відповіді на запитання вчителя (або підручника); 
7) читання тексту підручника, самостійне складання плану і відповідь учнів за складеним планом. 
Необхідно навчати користуватися не тільки текстом та ілюстраціями підручника, але і його змістом, записами і таблицями, поміщеними на форзацах, анотацією, запропонованим покажчиком. 
3. Дидактичні матеріали та методика їх використання 
Дидактичні матеріали поділяються на: 
а) фабричні (самостійні та контрольні роботи з 4-6 варіантами); 
б) саморобні: картки для індивідуальної роботи (для сильних і слабких учнів), картки для фронтальної роботи, картки для усного рахунку. 
Призначення "Дидактичних матеріалів": допомога в організації самостійного вирішення завдань і виконання вправ учнями за курсом математики (фронтальне або індивідуальне рішення задач); найчастіше самостійні роботи мають навчальний характер; в організації за темами курсу або оглядової контрольної роботи. 
Методика використання "Дидактичних матеріалів": вчитель відповідно до вимог програми, складом класу, індивідуальними особливостями учнів, тематичного плану вивчення математики визначає зміст проведених робіт, терміни і тривалість їх виконання, ставить перед самостійною роботою конкретні цілі і завдання (вибираємо завдання, виконання яких вважає необхідною умовою формування в учнів міцних математичних умінь і навичок); встановлює дійсну тривалість пропонованих самостійних і контрольних робіт. Кожній роботі з "Дидактичних матеріалів" повинен передувати короткий, але точний інструктаж вчителя, в якому наведено точний час виконання роботи, порядок вирішення завдань або виконання вправ, деякі особливості завдань самостійної (контрольної) роботи; користування геометричними інструментами, калькуляторами; можна зазначити можливі запису рішень. 
Кожна самостійна або контрольна робота повинна організовано завершуватися, тобто повинні бути підведені підсумки та проведено це на тому ж уроці по можливості. При підведенні підсумків варто відзначити найбільш раціональні та оригінальні рішення, проаналізувати найбільш часто повторювані помилки. Підведення підсумків має передбачати і чітку вказівку, чому навчилися учні, які нові знання, вміння і навички вони придбали. 

4. Довідкова і науково-популярна література та методика їх використання. Навчальне обладнання з математики та методика використання його в навчальній роботі

Навчання користуванню довідниками з математики, довідковими таблицями та іншої довідкової літературою має знайти своє місце при вивченні математики в середній школі. Довідники необхідні з тієї причини, що для запам'ятовування вибирається першорядне, необхідне для вивчення подальшого курсу, а другорядне можна знайти у довіднику, він же допоможе швидше згадати вивчене, але напівзабуте, знайти необхідний метод, вивчення якого передбачене програмою. 
Зміст і структура довідників по шкільному курсу математики приблизно однакові: 
1) таблиці для обчислень (ступенів, коренів, обернених чисел, логарифмів, значень показовою і тригонометричної функцій); 
2) фактичні відомості: формули, визначення понять, алгоритмічні приписи, приклади застосування цих довідок; 
3) відомості, що роз'яснюють основні поняття і найважливіші методи шкільного курсу математики; 
4) відомості про деякі поняттях і методах математики, не включених у шкільні підручники. 
Довідники: 
а) можуть бути використані при вирішенні завдань, що вимагають застосування математичних відомостей, вивчених в минулому; 
б) допоможуть знайти результати деяких обчислень (довжин кіл, площ кіл, значення коренів і т.д.), що заощадить час; 
в) використовуючи поміщені в довіднику формули тригонометричних функцій подвійного і половинного аргументу, можна запропонувати учням відновити їхдоказ, переслідуючи при цьому дві мети: запам'ятовування формул і встановлення зв'язків і залежностей тригонометричних тотожностей; 
г) можна використовувати для знайомства з деякими відомостями з математики, не включеними в програму (тотожні перетворення творів синусів, косинусів). 
Крім довідників можна відзначити збірники конкурсних завдань, олімпіадні задачники. 

Форми організації навчання математики 
1. Урок математики, його структура, основні вимоги до уроку математики. Типи уроків і методика їх побудови

Урок математики. 
Урок - Це логічно закінчений, цілісний, обмежений визначеними тимчасовими рамками навчально-виховний процес. 
Методичне поняття "урок" володіє наступними ознаками: 
1) на кожному уроці вирішуються певні освітні та виховні завдання; 
2) ці завдання вирішуються через розгляд конкретного навчального матеріалу; 
3) для досягнення цілей (рішення педагогічних завдань) підбираються відповідні методи рішення; 
4) колектив учнів класу певним чином організується на роботу. 
Характерні риси уроку: 
1) цілі уроку: освітні, виховні та розвиваючі. 
До освітнім належать формування математичних знань, умінь і навичок у поєднанні з загально-навчальними знаннями, вміннями і навичками, що дозволяють більш раціонально організувати навчання математики. 
Виховні цілі повинні сприяти підвищенню інтересу до математики, стимулювати відповідальне ставлення до навчальної роботи, розвивати такі риси характеру як акуратність, посидючість і т.д. 
Розвиваючі цілі сприяють формуванню різних видів мислення, яке позначають словом "математичне" мислення. 
У нього включають: логічне мислення, "гнучкість розуму", вміння до узагальнення і систематизації, здатність до формування гіпотез. 
2) зміст. Підбір навчального матеріалу, що відповідає поставленої мети, здійснюється за допомогою навчальних програм, підручників, методичних посібників, дидактичних матеріалів і т.д. 
Виклад матеріалу на уроці будується із збереженням логіки розкриття цієї теми в шкільному підручнику. 
3) засоби і методи навчання. 
Вибір оптимальних методів навчання обумовлюється виконанням наступних умов: 
· А) мету уроку; 
· Б) особливості змісту досліджуваного матеріалу (складність, новизна, характер); 
· В) особливості учнів класу (рівень розвитку мислення, рівень знання, умінь і навичок, сформованість навичок навчальної праці і т.д.); 
· Г) оснащеність кабінету дидактичними засобами навчання; 
· Д) ергономічні умови (час проведення уроку за розкладом, наповнюваність класу і т.д.); 
· Е) індивідуальні особливості вчителя, тому що він керує всією навчальною діяльністю на уроці, використовуючи загальні (робота з усім класом), групові (ланка, бригади і т.д.) та індивідуальні її форми. 
Основні вимоги до уроку математики 
Процес навчання математики в школі включає три основні складові: 
· Пояснення нового матеріалу; 
· Самостійну роботу; 
· Опитування учнів. 
Пояснення матеріалу нового ефективно, якщо вміст передаваної інформації і форми її подачі забезпечують необхідну активність учнів. 
Досягається при достатній мотивації, при поясненні прикладної цінності, при викладенні нової теми на високому науковому рівні, при створенні умов для свідомого і міцного засвоєння. 
Наприклад, 
1) формула (a + b) 2 в якості мотивації передбачає полегшення алгебраїчних перетворень; 
2) теорема Вієта - швидка перевірка і знаходження коренів рівняння; 
3) теорема синусів може бути мотивовані потребою теореми. 
При викладі матеріалу вчитель орієнтує учнів на те, які типові завдання треба вирішити і як вони вирішуються, тим самим виявляючи прикладну цінність даного матеріалу. 
Науковість викладу найбільш природно забезпечується тоді, коли вчитель строго слідує планом, прийнятому в підручнику. Доступність і наочність викладу необхідна умова для сприйняття матеріалу, тому допускається оформлення на дошці схем досліджуваного, що містять всі важливі ідеї і викладення, слідства і причини, формулювання теорем, креслення. 
Самостійна робота учнів спрямована на закріплення нового матеріалу. За характером її поділяють на: а) відтворюючу (репродуктивну) - рішення подібної задачі, дія "за зразком"; б) тренувальну - вирішення завдань, аналогічних тим, які учні вирішували самі; в) творчу - рішення тих задач, з якими учні не зустрічалися, що дозволяють по іншому використовувати знання. 
До самостійної роботи пред'являються такі вимоги: 
· Проводити роботу фактично з кожного питання програми; 
· Розрізняти початкові етапи закріплення від закріплення творчого; 
· Проводити творче закріплення за варіантами різної труднощі. 
Контроль знань учнів повинен бути загальним, що досягається за допомогою різних контролюючих пристроїв або за допомогою математичного диктанту та цілеспрямованим (опитування учнів по необхідному мінімуму знань). 
Виділимо п'ять основних вимог до уроку: 
1) основна дидактична мета (цілеспрямованість) 
Зазвичай на уроці вирішується кілька завдань: а) перевіряються знання, уміння і навички; б) пізнається нове, тобто формуються поняття, встановлюються і обгрунтовуються закономірності та алгоритми; в) відбувається закріплення досліджуваного - повторення або застосування нових знань у вирішенні різних завдань. Тому слід правильно вибрати головну мету для уроку, яка досягається при розробці повної системи уроків з певної теми. 
2) Завдання виховання і розвитку уч-ся. 
3) Обгрунтований відбір матеріалу (теоретичного й задачного), інакше кажучи, раціональна побудова змісту уроку. Воно має глибоко відображати логіку даного навчального предмета, на базі математичного змісту, формують математичні, загальноінтелектуального (прийоми розумової діяльності) вміння та навички навчальної діяльності. 
4) Доцільний вибір методів, прийомів і засобів навчання. 
Основним у навчанні математики є наочно-вербальні засоби в різних поєднаннях; необхідне комплексне застосування технічних і наочних засобів навчання. 
Для формування навичок самоосвіти слід на уроці навчати хлопців вмінню працювати з книгою. 
Осягнути абстрактність математичних понять можна за допомогою моделювання. 
5) Організаційна чіткість і різноманітність форм організації навчальної діяльності учнів. 
Типи уроків. Методика їх побудови. 
Загально дидактична структура уроку: 
Актуалізація Формування Застосування 
колишніх завдань і нових знань і формування способів дій способів дій умінь і навичок 
Основні етапи урок: 
1. Постановка мети уроку перед уч-ся. 
2. Ознайомлення з новим матеріалом. 
3. Закріплення нового матеріалу: а) на рівні відтворення інформації і способів діяльності, б) на рівні творчого застосування і добування знань. 
4. Перевірка знань, умінь і навичок. 
5. Систематизація та узагальнення вивченого матеріалу (за темою, розділом і т.п.). 
Відзначимо, що для кожного уроку обов'язковим є постановка мети. 
Структурні елементи (складові частини) уроку - визначаються в залежності від наявності тих чи інших елементів навчального матеріалу і характеру їх викладу: 
1. Перевірка домашнього завдання. 
2. Підведення до вивчення нового матеріалу. 
3. Виклад нового матеріалу. 
4. Закріплення нового матеріалу. 
5. Самостійна робота. 
6. Домашнє завдання. 
7. Підведення підсумків уроку і оголошення поурочного бала. 
Найбільш поширеним діленням уроків є класифікація залежно від поставленої мети дидактичної: 
1. Урок ознайомлення з новим матеріалом. 
2. Урок закріплення вивченого матеріалу: а) урок тренувального характеру (репродуктивне застосування знань), б) урок творчого застосування знань (продуктивне застосування знань). Цей урок ще інакше називають "уроком щодо вирішення завдань". 
3. Урок перевірки знань, умінь і навичок. 
4. Урок систематизації та узагальнення вивченого матеріалу. 
Наведена класифікація не відображає внутрішньої організації навчального процесу, способу проведення уроку, тому застосовується класифікація за способом проведення уроку: 
урок повторення; 
урок-бесіда; 
урок контрольна робота; 
комбінований урок і т.д. 
Уроки математики найчастіше, бувають комбінованими (змішаними). Їх основні структурні елементи: перевірка домашнього завдання, пояснення нового матеріалу, вирішення завдань, завдання домашньої роботи. При цьому допускається відсутність будь-яких видів роботи. 
Конспект уроку з математики 
1.Дать проведення уроку, його номер за тематичним планом, тема уроку, клас. 
2.Указиваются освітні, виховні і розвиваючі цілі. 
3.План уроку з нумерацією його етапів і зазначенням затрат часу для кожного з них. 
4.Перечісляются навчальне обладнання і використовувана методична література. 
5.Далее слід основна частина конспекту, в якій описується "жива" картина уроку: дія вчителя та учнів. 
Ознайомитися з конкретними конспектами уроків можна в таких книгах: 

2. Основні форми позакласної роботи з математики в середній школі 
Розшарування колективу учнів на тих, хто легко і з цікавістю засвоюють програмний матеріал, і на тих, хто домагається при вивченні математики лише задовільних результатів і тих, кому успішне вивчення математики дається з великими труднощами, не дозволяє вчителю у своїй роботі орієнтуватися на "середнього" учня. Дуже часто проводиться на уроках диференціація навчання не дає ефективних результатів. Виникає необхідність індивідуалізації навчання математики, однією з форм якої є позакласна робота. 
Під позакласною роботою з математики розуміються необов'язкові систематичні заняття учнів з викладачем у позаурочний час. 
Слід розрізняти два види позакласної роботи з математики: 
1) робота з учнями, відстаючими від інших у вивченні програмного матеріалу (додаткові позакласні заняття); 
2) робота з учнями, які проявляють до вивчення математики підвищений, в порівнянні з іншими, інтерес і здібності (власне позакласна робота в традиційномурозумінні сенсу цього терміна). 
Відзначимо основні цілі та положення кожного з напрямів. 
Робота з відстаючими ефективна, якщо: 
1) додаткові заняття проводяться з групою 3-4 людини: вони повинні бути однорідними. 
2) слід максимально індивідуалізувати ці заняття; 
3) їх проводять не частіше одного разу на тиждень, поєднуючи її з домашніми завданнями; 
4) після повторного вивчення того чи іншого розділу на додаткових заняттях слід провести підсумковий контроль з виставленням оцінок з теми; 
5) заняття носять "навчальний" характер; слід використовувати відповідні завдання з "дидактичних матеріалів"; 
6) вчитель математики повинен аналізувати причини відставання учня при вивченні тем, виділяти типові помилки. Це робить заняття більш ефективними. 
Робота з учнями, які проявляють до вивчення математики підвищений інтерес, відповідає наступним основним цілям: 
1. Пробудження і розвиток стійкого інтересу учнів до математики і її додатків. 
2. Розширення та поглиблення знань учня з програмного матеріалу. 
3. Оптимальний розвиток математичних здібностей в учня і прищеплення учневі певних навичок науково-дослідного характеру. 
4. Виховання високої культури математичного мислення. 
5. Розвиток в учня вміння самостійно і творчо працювати з навчальною та науково-популярною літературою. 
6. Розширення і поглиблення уявлень учнів про практичне значення математики в техніці. 
7. Розширення і поглиблення уявлень учнів про культурно-історичної цінності математики, про провідну роль матем. школа. 
8. Встановлення більш тісних ділових контактів між вчителем математики і учнями і на цій основі більш глибоке вивчення пізнавальних інтересів і запитів школярів. 
9. Створення активу, здатного сказати вчителеві математики допомогу в організації ефективного навчання математики всього колективу даного класу. 
Реалізація цих цілей частково здійснюється на уроках, але через тимчасову обмеженості не з достатньою повнотою. Тому остаточна і повна реалізація цілей переноситься на позакласні заняття. Слід пам'ятати, що: позакласна робота не повинна дублювати навчальну роботу, інакше вона перетвориться на звичайні додаткові заняття. 
Говорячи про зміст позакласної роботи з учнями, які цікавляться математикою, зазначимо таке: 
Традиційна тематика позакласних занять обмежувалася зазвичай розглядом таких питань, які хоч і виходили за рамки офіційної програми, але мали багато точок дотику з розглянутими в ній питаннями. Наприклад: ознаки подільності чисел (5-6 кл.); Рішення геометричних задач на побудову або циркулем, або лінійкою;історичний матеріал; математичні софізми, завдання підвищеної труднощі і т.д. 
Форми проведення позакласної роботи: 
математичні гуртки 
математичні вікторини, конкурси та олімпіади 
математичні вечора 
математичні екскурсії 
позакласне читання математичної літератури 
математичні реферати та твір 
шкільна математична друк 
тиждень математики. 
Слід розрізняти заняття позакласні, що дають нові математичні знання (гуртки, факуль0щтатіви) і немає (все інше). 
Юнацькі математичні школи (ЮМШ) 
Заочні математичні школи (ЗМШ) 
3. Форми і методи перевірки знань, умінь і навичок учнів з математики " 
Вивчення характеру засвоєння учнями навчального матеріалу, оцінка їх знань і вмінь, виявлення рівня розумового розвитку та розвитку пізнавальних здібностей - необхідна сторона процесу навчання, складова внутрішній зміст кожного його ланки. Основна мета перевірки - визначення якості засвоєння учнями програмного матеріалу, діагностування та коригування їх знань і вмінь. 
Функції перевірки: 
· Контролюючі: виявлення стану знань і умінь учнів, рівня їх розумового розвитку, вивчення ступеня засвоєння прийомів пізнавальної діяльності, навичок раціонального навчальної праці; 
· Навчальні: вдосконалення знань і умінь, їх систематизація; 
· Діагностичні: отримання інформації про помилки, недоліки та проблеми в знаннях і уміннях учнів і породжують їх причини; про ступінь впливу цих причин на якість знань. Результати цих перевірок інформують про витоки труднощів в оволодінні матеріалом, про кількість, характер та причини помилок; дозволяють вибрати дієвий індивідуальних підхід; акцентувати увагу на підборі досить повної системи вправ, більш дієвої методики навчання; 
· Прогностичні: отримання випереджаючої інформації про навчально-виховному процесі. У результаті отримують підстави для прогнозу про хід певного відрізка навчального процесу: чи достатньо сформульовані конкретні знання, вміння та навички для засвоєння наступної порції навчального матеріалу. Результати прогнозу використовують для створення моделі подальшої поведінки учня, допускає сьогодні помилки даного типу або має певні прогалини в системі прийомів пізнавальної діяльності. Прогноз допомагає уточнити особливості засвоєння учнями даного матеріалу, його значення для подальшого оволодіння програмним матеріалом і т.д. 
· Розвиваючі: стимулювання пізнавальної активності учнів у розвитку творчих сил і здібностей; 
· Орієнтують: отримання інформації про ступінь досягнення цілі навчання окремим учнем і класом в цілому - наскільки засвоєний і як глибоко вивчений навчальний матеріал. 
Перевірка орієнтує учнів у їх труднощі і досягнення. 
· Виховують: виховання в учнів відповідального ставлення до навчання, дисципліни, акуратності, чесності. 
Принципи перевірки: 
1) цілеспрямованість: чітке визначення мети кожної перевірки (що має перевірятися? Хто повинен опитуватися? Які висновки можна буде зробити на основі результатів перевірки? 
2) об'єктивність: чітке виділення загальних і конкретних цілей навчання, розробленість вимог до знань, умінь і навичок учнів, обгрунтованість виділення та відбору об'єктів та змісту перевірки, адекватність перевірочних завдань - цілям перевірки; забезпеченість методами обробки, аналізу та оцінювання результатів перевірки і т. д. 
3) всебічність: засвоєння основних ідеї курсу, навчального матеріалу за певними змістовним лініям курсу, знання учнями окремих і істотних фактів, понять, закономірностей, теорем, способів дій і способів діяльності; 
4) регулярність: систематичність перевірки, органічно поєднується з самим навчальним процесом; 
5) індивідуальність: перевірка і оцінка знань, умінь і навичок кожного учня. 
Форми перевірки: 
1) індивідуальна: доцільна в разі з'ясування індивідуальних знань, здібностей і можливостей окремих учнів; вона завжди планується і підлягають їй всі учні класу. 
2) групова: клас тимчасово ділиться на кілька груп (від 2 до 10 учнів) і кожній групі дається перевірочне завдання, однакове або диференційоване і перевіряють результати письмово-графічного завдання або практичного або перевіряють точність, швидкість та якість виконання. Застосовують при повторенні з метою узагальнення та систематизації навчального матеріалу, при виділенні прийомів і методів розв'язання задач, при акцентуванні уваги учнів на найбільш раціональних способах обчислення завдань і т.д. Іноді її проводять у вигляді ущільненого опитування. 
3) фронтальна: вивчається правильність сприйняття і розуміння навчального матеріалу, якість словесного, графічного, предметного оформлення, ступінь закріплення в пам'яті. 
Види перевірки: 
1) поточна: протягом усього навчального року; на кожному уроці. Перевіряється правильність і усвідомленість кожного практичного і пізнавального дії учня, його вмінь робити аналіз, обгрунтувати вироблені дії, виділяти істотне в досліджуваному, диференціювати поняття, виробляти кроки перетворень і т.д. 
2) тематична: умова основних положень теми. Перевіряються вміння учнів зв'язно і послідовно викладати засвоєний матеріал, узагальнювати конкретизувати систематизувати, застосовувати знання при вирішенні практичних та пізнавальних завдань. Проведення тематичної перевірки багато в чому залежить від чіткого виділення в темі основних розділів або підтем, які задають частоту перевірки, яка здійснюється через систему контрольних короткочасних робіт. 
3) підсумкова: має спеціалізований характер (іспит чи річна контрольна робота). 
Методи перевірки: 
1) Усна: можливі різні цільові установки (перевірка домашнього завдання, виявити підготовленість учнів до вивчення нового матеріалу, перевірити ступінь розуміння і умов знань, вивчити рівні розвитку математичної мови, властивостей і якостей мислення і т.д.). Методика усної перевірки включає дві основні частини:
a) Складання перевірочних питань і їх завдання; 
b) Відповідь учнів на поставлені питання і слухання його. При складанні питань слід пам'ятати, що перевіряти слід ті знання, які є провідними в даному курсі або відносно важко засвоюються учнями або які необхідні для успішного засвоєння подальших розділів і тем курсу. Ефективна в тому випадку, якщо вона спрямована на виявлення свідомості сприйняття знань і усвідомленості їхнього використання, якщо вона стимулює самостійність і творчу активність учнів. 
Основні прийоми усній діяльності: 
1. перевірка відповідей та повідомлень з домашнього завдання; 
2. перевірка знань, умінь і навичок за раніше вивченого матеріалу, якщо вчитель не впевнений у міцності його засвоєння; 
3. перевірка знань з раніше вивченого матеріалу, якщо він активно використовуватиметься при введенні нових знань; 
4. перевірка засвоєння учнями теоретичного матеріалу; 
5. перевірка засвоєння умінь і навичок: способів дій і способів діяльності; 
6. перевірка рівня розвитку усного математичної мови; 
7. перевірка рівня розвитку логічного мислення учнів, умінь міркувати, робити висновки, доводити і обгрунтовувати свої дії; 
8. перевірка рівня розвитку властивостей і якостей мислення. 
2) перевірка письмово - графічних робіт: у порівнянні з усною велика об'єктивність, охоплення потрібного числа що перевіряються; економія часу, можливість ранжирування учнів за рівнем засвоєння навчального матеріалу. Найбільш повно перевіряються знання теоретичного матеріалу, вміння застосовувати його до рішення задач, сформованість навичок. Методика перевірки вимагає приділення особливої ​​уваги питанням підготовки, організації, проведення та аналізування результатів. 
3) перевірка практичних робіт: отримують дані про вміння учнів застосовувати отримані знання при вирішенні практичних завдань, користуватися різними таблицями, формулами, засобами малої механізації обчислювальних робіт, найпростішими обчислювальними машинами, креслярськими і вимірювальними інструментами, приладами і т.д. 
Засоби перевірки: питання, завдання, інші завдання. 
Машинна перевірка - за спеціально складеним завданням. 
Безмашинному перевірка: короткострокові усні роботи, короткострокові письмові роботи, математичні диктанти, контрольні роботи, заліки. 

Висновок

Розшарування колективу учнів на тих, хто легко і з цікавістю засвоюють програмний матеріал, і на тих, хто домагається при вивченні математики лише задовільних результатів і тих, кому успішне вивчення математики дається з великими труднощами, не дозволяє вчителю у своїй роботі орієнтуватися на "середнього" учня. Дуже часто проводиться на уроках диференціація навчання не дає ефективних результатів. Виникає необхідність індивідуалізації навчання математики, однією з форм якої є позакласна робота. 

. Технології навчання

Технологічний підхід характеризує спрямованість педагогічних досліджень на вдосконалення діяльності навчання, підвищення її результативності, інструментальності, інтенсивності. Технологія навчання як упорядкована сукупність і послідовність методів і процесів забезпечує реалізацію дидактичного проекту і досягнення діагностованого результату. До основних характеристик технологій навчання належать системність, науковість, концептуальність, відтворюваність, діагностичність, ефективність, умотивованість, алгоритмічність, інформаційність. Для моделювання технологи навчання важлива постановка цілей і цільова орієнтація навчання. До основних технологій навчання належать: технологія проблемного і диференційованого навчання, технологія інтенсифікації та індивідуалізації навчання, технологія програмованого навчання, інформаційна технологія, технологія розвивального навчання, кредитно-трансферна система організації навчання.

8.1. Теоретичні основи технології навчання

У сучасних умовах технологічність стає домінантною характеристикою діяльності людини, означає перехід на якісно новий рівень ефективності та оптимальность

Науковці використовують термін "технологія" на позначення сукупності прийомів і способів оброблення або виробництва певних продуктів і водночас - науки про такі способи. Останнім часом зміст цього поняття значно розширився: інформаційні технології, технології біологічних систем, освітні технології та ін.

Освітня політика передових держав акцентує увагу на розвиткові особистості, її якостей, талантів і здібностей. Характеризуючи стан освіти, вчені зауважують у ній кризові явища, які є наслідком відставання освіти від науки і виробництва. Незважаючи на те що освіта зумовлює науково-технічний прогрес, вона чинить опір інноваційним явищам у власному середовищі.

У теорії і практиці середньої і вищої школи існують суперечності, які зумовлюють необхідність пошуку нових технологій навчання:

- між суспільною формою здійснення професійної чи навчальної діяльності, колективним характером праці і спілкування її суб'єктів та індивідуальною технологією оволодіння цією діяльністю;

- між необхідністю здійснення діяльності на рівні активності і творчості та функціонуванням репродуктивного мислення, пам'яті, індуктивної логіки процесу засвоєння знань під час навчання;

- між спрямованістю змісту навчальної діяльності на вивчення минулого соціального досвіду та орієнтацією суб'єкта навчання на результативність майбутньої професійної діяльності;

- між функцією відображення педагогічної реальності у системі психолого-педагогічних понять і категорій і необхідністю реалізації конструктивно-аналітичної функції в процесі вивчення навчальних дисциплін.

Окрім того, дидактика середньої і вищої школи не завжди оперативно реагує на інноваційні освітні процеси, а іноді й стримує їх впровадження в масову практику. Для вчителів і майбутніх фахівців дидактика була і залишається надто теоретичною наукою тому, що на шляху руху від теоретичних знань до їх практичного застосування існує вакуум. Щоб подолати цей розрив, забезпечити синтез теорії і практики, необхідно озброювати студентів прикладними, суто технологічними знаннями. Використання нових освітніх технологій передбачає не стільки поповнення теоретико-методоло-гічних знань студентів, скільки формування професійних умінь проектувати, конструювати процес навчання, аналізувати його результати.

Про технологічні аспекти навчання писав ще Я.-А. Ко-менський, який прагнув знайти його загальний порядок (ідеальний метод навчання). За такої умови навчання можна характеризувати як майстерний розподіл часу, предметів і методу. Відтоді було багато спроб зробити навчання подібним на добре налагоджений механізм. Основною перешкодою на шляху до ідеального "єдиного методу" навчання є багатоваріантність, неоднозначність елементів змісту освіти, видів навчального матеріалу, прояву закономірностей пізнавальної діяльності, взаємин учителя й учнів.

Уперше термін "технологія" стосовно процесу виховання запропонував А. Макаренко.

Запровадження педагогічних технологій у практику розпочалось у 60-ті роки XX ст. У зарубіжній теорії і практиці воно пов'язане з працями Б. Блума, Д. Бруне-ра, Дж, Керола, С Сполдінга, Д. Хамбліна, Ю. Бабансь-кого, В. Беспалька, П. Гальперіна, Н. Щуркової, а в українській науці - А. Алексюка, В. Бондаря, В. Вон-сович, В. Лозової, І. Підласого, А. Фурмана та ін.

Технологічний підхід характеризує спрямованість педагогічних досліджень на вдосконалення діяльності навчання, підвищення її результативності, інструмен-тальності, інтенсивності. Технологія педагогічної діяльності враховує об'єктивні дидактичні закономірності і забезпечує в конкретних умовах відповідність результату діяльності попередньо поставленим цілям. Особливістю освітніх технологій є те, що сфера педагогічної діяльності не може бути охарактеризована чітким предметним полем, однозначністю функцій, відокремленістю професійних дій від особистісно-суб'єктивних параметрів. Крім того, віддаленість і варіативність результату навчальної діяльності не можуть забезпечити його чіткого прогнозування і моделювання. Водночас саме технологічний підхід може протиставити довільним діям жорсткі алгоритмічні приписи, систему логічно вмотивованих операцій, спрямованих на досягнення діагностично заданої мети.

У педагогічній літературі термін "технологія" використовують у таких значеннях: 1) як синонім понять "методика" чи "форма організації навчання" (технологія спілкування, технологія взаємодії, технологія організації індивідуальної діяльності); 2) як сукупність усіх використаних у конкретній педагогічній системі методів, засобів і форм (традиційна технологія навчання, технологія Л. Занкова тощо); 3) як сукупність і послідовність методів і процесів, спрямованих на одержання запланованого результату. Лише третє значення зберігає основний смисл технології, суть якої полягає в попередньому визначенні діагностичної мети і засобів її реалізації.

Технологія навчання - упорядкована сукупність і послідовність методів і процесів, які забезпечують реалізацію проекту дидактичного процесу і досягнення діагностованого результату.

Предметом технології навчання є створення систем навчання і професійної підготовки. Розуміння сутності технологічного процесу і наявність різних підходів до його визначення вимагає знайти узагальнену інваріантну ознаку технології навчання.

Основними характеристиками (критеріями) технологій навчання є:

- системність (взаємозв'язок і гармонізація цілей, змісту і дидактичного процесу);

- науковість (відповідність сучасним досягненням педагогічної науки, науковим критеріям, наявність психолого-педагогічної основи, цілісної теорії чи окремих наукових положень);

- концептуальність (опора на конкретну наукову концепцію або систему уявлень);

- відтворюваність (алгоритмізація конкретних дій, визначеність етапів, кроків, операцій, що забезпечують реалізацію мети і легке відтворення технології будь-яким суб'єктом освітнього процесу);

- діагностичність (наявність діагностичних цілей і відповідних результатів за оптимальних затрат на їх досягнення);

- ефективність (встановлення відповідності діагностично заданої мети одержаним результатам);

- вмотивованість (побудова пізнання як системи пізнавальних завдань і проблемних ситуацій, спрямованих на формування внутрішніх мотивів учіння і самостійності учнів);

- алгоритмічність (чітка послідовність і порядок виконання дій на основі внутрішньої логіки дидактичного процесу, однозначність виконання передбачених процедур та операцій);

- інформаційність (наявність способів і засобів збору, обробки і передачі інформації для одержання нових відомостей про досліджуваний об'єкт);

- оптимальність (оптимізація дидактичного процесу, його економічність, досягнення запланованих результатів у найбільш стислі строки);

- законовідповідність (встановлення відповідності знань про способи і засоби організації технології навчання законам і закономірностям функціонування дидактичного процесу).

У технології навчання важливе місце належить забезпеченню зворотного зв'язку з метою виявляти учнів, у яких виникають труднощі із засвоєнням навчального матеріалу. Це дає змогу оперативно коригувати недоліки окремих методів і прийомів, з яких складається технологічний процес. Значну увагу в технологіях навчання приділяють питанням розвитку і максимального використання технічних засобів навчання, їх освітнім можливостям.

Технології навчання мають визначену структуру, що складається з таких основних компонентів:

1. Попередня діагностика рівня засвоєння навчального матеріалу (тестування) і формування класів з приблизно однаковим рівнем підготовки учнів.

2. Організація діяльності учнів для засвоєння і закріплення навчального матеріалу (основними є традиційна методика, методики Л. Занкова і Д. Ельконіна - В. Давидова).

3. Контроль якості засвоєння матеріалу.

4. Вибір прийомів і методів додаткової роботи з групою чи окремими учнями у тому випадку, коли вони не засвоїли навчального матеріалу.

5. Діагностика причин відставання у навчанні (використання тестів, діагностичних програм, завдань) у тому випадку, коли більшість учнів класу не засвоїла навчального матеріалу.

6. Вибір методики, яка забезпечує подолання прогалин у знаннях і в досвіді учнів усього класу.

Особливу увагу в технології приділено питанням контролю якості засвоєння знань і діагностиці причин відставання учнів у навчанні. Процеси організації навчальної діяльності і контролю в ній рівнозначні, взаємопов'язані. Виокремлення контролю в самостійний компонент дає змогу ґрунтовніше розробити його систему: можливі рівні засвоєння матеріалу учнями, необхідні прийоми і методи подальшої роботи стосовно кожного рівня, всі наступні дії вчителя. До основних методів контролю рівня засвоєння знань належать: усні методи, письмові контрольні роботи, оцінювання, тести. Саме тести можуть забезпечити об'єктивну оцінку результатів навчальної діяльності учнів. Тест складається із завдань та еталона їх виконання. Порівнюючи відповіді учня з еталоном, необхідно співвіднести число правильно виконаних операцій тесту із загальною кількістю операцій у тесті і визначити коефіцієнт засвоєння навчального матеріалу, який коливається від Одо 1. Матеріал можна вважати засвоєним, якщо коефіцієнт засвоєння (К) дорівнює чи більший 0,7. Процес навчання при К > 0,7 можна вважати завершеним, бо, незважаючи на те що учень робить багато помилок (до 30%), він має об'єктивну можливість їх долати і самостійно знаходити правильні варіанти.

Отже, основними характеристиками технологічного підходу у навчанні є: постановка діагностичної мети (із визначенням рівня засвоєння); здійснення об'єктивного контролю ефективності навчання і визначення рівня досягнення поставленої мети; досягнення кінцевого результату з точністю не менше 70%.

Застосування інтерактивних технологій - один із напрямків удосконалення навчального процесу на уроках математики

Сучасному навчально-виховного процесу притаманні переважання вербальних методів навчання і виховання, недооцінка значення спілкування школярів для розв'язування провідних задач і завдань на уроках математики, відсутність цікавих для учнів форм та методів організації навчальної діяльності тощо. Тому нагальною потребою сучасної системи ости при викладанні математики є впровадження нових форм та методів навчання і виховання, що забезпечують розвиток особистості кожного школяра. Розв'язанню цієї проблеми сприяє впровадження інтерактивних технологій навчання на уроках математики. Саме вони ефективніше, ніж інші педагогічні технології, сприяють інтелектуальному, соціальному й духовному розвитку школяра, готовність жити й працювати в гуманному, демократичному суспільстві.

Інтерактивні технології навчання зорієнтовані на:

•  створення умов для осмислення й вирішення проблем, пов'язаних із захистом своїх прав і прав товариша; усвідомлення обов'язку і відповідальності перед оточенням, плекання навичок культури і соціальної етики, що включать у себе дотримання моральних принципів та норм у суспільстві, пріоритет загальнолюдських цінностей;
•  соціалізацію особистості й формування в процесі виховання та освіти, навичок активної моральної дії;
•  розвиток особистості, яка здатна критично оцінювати події, що відбуваються в суспільстві.

Інтерактивні технології навчання на уроках математики сприяють ефективному розвитку в кожної особи математичних здібностей, розвитку логічного мислення, системи загальнолюдських цінностей та загальноприйнятих норм поведінки, як на уроках математики, так і в житті; розвитку здатності цінувати знання та вміння користуватися ними; усвідомленню особистої відповідальності та вмінню об'єднуватися з іншими членами колективу класу задля розв'язання спільної проблеми, розвитку здатності визнавати і поважати цінності іншої людини, формуванню навичок спілкування та співпраці з іншими членами групи, взаєморозуміння та взаємоповаги до кожного індивідуума, вихованню толерантності, співчуття, доброзичливості та піклування, почуття солідарності й рівності, формуванню вміння робити вільний та незалежний вибір, що ґрунтується на власних судженнях та аналізі дійсності, розумінні норм і порав поведінки.

В умовах інтерактивного навчання на уроках математики забезпечуються формування в його учасників передусім таких інтелектуальних умінь, як аналіз, порівняння, виділення головного, а також критичне мислення та здатність приймати відповідальні рішення.

У результаті організації навчальної діяльності із застосуванням інтерактивних технологій в учнів на уроках математики розвиваються й ускладнюються психічні процеси - сприйняття. Пам'ять, увага, уява тощо, виявляються такі мислитель ні операції як аналіз і синтез, абстракція й узагальнення, формуються воля й характер тощо, при використанні різноманітних видів творчої діяльності на уроках в учнів розвиваються математичні здібності та проявляється інтерес до предмета. Велика кількість різноманітних і доступних учням видів робіт, включених у зміст знань, де застосовуються інтерактивні технології, дає поживу для розуму, розвиває уяву, спостережливість, розширює кругозір, знайомить з важливими елементами професійної діяльності, впливає на формування стійких пізнавальних інтересів, а в майбутньому - і на вибір роду занять, пов'язаних з математикою.

Під час активного навчання учень аналізуючи творче завдання, визначає потрібні для його виконання операції, послідовність дії, порівнює та визначає спільне й відмінне в способах реалізації аналогічних завдань, узагальнює способи його виконання. На основі таких мислительних дій розвивається інтелектуальна сфера особистості. Крім того, у процесі виконання навчальних дій учням доводиться робити певні розрахунки. Вони навчаються використовувати знання з інших предметів (тобто здійснюються міжпредметні зв'язки); мова школярів збагачується новими словами, термінами, що, у свою чергу, позитивно впливає на розумовий розвиток особистості.

Інтерактивне навчання суттєво впливає на свідомість і почуття особистості з метою виховання компетентного й відповідального учня який є вільною і водночас законослухняною, високоморальною, соціально та політично активною особистістю, повноправним членом шкільного колективу; на формування в учнів громадських поглядів, почуттів та переконань, належної поведінки, єдності слова і діла.

Інтерактивні вправи на уроках математики зорієнтовані на:

•  розвиток належності мислення школярів, певної самостійності думок: спонукають учнів до висловлення своєї думки, стимулюють вироблення творчого ставлення до будь-яких висновків, правил тощо. Деякі з інтерактивних вправ (наприклад, „Робота в парах", „Робота в групах", „Карусель", „Пошук інформації" та інші) спрямовані на самостійне осмислення матеріалу, допомагають замислитися („Чи справді це так?"), дослідити факти, проаналізувати алгоритм розв'язків, розуміти їхню суть, перевірити і себе і свого товариша, знайти помилку;
•  розвиток опору до навіювання думок, зразків поведінки, вимог інших: спонукають учнів до відстоювання власної думки, створюють ситуацію дискусії, зіткнення думок. Застування вправ „Аналіз ситуації", „Вирішення проблем", вчать дітей протистояти тиску більшості, відстоювати свою думку. Виявити помилку у судженнях, відповідях, вказати за неї і довести це спонукає завдання, де вчитель допускає помилки. Коли в завданнях наявна певна проблемна ситуація, то розв'язання їх в умовах інтерактивних технологій активно стимулює діяльність мислення, спрямовану на подолання протиріччя, непорозумінь. Через зіткнення поглядів учні осягають суть, причини дій, вчинків;
•  вироблення критичного ставлення до себе, уміння бачити свої помилки та адекватно ставитися до них; сприяють розвитку таких умінь, як бачити позитивне і негативне не тільки в діях товаришів, а й у власних; порівнювати себе з іншими й ретельно себе оцінювати. Ці вправи сприяють самопізнанню особистості і на цій основі взаєморозумінню вчителів і учнів та розумінню школярами вимог і критичних зауважень учителя. А розуміння власних дій є необхідним для формування дисциплінованої поведінки. Завдяки правильному, адекватному усвідомленню не лише позитивного, а й негативного у власній поведінці, діях, навчанні виникає критичне ставлення до себе, що конче потрібне насамперед для сприймання вимог інших;
•  розвиток пошукової спрямованості мислення, прагненню до знаходження кращих варіантів вирішення навчальних завдань: передбачають вправи, які ставлять дітей у реальну ситуацію пошуку. Інколи вони пропонують нестандартні виходи із ситуацій, які ми, дорослі, часто відкидаємо як нереальні, неможливі. Такий категорійний підхід до ідей дитини гальмує в неї бажання ділитися власними ідеями, підриває віру у свої можливості. У процесі інтерактивних вправ „Розумовий штурм", „Коло ідей", „Вирішення проблем", „Незакінчені речення" приймаються всі думки дітей як реальні, так і вигадані. Вправа „Пошук інформації" вчить школярів самостійно працювати з додатковою літературою, дає можливість віднайти факт, який може заперечувати те, що раніше приймалося як незаперечне. Отже, це дає можливість для розвитку розумового скепсису щодо існуючих правил, висновків, думок;
•  інтерактивні вправи спрямовані і на розвиток уміння знаходити спільні рішення з однокласниками; на підвищення інтересу школярів до вивченого матеріалу.

„Рольові ігри" сприяють не лише розвитку вміння викладати свої думки, а й з повагою ставитися до думок і пропозицій інших. Атмосфера доброзичливості, заохочення під час обговорень, підтримка сором'язливих дітей під час інтерактивних вправ зумовлює розумову й емоційну розкомплектованість учнів, знижує страх перед можливими помилками, сприяє розвитку вміння аргументувати.

Суть інтерактивного навчання на уроках математики полягає ще й в тому, що навчальний процес відбувається за умови постійної, активної взаємодії всіх учнів колективу. Це спів-навчання, взаємо-навчання (колективне, групує, навчання у співпраці), де учень і вчитель є рівноправними, рівнозначними суб'єктами навчання, розуміють, що вони роблять рефлектують з приводу тощо, вони знають, вміють і здійснюють.

Організація інтерактивного навчання передбачає моделювання життєвих ситуацій, використання рольових ігор, спільне вирішення проблеми на основі аналізу обставин та відповідної ситуації. Воно ефективно сприяє формуванню математичних навичок і вмінь, виробленню цінностей, створенню атмосфери співробітництва, взаємодії, дає змогу педагогу стати справжнім лідером дитячого колективу, але варто підкреслити, що в процесі інтерактивного навчання вчителеві треба враховувати вікові особливості учнів.

Інтерактивна взаємодія виключає як домінування одного учасника навчального процесу над іншими, так однієї думки над іншою. Під час інтерактивного навчання учні вчаться бути демократичними, відкрито спілкуватися з іншими людьми, критично мислити, самостійно приймати рішення.

Варто зупинитися на позитивних сторонах кооперативного учіння як одного з провідних у системі інтерактивного навчання, де кожен має допомагати, одержувати допомогу від іншого. Кожен бере участь у кооперативній творчості, тобто кожна група виконує частину загального завдання, що доцільно під час вивчення великого за обсягом матеріалу. Обдарованіші діти допомагають менш обдарованим. Кооперативне учіння позитивно впливає на всіх школярів - слабких, середніх і сильних. Слабкі можуть скористатися підтримкою групи і досягти успіху в опануванні навчальних програм з математики. Середні також бачать значно вищі горизонти своїх досягнень і мають почуттєві переживання від свого поступку. Найбільш сильні вчаться працювати разом з іншими, чого вони не робили раніше, коли буди впевненими у своїй талановитості лише для себе, а не для інших. Вони знаходять у кооперативній праці велике задоволення від допомоги іншим, виконуючи педагогічну функцію навчати менш підготовлених.

Кооперативне учіння покликане розвивати толерантну поведінку серед учнів. Таке учіння знищує недовіру. Учні відчувають у конкретних виявах колективізму свою особисту участь і свою персональну значущість; усі відчувають комфорт від потреби спілкування з іншими. Усі відчувають власну вагомість і ексклюзивну вартість. Рідко зменшується самотність, підвищується мотивація, поліпшуються особисті досягнення.

Ситуації колективного учіння дають школяреві можливість співпрацювати в різних групах. Кожен школяр своєрідно переживає когнітивну ситуацію, а разом із тим психологічну і соціальну, постійно перебуваючи в стані зміни між особистісних зв'язків, досвіду пізнання й оцінок, дій і сподівань. Серед інтерактивних технологій кооперативного навчання можна виділити такі інтерактивні вправи: „Карусель", „Синтез думок", „Діалог", „Спільний проект", „Пошук інформації", „Коло ідей".

На мою думку, за умов інтерактивного навчання учень може навчатися робити свідомий вибір серед широкого спектра альтернатив і брати на себе відповідальність приймати самостійні рішення, щодо розв'язку задач та вправ. Важливо, що кожен може це робити свідомо й грамотно. У результаті застосування інтерактивних технологій створюються сприятливі можливості й для духовного розвитку особистості, а також ефективному процесу соціалізації.

Слід зазначити, що інтерактивне навчання дозволяє різко збільшити процес засвоєння матеріалу, оскільки впливає не лише на свідомість учня, а й на його почуття, волю (дії, практику). Результати цих досліджень можна відобразити в схемі, що отримала назву „Піраміда навчання".

Лекція - 5 % засвоєння

Читання - 10 % засвоєння

Відео-, аудіо-матеріали - 20 % засвоєння

Демонстрація - 30 % засвоєння

Дискусійні групи - 50 % засвоєння

Практика через дію - 75 % засвоєння

Навчання інших  / застосування отриманих знань відразу ж - 90 % засвоєння.

З піраміди видно, що найменших результатів можна досягти за умов пасивного навчання (лекція - 5 %, читання - 10 %), а найбільш інтерактивного (дискусійні групи - 50 %, практика через дію - 75 %, навчання інших чи негайне застосування - 90 %), тому можна сформувати кредо інтерактивного навчання:

Те, що я чую, я забуваю.

Те, що я бачу й чую, я трохи пам'ятаю.

Те, що я чую, бачу й обговорюю, я починаю розуміти.

Коли я чую, бачу, обговорюю й роблю я набуваю знань і навичок.

Коли я передаю знання іншим, я стаю майстром.

Набагато важливіше навчити, ніж просто розповісти.

Процес навчання на уроках математики - це не автоматичне вкладання навчального матеріалу в голову учня. Він потребує напруженої розумової роботи дитини, її власної активності участі в цьому процесі. Пояснення й демонстрація, самі по собі, ніколи не дадуть справжніх, стійких знань. Цього можна досягти тільки за допомогою активного та інтерактивного навчання на уроках математики. Майстерність учителя допомагає дітям досягти найкращих результатів тими засобами, які най      оптимальніші в кожній окремій ситуації. Учитель не має права ігнорувати колективну ігрову діяльність учнів тому, що це може призвести до недовіри як між учнями, так і між учнями та вчителем. Спільна діяльність в організації та проведенні ігор сприяє об'єднанню колективу та формуванню спільної мети. Ігрові технології інтерактивного навчання (ситуативне моделювання), які цікавістю, емоційністю позбавляють дитину почуття суспільного відчуження, сприяють соціальному розвитку дитини. Таким чином діти вчаться працювати в команді.

Для того, щоб учень добре навчався, він має бути постійно включений у процес учіння. Шляхом спілкування з учнями, учитель він має говорити на уроці не один і не два рази, а постійно спілкуватися.

Уроки математики, організовані за інтерактивними технологіями, сприяють розвитку мислення учнів уміння вислухати товариша і зробити свої висновки, вчитися повадки думку іншого і вміти аргументувати думку свою. Тому, нас своїх уроках математики активно застосовую групову навчальну діяльність - модель організації навчання в малих групах, об'єднаних спільною навчальною метою. Найчастіше парну і групову роботу я проводжу на етапі застосування набутих знань. Тому, клас поділяю н групи з різними навчальними можливостями, і кожна з цих груп потребує особливого, індивідуального підходу. Найважче працювати зі слабкими учнями, вони потребують дуже багато уваги на уроці, і ось постає питання, як організувати роботу з цими учнями. Щоб не залишати поза увагою інші групи дітей.

Малі групи використовую тільки в тих випадах, коли завдання вимагає спільної, а не індивідуальної роботи.

Особливість виконання вправ за інтерактивними технологіями полягає в тому. що будь-яка вправа або завдання складається з трьох елементів:

•  інструкція;
•  дія;
•  рефлексія (осмислення), тобто спочатку йде пояснення, як роботи, далі учні виконують завдання, а в процесі рефлексії пояснюють, чому саме такий варіант або спосіб, дію обрали.

В кожній групі розподілені ролі, які вони повинні виконувати під час групової роботи.

Спікер, головуючий (керівник групи):

•  зачитує завдання групі;
•  організує порядок виконання;
•  пропонує учасникам групи висловитися по черзі;
•  заохочує групу до роботи;
•  визначає доповідача.

Секретар:

•  веде записи результатів роботи групи;
•  записи веде коротко й розбірливо;
•  як член групи, повинен бути готовий висловити думки групи при підбитті підсумків чи допомогти доповідачу.

Посередник:

•  стежить за часом;
•  заохочує групу до роботи.

Доповідач:

•  чітко висловлює думку групи;
•  доповідає про результати роботи групи.

Важливим моментом групової роботи є опрацювання змісту і подання групами результатів колективної діяльності. Залежно від змісту та мети навчання можливості різні варіанти організації роботи групи.

Інтерактивну технологію, таку як „Пошук інформації", використовую для того, щоб оживити сухий, іноді нецікавий матеріал. Для груп розроблено запитання, відповіді на які можна знайти в різних джерелах інформації - це роздатковий матеріал, підручник, довідкові видання. Учні об'єднуються в групи. кожен отримує запитання по темі уроку. Визначається час на пошук та аналіз інформації. Наприкінці уроку заслуховуються повідомлення від кожної групи, які потім повторюються і розширюються всім класом. До цієї групи необхідно помістити інтерактивні технології, що передбачають одночасну спільну (фронтальну) роботу всього класу, обговорення проблеми в загальному колі, привертання уваги учнів до складних або проблемних питань у навчальному матеріалі, мотивація пізнавальної діяльності, актуалізація опорних знань, тому різновидом на запитання або висловлюючи свою думку чи позицію. Разом з технологією „Мікрофон" використовую прийом „Незакінчені речення", формулюю незакінчене речення із правила і пропоную учням висловлюючись, закінчити його.

Розвитку пошукової спрямованості мислення, прагненню до знаходження кращих варіантів розв'язку завдань дуже доцільно використовувати відому інтерактивну технологію колективного обговорення „Мозковий штурм". Ця технологія спонукає учнів проявляти уяву та творчість, дає можливість їм вільно висловлювати свої думки. Мета „Мозкового штурму" в тому, щоб зібрати якомога більше ідей щодо проблеми від усіх учнів протягом обмеженого періоду часу.

В старших класах на уроках математики важливо використовувати інтерактивну вправу „Ажурна пилка" для створення на уроці ситуації, яка дає змогу учням працювати разом для засвоєння великої кількості інформації за короткий проміжок часу. Ця технологія ефективна і може замінити лекції у тих випадках, коли початкова інформація повинна бути донесена до учнів перед проведенням основного уроку або доповнює такий урок. Заохочує учнів допомагати один одному вчитися навчаючи.

Таким чином, використання інтерактивних технологій на уроках математики дає можливість збагачувати світоглядну і моральну основу суджень як окремої особливості, так і громадської думки учнівського колективу. За допомогою подібних інтерактивних вправ можна глибше осмислювати актуальні явища громадського, культурного, міжнародного життя, навчитися поважати власну думку, зрозуміти, що не завжди те, що висловлює більшість, є істиною.

І в цілому, інтерактивне навчання є однією з найбільш гнучких форм включення кожного учня в роботу, забезпечує перехід від простих до складних завдань, вчить використовувати не готові знання, а здобувати їх із власного досвіду, що веде до розвитку мислення - творчого і діалектичного. Новітні підходи до організації навчання роблять навчально-виховний процес різноманітним, цікавим та ефективним, а найкориснішим у такому навчанні є те, що математика починає подобатися.

Формування математичних понять                      

Кожна наука і кожний навчальний предмет оперує певним колом властивих їм понять.

 Поняття - це форма мислення, в якій відображаються загальні істотні и відмінні (специфічні) властивості і особливості певних предметів або явищ дійсності. Термін «поняття» звичайно вживають для позначення розумового образу певного класу об’єктів, процесів об'єктивної реальності або нашої свідомості. Математичні поняття відображають у нашому мисленні просторові форми та кількісні відношення дійсності, абстрагуючись від реальних ситуацій.

Кожне поняття має свій обсяг і зміст. Обсяг поняття - це множина об'єктів, які охоплюються цим поняттям.

Зміст поняття - це множина суттєвих спеціальних властивостей (характеристична властивість), притаманних усім об'єктам, що належать до поняття. Наприклад, обсяг поняття «паралельні прямі простору» - всі можливі паралельні прямі простору, а зміст поняття - сукупність двох загальних суттєвих властивостей (лежати в одній площині і не перетинатися), кожна з яких необхідна і лише обидві разом достатні для того, щоб дві прямі простору були паралельними. Між змістом і обсягом понять існує така залежність: чим менший обсяг поняття, тим більший його зміст. Наприклад, поняття «лінійна функція» має менший обсяг, ніж поняття «функція», оскільки кожна лінійна функція є функцією, але не будь-яка функція е лінійною. Коли обсяг одного поняття становить частину обсягу другого, то перше поняття називають видовим, а друге - родовим. Поняття «функція» - родове, а «лінійна функція» - видове. Схематично співвідношення між родовим і видовим поняттями можна зобразити у вигляді схеми - діаграм Ейлера – Венна. Кожному математичному поняттю відповідає здебільшого один термін, а окремі з них мають відповідні термінам символи (Д, %, y'(х),>, <, =, ||, +, -, а", V",.). Термін не можна ототожнювати з поняттям, яке йому відповідає, так само як не можна ототожнювати число і цифру, що його позначає.

У шкільному курсі математики вивчають три види понять:

1) первісні (неозначувані);

2) означувані;

3) поняття, які вводяться шляхом описування, на прикладах.

Означенням називають речення, в якому в мовній або символічній формі перелічуються загальні суттєві властивості, тобто розкривається зміст поняття. У математиці, зокрема, використовують різні способи означення понять. Найпоширеніший з них - означення через найближчий рід і видову ознаку Наприклад, ромб - це паралелограм, у якого всі сторони рівні. У цьому означенні поняття «паралелограм» - найближчий рід, а ознака «всі сторони рівні» - видова ознака. У геометрії часто використовуються конструктивні означення, в яких зазначається спосіб утворення поняття. Наприклад, у посібнику О. В. Погорєлова трикутник означається як фігура, яка складається з трьох точок, що не лежать на одній прямій, і трьох відрізків, що попарно з'єднують ці точки. В алгебрі є означення через перелік. Наприклад, раціональні та ірраціональні числа разом називають дійсними числами.

Означення - це твердження, які приймаються за домовленістю. Тому немає сенсу говорити, істинні вони чи хибні. Вони правильні або неправильні Останнє означає, що зміст і обсяг поняття збігаються або не збігаються. До означення висувається низка вимог. Найважливіші з них такі:

1. Відсутність порочного кола. Це означає, що поняття, яке означається, не повинне явно чи неявно міститись у тому понятті, через яке воно означається. Наприклад, школи намагаються сформулювати означення наближеного числа так: число, яке неточно, тобто з похибкою, виражає значення величини або деякого числа, називається наближеним. За іншим означенням, похибка - це різниця точного і наближеного чисел. Ще один приклад. Взаємно перпендикулярні прямі означаються як прямі, які утворюють прямий кут. Водночас прямий кут означається як такий, у якого сторони взаємно перпендикулярні.

2. Відсутність омоніма. Це означає, що кожний термін (символ) має траплятися не більше одного разу як такий, що відповідає означуваному поняттю. У разі порушення цієї вимоги один і той самий термін (символ) позначатиме різні поняття.

3. Означення не повинно містити означуваних понять, які ще не означались.

Процес означення математичних понять - це процес зведення означуваного поняття до другого, з більш широким обсягом, другого - до третього з ще ширшим обсягом і т. д. Оскільки такий процес не може бути нескінченним, виникає потреба у первісних поняттях, яким не дається означення. У шкільному курсі математики до таких понять належать поняття: натуральне число, множина, точка, пряма, площина, відношення «належати», «лежить між», довжини відрізка, градусної міри кута. Хоч первісні поняття не означаються явно через інші поняття, проте іх зміст розкривається через систему аксіом. Наприклад, в аксіомах планіметрії розкриваються основні властивості первісних понять - точки, прямої тощо. Тому систему аксіом розглядають як неявне, непряме означення первісних понять. Систематизація і класифікація навчального матеріалу, зокрема математичних понять, допомагають учням глибше усвідомити зв'язки між поняттями, їхніми властивостями і відношеннями, чіткіше уявити структуру навчального матеріалу і математики в цілому. Усвідомлення системи математичних понять, суджень і умовиводів особливо важливе в разі дедуктивної побудови теорії, насамперед шкільного курсу геометрії.

Система (від грецьк. - ціле, складене з частин) - сукупність, об'єднання взаємопов'язаних і розташованих у певному порядку елементів (частин) якого-небудь цілісного утворення.

Систематизація - розміщення матеріалу в певному порядку, певній послідовності. Наведемо приклад застосування систематизації в разі формування поняття графіка лінійного рівняння ах + Ьу = с.

Систематизацію навчального матеріалу зручно подати у формі таблиці Аналізуючи таблицю, в якій систематизовано весь навчальний матеріал, можна помітити, що графіком лінійного рівняння з двома невідомими є пряма тоді і лише тоді, коли хоча б один з коефіцієнтів а чи в не дорівнює 0; якщо а = О, Ь = 0, то графіком є порожня множина точок, а коли всі параметри одночасно дорівнюють 0, графіком є множина всіх точок координатної площини.

Класифікація (від лат. розряд, - роблю) - розподіл об’єктів за класами, залежно від їх загальних ознак. У термінах теорії множин класифікація - це розбиття множини об’єктів на підмножини, які не перетинаються.

Ознаку, за якою здійснюється поділ поняття, називають основою поділу. Обсяг одного и того самого поняття можна ділити на підмножини по-різному залежно від обраної основи. Наприклад, якщо в основу класифікації трикутників покласти величину кута, то трикутники можна поділити на гострокутні, прямокутні, тупокутні, а якщо - співвідношення між сторонами, то множину трикутників можна поділити на дві підмножини - різносторонні трикутники і рівнобедрені трикутники. Засвоєння математичних понять відбувається формуванням понять у процесі аналітико-синтетичної діяльності учнів, спрямованої на виділення суттєвих загальних властивостей певного поняття і усвідомлення несуттєвих властивостей, а також на застосування нового поняття до розв'язування задач. У структуру пізнавальної діяльності учнів щодо засвоєння математичних понять входять як загальні (аналіз, синтез, порівняння, абстрагування, узагальнення тощо), так і специфічні розумові дій (дій підведення під поняття і обернена їм дія - виведення наслідків). Коли вивчаються паралельні прямі в планіметрії, то, виділяючи (аналіз) пари прямих, учні порівнюють їх і після з'ясування суттєвого спільного в парах об'єднують (синтез) пари за цими спільними суттєвими властивостями, відволікаючись від несуттєвого в них (відстань між прямими, їх розташування на площині) (абстрагування). На стадії введення терміна і символу закінчується узагальнення при формуванні поняття «паралельні прямі». Коли використовується абстрактно-дедуктивний метод навчання при формуванні нового поняття, вчитель формулює означення сам, наводить приклади об’єктів, що належать до цього поняття, виділяє суттєві спільні властивості і зазначає несуттєві. Наприклад, вводячи поняття «тотожно рівні вирази», вчитель повинен сам сформулювати означення (два вирази, відповідні значення яких рівні за будь-яких значень змінних, називають тотожно рівними) і навести приклади тотожно рівних виразів і таких, які не є ними. Суттєвою спільною властивістю тотожно рівних виразів є рівність їхніх відповідних числових значень за будь-яких однакових значень змінних. Несуттєвим є кількість змінних, що входять до виразу, форма виразів. Труднощі засвоєння понять учнями, які слабко встигають, пояснюються передусім невмінням виділяти суттєві властивості об’єктів і абстрагуватись від несуттєвих. У зв'язку з цим учні роблять неправомірні узагальнення або, іншими словами, генералізацію несуттєвих властивостей (надання їм ролі суттєвих). Суттєвими для них стають яскраві властивості, які виступають на перший план саме тоді, коли фігури розміщені на рисунку стандартно. Ще один приклад. Окремі учні вважають, що зовнішній кут трикутника завжди тупий, більший за внутрішній, суміжний з ним. Така ситуація складається, коли вчитель обмежується прикладами лише гострокутних трикутників. Перше первісне поняття, з яким учні стикаються ще в початковій школі, є поняття «натурально число (числа 1, 2, 3,..., що вживаються при лічбі предметів, називаються натуральними числами). Це твердження не є означенням. По-перше, насправді в цьому твердженні йдеться лише про введення терміна, який вживається для назви чисел, що одержуються під час лічби. По-друге, натуральні числа можна дістати і за вимірювання різних величин у випадку, коли одиниця вимірювання вміщується певну кількість разів у вимірюваній величині. Тому правильно було б сказати, що числа, які використовуються під час лічби предмета, дістали назву натуральних чисел. Взагалі, вводячи первісні поняття, вживати слово «називаються» не можна, у протилежному разі учні відповідні твердження з цим словом сприйматимуть за означення.

Ті відомості про натуральні числа, які подаються в 5 класі (порівняння натуральних чисел, існування найменшого числа і, відсутність найбільшого натурального числа, необмеженість натурального ряду чисел, записування натуральних чисел та ін.), дають учням уявлення про зміст цього поняття. Проте в повному обсязі зміст поняття «натуральне число» розкривається системою аксіом Пеано. Інтуїтивні уявлення про первісні поняття геометрії, у тому числі про такі поняття, як точка, пряма, площина, учні також дістають у початковій школі і в курсі математики 5-6 класів. На перших уроках геометрії в 7 класі розкриваються суттєві властивості понять «точка» і «пряма» через систему аксіом планіметрії. Тут учнів ознайомлюють з важливими неозначуваними відношеннями «належати» для точок і прямих, «лежить між» для трьох точок прямої. Доцільно звернути увагу учнів на те, що поняття точки, прямої, площини походять від реально існуючих об’єктів довкілля. Наприклад, уявлення про пряму дає натягнута нитка, дріт, уявлення про точку - місце дотику олівця до паперу, крейди - до дошки, уявлення про площину - поверхня озера. Проте в геометрії ці фігури розглядають, нехтуючи такими властивостями, як розміри точки, товщина прямої, площини. Пряма в геометрії не має товщини і уявляється продовженою необмежено, хоча зображується у вигляді відрізка. Під час формування первісних понять геометрії важливо, щоб учні добре засвоїли термінологію, що стосується цих понять. Наприклад: «точки А і С лежать на прямій а», або, те саме, «точки А і С належать прямій а»; «прямі а і Ь перетинаються в точці С», або, те саме, «точка С є точкою перетину прямих а і Ь». Учні повинні усвідомити, що поняття «лежить між» стосується точок прямої. Доцільно не тільки ввести це поняття і проілюструвати на рисунку, а і розв'язати кілька вправ на підведення під це поняття. Зокрема, можна запропонувати учням указати точки, які лежать між двома іншими точками. В цьому разі доцільно взята не тільки точки прямої, а і точки довільних ліній, наприклад кола, ламаної.

Якщо запропонувати учням позначити точку К, яка лежить між даними точками А і В прямої, то деякі учні можуть поставити точку К посередині відрізка АВ. Це пов'язано з тим, що так розуміють це поняття в життєвій практиці. Учням треба пояснити, що в геометрії точкою, що лежить між точками А і В, є не лише та, що лежить посередині відрізка АВ, а і будь-яка точка цього відрізка, що розташована правіше від А і лівіше від В. Дехто з учнів може назвати точку С кола такою, яка лежить між точками А і О цього кола. Учні повинні вміти обгрунтувати неправильність такої відповіді, відмежувати сформоване на життєвому досвіді поняття «лежати між» від наукового, геометричного поняття. На першому уроці стереометрії 10 класі доцільно пояснити походження і роль первісних понять. Кілька понять через означення вводяться вже означувані поняття в курсі математики 5-6 класів. Це такі поняття,  як  розгорнутий   кут,   квадрат,   правильний дріб, неправильний дріб, середнє арифметичне, процент, дільник даного числа, кратне даному числу, найбільший спільний дільник, найменше спільне кратне, пропорція, паралельні прямі,  перпендикулярні   прямі  тощо.   Означаються  обернені арифметичні дії.

У систематичних курсах алгебри і геометрії переважна більшість нових понять означається. Наприклад, тотожно рівних виразів, тотожності, тотожне перетворення виразів, корінь рівняння, лінійне рівняння з одним невідомим, функція, многочлен, степінь многочлена, відрізок, промінь, коло, трикутник, паралельні прямі в просторі, многогранник тощо. Вводячи означення математичних понять, треба враховувати, наскільки відомі и зрозумілі учневі певного віку ті суттєві властивості, які     розкривають     зміст     нового поняття. Чим абстрактніше поняття, чим складніша логічна структура його означення, тим гостріша потреба в попередньому введенні поняття на інтуїтивному рівні, у поясненні властивостей, які увійдуть в означення. Це стосується насамперед таких понять, як границя числової послідовності, границя функції, неперервність функції, похідна. Під час підсумкового повторення в 9 класі або на перших уроках стереометрії, коли пояснюється логічна будова геометрії, варто звернути увагу учнів на принципову можливість різних означень того самого поняття залежно від вибору суттєвих властивостей, що входять в означення. Це можна пояснити на прикладі паралелограма. Водночас не можна допускати, щоб в учнів склалося уявлення про довільність введення математичних понять взагалі та їх означень зокрема. Треба показати учням приклади обгрунтування доцільності введення саме такого, а не іншого означення певного поняття. Наприклад, під час введення поняття степеня з нульовим і від'ємним показниками доцільність означень, що вводяться, спричинена потребою поширити правила дій над степенями з натуральним показником на степені з нульовим і цілим від'ємним показниками.

Тому краще прийняти таке означення степеня з нульовим показником: степінь з показником «нуль» будь-якого числа, відмінного від нуля, дорівнює одиниці. Скорочено: а° = 1 при а # 0. Вираз 0° не має смислу. Так само вводиться означення степеня з цілим від'ємним показником. Переважна більшість математичних понять вводиться описово, на прикладах. Наприклад, у 5 класах вводяться поняття числового и буквеного виразів, відрізка, кута, трикутника, звичайного дробу, десяткового дробу, прямокутного паралелепіпеда. У 6 класах так вводяться поняття простого і складного чисел, кола, кругового сектора, кута, від'ємного числа, додатного числа, числової прямої, прямокутної системи координат, коефіцієнта, подібних доданків.

Наприклад, у 7 класі на уроках алгебри вводяться поняття одночлена і його стандартного вигляду на кількох прикладах. При цьому звертається увага на те, що наведені вирази є добутком чисел, змінних і їх степенів, тобто фактично розкривається суттєва властивість одночленів. Вводячи поняття «геометрична фігура» на першому уроці геометрії в 7 класах, недоцільно обмежуватися лише малюнками фігур, запропонованих у підручнику. Варто показати учням моделі різних планіметричних фігур і геометричних тіл. Серед них мають бути, наприклад, трикутники, виготовлені з дроту, і плоскі трикутники, вирізані з паперу або картону, коло, круг, паралелепіпед, куля. Варто звернути увагу на те, що обидва трикутники, коло, круг можуть розміститися в площині всіма своїми точками, а паралелепіпед і куля – ні. Ці перші уявлення про особливості різних геометричних фігур сприятимуть свідомому засвоєнню інших властивостей під час наступного вивчення курсу геометрії. У процесі формування математичних понять учні допускаються помилок при самостійному знаходженні суттєвих властивостей, коли поняття формується конкретно-індуктивним методом, і  при формулюванні означень, коли їх уже введено. При цьому учні часто випускають деякі суттєві властивості або умови, невдало вибирають або взагалі пропускають родове поняття тощо. Найефективніше названі помилки виправляються за допомогою контрприкладів, які допомагають не тільки краще усвідомити суттєві властивості понять, а и міцніше запам'ятати їх. Одним з провідних принципів педагогічної психології є принцип єдності знань і дій. Однак існують два роди знань: знання про предмети і явища навколишнього світу (а отже, і про поняття), і знання про дії, які з ними потрібно виконувати. Недоліком традиційного і сучасного навчання математики є недостатня увага до знань другого роду. Часто учні, які добре знають означення математичних понять, не вміють застосовувати їх до доведення теорем і розв'язування задач, у тому числі и прикладного змісту. Тому дії, адекватні знанням, зокрема поняттям, мають стати не тільки засобом, а і предметом засвоєння.

3 погляду застосування понять важливу роль відіграють такі розумові дії, як «дія підведення під поняття» («дія розпізнавання») та обернена їй дія - відшукання наслідків. Остання означає, що від факту належності об'єкта до поняття приходять до системи властивостей, які має цей об'єкт. Потрібна спеціальна система вправ на підведення об’єктів під поняття. Для встановлення факту належності об'єкта до певного поняття треба перевірити наявність у об'єкта сукупності необхідних і достатніх властивостей. Якщо при цьому виявиться, що об'єкт не має хоча б однієї із суттєвих властивостей, роблять висновок, що до даного поняття він не належить. При цьому можна використовувати не тільки означення, а і теореми, що виражають властивості понять, які еквівалентні означенням у тому розумінні, що властивості понять, які стверджуються в них, можуть бути покладені в основу означень. Наприклад, для встановлення належності чотирикутника до паралелограмів можна скористатися означенням паралелограма і теоремою про його ознаку. Разом вони являють собою еквівалентні системи необхідних і достатніх ознак. Перелік операцій, що входять до складу дій підведення під поняття у випадку, коли суттєві властивості пов'язані сполучником «і» або сполучником «або», можна задати у вигляді навчального алгоритму.

Способи доведення теореми

1. Теорема Піфагора
Теорема Піфагора — одна із головних теорем евклідової геометрії, котра встановлює співвідношення між сторонами прямокутного трикутника. Вважається, що вона доведена грецьким математиком Піфагором, на честь котрого вона названа.
Теорема звучить наступним чином:
В прямокутному трикутнику площа квадрата, побудованого на гіпотенузі дорівнює сумі площ квадратів, побудованих на катетах.
Позначивши довжину гіпотенузи трикутника як c, а довжини катетів як a та b, отримаємо наступну формулу:

Таким чином, теорема Піфагора встановлює співвідношення, яке дозволяє визначити сторону прямокутного трикутника, знаючи довжини двох інших. Теорема Піфагора є окремим випадком теореми косинусів, котра визначає співвідношення між сторонами довільного трикутника.
Також доведено зворотне твердження (називають також зворотною до теореми Піфагора):
Для будь-яких трьох додатних чисел a, b і c, таких що a² + b² = c², існує прямокутний трикутник з катетами a та b і гіпотенузою c.
2. Доведення теореми Піфагора
2.1 Алгебраїчне доведення


Відомо понад сто доведень теореми Піфагора. Тут представлено доведення засноване на теоремі існування площі фігури:

1.  Розмістимо чотири однакові прямокутні трикутники так, як це зображено на малюнку.
2.  Чотирикутник зі сторонами c є квадратом, оскільки сума двох гострих кутів , а розгорнутий кут — .
3.  Площа всієї фігури рівна, з одної сторони, площі квадрата зі стороною «a+b», а з іншої — сумі площ чотирьох трикутників і внутрішнього квадрата.

Що і необхідно було довести.
2.2 За подібністю трикутників
Нехай ABC — прямокутний трикутник, в якому кут C прямий, як показано на рисунку. Проведемо висоту з точки C, і назвемо H точку перетину з стороноюAB. Утворений трикутник ACH подібний до трикутника ABC, оскільки вони обидва прямокутні (за визначенням висоти), і в них спільний кут A, очевидно третій кут буде в цих трикутників також однаковий. Аналогічно міркуюючи, трикутник CBH також подібний до трикутника ABC. З подібності трикутників: Якщо  тоді 

Це можна записати у вигляді 

Якщо додати ці дві рівності, отримаєм 

Іншими словами, Теорема Піфагора:







2.3 Доведення Евкліда
В Евклідових «Началах», теорема Піфагора доведена методом паралелограмів. Нехай A, B, C вершини прямокутного трикутника, з прямим кутом A. Опустимо перпендикуляр з точки A на сторону протилежну до гіпотенузи в квадраті побудованому на гіпотенузі. Головна ідея при доведенні полягає в тому, що верхні квадрати перетворюються в паралелограми такої самої площі, а тоді повертаються і перетворюються в прямокутники в нижньому квадраті і знову при незмінній площі.

1.  Проведемо відрізки CF і AD, отримаємо трикутники BCF і BDA.
2.  Кути CAB і BAG — прямі; відповідно точки C, A і G — колінеарні. Так само B, A і H.
3.  Кути CBD і FBA — обидва прямі; тоді кут ABD дорівнює куту FBC, оскільки обидва є сумою прямого кута та кута ABC.
4.  Трикутник ABD та FBC рівні за двома сторонами та кутом.
5.  Оскільки точки A, K і L — колінеарні, площа прямокутника BDLK дорівнює двом площам трикутника ABD (BDLK = BAGF = AB2)
6.  Аналогічно міркуюючи отримаєм CKLE = ACIH = AC2
7.  З одного боку площа CBDE дорівнює сумі площ прямокутників BDLK та CKLE, а з другого боку площа квадрата BC2, або AB2 + AC2 = BC2. 

2.4 Доведення Леонардо да Вінчі
Головні елементи докази - симетрія і рух. Розглянемо креслення, як видно із симетрії, відрізок CI розсікає квадрат ABHJ на дві однакові частини (так як трикутники ABC і JHI рівні з побудови). 
Користуючись поворотом на 90 градусів проти годинникової стрілки навколо точки A, ми вбачаємо рівність заштрихованих фігур CAJI і DABG. 
Тепер ясно, що площа заштрихованої нами фігури дорівнює сумі половин площ маленьких квадратів (побудованих на катетах) і площі вихідного трикутника. З іншого боку, вона дорівнює половині площі великого квадрата (побудованого на гіпотенузі) плюс площа вихідного трикутника. Таким чином, половина суми площ маленьких квадратів дорівнює половині площі великого квадрата, а отже сума площ квадратів, побудованих на катетах дорівнює площі квадрата, побудованого на гіпотенузі.




2.5 Доведення Хоукінса
Наведемо ще один доказ, що має обчислювальний характер, проте сильно відрізняється від всіх попередніх. Воно опубліковано англійцем Хоукінсом у 1909 році; чи було воно відоме до цього-важко сказати. 
Прямокутний трикутник ABC з прямим кутом C повернемо на 90 ° так, щоб він зайняв положення A'CB '. Продовжимо гіпотенузу A'В 'за точку A' до перетину з лінією АВ в точці D. Відрізок В'D буде висотою трикутника В'АВ. Розглянемо тепер заштрихований чотирикутник A'АВ'В. Його можна розкласти на два рівнобедрених трикутника САA 'і СВВ' (або на два трикутника A'В'А і A'В'В).
SCAA '= b ² / 2 
SCBB '= a ² / 2 
SA'AB'B = (a ² b ²) / 2 
Трикутники A'В'А і A'В'В мають загальну підставу с і висоти DA і DB, тому:
SA'AB'B = c * DA / 2 c * DB / 2 = c (DA DB) / 2 = c ² / 2 
Порівнюючи два отримані вирази для площі, отримаємо:a ²+ b ² = c ² .
Теорема доведена. 
Доведення Вальдхейма:


Це доказ також має обчислювальний характер. Можна використовувати малюнки для доказу заснованого на обчисленні площ двома способами. 
Для того щоб довести теорему користуючись перший малюнком достатньо тільки висловити площа трапеції двома шляхами.
S трапеціі = (ab) ² / 2 S трапеціі = a ² b ² c ² / 2 
Урівняв праві частини отримаємо: a ² b ² = c ² 
Теорема доведена.
2.6 Доведення методом розкладання
Існує цілий ряд доказів теореми Піфагора, в яких квадрати, побудовані на катетах і на гіпотенузі, розрізаються так, що кожної частини квадрата, побудованого на гіпотенузі, відповідає частина одного з квадратів, побудованих на катетах. У всіх цих випадках для розуміння докази достатньо одного погляду на креслення; міркування тут може бути обмежене єдиним словом: "Дивись!", Як це робилося у творах древніх індуських математиків. Слід, однак, зауважити, що насправді доказ не можна вважати повним, поки ми не довели рівності всіх відповідних один одному частин. Це майже завжди досить важко зробити, однак може (особливо при великій кількості частин) вимагати досить тривалої роботи. 


2.7 Доведення Енштейна
Почнемо з доказу Енштейна (рис. 1); його перевагою є те, що тут у якості складових частин розкладання фігурують виключно трикутники. Щоб розібратися в кресленні, зауважимо, що пряма CD проведена перпендикулярно прямий EF. 
Розкладання на трикутники можна зробити і більш наочним, ніж на малюнку. 
піфагор теорема трикутник гіпотенуза



2.8 Доведення Нільсена
На малюнку допоміжні лінії змінені за пропозицією Нільсена. 


2.9 Доведення Бетхера
На малюнку дано вельми наочне розкладання Бетхера.



2.10 Доведення Перігаля
У підручниках нерідко зустрічається розкладання вказане на малюнку (так зване "колесо з лопатями"; це доказ знайшов Перігаль). Через центр O квадрата, побудованого на великий катет, проводимо прямі, паралельну і перпендикулярну гіпотенузі. Відповідність частин фігури добре видно з креслення.



2.11 Доведення Гутхейля
Зображене на малюнку розкладання належить Гутхейлю; для нього характерно наочне розташування окремих частин, що дозволяє відразу побачити, які спрощення спричинить за собою випадок рівнобедреного прямокутного трикутника. 

2.12 Доведення 9 століття н.е.


Раніше були представлені тільки такі докази, в яких квадрат, побудований на гіпотенузі, з одного боку, і квадрати, побудовані на катетах, з іншого, складалися з рівних частин. Такі докази називаються доказами за допомогою додавання ("адитивними доказами") або, частіше, доказами методом розкладання. До цих пір ми виходили з звичайного розташування квадратів, побудованих на відповідних сторонах трикутника, тобто поза трикутника. Однак у багатьох випадках більш вигідно інше розташування квадратів. 


На малюнку квадрати, побудовані на катетах, розміщені ступенями один поряд з іншим. Цю фігуру, яка зустрічається в доказах, що датуються не пізніше, ніж 9 століттям н. е.., індуси називали "стільцем нареченої". Спосіб побудови квадрата зі стороною, рівною гіпотенузі, ясний з креслення. Загальна частина двох квадратів, побудованих на катетах, і квадрата, побудованого на гіпотенузі, - неправильний заштрихований п'ятикутник 5. Приєднавши до нього трикутники 1 і 2, отримаємо обидва квадрата, побудовані на катетах; якщо ж замінити трикутники 1 і 2 рівними їм трикутниками 3 та 4, то отримаємо квадрат, побудований на гіпотенузі. На малюнках нижче зображено два різних розташування близьких до того, який дається на першому малюнку.


2.13 Доведення методом доповнення
Доведення перше.

 
Поряд з доказами методом складання можна навести приклади доказів за допомогою віднімання, званих також доказами методом доповнення. Загальна ідея таких доказів полягає в наступному. 
Від двох рівних площ потрібно відняти рівновеликі частини так, щоб в одному випадку залишилися два квадрати, побудовані на катетах, а в іншому-квадрат, побудований на гіпотенузі. Адже якщо в рівностях В-А = С і В1-А1 = С1 частина А рівновелика частини А1, а частина У рівновелика В1, то частини С і С1 також рівновеликі. 
Пояснимо цей метод на прикладі. На рис. до звичайної піфагорова фігурі приставлені зверху і знизу трикутники 2 і 3, рівні вихідного трикутнику 1. Пряма DG обов'язково пройде через C. Зауважимо тепер (далі ми це доведемо), що шестикутники DABGFE і CAJKHB рівновеликі. Якщо ми від першого з них віднімемо трикутники 1 і 2, то залишаться квадрати, побудовані на катетах, а якщо від другого шестикутника віднімемо рівні трикутники 1 і 3, то залишиться квадрат, побудований на гіпотенузі. Звідси випливає, що квадрат, побудований на гіпотенузі, рівновеликий сумі квадратів, побудованих на катетах. 
Залишається довести, що наші шестикутники рівновеликі. Зауважимо, що пряма DG ділить верхній шестикутник на рівновеликі частини; те саме можна сказати про пряму CK і нижньому шестикутнику. Повернемо чотирикутник DABG, що становить половину шестикутника DABGFE, навколо точки А за годинниковою стрілкою на кут 90; тоді він співпаде з чотирикутником CAJK, що становить половину шестикутника CAJKHB. Тому шестикутники DABGFE і CAJKHB рівновеликі.
2.14 Інше доведення методом віднімання

Познайомимося з іншим доказом методом віднімання. Знайомий нам креслення теореми Піфагора укладемо в прямокутну рамку, напрями сторін якої збігаються з напрямками катетів трикутника. Продовжимо деякі з відрізків фігури так, як вказано на малюнку, при цьому прямокутник розпадається на кілька трикутників, прямокутників і квадратів. Викинемо з прямокутника спочатку кілька частин так щоб залишився лише квадрат, побудований на гіпотенузі. Ці частини наступні:
1. трикутники 1, 2, 3, 4;
2. прямокутник 5;
3. прямокутник 6 і квадрат 8;
4. прямокутник 7 і квадрат 9;
Потім викинемо з прямокутника частини так, щоб залишилися тільки квадрати, побудовані на кататись. Цими частинами будуть:

1. прямокутники 6 і 7;
2. прямокутник 5;
3. прямокутник 1 (заштрихований);
4. прямокутник 2 (заштрихований);
Нам залишилося лише показати, що відібрані частини рівновеликі. Це легко бачити в силу розташування фігур. З малюнка ясно, що:
1. прямокутник 5 рівновеликий самому собі;
2. чотири трикутники 1,2,3,4 рівновеликі двом прямокутникам 6 і 7;
3. прямокутник 6 і квадрат 8, взяті разом, рівновеликі прямокутнику 1 (заштрихований);
4. прямокутник 7 разом з квадратом 9 рівновеликі прямокутнику 2 (заштрихований); 

МОНмолодьспорт

Орг. Комітети

Координаторів

Журі (для перевірки)

Створює

призначає

редметно-методичні комісії (фахівці в галузі математики, не більше 5 осіб)

Складають завдання олімпіади

формують

Експерти-консультанти (виріш. спірні питання: правильність перевірки, визначення переможця)

призначає

1. Курсовая работа- Анализ городских СМИ для размещения рекламных обращений
2. ОМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ АГРАРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ П
3. Реферат- Гурткова робота з образотворчого мистецтва у школі
4. 31 Юс32 Юс21 23
5. Локальные системы автоматики
6. на тему Рынок ценных бумаг как дополнительный источник финансирования экономики Исполнитель-
7. Обоснование необходимости принятия Программы экономии государственных расходов
8. Давай поглядим что там наверху Акротерий на Коринфе 11 октября 1988 года
9. Понятие виды и процедура банкротства
10.  Роль культуры в жизни человека и общества
11. КРЫМСКИЙ ИНЖЕНЕРНО ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ Специальность практическая психология Семестр II
12. Учебное пособие- Мировая валютная система
13. Введение Общеизвестно что образование фондов денежных средств государства и их использование в процессе
14.  Массовая концентрация Р ~ это растворенное вещество выраженное в граммах содержащееся в 100 граммах раств
15. СУРГУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ХАНТЫМАНСИЙСКОГО ОКРУГА ЮГРА
16. Задание 1 Номер варианта Составьте формулы оксидов и соответст
17. Контрольная работа- Транспортный налог. Налог на игорный бизне
18. Право собственности и другие вещные права ст
19. Экономика заочной полной и сокращенной формы обучения Тюменский государственный ун
20. Чрезвычайные ситуации и психогенные расстройства

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе