Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
24
ХАРКІВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ
ім. В. Н. Каразіна
Назаренко Євгеній Іванович
Краудіони як нелінійні збудження тривимірної кристалічної ґратки
Спеціальність 01.04.07 –фізика твердого тіла
Автореферат
дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук
Дисертацією є рукопис.
Робота виконана в Харківському національному університеті ім. В. Н. Каразіна Міністерства освіти і науки України.
Науковий керівник
доктор фізико-математичних наук, професор Нацик Василь Дмитрович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України, завідувач відділу фізики реальних кристалів; Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна, професор кафедри фізики кристалів.
Офіційні опоненти:
–доктор фізико-математичних наук, професор Ковальов Олександр Семенович, Фізико-технічний інститут низьких температур ім. Б. І. Вєркіна НАН України, провідний науковий співробітник відділу квантової та нелінійної динаміки макроскопічних систем;
–доктор фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Юрченко Володимир Михайлович, Донецький фізико-технічний інститут ім. А. А. Галкіна НАН України, провідний науковий співробітник відділу електронних властивостей металів.
Провідна установа
Національний технічний університет “Харківський політехнічний інститут” Міністерства освіти і науки України, кафедра загальної і експериментальної фізики, м. Харків.
Захист відбудеться “__” __________ 2003 року о ____ годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 64.051.03 Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна (61077, м. Харків, пл. Свободи, 4, ауд. ім. К. Д. Синельникова).
З дисертацією можна ознайомитись у Центральній науковій бібліотеці Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна (61077, м. Харків, пл. Свободи, 4).
Автореферат розісланий “___” _________ 2003 року.
cf . .
Вчений секретар
спеціалізованої вченої ради
ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ
Актуальність теми. Краудіони –це специфічні нелінійні збудження кристалічної структури, які властиві анізотропним кристалічним ґраткам із щільнопакованими рядами атомів (Paneth –). Власний міжвузельний атом у такому ряді утворює розмите згущення, що одержало назву краудіона, а вакансія також делокалізується, утворюючи розмите розрідження –антикраудіон. На відміну від локалізованих міжвузельних атомів і вакансій, які переміщуються в кристалі за допомогою елементарних дифузійних стрибків, рух краудіонів має істотно кооперативний характер і відбувається, у першому наближенні, суто механічним шляхом. Ця властивість визначає своєрідність і специфіку участі краудіонів у явищах непружної деформації кристалів. Краудіони відіграють конструктивну роль в інтерпретації багатьох явищ і ефектів, які досліджуються у сучасній фізиці кристалів: дифузійного масоперенесення, внутрішнього тертя, пластичної деформації і руйнування, формування радіаційних ушкоджень.
Протягом багатьох років для якісного опису динаміки краудіонів використовувалася модель одновимірного кристала Френкеля-Конторової, як ланцюжка сильно взаємодіючих між собою атомів, котрі здійснюють одновимірний рух на нерухомій періодичній підкладці, яка створює відносно слабке потенціальне поле. Краудіон у цьому кристалі являє собою топологічний солітон –нелінійну усамотнену хвилю атомних зміщень, тому математичний опис динаміки краудіонів має безпосереднє відношення до проблем сучасної нелінійної механіки. У класичній моделі Френкеля-Конторової потенціал підкладки синусоїдальний, а нелінійне диференціальне рівняння, яке описує динаміку зміщень, зводиться до рівняння “sin-Gordon”–одного з найбільш відомих прикладів точно розв'язуваних рівнянь у нелінійній математичній фізиці.
В історії подальшого розвитку теорії краудіонів можна виділити три напрямки, кожний з яких намітив і реалізував відхід від класичної моделі Френкеля-Конторової у бік формулювання й аналізу задачі, яка є більш адекватною умовам зародження й руху краудіонів у реальних кристалічних структурах. Була досліджена узагальнена модель Френкеля-Конторової, у якій взаємодія “ланцюжок-підкладка”моделювалася складними періодичними функціями, істотно відмінними від синусоїди (Peyrard and Remoissenet –р.): це привело до передбачення розщеплених і дробових топологічних солітонів. Краудіон розглядався як усамотнена хвиля зміщень, яка поширюється уздовж атомного ланцюжка, зануреного у тривимірний пружний континуум з кінцевою (відмінною від нуля) пружною податливістю (Косєвич А. М. і
Ковальов А. С.–р.): аналіз цієї моделі привів до висновку про істотну делокалізацію поля деформацій краудіона у тривимірному пружному середовищі в порівнянні з експоненціально локалізованими деформаціями, які створює солітон в одновимірному кристалі Френкеля-Конторової. І, нарешті, краудіони вивчались чисельними методами молекулярної динаміки (Tewordt –р.): розглядались кристалічні структури, які складаються з атомів конкретного хімічного типу, вибирались оптимальні для них емпіричні потенціали міжатомної взаємодії і шляхом чисельного рішення системи мікроскопічних рівнянь руху для кристаліта обмежених розмірів (порядку 103-104 атомів) одержували атомну структуру й енергетичні параметри окремого краудіона. Згодом кожний з напрямків збагатився великою кількістю робіт, присвячених рішенням конкретних задач, однак проблема краудіонів у цілому і її аспекти, пов'язані з адекватним описом краудіонних збуджень у реальних кристалічних структурах, залишається все ще далекою від завершення. Експериментальні дослідження останніх років, зокрема праці Головіна Ю. І. і Тюрина А. І. (1994-2000 р.р.), підтверджують значну роль міжвузельних краудіонних механізмів у процесах мікропластичної деформації при індентуванні кристалів і ставлять нові актуальні задачі перед фізикою краудіонів.
Перераховані вище факти підтверджують актуальність теми виконаного дисертаційного дослідження, яке присвячене узагальненню положень і результатів динамічної теорії краудіонів, розробленої у межах моделі Френкеля-Конторової, на випадок тривимірних кристалічних ґраток з послідовним урахуванням основних атрибутів, властивих реальним кристалічним структурам: відмінної від нуля пружної податливості як щільнопакованих атомних рядів, так і кристалічної матриці; відмінності потенціалу кристалічного поля для атомів щільнопакованих рядів у складних кристалах від синусоїдального; наявності у кристалі гармонічних збуджень (фононів) і неоднорідних деформацій; ефектів дисипації. Таке узагальнення необхідне для теоретичного опису краудіонних збуджень, які проявляються у зазначених вище явищах.
Зв'язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційна робота виконана на кафедрі "Фізики кристалів" Харківського національного університету ім. В. Н. Каразіна відповідно до затверджених Міністерством науки та освіти України тем науково-дослідних робіт: “Масоперенесення і релаксація напруг у приповерхневих шарах твердих тіл і тонких плівок в умовах різноманітних зовнішніх впливів”, номер державної реєстрації 0197U016508 (1997-2000 р.); “Кінетика фазових перетворень і релаксаційних процесів у кристалах в умовах великих тисків, збуджень пружних коливань і опромінювання”, номер державної реєстрації 0100U003283 (2000-2002 р.).
Мета і задачі дослідження. Метою дисертаційної роботи є теоретичний опис краудіонних збуджень у складних тривимірних кристалічних ґратках, котрий адекватно відображає фізичну природу краудіона і ефективно враховує найбільш істотні особливості його структури і динаміки у реальному кристалі.
Досягнення зазначеної мети передбачало рішення таких конкретних задач:
1. При формулюванні загальних співвідношень і рівнянь атомної динаміки кристала виділити в них динамічні змінні і нелінійні складові, які адекватні фізичній природі краудіона.
. З'ясувати умови застосування до опису краудіонів класичної моделі Френкеля-Конторо-
вої як першого наближення теорії збурень при аналізі рівнянь атомно-ґраткової динаміки.
3. Проаналізувати структуру ядра краудіона й утвореного ним далекодіючого поля деформацій з урахуванням пружної податливості кристалічної матриці.
. Вивести рівняння руху краудіона, розглянутого як псевдочастинка, з'ясувати мікроскопічний зміст власної енергії й ефективної маси краудіонного збудження.
. Обчислети параметри кристалічного поля, значень власної енергії й ефективної маси краудіонів у ГЦК і ОЦК кристалічних структурах.
. Здійснити класифікацію і систематичний аналіз з єдиних позицій спеціальних типів краудіонних збуджень, властивих складним кристалічним структурам, для яких потенціал кристалічного поля для атомів щільнопакованих рядів якісно відрізняється від синусоїдального.
Об'єктом дослідження є краудіони як специфічні дефекти кристалічної структури і як нелінійні усамотнені хвилі (топологічні солітони) поля зміщень щільнопакованих атомних рядів, котрі слабко взаємодіють з оточуючою їх кристалічною матрицею.
Предмет дослідження –структура і рух краудіона в складних кристалічних ґратках, що складаються з атомів, які взаємодіють між собою за допомогою заданих короткодіючих парних потенціалів; розробка ефективних варіантів теорії збурень для приблизного теоретичного опису структури і динамічних властивостей краудіонів, створених ними полів деформацій, а також взаємодії краудіонів з іншими елементарними збудженнями і неоднорідними пружними деформаціями кристала.
Методи дослідження. При вирішенні перерахованих вище задач дисертаційного дослідження використано: загальноприйняті аналітичні методи класичної механіки часток і кристалічних ґраток; відомі методи математичної фізики, котрі застосовуються для опису просторово-часової еволюції класичних полів; методи точного і наближеного рішень нелінійних диференціальних рівнянь, розроблені в сучасній нелінійній фізиці; ідеї методу Лоренця для виведення рівняння руху електрона як точкової сингулярності електромагнітного поля; чисельні методи підсумовування та інтегрування із застосуванням персонального комп'ютера.
Наукова новизна отриманих результатів. У даній роботі вперше:
1. Здійснено теоретичній опис руху краудіона як розв’зок динамічної задачі тривимірних кристалічних ґраток на підставі використання теорії збурень, котра на першому етапі зводить задачу опису краудіона до аналізу топологічних солітонів у моделі одновимірного кристала Френкеля-Конторової, а обчислення поправок на другому етапі виконується шляхом розв’язку задач лінійної динаміки тривимірного кристала.
. Сформульовано вимоги до кристалогеометричних параметрів і параметрів міжатомної взаємодії, що дозволяють виділити краудіонні збудження щільнопакованих атомних рядів на тлі малих динамічних деформацій кристала в цілому.
. Отримано співвідношення, які пов'язують власну енергію й ефективну масу краудіона з мікроскопічними параметрами кристала і параметрами міжатомної взаємодії.
. У межах формалізму Лагранжа виведено рівняння руху краудіона в довільному неоднорідному й змінному з часом полі пружних деформацій кристала за наявності діючих на кристал зовнішніх сил.
. Виконано аналітично-чисельні розрахунки параметрів потенціалу кристалічного поля для щільнопакованих атомних рядів, шляхом представлення кристалічних ґраток як сукупності паралельних атомних рядів.
. З використанням названих вище результатів отримано чисельні значення параметрів краудіонів (власної енергії, ефективної маси і характерної довжини) для кріокристалів Ar і Kr із ГЦК ґратками, металів Cu і Al із ГЦК ґратками, металів a- і d-Fe з ОЦК ґратками, які можуть бути використані для теоретичного опису низки явищ, пов’язаних з краудіонами.
7. У межах узагальненої моделі Френкеля-Конторової вивчено краудіони, що виникають у випадках так званих двоямного та двобар’єрного потенціалів кристалічного поля: описано структуру субкраудіонів з дробовими топологічними зарядами, розщеплених повних краудіонів, а також асимптотичний розпад розщеплених краудіонів на субкраудіони при трансформації двобар’єрного потенціалу у двоямний.
. Обгрунтована можливість існування спеціальних типів субкраудіонів, пов'язана з атомною в'язкістю кристала і прикладеною до нього зовнішньою силою.
Практичне значення отриманих результатів. Проведений у даній роботі аналіз властивостей краудіонів у тривимірних кристалічних ґратках сприяє більш глибокому розумінню особливостей дифузійного масопереносу в кристалах, поведінки кристалічних твердих тіл під радіаційним опромінюванням, утворення та еволюції радіаційних дефектів у кристалах, протікання мікропластичної деформації при індентуванні кристалів. Виведене в дисертації рівняння руху краудіона є необхідною передумовою здійсненого теоретичного опису для вирішення конкретних теоретичних задач динаміки кристалів із збудженнями (дефектами) краудіонного типу, спрямованих на побудову послідовної теорії недислокаційної пластичності кристалічних тіл. Аналіз властивостей краудіонів у конкретних кристалах проведено у досить загальному вигляді. Його результати можуть бути використані для опису краудіонів у всіх ГЦК і ОЦК кристалах. Теоретичні результати роботи можуть бути також застосовані для інтерпретації експериментальних даних стосовно вивчення аномалій низькотемпературної пластичності ряду об’ємо-центрованих металів із двобар’єрним рельєфом Пайєрлса для дислокацій.
Особистий внесок здобувача. Формулювання й вирішення задачі про рух краудіона в тривимірних кристалічних ґратках виконано автором разом з науковим керівником. Розрахунок чисельних значень параметрів краудіонів у конкретних кристалах, а також вивчення різних типів краудіонних збуджень у складних кристалічних структурах проведено автором разом з науковим керівником і кандидатом фіз.-мат. наук Смірновим С. М. Розрахунок чисельних значень параметрів потенціалу кристалічного поля і краудіонів для a-Fe виконано автором самостійно.
Апробація результатів дисертації. Матеріали дисертації пройшли апробацію на таких наукових семінарах і конференціях: семінарі пам'яті академіка Б. І. Вєркіна “Фізика і техніка низьких температур”, 17-19 вересня 1999, Харків, Україна; 5-ій міжнародній конференції “Фізичні явища у твердих тілах”, 26-27 жовтня 2001, Харків, Україна; міжнародній конференції “Geometry, Integrability and Nonlinearity in Condensed Matter and Soft Condensed Matter Physics”, July 15-20, 2001, Bansko, Bulgaria; міжнародному ювілейному семінарі пам'яті академіка Е. А. Канера “Сучасні проблеми фізики твердого тіла”, 19-20 листопада 2001, Харків, Україна; першій регіональній конференції молодих вчених “Сучасні проблеми матеріалознавства.”-29 травня, 2002, Харків, Україна.
Публікації. Результати, представлені в дисертації, опубліковано у 3 статтях та у 4 тезах доповідей на міжнародних конференціях.
Структура й обсяг дисертації. Дисертація складається із вступу, 4 розділів основного тексту, висновків, 2 додатків, списку використаних джерел (76 найменувань). Повний обсяг дисертації складає 138 сторінoк, що містять 11 рисунків.
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
У вступі сформульовано задачі дисертаційного дослідження і стан їхнього вирішення на час початку роботи над дисертацією, обґрунтовано актуальність теми, сформульовано мету дослідження. Зазначено зв'язок між проведеними дослідженнями і науковими темами, програмами. Представлено основні результати дисертаційної роботи, відзначено їхню наукову новизну і практичне значення.
У першому розділі “Краудіони та їхнє місце у фізиці кристалів” описано стан дослідження проблеми, до якої відноситься тема дисертаційної роботи, показано роль краудіонів у явищах дифузії, радіаційної стійкості, пластичної деформації і руйнування кристалів, представлено опис краудіонів у межах одновимірної моделі Френкеля-Конторової, обговорено частинкоподібні властивості краудіонів.
В другому розділі “Динаміка краудіона в тривимірному неоднорідно деформованому кристалі” задачу про рух краудіона сформульовано і проаналізовано як динамічну проблему тривимірної кристалічної ґратки, утвореної атомами декількох сортів, що взаємодіють між собою за допомогою парних короткодіючих потенціалів U(r - r) (r, –координата і хімічний індекс атома) і можуть зазнавати дію зовнішніх сил з потенціалом U(e)(r,t). Розглянуто складну кристалічну ґратку, в якій існує щільнопакований ланцюжок атомів. Зміщення атомів (R,t) від рівноважних положень в ідеальному кристалі представлені у вигляді:
. (1)
Тут R = {, R ()} –повний набір рівноважних положень; b* –період щільнопакованого ряду; R, –символ Кронекера; u(R,t) –довільні малі зміщення; z –додаткові безрозмірні зміщення, які описують поширення вздовж виділеного ряду атомів R= краудіонного збудження. Істотно, що описані другим доданком у (1) краудіонні зміщення в будь-який момент часу спрямовані вздовж вектора b*+ u(,t) - u(-b*,t), тобто по дотичній до миттєвої конфігурації осі виділеного атомного ряду, вигнутої пружними зміщеннями u(R,t) відносно її конфігурації ОХ в ідеальному кристалі. Зародження і переміщення краудіона супроводжується змінами безрозмірного зміщення z на величину z 1.
Головне наближення теорії краудіонів –якісне припущення про малу величину енергії взаємодії атомів виділеного ряду з кристалічною матрицею у порівнянні з енергією взаємодії атомів усередині цього ряду. У рамках нашої моделі це припущення дозволяє вважати, що поряд з малістю пружних деформацій кристала досить малими є також і краудіонні деформації, тобто одночасно виконуються дві нерівності:
, . (2)
Нерівності (2) дозволяють при описі деформаційних явищ у кристалі перейти від дискретного (ґраткового) до континуального наближення, замінюючи скінченні різниці зміщень похідними:
;
. (3)
Тут uik(R,t) –тензор пружних дисторсій кристала, b*z –локальна краудіонна деформація виділеного атомного ряду, –одиничний направляючий вектор цього ряду.
Аналіз динаміки кристала з краудіоном розпочато у дисертації з запису строгого виразу для функції Лагранжа цієї системи з використанням повних зміщень (R,t) і швидкостей у якості динамічних змінних. Подальший розгляд задачі заснований на розкладанні функції Лагранжа за похідними з точністю до квадратичних членів. Однак при такому розкладанні збережено нелінійні за краудіонною змінною z члени, що визначають краудіон як топологічний солітон поля зміщень атомів виділеного щільнопакованого ряду. У результаті функція Лагранжа набуває вигляду:
––
–+ +
+.(4)
При записі виразу (4) використано наступні позначення:
, (5а) , (5б)
, (5в) , (5г)
. (5д)
Ґратковий вектор R = {, R()} пробігає всі рівноважні положення атомів кристала, а величина Aik() (R) (5а) являє собою його силову матрицю. Тому перші три доданки у виразі (4) описують динаміку кристала в гармонічному наближенні з урахуванням дії на нього зовнішніх сил. Можливість існування в кристалі краудіонного збудження забезпечується четвертим доданком –наявністю в ньому істотно нелінійного за змінною z потенціалу Ф(z) (5в), який є потенціалом кристалічного поля, створеним матрицею R() для атомів виділеного ряду. Важливу роль у цьому доданку грає також параметр w (5б), що характеризує міжатомну взаємодію всередині щільнопакованого ряду. І, нарешті, останній доданок у (4) описує ефекти, обумовлені взаємодією лінійних і нелінійного (краудіонного) збуджень кристала, а також дію на краудіон зовнішніх сил. У цьому доданку важливу роль грають ґраткові суми (5г) і (5д): wik –сума по вузлах виділеного ряду і Фik(z) –сума по вузлах матриці.
Можливість ефективного розділу лінійних і нелінійних збуджень виникає в тих випадках, коли останній доданок у (4) можна вважати малою добавкою до інших доданків, що дозволяє за теорією збурень відокремити поле краудіонного збудження z від малих пружних деформацій кристала u(R,t). Кількісним критерієм такого розділу служить співвідношення двох ґраткових сум:
<<. (6)
В якості першого наближення теорії збурень природньо розглядати опис краудіона у виділеному атомному ряді за відсутності зовнішніх сил (F(e) 0) і вважати кристалічну матрицю абсолютно жорсткою (u(R,t)0). Цьому наближенню відповідають лагранжіан L і обумовлене їм рівняння руху:
, . (7)
Краудіон являє собою хвилю стаціонарного профілю z(x, t) = zs[ (x - xs)] (xs= Vs t), котра має довільну постійну швидкість Vs . Це наближення зводить проблему краудіонного збудження складного тривимірного кристала до аналізу топологічного солітона у одновимірному кристалі Френкеля-Конторової з деяким періодичним, у загальному випадку не синусоїдальним, потенціалом “підкладки” Ф(z).
Відзначимо, що лагранжіан та рівняння (7) (нелінійне рівняння Клейна-Гордона) і його наслідки добре відомі і неодноразово обговорювалися в різних розділах нелінійної фізики. Новий результат теорії краудіонів, отриманий у дисертації, –вирази (5б), (5в) і нерівність (6), які визначають зв'язок одновимірної моделі і характеристик краудіона з характеристиками міжатомної взаємодії та геометричними параметрами кристала.
Наступний крок теорії збурень, розвинутої у дисертації, –обчислення пружних полів, які краудіон створює в об'ємі кристала. Підставляючи рішення першого наближення у лагранжіан (4) і вважаючи закон руху краудіона xs(t) заданим, одержимо лагранжіан і рівняння, котре випливає з нього, для поля малих зміщень u(R,t):
=, (8)
+. (9)
У правій частині стандартного рівняння лінійної динаміки кристалічної ґратки (8) поряд із зовнішніми силами F(e) стоїть також сила F(s) (9), яка визначає збудження кристала заданим рухом краудіона s = xs(t). На великих відстанях від центра повільного краудіона (Vs<<с) деформації кристала під його дією описуються виразами:
+; (10)
.
Тут Gik(’)(R) –функція (тензор) Гріна для рівняння рівноваги кристала, методи побудови якої і властивості добре відомі в теорії кристалічних решіток.
Так як тензор Gik(’)(R) при збільшенні R спадає за степеневим законом, то й краудіонні деформації u(s)(R, t), обчислені з урахуванням деформованості кристалічної матриці, також спадають за степеневим законом при віддаленні від його центра R - s >> s. Отже формула (10) підтверджує висновок про просторову структуру краудіонних деформацій у тривимірному кристалі, отриманий раніше А. М. Косєвичем і А. С. Ковальовим при аналізі цієї задачі в рамках моделі Пайєрлса-Набарро. Але аналіз з використанням моделі Пайєрлса-Набарро пов’язаний з необхідністю розв’язку складного нелінійного інтегро-диференціального рівняння і потребує подолання вельми значних математичних труднощів. У дисертації запропоновано більш ефективний підхід, заснований на використанні викладеної вище теорії збурень: на першому етапі він зводиться до опису одновимірної моделі Френкеля-Конторової, яка уже раніше всебічно вивчена; на другому етапі виникають задачі лінійної динаміки кристала, методи розв’язку яких теж досить добре розроблені. Цей піхід, зокрема, дозволяє порівнянно просто не тільки описати структуру далекодіючого поля деформацій (10), але і вивести рівняння руху краудіона.
Для того, щоб опис динаміки кристала з краудіоном був цілком самоузгодженим і замкнутим, необхідно поряд з виразом (10) одержати також рівняння, яке визначає функцію s=xs(t) при заданих пружних деформаціях кристала, тобто рівняння руху для центра краудіона. Краудіон у тривимірному пружно-податливому кристалі є колективним автолокалізованим збудженням поля атомних зміщень, тому його рівняння руху буде мати польове походження. Метод одержання таких рівнянь розроблений Лоренцом при виведенні рівняння руху електрона, а у фізиці кристалів ефективно використаний А. М. Косєвичем при виведенні рівняння руху дислокації. У дисертації також використано один з варіантів цього методу, узгоджений із запропонованою теорією збурень.
Лінійний характер рівняння (8) дозволяє представити поле зміщень u(R, t) як су-перпозицію додаткових краудіонних зміщень u(s)(R, t) і малих зміщень u(e)(R, t), обумовлених зовнішні-ми відносно розглянутого краудіона джерелами деформацій –іншими збудженнями кристала:
u(R, t) = u(s)(R, t) + u(е)(R, t) . (11)
У загальному випадку поле u(е)(R, t) є суперпозицією власних коливань кристала (фононів), пружних зміщень від інших дефектів (у тому числі, інших краудіонів), зміщень в результаті дії зовнішніх сил. Підстановка (10) і (11) у (4) приводить до виразу s{xs , Vs ; u(e)(R, t)}, який варто розглядати як самоузгоджену функцію Лагранжа краудіона, вважаючи xs і Vs його динамічними змінними, а u(e)(R, t) –заданою функцією. Відзначимо, що урахування у цій функції зміщень u(s)(R, t) (10) можна інтерпретувати як урахування самодії “зародкового” краудіона zs[ (x - Vst)], яка виникає в результаті урахування пружної податливості кристалічної матриці (другий крок теорії збурень). Якщо при одержанні функції s обмежитись квадратичним наближенням по швидкості Vs і знехтувати доданками, пропорційними прискоренню , то з неї випливає рівняння руху наступного вигляду:
–+, (12)
де ms –ефективна маса краудіона. Урахування самодії приводить до деяких перенормувань власної енергії краудіона та його маси, які, взагалі кажучи, не можна вважати малими.
Звернемо увагу на основні складові рівняння руху (12). У правій частині цього рівняння стоїть сума сил, які визначають прискорення краудіона: перший доданок обумовлений дією зовнішніх сил на атоми щільнопакованого ряду; другий доданок –градієнтом квазістатичних пружних дисторсій кристала в області розташування щільнопакованого ряду; третій доданок –сила інерціального походження, яка виникає при прискореному русі щільнопакованого ряду разом з оточуючою його кристалічною матрицею.
У третьому розділі “Краудіони в атомарних кріокристалах і металах з ГЦК і ОЦК ґратками” отримано чисельні значення параметрів потенціалів кристалічного поля і краудіонів (власної енергії, ефективної маси і характерної довжини) для кріокристалів Ar і Kr з ГЦК ґраткою, металів Cu і Al із ГЦК ґраткою, металів - і -Fe з ОЦК ґраткою. Розрахунки виконано в першому наближенні теорії збурень, розвинутої у другому розділі.
Виділений щільнопакований ряд атомів із краудіоном назвемо відліковим і скористаємося змінною u = bz –абсолютними зміщеннями атомів цього ряду. Для розрахунку кристалічного поля Ф(u) (5в) розроблено наступну процедуру: кристалічна матриця представлена як сукупність атомних рядів, паралельних до відлікового; виконано підсумовування по вузлах одного з таких рядів; виконано підсумовування по послідовності рядів. Для обох типів ґраток Ф(u) представлено у вигляді ряду
, . (13)
Тут , а RN , ZN і hN –кристалографічні параметри, значення яких для ГЦК і ОЦК ґраток приведені в дисертації. Подальші розрахунки параметрів кристалічного поля і краудіонів виконано чисельними методами на основі довідкових даних про параметри емпіричних потенціалів: для кріокристалів Аr і Кr був використаний парний потенціал Ленерда-Джонса; для металів Cu і Al, - і -Fe –парний потенціал Морзе. Отримано значення таких параметрів: Ф –першого коефіцієнта ряду (13); відношень Ф/Ф і Ф/Ф, які характеризують відхилення Ф(u) від синусоїдального потенціалу; – амплітуди потенціалу Ф(u); w –енергетичного параметра (5б), що характеризує міжатомну взаємодію в щільнопакованому ряді, і відношення w/Фm; s/b –відношення ширини краудіона до параметра щільнопакованого ряду; ms0 /ma –відношення ефективної маси краудіона до маси атома і s0 –енергії спокою краудіона. Виявилось, що у всіх розглянутих випадках коефіцієнти Фn дуже швидко зменшуються з ростом номера n і Фm Ф. Основні результати чисельних розрахунків представлено у таблиці 1.
Таблиця 1
Параметри краудіонів і потенціала кристалічного поля в Ar, Kr, Cu, Al, - і -Fe.
|
Параметр |
Кристал |
|
Ar |
Kr |
Cu |
Al |
-Fe |
-Fe |
|
|
Ф, ев |
0,12 |
,17 |
1,66 |
,20 |
,98 |
,84 |
|
Ф/ Ф 10 |
-6,6 |
-6,6 |
-0,97 |
-0,85 |
,55 |
,59 |
|
Фm, ев |
0,12 |
,17 |
1,66 |
,20 |
,98 |
,84 |
|
w/ Фm |
8,36 |
,39 |
15,4 |
,2 |
,7 |
,9 |
|
s /b |
2,76 |
,76 |
3,41 |
,50 |
,15 |
,09 |
|
ms0 /ma |
,30 |
,30 |
0,23 |
,22 |
,15 |
,15 |
|
s0 , ев |
0,30 |
,42 |
5,83 |
,33 |
,35 |
,57 |
Проведений у дисертації аналіз краудіонів у конкретних кристалах дозволяє зробити декілька важливих висновків. По-перше, кристалічне поле Ф(u) у цих кристалах з точністю порядку і менше 7% описується першим членом ряду (13), тобто є приблизно синусоїдальним і добре узгоджується з припущеннями класичної моделі Френкеля-Конторової. По-друге, критерії існування краудіонів Фm/w << 1 і s /b >> 1 задовільно виконуються для ГЦК і ще краще –для ОЦК решіток. Нарешті, значення енергії спокою s0 , одержані у припущені абсолютно жорсткої кристалічної матриці, виявились на 20-30 % більше точних значень s , обчислених методами молекулярної динаміки: такі дані існують для Cu і -Fe. Є підстави вважати, що сформульовані вище висновки справедливі для всіх одноатомних кристалів з ГЦК і ОЦК структурами.
У четвертому розділі “Дробові та розщеплені краудіони у складних кристалічних структурах” проаналізовані умови існування та особливості динаміки краудіонних збуджень у кристалах зі складною структурою кристалічного поля Ф(u) (5в), що формує краудіони у щільнопакованих атомних рядах. Щоб сконцентрувати увагу на наслідках, обумовлених складною формою Ф(u), як і в попередньому розділі обмежимося першим кроком теорії збурень –будемо вважати кристалічну матрицю абсолютно жорсткою. У цьому випадку опис краудіонів зводиться до аналізу узагальненої моделі Френкеля-Конторової і відповідного нелінійного диференціального рівняння Клейна-Гордона (7). Для спільності доповнимо це рівняння урахуванням діючої на атоми щільнопакованого ряду зовнішньої відносно кристалічної ґратки сили F(x,t) і сили тертя , котра враховує процеси дисипації (внутрішнього тертя), що завжди мають місце при русі атома в реальній кристалічній ґратці. Будемо вважати b*=b і використаємо систему фізичних одиниць, у якій m=1, b=1, w=1 і с=1, але збережемо для безрозмірних змінних колишні позначення. Рівняння руху для поля зміщень u(x, t) прийме вигляд:
. (14)
Спочатку розглянемо властивості краудіонів за відсутності сили тертя і зовнішньої сили й обговоримо солітоноподібне рішення рівняння (14) у випадку, коли потенціал Ф(u) має множину up точок абсолютного мінімуму: Ф(up )=0, де up=p=n+i , n = 0, 1, 2,…,0i<1...: періоди трансляцій пронумеровані числами натурального ряду n, а точки абсолютного мінімуму усередині виділеного періоду –дробовими числами i=0, , ,… Стійкі солітоноподібні рішення рівняння (14) за відсутності зовнішньої сили (F0) і сили тертя (f0) являють собою усамотнені хвилі стаціонарного профілю:
u(x, t ) = uq( ), = x –Vq t, (15)
які рухаються з постійною швидкістю Vq і задовільняють граничним умовам
(16)
Тут q –додатнє чи від’ємне число, яке дорівнює різниці двох будь-яких сусідніх чисел з набору p=n+i. Це число –топологічний заряд усамотненої хвилі і є для неї інтегралом руху. Інтегрування рівняння Клейна-Гордона приводить до співвідношень, що визначають краудіонні деформації uq( ) та зміщення uq( ):
, . (17)
При цьому центр краудіона (кінка) xq = Vi t визначений як точка, у якій краудіонні деформації досягають максимальної величини. При наявності в потенціалу Ф(u) одного абсолютного мінімуму на періоді трансляцій (рис. 1 а, б) набір чисел p=n і топологічний заряд може приймати два значення q=s =1, а відповідні топологічні солітони звуться повними (цілочисельними).
Дробові краудіони (субкраудіони) можливі у випадку так званого багатоямного потенціалу кристалічного поля (рис. 1, в). Вони, як і повні краудіони мають властивості псевдочастинок із власними енергіями Ei і ефективними масами спокою mi ,котрі визначаються формулами:
, , (18)
У випадку двохбар’єрного потенціалу Ф(u) довільної форми, який у межах одного періоду 0u<1 має два різних за глибиною мінімуми (рис. 1, г), при відповідних граничних умовах існує солітоноподібне збудження u(x –Vs t) з цілим топологічним зарядом s = 1. У якості центра краудіона зручно розглядати точку x = Vs t, у якій зміщення атомів має величину us(0)=, тобто співпадає з точкою локального мінімуму. На осі = x –Vq t існують також дві точки максимумів
i (i=1, 2) для модуля деформації us()та центральна частина ds = - , яка з’єднує їх:
, . (19)
Вираз для поля зміщень us() поблизу центра кінка =0 отримано при використанні квадратичної апроксимації потенціалу Ф(u) в околі точки локального мінімуму на деякому інтервалі :
Ф(u); , , . (20)
Для глибокого локального мінімуму потенціалу Ф(u) (0) довжина центральної частини кінка ds аномально зростає, а енергія краудіона Es визначається асимптотичною оцінкою:
, ds , 0. (21)
Тут Ei –енергія субкраудіона з топологічним зарядом i (18).
Таким чином, при малих значеннях центральна частина краудіона ds() з'єднує два фрагменти з центрами в точках і , форма яких близька до форми субкраудіонів з топологічними зарядами = і =(1-). У центрі краудіона на інтервалі ds атоми щільнопакованого ряду займають позиції, котрі з експоненціальною точністю близькі до точок локального мінімуму, а потенціальна енергія кожного з цих атомів має близьке до значення. Цей фрагмент краудіона являє собою своєрідний дефект пакування атомних рядів –одновимірний аналог добре відомих у фізиці кристалів плоских дефектів пакування або антифазних границь. Отже при малих значеннях повний краудіон з топологічним зарядом s можна розглядати як сукупність однозначно зв'язаних між собою, але просторово розділених субкраудіонів однакового знаку з дробовими топологічними зарядами =s і =s (1- ), що з'єднані дефектом пакування довжиною ds та енергією ds(). Такий краудіон названо розщепленим, а субкраудіони, які є його границями, –частковими чи віртуальними краудіонами. При 0 енергія дефекту пакування ds ()0 і розщеплений краудіон перетворюється у сукупність дробових краудіонів. Цей висновок має загальний характер: при трансформації будь-якого багатобар’єрного потенціалу Ф(u) у багатоямний відбувається асимптотичний розпад повного краудіона (топологічного солітона) на незалежні дробові.
Поява дробових краудіонів можлива також у випадках багатобар’єрного кристалічного рельєфу Ф(u) при наявності спеціальних, досить реальних обставин: такими обставинами є наявність зовнішньої сили F0 або урахування у рівнянні руху для поля u(x, t) сили динамічного тертя . Якщо на атомні ряди діє потенціал Ф(F)(u)= Ф(u) - Fu, де Ф(u) –двохбар’єрний потенціал (рис. 1, г) з глибоким локальним мінімумом , а F=const –постійна сила, то при довільних значеннях F рівняння Клейна-Гордона (14) не має рішень у вигляді стійких усамотнених хвиль стаціонарного профілю. Виключеннями є два критичних значення сили F=Fi (i=1,2), при яких у потенціала Ф(F)(u) з'являються пари локальних мінімумів однакової глибини і виникає можли-вість існування солітонів (краудіонів) u(x–Vt) з деякими дробовими топологічними зарядами q=i, i<1, котрі рухаються вздовж осі ряду з довільною постійною швидкістю V. Для малих значень параметра вираз для критичної сили Fi має вигляд . При 0, “критичні краудіони” перетворюються у дробові з топологічними зарядами = і =(1-).
Якщо атоми виділеного ряду зазнають дію відносно слабкої сили динамічного тертя (0), то рішення рівняння Клейна-Гордона (14) можна знайти за теорією збурень, використавши відому в теорії лінійних диференціальних рівнянь теорему про альтернативу. Динамічне тертя атомів приводить до появи ефективної сили гальмування центра краудіона i(f)(V). Для випадку лінійного гальмування ця сила дорівнює:
i(f)(V) . (22)
Тут i –топологічний заряд субкраудіона, –коефіцієнт атомної в'язкості.
За наявності як тертя 0, так і зовнішньої сили F0 у випадку двохбар’єрного потенціалу кристалічного поля (рис. 1, г) можливе існування стійких субкраудіонів, швидкість яких визначається балансом сили натягу дефекту пакування, зовнішньої сили і сили тертя:
i()+i(F) +i(f)(V)=0, (23)
де i() = (-1)i+1 sign(i ) –сила натягу напівобмеженого дефекту пакування, котра виникає з появою у кристалі окремого нестійкого часткового краудіона і виштовхує його з кристала;
i(F) = -iF –ефективна сила, що діє на краудіон з топологічним зарядом i (перший доданок у правій частині рівняння руху (12)). Швидкість краудіона є рішенням рівняння (23).
Описані вище субкраудіони, котрі існують у кристалах із внутрішнім тертям, із загальнофізичної точки зору аналогічні добре відомим у теорії магнітних солітонів доменним -стінкам, які рухаються в дисипативному магнітному середовищі під дією зовнішнього поля з постійною швидкістю (уокеровський режим руху).
ВИСНОВКИ
У цій дисертації розв'язана задача теоретичного опису краудіонних збуджень у складних тривимірних кристалічних гратках з врахуванням кількох важливих особливостей, характерних для реальних кристалів. Основними науковими та практичними результатами роботи є такі:
. Запропоновано ефективний метод теоретичного опису, і, зокрема, обчислень характеристик і параметрів краудіонних збуджень у тривимірних кристалічнх гратках на підставі використання теорії збурень, котра на першому етапі зводить задачу опису краудіона до аналізу топологічних солітонів у моделі одновимірного кристала Френкеля-Конторової, а обчислення поправок на другому етапі виконується шляхом розв’язку задач лінійної динаміки тривимірного кристала.
. Визначені критерії існування краудіонів, запропоновано загальний вираз для далекодіючого поля деформацій навколо краудіона і виведено рівняння руху краудіона як псевдочастинки, одержані вирази для енергії спокою і ефективної маси краудіонного збудження через параметри міжатомної взаємодії та геометричні параметри кристалічної решітки.
. Конкретна реалізація запропонованого методу обчислень характеристик і параметрів краудіонів у першому наближенні теорії збурень виконана на прикладах кріокристалів Ar і Kr з ГЦК решітками, металів Cu і Al із ГЦК решітками, та a- і d-Fe з ОЦК решітками.
4. Проведені систематизація, класифікація і теоретичний опис з єдиних позицій різноманітних властивостей краудіонних збуджень у складних кристалах, у яких кристалічне поле для атомів щільнопакованих рядів має багатодолинну або багатобар’єрну конфігурацію. Обговорені властивості субкраудіонів з дробовими топологічними зарядами, розщеплених повних краудіонів і їх складових частин –віртуальних субкраудіонів та з’єднуючого їх одновимірного дефекта пакування, асимптотичний розпад розщеплених краудіонів на субкраудіони.
. Обгрунтовано можливість існування специфічних субкраудіонів, пов'язана з дією на кристал зовнішніх сил і дисипативними властивостями кристалічної гратки, у кристалах з щільнопакованими рядами атомів.
1. Нацик В. Д., Назаренко Е. И. Динамика краудиона в трехмерном неоднородно деформированном кристалле.// ФНТ. –. –Т. 26, № 3 –С. 283-293.
2. Нацик В. Д., Смирнов С. Н., Назаренко Е. И. Дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах.// ФНТ. –. –Т. 27, № 3 –С. 316-332.
3. Нацик В. Д., Смирнов С. Н., Назаренко Е. И. Краудионы в атомарных криокристаллах и металлах с ГЦК и ОЦК решетками.// ФНТ. –. –Т. 27, № 11 –С. 1295-1307.
4. Нацик В. Д., Смирнов С. Н., Назаренко Е. И. Дробные и расщепленные краудионы в сложных кристаллических структурах.// Тезисы международного юбилейного семинара памяти академика Э. А. Канера "Современные проблемы физики твердого тела." –Харьков (Украина). –. С. 17.
5. Нацик В. Д., Смирнов С. Н., Назаренко Е. И. Краудионы в атомарных криокристаллах и металлах с ГЦК и ОЦК решетками.// Материалы 5-ой международной конференции "Физические явления в твердых телах." –Харьков (Украина). –. –С. 61.
6. Natsik V. D., Nazarenko Y. I. Crowdion Dynamics in a non-uniformly deformed three-dimensional cristal.// Abstracts of International Coference on Geometry, Integrability and Nonlinearity in Condensed Matter and Soft Condensed Matter Physics. –Bansko (Bulgaria). –. –P. 26.
. Назаренко Е. И., Нацик В. Д., Смирнов С. Н. Краудионы в реальных кристаллических структурах.// Тезисы докладов Первой региональной конференции молодых ученых "Современные проблемы материаловедения." –Харьков (Украина). –. –С. 48.
Назаренко Є. І. Краудіони як нелінійні збудження тривимірної кристалічної ґратки. –Рукопис.
Дисертація на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.04.07 –фізика твердого тіла. –Харківський національний університет ім. В. Н. Каразіна, Харків, 2002.
Задачу про рух краудіона розглянуто як динамічну проблему тривимірних кристалічних ґраток. Сформульовано вимоги до кристалогеометричних параметрів і параметрів міжатомної взаємодії, що дозволяють виділити краудіонні збудження щільнопакованих атомних рядів на тлі малих динамічних деформацій кристала в цілому. Отримано співвідношення, які пов'язують власну енергію й ефективну масу краудіона з мікроскопічними параметрами кристала і параметрами міжатомної взаємодії. У межах формалізму Лагранжа виведено рівняння руху краудіона в довільному неоднорідному й змінному з часом полі пружних деформацій кристала при наявності діючих на кристал зовнішніх сил. Виконано аналітично-чисельні розрахунки кристалічного поля для щільнопакованих атомних рядів, засновані на представленні кристалічних ґраток як сукупності паралельних атомних рядів. Отримано чисельні значення параметрів потенціалу кристалічного поля і краудіонів (власної енергії, ефективної маси і характерної довжини) для кріокристалів Ar і Kr із ГЦК ґратками, металів Cu і Al із ГЦК ґратками, металів - і -Fe з ОЦК ґратками. У межах узагальненої моделі Френкеля-Конторової вивчено краудіони, що виникають у випадках так званих двоямного та двобар’єрного потенціалів кристалічного поля: описано структуру субкраудіонів з дробовими топологічними зарядами, розщеплених повних краудіонів, а також асимптотичний розпад розщеплених краудіонів на субкраудіони при трансформації двобар’єрного потенціалу у двоямний. Обговорено умови існування спеціальних типів субкраудіонів, пов'язані з атомною в'язкістю кристала і прикладеною до нього зовнішньою силою.
Ключові слова: краудіон, потенціал кристалічного поля, рівняння Клейна-Гордона, модель Френкеля-Конторової, потенціал міжатомної взаємодії, рівняння руху краудіона.
Dissertation for Ph. D. degree in physics and mathematics sciences by speciality 01. 04. 07 –Solid state physics. – Kharkov National Karazin Univesity, Kharkov, 2002.
The problem of crowdion motion is formulated and analyzed as a dynamical problem of a three-dimensional crystal lattice formed by atoms of several kinds, which interact with each other by means of short-range pair potentials. It is explained that in order for the the crowdion excitations of the close-packed atomic rows to be distinguishable against the background of small dynamic deformations of the crystal as a whole, the microscopic parameters of the crystal structure must meet certain stated requirements. The equation of motion of a crowdion in an arbitrary elastic strain field of the crystal is derived in the Lagrangian formalism. Expressions are obtained which relate the effective mass and the rest energy of a crowdion with the geometric and force parameters of the crystal lattice. The numerical values of the crystal field potentials parameters and crowdion parameters (self-energy, effective mass, and characteristic width) are obtained for Ar and Kr cryocrystals with fcc lattice, Cu and Al metals with fcc lattice, and - and -Fe metals with bcc lattice. The conditions of existence and features of dynamics of crowdion excitations in crystals with complicated structure of potential crystal field are analyzed. Conditions of the existence of special type subcrowdions are discussed separately.
Keywords: crowdion, crystal field potential, Klein-Gordon equation, Frenkel-Kontorova model, potential of the interatomic interaction, equation of motion of a crowdion.
Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01. 04. 07 –физика твердого тела. –Харьковский национальный университет им. В. Н. Каразина, Харьков, 2002.
Динамика нелинейных возбуждений краудионного типа в кристаллах сформулирована и рассмотрена как динамическая проблема трехмерной кристаллической решетки с учетом в явном виде главных особенностей структуры и динамических свойств реального кристалла: атомно-дискретного характера и анизотропии строения; короткодействующего характера межатомного взаимодействия; отличной от нуля упругой податливости как плотноупакованных атомных рядов, в которых существуют краудионы, так и окружающей их кристаллической матрицы; сложной пространственной конфигурации кристаллического поля для атомов плотноупакованных рядов; наличия эффектов диссипации; наличия пространственно-неоднородных деформаций и линейных возбуждений кристаллической структуры.
Предложен эффективный метод общего анализа динамики кристалла с краудионом –теорию возмущений, которая в первом приближении сводит описание краудиона к анализу топологических солитонов в модели одномерного кристалла Френкеля-Конторовой, а расчет поправок во втором приближении выполняется путем решения задач линейной динамики трехмерного кристалла. Таким способом определены критерии существования краудионов, построены общие выражения для дальнодействующего поля деформаций вокруг краудиона, выведено уравнение движения краудиона как псевдочастицы, получены выражения для энергии покоя и эффективной массы краудиона через характеристики межатомного взаимодействия и геометрические параметры кристаллической решетки.
Конкретная реализация предложенного метода вычислений характеристик краудионов в первом приближении теории возмущений выполнена на примерах криокристаллов Ar и Kr с ГЦК решетками, металлов Cu и Al с ГЦК решетками, - і -Fe с ОЦК решетками.
Для расчетов потенциалов кристаллического поля разработан и применен новый алгоритм, основанный на представлении кристаллической решетки как совокупности параллельных атомных рядов. Для потенциала Ф(u), описывающего взаимодействие атома плотноупакованного ряда с кристаллической матрицей, получено аналитическое выражение в виде тригонометрического ряда. Получено также явное аналитическое выражение для энергетического параметра w, характеризующего межатомное взаимодействие внутри выделенного ряда. Расчеты выполнены в предположении, что межатомное взаимодействие в кристаллах описывается парными эмпирическими потенциалами Ленарда-Джонса и Морзе. Установлено, что в исследованных кристаллах форма потенциала кристаллического поля близка к моногармонической. Показано, что главное условие слабой связи плотноупакованных рядов с кристаллической матрицей, допускающее существование краудионов и использование при их описании длинноволнового приближения, выполняется во всех исследованных кристаллах. Получены численные значения параметров кристаллического поля, собственной энергии, массы и ширины краудионов в этих кристаллах, которые согласуются с имеющимися литературными данными.
Установлено, что использование приближения абсолютно жесткой кристаллической матрицы и одномерной модели Френкеля-Конторовой позволяет получать оценки энергии краудионов, завышенные примерно на 20-30 % по сравнению со значениями, полученными вычислительными методами молекулярной динамики.
Предложены последовательная систематизация, классификация и описание с единых позиций разнообразных свойств краудионных возбуждений в сложных кристаллах, в которых кристаллическое поле для атомов плотноупакованных рядов имеет многодолинную или многобарьерную конфигурацию. Кристаллическая матрица предполагается абсолютно жесткой, поэтому описание краудионов сводится к анализу обобщенной модели Френкеля-Конторовой и соответствующего ей нелинейного дифференциального уравнения Клейна-Гордона. Подробно обсуждены свойства субкраудионов с дробными топологическими зарядами, расщепленных полных краудионов и их составных частей –виртуальных (частичных) субкраудионов и соединяющего их одномерного дефекта упаковки, рассмотрен асимптотический распад расщепленных краудионов на субкраудионы. Описаны специфические субкраудионы, существование которых обусловлено действием на кристалл внешних сил и диссипативными свойствами кристалла. Проведенный качественный анализ не предполагает точного решения в явном виде нелинейного уравнения Клейна-Гордона. Результаты этого анализа обобщают выводы, полученные ранее при изучении некоторых частных случаев точно решаемых уравнений Клейна-Гордона со сложными потенциалами.
Ключевые слова: краудион, потенциал кристаллического поля, уравнение Клейна-Гордона, модель Френкеля-Конторовой, потенциал межатомного взаимодействия, уравнение движения краудиона.