Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Алгоритмы решения задач на проверку нормальности распределения
Проверка нормальности распределения содержит несколько самостоятельных задач
1) Построение гистограммы статистического распределения по результатам наблюдений;
2) Определение параметров теоретической кривой, определение оценок статистических моментов: математического ожидания и дисперсии
3) Построение теоретической кривой
Общие замечания
Среди задач на проверку нормальности распределения можно выделить следующие типы задач
1. Выравнивание эмпирической гистограммы кривой нормального распределения, у которых равны оценки начальных центральных моментов (средние арифметические) и оценки вторых центральных моментов (оценки дисперсии или стандартные отклонения). В результате решения необходимо построить гистограмму (ступенчатая кривая) и кривую нормального распределения, соединив плавной кривой теоретические точки в центре интервалов.
2. Проверка нормальности по критерию Пирсона: вычисление меры расхождения эмпирической и теоретической дифференциальных функций распределения (плотности вероятности) как суммы частных значений и сопоставление ее с квантилями – распределения в зависимости от числа степеней свободы и при заданном уровне значимости
3. Проверка нормальности по критерию Колмогорова по расхождению эмпирической и теоретической интегральных функций распределения.
Во всех трех типах задач общей частью является вычисление среднего арифметического значения (оценки математического ожидания) и стандартного отклонения (корень из оценки дисперсии)
В зависимости от того, являются ли интервалы равными или они имеют различные ширины, применяются различные формулы (приемы) для вычисления среднего арифметического значения и стандартного отклонения
Задача 1: случай равных интервалов, в задаче известны:
– общее число измерений n;
– число интервалов r;
– величина интервала ΔX, все интервалы одинаковы;
– количество замеров в каждом интервале mi, i – номер интервала.
1) Построение гистограммы статистического распределения по эмпирическим результатам
– относительные частоты (частости)
; (1)
Распределение частостей (относительных частот) по интервалам образует статистическое распределение результатов измерений
– делим относительные частоты (частости) на длину интервала
(2)
величина pi* является оценкой средней плотности распределения в интервале ΔXi
– откладываем вдоль горизонтальной оси интервалы ΔXi в порядке возрастания индекса i и на каждом интервале строим прямоугольник с высотой, равной pi*. Полученный график называется гистограммой статистического распределения (ступенчатая функция).
Площадь всех прямоугольников равна единице.
(3)
2) Определение параметров теоретической кривой, определение оценок статистических моментов: математического ожидания и дисперсии
Среднее арифметическое значение для ограниченной выборки вычисляется по формуле
(4)
Если обозначить
Xi – значение измеряемой величины в начале i-го интервала;
Xi+1 – значение измеряемой величины в конце i-го интервала.
– значение измеряемой величины в середине i-го интервала;
то в случае одинаковых интервалов значения измеряемых величин в средине интервалов можно выразить одной формулой
; (5)
В этом случае среднее арифметическое вычисляем по формуле
(6)
3. Оценка дисперсии (квадрат стандартного отклонения) для ограниченной выборки вычисляется по формуле
(7)
оценка СКО (стандартное отклонение)
4. При построении теоретической кривой нормального распределения по таблицам дифференциальной функции (плотности вероятности) следует иметь в виду
– таблицы вычислены для нормированной функции, при построении графика этой функции по горизонтальной и вертикальной оси откладываются безразмерные единицы
(8)
– на гистограмме по эмпирическим данным по горизонтальной оси отложена размерная величина – Х, а по вертикальной оси – величина 1/Х.
Для сопоставления эмпирической гистограммы с теоретической кривой нормального распределения необходимо построить ненормированную функцию плотности вероятности
(9)
Для этого
5) отмечаем средины интервалов ;
6) Вычисляем отклонение средин интервалов от среднего арифметического; и нормированное отклонение (дробь Стьюдента)
(10)
7) Пользуясь таблицей дифференциальной функции, находим значения плотности нормированного распределения.
(11)
8) Пересчитываем значения плотности в срединах интервалов для ненормированной дифференциальной функции нормального распределения (теоретическое значение) по формуле
(12)
9) Наносим полученные значения на график в серединах интервалов и соединяем их плавной кривой. Получаем результат примерно в следующем виде
Задача 2: случай неравных интервалов, в задаче известны:
– общее число измерений n;
– число интервалов r;
– величины интервалов ΔXi, интервалы имеют разную ширину;
– количество замеров в каждом интервале mi, i – номер интервала.
2.1 Вычисляем середины всех интервалов по формуле
2.2 В случае неодинаковых интервалов среднее арифметическое значение для ограниченной выборки вычисляется по формуле (4)
(4а)
2.3. Вычисляются отклонения средин интервалов от среднего арифметического
2.4. Оценка дисперсии (квадрат стандартного отклонения) вычисляется по формуле
(7а)
2.5 Оценка СКО (стандартное отклонение)
Последующие шаги полностью совпадают с позициями (4) – (9), приведенными выше для одинаковых интервалов.