тематического моделирования и информационной безопасности Согласовано Пр

Работа добавлена на сайт samzan.net:

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

НЕФТЕКМСКИЙ ФИЛИАЛ

Кафедра математического моделирования и информационной безопасности

Согласовано

Председатель УМС _____________

экономико-математического факультета

Утверждено

на заседании кафедры

протокол № _____ от ____________

Зав. кафедрой ___________________

Учебно-методический комплекс

дисциплины МЕТОДЫ ОПТИМАЛЬНЫХ РЕШЕНИЙ

математический и естественно научный цикл в базовой части

Направление подготовки

080100 «Экономика»

Профиль подготовки

«Экономика и финансы»

Квалификация (степень) выпускника

Бакалавр

Форма обучения

Очная, заочная

Разработчик (составитель) УМК

ст. преподаватель Г.Ф. Файдрахманова

____________

подпись

«___»_________2013 г.

Нефтекамск 2013

СОДЕРЖАНИЕ

[1] Место дисциплины в структуре основной образовательной программы

[2] Цели освоения дисциплины

[3] Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля) согласно ФГОС ВПО:

[4] Рабочая программа учебной дисциплины

[4.0.1] Методы оптимальных решений.

[4.0.2] лекции

[4.0.3] самостоятельная работа

[4.0.4] 2

[4.0.5] Линейное программирование.

[4.0.6] лекции

[4.0.7] практические занятия

[4.0.8] самостоятельная работа

[4.0.9] 6

[4.0.10] 12

[4.0.11] лекции

[4.0.12] практические занятия

[4.0.13] самостоятельная работа

[4.0.14] 4

[4.0.15] 6

[4.0.16] лекции

[4.0.17] практические занятия

[4.0.18] самостоятельная работа

[4.0.19] 3

[4.0.20] 6

[4.0.21] Математическая теория оптимального управления.

[4.0.22] лекции

[4.0.23] практические занятия

[4.0.24] самостоятельная работа

[4.0.25] 3

[4.0.26] 6

[4.0.27] Методы оптимальных решений.

[4.0.28] лекции

[4.0.29] самостоятельная работа

[4.0.30] 1

[4.0.31] Линейное программирование.

[4.0.32] лекции

[4.0.33] практические занятия

[4.0.34] самостоятельная работа

[4.0.35] 2

[4.0.36] 3

[4.0.37] лекции

[4.0.38] практические занятия

[4.0.39] самостоятельная работа

[4.0.40] 1

[4.0.41] 1

[4.0.42] лекции

[4.0.43] практические занятия

[4.0.44] самостоятельная работа

[4.0.45] 1

[4.0.46] 2

[4.0.47] Математическая теория оптимального управления.

[4.0.48] лекции

[4.0.49] практические занятия

[4.0.50] самостоятельная работа

[4.0.51] 1

[4.0.52] 2

[4.0.53] Методы оптимальных решений.

[4.0.54] лекции

[4.0.55] самостоятельная работа

[4.0.56] 1

[4.0.57] Линейное программирование.

[4.0.58] лекции

[4.0.59] практические занятия

[4.0.60] самостоятельная работа

[4.0.61] 2

[4.0.62] 1

[4.0.63] лекции

[4.0.64] практические занятия

[4.0.65] самостоятельная работа

[4.0.66] 1

[4.0.67] 1

[4.0.68] лекции

[4.0.69] практические занятия

[4.0.70] самостоятельная работа

[4.0.71] 1

[4.0.72] 1

[4.0.73] Математическая теория оптимального управления.

[4.0.74] лекции

[4.0.75] практические занятия

[4.0.76] самостоятельная работа

[4.0.77] 1

[4.0.78] 1

[4.0.79] Методы оптимальных решений.

[4.0.80] лекции

[4.0.81] самостоятельная работа

[4.0.82] 1

[4.0.83] Линейное программирование.

[4.0.84] лекции

[4.0.85] практические занятия

[4.0.86] самостоятельная работа

[4.0.87] 2

[4.0.88] 3

[4.0.89] лекции

[4.0.90] практические занятия

[4.0.91] самостоятельная работа

[4.0.92] 1

[4.0.93] 1

[4.0.94] лекции

[4.0.95] практические занятия

[4.0.96] самостоятельная работа

[4.0.97] 1

[4.0.98] 1

[4.0.99] Математическая теория оптимального управления.

[4.0.100] лекции

[4.0.101] практические занятия

[4.0.102] самостоятельная работа

[4.0.103] 1

[4.0.104] 1

[5] Образовательные технологии

[6] Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Методы оптимальных решений»

[6.0.1] Основная литература

[6.0.2] Дополнительная литература

[7] Материально-техническое обеспечение дисциплины «Методы оптимальных решений»

[8] Методические рекомендации (материалы) для преподавателя

[9] Методические рекомендации для студентов

[10] Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

[10.0.1] Самостоятельная работа студентов

[11] Контрольно оценочные материалы

[11.0.1] Распределение рекламного бюджета

[12] Рейтинг-план дисциплины «Методы оптимальных решений»

Место дисциплины в структуре основной образовательной программы

Дисциплина «Методы оптимальных решений» является базовой дисциплиной математического и естественно научного цикла дисциплин Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) по направлению 080100 «Экономика». Для успешного овладения курсом необходимы знания по дисциплинам: «Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике». Основные положения дисциплины должны быть использованы в дальнейшем при изучении и решении задач математического и информационного обеспечения экономической деятельности (методы сбора, обработки и представления экономической информации, математического прогнозирования в экономике). Знания и умения, приобретенные студентами в результате изучения дисциплины, будут использоваться при изучении курсов математического моделирования, вычислительного практикума, при выполнении курсовых и дипломных работ, связанных с математическими методами моделирования, обработкой наборов данных, проверкой адекватности построенных моделей, прогнозированием, решением конкретных задач экономики.

Цели освоения дисциплины

Целями освоения дисциплины "Методы оптимальных решений" являются: развитие у студентов логического и алгоритмического мышления путем детального анализа подходов к математическому моделированию и сравнительного анализа разных типов моделей. Ознакомить слушателей с математическими свойствами моделей и методов оптимизации, которые могут использоваться при анализе и решении широкого спектра экономических задач. Научить студентов использовать компьютерные программы для обработки данных. Формирование у обучаемых математических знаний для успешного овладения общенаучными дисциплинами на необходимом научном уровне. Приобретение умения студентами самостоятельно расширять математические знания и проводить математический анализ прикладных экономических задач.

Компетенции обучающегося, формируемые в результате освоения дисциплины (модуля) согласно ФГОС ВПО:

способен осуществлять сбор, анализ и обработку данных, необходимых для решения поставленных экономических задач (ПК-4);
способен выбрать инструментальные средства для обработки экономических данных в соответствии с поставленной задачей, проанализировать результаты расчетов и обосновать полученные выводы (ПК-5);

В результате освоения дисциплины обучающийся должен:

знать

основные математические модели оптимальных решений;

уметь

решать типовые математические задачи, используемые оптимизации решения;
использовать математический язык и математическую символику при построении моделей;
обрабатывать эмпирические и экспериментальные данные

владеть

математическими, статистическими и количественными методами решения типовых экономико-математических задач.

Рабочая программа учебной дисциплины

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

НЕФТЕКАМСКИЙ ФИЛИАЛ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине «Методы оптимальных решений» на 3 семестр (очная форма обучения)

Рабочую программу осуществляют:	Зачетных единиц трудоемкости (ЗЕТ) 4 Учебных часов: 144 лекций (в т.ч. в интерактивных формах) – 18 (4)
Лекции: ст. преподаватель Файдрахманова Г.Ф.	практических (в т.ч. в интерактивных формах) - 30 (10)
	самостоятельная работа студентов - 65
	КСР - 4
Практические занятия: ст. преподаватель Файдрахманова Г.Ф.
	экзамен - 27

№ п/п	Тема и содержание	Форма изучения материалов (лекции, практические занятия, семинарские занятия, лабораторные работы, самостоятельная работа)	Кол-во часов аудитор. работы	Интерактивные методы обучения	Меж-предметные связи	Инновационные методы в обучении	Основная и дополнительная литература, рекомендуемая студентам	Задания по самостоятельной работе студентов с указанием литературы, номеров задач	Количе-ство часов самостоят. работы	Форма контроля самостоятельной работы студентов (коллоквиумы, контрольные работы, компьютерные тесты и т.п.)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	Методы оптимальных решений.	лекции самостоятельная работа	2	Корпоративное обучение (работа в малых группах)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика»	Образовательная игра. Дискуссия.	1-17	Самостоятельная работа №1. Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	9	Устный опрос Защита самостоятельной работы №1
2	Линейное программирование.	лекции практические занятия самостоятельная работа	6 12	Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (1-2 задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	14	Устный опрос Защита самостоятельной работы №1, 2.
3	Целочисленное программирование	лекции практические занятия самостоятельная работа	4 6	Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (3 задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	14	Контрольный срез Защита самостоятельной работы №1, 2.
4	Динамическое программирование.	лекции практические занятия самостоятельная работа	3 6	Корпоративное обучение (работа в малых группах) Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (4, 5, задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	14	Устный опрос Защита самостоятельной работы№ 1, 2
5	Математическая теория оптимального управления.	лекции практические занятия самостоятельная работа	3 6	Корпоративное обучение (игра «Ротационные (изменяющиеся) тройки»). Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (6, 7 задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	14	Защита самостоятельной работы №1, 2. Компьютерное тестирование

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

НЕФТЕКАМСКИЙ ФИЛИАЛ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине «Методы оптимальных решений» на IV семестр заочной формы обучения (на базе средней школы)

Рабочую программу осуществляют:	Зачетных единиц трудоемкости (ЗЕТ) 4 Учебных часов: 144 лекций (в т.ч. в интерактивных формах) – 6
Лекции: ст. преподаватель Файдрахманова Г.Ф.	практических (в т.ч. в интерактивных формах) - 8
	самостоятельная работа студентов - 120
	КСР - 1
Практические занятия: ст. преподаватель Файдрахманова Г.Ф.
	экзамен - IV семестр

№ п/п	Тема и содержание	Форма изучения материалов (лекции, практические занятия, семинарские занятия, лабораторные работы, самостоятельная работа)	Кол-во часов аудитор. работы	Интерактивные методы обучения	Меж-предметные связи	Инновационные методы в обучении	Основная и дополнительная литература, рекомендуемая студентам	Задания по самостоятельной работе студентов с указанием литературы, номеров задач	Количе-ство часов самостоят. работы	Форма контроля самостоятельной работы студентов (коллоквиумы, контрольные работы, компьютерные тесты и т.п.)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	Методы оптимальных решений.	лекции самостоятельная работа	1	Корпоративное обучение (работа в малых группах)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика»	Образовательная игра. Дискуссия.	1-17	Самостоятельная работа №1. Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	20	Устный опрос Защита самостоятельной работы №1
2	Линейное программирование.	лекции практические занятия самостоятельная работа	2 3	Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (1-2 задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	25	Устный опрос Защита самостоятельной работы №1, 2.
3	Целочисленное программирование	лекции практические занятия самостоятельная работа	1 1	Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (3 задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	25	Контрольный срез Защита самостоятельной работы №1, 2.
4	Динамическое программирование.	лекции практические занятия самостоятельная работа	1 2	Корпоративное обучение (работа в малых группах) Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (4, 5, задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	25	Устный опрос Защита самостоятельной работы№ 1, 2
5	Математическая теория оптимального управления.	лекции практические занятия самостоятельная работа	1 2	Корпоративное обучение (игра «Ротационные (изменяющиеся) тройки»). Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (6, 7 задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	25	Защита самостоятельной работы №1, 2. Компьютерное тестирование

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

НЕФТЕКАМСКИЙ ФИЛИАЛ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине «Методы оптимальных решений» на IV семестр заочной формы обучения (на базе ССУЗов)

Рабочую программу осуществляют:	Зачетных единиц трудоемкости (ЗЕТ) 4 Учебных часов: 144 (переаттестовано 72) лекций (в т.ч. в интерактивных формах) – 6
Лекции: ст. преподаватель Файдрахманова Г.Ф.	практических (в т.ч. в интерактивных формах) - 4
	самостоятельная работа студентов - 52
	КСР - 1
Практические занятия: ст. преподаватель Файдрахманова Г.Ф.
	экзамен - IV семестр

№ п/п	Тема и содержание	Форма изучения материалов (лекции, практические занятия, семинарские занятия, лабораторные работы, самостоятельная работа)	Кол-во часов аудитор. работы	Интерактивные методы обучения	Меж-предметные связи	Инновационные методы в обучении	Основная и дополнительная литература, рекомендуемая студентам	Задания по самостоятельной работе студентов с указанием литературы, номеров задач	Количе-ство часов самостоят. работы	Форма контроля самостоятельной работы студентов (коллоквиумы, контрольные работы, компьютерные тесты и т.п.)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	Методы оптимальных решений.	лекции самостоятельная работа	1	Корпоративное обучение (работа в малых группах)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика»	Образовательная игра. Дискуссия.	1-17	Самостоятельная работа №1. Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	8	Устный опрос Защита самостоятельной работы №1
2	Линейное программирование.	лекции практические занятия самостоятельная работа	2 1	Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (1-2 задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	11	Устный опрос Защита самостоятельной работы №1, 2.
3	Целочисленное программирование	лекции практические занятия самостоятельная работа	1 1	Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (3 задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	11	Контрольный срез Защита самостоятельной работы №1, 2.
4	Динамическое программирование.	лекции практические занятия самостоятельная работа	1 1	Корпоративное обучение (работа в малых группах) Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (4, 5, задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	11	Устный опрос Защита самостоятельной работы№ 1, 2
5	Математическая теория оптимального управления.	лекции практические занятия самостоятельная работа	1 1	Корпоративное обучение (игра «Ротационные (изменяющиеся) тройки»). Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (6, 7 задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	11	Защита самостоятельной работы №1, 2. Компьютерное тестирование

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ ВЫСШЕГО ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ

«БАШКИРСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ»

НЕФТЕКАМСКИЙ ФИЛИАЛ

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА

по дисциплине «Методы оптимальных решений» на IV семестр заочной формы обучения (на базе высшего образования)

Рабочую программу осуществляют:	Зачетных единиц трудоемкости (ЗЕТ) 4 Учебных часов: 144 (переаттестовано 36) лекций (в т.ч. в интерактивных формах) – 6
Лекции: ст. преподаватель Файдрахманова Г.Ф.	практических (в т.ч. в интерактивных формах) - 6
	самостоятельная работа студентов - 86
	КСР - 1
Практические занятия: ст. преподаватель Файдрахманова Г.Ф.
	экзамен - IV семестр

№ п/п	Тема и содержание	Форма изучения материалов (лекции, практические занятия, семинарские занятия, лабораторные работы, самостоятельная работа)	Кол-во часов аудитор. работы	Интерактивные методы обучения	Меж-предметные связи	Инновационные методы в обучении	Основная и дополнительная литература, рекомендуемая студентам	Задания по самостоятельной работе студентов с указанием литературы, номеров задач	Количе-ство часов самостоят. работы	Форма контроля самостоятельной работы студентов (коллоквиумы, контрольные работы, компьютерные тесты и т.п.)
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
1	Методы оптимальных решений.	лекции самостоятельная работа	1	Корпоративное обучение (работа в малых группах)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика»	Образовательная игра. Дискуссия.	1-17	Самостоятельная работа №1. Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	11	Устный опрос Защита самостоятельной работы №1
2	Линейное программирование.	лекции практические занятия самостоятельная работа	2 3	Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (1-2 задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	15	Устный опрос Защита самостоятельной работы №1, 2.
3	Целочисленное программирование	лекции практические занятия самостоятельная работа	1 1	Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (3 задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	15	Контрольный срез Защита самостоятельной работы №1, 2.
4	Динамическое программирование.	лекции практические занятия самостоятельная работа	1 1	Корпоративное обучение (работа в малых группах) Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (4, 5, задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	15	Устный опрос Защита самостоятельной работы№ 1, 2
5	Математическая теория оптимального управления.	лекции практические занятия самостоятельная работа	1 1	Корпоративное обучение (игра «Ротационные (изменяющиеся) тройки»). Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	«Линейная алгебра», «Математический анализ» «Микроэкономика», «Макроэкономика», «Экономическая информатика», «Компьютерные технологии в экономике»	Образовательная игра. Дискуссия. Тестирование.	1-17	Самостоятельная работа №1 Самостоятельная работа №2 (6, 7 задание) Задание и темы раскрыты в пункте задания для самостоятельной работы. (пункт 10)	15	Защита самостоятельной работы №1, 2. Компьютерное тестирование

Тематическое содержание дисциплины

Тема 1. Методы оптимальных решений.

Предмет, история и перспективы развития методов оптимальных управленческих решений. Основные этапы принятия оптимальных управленческих решений. Общая постановка и классификация задач оптимизации. Методы математического программирования.

Тема 2. Линейное программирование.

Постановка и формы записи задачи линейного программирования. Этапы построения моделей. Примеры моделей.Построение моделей задач линейного программирования. Графический метод решения задач линейного программирования. Геометрическая интерпретация задачи. Графический анализ оптимальности решения на чувствительность. Симплекс-метод решения задач линейного программирования. Основная схема алгоритма симплекс-метода. Экономическая интерпретация итоговой симплекс-таблицы. Метод искусственного базиса. Особые случаи применения симплекс – метода (вырожденность, альтернативные оптимальные решения, неограниченные решения, отсутствие допустимых решений). Двойственная модель. Предпосылки к рассмотрению двойственной задачи. Двойственность задач в линейном программировании. Первая теорема двойственности. Вторая теорема двойственности.

Тема 3. Целочисленное программирование

Целочисленные переменные в задачах экономического планирования. Общая задача целочисленного программирования, общая задача целочисленного линейного программирования, задача частично-целочисленного программирования. Геометрическая интерпретация задачи целочисленного программирования. Общая постановка транспортной задачи. Открытая и закрытая ТЗ. Нахождение исходного допустимого базисного решения методом северо-западного угла и методом минимального элемента. Понятие цикла. Метод потенциалов решения транспортной задачи. Алгоритм Гомори. Метод ветвей и границ. Задача о назначениях.

Тема 4. Динамическое программирование.

Модели динамического программирования. Выпуклые множества и их свойства. Экономическая и геометрическая интерпретации. Теорема Вейерштрасса и следствие из неё. Метод множителей Лагранжа в гладких экстремальных задачах с ограничениями типа равенств и неравенств. Задачи выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера. Понятие марковского процесса. Рекуррентные соотношения Беллмана. Принцип оптимальности и математическое описание динамического процесса управления. Оптимальное распределение инвестиций. Выбор оптимальной стратегии обновления оборудования. Модели сетевого планирования и управления. Модели сетевого планирования и управления в условиях неопределенности. Плоские графы; эйлеровы графы; гамильтоновы графы; орграфы; сетевые графики; сети Петри.

Тема 5. Математическая теория оптимального управления.

Математическая теория оптимального управления. Постановка и методы решения задач многокритериальной оптимизации. Примеры многокритериальных задач в экономике. Матричные игры; кооперативные игры; игры с природой. Задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания. Модели систем массового обслуживания в коммерческой деятельности. СМО с отказами. СМО с ожиданием (очередью).

Образовательные технологии

При изучении курса Методы оптимальных решений используется много новых понятий, формул, таблиц и графиков. Поэтому рекомендуется при изложении материала использовать мультимедиа-пособия и наглядные пособия. Для лекционных занятий удобно использовать презентации по темам 1-5 (темы раскрыты в пункте «Тематическое содержание дисциплины»). На практических занятиях рекомендуется решение задач по темам 1-5, а так же разбор вопросов возникающих при выполнении самостоятельной работы студентов.

В рамках лекционных занятий основное внимание уделяется изложению теоретических основ курса, разбор основных теоретических аспектов на конкретных примерах. Для эффективного освоения курса на лекциях желательно уделять время решению примеров, а также обсуждению применения методов оптимальных решений для анализа социально-экономических явлений и процессов, основанных на реальных данных.

Для закрепления теоретического материала на лекциях целесообразно проведение мини-опросов и коротких тестов. Особое внимание на лекционных и практических занятиях должно уделяться содержательной интерпретации результатов в социально-экономическом контексте.

Целью практических занятий является закрепление теоретических знаний, выработка навыков решения задач, умение решения задач с использованием современных компьютерных технологий. Практические занятия проводятся в аудитории, желательно использовать доску с мелом, интерактивную доску, мультимедиа-пособия и наглядные пособия.

В качестве базового программного обеспечения можно рекомендовать MS Excel. Выбор этого пакета оправдан тем, что, с одной стороны, он содержит все необходимые средства для проведения расчетов — как отдельные встроенные статистические функции, так и интегрированные средства «Пакета Анализа», «Поиск решения», а с другой стороны, требует контроля над вводимыми данными, использованием функций, построением графиков, что необходимо в процессе обучения. Следует также отметить доступность этого программного обеспечения. В качестве дополнения в рамках курса целесообразно знакомство с некоторыми статистическими пакетами, по крайней мере, на уровне методологии использования и интерпретации получаемых результатов.

Основные темы курса, такие как линейное программирование подразумевают выполнение самостоятельных заданий и тестов (контрольных работ). Необходимым условием допуска студента к экзамену является выполнение всех самостоятельных и контрольных работ, каждая из которых оценивается отдельно.

Учебные материалы для лекций и практических занятий, самостоятельные работы, технологическая карта, тестовые задания размещаются на сервере и доступны для студентов. Система контрольных мероприятий должна обеспечивать объективную оценку знаний и навыков студентов, способствовать повышению эффективности всех видов учебных занятий, включая и самостоятельную работу.

Для реализации компетентностного подхода все проводимые занятия, в том числе самостоятельная работа студентов, предусматривают сочетание передовых методических приемов с новыми образовательными информационными технологиями. Используются современные формы и методы обучения (тренинги, исследовательские методы, проблемное и проектное обучение), направленные на развитие творческих способностей и самостоятельности студентов, привитие им интереса к исследовательской работе.

Основным методом изучения тем, вынесенных в лекционный курс, является информационно-объяснительный метод с элементами проблемных ситуаций и заданий студентам. На практических занятиях основным является поисковый метод, связанный с решением различных типов задач.

Средствами обучения является базовый учебник, дополнительные пособия для организации самостоятельной работы студентов, демонстрационные материалы, компьютерные обучающие программы, сборники задач.

Приемами организации учебно-познавательной деятельности студентов являются приемы, направленные на осмысление и углубление предлагаемого содержания, и приемы, направленные на развитие аналитико-поисковой и исследовательской деятельности.

Количество занятий, проводимых в интерактивной форме, составляет 20% от аудиторной нагрузки и равно 16 ч. Интерактивные формы проведения занятий предполагают обучение в сотрудничестве. Все участники образовательного процесса (преподаватель и студенты) взаимодействуют друг с другом, обмениваются информацией, совместно решают проблемы, моделируют ситуации (рис. 1). Интерактивные формы проведения занятий могут быть использованы при проведении лекций и практических занятий, при самостоятельной работе студентов.

Студент

Преподаватель Студент

Студент

Рисунок 1. Интерактивный метод

Предполагаемые формы проведения интерактивных занятий:

№ п/п	Интерактивные методы обучения	Форма проведения занятий	Количество часов	компетенции
1	Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»)	Практическое занятие	10	ПК4, ПК5,
3	Корпоративное обучение (игра «Ротационные тройки»)	Лекция	2	ПК4, ПК5,
4	Работа в малых группах	Лекция	2	ПК4, ПК5,

Корпоративное обучение (образовательная игра «Карусель»). Данный метод вовлекает всех учащихся в образовательную деятельность, даёт возможность коллективного поиска решения задач, обмена идеями, информацией, математическими знаниями. А, так как математическая "карусель"-это соревнование между группами, то занятие в такой форме разжигает у детей не только спортивный азарт и волю к победе, но и мотивирует учащихся к получению более широких познаний в области математики.

Правила математической "карусели".

Математическая "карусель" – это командное соревнование по решению задач. Побеждает команда, набравшая наибольшее число очков. Задачи решаются на двух рубежах – исходном и зачётном. Всем членам команды присваиваются порядковые номера (на пример от 1 до 6). По сигналу команды на исходном рубеже начинают решать задачи и предъявляют решение (или ответ) судье. Если оно верное, игрок №1 переходит на зачётный рубеж и получает задачу там, а члены команды, оставшиеся на исходном рубеже получают новую задачу, если опять верный ответ, то игрок №2 переходит на зачётный рубеж и присоединяется к игроку № 1 и т.д. В дальнейшем члены команды, находящиеся на “исходном” и “зачётном” рубежах, решают новые задачи независимого друг от друга. Все игроки в команде как бы выстроены в очередь. Если на исходной позиции задача решена правильно, игроки в порядке очереди переходят на зачётный рубеж, но если на зачётном рубеже задача решена неправильно, то опять в порядке очереди игроки возвращаются на исходную позицию. И на исходном и на зачётном рубежах команда может в любой момент отказаться от решения задачи. При этом задача считается нерешённой. После того, как часть команды, находящаяся на каком – либо из двух рубежей рассказала решение очередной задачи или отказалась от неё, она получает новую задачу. На исходном рубеже за каждую верно решённую задачу ставится 1 балл, за первый верный ответ на зачёте команда получает 3 балла, за второй верный ответ 4 балла, и т.д. Если же очередная задача решена неверно, то цена следующей задачи зависит от цены нерешённой следующим образом. Если цена неверно решенной задачи была 6 баллов или больше, то следующая задача стоит 5 баллов. Если неверно решённая задача стоила 5 баллов, то следующая задача стоит 4 балла, если же неверно решённая задача стоила 3 или 4 балла, то следующая задача стоит 3 балла. Игра для команды заканчивается, если:

кончилась игровое время,
кончились задачи на зачётном рубеже,
кончились задачи на исходном рубеже, а на зачётном рубеже нет ни одного игрока.

Игра оканчивается, если она закончилась для всех команд. Побеждает команда, набравшая больше баллов.

Корпоративное обучение (игра «Ротационные (изменяющиеся) тройки»). Этот вариант кооперативного обучения способствует активному анализу и обсуждению нового материала с целью его осмысления и усвоения. Чтобы организовать этот вид деятельности, от учителя требуется объединить учеников в тройки (1-й, 2-й, 3-й) таким образом, чтобы все тройки образовали круг. Каждой тройке даётся вопрос (одинаковый для всех), только он должен иметь неоднозначные ответы, а ученики каждый по очереди отвечают на вопрос. Потом происходит перемещение всех студентов, например, под номером один в другую тройку, и таким образом, учитель может двигать студентов сколько угодно раз, задавая при этом различные вопросы. Ещё одним вариантом обучения, который используется для развития умения общаться в группе, умения убеждать и вести дискуссию, является метод «два – четыре – все вместе». Он заключается в том, что учащимся даётся гипотетическая ситуация и 1-2 минуты для обдумывания индивидуального ответа или решения. Затем ученики объединяются в пары и проводят обсуждение своих идей друг с другом. Далее происходит высказывание каждого в паре и общее обсуждение, обязательным является то, что пары должны прийти к консенсусу в отношении ответа. Затем преподаватель объединяет пары в четвёрки по своему усмотрению и происходит дальнейший поиск ответа, только теперь к общему решению должна прийти вся четвёрка. Таким образом, можно плавно перейти к коллективному обсуждению вопроса. В этой работе тоже нет места для симулянтов, все студенты активно работают, обсуждая и заодно активно усваивая материал.

Корпоративное обучение (работа в малых группах). Групповая работа представляет много возможностей для индивидуализации, особенно, если группы составлены из схожих по какому-либо признаку учащихся, причем тогда для каждой группы подбираются специальные задания. В малой группе учащийся находится в более благоприятных условиях, чем при фронтальной работе. Группы могут быть сформированы как преподавателем (на основании уровня знаний или умственных способностей), так и по пожеланию учащихся. Групповая работа достаточно эффективна, однако следует следить за тем, чтобы более сильные и старательные не заглушали инициативу более слабых и пассивных. Целесообразно проводить работу также с относительно стабильными группами, что позволяет оперативно распределять задания различной степени сложности, причем по результатам обучения возможен переход из одной группы в другую. Часто используется работа в парах, особенно она эффективна на начальных этапах обучения. Плюс этой работы заключается в том, что все студенты имеют возможность высказаться, обменяться идеями со своим напарником, а только потом огласить их всей аудитории. Кроме того, никто из студентов не будет просиживать время на занятии, как это очень часто бывает, - все вовлечены в работу. Примерами такой работы является: обсуждение текста, взятие интервью у напарника, анализ письменной работы партнёра, разработка вопросов к аудитории или ответы на вопросы преподавателя и т.д

В начале занятия рекомендуется проводить разминку в виде устного счёта, которая имеет целью привлечь или сконцентрировать внимание студентов к теме урока, а если это в середине занятия, то дать им разрядку. Разминкой может служить любое интересное упражнение или игра. Приведем примеры. Задания для устного счёта написаны на доске, к каждому заданию варианты ответов (один верный). Каждый ответ подписан каким-нибудь действием, например: “похлопать в ладони”, "взять себя за нос", "закрыть глаза", "присесть около стола", "скрестить руки на груди", прокричать:"ку-ка-ре-ку!" и тому подобное. Ученики решают задание, находят правильный ответ и выполняют действие. Задания-действия можно заменить забавными фигурами, которые показывают данные действия: человек с поднятыми вверх руками, человек присел около парты, человек стоит на одной ноге и т.д. Такой интерактивный устный счёт служит хорошей мотивацией для изучения новой темы, демонстрирует важность внимательности и совместности действий.

Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины «Методы оптимальных решений»

Учебный процесс состоит из лекций, практических занятий и самостоятельной работы студентов.

Лекции являются основным источником знаний по дисциплине. Они способствуют возникновению и поддержанию интереса к предмету, глубокому усвоению материала и активизации самостоятельной работы.

Практические занятия по дисциплине «Методы оптимальных решений» выполняют значительную роль в изучении дисциплины. Целью занятий является закрепление теоретических знаний, полученных в ходе прослушивания лекционного материала. Для этого студенты должны на конкретных задачах научиться применять свои теоретические знания.

Основная литература

Математическое программирование в примерах и задачах: Учебное пособие/ И.Л. Акулич. - 2-е изд., испр. - СПб.: Издательство "Лань", 2010. - 352 с.: ил. - (Учебники для вузов. Специальная литература).
Математические методы моделирования экономических систем: Учебник для вузов/ Е.В. Бережная, В.И. Бережной. - М.: Финансы и статистика, 2003. - 368 с.: ил.
Математические методы анализа экономики: учеб. пособ./ А.В. Монахов. - СПб.: Питер, 2002. - 176 с.: ил.
Введение в исследование операций/ Х.А. Таха; пер. с англ. - 6-е изд. - М.: Изд.дом "Вильямс", 2001. - 912 с.: ил.
Теория игр и исследование операций: учеб. пособие/ С.Р. Абдюшева, С.Л. Лебедева, С.И. Спивак, И.А. Шагапов. - Нефтекамск: РИЦ БашГУ, 2007. - 88 с.
Исследование операций и численные методы оптимизации: учеб. пособие/ В.И. Ширяев. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: КомКнига, 2006. - 216 с.
Математические методы и модели в экономике, финансах, бизнесе: учеб. пособие/ С.И. Шелобаев. - М.: Юнити-Дана, 2001. - 367 с.
А.Р. Саяпова, Г.Ф. Сафина, Г.Ф. Файдрахманова. Высшая математика: Метод. указания - Нефтекамск: РИО БашГУ, 2005.
Сборник задач по экономико-математическим методам.
Математическая экономика с применением Mathcad и Excel/ О.Н. Саламанов. - СПб.: БХВ -Петербург, 2003. - 464 с.: ил.
Экономико-математические методы и прикладные модели: учеб. пособие для вузов/ В.В. Федосеев, А.Н. Гармаш, Д.М. Дайитбегов; Под ред. В.В. Федосеева. - М.: ЮНИТИ, 2002. - 391 с.
Экономико-математические методы и модели: Учеб. пособие/ А.Р.Саяпова, Г.Ф.Файдрахманова. - Нефтекамск: РИО НФ БашГУ, 2005. - 140 с.
Методические указания по курсу «Методы оптимизации», составители: Файдрахманова Г.Ф., Вильданов А.Н. – Нефтекамск: НФ РИО БашГУ, 2006 – 50с.
Салманов О.Н. Математическая экономика с применением Mathcad и Excel. –СПб.: БХВ-Петербург, 2003. – 464 с.: ил.

Дополнительная литература

А.В. Соколов, В.В. Токарев. Методы принятия управленческих решений. В 2 т. Т. 1. Общие положения. Математическое программирование. – 2-е изд. , испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. – 564 с. – ISBN 978-5-9221-1257-4
В.В. Токарев. Методы принятия управленческих решений. В 2 т. Т. 2. Многокритериальность. Динамика. Неопределенность. – 2-е изд. , испр. – М.: ФИЗМАТЛИТ, 2011. – 420 с. – ISBN 978-5-9221-1258-1
Математические методы и модели в управлении. Шикин Е.В., Чхартишвили А.Г. – 2-е изд., испр. - М.: Дело, 2002. — 440 с.
Практикум по высшей математике для экономистов: учеб. пособие для экон. вузов/ Н.Ш. Кремер, И.М. Тришин, Б.А. Путко и др.; под ред. В.Ш. Кремера. - М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2005. - 424 с.
Математика для экономистов. Математический анализ: курс лекций: учеб. пособие для вузов/ В.А. Малугин. - М.: Эксмо, 2005. - 272 с.
Математические методы в экономике: учеб. пособие/ Л.Э. Хазанова. - 2-е изд., испр. и перераб. - М.: Бек, 2002. - 144 с.
Математические методы и модели в экономике: учеб. пособие/ М.В. Пинегина. - М.: Экзамен, 2002. - 128 с.
Экономико-математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие для вузов / В.В.Федосеев, А.Н.Гармаш, Д.М.Дайитбегов и др.; Под ред. В.В.Федосеева. – М.:ЮНИТИ, 2002. О.О.Замков, А.В.Толстопятенко, Ю.Н.Черемных. Математические методы в экономике: Учебник. 2-е изд. – М.: МГУ им М.В.Ломоносова, Издательство «Дело и Сервис»,1999.
Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория – М.:”Айрис пресс”, 2002.

Дополнительная литература по курсу для самостоятельных работ:

Боровиков В.П. и др. STATISTICA. Статистический анализ и обработка данных
в среде Windows. 1997.
Говорухин В.Н. и др. Введение в MAPLE. Математический пакет для всех. 1997.
Дьяконов В.П. Справочник по MathCAD PLUS 6.0 PRO. Универсальная система математических расчетов. 1997.
Карсберг К. Бизнес-анализ с помощью Excel . 1997.
Курицкий Б. Поиск оптимальных решений средствами Excel 7.0 в примерах. 1997
Математическая экономика на персональном компьютере. 1991.
Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль. 1992.
Николь Н. и др. Excel 5.0. Для профессионалов. 1996.
Николь Н. и др. Excel 5.0. Электронные таблицы. 1996.
Потёмкин В.Г. MATLAB. Справочное пособие. 1997.
Пробитнюк. А Excel 7.0 для Windows 95 в бюро. 1996
Тюрин Ю.Н. и др. Статистический анализ данных на компьютере. 1998.

Программное обеспечение и Интернет-ресурсы

Учебно-методическое пособие по курсу "Экономико-математические методы и модели. Линейное программирование"/ Алесинская Т.В., Сербин В.Д., Катаев А.В. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2001. 79 с.
Учебное пособие по решению задач по курсу "Экономико-математические методы и модели"/ Алесинская Т.В. Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002, 153 с.

Статьи и научные доклады по методам оптимальных решений доступны в базах

JSTOR
SSRN.

Программное обеспечение (статистические пакеты)

MS Excel
MathCad
Mathematica
EViews
Statistica
SPSS
Stata
PcGive
Gauss
MS Money
Meta Stock
Wall Street Analyst
Project Expert

Источники данных

Панельная база данных Российского мониторинга социально-экономического положения и здоровья населения
Worldbank
http://www.recep.org/
Russian Economic Trends.
Госкомстат

Материально-техническое обеспечение дисциплины «Методы оптимальных решений»

Аудитория для лекционных занятий должна быть снабжена персональным компьютером преподавателя, проектором и экраном. Для практических занятий используются аудиторные и компьютерные классы. Обеспечение наличия рекомендованной литературы, электронных версий методических материалов и доступ интернет ресурсов. Стандартное программное обеспечение (Windows+ MS Office), локальная сеть, безлимитный интернет.

Методические рекомендации (материалы) для преподавателя

Рекомендации к проведению лекционных занятий

Лекции являются основным источником знаний по дисциплине. Они должны способствовать возникновению и поддержанию интереса к предмету, глубокому усвоению материала и активизации самостоятельной работы студентов.

Лекционный материал по дисциплине «Методы оптимальных решений» должен быть построен в соответствии с рабочей учебной программой дисциплины. Лектор должен обладать высокими профессиональными качествами лектора, иметь профессиональный язык математика, экономиста, финансиста. Он обязан четко, на доступном для восприятия уровне излагать содержание курса; обеспечивать, в случае необходимости, возможность его конспектирования; проводить анализ основных математических понятий и терминов. Лектор должен уметь вызывать интерес студентов в изучении дисциплины, уметь устанавливать диалог со студентами во время лекции, взаимную обратную связь.

Каждая лекционная тема должна быть продумана по структуре изложения, соответствовать математической и экономической логике построения дисциплины, а также отвечать требованиям наглядности и доступности. Особое внимание следует уделить раскрытию основных понятий, которые формируют профессиональный язык студента в изучении данной дисциплины.

Важным моментом является сопровождение изложения лекционного материала практическими примерами, задачами и ситуациями, которые значительно способствуют усвоению материала и показывают практическую значимость изучаемых тем. Особое внимание необходимо обратить также на межпредметную связь, актуальность, прикладной и экономический характер изучаемых тем, перспективам применения полученных знаний при изучениях экономических дисциплин.

При подготовке курса следует обращаться, главным образом, к следующим видам литературы:

а) учебники и учебные пособия;

б) научная литература;

в) периодические, профессиональные издания;

г) тексты или конспекты лекций за прошлые годы;

д) другие материалы (документы обсуждения лекций на заседании кафедры, программы, рабочие планы, календарно-тематические планы лекций; календарно-тематические планы практических занятий, конспект лекций более опытного лектора и т.д.).

Лектор должен иметь свой взгляд на научное и педагогическое достоинство изложения одного и того же вопроса у разных авторов. Это окажет ему помощь в дискуссиях со студентами, более логичном, практически значимом построении курса. Лектору рекомендуется также следить за ведением конспектов лекций студентами.

Материал, используемый на занятиях (включая лекции, практические задания и проч.), должен быть, подготовлен до начала семестра, в котором этот курс читается, при необходимости переработан или дополнен. Все изменения в методике и практике преподавания дисциплины должны вовремя отслеживаться и находить свое отражение в лекционном материале.

Рекомендации к проведению практических занятий

Практические занятия по дисциплине «Методы оптимальных решений» выполняют значительную роль в изучении дисциплины. Они должны соответствовать рабочей учебной программе дисциплины, тематике лекционных занятий и практических занятий.

Целью практических занятий является закрепление и применение на конкретных задачах теоретических знаний, полученных в ходе прослушивания лекционного материала.

На первых же занятиях преподаватель должен ознакомить студентов с технологической картой по дисциплине, с системой оценки участия студентов на занятиях, выполнения контрольного среза, компьютерного тестирования, самостоятельных заданий. Системой подхода и сдачи экзамена, с основными учебными требованиями к студенту, а также ознакомить со списком основной и дополнительной литературы.

Преподаватель должен:

умело пользоваться лекционным материалом, учебной и научной литературой;

иметь профессиональный язык, владеть логикой построения и развития практического занятия;

продумать постановки таких вопросов по теме практического занятия и по ходу решения задач, которые вызовут интерес студентов;

уметь создавать и разрешать проблемные ситуации для активизации работы студентов на занятии;

адекватно оценивать работу каждого студента в конце занятия.

Количество занятий, проводимых в интерактивной форме, составляет 20% от аудиторной нагрузки и равно 14 ч. Интерактивные формы проведения занятий предполагают обучение в сотрудничестве. Все участники образовательного процесса (преподаватель и студенты) взаимодействуют друг с другом, обмениваются информацией, совместно решают проблемы, моделируют ситуации. Интерактивные формы проведения занятий используются при проведении лекций, практических занятий, при самостоятельной работе студентов.

Методические рекомендации для студентов

Для более успешного усвоения материала курса предлагается учебно-методическая литература, включающие типовые задачи с решениями, тестовые задачи для самоконтроля. Она дает возможность самостоятельно изучать лекционный материал, разбирать решение задач, проверять свои знания с помощью теста и выполнить домашнее задание.

При работе с источниками, указанными в списке основной и дополнительной литературы, следует придерживаться следующих правил:

1) последовательно изучать изложенный материал и переходить к следующему вопросу только после правильного уяснения предыдущего, описывая на бумаге все выкладки и вычисления (в том числе те, которые в учебнике опущены или на лекции даны для самостоятельного вывода);

2) при разборе решений типовых задач обращать внимание на теоретические обоснования этапов решения; составлять краткий план решения основных типов задач;

3) отрабатывать основные приемы и методы решения задач на упражнениях и тестовых заданиях, приведенных в конце каждого раздела дисциплины;

4) обращаться к преподавателю за консультацией в случаях возникновения вопросов по итогам изученного материала или прорешанных задач, если разрешить самостоятельно их не удается, а также в случае возникновения сомнений в правильности ответов на вопросы самопроверки.

Учебно-методическое обеспечение самостоятельной работы студентов.

Неотъемлемой частью при изучении дисциплины является самостоятельная работа студента. Ведь умение оригинально, творчески мыслить приходит лишь в результате самостоятельной работы, которая должна начинаться на лекциях, продолжаться на практических, лабораторных занятиях и завершаться самостоятельной работой, в том числе работой с литературой.

Самостоятельная работа содержит:

самостоятельная работа №1 (конспект по темам №1 -5 указанных в пункте "Задания по самостоятельной работе") – 10 б.

(срок сдачи – до 15 октября текущего года)

самостоятельная работа №2 (решить задания №1-5 указанных в пункте "Задания по самостоятельной работе") – 20 б.

(срок сдачи – до 20 ноября текущего года)

Самостоятельная работа студентов

Раздел дисцип- лины (тема)	Вид самостоятельной работы	Название (содержание) работы	Кол-во часов
Тема 1	Конспект, самостоятельное изучение.	Основные этапы принятия оптимальных управленческих решений.	9
Тема 2	Конспект, самостоятельное изучение. Выполнение самостоятельной работы № 1, 2	Графический анализ оптимальности решения на чувствительность. Экономическая интерпретация итоговой симплекс-таблицы. Двойственная модель. Предпосылки к рассмотрению двойственной задачи. Двойственность задач в линейном программировании. Первая теорема двойственности. Вторая теорема двойственности.	14
Тема 3	Конспект, самостоятельное изучение. Выполнение самостоятельной работы № 1, 2	Общая задача целочисленного программирования, общая задача целочисленного линейного программирования, задача частично-целочисленного программирования. Геометрическая интерпретация задачи целочисленного программирования. Алгоритм Гомори. Метод ветвей и границ. Задача о назначениях.	14
Темы 4	Конспект, самостоятельное изучение. Выполнение самостоятельной работы №1, 2	Выпуклые множества и их свойства. Экономическая и геометрическая интерпретации. Теорема Вейерштрасса и следствие из неё. Задачи выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера. Плоские графы; эйлеровы графы; гамильтоновы графы; орграфы; сетевые графики; сети Петри.	14
Темы 5	Конспект, самостоятельное изучение. Написание отчета и подготовка к защите самостоятельной работы №1, 2	Математическая теория оптимального управления. Примеры многокритериальных задач в экономике. Матричные игры; кооперативные игры; игры с природой. Модели систем массового обслуживания в коммерческой деятельности. СМО с отказами. СМО с ожиданием (очередью).	14
Итого	65

Задания для самостоятельной работы

Самостоятельная работа №1

Необходимо самостоятельно изучить и сделать краткий конспект следующих тем:

Тема 1. Основные этапы принятия оптимальных управленческих решений. Графический анализ оптимальности решения на чувствительность.

Тема 2. Экономическая интерпретация итоговой симплекс-таблицы. Двойственная модель. Предпосылки к рассмотрению двойственной задачи. Двойственность задач в линейном программировании. Первая теорема двойственности. Вторая теорема двойственности.

Тема 3. Общая задача целочисленного программирования, общая задача целочисленного линейного программирования, задача частично-целочисленного программирования. Геометрическая интерпретация задачи целочисленного программирования. Алгоритм Гомори. Метод ветвей и границ. Задача о назначениях.

Тема 4. Выпуклые множества и их свойства. Экономическая и геометрическая интерпретации. Теорема Вейерштрасса и следствие из неё. Задачи выпуклого программирования. Теорема Куна-Таккера. Плоские графы; эйлеровы графы; гамильтоновы графы; орграфы; сетевые графики; сети Петри.

Тема 5. Математическая теория оптимального управления. Примеры многокритериальных задач в экономике. Матричные игры; кооперативные игры; игры с природой. Модели систем массового обслуживания в коммерческой деятельности. СМО с отказами. СМО с ожиданием (очередью).

Самостоятельная работа №2

Необходимо самостоятельно решить следующих 7 заданий по вариантам. Всего вариантов 30. Номер варианта соответсвует номеру списка в группе.

Задание. 1

Решить графическим методом задачи с двумя переменными. Провести полный графический анализ чувствительности. (табл. 1).

Задание. 2

Решить симплексным методом задачи (табл. 2).

Задание. 3

Решить методом потенциалов транспортные задачи (опорное решение использовать найденное методом северо-западного угла) (табл. 3).

Таблица 1. Варианты задания 1

Таблица 2. Варианты задания 2

Таблица 3. Варианты задания 3

Задание 4.

4.1. Система управления запасами некоторого вида товара подчиняется условиям основной модели. Каждый год с постоянной интенсивностью поступает спрос на 15 тыс. единиц товара, издержки на организацию поставки составляют 10 долл. за одну партию, цена единицы товара — 3 долл., а издержки на ее хранение — 0,75 долл. в год. Найдите оптимальный размер партии, продолжительность цикла, число поставок за год, если стратегия управления запасами в предыдущей задаче является оптимальной?

4.2.Система управления запасами описывается моделью производственных поставок и имеет следующие значения параметров. Спрос равен 1,5 тыс. единиц в год, цена 2 долл., издержки хранения единицы товара в течение года — 0,2 долл., организационные издержки —10 долл. В течение года может быть произведено 4,5 тыс. единиц товара при полной загрузке производственной линии. Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный размер партии, продолжительность поставки, продолжительность цикла и средний уровень запасов.

4.3.Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет четверть скорости производства, которая равна 20 тыс. единиц товара в год. Организационные издержки для одной партии равны 150 долл., а издержки хранения единицы товара в течение года —0,3 долл. Определите оптимальный размер партии.

4.4.Мебельной фирме требуется 1000 штук дверных ручек в год, расходуемых с постоянной интенсивностью. Организационные издержки составляют 30 долл. за партию, издержки на хранение одной ручки оценены в 1 долл. Цена дверной ручки составляет 2 долл., а при закупке партиями объемом не менее 750 штук — 1,9 долл. за штуку. Найдите оптимальный размер партии поставок.

4.5.Торговец имеет стабильный спрос на некоторый товар в количестве 500 единиц в год. Товар он покупает у поставщика по цене 6 долл. за штуку, причем издержки на оформление поставки и другие подготовительные операции составляют в каждом случае
10 долл. Если торговец покупает сразу партию в количестве 150 единиц товара или более, цена сбавляется до 5 долл. за штуку. Каков оптимальный размер партии, если годовые затраты на хранение единицы товара равны 1 долл.?

4.6. Система управления запасами некоторого вида товара подчиняется условиям основной модели. Каждый год с постоянной интенсивностью поступает спрос на 20 тыс. единиц товара, издержки на организацию поставки составляют 10 долл. за одну партию, цена единицы товара — 3 долл., а издержки на ее хранение — 1 долл. в год. Найдите оптимальный размер партии. Каковы будут а) продолжительность цикла и б) число поставок за год, если стратегия управления запасами в предыдущей задаче является оптимальной?

4.7.Система управления запасами описывается моделью производственных поставок и имеет следующие значения параметров. Спрос равен 1,5 тыс. единиц в год, цена 3 долл., издержки хранения единицы товара в течение года — 2 долл., организационные издержки —10 долл. В течение года может быть произведено 4,5 тыс. единиц товара при полной загрузке производственной линии. Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный размер партии, продолжительность поставки, продолжительность цикла и средний уровень запасов.

4.8.Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет треть скорости производства, которая равна 21 тыс. единиц товара в год. Организационные издержки для одной партии равны 150 долл., а издержки хранения единицы товара в течение года —0,3 долл. Определите оптимальный размер партии.

4.9.Фирме требуется 2000 штук единиц товара в год, расходуемых с постоянной интенсивностью. Организационные издержки составляют 30 долл. за партию, издержки на хранение одной единицы товара оценены в 1 долл. Цена единицы товара составляет 2 долл., а при закупке партиями объемом не менее 750 штук — 1,9 долл. за штуку. Найдите оптимальный размер партии поставок.

4.10.Торговец имеет стабильный спрос на некоторый товар в количестве 1500 единиц в год. Товар он покупает у поставщика по цене 5 долл. за штуку, причем издержки на оформление поставки и другие подготовительные операции составляют в каждом случае
10 долл. Если торговец покупает сразу партию в количестве 150 единиц товара или более, цена сбавляется до 4 долл. за штуку. Каков оптимальный размер партии, если годовые затраты на хранение единицы товара равны 1 долл.?

4.11.Система управления запасами некоторого вида товара подчиняется условиям основной модели. Каждый год с постоянной интенсивностью поступает спрос на 25 тыс. единиц товара, издержки на организацию поставки составляют 5 долл. за одну партию, цена единицы товара — 3 долл., а издержки на ее хранение — 1 долл. в год. Найдите оптимальный размер партии. Каковы будут а) продолжительность цикла и б) число поставок за год, если стратегия управления запасами в предыдущей задаче является оптимальной?

4.12.Система управления запасами описывается моделью производственных поставок и имеет следующие значения параметров. Спрос равен 3,5 тыс. единиц в год, цена 2 долл., издержки хранения единицы товара в течение года — 1 долл., организационные издержки —5 долл. В течение года может быть произведено 4 тыс. единиц товара при полной загрузке производственной линии. Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный размер партии, продолжительность поставки, продолжительность цикла и средний уровень запасов.

4.13.Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет одну пятую скорости производства, которая равна 20 тыс. единиц товара в год. Организационные издержки для одной партии равны 150 долл., а издержки хранения единицы товара в течение года —0,3 долл. Определите оптимальный размер партии.

4.14.Фирме требуется 2500 штук ручек в год, расходуемых с постоянной интенсивностью. Организационные издержки составляют 30 долл. за партию, издержки на хранение одной ручки оценены в 1 долл. Цена дверной ручки составляет 2 долл., а при закупке партиями объемом не менее 750 штук — 1,9 долл. за штуку. Найдите оптимальный размер партии поставок.

4.15.Торговец имеет стабильный спрос на некоторый товар в количестве 2500 единиц в год. Товар он покупает у поставщика по цене 10 долл. за штуку, причем издержки на оформление поставки и другие подготовительные операции составляют в каждом случае
8 долл. Если торговец покупает сразу партию в количестве 550 единиц товара или более, цена сбавляется до 9 долл. за штуку. Каков оптимальный размер партии, если годовые затраты на хранение единицы товара равны 3 долл.?

4.16.Система управления запасами некоторого вида товара подчиняется условиям основной модели. Каждый год с постоянной интенсивностью поступает спрос на 10 тыс. единиц товара, издержки на организацию поставки составляют 7 долл. за одну партию, цена единицы товара — 2 долл., а издержки на ее хранение — 3 долл. в год. Найдите оптимальный размер партии. Каковы будут а) продолжительность цикла и б) число поставок за год, если стратегия управления запасами в предыдущей задаче является оптимальной?

4.17.Система управления запасами описывается моделью производственных поставок и имеет следующие значения параметров. Спрос равен 1,5 тыс. единиц в год, цена 2 долл., издержки хранения единицы товара в течение года — 0,2 долл., организационные издержки —10 долл. В течение года может быть произведено 4,5 тыс. единиц товара при полной загрузке производственной линии. Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный размер партии, продолжительность поставки, продолжительность цикла и средний уровень запасов.

4.18.Система управления запасами некоторого вида товара подчиняется условиям основной модели. Каждый год с постоянной интенсивностью поступает спрос на 45 тыс. единиц товара, издержки на организацию поставки составляют 10 долл. за одну партию, цена единицы товара — 3 долл., а издержки на ее хранение — 4 долл. в год. Найдите оптимальный размер партии. Каковы будут а) продолжительность цикла и б) число поставок за год, если стратегия управления запасами в предыдущей задаче является оптимальной?

4.19.Система управления запасами описывается моделью производственных поставок и имеет следующие значения параметров. Спрос равен 2,5 тыс. единиц в год, цена 2 долл., издержки хранения единицы товара в течение года — 2,2 долл., организационные издержки —10 долл. В течение года может быть произведено 6,5 тыс. единиц товара при полной загрузке производственной линии. Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный размер партии, продолжительность поставки, продолжительность цикла и средний уровень запасов.

4.20.Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет четверть скорости производства, которая равна 28 тыс. единиц товара в год. Организационные издержки для одной партии равны 250 долл., а издержки хранения единицы товара в течение года —3 долл. Определите оптимальный размер партии.

4.21.Мебельной фирме требуется 4000 штук дверных ручек в год, расходуемых с постоянной интенсивностью. Организационные издержки составляют 30 долл. за партию, издержки на хранение одной ручки оценены в 10 долл. Цена дверной ручки составляет 5 долл., а при закупке партиями объемом не менее 1000 штук — 4 долл. за штуку. Найдите оптимальный размер партии поставок.

4.22.Торговец имеет стабильный спрос на некоторый товар в количестве 3500 единиц в год. Товар он покупает у поставщика по цене 7 долл. за штуку, причем издержки на оформление поставки и другие подготовительные операции составляют в каждом случае
10 долл. Если торговец покупает сразу партию в количестве 650 единиц товара или более, цена сбавляется до 5 долл. за штуку. Каков оптимальный размер партии, если годовые затраты на хранение единицы товара равны 3 долл.?

4.23.Система управления запасами некоторого вида товара подчиняется условиям основной модели. Каждый год с постоянной интенсивностью поступает спрос на 35 тыс. единиц товара, издержки на организацию поставки составляют 10 долл. за одну партию, цена единицы товара — 4 долл., а издержки на ее хранение — 1,5 долл. в год. Найдите оптимальный размер партии. Каковы будут а) продолжительность цикла и б) число поставок за год, если стратегия управления запасами в предыдущей задаче является оптимальной?

4.24.Система управления запасами описывается моделью производственных поставок и имеет следующие значения параметров. Спрос равен 2,5 тыс. единиц в год, цена 2 долл., издержки хранения единицы товара в течение года — 2 долл., организационные издержки —12 долл. В течение года может быть произведено 3,5 тыс. единиц товара при полной загрузке производственной линии. Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный размер партии, продолжительность поставки, продолжительность цикла и средний уровень запасов.

4.25.Интенсивность спроса в модели производственных поставок составляет четверть скорости производства, которая равна 24 тыс. единиц товара в год. Организационные издержки для одной партии равны 150 долл., а издержки хранения единицы товара в течение года —0,3 долл. Определите оптимальный размер партии.

4.26.Мебельной фирме требуется 3000 штук дверных ручек в год, расходуемых с постоянной интенсивностью. Организационные издержки составляют 10 долл. за партию, издержки на хранение одной ручки оценены в 2 долл. Цена дверной ручки составляет 2 долл., а при закупке партиями объемом не менее 850 штук — 1,5 долл. за штуку. Найдите оптимальный размер партии поставок.

4.27.Торговец имеет стабильный спрос на некоторый товар в количестве 4500 единиц в год. Товар он покупает у поставщика по цене 6 долл. за штуку, причем издержки на оформление поставки и другие подготовительные операции составляют в каждом случае
10 долл. Если торговец покупает сразу партию в количестве 950 единиц товара или более, цена сбавляется до 5 долл. за штуку. Каков оптимальный размер партии, если годовые затраты на хранение единицы товара равны 3 долл.?

4.28.Система управления запасами некоторого вида товара подчиняется условиям основной модели. Каждый год с постоянной интенсивностью поступает спрос на 35 тыс. единиц товара, издержки на организацию поставки составляют 10 долл. за одну партию, цена единицы товара — 4 долл., а издержки на ее хранение — 1,5 долл. в год. Найдите оптимальный размер партии. Каковы будут а) продолжительность цикла и б) число поставок за год, если стратегия управления запасами в предыдущей задаче является оптимальной?

4.29.Система управления запасами описывается моделью производственных поставок и имеет следующие значения параметров. Спрос равен 2,5 тыс. единиц в год, цена 2 долл., издержки хранения единицы товара в течение года — 2 долл., организационные издержки —12 долл. В течение года может быть произведено 3,5 тыс. единиц товара при полной загрузке производственной линии. Нарисуйте график изменения запасов, вычислите оптимальный размер партии, продолжительность поставки, продолжительность цикла и средний уровень запасов.

4.30.Система управления запасами некоторого вида товара подчиняется условиям основной модели. Каждый год с постоянной интенсивностью поступает спрос на 30 тыс. единиц товара, издержки на организацию поставки составляют 6 долл. за одну партию, цена единицы товара — 4 долл., а издержки на ее хранение — 2,5 долл. в год. Найдите оптимальный размер партии. Каковы будут а) продолжительность цикла и б) число поставок за год, если стратегия управления запасами в предыдущей задаче является оптимальной?

Задание 5

5.1.Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем шесть городов, расстояния между которыми заданы при помощи таблицы:

	А	В	С	D	Е	F
А	—	10	9	30	27	20
В	10	—	15	18	17	20
С	9	15	—	25	21	16
D	30	18	25	—	8	17
Е	27	17	21	8	—	13
F	20	20	16	17	13	—

Найдите минимальную длину кабеля, позволяющего жителям любых двух городов связаться друг с другом по телефону.

Рис. 1

5.2.Найдите кратчайшие маршруты, ведущие из узла А во все другие узлы сети, представленной на рис. 1.

Рис. 2

5.3.Найдите максимальный поток в сети, представленной на рис. 2

(исходный узел — 1, конечный узел — 7).

5.4.Найдите критический путь для цикла работ А(3), В(6), С(12), D(9), E(11), F(3), G(5), Н(7) и I(3) (в скобках указана продолжительность соответствующего вида работы в днях) и минимальное время, необходимое для выполнения всего цикла, если последовательность операций подчинена следующим требованиям: работа D должна следовать за работой Е, Е— за А и В, F — за D и G, G —за Е, Н — за G, I — за С и F.

5.5.Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем шесть городов, расстояния между которыми заданы при помощи таблицы:

	А	В	С	D	Е
А	—	11	9	30	27
В	11	—	14	18	17
С	9	14	—	25	21
D	30	18	25	—	9
Е	27	17	21	9	—

Рис. 3

5.6.Найдите кратчайшие маршруты, ведущие из узла А во все другие узлы сети, представленной на рис. 3.

5.7.Найдите максимальный поток в сети, представленной на рис. 4

Рис. 4

(исходный узел — 1, конечный узел — 7).

5.8.Найдите критический путь для цикла работ А(5), B(9), С(11), D(9), E(10), F(3), G(5), Н(7) и I(3) (в скобках указана продолжительность соответствующего вида работы в днях) и минимальное время, необходимое для выполнения всего цикла, если последовательность операций подчинена следующим требованиям: работа D должна следовать за работой Е, Е— за А и В, F — за D и G, G —за Е, Н — за G, I — за С и F.

5.9.Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем шесть городов, расстояния между которыми заданы при помощи таблицы:

	А	В	С	D
А	—	12	9	32
В	12	—	15	18
С	9	15	—	25
D	32	18	25	—

Рис. 5

5.10.Найдите кратчайшие маршруты, ведущие из узла А во все другие узлы сети, представленной на рис. 5.

Рис. 6

5.11.Найдите максимальный поток в сети, представленной на рис. 6

(исходный узел — 1, конечный узел — 7).

5.12.Найдите критический путь для цикла работ А(12), В(16), С(2), D(9), E(12), F(3), G(5), Н(7) и 1(3) (в скобках указана продолжительность соответствующего вида работы в днях) и минимальное время, необходимое для выполнения всего цикла, если последовательность операций подчинена следующим требованиям: работа D должна следовать за работой Е, Е— за А и В, F — за D и G, G —за Е, Н — за G, I — за С и F.

5.13.Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем шесть городов, расстояния между которыми заданы при помощи таблицы:

	А	В	С	D	Е
А	—	11	9	30	28
В	11	—	14	18	16
С	9	14	—	22	21
D	30	18	22	—	9
Е	28	16	21	9	—

Рис. 7

5.14.Найдите кратчайшие маршруты, ведущие из узла А во все другие узлы сети, представленной на рис. 7.

Рис. 8

5.15.Найдите максимальный поток в сети, представленной на рис. 8

(исходный узел — 1, конечный узел — 7).

5.16.Найдите критический путь для цикла работ А(7), B(9), С(13), D(11), E(10), F(4), G(5), Н(7) и I(3) (в скобках указана продолжительность соответствующего вида работы в днях) и минимальное время, необходимое для выполнения всего цикла, если последовательность операций подчинена следующим требованиям: работа D должна следовать за работой Е, Е— за А и В, F — за D и G, G —за Е, Н — за G, I — за С и F.

5.17.Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем шесть городов, расстояния между которыми заданы при помощи таблицы:

	А	В	С	D	Е	F
А	—	8	9	30	31	20
В	8	—	14	18	17	20
С	9	14	—	25	28	16
D	30	18	25	—	8	17
Е	31	17	28	8	—	14
F	20	20	16	17	14	—

Рис. 9

5.18.Найдите кратчайшие маршруты, ведущие из узла А во все другие узлы сети, представленной на рис. 9.

Рис. 33

5.19. Найдите максимальный поток в сети, представленной на рис. 33

(исходный узел — 1, конечный узел — 7).

5.20.Найдите критический путь для цикла работ А(3), В(6), С(16), D(9), E(15), F(3), G(4), Н(7) и 1(3) (в скобках указана продолжительность соответствующего вида работы в днях) и минимальное время, необходимое для выполнения всего цикла, если последовательность операций подчинена следующим требованиям: работа D должна следовать за работой Е, Е— за А и В, F — за D и G, G —за Е, Н — за G, I — за С и F.

5.21.Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем шесть городов, расстояния между которыми заданы при помощи таблицы:

	А	В	С	D	Е
А	—	20	10	30	27
В	20	—	14	18	17
С	10	14	—	25	22
D	30	18	25	—	9
Е	27	17	22	9	—

Рис. 10

5.22.Найдите кратчайшие маршруты, ведущие из узла А во все другие узлы сети, представленной на рис. 10.

Рис. 11

5.23.Найдите максимальный поток в сети, представленной на рис. 11

(исходный узел — 1, конечный узел — 7).

5.24.Найдите критический путь для цикла работ А(7), B(9), С(8), D(4), E(10), F(3), G(5), Н(12) и I(3) (в скобках указана продолжительность соответствующего вида работы в днях) и минимальное время, необходимое для выполнения всего цикла, если последовательность операций подчинена следующим требованиям: работа D должна следовать за работой Е, Е— за А и В, F — за D и G, G —за Е, Н — за G, I — за С и F.

5.25.Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем шесть городов, расстояния между которыми заданы при помощи таблицы:

	А	В	С	D	Е
А	—	11	9	30	23
В	11	—	17	18	16
С	9	17	—	26	21
D	30	18	26	—	10
Е	23	16	21	10	—

Рис. 12

5.26.Найдите кратчайшие маршруты, ведущие из узла А во все другие узлы сети, представленной на рис. 12.

Рис. 13

5.27.Найдите максимальный поток в сети, представленной на рис. 13

(исходный узел — 1, конечный узел — 7).

5.28.Найдите критический путь для цикла работ А(6), 5(19), С(10), D(9), E(11), F(3), G(5), Н(7) и 1(3) (в скобках указана продолжительность соответствующего вида работы в днях) и минимальное время, необходимое для выполнения всего цикла, если последовательность операций подчинена следующим требованиям: работа D должна следовать за работой Е, Е— за А и В, F — за D и G, G —за Е, Н — за G, I — за С и F.

5.29.Телефонная компания планирует соединить подземным кабелем шесть городов, расстояния между которыми заданы при помощи таблицы:

	А	В	С	D	Е	F
А	—	11	9	30	27	12
В	11	—	14	18	17	14
С	9	14	—	25	21	13
D	30	18	25	—	9	10
Е	27	17	21	9	—	11
F	12	14	13	10	11	-

Рис. 14

5.30.Найдите кратчайшие маршруты, ведущие из узла А во все другие узлы сети, представленной на рис. 14.

Задание 6

1. Восемь Потребителей подали Центру заявки в размере 10, 18, 16, 14. 10. 12, 8, 14. Имеющийся в распоряжении Центра ресурс составляет 70. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом прямых приоритетов?

2.Распределение ресурса производится в соответствии с механизмом обратных приоритетов. Приоритеты четырех Потребителей
определяются числами 25, 14, 24, 28. Какими являются равновесные
стратегии (заявки) Потребителей, если имеющийся в распоряжении
Центра ресурс составляет 50?

3.Распределение ресурса осуществляется в соответствии с конкурсным механизмом. Пять Потребителей сообщили Центру свои
заявки: 6, 8. 6, 10, 8 и показатели эффекта: 12. 21, 18, 23. 23 соответственно. Как должен быть распределен между Потребителями
ресурс объемом 25?

4.Восемь Потребителей подали Центру заявки 13, 10, 16, 19, 9,
12, 14, 11. Центр располагает ресурсом объемом 100. Как должен
быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом открытого управления?

5.Восьми экспертам было предложено сообщить оценку объема
финансирования из промежутка [0.80]. Эксперты сообщили следующие оценки: 45, 10, 35, 80, 65. 35. 60. 55. Определите итоговое решение
при помощи механизма открытого управления.

6.Восемь Потребителей подали Центру заявки в размере 12, 17, 16, 16, 10. 13, 8, 14. Имеющийся в распоряжении Центра ресурс составляет 70. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом прямых приоритетов?

7.Распределение ресурса производится в соответствии с механизмом обратных приоритетов. Приоритеты четырех Потребителей
определяются числами 30, 18, 14, 27. Какими являются равновесные
стратегии (заявки) Потребителей, если имеющийся в распоряжении
Центра ресурс составляет 60?

8.Распределение ресурса осуществляется в соответствии с конкурсным механизмом. Пять Потребителей сообщили Центру свои
заявки: 7, 12, 7, 9, 8 и показатели эффекта: 16, 21, 18, 22, 23 соответственно. Как должен быть распределен между Потребителями
ресурс объемом 25?

9.Восемь Потребителей подали Центру заявки 23, 20, 26, 29, 19,
22, 24, 21. Центр располагает ресурсом объемом 200. Как должен
быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом открытого управления?

10.Восьми экспертам было предложено сообщить оценку объема
финансирования из промежутка [20;90]. Эксперты сообщили следующие оценки: 45, 60, 35, 80, 65, 38, 62, 90. Определите итоговое решение
при помощи механизма открытого управления.

11.Восемь Потребителей подали Центру заявки в размере 19, 18, 15, 24. 10. 23, 17, 14. Имеющийся в распоряжении Центра ресурс составляет 90. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом прямых приоритетов?

12.Распределение ресурса производится в соответствии с механизмом обратных приоритетов. Приоритеты четырех Потребителей
определяются числами 36, 38, 34, 30. Какими являются равновесные
стратегии (заявки) Потребителей, если имеющийся в распоряжении
Центра ресурс составляет 50?

13.Распределение ресурса осуществляется в соответствии с конкурсным механизмом. Пять Потребителей сообщили Центру свои
заявки: 15, 18, 16, 19, 18 и показатели эффекта: 22, 31, 38, 33, 43 соответственно. Как должен быть распределен между Потребителями
ресурс объемом 30?

14.Восемь Потребителей подали Центру заявки 8, 9, 12, 14, 11,
12, 8, 10. Центр располагает ресурсом объемом 80. Как должен
быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом открытого управления?

15.Восьми экспертам было предложено сообщить оценку объема
финансирования из промежутка [60;180]. Эксперты сообщили следующие оценки: 75, 80, 115, 180, 165, 135, 160, 155. Определите итоговое решение
при помощи механизма открытого управления.

16.Восемь Потребителей подали Центру заявки в размере 12, 18, 16, 14. 12, 15, 17, 14. Имеющийся в распоряжении Центра ресурс составляет 80. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом прямых приоритетов?

17. Распределение ресурса производится в соответствии с механизмом обратных приоритетов. Приоритеты четырех Потребителей
определяются числами 46, 48, 44, 40. Какими являются равновесные
стратегии (заявки) Потребителей, если имеющийся в распоряжении
Центра ресурс составляет 60?

18. Распределение ресурса осуществляется в соответствии с конкурсным механизмом. Пять Потребителей сообщили Центру свои
заявки: 25, 28, 26, 29, 28 и показатели эффекта: 52, 51, 58, 53, 53 соответственно. Как должен быть распределен между Потребителями
ресурс объемом 75?

19. Восемь Потребителей подали Центру заявки 33, 30, 36, 39, 15,
32, 34, 31. Центр располагает ресурсом объемом 150. Как должен
быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом открытого управления?

20. Восьми экспертам было предложено сообщить оценку объема
финансирования из промежутка [80; 150]. Эксперты сообщили следующие оценки: 145, 90, 105, 85, 100, 135, 125, 150. Определите итоговое решение
при помощи механизма открытого управления.

21. Восемь Потребителей подали Центру заявки в размере 4, 14, 11, 10, 6, 9, 7, 14. Имеющийся в распоряжении Центра ресурс составляет 50. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом прямых приоритетов?

22. Распределение ресурса производится в соответствии с механизмом обратных приоритетов. Приоритеты четырех Потребителей
определяются числами 16, 18, 14, 20. Какими являются равновесные
стратегии (заявки) Потребителей, если имеющийся в распоряжении
Центра ресурс составляет 50?

23.Распределение ресурса осуществляется в соответствии с конкурсным механизмом. Пять Потребителей сообщили Центру свои
заявки: 11, 18, 12, 18, 20 и показатели эффекта: 12, 21, 18, 23, 23 соответственно. Как должен быть распределен между Потребителями
ресурс объемом 35?

24. Восемь Потребителей подали Центру заявки 28, 30, 16, 19, 29,
12, 14, 21. Центр располагает ресурсом объемом 130. Как должен
быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом открытого управления?

25. Восьми экспертам было предложено сообщить оценку объема
финансирования из промежутка [40;80]. Эксперты сообщили следующие оценки: 45, 40, 55, 80, 65, 55, 60, 55. Определите итоговое решение
при помощи механизма открытого управления.

26. Семь Потребителей подали Центру заявки в размере 14, 11, 10, 6, 9, 7, 14. Имеющийся в распоряжении Центра ресурс составляет 50. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом прямых приоритетов?

27. Распределение ресурса производится в соответствии с механизмом обратных приоритетов. Приоритеты четырех Потребителей
определяются числами 13, 15, 11, 17. Какими являются равновесные
стратегии (заявки) Потребителей, если имеющийся в распоряжении
Центра ресурс составляет 50?

28. Распределение ресурса осуществляется в соответствии с конкурсным механизмом. Пять Потребителей сообщили Центру свои
заявки: 10, 16, 11, 17, 21 и показатели эффекта: 12, 21, 18, 23, 23 соответственно. Как должен быть распределен между Потребителями
ресурс объемом 35?

29. Девять Потребителей подали Центру заявки 20, 28, 30, 16, 19, 29,
12, 14, 21. Центр располагает ресурсом объемом 140. Как должен
быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом открытого управления?

30. Восьми экспертам было предложено сообщить оценку объема
финансирования из промежутка [50;120]. Эксперты сообщили следующие оценки: 55, 50, 115, 80, 105, 95, 60, 75. Определите итоговое решение
при помощи механизма открытого управления.

Задание 7.

Сфера производства некоторой экономической системы состоит из двух отраслей. Найти оптимальный режим работы этих отраслей, обеспечивающих структуру прибавочного продукта, заданного столбцом с, при условии, что матрица материальных затрат А и строка рабочей силы 1 имеют следующий вид:

7.1

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 24, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 120;

7.2

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 8, мощность второй отрасли не превосходит 12, а общее число рабочих L равно 90;

7.3

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 20, мощность второй отрасли не превосходит 11, а общее число рабочих L равно 72;

7.4

и известно, что мощность первой отрасли не превосходит 12, мощность второй отрасли не превосходит 8, а общее число рабочих L равно 96.

7.5

7.6

7.7

7.8

7.9

7.10

7.11

7.12

7.13

7.14

7.15

7.16

7.17

7.18

7.19

7.20

7.21

7.22

7.23

7.24

7.25

7.26

7.27

7.28

7.29

7.30

Примеры решения задач самостоятельной работы

Пример 1. Пусть, например, нужно соединить города А, В, С и D. Стоимость строительства дорог, соединяющих любые два города, известна и в условных единицах представлена в таблице:

	А	В	С	D
А	-	11	13	12
В	11	-	6	9
С	13	6	-	10
D	12	9	10	-

Сеть дорог минимальной стоимости состоит из 3 (4-1 = 3) звеньев и строится так: сначала выбирается самый дешевый участок дороги - ВС (его цена равна 6), затем он удлиняется на самый дешевый из оставшихся - BD (его цена равна 9). И на последнем, третьем шаге вновь выбирается самый дешевый (но так, чтобы не образовалось никакого цикла) - АВ (его цена равна 11) (рис. 1). Таким образом, стоимость строительства равна 26 (6 1- 9 + 11).

Рис. 1

Основная модель

Введем функцию изменения запаса. Это связь между количеством единиц товара на складе (обозначим его через Q) и временем t. Будем считать, что имеется один вид товара.

Если на товар имеется спрос, то функция изменения запаса Q = Q(t) убывает. Если товар, наоборот, завозят на склад, то эта

функция возрастает. Мы будем считать возможным мгновенное пополнение запаса.

Затраты, связанные с запасами, можно разделить на три части.

A. Стоимость товара.

Б. Организационные издержки. Это расходы, связанные с оформлением товара, его доставкой, разгрузкой и т. д.

B. Издержки на хранение товара. Это затраты на аренду склада, амортизацию в процессе хранения и т. д.

Рассмотрим основные величины и предположения относительно них, принятые в рамках основной модели. Мы будем в основном использовать в качестве единицы измерения денежных средств условные единицы (УЕ), это могут быть рубли, доллары и т. п.; в качестве единицы измерения времени - год, хотя можно было бы взять месяц, квартал и т. п.

Цена единицы товара - с УЕ. Цена постоянна, рассматривается один вид товара.
Интенсивность спроса - d единиц товара в год. Будем считать, что спрос постоянный и непрерывный.
Организационные издержки - s УЕ за одну партию товара. Будем считать, что организационные издержки не зависят от размера поставки, т. е. от количества единиц товара в одной партии.
Издержки на хранение запаса - h УЕ на единицу товара в год. Будем считать эти издержки постоянными.

5. Размер одной партии товара постоянен - q единиц. Партия поступает мгновенно в тот момент, когда возникает дефицит, т. е. когда запас на складе становится равным нулю.

При сделанных предположениях график функции изменения запаса будет таким, как показано на рис. 1: он состоит из повторяющихся циклов пополнения запаса между двумя соседними дефицитами. Вертикальные отрезки отвечают мгновенному пополнению запаса.

Параметры с, d, s, h считаются заданными. Задача управления запасами состоит в выборе параметра q таким образом, чтобы минимизировать годовые затраты.

Для решения сформулированной задачи надо прежде всего выразить эти затраты через параметры с, d, s, h, q.

А. Поскольку годовая интенсивность спроса равна d, а цена единицы товара - с, то общая стоимость товара в год равна

сd.

Б. Поскольку в одной партии q единиц товара, а годовой спрос равен d, то число поставок равно d/q. В течение года организационные издержки равны ,

В. Средний уровень запаса равен отношению площади под графиком за цикл к продолжительности цикла. Этот средний уровень равен q/2 (на рис. 1 обозначен пунктиром). Поскольку годовые издержки на хранение единицы товара равны h, то общие издержки на хранение составляют

Рис.1

Рис.2

Таким образом, общие издержки С вычисляются по формуле

Еще раз напомним, что в рамках модели параметры с, d, s, h считаются заданными и требуется найти такое число q*, чтобы функция С = C(q) принимала наименьшее значение на множестве q > 0 именно в точке q*.

График функции С = C(q) показан на рис. 2.

Для нахождения точки q* минимума функции С = C(q) найдем ее производную (с, d, s, h - фиксированные числа):

Приравнивая к нулю, получаем

Отсюда можно найти q*. Имеем:

Полученная формула называется формулой оптимального запаса или формулой Харриса (Harris).

Пример. Пусть интенсивность равномерного спроса составляет 1000 единиц товара в год. Организационные издержки равны 10 УЕ, издержки на хранение – 4 УЕ на единицу товара в год, цена товара – 5 УЕ.

Определить оптимальный размер партии в предложении, что система подчиняется основной модели.

Решение: Имеем:

Общие затраты равны:

Тогда

а оптимальный размер поставки q* является решением уравнения

т.е.

Замечание. Найдя оптимальный размер заказа, можно определить оптимальное число поставок за год и соответствующую продолжительность цикла изменения запаса :

Пример 2. Интенсивность равномерного спроса составляет 1 тыс. единиц товара в год. Товар поставляется с конвейера, производительность которого составляет 5 тыс. единиц в год. Организационные издержки равны 10 УЕ, издержки на хранение - 2 УЕ, цена единицы товара - 5 УЕ.

Чему равен оптимальный размер партии?

Решение. Имеем:

В итоге получаем

Замечание. Найдя оптимальный размер заказа, можно определить оптимальное число поставок за год и соответствующие продолжительность поставки и продолжительность цикла пополнения запаса :

Пример 3. Сфера производства некоторой экономической системы состоит из двух отраслей. Найти оптимальный режим работы этих отраслей, обеспечивающих структуру прибавочного продукта, заданного столбцом с, при условии, что даны матрица материальных затрат А и строка рабочей силы l. Известно так же, что мощность первой отрасли не превосходит 4, мощность второй отрасли не превосходит 3, а общее число рабочих в системе L=40.

Матрица

По условию задачи:

Убедимся сначала, что матрица А продуктивна.

Для ответа на вопрос, является ли матрица

продуктивной, найдем ее собственные значения.

Имеем:

откуда

Корни этого уравнения легко вычисляются по формуле

И окончательно

Тем самым,

Матрица А продуктивна.

Продолжим решение задачи. Начнем с решения системы

или подробнее:

Это можно записать в равносильной форме:

откуда

или

Полученный столбец должен подчиняться условиям

которые в данном случае принимают вид:

Отсюда имеем:

или .

Рис. 1

Наибольшее значение , удовлетворяющее всем трем условиям, равно (рис.1).

Ответ: , столбец выпуска

конечный продукт

Пример 4. Пусть пять Потребителей подали заявки в размере 5, 8, 12, 7, 8. Имеющийся в распоряжении Центра ресурс составляет 32. Как должен быть распределен этот ресурс в соответствии с механизмом прямых приоритетов?

Решение. Имеем:

s1 = 5, s2 = 8, s3 = 12, s4 = 7, s5 = 8; R = 32.

Поскольку

налицо дефицит. Определяем коэффициент :

На это число и умножаются заявки. В итоге получаем

Ответ: x1 = 4; x2 = 6,4; x3 = 9,6; x4 = 5,6; x5 = 6,4.

Пример 5.

Пусть имеется пять Потребителей, приоритеты которых определяются числами 8, 6, 12, 15, 11. Ресурс Центра составляет 60. Определить равновесные стратегии (заявки) Потребителей, если ресурс распределяется в соответствии с механизмом обратных приоритетов.

Решение. Имеем:

А1 = 8, А2 = 6, А3 = 12, А4 = 15, А5 = 11; R = 60.

Вычислим константу :

Определять необязательно, поскольку в формулы для можно подставить сразу :

Ответ: s1* = 10,7; s2* =9,2; s3* = 13,1; s4* = 14,6; s5* = 12,5.

Имеется шесть Потребителей, подавших заявки в размере 14,18,10,15, 8,14 и сообщивших Центру соответственно следующие показатели эффекта: 36, 38, 25, 42, 28, 29. Каким должно быть распределение ресурса объемом 60 в соответствии с конкурсным механизмом?

Решение. По условию имеем

s1 = 14, s2 = 18, s3 = 10, s4 = 15, s5 = 8, s6 = 14;

w1 = 36, w2 = 38, w3 = 25, w4 = 42, w5 = 28, w6 = 29.

Вычислим показатели эффективности для каждого Потребителя:

Расположим эти числа в порядке убывания:

Распределение ресурса начинаем с 5-го Потребителя:

Ресурса осталось 60 – 8 = 52. Дальше в порядке убывания показателей эффективности следует 4-й Потребитель:

Ресурса осталось 52 – 15 = 37. Далее:

Ресурса осталось 37 – 14 = 23. Далее:

Ресурса осталось 37 – 14 = 13.

Следующему, 2-му Потребителю требуется 18 единиц ресурса, а у Центра осталось лишь 15. Поэтому 2-ой, а также 6-й Потребители ничего не получают:

Ответ: х1 = 14, х2 = 0, х3 = 10, х4 = 15, х5 = 8, х6 = 0.

Восемь Потребителей подали Центру свои заявки. Они таковы: 12, 3, б, 1, 5, 7, 10, 2. Центр обладает ресурсом R = 40. Требуется распределить этот ресурс в соответствии с вышеописанным механизмом.

Решение. В данном случае на первом этапе получается следующее (R/n = 5):

s1 = 14,	S2 = 14,	S3 = 14,	S4 = 14,	S5 = 14,	S6 = 14,	S7 = 14,	S8 = 14,	R = 40.
5	5	5	5	5	5	5	5

Видно, что можно удовлетворить заявки второго, четвертого, пятого и восьмого Потребителей:

х2 = 3

х4 = 1

х5 = 5

х8 = 2

При этом R1 = 40 – 3 – 1 – 5 – 2 = 29, n1 = 4.

На втором этапе имеем :

s1 = 12,	s3 = 6,	s6 = 7,	s7 = 10,	R = 29.

Можно удовлетворить заявки третьего и шестого Потребителей:

х3 = 6

х6 = 7

При этом

s1 = 12,	s7 = 10,	R = 16.
8	8

Обе оставшиеся заявки превышают 8, поэтому и седьмой Потребители получают по 8 единиц ресурса:

х1 = 8

х7 =8.

Ответ: х1 = 8, х2 = 3, х3 = 6, х4 = 1, х5 = 5, х6 = 7, х7 = 8 х8 = 2.

Пусть 6 экспертов сообщили следующие оценки из промежутка [30, 90]: 65, 90, 45, 80, 75, 90. Определим итоговое решение в соответствии с механизмом открытого управления.

Решение. Выпишем числа :

v1 = 90,		v4 = 90 – 30 = 60,
v2 = 90 – 10 = 80,		v4 = 90 – 40 = 50,
v3 = 90 – 20 = 70,		v4 = 90 – 50 = 40.

Дальнейшее удобно изобразить в виде таблицы, в первой строке которой записаны упорядоченные по неубыванию оценки экспертов:

si:	45	65	75	80	90	90
vi:	90	80	70	60	50	40
:	45	65	70	60	50	40

В качестве итогового решения берется максимальное число в последней строке:

Пример 6.

Задана сеть, каждое ребро которой имеет вполне определенную ограниченную пропускную способность. Требуется определить максимально возможный поток в этой сети из заданного узла в другой узел.

Чтобы пояснить основную идею метода решения этой задачи, предположим, что исходный и конечный пункты, пункт А и пункт В, находятся на разных берегах разделяющей их реки (рис. 21). Множество мостов через реку образуют так называемое разделяющее сечение (если все мосты по каким-либо причинам выйдут из строя,

попасть из пункта А в пункт В будет просто невозможно). Ясно, что пропускная способность разделяющего сечения складывается из пропускных способностей всех мостов.

Подобных сечений, разделяющих пункты А и В, может быть несколько (рис. 22), и каждое из них обладает своей пропускной способностью. Из того, что поток из пункта А в пункт В должен проходить через каждое разделяющее сечение, вытекает, что максимально возможный поток не может превосходить пропускной способности ни одного из этих сечений.

Таким образом, отыскание макси-потока (максимально возможного потока) сводится к отысканию мини-сечения (разделяющего сечения с наименьшей пропускной способностью).

Рассмотрим сеть, заданную на рис. 23. Требуется найти максимально возможный поток из узла 1 в узел 7.

Вычислим пропускную способность ключевых сечений. Имеем: пропускная способность сечения {(1,2), (1,3)} равна 4, пропускная способность сечения {(2,4), (3,5)} равна 4, пропускная способность сечения {(1,3), (2,3), (6,7)} равна 5, пропускная способность сечения {(5,7), (6,7)} равна 2.

Сравнивая пропускные способности сечений, получаем, что максимальный поток от вершины 1 к вершине 7 равен 2.

Пример 7. Дана сеть, каждое ребро которой помечено числом, равным его длине. Требуется найти кратчайший маршрут, ведущий от выделенного узла к каждому из узлов сети.

Алгоритм решения этой задачи состоит из двух частей.

Покажем, как он работает, на следующем примере.

Рассмотрим сеть, заданную на рис. 24, с выделенным узлом 1.

Рис. 24

Прямой ход алгоритма

1-й шаг. Все узлы, которые соединены с выделенным узлом 1 одним ребром, метятся так, как это показано на рис. 25 — первое число в метке равно расстоянию от помеченного узла до узла 1.

Ребро, связывающее узлы 1 и 3, является кратчайшим маршрутом от узла 1 к узлу 3 (любой другой маршрут от узла 1 к узлу 3 длиннее), и поэтому узлу 3 приписывается постоянная метка (15,1).

Таким образом, по окончании 1-го шага узлы 1 и 3 имеют постоянные метки, узлы 2 и 4 — временные метки, а узлы 5, б и 7 никаких меток не имеют (рис. 26).

Замечание. При получении постоянной метки узел 3 выделяется так же, как и узел 1.

2-й шаг. Отбираются все узлы, которые соединены с узлом 3 одним ребром и не имеют постоянных меток. Это узлы 2, 4 и 6


Рис. 25	Рис. 26

Сравнивая длины маршрутов 1-2 и 1-3-2, замечаем, что длина первого (20) меньше длины второго (15 + 10 = 25). Поэтому метка (20,1) узла 2 остается неизменной.

Сравнивая длины маршрутов 1-4 и 1-3-4, замечаем, что длина первого (25) больше длины второго (15 + 8 = 23). Поэтому временная метка (25,1) узла 4 меняется на метку (23,3).

Узел 6 получает метку (45,3).

Замечание. Первое число в метке указывает длину маршрута от узла 1, а второе — номер предшествующего узла.

Ребро, связывающее узлы 1 и 2, является кратчайшим маршрутом от узла 1 к узлу 2 (любой другой маршрут от узла 1 к узлу 2 длиннее), и поэтому узлу 2 приписывается постоянная метка (20,1).

Таким образом, по окончании 2-го шага узлы 1, 2 и 3 имеют постоянные метки, узлы 4 и 6 — временные метки, а узлы 5 и 7 никаких меток не имеют (рис. 27).

3-й шаг. Отбираются все узлы, которые соединены с узлом 2 одним ребром и не имеют постоянных меток. Это узлы 5 и 7.

Узел 5 получает метку (40,2).

Узел 7 получает метку (60,2).

Маршрут 1-3-4, связывающий узлы 1 и 4, является кратчайшим маршрутом от узла 1 к узлу 4 (любой другой маршрут от узла 1 к узлу 4 длиннее); поэтому узлу 4 приписывается постоянная метка (23,3).

Таким образом, по окончании 3-го шага узлы 1, 2, 3 и 4 имеют постоянные метки, а узлы 5, б и 7 — временные метки (рис. 28).


Рис. 27	Рис. 28

4-й шаг. Отбираются все узлы, которые соединены с узлом 4 одним ребром и не имеют постоянных меток. Это узел 6.

Сравнивая длины маршрутов 1-3-6 и 1-3-4-6, замечаем, что длины первого (45) и третьего (45) больше длины второго (43). Поэтому временная метка (45,3) узла 6 меняется на метку (43,4).

Маршрут 1-2-5, связывающий узлы 1 и 5, является кратчайшим маршрутом от узла 1 к узлу 5 (любой другой маршрут от узла 1 к узлу 5 длиннее), и поэтому узлу 5 приписывается постоянная метка (40,2).

Таким образом, по окончании 4-го шага узлы 1, 2, 3, 4 и 5 имеют постоянные метки, а узлы 6 и 7 — временные метки (рис. 29).


Рис. 29	Рис. 30

Следующие два шага позволяют дать постоянные метки узлам 6 и 7 — (43,4) и (49,5) соответственно (рис. 30).

Замечание. На каждом шаге временная метка одного из узлов меняется на постоянную по следующему правилу: рассматриваются все узлы с временными метками и выбирается тот из них, длина маршрута до которого от узла 1 является наименьшей.

Обратный ход алгоритма

Используя вторую компоненту метки, определяем последовательность вершин в каждом кратчайшем маршруте. Например: метка (49,5) узла 7 указывает на предшествующий узел 5, метка (40,2) узла 5 указывает на предшествующий узел 2, метка (20,1) узла 2 указывает на предшествующий узел 1.

В результате обратная последовательность узлов кратчайшего маршрута от узла 1 к узлу 7 имеет вид

Ответ:

Узел	Маршрут	Длина
2	1-2	20
3	1-3	15
4	1-3-4	23
5	1-2-5	40
6	1-3-4-6	43
7	1-2-5-7	49

Контрольно оценочные материалы

Промежуточная аттестация проводится в форме экзамена, в ходе которого осуществляется комплексная проверка компетенций студентов. Теоретические знания оцениваются путем ответов на экзаменационные вопросы. Практические навыки и умения проверяются посредством решения практических задач.

Оценивание студентов на экзамене осуществляется в соответствие с требованиями и критериями 100-балльной шкалы. Учитываются как результаты текущего контроля, так и знания, навыки и умения, непосредственно показанные студентами в ходе экзамена.

Задачи контрольной работы №1

Задача 1.

Решить графическим методом типовую задачу оптимизации.

Инвестор, располагающий суммой в 300 тыс. ден. ед., может вложить свой капитал в акции автомобильного концерна А и строительного предприятия В. Чтобы уменьшить риск, акций А должно быть приобретено по крайней мере в два раза больше, чем акций В, причем последних можно купить не более чем на 100 тыс. ден. ед.

Дивиденды по акциям А составляют 8% в год, по акциям В – 10%. Какую максимальную прибыль можно получить в первый год?

Построить экономико-математическую модель задачи, дать необходимые комментарии к ее элементам и получить решение графическим методом. Что произойдет, если решать задачу на минимум и почему?

Задача 2.

Использовать аппарат теории двойственности для экономико-математического анализа оптимального плана задачи линейного программирования1.

Для изготовления четырех видов продукции используют три вида сырья. Запасы сырья, нормы его расхода и цены реализации единицы каждого вида продукции приведены в таблице.

Тип сырья

Нормы расхода сырья на одно изделие

Запасы

сырья

III

Цена изделия

Требуется:

Сформулировать прямую оптимизационную задачу на максимум выручки от реализации готовой продукции, получить оптимальный план выпуска продукции.
Сформулировать двойственную задачу и найти ее оптимальный план с помощью теорем двойственности.
Пояснить нулевые значения переменных в оптимальном плане.
На основе свойств двойственных оценок и теорем двойственности:

проанализировать использование ресурсов в оптимальном плане исходной задачи;
определить, как изменятся выручка и план выпуска продукции при увеличении запасов сырья I и II вида на 4 и 3 единицы соответственно и уменьшении на 3 единицы сырья III вида;
оценить целесообразность включения в план изделий "Д" ценой 10 ед., на изготовление которого расходуется по две единицы каждого вида сырья.

Задача 3.

Используя балансовый метод планирования и модель Леонтьева построить баланс производства и распределения продукции предприятий.

Промышленная группа предприятий (холдинг) выпускает продукцию трех видов, при этом каждое из трех предприятий группы специализируется на выпуске продукции одного вида: первое предприятие специализируется на выпуске продукции первого вида, второе предприятие - продукции второго вида; третье предприятие - продукции третьего вида. Часть выпускаемой продукции потребляется предприятиями холдинга (идет на внутреннее потребление), остальная часть поставляется за его пределы (внешним потребителям, является конечным продуктом). Специалистами управляющей компании получены экономические оценки аij (i=1,2,3; j=1,2,3) элементов технологической матрицы А (норм расхода, коэффициентов прямых материальных затрат) и элементов yi вектора конечной продукции Y.

Требуется:

1) Проверить продуктивность технологической матрицы A=(аij) (матрицы коэффициентов прямых материальных затрат).

2) Построить баланс (заполнить таблицу) производства и распределения продукции предприятий холдинга.

Ниже в таблице 1 выберите числовые значения для таблицы 2.

Таблица 1

Вариант	Для первой строки	Для второй строки	Для третьей строки
№	1А	2А	3А	4А	1Б	2Б	3Б	4Б	1В	2В	3В	4В
1	0,1	0,2	0,1	200	0,2	0,1	0,0	150	0,0	0,2	0,1	250

Таблица 2

Предприятия

(виды продукции)

Коэффициенты прямых затрат аi j

Конечный продукт Y

1А

1Б

1В

2А

2Б

2В

3А

3Б

3В

4А

4Б

4В

Задача 4.

Предложить оптимальное управленческое решение в следующих типовых хозяйственных ситуациях.

Задача о раскрое

Организация изготавливает из бруса деревянные оконные блоки. Ставится задача поиска рационального варианта раскроя бруса длиной 700 мм на элементы длиной мм, мм, мм (отходами на разгрузку, распил и т.п. можно пренебречь). Производственная программа по элементам 1-го вида 1200 шт., 2-го вида - 8000 шт., 3-го вида - 750 шт.

Задача о смеси

Металлургическому заводу требуется уголь с содержанием фосфора не более 0,03% и с долей зольных примесей не более 3,25%. Завод закупает три сорта угля А, В, С с известным содержанием примесей. В какой пропорции нужно смешивать исходные продукты А, В, С, чтобы смесь удовлетворяла ограничениям на содержание примесей и имела минимальную цену? Содержание примесей и цена исходных продуктов приведены в таблице

Сорт угля

Содержание (%)

Цена 1 т (руб.)

фосфора

золы

0.06

0.04

0.02

2.0

4.0

3.0

Задача о рационе

Бройлерное хозяйство птицеводческой фермы насчитывает 20000 цыплят, которые выращиваются до 8-недельного возраста и после соответствующей обработки поступают в продажу. Недельный расход корма в среднем (за 8 недель) составляет 500 г = 0,5 кг.

Для того, чтобы цыплята достигли к 8-й неделе необходимого веса, кормовой рацион должен удовлетворять определенным требованиям по питательности. Этим требованиям могут соответствовать смеси различных видов кормов, или ингредиентов.

В таблице приведены данные, характеризующие содержание (по весу) питательных веществ к каждом из ингредиентов и удельную стоимость каждого ингредиента

Ингредиент

Содержание питательных веществ (кг/ингредиент)

Стоимость (руб./кг)

Кальций

Белок

Клетчатка

Известняк

Зерно

Соевые бобы

0.38

0.001

0.002

–

0.09

0.50

–

0.02

0.08

0.4

0.15

0.40

Смесь должна содержать (от общего веса смеси):

не менее 0, 8% кальция;

не менее 22% белка;

не более 5% клетчатки.

Требуется определить количество (в кг) каждого из трёх ингредиентов, образующих смесь минимальной стоимости, при соблюдении требований к общему расходу кормовой смеси и её питательности.

Выбор оптимальных проектов для финансирования

Управляющему банка были представлены 4 проекта, претендующие на получение кредита в банке. Ресурс банка в каждый период, потребности проектов и прибыль по ним приведены в таблице (тыс. долл.).

Проект	Потребность проектов в объёмах кредитов	Прибыль
	Период 1	Период 2	Период 3	Период 4
А	8	8	10	10	21
Б	7	9	9	11	18
В	5	7	9	11	16
Г	9	8	7	6	17,5
Ресурс банка	22	25	38	30

При выборе проектов следует принять во внимание потребность проектов в объёмах кредитов и ресурс банка для соответствующих периодов.

Какие проекты следует финансировать, если цель состоит в том, чтобы максимизировать прибыль?

Распределение рекламного бюджета

Фирма рекламирует свою продукцию с использованием четырех средств: телевидения, радио, газет и афиш. Из различных рекламных экспериментов, которые проводились в прошлом, известно, что эти средства приводят к увеличению прибыли соответственно на 10, 3, 7 и 4 у.е. в расчете на 1 у.е., затраченную на рекламу.

Распределение рекламного бюджета по различным средствам подчинено следующим ограничениям:

а) полный бюджет не должен превосходить 500 000 у.е.;

б) следует расходовать не более 40 % бюджета на телевидение и не более 20 % бюджета на афиши;

в) вследствие привлекательности для подростков радио на него следует расходовать по крайней мере половину того, что планируется на телевидение.

Сформулируйте задачу распределения средств по различным источникам как задачу линейного программирования и решите ее.

Задача об оптимальном использовании ограниченных ресурсов

Небольшая фирма производит два вида продукции: столы и стулья. Для изготовления одного стула требуется 3 м древесины, а для изготовления одного стола – 7 м. На изготовление одного стула уходит 2 часа рабочего времени, а на изготовление стола – 8 часов. Каждый стул приносит 1 ден. ед. прибыли, а каждый стол - 3 ден. ед. Сколько стульев и сколько столов должна изготовить эта фирма для получения максимальной прибыли, если она рас-полагает 20 м древесины и 400 часами рабочего времени?

Задача 5.

Провести моделирование и решить специальную задачу линейного программирования.

Транспортная задача

Компания, занимающаяся ремонтом автомобильных дорог, в следующем месяце будет проводить ремонтные работы на пяти участках автодорог. Песок на участки ремонтных работ может доставляться из трех карьеров, месячные объемы предложений по карьерам известны. Из планов производства ремонтных работ известны месячные объемы потребностей по участкам работ. Имеются экономические оценки транспортных затрат (в у.е.) на перевозку 1тонны песка с карьеров на ремонтные участки.

Числовые данные для решения содержатся ниже в матрице планирования

Требуется:

1) Предложить план перевозок песка на участки ремонта автодорог, который обеспечивает минимальные совокупные транспортные издержки.

2) Что произойдет с оптимальным планом, если изменятся условия перевозок: а) появится запрет на перевозки от первого карьера до второго участка работ?; б) по этой коммуникации будет ограничен объем перевозок 3 тоннами?

Матрица планирования:

Участки работ

Карьеры

В1

В2

В3

В4

В5

Предложение

А1

А2

А3

Потребности

Задача о назначениях

В распоряжении некоторой компании имеется 6 торговых точек и 6 продавцов. Из прошлого опыта известно, что эффективность работы продавцов в различных торговых точках неодинакова. Коммерческий директор компании произвел оценку деятельности каждого продавца в каждой торговой точке. Результаты этой оценки представлены в таблице

Продавец	Объемы продаж по торговым точкам, USD/тыс.шт.
	I	II	III	IV	V	VI
A	68	72	75	-	75	69
B	56	60	58	63	61	59
C	35	38	40	45	25	27
D	40	42	47	45	53	36
E	62	70	68	67	69	70
F	65	63	69	70	72	68

(назначение первого продавца на четвертую торговую точку недопустимо по медицинским показаниям, т.е. в матрице объемов продаж проставлен запрет – «-»).

Как коммерческий директор должен осуществить назначение продавцов по торговым точкам, чтобы достичь максимального объема продаж?

Задание 6.

Необходимо решить транспортную задачу: минимизировать расходы на доставку продукции заказчикам со складов фирмы, учитывая следующие затраты на доставку одной единицы продукции, объём заказа и количество продукции, хранящейся на каждом складе. Тарифы на перевозку единицы продукции, объёмы запасов продукции на складах, а также объёмы заказанной продукции представлены в таблице №1.

Склад	Магазины заказчики	Запасы на складе (ед. прод)
	“Анна”	“Вада”	“Ева”	“Алла”	“Мех”
“Таганка”	1	3	4	5	2	20
“ВВЦ”	2	1	1	4	5	15
“Щёлково”	1	3	3	2	1	40
“Коньково”	3	1	4	2	3	15
Объём заказа (ед. прод)	15	10	25	5	9

Примерные задания для компьютерного тестирования по темам 1-5

Какие из приведенных решений являются опорными для следующей системы уравнений:

Из четырех видов сырья необходимо составить смесь, в состав которой должно входить не менее 26 ед. химического вещества А, 30 ед. - вещества В и 24 ед. - вещества С. Количество единиц химического вещества, содержащегося в 1 кг сырья каждого вида, указано в таблице. В ней же приведена цена 1 кг сырья каждого вида.

Вещество	Количество единиц вещества, содержащегося в 1 кг сырья вида
	1	2	3	4
А	1	1	-	4
В	2	-	3	5
С	1	2	4	6
Цена 1 кг сырья	5	6	7	4

Составить смесь, содержащую не менее нужного количества веществ данного вида и имеющую минимальную стоимость. Какая из математических моделей соответствует данной задаче, указать смысл входящих переменных, единицы измерения.

а) б)

в) г)

3. В какой точке множества допустимых решений достигается минимум целевой функции ,

X2 а) в точке А

C б) в точке В

в) в точке С

B D г) в точке Е

д) в точке Д

Определить, какая из задач линейного программирования записана в канонической форме?

а) б)

в)

Найти опорный план транспортной задачи, заданной следующей таблицей и вычислить соответствующие транспортные издержки.

Постав-щики	Потребители	Запасы
	В1	В2	В3	В4	В5
А1			2		3	4	2	4	140

А2			8		4	1	4	1	180

А3			9		7	3	7	2	160

Потреб-ности	60	70	120	130	100

а) z(для опорного плана) = 1390

б) z(для опорного плана) =1380

в) z(для опорного плана) =1360

г) z(для опорного плана) =1340

В соответствии с первой геометрической интерпретацией множество допустимых планов задачи линейного программирования всегда представляется в виде:

замкнутого множества
многогранного выпуклого множества
выпуклого многогранника

Графический метод решения ЗЛП всегда может быть применен к задачам следующего типа:

К задачам, у которых число переменных совпадает с числом ограничений
К каноническим задачам линейного программирования
К задачам, у которых число переменных равно 2
К каноническим задачам линейного программирования, у которых число переменных на 2 превосходит числа ограничений
К задачам, у которых число переменных меньше числа ограничений

Выберите верные утверждения

Если ЗЛП имеет единственное решение, то оно может находиться в граничной точке множества допустимых планов задачи
Граничные точки множества не могут являться оптимальным решением ЗЛП
Оптимальное решение ЗЛП в некоторых случаях может находиться внутри области допустимых планов задачи
Среди предложенных вариантов нет верных

При построении двойственной задачи к ЗЛП условия неотрицательности:

Будут наложены на все двойственные переменные
Не будут наложены ни на одну из двойственных переменных
Для того, чтобы ответить на вопрос необходимо анализировать конкретное условие задачи

Задача, частично решенная графическим способом:

Имеет единственное решение
Имеет бесконечное множество решений
Не имеет оптимальных решений
Не имеет допустимых решений
Точно ответить на вопрос нельзя – не хватает информации

Перечень вопросов к экзамену

Обсуждение основ математического моделирования в экономических исследованиях. Методы математического программирования.
Основные понятия линейного программирования. Этапы построения моделей
Модель оптимального планирования производства.
Модель о смешении. Задача о диете.
Модель оптимального раскроя.
Модель оптимального планирования финансов.
Методика построения задач линейного программирования.
Геометрическая интерпретация решение задачи линейного программирования в случае двух переменных.
Методика решения задач линейного программирования в случае двух переменных графическим методом
Графический анализ чувствительности оптимальности решения.
Графический анализ чувствительности ограничений задачи линейного программирования.
Графический анализ чувствительности целевой функции задачи линейного программирования.
Ключевые идеи симплекс-метода. Канонический вид задачи линейного программирования. Определение базисных решений.
Алгоритм симплекс-метода. Условие допустимости решения. Условие оптимальности решения. Метод Гаусса-Жордана вычисления нового базисного решения.
Искусственное начальное решение. М-метод.
Особые случаи применения симплекс-метода: вырожденность и альтернативные оптимальные решения.
Особые случаи применения симплекс-метода: неограниченные решения и отсутствие допустимых решений.
Предпосылки к рассмотрению двойственной задачи. Двойственность задач в линейном программировании.
Первая теорема двойственности.
Вторая теорема двойственности.
Нахождение исходного допустимого базисного решения методом северо-западного угла и методом минимального элемента.
Метод потенциалов решения транспортной задачи. Понятие цикла.
Связь коэффициентов целевой функции через свободные переменные с потенциалами.
Признак оптимальности решения транспортной задачи методом потенциалов и аналогия признака оптимальности в симплекс-таблице.
Понятие цикла. Метод потенциалов решения транспортной задачи.
Целочисленные переменные в задачах экономического планирования. Общая задача целочисленного программирования, общая задача целочисленного ЛП, задача частично-целочисленного программирования.
Геометрическая интерпретация задачи целочисленного программирования.
Алгоритм Гомори.
Метод ветвей и границ.
Задача о назначениях.
Нелинейное и динамическое программирование.
Общая постановка задач конечномерной оптимизации. Выпуклые множества и их свойства. Экономическая и геометрическая интерпретации.
Теорема Вейерштрасса и следствие из неё.
Метод множителей Лагранжа в гладких экстремальных задачах с ограничениями типа равенств и неравенств.
Задачи выпуклого программирования.
Теорема Куна-Таккера.
Понятие Марковского случайного процесса.
Принцип оптимальности Беллмана. Рекуррентные соотношения Беллмана.
Модели сетевого планирования.
Схемы численных методов оптимизации: градиентный метод с постоянным шагом, метод скорейшего спуска.
Схемы численных методов оптимизации: метод Ньютона, метод проекции градиента.
Многокритериальная оптимизация. Постановка и методы решения задач многокритериальной оптимизации.
Примеры многокритериальных задач в экономике.
Задачи систем массового обслуживания. Экономико-математическая постановка задач массового обслуживания.
Задачи анализа замкнутых и разомкнутых систем массового обслуживания.
Модели систем массового обслуживания в коммерческой деятельности.
СМО с отказами. СМО с ожиданием (очередью).

Рейтинг-план дисциплины «Методы оптимальных решений»

Технологическая карта изучения дисциплины "Методы оптимальных решений"

III семестр

Всего 144 ч., в том числе 18 ч. – лекции; 30 ч. – практических занятий; 4 ч. – КСР; 65 ч. – самостоятельная работа. Промежуточная аттестация 27 ч. – экзамен.

Максимальное количество баллов по дисциплине – 100:

30 б. – посещаемость и активное участие на практических занятиях;
40 б. – выполнение контрольных работ;
30 б. – самостоятельная работа;

Система оценивания:

Посещаемость и активное участие на практических занятиях

посещение занятия оценивается в 0,5 б.
участие – 0,5 б.
активное участие – до 3 б.

Выполнение контрольных работ

контрольный срез (темы 1-3) – 15 б.
компьютерное тестирование (темы 1-5) – 25 б.

Самостоятельная работа

самостоятельная работа №12 (конспект по темам №1 -5 указанных в пункте "Задания по самостоятельной работе") – 10 б.

(срок сдачи – до 15 октября текущего года)

самостоятельная работа №2 (задания №1-7 указанных в пункте "Задания по самостоятельной работе"– 20 б.

(срок сдачи – до 20 ноября текущего года)

При подведении итогов семестра преподаватель имеет право исключить из общей суммы баллов по дисциплине 2 балла за каждое пропущенное по неуважительной причине лекционное занятие.

Условия аттестации по дисциплине:

Итоговая форма контроля знаний – экзамен.

Предусмотрена возможность аттестации студента по итогам текущей успеваемости за семестр (без его участия в процедуре экзамена). В этом случае экзаменационная оценка определяется следующим образом:

от 60 до 75 баллов – «удовлетворительно»;

от 76 до 89 баллов – «хорошо»;

от 90 до 100 баллов – «отлично».

Если студент не согласен с оценкой, выставляемой по итогам текущего контроля, он сдаёт экзамен на общих основаниях. Критерии оценки определяются Положением о текущем контроле и промежуточной аттестации студентов НФ БашГУ.

Студент, набравший по дисциплине менее 25 баллов за семестр, является неуспевающим по дисциплине. В этом случае он не допускается к экзамену, в экзаменационную ведомость выставляется оценка «неудовлетворительно». Пересдача осуществляется в соответствии с графиком ликвидации задолженностей по результатам экзаменационной сессии.

График проведения консультаций по самостоятельной работе:

вторая среда каждого месяца 17-00-19-00;
- пятница 12-00-16-00
- последняя суббота каждого месяца 11-00-13-00

1 Нахождение оптимального плана задачи должно быть получено с помощью симплекс-метода.

2 Опубликованная статья по дисциплине "Методы оптимальных решений" в течении года освобождает от самостоятельной работы №1

PAGE

PAGE \* MERGEFORMAT 87

1. Театр и театрализованные игры
2. Лабораторная работа 5б ОПРЕДЕЛЕНИЕ ОТНОШЕНИЯ ТЕПЛОЕМКОСТЕЙ CP - CV ДЛЯ ВОЗДУХА МЕТОДОМ ЗВУКО
3. Особенности трудового договора с работниками, занятыми на работах с вредными и опасными условиями труда
4. Рост народонаселения, научно-технический прогресс и природа в современную эпоху
5. историческая школа права отрицала вероятность существования единого для всех народов права при этом опира
6. У каждого века своя сексуальная культура
7. Уральский государственный университет путей сообщения в г.
8. 2 Виды правонарушенийСовершаемые в нашей стране правонарушения крайне неоднородны
9. Амід сульфанілової кислоти використовується як антибактеріальний засіб
10. ВКоновалова ПРИКЛАДНАЯ ЭТИКА Отрывок из гл
11. Тема 9 Методы оценки экологического менеджмента на промышленном предприятии Создание нормативной базы
12. В конторе шла борьба титанов- начальник учреждения товарищ Фанатюк боролся со своим заместителем товарище.html
13. 20г. УТВЕРЖДАЮ- Председатель молодежного совета при Совете городского о
14. 1936 гг Центральные органы управления народным хозяйством в 19171936гг
15. ЕКОНОМІЧНА ДІАГНОСТИКА для студентів спеціальності 7
16. готівка гроші поза банками М1 М0 А нестрокові рахунки депозити М2 М1 строкові невеликі рахунки М3 М2
17. тема интеллектуальных социальнокультурных и моральноволевых качеств человека выраженных в индивидуальны
18. Мастерство реалистического изображения жизни в одном из произведений русской литературы XX века
19. 4 Основные определения статистики государственного бюджета
20. Newsru-news-ELEMENTID12792 с блоком начальных классов на 300 мест а также детский сад на 240 мест

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе

	А	В	С	D	Е	F
А	—	10	9	30	27	20
В	10	—	15	18	17	20
С	9	15	—	25	21	16
D	30	18	25	—	8	17
Е	27	17	21	8	—	13
F	20	20	16	17	13	—

	А	В	С	D	Е
А	—	11	9	30	27
В	11	—	14	18	17
С	9	14	—	25	21
D	30	18	25	—	9
Е	27	17	21	9	—

	А	В	С	D	Е
А	—	11	9	30	28
В	11	—	14	18	16
С	9	14	—	22	21
D	30	18	22	—	9
Е	28	16	21	9	—

	А	В	С	D	Е	F
А	—	8	9	30	31	20
В	8	—	14	18	17	20
С	9	14	—	25	28	16
D	30	18	25	—	8	17
Е	31	17	28	8	—	14
F	20	20	16	17	14	—

	А	В	С	D	Е
А	—	20	10	30	27
В	20	—	14	18	17
С	10	14	—	25	22
D	30	18	25	—	9
Е	27	17	22	9	—

	А	В	С	D	Е
А	—	11	9	30	23
В	11	—	17	18	16
С	9	17	—	26	21
D	30	18	26	—	10
Е	23	16	21	10	—

	А	В	С	D	Е	F
А	—	11	9	30	27	12
В	11	—	14	18	17	14
С	9	14	—	25	21	13
D	30	18	25	—	9	10
Е	27	17	21	9	—	11
F	12	14	13	10	11	-

	А	В	С	D	Е	F
А	—	10	9	30	27	20
В	10	—	15	18	17	20
С	9	15	—	25	21	16
D	30	18	25	—	8	17
Е	27	17	21	8	—	13
F	20	20	16	17	13	—

	А	В	С	D	Е
А	—	11	9	30	27
В	11	—	14	18	17
С	9	14	—	25	21
D	30	18	25	—	9
Е	27	17	21	9	—

	А	В	С	D	Е
А	—	11	9	30	28
В	11	—	14	18	16
С	9	14	—	22	21
D	30	18	22	—	9
Е	28	16	21	9	—

	А	В	С	D	Е	F
А	—	8	9	30	31	20
В	8	—	14	18	17	20
С	9	14	—	25	28	16
D	30	18	25	—	8	17
Е	31	17	28	8	—	14
F	20	20	16	17	14	—

	А	В	С	D	Е
А	—	20	10	30	27
В	20	—	14	18	17
С	10	14	—	25	22
D	30	18	25	—	9
Е	27	17	22	9	—

	А	В	С	D	Е
А	—	11	9	30	23
В	11	—	17	18	16
С	9	17	—	26	21
D	30	18	26	—	10
Е	23	16	21	10	—

	А	В	С	D	Е	F
А	—	11	9	30	27	12
В	11	—	14	18	17	14
С	9	14	—	25	21	13
D	30	18	25	—	9	10
Е	27	17	21	9	—	11
F	12	14	13	10	11	-

	А	В	С	D	Е	F
А	—	10	9	30	27	20
В	10	—	15	18	17	20
С	9	15	—	25	21	16
D	30	18	25	—	8	17
Е	27	17	21	8	—	13
F	20	20	16	17	13	—

	А	В	С	D	Е
А	—	11	9	30	27
В	11	—	14	18	17
С	9	14	—	25	21
D	30	18	25	—	9
Е	27	17	21	9	—

	А	В	С	D	Е
А	—	11	9	30	28
В	11	—	14	18	16
С	9	14	—	22	21
D	30	18	22	—	9
Е	28	16	21	9	—

	А	В	С	D	Е	F
А	—	8	9	30	31	20
В	8	—	14	18	17	20
С	9	14	—	25	28	16
D	30	18	25	—	8	17
Е	31	17	28	8	—	14
F	20	20	16	17	14	—

	А	В	С	D	Е
А	—	20	10	30	27
В	20	—	14	18	17
С	10	14	—	25	22
D	30	18	25	—	9
Е	27	17	22	9	—

	А	В	С	D	Е
А	—	11	9	30	23
В	11	—	17	18	16
С	9	17	—	26	21
D	30	18	26	—	10
Е	23	16	21	10	—

	А	В	С	D	Е	F
А	—	11	9	30	27	12
В	11	—	14	18	17	14
С	9	14	—	25	21	13
D	30	18	25	—	9	10
Е	27	17	21	9	—	11
F	12	14	13	10	11	-