Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
§1. Производная функции
Понятие производной появилось в ХVII веке при решении задач об определении мгновенной скорости неравномерного движения и некоторых других задач. Основной предпосылкой для создания дифференциального исчисления явилось введение в математику переменной величины. Дифференциальное исчисление было развито немецким математиком и философом Готфридом Вильгельмом Лейбницем и английским математиком и механиком Исааком Ньютоном. С помощью дифференциального исчисления был решен целый ряд задач теоретической механики, физики, астрономии. Обоснование основных понятий дифференциального исчисления было сделано О.Коши на основе понятия предела.
Раздел математического анализа, который занимается вопросами нахождения производной, называется дифференциальным исчислением (от латинского «differentia»- разность).
Определение 1. Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента , когда 0.
Производную функции в точке х обозначают («эф штрих от икс»),
(«игрек штрих по х»), («дэ игрек по дэ икс»), причем все эти обозначения равноправны.
Из определения производной вытекает следующая схема ее нахождения, которую рассмотрим на конкретном примере.
Пример 1. Найти производную функции в ее произвольной точке.
Шаг 1: находим новое (наращенное) значение функции , для этого в функцию вместо подставляем новое значение аргумента и выполняем все указанные действия:
Шаг 2: находим приращение функции , для этого из нового значения функции вычитаем первоначальное значение функции :
=(=
Шаг 3: находим отношение приращения функции к приращению аргумента:
Шаг 4: находим предел этого отношения при , т.е. искомую производную:
Ответ:
Пример 2. Найти , если
Шаг 1:
Шаг 2: ==
Шаг 3:
Шаг 4:
Найдем значение производной при :
Ответ:
Пример 3. Найти , если
Шаг 1: .
Шаг 2: = =.
Шаг 3:
Шаг 4: .
Найдем значение производной при :
Ответ:
Определение 2. Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.
Определение3. Функция, имеющая производную в точке называется дифференцируемой в этой точке.
§2. Основные правила дифференцирования. Производная степенной функции
Обозначения: С – постоянная, х – переменная (аргумент),
U=U(x), V=V(x), W=W(x)- функции от х, имеющие производные.
Основные правила дифференцирования
1) Производная постоянной величины равна нулю.
Например, .
2) Производная переменной равна единице.
3) Производная алгебраической суммы конечного числа функций равна
алгебраической сумме производных каждой из них.
4) Производная произведения двух функций равна сумме произведений
производной первой функции на вторую и производной второй функции
на первую.
4а) Производная произведения постоянной на функцию.
Постоянный множитель можно выносить за знак
производной
4б) Например, , , ,
, , .
5) Производная частного (дроби)
Производная степенной функции
6) Например,, ,
,
,
Пример 4. Найти производные функций:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6)
Решение: 1) Используя правило (4а) вынесем постоянный множитель за знак производной, а затем применим формулу (6) ,
где m- любое действительное число;
3.
Аналогичным образом, используя правило (4а) и формулу (6), получим:
2) ;
3) ;
4) ;
5) .
6)
Пример 5. Найти производные следующих функций:
1) ; 2) .
Решение: 1) Применив последовательно правило (3)
и формулы ,, имеем
.
2)
Применив последовательно правило (3)
и формулы , , , имеем
.
При навыке дифференцирования промежуточные действия выполняются в уме и поэтому в подобных примерах сразу же записывается окончательный результат дифференцирования.
Пример 6. Найти производные следующих функций:
1) ; 2) ; 3) ; вычислить и .
Решение: 1)
Используя последовательно формулы (4),(3),(6),(1),(4б), находим
= =.
2)
Используя последовательно формулы (5),(3),(6),(1), находим
3) ; вычислить и .
По свойству степени имеем . Используем формулы (4а), (6).
Тогда
Для вычисления и нужно в выражение производной вместо х подставить значения -1 и 2.
, .
§ 3. Производная сложной функции. Таблица формул дифференцирования. Дифференцирование основных элементарных функций
Если функция у зависит от х через промежуточный аргумент u, то функция
у называется сложной функцией от х (функцией от функции).
Пусть и - дифференцируемые функции.
Тогда сложная функция есть также дифференцируемая функция,
причем или
Аналогичная формула верна и для сложных функций, которые задаются с помощью цепочки, содержащей три звена и более.
Это правило распространяется на цепочку из любого числа дифференцируемых функций: производная сложной функции равна произведению производных функций, ее составляющих.
|
Таблица формул дифференцирования |
|||
|
1) ; 2) ; 3); 4) ; 4а) ; 4б) ; 5) . |
|||
|
- функция |
x - аргумент |
||
|
6) |
, |
6a) |
, |
|
7) |
7a) |
||
|
8) |
8a) |
||
|
9) |
9a) |
||
|
10) |
10a) |
||
|
11) |
11a) |
||
|
12) |
12a) |
||
|
13) |
13a) |
||
|
14) |
14a) |
||
|
15) |
15a) |
||
|
16) |
16a) |
||
|
17) |
17a) |
||
|
18) |
18a) |
||
|
19) |
19a) |
||
|
20) |
20a) |
Пример 7. Найти производные следующих функций:
1) ; 2) ;
1) ;
Используя последовательно формулы (4), (3), (6a), (1), (12a), находим
2)
Используя последовательно формулы (3), (8a), (4), (2), (10a), получим
=
Пример 8. Найти производные следующих функций:
1) ; 2) ; 3)
1)
Решение. Применив последовательно формулы (4а), (5), (3), (2), (1), (18a), получим
2)
Решение. Используя свойства степеней и корней , запишем данную функцию следующим образом:
Применив формулы (3), (4а), (6a), получим
.
3)
Решение. Используя свойства степеней и корней , запишем данную функцию следующим образом:
Применив формулы (3), (4а), (6a), (1) получим
.
Найти производные сложных функций (9-15).
Пример 9.
Решение. Положим , тогда . По формуле (6) найдем
Пример 10.
Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом .
Положим , где , тогда по формуле (13) найдем
.
Пример 11.
Решение. Это сложная функция с промежуточным аргументом .
Положим , где , тогда по формулам (6), (14а) найдем
.
Пример 12.
Решение. Положим , где - промежуточный
аргумент, тогда по формуле (10) найдем
.
Пример 13.
Решение. Положим , где , а .
Тогда по формулам (6) и (15) найдем
.
Пример 14.
Решение. Положим , где - промежуточный аргумент.
Тогда по формуле (8) найдем
.
Пример 15.
Решение. Сначала преобразуем функцию, используя свойства логарифмов:
.
Дифференцируя по формулам (3), (10) получим
§ 4. Геометрический смысл производной
Производная функции представляет собой угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции в любой его точке (рис.1).
Угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции
в точке М0(х0;у0) равен значению производной функции при :
Пример 17. Составить уравнение касательной, проведенной к кривой
в точке с абсциссой .
Решение: Уравнение касательной .
М(2; 1);
. Итак, .
.
Ответ: Уравнение касательной .
§ 6. Физический смысл производной. Вторая производная и ее физический смысл
Быстрота протекания физических, химических и других процессов также выражается с помощью производной.
Определение 2. Производная функции равна скорости изменения этой функции при данном значении аргумента х: .
Определение 3. Производной второго порядка (или второй производной)
функции называется производная от первой производной: или .
Пример 1. Найти вторую производную функции .
Решение: Сначала по формуле найдем первую производную:
.
Дифференцируя еще раз по формулам ,
найдем вторую производную:
.
Ответ: .
Пример 2. Точка движется прямолинейно по закону . Найти значения скорости и ускорения в момент времени с.
Решение: 1) Найдем скорость движения точки в любой момент времени
(как производную пути по времени): .
2) Вычислим скорость движения точки в момент времени с:
.
3) Найдем ускорение движения точки (как вторую производную пути
по времени): .
4) Вычислим ускорение движения точки в момент времени с:
Ответ: ,
Пример 3. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана уравнением . В какой момент времени ускорение движения ?
Решение: 1) Найдем скорость движения точки в любой момент времени
.
2) Найдем ускорение движения точки:
3) Из условия найдем момент времени : .
Ответ: В момент времени с. ускорение движения .
Пример 21.
Температура тела T изменяется в зависимости от времени t по закону .
С какой скоростью нагревается это тело в момент времени t=5?
Решение. При нагревании тела его температура T изменяется в зависимости от
времени t, т.е. T есть функция времени: . Скорость нагревания тела
есть производная температуры по времени.
.
Ответ: В момент времени t=5с. тело нагревается со скоростью
§7. Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции
Определение 1. Функция называется непрерывной в точке , если предел функции при равен значению функции при , т.е.
.
Определение 2. Функция называется непрерывной в точке , если она в этой точке определена и бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е.
Пример 22. Исследовать на непрерывность функцию .
Решение: область определения функции – все действительные числа, т.е. При решении задачи используем определение 5. Определим , для этого выполним первые два шага при вычислении производной.
Шаг 1: .
Шаг 2: =.
А теперь найдем предел при .
Равенство справедливо при любом конечном значении , поэтому функция непрерывна при любом значении .
Ответ: функция непрерывна при любом значении .
Пример 23. Исследовать на непрерывность функцию при .
Решение: для исследовании используем определение 4.
; , т.е. . Предел функции при равен значению функции при . Следовательно, функция в точке непрерывна.
Ответ: функция в точке непрерывна.
Если условие непрерывности функции в точке нарушено, то такую точку называют точкой разрыва функции.
Различают два основных вида разрывов:
Пример 24. Найти точки разрыва функции и исследовать их характер.
Решение: данная функция определена при всех значениях х, кроме . Для исследования характера разрыва найдем левый и правый пределы функции при :
, . Следовательно, функция в точке имеет бесконечный разрыв, т.е. - разрыв II рода и прямая служит вертикальной асимптотой графика функции (рис 2).
Понятия дифференцируемости и непрерывности функции связаны между собой.
Теорема 1. Если функция дифференцируема в точке х, то она в этой точке непрерывна. Обратное неверно!
Для доказательства того, что обратное неверно рассмотрим функцию (рис.3). В точке эта функция непрерывна, ибо предел слева и справа совпадают:
, .
Однако мы сейчас увидим, что производная
в точке не существует.
Действительно, ,
в то время как
Пределы слева и справа различны; это значит, что не существует. Следовательно, производная функции в точке не существует.
Итак, из непрерывности функции не следует ее дифференцируемость.
§ 8. Асимптоты кривой
Определение. Асимптотой кривой называется прямая, к которой неограниченно приближается точка кривой при неограниченном удалении ее от начала координат.
Различают наклонные, горизонтальные и вертикальные асимптоты.
(1), (2).
По формулам (1), (2) вычисляются угловой коэффициент k и начальная
ордината b асимптоты при .
II. Уравнение горизонтальной асимптоты имеет вид
( если параметр =0).
или .
Для определения вертикальных асимптот надо отыскать те значения х,
вблизи которых функция неограниченно возрастает по модулю.
При этом точка есть точка разрыва II рода.
Пример 25. Найти асимптоты кривой .
Решение.1) Проведем исследование функции на наклонную асимптоту :
Находим .
.
Итак, прямая является наклонной асимптотой данной функции.
2) Так как , то горизонтальной асимптоты нет.
3) Исследуем функцию на вертикальную асимптоту
при :
Так как , , то прямая является вертикальной асимптотой.
Таким образом, данная функция имеет наклонную асимптоту и вертикальную асимптоту (рис.4).
§ 9. Условия постоянства, возрастания и убывания функции
Дифференцируемая функция
1) постоянна на промежутке тогда и только тогда, когда внутри промежутка ;
2) монотонно возрастает на промежутке тогда и только тогда, когда ее производная положительна внутри этого промежутка:;
3) монотонно убывает на промежутке тогда и только тогда, когда ее производная отрицательна внутри этого промежутка: .
Внутренние точки области определения, в которых первая производная функции не существует или равна нулю, называются критическими точками I рода.
Правило нахождения интервалов монотонности:
1. Найти производную заданной функции и критические точки функции, решив уравнение .
2. Определить интервалы монотонности функции.
3. Исследовать знак производной на каждом из найденных интервалов.
Причем, если на каком-либо интервале , то на этом интервале функция возрастает; если , то функция на данном интервале убывает.
Пример 26. Найти интервалы монотонности функции
Решение: 1) Найдем производную x2 – x – 12.
Найдем корни уравнения x2 – x – 12 = 0.
, .
Итак, x1 = -3, x2 = 4 – критические точки функции.
2) разобьем числовую ось на интервалы: ( - ∞; -3) ; ( -3 ; 4) ; ( 4 ; + ∞ )
3) определим знак производной f ′(x) в каждом из интервалов:
( - 4)2 – (- 4) –12= 8 > 0 , 02 – 0 – 12 = - 12< 0 , = 52 –5 – 12 =8 > 0.
|
x |
( - ∞ ; -3 ) |
-3 |
( -3 ; 4 ) |
4 |
( 4 ; + ∞ ) |
|
+ |
0 |
|
0 |
+ |
|
|
возрастает |
убывает |
возрастает |
§ 10. Максимум и минимум функции.
Точка х0 называется точкой максимума функции f(x), если при всех х, достаточно близких к х0 выполняется неравенство: f(x0) > f(x).
Точка х0 называется точкой минимума функции f(x), если при всех х, достаточно близких к х0 выполняется неравенство: f(x0) < f(x).
рис. 5
Теорема:
Если при переходе через критическую точку х0 (в которой непрерывна) производная:
а) меняет знак с « + » на « - », то х0 – точка максимума,
б) меняет знак с « - » на « + », то х0 – точка минимума,
в) не меняет знака, то х0 не является точкой экстремума.
План решения задач на нахождение экстремумов состоит в следующем:
1-ый этап – поиск критических точек, т.е. точек, «подозрительных» на экстремум. С этой целью находим точки, где (стационарные) и точки, где не существует.
2-ой этап – анализ каждой критической точки, где выясняется, меняется знак производной при переходе через эту точку (и тогда экстремум есть) или не меняется (и тогда экстремума нет).
Параллельно с этим находятся интервалы возрастания и убывания.
3-ий этап - вычисляем ординаты (экстремумы функции):
Пример 27. Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции .
Решение:
Решаем уравнение и .
Получаем три точки. Выписывая их в порядке возрастания, имеем:
, ,
|
(−∞; − 1) |
− 1 |
(− 1; 0) |
0 |
( 0; 1) |
1 |
(1;+ ∞) |
|
|
+ |
0 |
− |
0 |
− |
0 |
+ |
|
|
2 |
0 |
-2 |
|||||
|
характер критических точек |
max |
нет экстремума |
min |
Определим знак производной в каждом из интервалов. Например, вычислив значение производной в одной точке (произвольной) каждого интервала:
,
, .
Расставляем знаки производной в таблице. Если производная , то функция возрастает (мы показываем это стрелочкой, направленной вверх). Если производная, то функция убывает (стрелочку направляем вниз).
Теперь становится ясным, что - точка максимума, - точка минимума, а в точке экстремума нет (как убывала функция до этой точки, так и убывает после нее).
3) Максимальное значение функции находим, вычислив его в точке,
.
Аналогично .
Итак, max (-1; 2) , min (1; -2).
Примечание: для построения графика функции недостаточно провести исследование функции только на монотонность и экстремум, поэтому покажем примерный график функции (рис.6).
рис.6
Пример 28: Найти интервалы монотонности и точки экстремума функции .
Решение: 1) .
Из условия находим первую критическую точку:
;
(знаменатель дроби не равен нулю) другая критическая точка .
Это точка, в которой не существует (заметим, что сама функция в этой точка определена и непрерывна).
2) Переходим ко второму этапу. Разберите самостоятельно содержимое таблицы.
|
(−∞; − 1) |
− 1 |
(− 1; 0 ) |
0 |
( 0 ; + ∞) |
|
|
+ |
0 |
− |
не существует |
+ |
|
|
1 |
0 |
||||
|
характер критических точек |
max |
min |
График данной функции показан на рис.7
§ 10. Задачи на максимум и минимум функции.
Теория максимума и минимума функции имеет большое применение, как и в самой математике, так и в технических дисциплинах. Решим несколько задач.
Задача 1. Разбить число 20 на два слагаемых, произведение которых имело бы наибольшее значение.
Решение: Будем искать эти слагаемые. Обозначим одно из них буквой , тогда другое слагаемое выразится в виде . Произведение этих слагаемых есть переменная величина, меняющаяся с изменением слагаемого . Обозначая произведение буквой , запишем: . Мы получили функцию, выражающую зависимость произведения от величины слагаемого . В задаче требуется найти такое , при котором принимает наибольшее значение, т. е. задача свелась к нахождению максимума функции. Поступим по правилу исследования функции на максимум и минимум с помощью второй производной.
1)
2) , откуда
3) < 0
Следовательно, при х =10 функция имеет максимум.
4)
Ответ: число 20 нужно разбить на два равных слагаемых (10 и 10), тогда их произведение будет наибольшим
Задача 2. Закон прямолинейного движения тела задан уравнением . Найти максимальную скорость движения тела (S — путь в метрах, t— время в секундах).
Решение: Скорость движения тела есть первая производная от пути по времени: .
Исследуем эту функцию на максимум и минимум с помощью второй производной:
1)
2) cек.
3). Вторая производная отрицательна, следовательно, скорость является наибольшей при t=3.
4) Найдем значение скорости в момент :
Ответ: максимальная скорость движения равна 2 м/с.
Вопросы и упражнения:
производная?
а) ; б) ; в) ; г) .
12. Исследуйте на непрерывность функции:
а) в точке х=2; б) в точке х=1.
Найдите производные функций (8-11).
13. а); б) ; в); г).
14. а); б) ;
в) ; г) .
15. а); б) ;
в) г) .
16. а) ; б) ; в) ; г) .
17. Вычислите значения производной функции в данных точках:
а), , ; б) , , .
18. Решить уравнение , если .
Используя таблицу производных основных элементарных функций и правила
дифференцирования, найти производные указанных функций (19-21).
19. а); б); в); г) .
20. а) ; б) ; в) ; г)
21. а) ; б) ; в) ; г) .
Упражнения:
Карточки-задания по теме «Геометрический смысл производной, уравнение касательной»
Карточка 1.
Составить уравнение касательной к графику функции в точке с абсциссой . Определите тангенс угла наклона касательной.
План решения. Уравнение касательной .
3) Определите угловой коэффициент касательной (найдите производную и
вычислите ее значение при ).
4) Подставьте в уравнение касательной координаты точки
касания и значение углового коэффициента касательной.
5) Воспользуйтесь равенством и запишите ответ на второй вопрос.
Карточка 2.
Составить уравнение касательной к гиперболе в точке с абсциссой . Найдите тангенс угла наклона касательной.
План решения. 1) Вычислите
2) Запишите координаты точки касания .
5) Воспользуйтесь равенством и запишите ответ на второй вопрос.
Карточка 3.
В какой точке касательная к параболе параллельна оси ОХ? Запишите уравнение этой касательной.
План решения. 1) Найдите производную функции.
Упражнения:
Карточки-задания по теме «Физический (механический) смысл производной»
Карточка 4.
Точка движется прямолинейно по закону (путь измеряется в метрах). Найдите:
а) мгновенную скорость движения в произвольный момент времени ;
б) скорость движения точки при с;
в) ускорение движения в произвольный момент времени .
План решения.
Карточка 5.
При торможении маховик за время (время - в секундах) поворачивается на угол (угол – в радианах). Найдите:
а) угловую скорость вращения маховика в момент времени ;
б) угловую скорость вращения маховика в момент времени с;
в) ускорение движения маховика.
План решения.
Зачетная работа № 1 «Физические и геометрические приложения производной.
Дифференцирование элементарных функций».
Вариант 1
1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана
уравнением . Вычислить ее скорость в момент времени с.
2. Составить уравнение касательной к параболе
в точке с абсциссой .
3. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
_____________________________________________________________________
Вариант 2
1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана
уравнением . Вычислить ее скорость в момент времени с.
2. Составить уравнение касательной к параболе
в точке с абсциссой .
3. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
________________________________________________________________________
Вариант 3
1. Скорость точки, движущейся прямолинейно задана уравнением .
В какой момент времени ускорение точки будет равно 2 м/с2?
2. Составить уравнение касательной к параболе
в точке с абсциссой .
3. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
________________________________________________________________________
Вариант 4
1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана
уравнением . Вычислить ее скорость в момент времени с.
2. Составить уравнение касательной к параболе
в точке с абсциссой .
3. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
Вариант 5
1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении тела массой
12 кг задана уравнением . Найти кинетическую энергию тела
через 5 с после начала движения.
2. Составить уравнение касательной к параболе
в точке с абсциссой .
3. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
____________________________________________________________________
Вариант 6
1. Зависимость температуры Т тела от времени задана уравнением
.С какой скоростью нагревается тело в момент времени с?
2. Составить уравнение касательной к параболе
в точке с абсциссой .
3. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
Вариант 7
1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана
уравнением . Вычислить ее скорость в момент времени с.
2. Составить уравнение касательной к параболе
в точке с абсциссой .
3. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
_____________________________________________________________________
Вариант 8
1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана
уравнением . Вычислить ее скорость в момент времени с.
2. Составить уравнение касательной к параболе
в точке с абсциссой .
3. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
Вариант 9
1. Скорость точки, движущейся прямолинейно задана уравнением .
В какой момент времени ускорение точки будет равно 2 м/с2?
2. Составить уравнение касательной к параболе
в точке с абсциссой .
3. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
________________________________________________________________________
Вариант 10
1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении точки задана
уравнением . Вычислить ее скорость в момент времени с.
2. Составить уравнение касательной к параболе
в точке с абсциссой .
3. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
Вариант 11
1. Зависимость пути от времени при прямолинейном движении тела массой
10 кг задана уравнением . Найти кинетическую энергию тела
через 4 с после начала движения.
2. Составить уравнение касательной к параболе
в точке с абсциссой .
3. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .
____________________________________________________________________
Вариант 12
1. Зависимость температуры Т тела от времени задана уравнением
.С какой скоростью нагревается тело в момент времени с?
2. Составить уравнение касательной к параболе
в точке с абсциссой .
3. Найти производные функций:
а) ; б) ; в) .