Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ВЫСШИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОЛЛЕДЖ СВЯЗИ
КАФЕДРА МАТЕМАТИКИ И ФИЗИКИ
Исследование колебаний связанных систем
МЕТОДИЧЕСКОЕ РУКОВОДСТВО
к лабораторной работе № 1.7
по дисциплине «Физика»
для студентов всех специальностей
Минск
2004
Составитель Лагутина Ж.П.
Издание утверждено на заседании кафедры М и Ф
25 марта 2004 года, протокол №8
Зав. кафедрой Гладков Л.Л.
ИЗУЧЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ СВЯЗАННЫХ СИСТЕМ
ЦЕЛЬ РАБОТЫ:
ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ
1) Два физических маятника на кронштейне, связанные упругой связью пружиной;
2) секундомер.
ЭЛЕМЕНТЫ ТЕОРИИ
Все радиотехнические приёмные и передающие устройства содержат в качестве своих важнейших элементов связанные колебательные электромагнитные системы, что придает большую значимость изучения таких колебательных систем. На примере механической системы, состоящей из двух связанных между собой маятников, происходит изучение некоторых основных закономерностей связанных колебаний любого типа.
Под сложными колебательными системами понимаются системы с несколькими степенями свободы. Любую сложную колебательную систему всегда можно рассматривать как состоящую из нескольких простейших систем с одной степенью свободы, связанных между собой. Слово «связанные» здесь означают, что колебания в одной системе влияют на колебания в другой и наоборот. Связанные колебательные системы в дальнейшем будем обозначать СКС; число степеней свободы определяется как минимальное число независимых переменных, необходимых для описания движений в системе.
Примеры связанных колебательных систем с двумя степенями свободы.
|
Рис.1. Двойной физический маятник |
Рис.2. Связанные маятники |
|
|
Рис.4. Колебания балки, подвешенной на двух пружинах |
||
|
а) индуктивная связь |
б) емкостная связь |
в) гальваническая связь |
Рис.5. Колебания в системе, состоящей из связанных
электрических контуров
Закономерности СКС будем рассматривать на примере двух связанных маятников (рис. 2).
Рассматриваемая колебательная система, как система с двумя степенями свободы, разбивается на две парциальные системы (ПС), характеризующиеся парциальными частотами n1 и n2 (в этом случае парциальной системой является каждый из маятников, при неподвижном втором (рис.6)). Парциальная система характеризуется одной степенью свободы.
|
а) I-ая ПС |
б) II-ая ПС |
Рис.6.
Парциальные частоты зависят от жесткости пружины, определяются длиной маятника и регулируются изменением высоты подвески грузов.
В линейных системах связанные колебания могут быть представлены как суперпозиция нормальных колебаний, число которых равно числу парциальных систем. Нормальными колебаниями называются свободные колебания линейных колебательных систем. В колебательных системах с конечным числом степеней свободы число различных возможных нормальных колебаний равно числу степеней свободы. На рис.7 показаны нормальные колебания связанных маятников.
Рис.7.
Так если изучаемая колебательная система характеризуется числом степеней свободы i = 2, то и нормальных частот будет две (1 и 2). Если дать одинаковые начальные отклонения маятников в одну сторону, то каждый из маятников будет совершать гармонические колебания с нормальной частотой 1. Если же в начальный момент маятники отклонены на одинаковый угол в разные стороны, то колебания будут гармоническими, частота этих колебаний и является второй нормальной частотой 2. Существование нормальных частот одно из замечательных свойств СКС. Все возможные колебания СКС являются суммой нормальных колебаний, соответственно распределённых. Например, все движения СКС двух маятников может быть представлено в виде
,
где А1, А2, 1, 2 амплитуды и фазы, определяемые из начальных условий; и коэффициенты распределения, которые показывают относительную силу колебаний с частотами 1 и 2 во второй координате или в каком отношении находятся амплитуды одного и того же колебания в одной и другой координате.
В физических и радиотехнических задачах приходится решать, при каких условиях можно пренебречь связью, и решать вопрос насколько существенно сказывается на процессах в данной парциальной системе наличие второй парциальной системы и процессы, происходящие в ней. Характер взаимодействия между парциальными системами, а, следовательно, каждой из них определяется двумя факторами:
Коэффициент связи для равных, парциальных частот (n1=n2), может быть определен по формуле
(1)
или , (1’)
где = 2 1, а . Коэффициент связи можно изменить, передвигая пружину.
Коэффициент связанности
. (2)
Если оба маятника расстроены (n1n2) и слабо связаны, то каждый сохраняет приблизительно свою частоту. Если мы отклоним и приведём в колебание первый маятник, то второй почти не будет колебаться. А если и будет второй маятник совершать колебания, то амплитуда не будет достигать максимального значения (рис.8). И чем большее различие парциальных частот, тем меньшей энергией обмениваются системы при взаимодействии.
Рис.8.
Иное дело при равенстве парциальных частот. Коэффициент связанности в этом случае равен
, (3)
где . Впервые понятие связанности и его числовую характеристику коэффициент связанности ввёл учёный Л.И. Мандельштам.
МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА И ОПИСАНИЕ УСТАНОВКИ
Если отклонить один из маятников, а второй задержать на месте, а затем одновременно отпустить оба маятника, то в результате действия пружины второй маятник постепенно начнет раскачиваться. Так как энергия, сообщенная первому маятнику, будет передаваться отчасти второму, то амплитуда колебаний первого маятника будет постепенно убывать, в то время как амплитуда второго маятника нарастать. Всё это будет продолжаться до тех пор, пока первый маятник не остановится, а второй (если потери на трение малы) не будет качаться почти с такой же амплитудой, как и первый в самом начале (рис.9).
Рис.9
Затем маятники меняются ролями: второй раскачивает первый, и процесс полностью повторяется, ибо маятники одинаковы. Маятники будут совершать то нарастающие, то убывающие по амплитуде колебания и через время обм будут обмениваться энергией. Время обмена энергией определяется выражением
, (4)
где обм время обмена энергией; 1, 2 собственные частоты колебательной системы. Такие колебания называются биениями, а время, равное 2обм периодом биений
. (5)
Уравнение биений имеет вид
(6)
.
Разность частот (2 1) существенно меньше их суммы, поэтому функции и меняются со временем гораздо медленнее, чем функции и .
Рис.10.
Вследствие этого колебания маятников происходят по гармоническому закону, но амплитуда колебаний не постоянна, а медленно меняется с течением времени по гармоническому закону. Таким образом, колебания маятников при равенстве парциальных частот носят характер биений, при этом периодически происходит перекачка энергии от одного маятника к другому. В полной перекачке энергии и заключён физический смысл понятия сильной связанности системы.
При очень малой связи время обмена состояния становится очень большим. Время обмена состояния обм должно быть меньше, чем время затухания первой парциальной системы 1затух, иначе колебания первого маятника затухнут раньше, чем он успеет сколько-нибудь заметно раскачать второй маятник, т.е. должно быть 1затух >> обм. Время полной перекачки энергии от одного маятника к другому зависит от силы связи и при n1=n2=n это время можно определить по формуле
. (7)
Для выполнения последнего необходимо, чтобы коэффициент связи не был слишком мал. С увеличением коэффициента связи время обмена уменьшается.
ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ
Момент инерции каждого маятника может изменяться перемещением призм О1 и О2 или грузов-чечевиц. Упругая связь может изменяться передвижением по стержням маятников зажимов пружин С1 и С2.
;
, (8)
где N число колебаний физического маятника; t время N колебаний.
А. СИЛЬНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ.
а) Надеть пружину и, удерживая неподвижно в вертикальном положении второй маятник, определить парциальную частоту n1 первого маятника, давая ему начальное отклонение 5-7о от положения равновесия (рис.6а).
;
, (10)
где t1 время N1 колебаний.
Аналогично определить парциальную частоту n2 (придерживая первый маятник, второй отклоняем на 5-7о (рис.6 б).
. (11)
Данные записать в табл. 1.
Таблица 1.
|
п/п |
t1 |
N1 |
T1 |
n1 |
t2 |
N2 |
T2 |
n2 |
|
1 |
||||||||
|
2 |
||||||||
|
3 |
Примечание. Добиться равенства парциальных частот и с точностью до 0,01 путем незначительного изменения длин маятников.(N1 = N2 = 30 колебаний).
б) Определить нормальные частоты и по 30 колебаниям. Для этого отклоняем на одинаковые углы 5-7о одновременно оба маятника сначала в одну и ту же сторону (рис.7а) (определяем ), а затем в противоположные стороны (рис.7б), давая маятникам совершить не менее 30 колебаний (находим ).
; . (11)
Данные занести в табл. 2.
Таблица 2
|
п/п |
t1 |
N1 |
t2 |
N2 |
||
|
1 |
||||||
|
2 |
||||||
|
3 |
||||||
|
средн. знач. |
= |
в) Пользуясь формулами (1) и (2) вычислить коэффициент связи и коэффициент связанности . При этом, если взять N1=N2, то формула для коэффициента связи может быть записана в виде
. (12)
г) Определить с помощью секундомера время обмена энергией время, за которое энергия от одного физического маятника полностью перейдёт ко второму маятнику (при n1=n2). Это время должно соответствовать времени, рассчитанному по формуле (4) убедиться в этом.
Время обмена фиксируется для пяти различных положений пружины, каждый раз рассчитывая коэффициент связи по формуле (12). Данные занести в табл. 3. Построить график зависимости обм = tобм().
Таблица 3
|
п/п |
обм |
t1,c |
t2,c |
|||
|
1 |
||||||
|
2 |
||||||
|
3 |
||||||
|
4 |
||||||
|
5 |
д) Определить период биения Тбиен время, за которое амплитуда колебаний одного из маятников изменяется от максимального значения до нуля (если n1=n2) и снова возрастает до максимального значения. Для этого, придерживая один маятник, отклоняем второй маятник от положения равновесия (рис.9) и отпускаем. Время фиксируем секундомером. Экспериментально определённый период биений должен соответствовать периоду, рассчитанному по формуле (5), а частота биений . Провести сравнение полученных результатов.
В. СЛАБОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ (n1n2).
Поскольку данная лабораторная установка не позволяет детально проследить характер слабого взаимодействия, то все выводы по данной части в работе следует проделать качественно.
а) Уменьшите длину одного из маятников и определите парциальные частоты n1и n2 (по формулам 10, 11). Изменяя соотношения n1/n2 между парциальными частотами, проследите зависимость: времени перехода энергии от одного маятника к другому (обм) при фиксированном положении пружины и различном отношении n1/n2. Данные занести в табл. 4.
Таблица 4
|
п/п |
n1 |
n2 |
n1/n2 |
tобм |
||||
|
1 |
||||||||
|
2 |
||||||||
|
3 |
б). Определите время перехода энергии от одного маятника к другому при фиксированных положениях маятников и различных положениях пружин. Таблицу данных составить по своему усмотрению. Оцените при этом энергию, которой обмениваются маятники при различных положениях пружины и фиксированных положениях маятников.
КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ
а) при слабой связи и слабой связанности;
б) при слабой связи и сильной связанности? При каких условиях эти типы связи и связанности осуществляются у связанных маятников?
Как можно определить время обмена энергией между связанными маятниками? Как влияет различие парциальных частот на полноту обмена энергией? Проанализируйте график зависимости обм = и данные табл. 4.
Литература
Рис.3. Два груза, подвешенные на пружинах