Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
СТАВРОПОЛЬСКИЙ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ СЕРВИСА
КАФЕДРА ОБЩЕОБРАЗОВАТЕЛЬНЫЕ ДИСЦИПЛИНЫ
по учебной дисциплине «Математика» для студентов
специальности: ««Бытовая радиоэлектронная аппаратура»
специальности «Информационные системы и технологии»
Тема № 2. Случайные величины
Лекция № 6 Числовые характеристики случайных величин
Ставрополь
Цели: знать числовые характеристики дискретных и непрерывных случайных величин
Время - 90 мин.
Вступительная часть - 5 мин.
Учебные вопросы занятия:
Заключение - 2 мин. |
Задание на самостоятельную работу - 3 мин.
Содержание
Вступление
Мы уже знаем, что закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако часто закон распределения неизвестен и приходится ограничиваться меньшими сведениями. Иногда даже выгоднее пользоваться числами, которые описывают случайную величину суммарно; такие числа называют числовыми характеристиками случайной величины. К числу важных числовых характеристик относятся математическое ожидание и дисперсия.
Среди числовых характеристик, прежде всего, следует отметить ту, которая характеризует положение случайной величины на числовой оси, т.е. указывает некоторое среднее, ориентировочное значение, около которого группируются все возможные значения случайной величины. Это математическое ожидание случайной величины. Среднее значение случайной величины есть некоторое число, являющееся как бы ее «представителем» и заменяющее ее при грубо ориентировочных расчетах. Например, если известно, что математическое ожидание числа выбиваемых очков у первого стрелка больше, чем второго, то первый стрелок в среднем выбивает больше очков, чем второй и, следовательно, стреляет лучше второго.
Математическое ожидание не дает полную характеристику случайной величины, поэтому вводится характеристика, которая характеризует степень рассеивания значений случайной величины вокруг ее математического ожидания.
1. Математическое ожидание и его свойства
О.1.1. Числа, характеризующие то или иное свойство случайной величины, называются числовыми характеристиками этих величин.
Они подразделяются на:
- характеристики положения;
- характеристики рассеивания.
Математическое ожидание является характеристикой положения.
Пусть дискретная случайная величина Х может принимать только значения , вероятности которых соответственно равны . , т.е. известен задан закон (ряд) распределения
|
… |
О.1.2. Математическим ожиданием дискретной случайной величины называется сумма произведений всех ее возможных значений на соответствующие вероятности.
Из определения следует, что математическое ожидание случайной величины Х определяется равенством
.
Замечание. Из определения следует, что математическое ожидание дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная ) величина.
Пример 1. Найти математическое ожидание случайной величины Х, зная закон ее распределения:
Решение. Искомое математическое ожидание равно сумме произведений всех возможных значений случайной величины на их вероятности:
Вероятностный смысл математического ожидания таков:
математическое ожидание приближенно равно (тем точнее, чем больше число испытаний) среднему арифметическому наблюдаемых значений случайной величины.
Свойства математического ожидания
Свойство 1. Математическое ожидание постоянной величины равно самой постоянной:
Доказательство. Будем рассматривать постоянную С как дискретную случайную величину, которая имеет одно возможное значение С и принимает его с вероятностью р=1. Следовательно,
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:
Доказательство. Пусть случайная величина Х задана законом распределения вероятностей:
Учитывая замечание 1, напишем закон распределения случайной величины СХ:
Математическое ожидание случайной величины СХ
Итак,
.
Свойство 3. Математическое ожидание произведения двух независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:
Следствие. Математическое ожидание произведения нескольких взаимно независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий.
Например, для трех случайных величин имеем:
Для производного числа случайных величин доказательство производится математической индукции.
Пример 2. Независимые случайные величины Х и Y заданы следующими законами распределения:
Найти математическое ожидание случайной величины ХY.
Решение. Найдем математические ожидания каждой из данных величин:
Свойство 4. Математическое ожидание суммы двух случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых:
Следствие. Математическое ожидание суммы нескольких случайных величин равно сумме математических ожиданий слагаемых.
Например, для трех слагаемых величин имеем:
Для произвольного числа слагаемых величин доказательство проводится методом математической индукции.
Так как непрерывная случайная величина задается дифференциальной функцией распределения вероятностей, то и математическое ожидание определяется иначе.
О.1.3. Математическое ожидание непрерывной случайной величины равно .
Все свойства МО, рассмотренные для дискретной случайной величины справедливы и для непрерывной случайной величины.
Физический смысл: при наблюдении флуктуации тока или напряжения естественно приписать ему смысл среднего значении тока или напряжения.
2. Дисперсия и ее свойства. Среднее квадратическое отклонение
Можно указать такие случайные величины, которые имеют одинаковые математические ожидания, но различные возможные значения.
Рассмотрим, например, дискретные случайные величины Х и Y, заданные следующими законами распределения:
Х –0,01 0,01 Y –100 100
Р 0,5 0,5 р 0,5 0,5.
Найдем математические ожидания этих величин:
М(Х)= – 0,01 ·0,5+0,01 ·0,5=0,
М(У)= – 100·0,5+100·0,5=0.
Здесь математические ожидания обеих величин одинаковы, а возможные значения различны, причем Х имеет возможные значения, близкие к математическому ожиданию, а Y — далекие от своего математического ожидания. Таким образом, зная лишь математическое ожидание случайной величины, еще нельзя судить ни о том, какие возможные значения она может принимать, ни о том, как они рассеяны вокруг математического ожидания. Другими словами, математическое ожидание полностью случайную величину не характеризует.
По этой причине, наряду с математическим ожиданием, вводят и другие числовые характеристики. Так, например, для того, чтобы оценить, как рассеяны возможные значения случайной величины вокруг ее математического ожидания, пользуются, в частности, числовой характеристикой, которую называют дисперсией.
Прежде чем перейти к определению и свойствам дисперсии, введем понятие отклонения случайной величины от ее математического ожидания.
Пусть Х — случайная величина и — ее математическое ожидание. Рассмотрим в качестве новой случайной величины разность .
О.2.1. Отклонением называют разность между случайной величиной ее математическим ожиданием, т.е. .
О.2.2. Центрированной случайной величиной, соответствующей величине Х называется отклонение случайной величины от ее математического ожидания, т.е.
Приведем важное свойство отклонения, которое будет использовано далее.
Теорема 2.1. Математическое ожидание отклонения равно нулю:
М[Х—М(Х)]=0.
Доказательство. Пользуясь свойствами математического ожидания (математическое ожидание разности равно разности математических ожиданий, математическое ожидание постоянной равно самой постоянной) и приняв во внимание, что есть постоянная величина, имеем:
М[Х—М(Х)]=М(Х)-М[М(Х)]=М(Х)-М(Х)=0.
О.2.3. Дисперсией случайной величины называется математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания:
т.е. . (3)
2.1. Дисперсия дискретной случайной величины
Пусть случайная величина задана законом распределения
Х х1 х2 ... хn
p p1 р2 ... pп
По определению дисперсия равна
D(X)=M[X-M(X)]2=[x1-M(X)]2·p1+[x2–M(X)]2 р2+ ... +[xn–M(X)]2·pn.
Таким образом, для того, чтобы найти дисперсию, достаточно вычислить сумму произведений возможных значений квадрата отклонения на их вероятности.
Замечание. Из определения следует, что дисперсия дискретной случайной величины есть неслучайная (постоянная) величина.
Для вычисления дисперсии на практике удобно пользоваться следующей теоремой.
Т.2.2. Дисперсия равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины Х и квадратом ее математического ожидания:
D(X)=M(X2)—[М(X)]2. (4)
Доказательство. Математическое ожидание М(Х) есть постоянная величина, следовательно, 2М(Х) и M2(X) есть также постоянные величины. Приняв это во внимание, и пользуясь свойствами математического ожидания (постоянный множитель можно вынести за знак математического ожидания, математическое ожидание суммы равно сумме математических ожиданий слагаемых), упростим формулу, выражающую определение дисперсии:
D(X)=M[X—M(X)]2=M[X2—2XM(X)+M2(X)]=M(X2)-
- 2M(X)·M(X)+M2(X) =M(X2)—2M2(X)+M2(X)=M(X2)—M2(X)
Итак, D(X)=M(X2)—[M(X)]2.
Свойства дисперсии
Свойство 1. Дисперсия постоянной величины С равна нулю:
D(C)=0.
Доказательство. По определению дисперсии имеем
D(C)=M{[C—M(C)]2}.
Пользуясь первым свойством математического ожидания (математическое ожидание постоянной равно самой постоянной), получим
D(С)=M[(C–C)2]=M(0)=0.
Итак,
D (С) = 0.
Свойство становится ясным, если учесть, что постоянная величина сохраняет одно и то же значение и рассеяния, конечно, не имеет.
Свойство 2. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, вводя его в квадрат:
D(СХ)=С2D(Х).
Доказательство. По определению дисперсии имеем
D(CX)=M{[CX-M(CX)]2}.
Пользуясь вторым свойством математического ожидания. (постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания), получим
D(CX)=M{[CX-CM(X)]2}=M{C2[X-M(X)]2}= C2 M{[X—M(X)]2}=C2D(X).
Итак,
D(CX)=C2D(X).
Свойство 3. Дисперсия суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин:
D(X+Y)=D(X)+D(Y).
Следствие 2. Дисперсия суммы постоянной величины и случайной равна дисперсии случайной величины:
D(C+X)=D(X).
Доказательство. Величины С и Х независимы, поэтому по третьему свойству
D(C+X)=D(C)+D(X).
В силу первого свойства D(C)=0. Следовательно,
D(C+X)=D(X).
Свойство становится понятным, если учесть, что величины Х и Х+С отличаются лишь началом отсчета и, значит, рассеяны вокруг своих математических ожиданий одинаково.
Свойство 4. Дисперсия разности двух независимых случайных величин равна сумме их дисперсий:
D (X—Y) = D(X)+D(Y).
Для оценки рассеяния возможных значений случайной величины вокруг ее среднего значения кроме дисперсии служат и некоторые другие характеристики. К их числу относится среднее квадратическое отклонение.
О.2.4. Средним квадратическим отклонением случайной величины Х называют квадратный корень из дисперсии:
. (5)
Легко показать, что дисперсия имеет размерность равную квадрату размерности случайной величины. Так как среднее квадратическое отклонение равно квадратному корню из дисперсии, то размерность s(Х) совпадаете размерностью X. Поэтому в тех случаях, когда желательно, что бы оценка рассеяния имела размерность случайной величины, вычисляют среднее квадратичное отклонение, а не дисперсию. Например, если X выражается в линейных метрах, то s (Х) будет выражаться также в линейных метрах, а D(Х) — в квадратных метрах.
2.2. Дисперсия непрерывной случайной величины
Определение и свойства дисперсии остаются теми, что и для дискретной случайной величины, но формула для вычисления имеет вид
Можно записать иначе по формуле (4): .
Среднее квадратическое отклонение находится по той же формуле (5).
3. Моменты случайных величин
3.1. Начальные и центральные моменты
Рассмотренные числовые характеристики случайных величин и , являются частным случаем более общего понятия – момента случайной величины, введенным русским математиком П. Л. Чебышевым.
Понятие момента широко применяется в механике для описания распределения масс: статические моменты, моменты инерции. Совершенно теми же правилами пользуются в теории вероятностей для описания основных свойств распределения случайной величины. При этом чаще всего применяются моменты двух типов: начальные и центральные.
О.3.1. Начальным моментом -го порядка случайной величины называют математическое ожидание -ой степени этой случайной величины и обозначают .
Заметим, что при , т.е. математическое ожидание случайной величины – начальный момент первого порядка .
О.3.2. Центральным моментом -го порядка случайной величины называется математическое ожидание -ой степени отклонения этой случайной величины .
Таким образом, дисперсия случайной величины – центральный момент второго порядка .
Моменты высших порядков служат для более полного описания закона распределения случайной величины, они дополняют две её основные характеристики и . Однако на практике обычно не пользуются моментами выше четвертого порядка, так как точность при вычислении моментов резко убывает с ростом порядка.
3.2. Мода и медиана
О.3.3. Модой дискретной случайной величины называется её численное значение, вероятность которого наибольшая (наиболее вероятное значение случайной величины): .
О.3.4. Модой непрерывной случайной величины называется такое её значение, в котором дифференциальная функция этой случайной величины достигает максимума: .
О.3.5. Медианой случайной величины называется такое её значение , для которого ,
т.е. одинаково вероятно, окажется ли случайная величина меньше или больше .
Геометрически медиана – абсцисса точки, в которой площадь, ограниченная кривой распределения, делится пополам.
В случае симметричного распределения медиана совпадает с модой.
Заключение. Таким образом, мы изучили способы задания случайных величин и их числовые характеристики, такие как математическое ожидание, дисперсия, моменты начальные и центральные, моду и медиану. Однако мы знаем, что более полной характеристикой является закон распределения, поэтому на следующей лекции мы переходим к изучению законов распределения дискретных случайных величин.
Задание на самостоятельную работу: учить лекцию № 6
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей. – М.: ACADEMA, 2003, с. 78-97
2. Гмурман В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика. – М.: Высшая школа, 2001, с. 75-82, 85-92
Лекция разработана
к.т.н., профессором С. Сподынюк