тематический анализ Тема 1.html
Работа добавлена на сайт samzan.net: 2016-01-17
Поможем написать учебную работу
Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
от 25%
Подписываем
договор
Вопросы к экзамену 1 семестр
Раздел 1. Математический анализ
Тема 1.1. Предел и непрерывность
Контрольные вопросы
- Функции в экономическом анализе.
- Предел функции. Определение предела функции в терминах e – d, в терминах
- последовательностей.
- Понятие бесконечно малых и бесконечно больших функций. Свойства бесконечно малых и бесконечно больших.
- Существование предела монотонной функции.
- Критерий Коши существования предела функции.
- Вычисление пределов: пределы основных элементарных функций, предел многочлена, рациональной дроби. Типы неопределенностей.
- Первый замечательный предел, его следствия.
- Второй замечательный предел, его следствия.
- Сравнение бесконечно малых и бесконечно больших в окрестности заданной точки.
- Различные определения непрерывности функций в точке.
- Точки разрыва, их классификация.
- Свойства функций, непрерывных в точке: непрерывность суммы, произведения, частного непрерывных функций; теорема о непрерывности сложной функции.
- Равномерная непрерывность функции. Связь с понятием непрерывности. Теорема Кантора. Правило Лопиталя, (случай 0/0, случай ¥/¥). Раскрытие неопределенностей.
Тема 1.2. Дифференциальное исчисление функций одной переменной. Приложения производной.
Контрольные вопросы
- Определение производной функции в точке, понятие правой и левой производной.
- Вычисление производной по определению.
- Понятие дифференцируемости функции в точке, теорема о необходимом и достаточном условии дифференцируемости.
- Дифференциал функции. Геометрический смысл производной и дифференциала.
- Уравнения касательной и нормали к графику функции. Физический смысл производной.
- Производная суммы, разности, произведения и частного функций.
- Производная обратной функции.
- Производная и дифференциал сложной функции, инвариантность формы первого дифференциала.
- Неявно заданные функции и отображения. Теоремы о разрешимости. Вычисление производных неявно заданных функций.
- Производные основных элементарных функций.
- Таблица производных.
- Производные и дифференциалы высших порядков.
Тема 1.3. Дифференциальное исчисление функций нескольких переменных
Контрольные вопросы
- Множества в n-мерном евклидовом пространстве.
- Внутренние и граничные точки, предельные точки и точки прикосновения. Открытые, замкнутые множества в Rn.
- Понятие функции нескольких переменных. График функции. Множества линий уровня.
- Предел функции n переменных.
- Непрерывность функции. Предел по множеству. Повторные пределы. Свойства пределов функции.
- Свойства непрерывных функций на множествах: аналоги теорем Вейерштрасса и Больцано–Коши. Равномерная непрерывность. Терема Кантора.
- Частные производные. Дифференцируемость функций многих переменных. Частные производные сложной функции.
- Эластичность функций нескольких переменных.
- Дифференциал. Геометрический смысл частных производных и дифференциала.
- Дифференцирование сложной функции, инвариантность формы дифференциала.
- Производная по направлению. Градиент, его свойства.
- Частные производные и дифференциалы высших порядков, теорема о равенстве смешанных производных. Экономические понятия, связанные с понятием частной производной.
- Понятие локального экстремума функции нескольких переменных. Необходимые и достаточные условия. Случай двух переменных. Уравнения нормали и касательной плоскости к графику функции.
- Условный экстремум. Прямой метод отыскания условного экстремума.
- Метод подстановки и метод неопределенных множителей Лагранжа.
- Необходимые и достаточные условия относительного экстремума.
- Задача о нахождении наименьшего и наибольшего значения функции в области.
Тема 1.4. Исследование графиков функций одной переменной
Контрольные вопросы
- Локальный экстремум функции. Теорема Ферма (необходимое условие локального экстремума).
- Теорема Ролля (о нуле производной).
- Теорема Лагранжа, формула конечных приращений. Условие постоянства функции.
- Теорема Коши, обобщенная формула конечных приращений.
- Общая схема исследования функции на монотонность.
- Необходимое условие экстремума. Стационарные точки. Экстремум функции, недифференцируемой на интервале, критические точки.
- Достаточные условия экстремума по первой производной, по старшим производным.
- Общая схема решения задачи на экстремум функции.
- Возрастание, убывание функции в точке. Достаточное условие возрастания (убывания) функции в точке.
- Направление выпуклости графика функции. Признак направления выпуклости. Точки перегиба. Необходимые и достаточные условия перегиба.
- Асимптоты графика функции.
- Общая схема исследования функции и построения графиков.
Тема 1.5. Неопределенный интеграл
Контрольные вопросы
- Понятие первообразной и неопределенного интеграла.
- Основные свойства неопределенного интеграла.
- Таблицы основных неопределенных интегралов.
- Основные методы интегрирования (метод замены переменной, интегрирования по частям, разложение на элементарные дроби).
- Понятие об интегрировании рациональных дробей, простейших иррациональных функций, простейших трансцендентных функций
Тема 1.6. Определенный интеграл
Контрольные вопросы
- Интегральная сумма Римана, геометрический смысл интегральной суммы. Понятие интегрируемой функции. Определенный интеграл как предел интегральных сумм
- Ограниченность интегрируемых функций. Верхние и нижние суммы Дарбу, их свойства. Нижний и верхний интегралы.
- Свойства интегрируемых функций и определенного интеграла, теорема о среднем. Производная определенного интеграла с переменным верхним пределом по этому пределу.
- Теорема о существовании первообразной.
- Основная формула интегрального исчисления.
- Формула замены переменной в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям, разложение на элементарные дроби.
- Приложение определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур.
- Двойные и тройные интегралы.
- Экономические понятия, связанные с определенным интегралом. Использование определенных интегралов в экономических задачах.
- Понятие о несобственных интегралах. Определения. Формулы интегрального исчисления для несобственных интегралов.
- Приближенное вычисление определенных интегралов: формула прямоугольников, трапеций, Симпсона.
Тема 1.7. Комплексные числа
Контрольные вопросы
- Комплексные числа. Определение. Алгебраическая и тригонометрическая формы комплексного числа.
- Геометрическая интерпретация, модуль, аргумент.
- Операции над комплексными числами: сложение, умножение, возведение в степень, извлечение корня. Формулы Эйлера и Муавра.
- Решение алгебраических уравнений на множестве комплексных чисел.
- Комплексные числа в алгебраической форме, алгебра комплексных чисел, модуль. Тригонометрическая и показательная формы комплексного числа.
Тема 1.8. Ряды
Контрольные вопросы
- Числовой ряд и его сумма.
- Необходимое условие сходимости.
- Свойства сходящихся рядов.
- Признаки сходимости рядов с положительными членами (признаки сравнений, Даламбера)
- Ряды с произвольными членами.
- Абсолютная и условная сходимости.
- Свойства сходящихся числовых рядов.
- Знакочередующиеся ряды.
- Признак Лейбница.
- Многочлен Тейлора для функции одной переменной.
- Формулы Тейлора и Маклорена.
- Разложение по формуле Маклорена функций: ex, sin x, cos x, ln(1+x), (1+x)α, и использование этих разложений.
Тема 1.9. Дифференциальные уравнения
Контрольные вопросы
- Простейшие дифференциальные уравнения 1-го порядка, разрешенные относительно производной.
- Уравнения с разделяющимися переменными и сводящиеся к ним.
- Однородные уравнения 1-го порядка и сводящиеся к ним.
- Линейные уравнения 1-го порядка и сводящиеся к ним.
- Уравнения Бернулли и Риккати.
- Уравнения в полных дифференциалах.
- Общая теория линейных дифференциальных уравнений п-го порядка.
- Общая теория линейных однородных дифференциальных уравнений п-го порядка.
- Общая теория линейных неоднородных дифференциальных уравнений п-го порядка.
Тема 1.10. Системы линейных дифференциальных уравнений
Способы решения СЛДУ