Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
В теории функциональных рядов центральное место занимает раздел, посвященный разложению функции в ряд.
Таким образом, ставится задача: по заданной функции требуется найти такой степенной ряд
,
который на некотором интервале сходился и его сумма была равна , т.е.
= ..
Эта задача называется задачей разложения функции в степенной ряд.
Необходимым условием разложимости функции в степенной ряд является её дифференцируемость бесконечное число раз – это следует из свойств сходящихся степенных рядов. Такое условие выполняется, как правило, для элементарных функций в их области определения.
Итак, предположим, что функция имеет производные любого порядка. Можно ли её разложить в степенной ряд, если можно, то как найти этот ряд? Проще решается вторая часть задачи, с неё и начнем.
Допустим, что функцию можно представить в виде суммы степенного ряда, сходящегося в интервале, содержащем точку х0:
= .. (*)
где а0,а1,а2,,...,ап,... – неопределенные (пока) коэффициенты.
Положим в равенстве (*) значение х = х0, тогда получим
.
Продифференцируем степенной ряд (*) почленно
= ..
и полагая здесь х = х0, получим
.
При следующем дифференцировании получим ряд
= ..
полагая х = х0, получим, откуда .
После п -кратного дифференцирования получим
Полагая в последнем равенстве х = х0, получим , откуда
Итак, коэффициенты найдены
, , , …, ,….,
подставляя которые в ряд (*), получим
Полученный ряд называется рядом Тейлора для функции .
Таким образом, мы установили, что если функцию можно разложить в степенной ряд по степеням (х - х0), то это разложение единственно и полученный ряд обязательно является рядом Тейлора.
Заметим, что ряд Тейлора можно получить для любой функции, имеющей производные любого порядка в точке х = х0. Но это еще не означает, что между функцией и полученным рядом можно поставить знак равенства, т.е. что сумма ряда равна исходной функции. Во-первых, такое равенство может иметь смысл только в области сходимости, а полученный для функции ряд Тейлора может и расходиться, во-вторых, если ряд Тейлора будет сходиться, то его сумма может не совпадать с исходной функцией.
Сформулируем утверждение, с помощью которого будет решена поставленная задача.
Если функция в некоторой окрестности точки х0 имеет производные до (n+1)-го порядка включительно, то в этой окрестности имеет место формула Тейлора
где Rn(х)-остаточный член формулы Тейлора – имеет вид (форма Лагранжа)
где точка ξ лежит между х и х0.
Отметим, что между рядом Тейлора и формулой Тейлора имеется различие: формула Тейлора представляет собой конечную сумму, т.е. п - фиксированное число.
Напомним, что сумма ряда S(x) может быть определена как предел функциональной последовательности частичных сумм Sп(x) на некотором промежутке Х:
.
Согласно этому, разложить функцию в ряд Тейлора означает найти такой ряд, что для любого х X
Запишем формулу Тейлора в виде, где
.
Заметим, что определяет ту ошибку, которую мы получаем, заменяй функцию f(x) многочленом Sn(x).
Если , то , т.е. функция разлагается в ряд Тейлора. И наоборот, если , то .
Тем самым мы доказали критерий разложимости функции в ряд Тейлора.
Для того, чтобы в некотором промежутке функция f(х) разлагалась в ряд Тейлора, необходимо и достаточно, чтобы на этом промежутке , где Rn(x) - остаточный член ряда Тейлора.
С помощью сформулированного критерия можно получить достаточные условия разложимости функции в ряд Тейлора.
Если в некоторой окрестности точки х0 абсолютные величины всех производных функции ограничены одним и тем же числом М ≥ 0, т.е.
, то в этой окрестности функция разлагается в ряд Тейлора.
Из вышеизложенного следует алгоритм разложения функции f(x) в ряд Тейлора в окрестности точки х0:
1. Находим производные функции f(x):
f(x), f’(x), f”(x), f’”(x), f(n) (x),…
2. Вычисляем значение функции и значения её производных в точке х0
f(x0), f’(x0), f”(x0), f’”(x0), f(n) (x0),…
3. Формально записываем ряд Тейлора и находим область сходимости полученного степенного ряда.
4. Проверяем выполнение достаточных условий, т.е. устанавливаем, для каких х из области сходимости, остаточный член Rn(x) стремится к нулю при или .
Разложение функций в ряд Тейлора по данному алгоритму называют разложением функции в ряд Тейлора по определению или непосредственным разложением.
Частный случай ряда Тейлора при х0 =0
называемся рядом Маклорена для функции f(x).
Найдем разложение некоторых элементарных функций в ряд Маклорена.
Пример 23
Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение.
Для решения задачи будем использовать алгоритм, сформулированный выше. Так как требуется разложить функцию в ряд Маклорена, следовательно, будем искать разложение в окрестности точки х0 = 0.
Найдем значение функции в точке х0 =0, производные функции до п -го порядка и их значения при х0 = 0:
Запишем формально ряд Маклорена по формуле
,
получим
.
Заметим, что получили рад по нечетным степеням, так как коэффициенты при четных степенях (когда п - четное число) равны нулю.
Найдем область сходимости полученного ряда, для этого составим ряд из абсолютных величин членов ряда:
и применим к нему признак Д'Аламбера.
Так как величина предела не зависит от х и меньше единицы при любом х, то ряд сходится при всех значения, значит, область сходимости ряда х (–,+).
Проверим выполнение достаточных условий. Очевидно, что
для п = 0,1,2,... и для любых х,
значит, функция разлагается в свой ряд Маклорена на всей числовой оси, т.е.
при х (–,+).
В рассмотренном примере для определения коэффициентов разложения функции в степенной ряд в окрестности точки х0=0 мы последовательно дифференцировали функцию до тех пор, пока не смогли вывести формулу для п-ой производной, и находили значения производных в данной точке. Затем выясняли, для каких х выполняются достаточные условия разложимости функции в ряд. Часто эти шаги приводят к громоздким вычислениям. Эти трудности иногда можно обойти, используя утверждение о том, что полученное любым способом разложение функции в степенной ряд будет её разложением в ряд Тейлора. Поэтому, чтобы получить разложение функции в степенной ряд, можно использовать уже известные разложения элементарных функций ряд Маклорена, применяя к ним правила сложения, умножения рядов и теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов.
Например, разложение функции f(x)=cosx можно получить, продифференцировав почленно разложение в ряд Маклорена функции f(x) = sinx.
,
при х (–,+).
Аналогично, используя алгоритм разложения и теоремы об интегрировании и дифференцировании степенных рядов, можно получить разложения в ряд Маклорена следующих элементарных функций:
при х (–,+);
,
если т≥.0, или т -1, то область сходимости х (-1;1),
если –1< т<0, то область сходимости х (-1;1].
Такое разложение называется биномиальным рядом. В частности, полагая в последнем разложении т = –1, получим
, х (-1;1).
Заменяя в этом разложении х на выражение (–х), получим
, при х (–1;1).
Используя теорему об интегрировании степенных рядов и применяя её к разложению в ряд Маклорена функции, получим
при х (–1;1].
Заменяя в разложении функции переменную х на выражение и интегрирую, получим
, при х [–1;1].
Используя биномиальный ряд– разложение в ряд Маклорена функции , полагая , заменяя х на выражение и интегрируя, получим
, при х (–1;1).
Пример 24.
Используя известные разложения, разложить в ряд Мэклорена функцию .
Решение
Необходимо найти разложение функции в ряд Маклорена, т.е. в степенной ряд по степеням х. Будем использовать разложение
при t (–1;1].
Полагая t = x2 , получим
Это разложение справедливо, когда , откуда , тогда область сходимости .
Таким образом,
Умножая обе части равенства на х, получим
при х [–1;1].
Пример 25
Используя известные разложения, разложись функцию в ряд Тейлора в окрестности точки х0 =1.
Решение.
Необходимо получить разложение функции в ряд Тейлора в окрестности точки х0 = 1, т.е. по степеням (х–1).
Будем использовать разложение
, при t (-1;1).
Для того, чтобы получить разложение данной функции по степеням (х–1) введем новую переменную t=x–1, тогда х = t + 1. Преобразуем данную функцию к новой переменной, полагая х = t + 1:
Полагая в известном разложении вместо t выражение и умножая на число, получим
,
при (-1;1).
Полагая в полученном разложении t = x–1, возвратимся к исходной переменной х и получим разложение данной функции в степенной ряд по степеням (х -1):
Это разложение справедливо при условии , откуда .
Итак, получили разложение
при .
Пример 26
Разложить функцию в степенной ряд в точке .
Решение.
Преобразуем данную функцию, используя свойства логарифмов:
Используя известное разложение
при t (–1;1].
найдем разложение функции , полагая t=2x, и функции , полагая t = –х:
разложение справедливо при 2х (–1;1), т.е. при .
Аналогично,
и разложение справедливо при (–х) (–1;1), т.е. при х (–1;1).
Степенные ряды можно почленно складывать и умножать на число, значит
причем это разложение справедливо на общей области сходимости, т.е. при .
Пример 27
Разложить в ряд Маклорена функцию .
Решение.
Преобразуем функцию
.
Используя известное разложение в ряд Маклорена функции у=(1+t)m, полагая и , получим
Используемый биномиальный ряд при имеет область сходимости t (-1;1], следовательно, полученное разложение справедливо при, откуда , .
Итак, при .
Степенные ряды имеют самые разнообразные приложения. С их помощью вычисляют с заданной степенью точности значения функций, пределов функций, определенных интегралов, находят приближенные решения дифференциальных уравнений.
Остановимся на применении степенных рядов к приближенным вычислениям определенных интегралов.
Многие определенные интегралы, получающиеся при решение практических задач, не могут быть вычислены с помощью формулы Ньютона-Лейбница, поскольку применение этой формулы связано с нахождением первообразной, которая не всегда выражается в элементарных функциях.
Если, однако, подынтегральная функция разлагается в степенной ряд, а отрезок интегрирования входит в область сходимости этого ряда, то возможно приближенное вычисление интеграла с любой заданной точностью.
Пусть требуется вычислить приближенно определенный интеграл с заданной точностью ε.. Для этого необходимо:
- подынтегральную функцию разложить в степенной ряд, указав область сходимости;
- убедившись, что отрезок интегрирования [a,b] входит в область сходимости ряда, проинтегрировать обе части этого равенства, причем правую часть проинтегрировать почленно. В результате, в простейших случаях, получается знакочередующийся числовой ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница, т.е. сходящийся ряд;
- в качестве приближенного значения интеграла берем значение частичной суммы Sn, число п определяется из условия, что ошибка при замене суммы ряда его частичной суммой по абсолютной величине не превосходит первого из отброшенных членов ряда.
Пример 28
Вычислить приближенно интеграл с точностью ε=0,1.
Решение.
Данный интеграл относится к неберущимся интегралам. Однако подынтегральная функция разлагается в степенной ряд. Используем известное разложение в ряд Маклорена
при t (–,+);
Полагая t = -х2, получим разложение подынтегральной функции в степенной ряд
при х (–,+);
Так как отрезок интегрирования [0;1] входит в область сходимости, то в этих пределах можно проинтегрировать обе части последнего равенства (ряд интегрируем почленно):
Получили числовой знакочередующийся ряд, удовлетворяющий условиям теоремы Лейбница. Так как модуль четвертого члена ряда меньше заданной точности ε = 0,1, т.е. , значит, членами ряда, начиная с четвертого, можно пренебречь. Таким образом, заданная точность обеспечивается первыми тремя членами ряда, т.е.
.
Пример 29
Вычислить приближенно интеграл с точностью ε=0,0001.
Решение.
Используя биномиальное разложение функции (1+t)m, полагая в нем и ,получим разложение подынтегральной функции в степенной ряд
при .
Так как отрезок интегрирования [0; 0,25] входит в область сходимости, то обе части последнего равенства можно проинтегрировать (правую часть почленно) по заданному отрезку, в результате получим
Заметим, что уже третий член ряда по абсолютной величине не превосходит заданной точности е = 0,0001, т.е. .
Следовательно, для обеспечения заданной точности е достаточно взять первых два члена полученного числового ряда.
.
PAGE 51