строчными буквами

Работа добавлена на сайт samzan.net:

Матрицы и определители

Прямоугольная таблица, содержащая  т строк и п столбцов действительных чисел, называется матрицей.

Аmn= Сокращенно Аmn= (aij),

Числа аij, составляющие матрицу, называются ее элементами, где i=1, 2, … m номер строки, j=1, 2,…n номер столбца.

Матрицы обозначаются заглавными буквами латинского алфавита А, В, С…, элементы-строчными буквами.

Виды матриц

Матрица, у которой число строк равно числу столбцов, называется квадратной матрицей. Квадратную матрицу размером nn называют матрицей n-ого порядка.

А22=квадратная матрица 2-ого порядка

а11, а22 элементы главной диагонали

а12, а21 элементы побочной диагонали

А33= квадратная матрица 3-его порядка

а11, а22, а33 элементы главной диагонали

а13, а22, а31 элементы побочной диагонали

Квадратная матрица, все элементы которой, кроме элементов главной диагонали равны нулю, называется диагональной матрицей.

В=

Диагональная матрица, все элементы которой по диагонали равны 1, называется единичной матрицей.

Е=  единичная матрица 3-его порядка

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой матрицей.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется вектором (или вектор-столбец, или вектор-строка соответственно).

А=;  В=

Матрица размера 11, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (5)11 есть 5.

Условие равенства матриц

Матрицы равны между собой, если равны все соответствующие элементы этих матриц.

Действия над матрицами

Сложение.

Матрицы одинакового размера можно складывать.

Суммой двух матриц Amn=(aij) иBmn=(bij) называется матрица Cmn=(cij)такая, что cij= aij+ bij (i=1,2..m, j=1,2…n)

А=     В=

С=А+В=

Операция сложения обладает следующими свойствами:

– коммутативным (переместительным) А+В=В+А;

– ассоциативным (сочетательным) (А+В)+С=А+(В+С)=А+В+С;

– А+0=А.

Умножение матрицы на число.

Произведением матрицы  Amn=(aij) на число k называется матрица

Bmn=(bij ) такая, что bij= k aij   ( i=1,2..m, j=1,2…n )

А=, число k=2, 2А=

Умножение матрицы на число обладает следующими свойствами:

– 1А=А

– (А+В)=А+В

– (+)А=А+А

– ()А=(А)

-1А=-А Матрица (–А) называется матрицей, противоположной А.

А+( -А)=0

Вычитание матриц.

Чтобы из матрицы А вычесть матрицу В, достаточно к матрице А прибавит матрицу, противоположную В, т.е. А-В = А+(-В).

Умножение матриц.

Операция умножения двух матриц вводится только для случая, когда число столбцов первой матрицы равно числу строк второй матрицы.

Произведением матрицы Amn=(aij) на матрицу Вnp=(bjk) называется матрица Сmp=(cik) такая,что cik=ai1b1k+ai2b2k+…+ainbnk, где i=1,2..m, k=1,2,…p, т.е. элемент i-й строки и k-ого столбца матрицы произведения С равен сумме произведений элементов i-й строки матрицы А на соответствующие элементы k-ого столбца матрицы В.

Пример:

А= В= С=АВ=

с11=35+1(-2)+2(-2)=9

с12=31+13+22=10

с13=30+11+20=1

с21=-15+0(-2)+7(-2)=-19

с22=-11+03+72=13

с23=-10+01+70=0

Если матрицы А и В квадратные одного размера, то произведение АВ и ВА всегда существуют.

Умножение матриц обладает следующими свойствами:

-АВВА если данное равенство выполняется, то матрицы А и В называют перестановочными;

-А(ВС)= (АВ)С ассоциативный закон;

-А(В+С)=АВ+АС дистрибутивный закон умножения относительно сложения;

-АЕ=А;

-(АВ)= (-А)В.

Возведение матрицы в степень.

Квадратные матрицы можно возводить в степень. Аn=AAA…A

A0=E    A1=A

Транспонирование матриц:

Матрица, полученная из данной замены каждой ее строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается АТ (А).

Пусть дана матрица

Аnm=  Amn=

Пример:

Вычислить матрицу:

D=ABT – 2E + C2 если

Решение:

1. Составим матрицу ВТ, поменяв строки и столбцы матрицы В местами с сохранением порядка ВТ=

2. Найдем произведение матриц ABT

3. Найдем произведение 2Е=

4. Найдем матрицу С2 = СС

5. Найдем матрицу D=ABT – 2E + C2, подставив найденные матрицы

Ответ:

Любой квадратной матрице А n-ого порядка ставится в соответствие по определенному закону число, называемое определителем или детерминантом n-ого порядка матрицы.

Вычисление определителя квадратной матрицы

А=(а11) матрица 1-ого порядка

1= а11= а11      7=7    -3=-3

А= матрица 2-ого порядка

2=  

т.е определитель 2-ого порядка равен разности  произведений элементов, стоящих по главной диагонали и элементов по побочной диагонали.

А= матрица 3-его порядка

Определитель 3-его порядка можно вычислить по правилу треугольника, схеме Саррюса и др. сп.

Правило треугольника:

Пример:

Теорема Лапласа для вычисления определителя квадратной матрицы.

– Минор элемента аij, Мij

Минором элемента аij квадратной матрицы n-ого порядка называется определитель n-1 порядка, полученного путем вычеркивания i-ой строки и j-ого столбца.

А=  М13= М22= М32=

– Алгебраическое дополнение элемента aij, Aij

Алгебраическим дополнением Aij элемента aij квадратной матрицы n-ого порядка называется его минор, взятый со знаком (-1)i+j.

Aij=(-1)i+jMij

А=  А13=(-1)1+3  А22=(-1)2+2М22=120=20

– Теорема Лапласа

Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

=аi1Ai1+ai2Ai2+…+ainAin=

Пример 2:

Вычислить определитель:

Решение:

Для вычисления данного определителя воспользуемся теоремой Лапласа: Определитель квадратной матрицы равен сумме произведений элементов, какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения. Для более удобного вычисления выполним элементарные преобразования: умножим элементы 1-ой строки на 1, (-2), (-1) и, прибавляя их соответственно к элементам 2-ой, 3-ей, 4-ой строк, добиваемся того, чтобы все элементы 3-его столбца (кроме а13) равнялись нулю, и разложим определитель по элементам 3-его столбца:

Для вычисления последнего определителя воспользовались правилом треугольника.

Ответ: определитель матрицы равен - 9.

Системы линейных уравнений

Система m линейных уравнений с n переменными имеет вид:

где аij , bi (i=1,2,…m) (j=1,2,…n) – произвольные числа:

аij – коэффициенты при переменных хj ;

bi – свободные члены.

Решением системы линейных уравнений называется упорядоченный набор (k1,k2,…kn), при подстановке которых каждое уравнение системы обращается в истинное числовое равенство.

Решить систему – значит найти множество всех его решений.

Система может иметь:

а) единственное решение;

б) бесконечное множество решений;

в) пустое множество решений.

Система, имеющая хотя бы одно решение, называется совместной.

Система, имеющая пустое множество решений, называется несовместной.

Совместная система, имеющая единственное решение, называется определенной.

Совместная система, имеющая бесконечное множество решений, называется неопределенной.

Две системы называются равносильными, если они имеют одно и то же множество решений.

Элементарные преобразования, позволяющие получить систему, равносильную данной:

а) перестановка уравнений;

б) вычеркивание из системы уравнения вида 0х1+0х2+…+0хn=0;

в) умножение обеих частей, какого-то уравнения на одно и то же число отличное от нуля;

г) прибавление к обеим частям одного из уравнений соответствующих частей другого уравнения, умноженных на одно и то же число.

Решение систем методом Крамера.

Для простоты рассуждений рассмотрим систему из трех уравнений с тремя неизвестными

   (1.2)

где аij,bi –постоянные коэффициенты, (i=1, 2, 3, j=1, 2, 3), а хi – неизвестные.

Решением системы (1.2) называется совокупность чисел х1, х2, х3, которые обращают уравнения системы в верное числовое равенство.

Обозначим через Δ, Δ1, Δ2, Δ3 следующие определители:

Определитель Δ называется определителем системы (1.2) и составлен из коэффициентов при неизвестных этой системы. Определители Δ1, Δ2, Δ3 получаются из него путем замены первого, второго, третьего столбцов столбцом свободных членов. Правило Крамера состоит в том, что если Δ0, то неизвестные х1, х2, х3 находятся по формулам:

.

Если же Δ = 0, а хотя бы один из определителей Δ1, или Δ2, или Δ3 не равен нулю, то система (1.2) решений не имеет. Если же Δ =0 и
Δ1 =Δ2 =Δ3=0, то система (1.2) имеет бесчисленное множество решений.

Пример:

Решить систему линейных уравнений по формулам Крамера:

Вычислим определитель Δ системы:

Вычислим определители Δ1, Δ2, Δ3:

Таким образом,

.

Итак, х1=1, х2 =6, х3 =5

Метод обратной матрицы.

Обозначим через матрицу А матрицу системы (1.2), составленную из коэффициентов при неизвестных, через Х – матрицу – столбец из неизвестных, через В – матрицу-столбец из свободных членов:

.

Определение. Матрица А-1 называется обратной для матрицы А, если А-1·А=А·А-1 =Е, где Е – единичная матрица того же порядка, что и А.

Определение. Матрица А называется невырожденной, если ее определитель не равен нулю, т.е.

Каждая невырожденная матрица А имеет обратную, причем

,

где А11, А12, …А33 – алгебраические дополнения элементов матрицы А.

Систему (1.2) можно записать в матричной форме: А·Х=В.

Умножим слева на А-1 обе части этого равенства, получим:

А-1·А·Х = А-1·В. Так как А-1·А=Е, имеем Х= А-1·В – это решение системы в матричном виде. Следовательно, матрица – решение Х находится как произведение А-1 и В.

Пример:

Решить систему методом обратной матрицы:

Обозначим:

Тогда в матричной форме система имеет вид: АХ=В. Чтобы решить матричное уравнение, составим матрицу, обратную матрице А.

Чтобы определить, имеет ли матрица А обратную нужно найти её определитель. Если А,0, то матрица А имеет обратную матрицу А

, т.к. определитель матрицы А  О, то матрица А имеет обратную матрицу А-1

Составим транспонированную матрицу:.

Найдем алгебраические дополнения для Аij по формуле:
Аij=(-l)i+j Ч М:/, где Мц – минор. Минором Мц называется определитель матрицы, полученный путём вычёркивания i-строки и j-столбца.

Из алгебраических дополнений составим присоединённую матрицу

Находим обратную матрицу по формуле

Можно проверить правильность составления обратной матрицы
А -1 Ч А = Е:

Теперь по формуле Х=А-1В находим матрицу Х

Получили решение (1;1;1).

Метод Гаусса.

Рассмотрим решение системы методом Гаусса на конкретном примере:

Метод Гаусса заключается в том, что с помощью элементарных преобразований система приводится к равносильной системе ступенчатого вида, из которой последовательно, начиная с последних, находятся все остальные.

Составим расширенную матрицу из коэффициентов при переменных и свободных членов, поменяв первую и вторую строку, чтобы а11=1

Умножим элементы первой строки на (-2) и прибавим к соответствующим элементам второй строки, умножим элементы первой строки на
(-7) и прибавим к соответствующим элементам третьей строки. В результате получим в первом столбце, во второй и третьей строке 0.

Умножим элементы второй строки на (-9), а элементы третьей на 5 и полученные элементы второй строки прибавим к соответствующим элементам третьей строки, тогда получим:

Запишем преобразованные уравнения:

Теперь можно найти значения переменных, подставляя последовательно значение х3 во второе уравнение, найдем х2, подставим значения х2 и х3 в первое уравнение, найдем х1

Ответ: (1;1;1)

Пример:

Методом Гаусса решить систему линейных уравнений и найти одно из базисных решений:

Решение:

Составим расширенную матрицу и с помощью элементарных преобразований приведем её к ступенчатому виду.

r(A)=2, число переменных n=4, следовательно система имеет бесконечное множество решений.

Определитель при переменных х1 и х2 , следовательно их можно взять за основные. Остальные, неосновные переменные х3 и х4 переносим в правые части уравнений:

Нашли общее решение системы. Чтобы найти базисное решение, приравняем свободные переменные нулю, т.е. х3=х4=0. Получим базисное решение (-9; 5; 0; 0).

Элементы векторной алгебры

Вектором называется направленный отрезок, он обозначается двумя буквами  или одной .

Векторы называются коллинеарными, если они лежат на одной прямой или на параллельных прямых.

Векторы называются компланарными, если они лежат в одной плоскости или в параллельных плоскостях.

Координатами вектора в декартовом базисе называются его проекции на оси координат. Обозначим координаты вектора  через х, у, z получим следующее представление вектора в координатной форме:

 

В координатной форме сокращенно вектор можно записывать следующим образом .

Если вектор задан координатами начала и конца М1(х1,у1,z1) и М2(х2,у2,z2), то координаты вектора= (х2 – х1,у2 – у1, z2 – z1).

Длина вектора (модуль) находится по формуле:

.

Действия над векторами

Если векторы  и заданы координатами, то сумму и разность векторов, произведение вектора на число можно найти по формулам:

При умножении вектора на число получаем вектор коллинеарный данному, следовательно, можно сделать вывод:

Условием коллинеарности двух векторов является пропорциональность их координат.

Скалярным произведением двух векторов называется произведение их модулей, умноженное на косинус угла между ними .

Если векторы заданы координатами, то .

С помощью скалярного произведения можно определить угол между векторами:

.

Векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю .

Векторным произведением двух векторов  и называется вектор , определяемый следующими условиями:

1.  вектор перпендикулярен векторам  и ;
2.  вектор  имеет длину, численно равную площади параллелограмма, построенного на векторах а и в как на сторонах

1.  векторы а,в,с образуют правую тройку.

Если векторы  и  заданы координатами, то

Согласно определению, площадь параллелограмма, построенного на векторах  и , равна модулю их векторного произведения: , где SΔ – площадь треугольника, построенного на векторах  и .

Пример: Найти площадь треугольника, построенного на векторах , и угол между ними.

Чтобы найти площадь треугольника, найдем векторное произведение векторов  и

Чтобы найти угол между двумя векторами, воспользуемся формулой:

.

Элементы аналитической геометрии на плоскости

Основные понятия и определения

Прямая линия.

Если на плоскости произвольно взята декартова система координат, то всякое уравнение первой степени относительно текущих координат х и у
Ах + Ву + С =0, где А и В одновременно не равны нулю, определяют прямую в этой системе координат.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом: , где  – угловой коэффициент, α – угол наклона прямой к положительному направлению оси ОХ,  – величина отрезка, отсекаемого на оси ОУ.

– уравнение пучка прямых, проходящих через точку М0(х0;у0).

– уравнение прямой, проходящей через две точки М1(х1;у1), М2(х2;у2).

Пусть даны две прямые:

у=к1 х+в1 общее уравнение А1х + В1у +С1 = 0

у=к2х + в2 общее уравнение А2х +В2у + С2 = 0.

Угол между данными прямыми определяется по формуле

.

Условие параллельности прямых:

Две прямые параллельны, если их угловые коэффициенты равны, коэффициенты при переменных общих уравнений пропорциональны

т.е. .

Условие перпендикулярности прямых:

Две прямые перпендикулярны, если их угловые коэффициенты, обратные по значению и противоположные по знаку, сумма произведений коэффициентов при переменных общих уравнений равна нулю, т.е.

.

Расстояние от точки до прямой.

Пусть на плоскости заданы точка  М0(х0;у0 )  и прямая Ах + Ву + С = 0. Под расстоянием от точки М0 до прямой Ах + Ву + С = 0 принимается длина перпендикуляра, опущенного из точки  М0 на прямую. Данное расстояние можно определить по формуле:

Пример:

Даны вершины А(2; 1), В(6; 3), С(4; 5) треугольника.

Найти:

1.  уравнение и длину стороны АВ;
2.  уравнение высоты, проведенной из вершины С;
3.  уравнение медианы, проведенной через вершину С;
4.  длину высоты, опущенной из вершины С;
5.  величину внутреннего угла А;
6.  площадь треугольника АВС.

Сделать чертеж.

Решение.

Сделаем чертеж:

1. Длину стороны АВ находим как расстояние между двумя точками А и В.

Уравнение прямой АВ найдем по формуле уравнения прямой, проходящей через две точки.

2. Уравнение высоты, проведенной из вершины С, можно найти по формуле уравнения пучка прямых, проходящих через данную точку , и, так как СD перпендикулярно АВ, а угловой коэффициент АВ, можно найти .

Тогда у – 5 = - 2(х - 4), или 2х + у – 13 = 0.

3. Для определения уравнения медианы СМ найдем координаты точки М, которая делит отрезок АВ пополам

Медиана СМ проходит через две точки С(4; 5) и М(4; 2). Так как абсциссы этих точек равны, можно сделать вывод, что прямая СМ параллельна оси ОУ и ее уравнение имеет вид х = 4.

4. Чтобы найти длину высоты, опущенной из вершины С, воспользуемся формулой расстояния от точки до прямой. Уравнение прямой АВ имеет вид х – 2у = 0, С(4; 5).

.

5. Величину внутреннего угла А найдем как угол между двумя прямыми АС и АВ. Уравнение прямой АВ известно, оно имеет вид  х – 2у = 0. Составим уравнение прямой АС, воспользуемся формулой уравнения прямой, проходящей через две точки:

.

6. Чтобы найти площадь треугольника воспользуемся формулой

x

O

y

0

1

2

4

56

6

7

y

x

1

2

4

5

6

7

8

3

A

B

C

D

M

9

1. мода достаточно сложна причем сложности очевидны
2. первый месяц и второй месяц
3. І ПОНЯТТЯ ТА ПРАВОВА ОСНОВА ДІЯЛЬНОСТІ МІЛІЦІЇ
4. Тематична атестація за темою ldquo;Синоніми та фразеологізмиrdquo; 1 варіант Розподілити дані фразе
5. Сохраните Царские парки Пушкина и Павловска
6. документа У разі використання стандартної мови HTML для надання кільком елементам певних властивостей напри
7. 04 Кутовий штамп
8. как научиться чрезвычайно мало внимания отведено тому как сделать процесс обучения максимально гибким
9. Юридические дисциплины Основы права 1
10. издательским советом университета в качестве учебника для
11. новые ценности свободу индивидуума и уважение его прав и собственности снятие ограничений на частную ини
12. другой Будто бы вода давайте мчать болтая будто бы весна свободно и раскованно В небе во
13. а в правовой системе во взаимоотношении с государством общественными организациями и другими физическими
14. Саясаттану зерттеу объектісіне субъектісіне ж~не зерттеу п~ніне аны~тама бері~із ж~не т~сіндірі~із
15. органов других локализаций рак гортани составляет 40 60.html
16. реферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата філософських наук Одеса ' Дисертаці
17. НАУКА И ПРЕДНАУКА 11 В истории общества научное познание возникло значительно позже чем обыденное и
18. Контрольная работа 1 Задания для учащихся заочного отделения по специальности 249 01 31 Технология пищевы
19. Трудовое право Преподаватель- И
20. Дипломна робота Науковий керівник кандидат філологічних наук доцент Коробко

Материалы собраны группой SamZan и находятся в свободном доступе