Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Вопрос 15
Необходимое условие экстремума.
Достаточное условие экстремума,
выраженное через производную второго порядка.
ТЕОРЕМА 4.20. (Необходимое условие экстремума) Пусть функция определена и непрерывна на и – внутренняя точка . Если – точка экстремума функции , то либо , либо , либо не существует.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Если функция имеет в точке конечную производную, то по теореме Ферма. Случай, когда реализуется, например, для функции , где . (см.рисунок 1).
у
у
х
х
Рис. 2.
Рис. 1.
Случай, когда не существует реализуется, например, для функции , где .(см.рисунок 2).
Определение 4.5. Точка называется критической (или стационарной) для функции , если в ней выполняется одно из условий: , , не существует.
Таким образом, теорема 4.20 утверждает, что точки экстремума исследуемой функции следует искать среди ее критических точек. Однако неверно думать, что во всякой критической точке функция имеет экстремум. Например, для функции точка является критической, но в этой точке экстремума нет.
Определение 4.6. Если , то будем говорить, что функция меняет знак с «-» на «+» при переходе через точку . Если
,
то скажем, что функция меняет знак с «+» на «-» при переходе через точку . Если же
или
,
то говорят, что функция не меняет знак при переходе через точку .
_____________________________________________________________
ТЕОРЕМА 4.22. Пусть – внутренняя точка отрезка , на котором определена функция и выполняются следующие условия: и существует . Тогда если , то – точка минимума функции ; если же , то – точка максимума функции .
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Пусть . По определению . Учитывая, что , получаем . По теореме о сохранении функцией знака своего предела найдется такое, что в проколотой – окрестности точки будет выполняться неравенство , или при и при . Другими словами, . Это значит, что функция меняет знак при переходе через точку с «-» на «+». Следовательно, по теореме 4.21 точка есть точка минимума функции . В случае доказательство аналогично.