1

Что называется матрицей?

2

Что такое порядок матрицы?

3

Какие виды квадратных матриц вы знаете?

4

Приведите пример диагональной матрицы 5-го порядка.

5

Сколько ненулевых (не равных нулю) элементов содержит треугольная матрица 5-го порядка?

6

Приведите пример симметричной матрицы 4-го порядка.

7

Приведите пример треугольной матрицы 4-го порядка у которой сумма элементов на главной диагонали равна 0.

8

Запишите какую-нибудь числовую матрицу порядка 34 и транспонируйте её.

9

Что называют суммой двух матриц? Что называют разностью двух матриц? Приведите примеры.

10

Известно, что сумма матриц А и В равна матрице Е33. Запишите возможные матрицы А и В.

11

Как меняется порядок матрицы при умножении её (матрицы) на число?

12

Даны матрицы А34, В33, С54, Д53.. Запишите все возможные произведения этих матриц.

13

Даны матрицы А34, В33, С54, Д53. Запишите произведение двух матриц, содержащее наибольшее число элементов.

14

Даны матрицы А34, В33, С45, Д53. Допустимо ли выражение ВА-СД?

15

Даны матрицы А34, В33, С54, Д53. Допустимо ли выражение АТВ-СТД?

16

Даны матрицы А34, В33, С53, Д45. Допустимо ли выражение (ВА)Т-(ДС)Т?

17

Что такое частное двух матриц?

18

Что называется минором элемента матрицы? Приведите пример.

19

Что называется алгебраическим дополнением элемента матрицы? Приведите пример.

20

Что называется минором матрицы? Приведите пример.

21

Сколько миноров 2-го порядка имеет матрица порядка 32?

22

Сколько миноров 3-го порядка имеет матрица порядка 32?

23

Что называется рангом матрицы?

24

Какой наибольший ранг может иметь матрица порядка 34?

25

Какой наименьший ранг может иметь матрица порядка 34, если все элементы матрицы отрицательные числа?

26

Что называется определителями 1-го и  2-го порядка? Приведите примеры.

27

Приведите пример матрицы, для которой нельзя вычислить определитель. Объясните почему?

28

Что называется определителем 3-го порядка? Приведите пример.

29

Известно, что в треугольной матрице один из элементов главной диагонали равен 0. Может ли определитель такой матрицы быть не равным нулю? Обоснуйте ответ.

30

Перечислите свойства определителей.

31

Может ли измениться значение определителя, если его первый столбец и первую строку поменять местами?

32

Как изменится значение определителя матрицы, если исходную матрицу транспонировать

33

Как изменится значение определителя 3-го порядка, если все его элементы умножить на 2?

34

Используя определение для определителей 2-го порядка, докажите или опровергните справедливость следующего утверждения: «определитель не изменится, если к элементам любой его строки прибавить соответствующие элементы другой строки, умноженные на одно и то же число»

35

Как изменится значение определителя треугольной матрицы 4-го порядка, если первые два элемента главной диагонали умножить соответственно на 3 и 4?

36

Можно ли что-нибудь сказать об определителе 4-го порядка, если известно, что каждый элемент 3-го столбца равен сумме элементов первого и второго столбцов, стоящих в тех же строках? Обоснуйте ответ.

37

Приведите пример матрицы порядка 34 и вычислите её определитель.

38

Дайте определение определителя n-го порядка.

39

Вычисление определителя 4-го порядка сведено к вычислению определителей 3-го порядка. Сколько определителей 3-го порядка придется вычислить?

40

Вычисление определителя 5-го порядка сведено к вычислению определителей 3-го порядка. Сколько определителей 3-го порядка придется вычислить?

41

Запишите в общем виде систему m линейных уравнений с n неизвестными.

42

Запишите в общем виде однородную систему m линейных уравнений с n неизвестными.

43

Дайте определение решения системы линейных уравнений.

44

Что такое тривиальное решение? Приведите пример системы имеющей такое решение.

45

Запишите какую-нибудь систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными, решение которой: 1,3,0.

46

Запишите какую-нибудь систему 3-х линейных уравнений с тремя неизвестными, решение которой: 0,0,0.

47

Запишите какую-нибудь систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными, не имеющую решения.

48

Запишите однородную систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными, не имеющую решения.

49

Запишите какую-нибудь систему 3-х линейных уравнений с 3-мя неизвестными, имеющую бесконечное множество решений.

50

Какое наименьшее число решений может иметь система 3-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными? Приведите подтверждающий пример.

51

Какое наименьшее число решений может иметь однородная система 3-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными? Приведите подтверждающий пример.

52

Какое наибольшее число решений может иметь однородная система 3-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными?

53

Сформулируйте теорему Крамера о решении системы линейных уравнений.

54

Сколько определителей 5-го порядка нужно вычислить, чтобы найти решение системы 5-и уравнений с 5-ю неизвестными по правилу Крамера.

55

Запишите правило Крамера для решения системы линейных уравнений. При каких условиях его можно применять?

56

Докажите правило Крамера для решения системы 2-х линейных уравнений с 2-мя неизвестными.

57

В каком случае нельзя применять правило Крамера для решения системы линейных уравнений. Приведите пример.

58

Докажите теорему о решении однородной системы линейных уравнений, когда определитель системы не равен нулю.

59

Продолжите фразу: «Если для решения однородной системы линейных уравнений можно использовать правило Крамера, то решение …»

60

Определитель системы линейных уравнений равен 0. Может ли система не иметь решений? Если да, то в каком случае?

61

Определитель системы линейных уравнений равен 0. Может ли система иметь бесконечное множество решений? Если да, то в каком случае?

62

Определитель однородной системы линейных уравнений равен 0. Может ли система не иметь решений? Если да, то в каком случае?

63

Определитель однородной системы линейных уравнений равен 0. Может ли система иметь бесконечное множество решений? Если да, то в каком случае?

64

Ранг матрицы коэффициентов и ранг расширенной матрицы системы 5-и линейных уравнений с 4-мя неизвестными равны 3. Можно ли утверждать, что существует решение этой системы, в котором первая переменная равна 10? Обоснуйте ответ.

65

Ранг матрицы коэффициентов и ранг расширенной матрицы системы 5-и линейных уравнений с 4-мя неизвестными равны 3. Можно ли утверждать, что существует решение этой системы, в котором первая переменная равна 2, а вторая 1? Обоснуйте ответ.

66

В каком случае ранг расширенной матрицы системы линейных уравнений может быть больше ранга матрицы коэффициентов?

67

В каком случае ранг матрицы коэффициентов системы линейных уравнений может быть больше ранга расширенной матрицы?

68

Ранг расширенной матрицы больше ранга матрицы коэффициентов. Можно ли только на этом основании утверждать, что система линейных уравнений неоднородная?

69

Что такое обратная матрица?

70

Приведите пример матрицы порядка 34 и вычислите для неё обратную.

71

Запишите условие (условия) которому должна удовлетворять обратная матрица?

72

Возможна ли ситуация, когда для квадратной матрицы нельзя вычислить обратную. Если нельзя, то когда?

73

Ранг матрицы А равен 4. Какие значения может принимать ранг матрицы А-1?

74

Чему равна матрица А, если известно, что А·Е=Е.

75

Чему равна матрица А, если известно, что (Е-А)·Е=Е.

76

Запишите формулу для решения системы линейных уравнений в матричном виде.

77

В каком случае нельзя записать решение системы линейных уравнений в матричном виде, используя обратную матрицу?

78

Известно, что решение системы линейных уравнений можно получить, применив правило Крамера. Можно ли в этом случае записать решение системы в матричном виде, используя обратную матрицу? Если да, то почему?

79

Сколько различных обратных матриц можно построить для матрицы порядка 44?

80

Можно ли записать решение однородной системы линейных уравнений в матричном виде, используя обратную матрицу?

1

Что такое вектор?

2

Что называется модулем вектора?

3

Сумма модулей двух векторов равна 0. Что можно сказать об этих векторах?

4

Что такое коллинеарные векторы?

5

Могут ли два противоположно направленные векторы быть коллинеарными?

6

Из трёх векторов любые два коллинеарные. Можно ли утверждать, что все три коллинеарные?

7

Каждый из трёх векторов в 3-мерном пространстве перпендикулярен одной и той же прямой. Можно ли утверждать, что эти три вектора коллинеарные?

8

Что такое компланарные векторы?

9

Вектор коллинеарен одному из 3-х компланарных векторов, можно ли утверждать, что все 4-е вектора компланарны?

10

Какие линейные операции над векторами вы знаете?

11

Что называют суммой двух векторов? Изобразите на рисунке  пример построения суммы двух векторов.

12

Что называют разностью двух векторов? Изобразите на рисунке  пример построения разности двух векторов.

13

Что является результатом умножения вектора на число?

14

Как изменится модуль и направление вектора, если его умножить на      а) -2; б) 0,5

15

Запишите основные свойства линейных операций над векторами.

16

Какие векторы называются линейно зависимыми?

17

Какие векторы называются линейно независимыми?

18

Один из векторов можно представить в виде линейной комбинации остальных. Что можно сказать о совокупности этих векторов (как они называются)?

19

Ни один из 3-х векторов невозможно выразить через другие. Что можно сказать об этих 3-х векторах (как они называются)?.

20

Что такое базис n-мерного пространства? Сколько векторов образуют базис на плоскости и в 3-мерном пространстве?

21

Верно ли утверждение: „любые три вектора в 3-мерном пространстве образуют базис»? Если нет, обоснуйте возражения.

22

Верно ли утверждение: „любые три некомпланарные векторы в 3-мерном пространстве образуют базис»? Если нет, обоснуйте возражения.

23

Векторы a,b образуют базис на плоскости. Вектор d – некоторый вектор этого же пространства. Можно ли утверждать, что векторы a,d также образуют базис?

Если нет, приведите подтверждающий пример.

24

Что называют проекцией вектора на ось?

25

Может ли быть верным утверждение: „направление проекции вектора на ось противоположно направлению оси”? Обоснуйте ответ.

26

Как вычислить проекцию вектора на ось, если известен модуль вектора и угол между вектором и осью?

27

Что такое декартовая система координат?

28

Что такое орты?  (Дайте определение и изобразите графически)

29

Что называют координатами вектора?

30

Что такое радиус-вектор точки? (Дайте определение и изобразите графически)

31

Как найти координаты вектора, если известны координаты начальной и конечной точек вектора?

32

Как вычислить модуль вектора, если известны его координаты?

33

Что такое направляющие косинусы вектора? Как их вычислить, зная координаты вектора?

34

Что такое направляющие косинусы вектора? Каким соотношением они связаны?

35

Можно ли найти третий направляющий косинус вектора, если известны два? Если да, то как?

36

Известны два направляющих косинуса вектора и его модуль. Можно ли определить все координаты этого вектора. Если да, то как?

37

Что такое скалярное произведение векторов?

38

Может ли скалярное произведение векторов быть отрицательной величиной? Если да, то когда?

39

Верно ли утверждение: «скалярное произведение противоположных векторов отрицательно»? Обоснуйте ответ.

40

Сформулируйте необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух векторов.

41

Докажите необходимость равенства нулю скалярного произведения для перпендикулярных векторов.

42

Докажите достаточность равенства нулю скалярного произведения для перпендикулярности векторов.

43

Запишите все возможные скалярные произведения для орт.

44

Как вычисляется скалярное произведение векторов в декартовой системе, если известны координаты векторов?

45

Запишите условие перпендикулярности двух векторов через их координаты в декартовой системе координат.

46

Запишите какой-либо вектор перпендикулярный вектору a=1;2;-4. Обоснуйте ответ.

47

Какую тройку векторов называют правой? Нарисуйте правую тройку.

48

Векторы a,b,c образуют правую тройку векторов. Запишите , если это возможно, все возможные левые тройки векторов, образуемые этими же векторами.

49

Что называют векторным произведением векторов?

50

Треугольник построен на векторах a и b. Как можно вычислить его площадь?

51

Запишите необходимое и достаточное условие коллинеарности двух векторов?

52

Докажите необходимость равенства нулю векторного произведения для  коллинеарных векторов.

53

Докажите достаточность равенства нулю векторного произведения для  коллинеарности двух векторов.

54

Вычислите все возможные векторные произведения для орт.

55

Как вычисляется векторное произведение векторов в декартовой системе, если известны координаты векторов?

56

Как вычисляется площадь треугольника, построенного на векторах в декартовой системе, если известны координаты векторов?

57

Что называется смешанным произведением трёх векторов?

58

Может ли смешанное произведение быть отрицательным? Если да, то в каком случае? Если нет, то почему?

59

Как вычислить объём параллелепипеда построенного на трёх векторах?

60

Запишите условие компланарности трёх векторов.

61

Докажите необходимость равенства нулю смешанного произведения для компланарных векторов.

62

Верно ли утверждение : «если один из трёх векторов равен сумме двух других, то смешанное произведение этих трёх векторов равно нулю». Обоснуйте ответ.

63

Верно ли утверждение : «значение смешанного произведения компланарных векторов отрицательно». Обоснуйте ответ.

64

Запишите формулу для вычисления смешанного произведения векторов в декартовой системе координат.

65

Запишите необходимое и достаточное условие коллинеарности  векторов в декартовой системе координат.

66

Запишите формулу для вычисления объёма параллелепипеда, построенного на векторах в декартовой системе координат.

1

Запишите общее уравнение плоскости в пространстве.

2

Докажите, что любое линейное относительно независимых переменных уравнение определяет плоскость в декартовой системе координат.

3

Запишите уравнение какой-нибудь плоскости, параллельной оси Оy.

4

Запишите уравнение какой-нибудь плоскости, параллельной оси Оz.

5

Запишите уравнение какой-нибудь плоскости, перпендикулярной оси Оy.

6

Запишите уравнение какой-нибудь плоскости, перпендикулярной оси Оz.

7

Что такое нормальный вектор плоскости? Сколько нормальных векторов существует для одной плоскости?

8

Можно ли записать нормальный вектор плоскости 5x-2y+z-2=0 у которого координата по оси Оx равна 15. Если да, запишите этот вектор. Если нет, обоснуйте возражения.

9

Запишите уравнение какой-либо плоскости, перпендикулярной вектору a=3;2;-4

10

Запишите все виды уравнения плоскости, которые вы знаете.

11

Выведите уравнение связки плоскостей, проходящих через одну точку.

12

Запишите уравнения связки плоскостей, проходящих через точку (1,3,-1).

13

Выведите уравнение плоскости в отрезках исходя из общего уравнения плоскости.

14

Запишите уравнение плоскости в отрезках. Нарисуйте иллюстрирующий рисунок.

15

Запишите уравнение плоскости, отсекающей на осях координат Оx,Оy,Оz отрезки 1,2 и 3 соответственно. Сделайте рисунок.

16

Выведите уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

17

Запишите уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

18

Запишите уравнение плоскости, проходящей через точки А(1,-1,2), В(-1,1,2) и С(2,2,-1).

19

Запишите нормальное уравнение плоскости в векторном виде. Сделайте иллюстрирующий рисунок.

20

Запишите уравнение плоскости в нормальном виде. Сделайте иллюстрирующий рисунок.

21

Что нужно сделать, чтобы привести общее уравнение плоскости к нормальному виду?

22

Запишите уравнение плоскости, если известно, что расстояние от плоскости до начала координат равно 2, а перпендикуляр, опущенный из начала координат на плоскость образует со всеми тремя осями углы 45.

23

Какой вид уравнения плоскости используется при выводе формулы расстояния от точки до плоскости? Запишите уравнение плоскости в этом виде.

24

Как вычислить расстояние от точки до плоскости?

25

Расстояния от данной плоскости до  трёх различных точек равны. Верно ли утверждение: «три точки лежат в плоскости параллельной данной”? Аргументируйте ответ.

26

Что такое направляющий вектор прямой?

27

Запишите уравнение прямой в векторном виде. Сделайте иллюстрирующий рисунок.

28

Запишите уравнение прямой в параметрическом виде. Какие значения может принимать параметр?

29

Покажите, как от параметрического вида уравнения прямой можно перейти к каноническому? Какой смысл имеют величины, входящие в каноническое уравнение прямой?

30

Запишите каноническое уравнение прямой, проходящей через точку (2,4,6) и параллельной вектору a=3;1;-4.

31

Что такое уравнение прямой в общем виде?

32

Какое максимальное количество чисел может присутствовать при записи прямой в общем виде? Приведите пример.

33

Как определяется направляющий вектор прямой, если прямая задана в общем виде? Сделайте иллюстрирующий рисунок.

34

Что называют углом между прямыми? Как он вычисляется, если прямые заданы в каноническом виде?

35

Две прямые не пересекаются. Можно ли говорить об угле между ними? Обоснуйте ответ

36

Запишите условия параллельности и перпендикулярности двух прямых.

37

Что называют углом между прямой и плоскостью? Как он вычисляется, если прямая задана в каноническом виде, а плоскость в общем?

38

Запишите условия параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости.

39

Что называется эллипсом?

40

Запишите каноническое уравнение эллипса. Объясните значения параметров, сделайте рисунок.

41

Что такое эксцентриситет эллипса. Нарисуйте эллипс с эксцентриситетом равным 1 и эллипс с эксцентриситетом равным нулю.

42

Что называют директрисами эллипса? Запишите их уравнения, сделайте рисунок. Каким свойством, связанным с его директрисами, обладают точки лежащие на эллипсе?

43

Что называется гиперболой?

44

Запишите каноническое уравнение гиперболы. Объясните значения параметров, сделайте рисунок.

45

Запишите уравнения асимптот гиперболы, сделайте рисунок.

46

Что называют директрисами гиперболы? Запишите их уравнения, сделайте рисунок. Каким свойством, связанным с его директрисами, обладают точки лежащие на гиперболе?

47

Что называется параболой?

48

Запишите каноническое уравнение параболы. Объясните значения параметров, сделайте рисунок.

1

Какие числа называются рациональными?

2

Какие из ниже перечисленных чисел являются рациональными?

а) 1,567;   б) 1/3;   в) 2,673(3) ;   г) 7,456734… д) 7/4;  е)

3

Какие числа называются иррациональными?

4

Приведите примеры рациональных чисел.

5

Какие из ниже перечисленных чисел являются иррациональными?

а) 1,567;   б) 1/3;   в) 2,673(3) ;   г) 7,456734… д) 7/4;  е)

6

Какие числа называются действительными?

7

a и b – иррациональные числа. Результатом какой из следующих операций может быть рациональное число? а) a·b;    б) a+b;    в)  b-a  ;    г) a/b

8

a и b – иррациональные числа. Результатом какой из следующих операций может быть только иррациональное число?

а) a·b;    б) a+b;    в)  b-a  ;    г) a/b

9

Как связаны точки числовой оси и действительные числа?

10

Что называется функцией?

11

Что такое область определения функции?

12

Что называется окрестностью точки?

13

Является ли отрезок [1;2] окрестностью точки x=1,8?  Обоснуйте ответ.

14

Что называется  δ-окрестностью точки?

15

Какая функция называется чётной?

16

Какая функция называется нечётной?

17

Какая функция называется периодической?

18

Какая функция называется ограниченной?

19

Какая функция называется возрастающей?

20

Какая функция называется монотонной?

21

Верно ли утверждение: «функция y=x2  монотонна на интервале (- ,)»? Обоснуйте ответ.

22

Приведите пример ограниченной функции. Обоснуйте ответ.

23

Какие из следующих функций ограничены? а) y=x -1;   б) y=ln(x);   в) y=5cos(3x);   г) y=arctg(x)

24

Нарисуйте график функции  y = (x-1)2. Определите интервалы монотонности.

25

Нарисуйте график функции  y = (x-1)3.Определите интервалы монотонности.

26

Нарисуйте график функции  y = ln(x+1).  Определите интервалы монотонности.

27

Нарисуйте график функции  y = e(x-2). Определите интервалы монотонности.

28

Нарисуйте график функции  y = tg(x)+1. Определите интервалы монотонности.

29

Нарисуйте график функции  y = arctg(x) Определите интервалы монотонности.

30

Нарисуйте график функции  y = 2sin(x). Определите интервалы монотонности.

31

Нарисуйте график функции  y = ln│ x │. Определите интервалы монотонности.

32

Нарисуйте график функции    y = ln(-x). Определите интервалы монотонности.

1

Что называется последовательностью?

2

Что такое общий член последовательности?

3

Что называется пределом последовательности?

4

Приведите пример последовательности, предел которой равен 0.

5

Приведите пример последовательности, предел которой равен 1.

6

Что означает «x  стремится к a»?

7

Что называется пределом функции в точке?

8

Означает ли утверждение «x стремится к a», что переменная x должна принять значение равное a?

9

Что такое односторонний предел?

10

Что называют пределом функции при x стремящемся к бесконечности?

11

Что такое бесконечно малая величина? Приведите примеры бесконечно малых величин.

12

Что такое бесконечно большая  величина? Приведите примеры бесконечно больших величин.

13

Какая связь между бесконечно большой и бесконечно малой величинами?

14

Докажите теорему о связи бесконечно большой и бесконечно малой величинами?

15

Сформулируйте основные свойства бесконечно малых величин.

16

Верно ли утверждение: «Сумма любого числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая»?

17

Верно ли утверждение: «Произведение любого числа бесконечно малых величин есть величина бесконечно малая»?

18

Верно ли утверждение: «Частное от деления бесконечно малой величины на любую величину есть величина бесконечно малая»?

19

Если известно, что предел функции в точке x= a  равен А, как можно представить такую функцию?

20

Докажите теорему о пределе алгебраической суммы функций?

21

Докажите теорему о пределе произведения функций?

22

Докажите теорему о пределе частного функций?

23

Что такое неопределённость? Какие неопределённости вы знаете?

24

Что такое первый замечательный предел? Какую неопределённость он раскрывает?

25

Докажите первый замечательный предел.

26

Какие пределы, связанные с первым замечательным пределом вы знаете?

27

Что такое второй замечательный предел? Какую неопределённость он раскрывает?

28

Какие пределы, связанные со вторым замечательным пределом вы знаете?

1

Что называется производной функции?

2

Какой физический смысл производной функции?

3

Какой геометрический смысл производной функции?

4

Докажите, что производная функции в точке равна угловому коэффициенту касательной, проведенной к графику функции в этой же точке.

5

Найдите производную функции  y = x исходя из определения производной.

6

Найдите производную функции y=x2 исходя из определения производной.

7

Найдите производную функции  y = sin(x) исходя из определения производной.

8

Найдите производную функции y = cos (x) исходя из определения производной.

9

Найдите производную функции y=ln(x) исходя из определения производной.

10

Что такое сложная функция и как найти её производную?

11

Сформулируйте и докажите теорему о производной сложной функции.

12

Приведите пример сложной функции. Укажите, какая функция при этом является промежуточным аргументом.

13

Что такое обратная функция и как найти её производную?

14

Приведите примеры

а) взаимообратных функций;

б) пример функции, для которой нельзя построить обратную.

15

Сформулируйте и докажите теорему о производной обратной функции.

16

Найдите производную функции y=аx используя производную функции y=ln(x).

17

Что такое неявная функция и как найти её производную?

18

Приведите пример функции заданной неявно и найдите её производную.

19

Что такое логарифмическое дифференцирование? В каких случаях оно применяется?

20

Приведите пример функции для нахождения производной которой следует применять логарифмическое дифференцирование. Найдите производную этой функции.

21

Что называют производной n-го порядка ? Приведите пример.

22

Приведите пример функции, заданной параметрически.

23

Сформулируйте и докажите теорему о производной функции заданной параметрически.

24

Что называют дифференциалом функции?

25

Какой физический смысл дифференциала функции?

26

Какой геометрический смысл дифференциала функции?

27

Докажите, что дифференциал – главная линейная часть приращения функции.

28

Какое приближённое равенство, связанное с дифференциалом функции используется для приближённых вычислений?

29

Приведите пример использования приближённого равенства y ≈dy для вычисления значения функции.

30

Сформулируйте теорему Ролля о корнях производной.

31

Сформулируйте и докажите теорему Ролля о корнях производной

32

Дайте геометрическую интерпретацию теоремы Ролля.

33

Сформулируйте теорему Коши об  отношении приращений двух функций.

34

Сформулируйте и докажите теорему Коши об  отношении приращений двух функций.

35

Сформулируйте и докажите теорему Логранжа  о  конечном приращении функции.

36

Дайте геометрическую интерпретацию теоремы Логранжа  о  конечном приращении функции.

37

На промежутке от 1 до 3 функция дифференцируемая и максимальное значение производной функции равно 2. Может ли значение функции в точке x =3 быть равно 6, если в точке x =1 значение функции равно 1. Обоснуйте ответ.

38

На промежутке от 1 до 5 функция дифференцируемая и f(1)=2, f(5)=4.

Верно ли утверждение: «Производная функции может принимать в точках принадлежащих интервалу (1,5) значения 0; 0,5; 10» ?

Если неверно, запишите исправленное утверждение.

39

На промежутке от 1 до 5 функция дифференцируемая и f(1)=2, f(5)=4.

Верно ли утверждение: «Существуют точки, принадлежащие  интервалу (1,5), в которых производная функции принимает значения 0; 0,5; 10» ?

Если неверно, запишите исправленное утверждение.

40

Что такое правила Лопиталя? Для чего они используются?

41

Приведите пример использования правила Лопиталя для раскрытия неопределённости вида 0/0.

42

Докажите первый замечательный предел, используя правило Лопиталя.

43

Приведите пример использования правила Лопиталя для раскрытия неопределённости вида /.

44

Покажите, как используются правила Лопиталя для раскрытия неопределённостей 1, 00, 0.

45

Докажите второй замечательный предел, используя правило Лопиталя.

46

Сформулируйте и докажите теорему о необходимом условии монотонности функции.

47

Сформулируйте и докажите теорему о достаточном  условии монотонности функции.

48

Что такое точка максимума (минимума) функции?

49

Что такое точки экстремума?

50

Может ли значение функции в точке максимума быть меньше чем значение той же функции в точке минимума? Проиллюстрируйте ответ.

51

Сформулируйте и докажите теорему о необходимом условии экстремума функции.

52

Сформулируйте и докажите теорему о достаточном условии экстремума функции.

53

Что называют стационарными и критическими точками функции?

54

Функция имеет три критических точки. Что можно сказать о числе (количестве) экстремумов этой функции?

55

Функция на отрезке не имеет критических точек. Существуют ли наибольшее и наименьшее  значения функции на этом отрезке? Если «да», то в каких точках?

56

Какая функция называется выпуклой вверх (вниз)?

57

Сформулируйте теорему о выпуклости функции

58

Сформулируйте и докажите теорему о выпуклости функции.

59

Что называют точкой перегиба?

60

Может ли в точке перегиба производная функции не существовать? Если «да», приведите пример.

61

Может ли в точке перегиба вторая производная функции быть равной нулю? Если «да», приведите пример.

62

Всегда ли в точке перегиба вторая производная функции равна нулю? Если «нет», приведите пример.

63

Что называют асимптотой?

64

Что называют  вертикальной асимптотой? Приведите пример.

65

Как найти уравнение наклонной асимптоты заданной функции?

1

Что такое первообразная для функции?

2

Сколько первообразных имеет функция y = sin(x).

3

Сформулируйте теорему о разности значений двух первообразных одной и той же функции.

4

Что называют неопределённым интегралом?

5

Какая функция является первообразной для функции y = sin(x) (доказать).

6

Какая функция является первообразной для функции y=xn (доказать).

7

Какая функция является первообразной для функции  (доказать).

8

Сформулируйте свойства неопределённого интеграла.

9

Покажите, как выполняется замена переменной в неопределённом интеграле?

10

Докажите справедливость формулы интегрирования по частям.

11

Для неопределённых интегралов каких видов целесообразно применять  интегрирование по частям?

12

Запишите простейшие интегралы, к которым может быть сведено вычисление интеграла от рациональной функции.

13

Для чего используется метод неопределённых коэффициентов при интегрировании рациональных функций? Приведите пример.

14

Что такое универсальная тригонометрическая подстановка? Для чего она используется?

15

Запишите следующее утверждение, вставив вместо многоточий пропущенные слова:

«При вычислении интегралов от тригонометрических функций …. подстановка позволяет свести исходный интеграл к интегралу от …. функции.»

16

Приведите примеры интегралов от иррациональных функций.

17

Приведите пример интеграла от иррациональной функции, который можно найти с помощью подстановки x=mcos(t)

18

Приведите пример интеграла от иррациональной функции, который можно найти с помощью подстановки x=m/cos(t)

19

Приведите пример интеграла от иррациональной функции, который можно найти с помощью подстановки x=mtg(t)