Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ЛЕКЦІЯ № 2(1). «Матриці».
1. Основні означення.
2. Дії над матрицями.
3. Обрнена матриця. Ранг матриці.
4. Матричний запис системи лінійних рівнянь і її розв'язування.
П.1 Основні означення.
Матрицею розміром mn називається прямокутна таблиця чисел, що містить m рядків і n стовпців. Матриці позначаються великими літерами, наприклад, А, B, а елементи матриць – відповідними малими літерами з двома індексами: aij, bij. Перший індекс указує номер рядка, другий – номер стовпця, на перетині яких знаходиться елемент у матриці. Тобто, всі елементи матриці з однаковими першими індексами утворюють рядки, а елементи з однаковими другими індексами – стовпці матриці. Записуються матриці так:
(2.1)
Скорочені позначення: Аmn, (aij)
е)
верхня трикутна
д)
одинична
матриця
ґ)
діагональна
матриця
а)
нульова
(прямокутна)
матриця
г)
квадратна матриця
в)
матриця - стовпець
б)
матриця - рядок
Будь-якій квадратній матриці Аn n можна поставити у відповідність певне число, яке називається визначником цієї матриці і позначається символом det A. За означенням
.
Приклад 1. Знайти матрицю 3А – 2В, якщо
►
◄
Множення матриць. Операція множення матриць вводиться лише для узгоджених матриць. Матриця A називається узгодженою з матрицею B, якщо кількість стовпців першої матриці A дорівнює кількості другої матриці B. Добутком матриць Аmn і Bnk називається матриця у якої елемент дорівнює сумі добутків елементів i-го рядка матриці А на відповідні елементи j-го стовпця матриці В:
(2.2)
Це означення називають правилом множення рядка на стовпець. Кількість рядків матриці Сmn = Amk Bkn дорівнює кількості рядків матриці А, а кількість стовпців – кількості стовпців матриці B.
Приклад 2. Знайти AB і BA, якщо
►
.◄
Деякі властивості добутку матриць
АВ ≠ ВА. Якщо АВ = ВА, то матриці A і B називаються комутативними;
добуток діагональних матриць є діагональною матрицею;
EmmAmn = Amn, АmnЕnn = Аmn (Е – одинична матриця);
добуток квадратних матриць асоціативний: (АВ)С = А(ВС);
(А + B) C = А C + B C;
Amk Okn = Omn, Omk Akn = Omn (Omn – нульова матриця).
Транспонування матриці – перехід від матриці Аmn до матриці АTnm, в якій рядки й стовпці помінялися місцями зі збереженням порядку їх слідування, наприклад, якщо
A = то AT =
Властивості транспонування матриці
|
1) (A + B)T = AT + BT; 2) (A)T = AT; |
3) (AB)T = BTAT; 4) (AT)T = A. |
Елементарними називаються такі перетворення матриці:
Матриці A і B, одержані одна з одної у результаті елементарних перетворень, називають еквівалентними і позначають так: A ~ B.
Квадратна матриця А–1 називається оберненою до матриці А, якщо
А–1 A = A А–1 = E. (2.3)
Квадратна матриця А називається виродженою, якщо det(A) = 0, і невиродженою, якщо det(A) 0.
Теорема 1. Для того, щоб квадратна матриця А мала обернену, необхідно і досить, щоб вона була невиродженою. При цьому обернена матриця єдина і обчисляється за формулою
(2.4)
де Aij (i, j = ) – алгебраїчні доповнення елементів aij матриці A.
Доведення. ►Необхідність. Нехай існує А–1. Доведемо, що тоді А – невироджена матриця. За умовою А–1 A = A А–1 = E. Тоді |А–1 A| =| A| | А–1| =| E|=1, отже, det(A) 0, тобто матриця А невироджена.
Достатність. Нехай матриця А невироджена. Перевіримо, що для матриці, заданої формулою (2.4), виконуються рівності А–1 A = A А–1 = E.
.
Аналогічно A А–1 = E. Таким чином, А–1 – обернена матриця до матриці A.
Доведемо єдиність оберненої матриці. Нехай А’ – ще одна обернена матриця. Тоді
А–1 = А–1 E= А–1(А А’)=( А–1А) А’= Е А’= А’.
Таким чином, обернена матриця єдина. ◄
Виділимо в матриці Аmn k довільно обраних рядків і k стовпців. Нагадаємо, що визначник k-го порядку, складений з елементів, розташованих на перетині виділених рядків і стовпців, називають мінором k-го порядку і позначають Мk.
Рангом матриці А називається найбільший порядок відмінного від нуля мінора матриці. Ранг матриці А позначається rang(A), rg(A), r(A).
З означення рангу випливає, що
Якщо r(А) = r, то знайдеться хоча б один мінор Мr ≠ 0, а всі мінори порядку, більшого ніж r, дорівнюють нулю.
Зауваження 1. Ранг матриці визначається кількістю рядків ненульового мінора, а не його значенням.
Приклад 3. Обчислити ранг матриці
► Оскільки третій рядок пропорційний першому (e3 = 2e1), то будь-який мінор 3-го порядку М3 = 0 (за властивістю 6 визначників). Мінор 2-го порядку: М2 = 0 – 4 = – 4 0 r(A) = 2. ◄
Зауваження 2. Ранги еквівалентних матриць однакові.
П.4 Матричий запис системи лінійних рівнянь і її розв’язування.
Нехай задано систему, яка містить n лінійних рівнянь з n невідомими.
(2.5)
Систему (2.5) запишемо також у матричному вигляді:
A X = B, (2.6)
Якщо матриця А системи (2.5) невироджена (det A 0), то її розв’язок може бути поданий у вигляді:
X = A–1B. (2.7)