Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
Отчет по лабораторной работе №3
«Задача Коши»
Студент: Галл Р.Д.
Институт физики, нанотехнологий и телекоммуникаций, гр. 2097/2
СПбГПУ
Санкт-Петербург
2013 год
Задание 1. При интегрировании нескольких (3-4) систем линейных уравнений на основе информации о значениях собственных чисел матрицы системы оценить максимальную величину шага устойчивого интегрирования и проверить эту оценку экспериментально. Зафиксировать величину шага, при которой метод теряет устойчивость.
Собственные числа:
Система 1: λ1=-1+j*1; λ1=-1-j*1
Система 2: λ1=-9; λ1=-1
Система 3: λ1=-1000; λ1=-1
Система 5: λ1=0+j*1; λ1=0-j*1
Явный метод Эйлера. | 1 + λ*h | < 1 → h < .
Система 2.
|
Правая граница |
Шаг |
Тип |
|
10 |
0.1 |
Сходится |
|
10 |
0.2 |
Сходится |
|
10 |
0.3 |
Расходится |
Система 3. h < 0,002.
|
Правая граница |
Шаг |
Тип |
|
0,05 |
0.001 |
Сходится |
|
0,05 |
0.0019 |
Сходится |
|
0,05 |
0.0021 |
Расходится |
Система 5. Ни один h не удовлетворяет неравенству → расходимость при всех h.
|
Правая граница |
Шаг |
Тип |
|
0,0005 |
10-8 |
Расходится |
|
0,05 |
10-5 |
Расходится |
|
10 |
1 |
Расходится |
Неявный метод Эйлера. h > 0 → сходимость при всех h.
Система 2.
|
Правая граница |
Шаг |
Тип |
|
10 |
1 |
Сходится |
|
100 |
10 |
Сходится |
|
1000 |
100 |
Сходится |
Система 3. h > 0.
|
Правая граница |
Шаг |
Тип |
|
10 |
1 |
Сходится |
|
20 |
3 |
Сходится |
|
5 |
0.1 |
Сходится |
Система 1. h > 0.
|
Правая граница |
Шаг |
Тип |
|
10 |
1 |
Сходится |
|
100 |
10 |
Сходится |
|
1000 |
100 |
Сходится |
Метод трапеции. h > 0.
Система 2.
|
Правая граница |
Шаг |
Тип |
|
10 |
1 |
Сходится |
|
500 |
10 |
Сходится |
|
2000 |
100 |
Сходится |
Система 3. h > 0.
|
Правая граница |
Шаг |
Тип |
|
5 |
0.1 |
Сходится |
|
20 |
1 |
Сходится |
|
20 |
1.1 |
Сходится |
Система 1. h > 0.
|
Правая граница |
Шаг |
Тип |
|
10 |
1 |
Сходится |
|
300 |
10 |
Сходится |
|
16000 |
100 |
Сходится |
Вывод: Эксперимент подтвердил расчетные данные. В данном эксперименте неявный метод Эйлера и метод трапеции были более эффективными, чем явный метод Эйлера, т.к. при использовании этих методов сходимость наблюдалась при всех шагах интегрирования: мы можем выбрать произвольный шаг; а в явном методе Эйлера есть строгое ограничение.
Задание 2. При интегрировании системы нелинейных уравнений обратить внимание на эффективность различных методов реализации схемы прогноз-коррекция.
Система №15.
|
Шаг по методу трапеции по схеме П(ВК) |
Ошибка по методу трапеции по схеме П(ВК) |
Шаг по методу трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом |
Ошибка по методу трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом |
|
0.0001 |
3.1*10-7 |
0.0001 |
1.2*10-7 |
|
0.0005 |
3.3*10-6 |
0.0005 |
3.3*10-7 |
|
0.001 |
1.4*10-5 |
0.001 |
1.4*10-5 |
|
- |
- |
0.1 |
1.4*10-1 |
|
- |
- |
1 |
21 |
Вывод: точность при использовании метода трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом выше, чем при использовании метода трапеции по схеме П(ВК), т.к. при одинаковом шаге интегрирования ошибка по методу трапеции по схеме П(ВК) больше. Кроме того, метод трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом позволяет использовать больший шаг интегрирования.
Задание 3. Исследовать поведение полной ошибки численного решения при интегрировании с постоянным шагом методами различного порядка. (Методы Эйлера, РК2 – РК4), т.е. получить зависимость максимальной погрешности решения задачи от порядка метода при условии постоянства шага интегрирования, и методами одного порядка при вариациях величины шага. Дать качественное описание поведения функции полной погрешности решения.
Правая граница интервала равна 10.
|
Метод |
Система |
Шаг |
Ошибка |
|
Явный метод Эйлера |
1 |
0.001 |
5*10-3 |
|
0.01 |
5*10-2 |
||
|
0.1 |
5.4*10-1 |
||
|
Неявный метод Эйлера |
1 |
0.001 |
5*10-3 |
|
0.01 |
5.1*10-2 |
||
|
0.1 |
4.7*10-1 |
||
|
Рунге-Кутта 2 |
1 |
0.001 |
3.2*10-6 |
|
0.01 |
3.2*10-4 |
||
|
0.1 |
3.4*10-2 |
||
|
Рунге-Кутта 3 |
1 |
0.001 |
2.1*10-9 |
|
0.01 |
1.1*10-6 |
||
|
0.1 |
1.1*10-3 |
||
|
Рунге-Кутта 4 |
1 |
0.001 |
1.2*10-9 |
|
0.01 |
2.1*10-9 |
||
|
0.1 |
2.3*10-5 |
Вывод:
Функция полной погрешности решения по методу РК4 имеет 6 экстремумов, наибольшая ошибка находится по 3-му экстремуму. Для остальных методов функция полной погрешности имеет 3 экстремума, максимальная ошибка находится по первому экстремуму.
Задание 4. При интегрировании жестких задач:
- получить экспериментальные характеристики эффективности явных методов (методы РК4, явный Эйлера);
- установить возможность и условия интегрирования задачи неявными методами с большим и постоянным шагом (метод трапеции);
- сравнить эффективность применения метода Гира второго порядка и метода трапеции.
1. Получение экспериментальных характеристик эффективности явных методов (методы РК4, явный Эйлера).
Вывод: В данном эксперименте метод Рунге-Кутты 4 оказался более эффективным, чем явный метод Эйлера. Кроме того, эксперимент показал, что при интегрировании жёсткой задачи при шагах 0.0005 и 0.001 ошибка по методу Рунге-Кутта 4 на два порядка меньше, чем по явному методу Эйлера. Метод Рунге-Кутта 4 даёт ошибку на порядок, в 2-3 раза меньший, чем явный метод Эйлера (при интегрировании жёсткой задачи), а при интегрировании не жёсткой задачи порядок ошибки по РК4 был меньше в 4 раза, следовательно, при интегрировании жесткой задачи использование метода более высокого порядка не даёт такого прироста точности.
Система №3.
Правая граница интервала равна 0,05.
|
Метод |
Шаг |
Ошибка |
|
Рунге-Кутта 4 |
0,0001 |
2.6*10-7 |
|
Рунге-Кутта 4 |
0,0005 |
2,3*10-4 |
|
Рунге-Кутта 4 |
0,001 |
5,5*10-3 |
|
Явный метод Эйлера |
0,0001 |
1,4*10-2 |
|
Явный метод Эйлера |
0,0005 |
9,2*10-2 |
|
Явный метод Эйлера |
0,001 |
2,8*10-1 |
2. Установка возможности и условия интегрирования задачи неявными методами с большим и постоянным шагом (метод трапеции).
Правая граница интервала: 0.05. система №3.
|
Шаг |
Получаемая ошибка |
|
|
Метод трапеции по схеме П(ВК) |
Метод трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом |
|
|
0.00001 |
2.4*10-6 |
2.4*10-6 |
|
0.0001 |
2.6*10-4 |
2.4*10-4 |
|
0.001 |
2.7*10-2 |
2.6*10-2 |
|
0.01 |
- |
0.51 |
Вывод: для использованной в данном эксперименте системы 3 (для жесткой системы) при всех выбранных шагах оказалось возможным провести интегрирование задачи по обоим методам. При интегрировании жесткой задачи ошибка, получаемая при использовании метода трапеции по схеме П(ВК), имеет тот же порядок, что и при использовании метода трапеции по схеме ПК с итер. Ньютона и регул. шагом. Кроме того, при увеличении шага на порядок получаемая ошибка увеличивается на два порядка как для метода трапеции по схеме П(ВК), так и для метода трапеции по схеме с итер. Ньютона и регул. шагом.
3. Сравнение эффективности применения метода Гира второго порядка и метода трапеции.
Метод Гира второго порядка:
|
Заданная точность |
Ошибка (Трапеции) |
Ошибка (Гира) |
|
0.1 |
1.4*10-4 |
1.2*10-2 |
|
0.01 |
1.7*10-5 |
1.2*10-2 |
|
0.001 |
1.8*10-6 |
9.5*10-3 |
|
0.0001 |
2.1*10-7 |
2.7*10-3 |
|
0.00001 |
2.3*10-8 |
6.3*10-4 |
|
Шаг |
Ошибка (Трапеции) |
Ошибка (Гира) |
|
0,00001 |
2.3*10-6 |
9.2*10-6 |
|
0,0001 |
2.5*10-4 |
8.6*10-4 |
|
0,001 |
2.7*10-2 |
2.8*10-2 |
Вывод: 1) и метод трапеции, и метод Гира выполнили заданные условия точности, но метод Гира требует меньше времени, следовательно, метод Гира является более эффективным, чем метод трапеции. 2) При постоянном шаге ошибка по обоим методам имеет одинаковый порядок (но по методу Гира ошибка немного больше), а по затратам времени оба метода имеют одинаковую эффективность.