Если у вас возникли сложности с курсовой, контрольной, дипломной, рефератом, отчетом по практике, научно-исследовательской и любой другой работой - мы готовы помочь.
Предоплата всего
Подписываем
ГЛАВА III. ГИДРОДИНАМИКА
3.1. Основные понятия гидродинамики
Гидродинамика – это раздел гидравлики, в котором изучаются закономерности движения жидкости.
Гидродинамика, или динамика жидкости, существенно отличается от динамики твердого тела. Отдельные частицы твердого тела жестко связаны друг с другом, а в движущейся жидкой среде такие связи отсутствуют, жидкая среда состоит из множества частиц, движущихся одна относительно другой. Законы гидродинамики, определяющие закономерности движения жидкости, сложнее законов покоящейся жидкости. В покоящейся жидкости существует лишь одна характерная величина – гидростатическое давление. При движении состояние жидкости определяется не только давлением, но и величинами и направлением скоростей и ускорений отдельных частиц жидкости. Скорости в данной точке пространства, занятого движущейся жидкостью, являются в общем случае функциями координат этой точки и времени.
Задача гидродинамики – установление связи в движущемся потоке между давлением и кинематическими характеристиками потока. Величины скорости и давления могут изменяться в зависимости от времени и координат рассматриваемой точки.
Введем понятие идеальной жидкости – это такая воображаемая жидкость, которая совершенно лишена вязкости. В такой невязкой идеальной жидкости возможен лишь один вид внутренних напряжений – нормальные напряжения сжатия, т. е. гидромеханическое давление или просто давление. Давление в движущейся идеальной жидкости обладает теми же свойствами, что и в неподвижной жидкости:
При рассмотрении движения жидкости различают установившееся и неустановившееся движение.
Если скорость и давление зависят только от координат, т. е. в любой точке потока несжимаемой жидкости эти величины с течением времени остаются неизменными, то такое движение называется установившимся. При установившемся движении скорость и давление являются функцией только координат точки:
u = f (x, y, z) и p = f (x, y, z).
Пример установившегося движения – течение воды по трубопроводу при постоянном напоре.
Если давление и скорость в потоке зависят не только от координат, но и от времени, т. е.
u = f (t, x, y, z) и p = f (t, x, y, z).
то такое движение называется неустановившимся.
Примерами неустановившегося движения могут быть – разгон или торможение жидкости в трубах при включении (выключении) насосов, истечение воды при опорожнении резервуара через отверстие и т. п.
Установившееся движение бывает равномерным и неравномерным.
Равномерным называется движение, при котором скорости жидкости не меняются и с течением времени, и по длине потока, т. е. в сходственных точках поперечных сечений скорости одинаковы по всей длине потока.
Если при движении скорости жидкости, не изменяясь во времени, меняются по длине потока, то такое установившееся движение называется неравномерным. Такой характер движения бывает при сужении или расширении потока в реке, на повороте, в конфузорах и диффузорах.
Напорным называется такое движение, при котором поток со всех сторон ограничен твердыми, жесткими направляющими стенками. Обычно это – движение жидкости в трубах при полном их заполнении (водопроводы, нефтепроводы). Такое движение происходит за счет избыточного давления, создаваемого насосом или водонапорным баком.
Движение, при котором поток лишь частично ограничен твердыми стенками и имеет свободную поверхность, называется безнапорным. Например, течение в реках, водосливных лотках, канализационных трубах. Давление на свободной поверхности обычно равно атмосферному. Движение в таких потоках происходит за счет геометрического уклона русла, т. е. под действием силы тяжести.
Введем еще некоторые определения.
Совокупность или геометрическое место точек, через которые последовательно проходит жидкая частица при своем движении, называется траекторией частицы.
При установившемся движении траектории частиц жидкости являются неизменными во времени.
При неустановившемся течении траектории различных частиц, проходящих через данную точку пространства, могут иметь разную форму.
Линия тока – это линия, касательная к которой в любой точке совпадает с направлением вектора скорости частиц жидкости в данный момент времени (рис. 3.1).
Рис. 3.1
При установившемся течении линия тока совпадает с траекторией частицы жидкости и не меняет своей формы во времени.
Если в движущейся жидкости взять малый замкнутый контур и через все его точки провести линии тока, то образуется трубчатая поверхность, называемая трубкой тока. Если уменьшать размеры замкнутого контура, то часть потока, заключенная внутри трубки тока станет элементарной струйкой, т. е. такой струйкой, в поперечном сечении которой скорости можно считать одинаковыми – рис. 3.2.
Рис. 3.2
При установившемся движении:
При дальнейшем стремлении поперечных размеров струйки к нулю она в пределе стягивается в линию тока.
Перетекания жидкости из одной струйки тока в другую нет, элементарная струйка представляет собой самостоятельный элементарный поток. Таким образом, жидкость втекает во входное отверстие струйки тока и вытекает через выходное, не проникая через ее боковые поверхности. Потоки конечных размеров можно рассматривать как совокупность элементарных струек, т. е. предполагать течение струйным. Из-за различия скоростей струйки будут как бы скользить одна по другой, но перемешиваться не будут.
Введение таких представлений дает возможность использовать для элементарной струйки математический аппарат дифференциального исчисления и интегрирования по всему сечению потока для получения уравнений и закономерностей движения жидкости.
Движение жидкости, при котором линии тока являются строго параллельными прямыми, будем называть параллельноструйным. На практике часто встречаются течения, отличные от параллельноструйных.
Рис. 3.3
Плавно изменяющееся движение – это движение, близкое к параллельноструйному, при котором радиус кривизны линий тока достаточно велик, а угол, образованный крайними линиями тока рассматриваемого потока (или элементарной струйки), близок к нулю (угол θ, рис. 3.3).
Назовем живым сечением потока поверхность, проведенную перпендикулярно линиям тока и находящуюся внутри потока. Поскольку распределение скоростей в потоках в общем случае неравномерно, линии тока в них не параллельны друг другу и живые сечения представляют собой криволинейные поверхности. Например, при движении жидкости в конически расходящейся трубе (рис. 3.4), когда поток состоит из расходящихся элементарных струек, живое сечение представляет собой криволинейную поверхность ABC. Если линии тока в потоке будут параллельными (течение параллельноструйное), живое сечение будет плоским.
Рис. 3.4
Живое сечение может быть ограничено твердыми стенками полностью или частично.
Рис. 3.5
Величина живого сечения определяется его площадью. Однако условия течения жидкости зависят не только от площади живого сечения, но и от его формы. На рис. 3.5 представлены поперечные сечения двух каналов. Хотя живые сечения обоих каналов представляют собой прямоугольники с равновеликими площадями, очевидно, что условия движения жидкости по ним будут разными из-за неодинакового отношения глубины к ширине потока.
Длина линии поперечного сечения, по которой жидкость соприкасается с твердой границей потока, называется смоченным периметром. При напорном течении жидкости, когда поток со всех сторон ограничен твердыми стенками, смоченный периметр будет равен полному периметру живого сечения. В случае безнапорного течения часть периметра поперечного сечения потока, приходящаяся на свободную поверхность жидкости, не включается в расчет смоченного периметра.
Для трубы радиуса r, полностью заполненной жидкостью, смоченный периметр равен (рис. 3.6.а)
.
В случае безнапорного течения в канале прямоугольного поперечного сечения (рис. 3.6.б)
.
Отношение площади сечения потока жидкости ω к смоченному периметру называется гидравлическим радиусом R.
Для напорного потока в круглой трубе (рис. 3.6.а)
Для безнапорного потока (рис. 3.6.б)
.
Из этой формулы понятно, что гидравлический радиус канала а на рис. 3.5 больше гидравлического радиуса канала б.
|
a |
б |
|
Рис. 3.6 |
Расходом называют количество жидкости (в объемных или весовых единицах), протекающее через поперечное (живое) сечение потока в единицу времени. В зависимости от того, в каких единицах определяется количество жидкости, различают объемный Q, весовой Qв и массовый Qм расходы. Зависимость между ними следующая
где V – количество (объем) жидкости;
– плотность жидкости;
g – ускорение свободного падения.
В гидравлике чаще всего используют объемный расход, далее под термином «расход» будем понимать именно объемный расход, если специально не оговорим иное.
Рассмотрим движение жидкости на участке элементарной струйки (рис. 3.7). Частичка жидкости перемещается от сечения 1 к сечению 2 за промежуток времени dt, проходя при этом расстояние l. Поскольку стенки трубки тока непроницаемы для движущейся жидкости, количество жидкости, прошедшее через сечение 1 за время dt будет равным объему цилиндра:
,
где dω – площадь живого сечения струйки.
Рис. 3.7
Элементарный объемный расход, т. е. количество жидкости, прохо-дящее в единицу времени через живое сечение элементарной струйки, определится как
.
Если рассматривать поток жидкости как совокупность элементарных струек, то общий расход потока определится как сумма элементарных расходов отдельных струек:
.
Чтобы вычислить расход по этой формуле, нужно знать распределение скорости движения жидкости во всех точках живого сечения (рис. 3.8). Чтобы упростить расчеты для практического применения, вводится понятие средней скорости потока.
Средняя скорость в сечении – это скорость, с которой данное сечение должны проходить все частицы жидкости, чтобы расход Q для этого сечения был равен действительному расходу при неравномерном распределении скоростей по сечению.
Рис. 3.8
Тогда уравнение расхода для полного потока запишется как
,
где: – средняя по сечению скорость жидкости.
Среднюю скорость тогда можно определить как
.
Средняя скорость по живому сечению – абстрактное понятие, введенное для упрощения изучения движения жидкости.
3.2. Уравнение неразрывности
Уравнение неразрывности как для элементарной струйки, так и для всего потока – это математическое выражение условия сплошности потока при установившемся течении жидкости.
Выделим в потоке элементарную струйку (рис. 3.9).
Рис. 3.9
Рассмотрим участок между сечениями 1–1 и 2–2. За время dt внутрь этого участка через сечение 1–1 войдет количество жидкости, равное объему цилиндра с площадью основания dS1 и образующей u1dt. Через сечение 2–2 за это же время вытечет объем жидкости, равный . Отметим следующие обстоятельства:
Это означает, что будет справедливым равенство
,
откуда
|
. |
(3.1) |
Для других сечений будут справедливы такие же соотношения:
.
Это уравнение (3.1) и выражает условие неразрывности элементарной струйки, из него следует, что через все сечения струйки проходит одинаковый расход жидкости. Из уравнения понятно, что
,
т. е. скорости течения в разных сечениях элементарной струйки обратно пропорциональны площадям этих сечений.
Для полного потока уравнение неразрывности можно получить, проинтегрировав уравнение (3.1) по площадям соответствующих сечений полного потока (рис. 3.9):
.
Используя понятие средней скорости по сечению
,
можно записать
|
. |
(3.2) |
Так как сечения 1–1 и 2–2 выбраны произвольно, то и для любых других сечений это равенство будет справедливо.
|
. |
(3.3) |
Уравнения (3.2) и (3.3) и есть уравнения неразрывности полного потока. Они показывают, что объемный расход несжимаемой жидкости при установившемся движении остается постоянным вдоль всего потока.
Из уравнения (3.2) следует, что средние скорости потока обратно пропорциональны площадям соответствующих живых сечений:
.
3.3. Уравнение Бернулли
3.3.1. Уравнение Бернулли для элементарной струйки
идеальной жидкости
Выделим при установившемся течении в движущейся жидкости элементарную струйку и отметим в ней два сечения – 1–1 и 2–2 (рис. 3.10). Площади этих сечений – ω1 и ω2, координаты их центров тяжести – z1 и z2 соответственно.
Рис. 3.10
В момент времени t жидкость находится между сечениями 1–1 и 2–2. Она занимает объем, состоящий из отсеков I и III (рис. 3.10). Через промежуток времени dt жидкость переместится в новое положение и будет занимать объем, состоящий из отсеков III и II.
В соответствии с теоремой механики, приращение кинетической энергии системы за какой-то промежуток времени равно работе внешних сил за этот промежуток времени. При переходе из начального положения (жидкость занимает объем отсеков I и III) в последующее (отсеки II и III) при установившемся движении кинетическая энергия общего отсека III останется неизменной, поэтому приращение кинетической энергии произойдет за счет изменения энергии отсеков I и II.
Массы жидкости в отсеках определятся как
Здесь – расход жидкости в струйке.
Оказывается, массы отсеков I и II равны, поэтому в дальнейшем индексы у обозначения массы опускаем. Тогда
|
(3.4) |
Из внешних сил работу совершают поверхностные силы давления и массовые силы, в рассматриваемом случае это силы тяжести.
Из сил давления могут совершить работу только силы, действующие на торцевые сечения ω1 и ω2 – это силы P1 и P2. Силы давления, действующие на боковые поверхности струйки, направлены перпендикулярно оси потока и их работа равна нулю. Работа сил давления
|
(3.5) |
Работа сил тяжести состоит в том, что отсек I переместится в отсек II, поскольку отсек III остается на месте. Массы и, следовательно, веса отсеков одинаковы, поэтому работу сил тяжести можно записать как (вес равен ):
|
. |
(3.6) |
Приравнивая изменение кинетической энергии (3.4) сумме работ внешних сил (3.5) и (3.6), находим
Разделим все члены этого уравнения на . Таким образом, отнесем уравнение к единице веса протекающей жидкости. Получим
или
|
(3.7) |
Это и есть уравнение Бернулли для элементарной струйки идеальной жидкости. Все члены уравнения имеют линейную размерность.
Из вывода понятен физический смысл уравнения Бернулли – оно является частным случаем закона сохранения энергии, а именно – отражает сохранение энергии частиц жидкости, движущихся вдоль линии тока.
Все члены уравнения (3.7) являются удельными энергиями, т. е. энергиями, отнесенными к единице веса протекающей жидкости. Член характеризует удельную кинетическую энергию потока, член – потенциальную энергию давления, а z – потенциальную энергию положения, которая равна высоте расположения частиц над условно выбранной плоскостью сравнения. Все вместе в сумме они дают полную (механическую) удельную энергию потока.
Таким образом, из уравнения Бернулли следует, что при движении частиц жидкости по длине элементарной струйки полная механическая энергия частиц (сумма удельных энергий) не изменяется.
Члены уравнения Бернулли имеют и другие названия, связанные с их линейной размерностью.
Член называется скоростным напором;
– пьезометрическим напором или пьезометрической высотой;
z – геометрическим напором или геометрической высотой.
Геометрический смысл уравнения Бернулли заключается в том, что сумма высот скоростного, пьезометрического и геометрического напоров есть величина постоянная.
Зачастую два члена уравнения Бернулли, характеризующие потенциальную энергию, объединяют в один, обозначив:
Тогда уравнение Бернулли запишется так:
|
(3.8) |
Напомним, что уравнение Бернулли выведено нами для идеальной жидкости (без учета вязкости). При рассмотрении реальной, т. е. вязкой жидкости, в балансе энергии необходимо учесть еще и потери энергии, обусловленные возникновением сил трения. Однако опыт показал, что, если силы трения малы по сравнению с массовыми силами, уравнение Бернулли для идеальной жидкости можно использовать для решения некоторых задач движения реальной жидкости.
3.3.2. Примеры использования в технике уравнения Бернулли для идеальной жидкости
Водомер Вентури
В качестве примера использования уравнения Бернулли рассмотрим работу так называемого пьезометрического водомера (водомера Вентури). Он представляет собой сужение на трубопроводе, в которое включены пьезометры (рис. 3.11).
Рис. 3.11
Пусть известны диаметры труб d1 и d2 в сечениях и отметки свободной поверхности в пьезометрах и . Требуется найти расход Q жидкости, протекающей по трубопроводу, пренебрегая потерями.
Уравнение Бернулли для первого и второго сечений потока
Очевидно, что
Обозначив разность – = h, получим
Подставляя
будем иметь
Обозначив отношение площадей , определим расход
.
Если мы хотим выразить расход через параметры второго сечения, то, рассуждая аналогично, находим:
,
здесь .
Иногда для учета потерь в эти формулы вводят коэффициент (порядка 0,97 – 0,99).
Измеряют расход жидкости, протекающей по трубопроводу, также с помощью диафрагмы, устанавливаемой в сечении трубы. Принцип измерения тот же – при резком изменении диаметра проходного сечения меняется скорость течения. В соответствии с уравнением Бернулли изменяется давление, и разность пьезометрических напоров измеряется либо пьезометрами, либо дифференциальным манометром (рис. 3.12).
Рис. 3.12
Трубка Пито
Устройство, называемое «трубка Пито», используется для измерения скоростей потока жидкости.
В некоторой точке потока установим две трубки (рис. 3.13): обычную трубку пьезометра и открытую сверху трубку, нижний конец которой изогнут навстречу течению так, что его ось совпадает с направлением скорости. Диаметры трубок должны быть значительно меньше характерных размеров потока, чтобы не вносить больших искажений в распределение скоростей.
Составим уравнение Бернулли для двух сечений: проходящего через точку B – нижний конец пьезометра, и проходящего через точку A – носик изогнутой трубки.
.
Расположим нижний конец пьезометра и носик изогнутой трубки на одной горизонтали, тогда . Носик изогнутой трубки является критической точкой, линия тока упирается в него и скорость потока в этой точке равна нулю (укрупненная врезка на рис. 3.13).
Рис. 3.13
Тогда уравнение Бернулли приобретет вид
.
Правая часть этого уравнения характеризует высоту подъема жидкости в изогнутой трубке. Из уравнения видно, что эта высота будет больше высоты столба жидкости в пьезометре на величину скоростного напора в точке B – у нижнего конца пьезометра. Сближая пьезометр и изогнутую трубку, можно определить значения скорости в непосредственной близости от носика трубки. Обозначив , получим , откуда
.
Действительная конструкция прибора для измерения скорости потока жидкости – трубки Пито – показана на рис. 3.14.
Рис. 3.14
Две трубки помещены в один корпус. Центральная динамическая трубка воспринимает полный напор , а наружная статическая трубка – только пьезометрический напор, так как скорость потока направлена по касательной к плоскости отверстий. Обе трубки подключены к дифференциальному манометру, который определяет разность напоров в трубках h, равную скоростному напору.
Струйные насосы (эжекторы)
Водоструйные насосы (эжекторы) получили из-за простоты конструкции и безопасности работы весьма разнообразное применение.
Рис. 3.15
Схема струйного насоса приведена на рис. 3.15. Для работы водоструйного насоса необходим еще один насос, который подает под большим давлением рабочий расход воды Qр. Из рабочего трубопровода 1 вода поступает в сопло 2, где из-за уменьшения площади сечения еще больше ускоряется. На выходе из сопла, благодаря значительному возрастанию скорости, давление в струе становится ниже атмосферного. За счет создающегося таким образом вакуума по всасывающей трубе 4 засасывается дополнительный расход жидкости Qвс. В камере 3 оба потока смешиваются и поступают в расширяющуюся трубу. Здесь скорость потока уменьшается, и кинетическая энергия в значительной части переходит в потенциальную энергию давления, под действием которого суммарный расход жидкости перемещается далее по напорному трубопроводу. Давление, развиваемое водоструйным насосом, меньше давления, создаваемого рабочим насосом, но расход больше. Всасываемый расход Qвс может быть равен рабочему расходу Qр и даже превосходить его в 1,5 – 2 раза.
На том же принципе основано действие пневматических перегрузочных устройств для сыпучих грузов. Примером эжектора может служить и бытовой пульверизатор, в котором поток воздуха подсасывает и распыляет жидкость.
Свободная поверхность при сужении русла
Рассмотрим, что происходит с уровнем воды в реке или канале, если русло сужается по естественным причинам или при создании искусственных сооружений (мостовые опоры, вход в шлюз и проч.).
Участок сужения изображен на рис. 3.16 (а – вид в плане, б – участок сужения в разрезе).
Рис. 3.16
Выберем два сечения, проходящих по поверхности жидкости: сечение 1–1 на достаточном удалении от места сужения, сечение 2–2 непосредственно в месте сужения. На поверхности воды в обоих сечениях давление равно атмосферному:
.
Тогда уравнение Бернулли для этих сечений запишется так:
,
где z1 и z2 – расстояния от поверхности жидкости до горизонтального дна (глубина).
Поскольку расход воды в реке (канале) постоянен, очевидно, что , а, следовательно , т. е. в узком месте происходит понижение уровня движущейся жидкости.
То же явление наблюдается в реках на стремнинах и в водоворотах. Этим же объясняется и просадка уровня при входе судов в камеры шлюзов.
3.3.3. Уравнение Бернулли для потока реальной жидкости
При движении реальной вязкой жидкости в ней возникают силы трения. Часть энергии системы расходуется на преодоление сил трения, необратимым образом при этом преобразуясь в тепловую энергию. Тепловая энергия безвозвратно теряется – рассеивается в окружающее пространство. Поэтому, чтобы применить уравнение Бернулли к процессам в реальной жидкости, в уравнении сохранения энергии нужно учесть эти потери энергии.
Энергия потока в первом сечении
Энергия потока во втором сечении
Энергия потока во втором сечении будет меньше энергии в первом сечении как раз на величину потерь:
или
.
Если мы решим распространить уравнение Бернулли от элементарной струйки на целый поток, то нужно учитывать следующее обстоятельство. Удельную кинетическую энергию целого потока можно вычислить по формуле
.
Здесь – средняя скорость в поперечном сечении потока.
В действительности скорости в поперечном сечении потока, как уже обсуждалось выше, существенно отличаются друг от друга: у стенок и дна они малы, к центру потока увеличиваются. Поэтому кинетическая энергия, рассчитанная по средней скорости потока, не равна сумме кинетических энергий элементарных струек, составляющих этот поток. Сумма энергий оказывается больше, и в первый член уравнения Бернулли приходится вводить поправочный коэффициент α, называемый коэффициентом кинетической энергии:
.
Так как – масса отдельных струек, а – масса всего потока жидкости, то имеем:
.
Отметим, что чем больше – средняя скорость в сечении, тем коэффициент α ближе к единице.
В обычных условиях при турбулентном течении в трубах и открытых каналах α меняется в пределах 1,02 – 1,12, поэтому для турбулентных течений обычно принимают α ≈ 1,0.
Для ламинарных течений, имеющих большую неравномерность распределения скоростей по сечению, принимается, α = 2,0.
Что касается таких членов уравнения Бернулли как пьезометрический напор и геометрический напор z, то о них можно сказать следующее.
При распределении давления в поперечном сечении потока по гидростатическому закону можно отнести эти члены к любой точке потока в этом сечении, обычно их относят к центру тяжести. Предположение о гидростатическом законе распределения давления справедливо для параллельноструйного или плавно меняющегося движения и несправедливо в потоках, имеющих значительную кривизну. При значительной кривизне потока эти величины относятся к динамической оси потока, а при отклонении от оси необходимо вводить поправку, учитывающую влияние центробежных сил на распределение давления.
Таким образом, в случае параллельноструйного или плавно изменяющегося движения при обобщении уравнения Бернулли на целый поток реальной жидкости запись этих членов не изменяется. И тогда уравнение Бернулли для целого потока реальной (вязкой) жидкости при установившемся движении записывается в виде
или
|
(3.9) |
В такой форме записи все члены уравнения Бернулли имеют линейную размерность, представляя собой напоры или высоты.
Попробуем представить уравнение Бернулли в виде линейной диаграммы (рис. 3.17).
Рис. 3.17
Геометрический напор z отсчитывается от условной плоскости сравнения 0–0 до оси потока. Далее вверх откладываются отрезки, равные пьезометрическому напору и скоростному напору . Концы соответствующих отрезков в разных сечениях по длине потока соединяются линиями. Так получаются пьезометрическая линия и линия полной энергии. Константа в правой части уравнения Бернулли, характеризующая начальный запас энергии, соответствует горизонтальной линии начальной энергии. Расстояние между линиями начальной и полной энергии представляет собой потерянный напор .
Построенная диаграмма наглядно иллюстрирует преобразование удельной энергии потока при его движении, показывает переход одного вида энергии в другой. Так, например, при расширении поперечного сечения потока происходит увеличение потенциальной энергии давления (пьезометрического напора), а кинетическая энергия (скоростной напор) уменьшается. При уменьшении сечения наблюдаем обратную картину.
Важно заметить, что линия полной энергии для реальной жидкости может только падать по длине потока из-за непрерывного увеличения потерь. А пьезометрическая линия может повышаться и понижаться в зависимости от кинетической энергии потока.
Падение полной энергии на единицу длины потока выражается формулой
и называется гидравлическим уклоном.
Следовательно, величина гидравлического уклона характеризует уменьшение полной удельной энергии потока на единицу длины.
Понятие уклона можно ввести и для пьезометрической линии, это будет пьезометрический уклон:
Пьезометрический уклон может быть как положительным, так и отрицательным. В частном случае равномерного движения, когда скорость по длине потока постоянна, очевидно, что i = i*. Такая картина имеет место, например, при напорном движении жидкости в трубах.
Положительные значения гидравлического и пьезометрического уклонов соответствуют падению полной энергии или пьезометрической линии.
При движении вязкой жидкости в трубах возникают дополнительные силы сопротивления. Частицы жидкости, прилегающие к поверхности трубы, тормозятся (прилипают). Из-за наличия вязкости такое торможение передается следующим слоям. В результате в трубе устанавливается распределение скорости движения жидкости, при котором скорость по мере удаления от оси трубы к стенкам постепенно уменьшается. Равнодействующая сил сопротивления направлена в сторону, противоположную движению, и параллельна направлению движения. Эта сила является силой гидравлического трения.
Для преодоления силы гидравлического трения и поддержания поступательного движения жидкости необходимо, чтобы на жидкость действовала сила, направленная в сторону ее движения и равная (или большая) силе сопротивления, т. е. необходимо затрачивать энергию. Энергия, необходимая для преодоления сил сопротивления, и есть потерянная энергия, учитываемая уравнением Бернулли.
Потери удельной энергии, их еще называют потери напора или гидравлические потери, зависят от формы и размеров русла, скорости течения, вязкости жидкости и шероховатости стенок трубопровода.
3.4. Основные уравнения динамики жидкости
Для получения дифференциальных уравнений движения воспользуемся уравнениями равновесия Эйлера в виде (2.1), а также принципом Даламбера, который заключается в следующем: если в систему уравнений равновесия прибавить силы инерции, взятые с обратным знаком, то эти уравнения будут описывать уже процесс движения жидкости.
Силы давления и массовые силы в уравнениях Эйлера отнесены к единице массы. Если выражение для силы инерции отнести к единице массы, то получим в проекциях на оси координат
Тогда система дифференциальных уравнений движения невязкой жидкости, называемая также системой Эйлера, будет иметь вид
|
(3.10) |
Напомним, что равномерное движение – это частный случай установившегося движения, характеризующийся тем, что по длине потока площадь трубы ω = const, а так как расход тоже постоянный, т. е. Q = const, то и скорость потока = const. Несмотря на такую, казалось бы, простоту, этот частный случай широко реализуется и для равномерных потоков в трубопроводах, и для неравномерного медленно меняющегося движения.
Рассмотрим равновесие отсека жидкости, движущейся в трубопроводе (рис. 3.18).
Рис. 3.18
Как известно, равномерное прямолинейное движение – это один из случаев равновесия. А согласно первому закону Ньютона, если тело находится в равновесии, то сумма всех сил, действующих на него, равна нулю.
Будем считать, что весь механизм трения сосредоточен на поверхности соприкосновения потока со стенками трубопровода, внутреннее трение в массиве жидкости учитывать не будем.
Тогда силы трения на стенках будут равны:
где τ – касательное напряжение трения;
– смоченный периметр;
l – длина рассматриваемого отсека.
Помимо сил трения на рассматриваемый отсек действуют силы давления P1 и P2 – по оси движения, а также сила тяжести жидкости в отсеке .
Составим уравнение равновесия, т. е. равенства нулю сил, действую-щих на жидкость, в проекции на ось движения:
или
где
Разделим это уравнение на . Получим:
или
Левая часть равенства – это пьезометри-ческий уклон. Отношение – гидравлический радиус. Окончательно получаем
|
(3.11) |
В случае равномерного движения пьезометрический уклон равен гидравлическому. Тогда получаем
|
(3.12) |
Это и есть основное уравнение равномерного движения жидкости.
PAGE 92